Theorem ply1mulgsum 44451

Description: The product of two polynomials expressed as group sum of scaled monomials. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1mulgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1mulgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1mulgsum.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
ply1mulgsum.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
ply1mulgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1mulgsum.pm	⊢ × = (.r‘𝑃)
ply1mulgsum.sm	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1mulgsum.rm	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
ply1mulgsum.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1mulgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ply1mulgsum	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐾,𝑙   𝐿,𝑙   𝑅,𝑙   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑅,𝑘   ∗ ,𝑘,𝑙   𝑘,𝑋   ↑ ,𝑘   · ,𝑘   𝑃,𝑘   ∗ ,𝑙

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑙)   · (𝑙)   × (𝑘,𝑙)   ↑ (𝑙)   𝑀(𝑘,𝑙)   𝑋(𝑙)

Proof of Theorem ply1mulgsum

Dummy variables 𝑛 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1mulgsum.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1mulgsum.pm	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑃)
3		ply1mulgsum.rm	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
4		ply1mulgsum.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	1, 2, 3, 4	coe1mul 20440	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))))))
6	5	adantr 483	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))))))
7	6	fveq1d 6674	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))))))‘𝑛))
8		eqidd 2824	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))))))
9		oveq2 7166	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (0...𝑚) = (0...𝑛))
10		fvoveq1 7181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)) = ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖)))
11	10	oveq2d 7174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))) = (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))
12	9, 11	mpteq12dv 5153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖)))))
13	12	oveq2d 7174	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))))
14	13	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))))
15		simpr 487	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
16		ovexd 7193	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))) ∈ V)
17	8, 14, 15, 16	fvmptd 6777	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))))))‘𝑛) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))))
18		ply1mulgsum.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
19		ply1mulgsum.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
20		ply1mulgsum.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
21	20	fveq2i 6675	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝑀) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
22	19, 21	eqtri 2846	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
23		simp1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
25		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26		ply1mulgsum.sm	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
27		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
28		ringcmn 19333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
29	28	3ad2ant1 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
30	29	ad2antrr 724	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CMnd)
31		fzfid 13344	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
32		simpll1 1208	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
33	32	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑅 ∈ Ring)
34		simp2 1133	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ 𝐵)
35	34	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ 𝐵)
36		elfznn0 13003	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑘) → 𝑙 ∈ ℕ0)
37		ply1mulgsum.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
38	37, 4, 1, 25	coe1fvalcl 20382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
39	35, 36, 38	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴‘𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
40		simp3 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐿 ∈ 𝐵)
41	40	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ 𝐵)
42		fznn0sub 12942	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑘) → (𝑘 − 𝑙) ∈ ℕ0)
43		ply1mulgsum.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
44	43, 4, 1, 25	coe1fvalcl 20382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝐵 ∧ (𝑘 − 𝑙) ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
45	41, 42, 44	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
46	25, 3	ringcl 19313	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝑙) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
47	33, 39, 45, 46	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
48	47	ralrimiva 3184	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
49	25, 30, 31, 48	gsummptcl 19089	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
50	49	ralrimiva 3184	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
51	1, 4, 37, 43, 18, 2, 26, 3, 20, 19	ply1mulgsumlem3 44449	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))))) finSupp (0g‘𝑅))
52	51	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))))) finSupp (0g‘𝑅))
53	1, 4, 18, 22, 24, 25, 26, 27, 50, 52, 15	gsummoncoe1 20474	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) = ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))))
54		vex 3499	. . . . . 6 ⊢ 𝑛 ∈ V
55		csbov2g 7204	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))))
56		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
57		oveq2 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (0...𝑘) = (0...𝑛))
58		fvoveq1 7181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) = (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))
59	58	oveq2d 7174	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) = ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))
60	57, 59	mpteq12dv 5153	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
61	60	adantl 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ V ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
62	56, 61	csbied 3921	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
63	62	oveq2d 7174	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ V → (𝑅 Σg ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
64	55, 63	eqtrd 2858	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
65	54, 64	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
66		fveq2 6672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐴‘𝑙) = (𝐴‘𝑖))
67	37	fveq1i 6673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴‘𝑖) = ((coe1‘𝐾)‘𝑖)
68	66, 67	syl6eq 2874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐴‘𝑙) = ((coe1‘𝐾)‘𝑖))
69		oveq2 7166	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑛 − 𝑙) = (𝑛 − 𝑖))
70	69	fveq2d 6676	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)) = (𝐶‘(𝑛 − 𝑖)))
71	43	fveq1i 6673	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶‘(𝑛 − 𝑖)) = ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))
72	70, 71	syl6eq 2874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)) = ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖)))
73	68, 72	oveq12d 7176	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))) = (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))
74	73	cbvmptv 5171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))
75	74	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖)))))
76	75	oveq2d 7174	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))))
77	53, 65, 76	3eqtrrd 2863	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
78	7, 17, 77	3eqtrd 2862	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
79	78	ralrimiva 3184	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
80	1	ply1ring 20418	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
81	4, 2	ringcl 19313	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵)
82	80, 81	syl3an1 1159	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵)
83		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
84		ringcmn 19333	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
85	80, 84	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
86	85	3ad2ant1 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
87		nn0ex 11906	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
88	87	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
89	1	ply1lmod 20422	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
90	89	3ad2ant1 1129	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
91	90	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
92	29	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CMnd)
93		fzfid 13344	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
94		simpll1 1208	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑅 ∈ Ring)
95	34	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ 𝐵)
96	95, 36, 38	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴‘𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
97	40	adantr 483	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ 𝐵)
98	97, 42, 44	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
99	94, 96, 98, 46	syl3anc 1367	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
100	99	ralrimiva 3184	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
101	25, 92, 93, 100	gsummptcl 19089	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
102	23	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
103	1	ply1sca 20423	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
105	104	fveq2d 6676	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
106	101, 105	eleqtrd 2917	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
107	20	ringmgp 19305	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
108	80, 107	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
109	108	3ad2ant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ Mnd)
110	109	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
111		simpr 487	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
112	18, 1, 4	vr1cl 20387	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
113	112	3ad2ant1 1129	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
114	113	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
115	20, 4	mgpbas 19247	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
116	115, 19	mulgnn0cl 18246	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
117	110, 111, 114, 116	syl3anc 1367	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
118		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
119		eqid 2823	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
120	4, 118, 26, 119	lmodvscl 19653	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
121	91, 106, 117, 120	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
122	121	fmpttd 6881	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐵)
123	1, 4, 37, 43, 18, 2, 26, 3, 20, 19	ply1mulgsumlem4 44450	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))
124	4, 83, 86, 88, 122, 123	gsumcl 19037	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐵)
125		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (coe1‘(𝐾 × 𝐿))
126		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
127	1, 4, 125, 126	ply1coe1eq 20468	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐵) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) ↔ (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))))))
128	23, 82, 124, 127	syl3anc 1367	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) ↔ (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))))))
129	79, 128	mpbid 234	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140  Vcvv 3496  ⦋csb 3885   class class class wbr 5068   ↦ cmpt 5148  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158   finSupp cfsupp 8835  0cc0 10539   − cmin 10872  ℕ₀cn0 11900  ...cfz 12895  Basecbs 16485  ._rcmulr 16568  Scalarcsca 16570   ·_𝑠 cvsca 16571  0_gc0g 16715   Σ_g cgsu 16716  Mndcmnd 17913  ._gcmg 18226  CMndccmn 18908  mulGrpcmgp 19241  Ringcrg 19299  LModclmod 19636  var₁cv1 20346  Poly₁cpl1 20347  coe₁cco1 20348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-ofr 7412  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-seq 13373  df-hash 13694  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-tset 16586  df-ple 16587  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-mhm 17958  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-mulg 18227  df-subg 18278  df-ghm 18358  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-srg 19258  df-ring 19301  df-subrg 19535  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-psr 20138  df-mvr 20139  df-mpl 20140  df-opsr 20142  df-psr1 20350  df-vr1 20351  df-ply1 20352  df-coe1 20353

This theorem is referenced by: (None)