Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1mulgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1mulgsum 45249
Description: The product of two polynomials expressed as group sum of scaled monomials. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1mulgsum.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1mulgsum.a 𝐴 = (coe1𝐾)
ply1mulgsum.c 𝐶 = (coe1𝐿)
ply1mulgsum.x 𝑋 = (var1𝑅)
ply1mulgsum.pm × = (.r𝑃)
ply1mulgsum.sm · = ( ·𝑠𝑃)
ply1mulgsum.rm = (.r𝑅)
ply1mulgsum.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1mulgsum.e = (.g𝑀)
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsum ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐾,𝑙   𝐿,𝑙   𝑅,𝑙   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑅,𝑘   ,𝑘,𝑙   𝑘,𝑋   ,𝑘   · ,𝑘   𝑃,𝑘   ,𝑙
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑙)   · (𝑙)   × (𝑘,𝑙)   (𝑙)   𝑀(𝑘,𝑙)   𝑋(𝑙)

Proof of Theorem ply1mulgsum
Dummy variables 𝑛 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mulgsum.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 ply1mulgsum.pm . . . . . . 7 × = (.r𝑃)
3 ply1mulgsum.rm . . . . . . 7 = (.r𝑅)
4 ply1mulgsum.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
51, 2, 3, 4coe1mul 21038 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)))))))
65adantr 484 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)))))))
76fveq1d 6670 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖))))))‘𝑛))
8 eqidd 2739 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)))))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)))))))
9 oveq2 7172 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (0...𝑚) = (0...𝑛))
10 fvoveq1 7187 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)) = ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖)))
1110oveq2d 7180 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖))) = (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))
129, 11mpteq12dv 5112 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖)))))
1312oveq2d 7180 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))))
1413adantl 485 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))))
15 simpr 488 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
16 ovexd 7199 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))) ∈ V)
178, 14, 15, 16fvmptd 6776 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖))))))‘𝑛) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))))
18 ply1mulgsum.x . . . . . 6 𝑋 = (var1𝑅)
19 ply1mulgsum.e . . . . . . 7 = (.g𝑀)
20 ply1mulgsum.m . . . . . . . 8 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
2120fveq2i 6671 . . . . . . 7 (.g𝑀) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
2219, 21eqtri 2761 . . . . . 6 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
23 simp1 1137 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2423adantr 484 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
25 eqid 2738 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26 ply1mulgsum.sm . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑃)
27 eqid 2738 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
28 ringcmn 19446 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
29283ad2ant1 1134 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
3029ad2antrr 726 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CMnd)
31 fzfid 13425 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
32 simpll1 1213 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
3332adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑅 ∈ Ring)
34 simp2 1138 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝐾𝐵)
3534ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾𝐵)
36 elfznn0 13084 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 ∈ (0...𝑘) → 𝑙 ∈ ℕ0)
37 ply1mulgsum.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (coe1𝐾)
3837, 4, 1, 25coe1fvalcl 20980 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝐵𝑙 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
3935, 36, 38syl2an 599 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
40 simp3 1139 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝐿𝐵)
4140ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐿𝐵)
42 fznn0sub 13023 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 ∈ (0...𝑘) → (𝑘𝑙) ∈ ℕ0)
43 ply1mulgsum.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (coe1𝐿)
4443, 4, 1, 25coe1fvalcl 20980 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿𝐵 ∧ (𝑘𝑙) ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑘𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
4541, 42, 44syl2an 599 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐶‘(𝑘𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
4625, 3ringcl 19426 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴𝑙) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘(𝑘𝑙)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
4733, 39, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
4847ralrimiva 3096 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
4925, 30, 31, 48gsummptcl 19199 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
5049ralrimiva 3096 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
511, 4, 37, 43, 18, 2, 26, 3, 20, 19ply1mulgsumlem3 45247 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))))) finSupp (0g𝑅))
5251adantr 484 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))))) finSupp (0g𝑅))
531, 4, 18, 22, 24, 25, 26, 27, 50, 52, 15gsummoncoe1 21072 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛) = 𝑛 / 𝑘(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))))
54 vex 3401 . . . . . 6 𝑛 ∈ V
55 csbov2g 7210 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ V → 𝑛 / 𝑘(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg 𝑛 / 𝑘(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))))
56 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
57 oveq2 7172 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → (0...𝑘) = (0...𝑛))
58 fvoveq1 7187 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (𝐶‘(𝑘𝑙)) = (𝐶‘(𝑛𝑙)))
5958oveq2d 7180 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) = ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))
6057, 59mpteq12dv 5112 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))))
6160adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ V ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))))
6256, 61csbied 3824 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ V → 𝑛 / 𝑘(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))))
6362oveq2d 7180 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ V → (𝑅 Σg 𝑛 / 𝑘(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))))
6455, 63eqtrd 2773 . . . . . 6 (𝑛 ∈ V → 𝑛 / 𝑘(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))))
6554, 64mp1i 13 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 / 𝑘(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))))
66 fveq2 6668 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑖 → (𝐴𝑙) = (𝐴𝑖))
6737fveq1i 6669 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑖) = ((coe1𝐾)‘𝑖)
6866, 67eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑖 → (𝐴𝑙) = ((coe1𝐾)‘𝑖))
69 oveq2 7172 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑖 → (𝑛𝑙) = (𝑛𝑖))
7069fveq2d 6672 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑖 → (𝐶‘(𝑛𝑙)) = (𝐶‘(𝑛𝑖)))
7143fveq1i 6669 . . . . . . . . . 10 (𝐶‘(𝑛𝑖)) = ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))
7270, 71eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑖 → (𝐶‘(𝑛𝑙)) = ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖)))
7368, 72oveq12d 7182 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑖 → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))) = (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))
7473cbvmptv 5130 . . . . . . 7 (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))
7574a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖)))))
7675oveq2d 7180 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))))
7753, 65, 763eqtrrd 2778 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛))
787, 17, 773eqtrd 2777 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛))
7978ralrimiva 3096 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛))
801ply1ring 21016 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
814, 2ringcl 19426 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵)
8280, 81syl3an1 1164 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵)
83 eqid 2738 . . . 4 (0g𝑃) = (0g𝑃)
84 ringcmn 19446 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
8580, 84syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
86853ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
87 nn0ex 11975 . . . . 5 0 ∈ V
8887a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → ℕ0 ∈ V)
891ply1lmod 21020 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
90893ad2ant1 1134 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
9190adantr 484 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
9229adantr 484 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CMnd)
93 fzfid 13425 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
94 simpll1 1213 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑅 ∈ Ring)
9534adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾𝐵)
9695, 36, 38syl2an 599 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
9740adantr 484 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐿𝐵)
9897, 42, 44syl2an 599 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐶‘(𝑘𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
9994, 96, 98, 46syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
10099ralrimiva 3096 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
10125, 92, 93, 100gsummptcl 19199 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
10223adantr 484 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
1031ply1sca 21021 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
104102, 103syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
105104fveq2d 6672 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
106101, 105eleqtrd 2835 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
10720ringmgp 19415 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
10880, 107syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
1091083ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑀 ∈ Mnd)
110109adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
111 simpr 488 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11218, 1, 4vr1cl 20985 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
1131123ad2ant1 1134 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑋𝐵)
114113adantr 484 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
11520, 4mgpbas 19357 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
116115, 19mulgnn0cl 18355 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐵)
117110, 111, 114, 116syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐵)
118 eqid 2738 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
119 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
1204, 118, 26, 119lmodvscl 19763 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑘 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
12191, 106, 117, 120syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
122121fmpttd 6883 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))):ℕ0𝐵)
1231, 4, 37, 43, 18, 2, 26, 3, 20, 19ply1mulgsumlem4 45248 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑃))
1244, 83, 86, 88, 122, 123gsumcl 19147 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))) ∈ 𝐵)
125 eqid 2738 . . . 4 (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (coe1‘(𝐾 × 𝐿))
126 eqid 2738 . . . 4 (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))
1271, 4, 125, 126ply1coe1eq 21066 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))) ∈ 𝐵) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛) ↔ (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))))))
12823, 82, 124, 127syl3anc 1372 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛) ↔ (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))))))
12979, 128mpbid 235 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2113  wral 3053  Vcvv 3397  csb 3788   class class class wbr 5027  cmpt 5107  cfv 6333  (class class class)co 7164   finSupp cfsupp 8899  0cc0 10608  cmin 10941  0cn0 11969  ...cfz 12974  Basecbs 16579  .rcmulr 16662  Scalarcsca 16664   ·𝑠 cvsca 16665  0gc0g 16809   Σg cgsu 16810  Mndcmnd 18020  .gcmg 18335  CMndccmn 19017  mulGrpcmgp 19351  Ringcrg 19409  LModclmod 19746  var1cv1 20944  Poly1cpl1 20945  coe1cco1 20946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-ofr 7420  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-hash 13776  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-tset 16680  df-ple 16681  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-mhm 18065  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-mulg 18336  df-subg 18387  df-ghm 18467  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-srg 19368  df-ring 19411  df-subrg 19645  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-psr 20715  df-mvr 20716  df-mpl 20717  df-opsr 20719  df-psr1 20948  df-vr1 20949  df-ply1 20950  df-coe1 20951
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator