Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1mulgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1mulgsum 42701
Description: The product of two polynomials expressed as group sum of scaled monomials. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1mulgsum.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1mulgsum.a 𝐴 = (coe1𝐾)
ply1mulgsum.c 𝐶 = (coe1𝐿)
ply1mulgsum.x 𝑋 = (var1𝑅)
ply1mulgsum.pm × = (.r𝑃)
ply1mulgsum.sm · = ( ·𝑠𝑃)
ply1mulgsum.rm = (.r𝑅)
ply1mulgsum.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1mulgsum.e = (.g𝑀)
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsum ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐾,𝑙   𝐿,𝑙   𝑅,𝑙   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑅,𝑘   ,𝑘,𝑙   𝑘,𝑋   ,𝑘   · ,𝑘   𝑃,𝑘   ,𝑙
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑙)   · (𝑙)   × (𝑘,𝑙)   (𝑙)   𝑀(𝑘,𝑙)   𝑋(𝑙)

Proof of Theorem ply1mulgsum
Dummy variables 𝑛 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mulgsum.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 ply1mulgsum.pm . . . . . . 7 × = (.r𝑃)
3 ply1mulgsum.rm . . . . . . 7 = (.r𝑅)
4 ply1mulgsum.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
51, 2, 3, 4coe1mul 19855 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)))))))
65adantr 466 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)))))))
76fveq1d 6335 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖))))))‘𝑛))
8 eqidd 2772 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)))))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)))))))
9 oveq2 6804 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (0...𝑚) = (0...𝑛))
10 fvoveq1 6819 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)) = ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖)))
1110oveq2d 6812 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖))) = (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))
129, 11mpteq12dv 4868 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖)))))
1312oveq2d 6812 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))))
1413adantl 467 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))))
15 simpr 471 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
16 ovexd 6829 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))) ∈ V)
178, 14, 15, 16fvmptd 6432 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖))))))‘𝑛) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))))
18 ply1mulgsum.x . . . . . 6 𝑋 = (var1𝑅)
19 ply1mulgsum.e . . . . . . 7 = (.g𝑀)
20 ply1mulgsum.m . . . . . . . 8 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
2120fveq2i 6336 . . . . . . 7 (.g𝑀) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
2219, 21eqtri 2793 . . . . . 6 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
23 simp1 1130 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2423adantr 466 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
25 eqid 2771 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26 ply1mulgsum.sm . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑃)
27 eqid 2771 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
28 ringcmn 18789 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
29283ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
3029ad2antrr 705 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CMnd)
31 fzfid 12980 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
32 simpll1 1254 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
3332adantr 466 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑅 ∈ Ring)
34 simp2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝐾𝐵)
3534ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾𝐵)
36 elfznn0 12640 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 ∈ (0...𝑘) → 𝑙 ∈ ℕ0)
37 ply1mulgsum.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (coe1𝐾)
3837, 4, 1, 25coe1fvalcl 19797 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝐵𝑙 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
3935, 36, 38syl2an 583 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
40 simp3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝐿𝐵)
4140ad2antrr 705 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐿𝐵)
42 fznn0sub 12580 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 ∈ (0...𝑘) → (𝑘𝑙) ∈ ℕ0)
43 ply1mulgsum.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (coe1𝐿)
4443, 4, 1, 25coe1fvalcl 19797 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿𝐵 ∧ (𝑘𝑙) ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑘𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
4541, 42, 44syl2an 583 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐶‘(𝑘𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
4625, 3ringcl 18769 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴𝑙) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘(𝑘𝑙)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
4733, 39, 45, 46syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
4847ralrimiva 3115 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
4925, 30, 31, 48gsummptcl 18573 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
5049ralrimiva 3115 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
511, 4, 37, 43, 18, 2, 26, 3, 20, 19ply1mulgsumlem3 42699 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))))) finSupp (0g𝑅))
5251adantr 466 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))))) finSupp (0g𝑅))
531, 4, 18, 22, 24, 25, 26, 27, 50, 52, 15gsummoncoe1 19889 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛) = 𝑛 / 𝑘(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))))
54 vex 3354 . . . . . 6 𝑛 ∈ V
55 csbov2g 6840 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ V → 𝑛 / 𝑘(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg 𝑛 / 𝑘(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))))
56 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
57 oveq2 6804 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → (0...𝑘) = (0...𝑛))
58 fvoveq1 6819 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (𝐶‘(𝑘𝑙)) = (𝐶‘(𝑛𝑙)))
5958oveq2d 6812 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) = ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))
6057, 59mpteq12dv 4868 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))))
6160adantl 467 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ V ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))))
6256, 61csbied 3709 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ V → 𝑛 / 𝑘(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))))
6362oveq2d 6812 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ V → (𝑅 Σg 𝑛 / 𝑘(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))))
6455, 63eqtrd 2805 . . . . . 6 (𝑛 ∈ V → 𝑛 / 𝑘(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))))
6554, 64mp1i 13 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 / 𝑘(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))))
66 fveq2 6333 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑖 → (𝐴𝑙) = (𝐴𝑖))
6737fveq1i 6334 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑖) = ((coe1𝐾)‘𝑖)
6866, 67syl6eq 2821 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑖 → (𝐴𝑙) = ((coe1𝐾)‘𝑖))
69 oveq2 6804 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑖 → (𝑛𝑙) = (𝑛𝑖))
7069fveq2d 6337 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑖 → (𝐶‘(𝑛𝑙)) = (𝐶‘(𝑛𝑖)))
7143fveq1i 6334 . . . . . . . . . 10 (𝐶‘(𝑛𝑖)) = ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))
7270, 71syl6eq 2821 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑖 → (𝐶‘(𝑛𝑙)) = ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖)))
7368, 72oveq12d 6814 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑖 → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))) = (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))
7473cbvmptv 4885 . . . . . . 7 (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))
7574a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖)))))
7675oveq2d 6812 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))))
7753, 65, 763eqtrrd 2810 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛))
787, 17, 773eqtrd 2809 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛))
7978ralrimiva 3115 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛))
801ply1ring 19833 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
814, 2ringcl 18769 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵)
8280, 81syl3an1 1166 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵)
83 eqid 2771 . . . 4 (0g𝑃) = (0g𝑃)
84 ringcmn 18789 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
8580, 84syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
86853ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
87 nn0ex 11505 . . . . 5 0 ∈ V
8887a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → ℕ0 ∈ V)
891ply1lmod 19837 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
90893ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
9190adantr 466 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
9229adantr 466 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CMnd)
93 fzfid 12980 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
94 simpll1 1254 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑅 ∈ Ring)
9534adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾𝐵)
9695, 36, 38syl2an 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
9740adantr 466 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐿𝐵)
9897, 42, 44syl2an 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐶‘(𝑘𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
9994, 96, 98, 46syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
10099ralrimiva 3115 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
10125, 92, 93, 100gsummptcl 18573 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
10223adantr 466 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
1031ply1sca 19838 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
104102, 103syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
105104fveq2d 6337 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
106101, 105eleqtrd 2852 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
10720ringmgp 18761 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
10880, 107syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
1091083ad2ant1 1127 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑀 ∈ Mnd)
110109adantr 466 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
111 simpr 471 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11218, 1, 4vr1cl 19802 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
1131123ad2ant1 1127 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑋𝐵)
114113adantr 466 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
11520, 4mgpbas 18703 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
116115, 19mulgnn0cl 17766 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐵)
117110, 111, 114, 116syl3anc 1476 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐵)
118 eqid 2771 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
119 eqid 2771 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
1204, 118, 26, 119lmodvscl 19090 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑘 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
12191, 106, 117, 120syl3anc 1476 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
122121fmpttd 6530 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))):ℕ0𝐵)
1231, 4, 37, 43, 18, 2, 26, 3, 20, 19ply1mulgsumlem4 42700 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑃))
1244, 83, 86, 88, 122, 123gsumcl 18523 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))) ∈ 𝐵)
125 eqid 2771 . . . 4 (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (coe1‘(𝐾 × 𝐿))
126 eqid 2771 . . . 4 (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))
1271, 4, 125, 126ply1coe1eq 19883 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))) ∈ 𝐵) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛) ↔ (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))))))
12823, 82, 124, 127syl3anc 1476 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛) ↔ (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))))))
12979, 128mpbid 222 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1071   = wceq 1631  wcel 2145  wral 3061  Vcvv 3351  csb 3682   class class class wbr 4787  cmpt 4864  cfv 6030  (class class class)co 6796   finSupp cfsupp 8435  0cc0 10142  cmin 10472  0cn0 11499  ...cfz 12533  Basecbs 16064  .rcmulr 16150  Scalarcsca 16152   ·𝑠 cvsca 16153  0gc0g 16308   Σg cgsu 16309  Mndcmnd 17502  .gcmg 17748  CMndccmn 18400  mulGrpcmgp 18697  Ringcrg 18755  LModclmod 19073  var1cv1 19761  Poly1cpl1 19762  coe1cco1 19763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7100  ax-inf2 8706  ax-cnex 10198  ax-resscn 10199  ax-1cn 10200  ax-icn 10201  ax-addcl 10202  ax-addrcl 10203  ax-mulcl 10204  ax-mulrcl 10205  ax-mulcom 10206  ax-addass 10207  ax-mulass 10208  ax-distr 10209  ax-i2m1 10210  ax-1ne0 10211  ax-1rid 10212  ax-rnegex 10213  ax-rrecex 10214  ax-cnre 10215  ax-pre-lttri 10216  ax-pre-lttrn 10217  ax-pre-ltadd 10218  ax-pre-mulgt0 10219
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-iin 4658  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6757  df-ov 6799  df-oprab 6800  df-mpt2 6801  df-of 7048  df-ofr 7049  df-om 7217  df-1st 7319  df-2nd 7320  df-supp 7451  df-wrecs 7563  df-recs 7625  df-rdg 7663  df-1o 7717  df-2o 7718  df-oadd 7721  df-er 7900  df-map 8015  df-pm 8016  df-ixp 8067  df-en 8114  df-dom 8115  df-sdom 8116  df-fin 8117  df-fsupp 8436  df-oi 8575  df-card 8969  df-pnf 10282  df-mnf 10283  df-xr 10284  df-ltxr 10285  df-le 10286  df-sub 10474  df-neg 10475  df-nn 11227  df-2 11285  df-3 11286  df-4 11287  df-5 11288  df-6 11289  df-7 11290  df-8 11291  df-9 11292  df-n0 11500  df-z 11585  df-dec 11701  df-uz 11894  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-seq 13009  df-hash 13322  df-struct 16066  df-ndx 16067  df-slot 16068  df-base 16070  df-sets 16071  df-ress 16072  df-plusg 16162  df-mulr 16163  df-sca 16165  df-vsca 16166  df-tset 16168  df-ple 16169  df-0g 16310  df-gsum 16311  df-mre 16454  df-mrc 16455  df-acs 16457  df-mgm 17450  df-sgrp 17492  df-mnd 17503  df-mhm 17543  df-submnd 17544  df-grp 17633  df-minusg 17634  df-sbg 17635  df-mulg 17749  df-subg 17799  df-ghm 17866  df-cntz 17957  df-cmn 18402  df-abl 18403  df-mgp 18698  df-ur 18710  df-srg 18714  df-ring 18757  df-subrg 18988  df-lmod 19075  df-lss 19143  df-psr 19571  df-mvr 19572  df-mpl 19573  df-opsr 19575  df-psr1 19765  df-vr1 19766  df-ply1 19767  df-coe1 19768
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator