Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1mulgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1mulgsum 44279
Description: The product of two polynomials expressed as group sum of scaled monomials. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p 𝑃 = (Poly1𝑅)
ply1mulgsum.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1mulgsum.a 𝐴 = (coe1𝐾)
ply1mulgsum.c 𝐶 = (coe1𝐿)
ply1mulgsum.x 𝑋 = (var1𝑅)
ply1mulgsum.pm × = (.r𝑃)
ply1mulgsum.sm · = ( ·𝑠𝑃)
ply1mulgsum.rm = (.r𝑅)
ply1mulgsum.m 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1mulgsum.e = (.g𝑀)
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsum ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐾,𝑙   𝐿,𝑙   𝑅,𝑙   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑅,𝑘   ,𝑘,𝑙   𝑘,𝑋   ,𝑘   · ,𝑘   𝑃,𝑘   ,𝑙
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑙)   · (𝑙)   × (𝑘,𝑙)   (𝑙)   𝑀(𝑘,𝑙)   𝑋(𝑙)

Proof of Theorem ply1mulgsum
Dummy variables 𝑛 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mulgsum.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1𝑅)
2 ply1mulgsum.pm . . . . . . 7 × = (.r𝑃)
3 ply1mulgsum.rm . . . . . . 7 = (.r𝑅)
4 ply1mulgsum.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑃)
51, 2, 3, 4coe1mul 20358 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)))))))
65adantr 481 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)))))))
76fveq1d 6668 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖))))))‘𝑛))
8 eqidd 2826 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)))))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)))))))
9 oveq2 7159 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (0...𝑚) = (0...𝑛))
10 fvoveq1 7174 . . . . . . . . 9 (𝑚 = 𝑛 → ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)) = ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖)))
1110oveq2d 7167 . . . . . . . 8 (𝑚 = 𝑛 → (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖))) = (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))
129, 11mpteq12dv 5147 . . . . . . 7 (𝑚 = 𝑛 → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖)))))
1312oveq2d 7167 . . . . . 6 (𝑚 = 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))))
1413adantl 482 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))))
15 simpr 485 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
16 ovexd 7186 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))) ∈ V)
178, 14, 15, 16fvmptd 6770 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑚𝑖))))))‘𝑛) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))))
18 ply1mulgsum.x . . . . . 6 𝑋 = (var1𝑅)
19 ply1mulgsum.e . . . . . . 7 = (.g𝑀)
20 ply1mulgsum.m . . . . . . . 8 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
2120fveq2i 6669 . . . . . . 7 (.g𝑀) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
2219, 21eqtri 2848 . . . . . 6 = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
23 simp1 1130 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
2423adantr 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
25 eqid 2825 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26 ply1mulgsum.sm . . . . . 6 · = ( ·𝑠𝑃)
27 eqid 2825 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
28 ringcmn 19254 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
29283ad2ant1 1127 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
3029ad2antrr 722 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CMnd)
31 fzfid 13334 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
32 simpll1 1206 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
3332adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑅 ∈ Ring)
34 simp2 1131 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝐾𝐵)
3534ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾𝐵)
36 elfznn0 12993 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 ∈ (0...𝑘) → 𝑙 ∈ ℕ0)
37 ply1mulgsum.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (coe1𝐾)
3837, 4, 1, 25coe1fvalcl 20300 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾𝐵𝑙 ∈ ℕ0) → (𝐴𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
3935, 36, 38syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
40 simp3 1132 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝐿𝐵)
4140ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐿𝐵)
42 fznn0sub 12932 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 ∈ (0...𝑘) → (𝑘𝑙) ∈ ℕ0)
43 ply1mulgsum.c . . . . . . . . . . . 12 𝐶 = (coe1𝐿)
4443, 4, 1, 25coe1fvalcl 20300 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿𝐵 ∧ (𝑘𝑙) ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑘𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
4541, 42, 44syl2an 595 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐶‘(𝑘𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
4625, 3ringcl 19234 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴𝑙) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘(𝑘𝑙)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
4733, 39, 45, 46syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
4847ralrimiva 3186 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
4925, 30, 31, 48gsummptcl 19010 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
5049ralrimiva 3186 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
511, 4, 37, 43, 18, 2, 26, 3, 20, 19ply1mulgsumlem3 44277 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))))) finSupp (0g𝑅))
5251adantr 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))))) finSupp (0g𝑅))
531, 4, 18, 22, 24, 25, 26, 27, 50, 52, 15gsummoncoe1 20392 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛) = 𝑛 / 𝑘(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))))
54 vex 3502 . . . . . 6 𝑛 ∈ V
55 csbov2g 7197 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ V → 𝑛 / 𝑘(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg 𝑛 / 𝑘(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))))
56 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
57 oveq2 7159 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → (0...𝑘) = (0...𝑛))
58 fvoveq1 7174 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = 𝑛 → (𝐶‘(𝑘𝑙)) = (𝐶‘(𝑛𝑙)))
5958oveq2d 7167 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) = ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))
6057, 59mpteq12dv 5147 . . . . . . . . . 10 (𝑘 = 𝑛 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))))
6160adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ V ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))))
6256, 61csbied 3922 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ V → 𝑛 / 𝑘(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))))
6362oveq2d 7167 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ V → (𝑅 Σg 𝑛 / 𝑘(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))))
6455, 63eqtrd 2860 . . . . . 6 (𝑛 ∈ V → 𝑛 / 𝑘(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))))
6554, 64mp1i 13 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 / 𝑘(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))))
66 fveq2 6666 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑖 → (𝐴𝑙) = (𝐴𝑖))
6737fveq1i 6667 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑖) = ((coe1𝐾)‘𝑖)
6866, 67syl6eq 2876 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑖 → (𝐴𝑙) = ((coe1𝐾)‘𝑖))
69 oveq2 7159 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑖 → (𝑛𝑙) = (𝑛𝑖))
7069fveq2d 6670 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑖 → (𝐶‘(𝑛𝑙)) = (𝐶‘(𝑛𝑖)))
7143fveq1i 6667 . . . . . . . . . 10 (𝐶‘(𝑛𝑖)) = ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))
7270, 71syl6eq 2876 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑖 → (𝐶‘(𝑛𝑙)) = ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖)))
7368, 72oveq12d 7169 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑖 → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))) = (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))
7473cbvmptv 5165 . . . . . . 7 (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))
7574a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖)))))
7675oveq2d 7167 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑛𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))))
7753, 65, 763eqtrrd 2865 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1𝐾)‘𝑖) ((coe1𝐿)‘(𝑛𝑖))))) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛))
787, 17, 773eqtrd 2864 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛))
7978ralrimiva 3186 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛))
801ply1ring 20336 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
814, 2ringcl 19234 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵)
8280, 81syl3an1 1157 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵)
83 eqid 2825 . . . 4 (0g𝑃) = (0g𝑃)
84 ringcmn 19254 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
8580, 84syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
86853ad2ant1 1127 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
87 nn0ex 11895 . . . . 5 0 ∈ V
8887a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → ℕ0 ∈ V)
891ply1lmod 20340 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
90893ad2ant1 1127 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
9190adantr 481 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
9229adantr 481 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CMnd)
93 fzfid 13334 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
94 simpll1 1206 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑅 ∈ Ring)
9534adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾𝐵)
9695, 36, 38syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
9740adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐿𝐵)
9897, 42, 44syl2an 595 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐶‘(𝑘𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
9994, 96, 98, 46syl3anc 1365 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
10099ralrimiva 3186 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
10125, 92, 93, 100gsummptcl 19010 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
10223adantr 481 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
1031ply1sca 20341 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
104102, 103syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
105104fveq2d 6670 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
106101, 105eleqtrd 2919 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
10720ringmgp 19226 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
10880, 107syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
1091083ad2ant1 1127 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑀 ∈ Mnd)
110109adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
111 simpr 485 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
11218, 1, 4vr1cl 20305 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → 𝑋𝐵)
1131123ad2ant1 1127 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → 𝑋𝐵)
114113adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋𝐵)
11520, 4mgpbas 19168 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
116115, 19mulgnn0cl 18177 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0𝑋𝐵) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐵)
117110, 111, 114, 116syl3anc 1365 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 𝑋) ∈ 𝐵)
118 eqid 2825 . . . . . . 7 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
119 eqid 2825 . . . . . . 7 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
1204, 118, 26, 119lmodvscl 19574 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑘 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
12191, 106, 117, 120syl3anc 1365 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)) ∈ 𝐵)
122121fmpttd 6874 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))):ℕ0𝐵)
1231, 4, 37, 43, 18, 2, 26, 3, 20, 19ply1mulgsumlem4 44278 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))) finSupp (0g𝑃))
1244, 83, 86, 88, 122, 123gsumcl 18958 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))) ∈ 𝐵)
125 eqid 2825 . . . 4 (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (coe1‘(𝐾 × 𝐿))
126 eqid 2825 . . . 4 (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))
1271, 4, 125, 126ply1coe1eq 20386 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))) ∈ 𝐵) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛) ↔ (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))))))
12823, 82, 124, 127syl3anc 1365 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))‘𝑛) ↔ (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋))))))
12979, 128mpbid 233 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾𝐵𝐿𝐵) → (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴𝑙) (𝐶‘(𝑘𝑙))))) · (𝑘 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wral 3142  Vcvv 3499  csb 3886   class class class wbr 5062  cmpt 5142  cfv 6351  (class class class)co 7151   finSupp cfsupp 8825  0cc0 10529  cmin 10862  0cn0 11889  ...cfz 12885  Basecbs 16476  .rcmulr 16559  Scalarcsca 16561   ·𝑠 cvsca 16562  0gc0g 16706   Σg cgsu 16707  Mndcmnd 17903  .gcmg 18157  CMndccmn 18829  mulGrpcmgp 19162  Ringcrg 19220  LModclmod 19557  var1cv1 20264  Poly1cpl1 20265  coe1cco1 20266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-int 4874  df-iun 4918  df-iin 4919  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-se 5513  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-isom 6360  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-of 7402  df-ofr 7403  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-supp 7825  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-2o 8097  df-oadd 8100  df-er 8282  df-map 8401  df-pm 8402  df-ixp 8454  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-fsupp 8826  df-oi 8966  df-card 9360  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12886  df-fzo 13027  df-seq 13363  df-hash 13684  df-struct 16478  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-sca 16574  df-vsca 16575  df-tset 16577  df-ple 16578  df-0g 16708  df-gsum 16709  df-mre 16850  df-mrc 16851  df-acs 16853  df-mgm 17845  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-mhm 17947  df-submnd 17948  df-grp 18039  df-minusg 18040  df-sbg 18041  df-mulg 18158  df-subg 18209  df-ghm 18289  df-cntz 18380  df-cmn 18831  df-abl 18832  df-mgp 19163  df-ur 19175  df-srg 19179  df-ring 19222  df-subrg 19456  df-lmod 19559  df-lss 19627  df-psr 20058  df-mvr 20059  df-mpl 20060  df-opsr 20062  df-psr1 20268  df-vr1 20269  df-ply1 20270  df-coe1 20271
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator