Theorem ply1mulgsum 49089

Description: The product of two polynomials expressed as group sum of scaled monomials. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1mulgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1mulgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1mulgsum.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
ply1mulgsum.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
ply1mulgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1mulgsum.pm	⊢ × = (.r‘𝑃)
ply1mulgsum.sm	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1mulgsum.rm	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
ply1mulgsum.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1mulgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ply1mulgsum	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐾,𝑙   𝐿,𝑙   𝑅,𝑙   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑅,𝑘   ∗ ,𝑘,𝑙   𝑘,𝑋   ↑ ,𝑘   · ,𝑘   𝑃,𝑘   ∗ ,𝑙

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑙)   · (𝑙)   × (𝑘,𝑙)   ↑ (𝑙)   𝑀(𝑘,𝑙)   𝑋(𝑙)

Proof of Theorem ply1mulgsum

Dummy variables 𝑛 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1mulgsum.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1mulgsum.pm	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑃)
3		ply1mulgsum.rm	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
4		ply1mulgsum.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	1, 2, 3, 4	coe1mul 22400	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))))))
6	5	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))))))
7	6	fveq1d 6884	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))))))‘𝑛))
8		eqidd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))))))
9		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (0...𝑚) = (0...𝑛))
10		fvoveq1 7434	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)) = ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖)))
11	10	oveq2d 7427	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))) = (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))
12	9, 11	mpteq12dv 5202	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖)))))
13	12	oveq2d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))))
14	13	adantl 486	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))))
15		simpr 489	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
16		ovexd 7446	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))) ∈ V)
17	8, 14, 15, 16	fvmptd 6998	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))))))‘𝑛) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))))
18		ply1mulgsum.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
19		ply1mulgsum.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
20		ply1mulgsum.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
21	20	fveq2i 6885	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝑀) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
22	19, 21	eqtri 2792	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
23		simp1 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
25		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26		ply1mulgsum.sm	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
27		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
28		ringcmn 20365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
29	28	3ad2ant1 1149	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
30	29	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CMnd)
31		fzfid 14009	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
32		simpll1 1229	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
33	32	adantr 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑅 ∈ Ring)
34		simp2 1153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ 𝐵)
35	34	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ 𝐵)
36		elfznn0 13648	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑘) → 𝑙 ∈ ℕ0)
37		ply1mulgsum.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
38	37, 4, 1, 25	coe1fvalcl 22341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
39	35, 36, 38	syl2an 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴‘𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
40		simp3 1154	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐿 ∈ 𝐵)
41	40	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ 𝐵)
42		fznn0sub 13584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑘) → (𝑘 − 𝑙) ∈ ℕ0)
43		ply1mulgsum.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
44	43, 4, 1, 25	coe1fvalcl 22341	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝐵 ∧ (𝑘 − 𝑙) ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
45	41, 42, 44	syl2an 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
46	25, 3	ringcl 20332	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝑙) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
47	33, 39, 45, 46	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
48	47	ralrimiva 3163	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
49	25, 30, 31, 48	gsummptcl 20037	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
50	49	ralrimiva 3163	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
51	1, 4, 37, 43, 18, 2, 26, 3, 20, 19	ply1mulgsumlem3 49087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))))) finSupp (0g‘𝑅))
52	51	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))))) finSupp (0g‘𝑅))
53	1, 4, 18, 22, 24, 25, 26, 27, 50, 52, 15	gsummoncoe1 22437	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) = ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))))
54		vex 3467	. . . . . 6 ⊢ 𝑛 ∈ V
55		csbov2g 7459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))))
56		id 23	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
57		oveq2 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (0...𝑘) = (0...𝑛))
58		fvoveq1 7434	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) = (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))
59	58	oveq2d 7427	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) = ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))
60	57, 59	mpteq12dv 5202	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
61	60	adantl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ V ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
62	56, 61	csbied 3897	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
63	62	oveq2d 7427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ V → (𝑅 Σg ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
64	55, 63	eqtrd 2804	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
65	54, 64	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
66		fveq2 6882	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐴‘𝑙) = (𝐴‘𝑖))
67	37	fveq1i 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴‘𝑖) = ((coe1‘𝐾)‘𝑖)
68	66, 67	eqtrdi 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐴‘𝑙) = ((coe1‘𝐾)‘𝑖))
69		oveq2 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑛 − 𝑙) = (𝑛 − 𝑖))
70	69	fveq2d 6886	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)) = (𝐶‘(𝑛 − 𝑖)))
71	43	fveq1i 6883	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶‘(𝑛 − 𝑖)) = ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))
72	70, 71	eqtrdi 2820	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)) = ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖)))
73	68, 72	oveq12d 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))) = (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))
74	73	cbvmptv 5219	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))
75	74	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖)))))
76	75	oveq2d 7427	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))))
77	53, 65, 76	3eqtrrd 2809	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
78	7, 17, 77	3eqtrd 2808	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
79	78	ralrimiva 3163	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
80	1	ply1ring 22376	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
81	4, 2	ringcl 20332	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵)
82	80, 81	syl3an1 1179	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵)
83		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
84		ringcmn 20365	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
85	80, 84	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
86	85	3ad2ant1 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
87		nn0ex 12510	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
88	87	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
89	1	ply1lmod 22380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
90	89	3ad2ant1 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
91	90	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
92	29	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CMnd)
93		fzfid 14009	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
94		simpll1 1229	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑅 ∈ Ring)
95	34	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ 𝐵)
96	95, 36, 38	syl2an 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴‘𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
97	40	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ 𝐵)
98	97, 42, 44	syl2an 607	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
99	94, 96, 98, 46	syl3anc 1396	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
100	99	ralrimiva 3163	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
101	25, 92, 93, 100	gsummptcl 20037	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
102	23	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
103	1	ply1sca 22381	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
104	102, 103	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
105	104	fveq2d 6886	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
106	101, 105	eleqtrd 2871	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
107	20, 4	mgpbas 20221	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
108	20	ringmgp 20321	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
109	80, 108	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
110	109	3ad2ant1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ Mnd)
111	110	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
112		simpr 489	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
113	18, 1, 4	vr1cl 22346	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
114	113	3ad2ant1 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
115	114	adantr 485	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
116	107, 19, 111, 112, 115	mulgnn0cld 19161	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
117		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
118		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
119	4, 117, 26, 118	lmodvscl 20977	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
120	91, 106, 116, 119	syl3anc 1396	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
121	120	fmpttd 7111	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐵)
122	1, 4, 37, 43, 18, 2, 26, 3, 20, 19	ply1mulgsumlem4 49088	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))
123	4, 83, 86, 88, 121, 122	gsumcl 19985	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐵)
124		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (coe1‘(𝐾 × 𝐿))
125		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
126	1, 4, 124, 125	ply1coe1eq 22429	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐵) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) ↔ (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))))))
127	23, 82, 123, 126	syl3anc 1396	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) ↔ (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))))))
128	79, 127	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  Vcvv 3463  ⦋csb 3861   class class class wbr 5113   ↦ cmpt 5196  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   finSupp cfsupp 9321  0cc0 11100   − cmin 11441  ℕ₀cn0 12504  ...cfz 13535  Basecbs 17269  ._rcmulr 17311  Scalarcsca 17313   ·_𝑠 cvsca 17314  0_gc0g 17492   Σ_g cgsu 17493  Mndcmnd 18792  ._gcmg 19133  CMndccmn 19850  mulGrpcmgp 20216  Ringcrg 20315  LModclmod 20959  var₁cv1 22305  Poly₁cpl1 22306  coe₁cco1 22307

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4877  df-int 4917  df-iun 4962  df-iin 4963  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-se 5616  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7675  df-ofr 7676  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-supp 8157  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-1o 8453  df-2o 8454  df-er 8694  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9322  df-sup 9402  df-oi 9472  df-card 9925  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12505  df-z 12592  df-dec 12712  df-uz 12863  df-fz 13536  df-fzo 13683  df-seq 14038  df-hash 14367  df-struct 17207  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-sca 17326  df-vsca 17327  df-ip 17328  df-tset 17329  df-ple 17330  df-ds 17332  df-hom 17334  df-cco 17335  df-0g 17494  df-gsum 17495  df-prds 17500  df-pws 17502  df-mre 17638  df-mrc 17639  df-acs 17641  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mhm 18841  df-submnd 18842  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-sbg 19005  df-mulg 19134  df-subg 19189  df-ghm 19284  df-cntz 19387  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-srg 20269  df-ring 20317  df-subrng 20631  df-subrg 20655  df-lmod 20961  df-lss 21031  df-psr 22028  df-mvr 22029  df-mpl 22030  df-opsr 22032  df-psr1 22309  df-vr1 22310  df-ply1 22311  df-coe1 22312

This theorem is referenced by: (None)