Theorem ply1mulgsum 48490

Description: The product of two polynomials expressed as group sum of scaled monomials. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1mulgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1mulgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1mulgsum.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
ply1mulgsum.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
ply1mulgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1mulgsum.pm	⊢ × = (.r‘𝑃)
ply1mulgsum.sm	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1mulgsum.rm	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
ply1mulgsum.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1mulgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ply1mulgsum	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐾,𝑙   𝐿,𝑙   𝑅,𝑙   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑅,𝑘   ∗ ,𝑘,𝑙   𝑘,𝑋   ↑ ,𝑘   · ,𝑘   𝑃,𝑘   ∗ ,𝑙

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑙)   · (𝑙)   × (𝑘,𝑙)   ↑ (𝑙)   𝑀(𝑘,𝑙)   𝑋(𝑙)

Proof of Theorem ply1mulgsum

Dummy variables 𝑛 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1mulgsum.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1mulgsum.pm	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑃)
3		ply1mulgsum.rm	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
4		ply1mulgsum.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	1, 2, 3, 4	coe1mul 22184	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))))))
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))))))
7	6	fveq1d 6824	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))))))‘𝑛))
8		eqidd 2732	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))))))
9		oveq2 7354	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (0...𝑚) = (0...𝑛))
10		fvoveq1 7369	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)) = ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖)))
11	10	oveq2d 7362	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))) = (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))
12	9, 11	mpteq12dv 5176	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖)))))
13	12	oveq2d 7362	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))))
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))))
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
16		ovexd 7381	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))) ∈ V)
17	8, 14, 15, 16	fvmptd 6936	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))))))‘𝑛) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))))
18		ply1mulgsum.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
19		ply1mulgsum.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
20		ply1mulgsum.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
21	20	fveq2i 6825	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝑀) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
22	19, 21	eqtri 2754	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
23		simp1 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
25		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26		ply1mulgsum.sm	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
27		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
28		ringcmn 20200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
29	28	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CMnd)
31		fzfid 13880	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
32		simpll1 1213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑅 ∈ Ring)
34		simp2 1137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ 𝐵)
35	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ 𝐵)
36		elfznn0 13520	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑘) → 𝑙 ∈ ℕ0)
37		ply1mulgsum.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
38	37, 4, 1, 25	coe1fvalcl 22125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
39	35, 36, 38	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴‘𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
40		simp3 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐿 ∈ 𝐵)
41	40	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ 𝐵)
42		fznn0sub 13456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑘) → (𝑘 − 𝑙) ∈ ℕ0)
43		ply1mulgsum.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
44	43, 4, 1, 25	coe1fvalcl 22125	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝐵 ∧ (𝑘 − 𝑙) ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
45	41, 42, 44	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
46	25, 3	ringcl 20168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝑙) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
47	33, 39, 45, 46	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
48	47	ralrimiva 3124	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
49	25, 30, 31, 48	gsummptcl 19879	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
50	49	ralrimiva 3124	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
51	1, 4, 37, 43, 18, 2, 26, 3, 20, 19	ply1mulgsumlem3 48488	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))))) finSupp (0g‘𝑅))
52	51	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))))) finSupp (0g‘𝑅))
53	1, 4, 18, 22, 24, 25, 26, 27, 50, 52, 15	gsummoncoe1 22223	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) = ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))))
54		vex 3440	. . . . . 6 ⊢ 𝑛 ∈ V
55		csbov2g 7394	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))))
56		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
57		oveq2 7354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (0...𝑘) = (0...𝑛))
58		fvoveq1 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) = (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))
59	58	oveq2d 7362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) = ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))
60	57, 59	mpteq12dv 5176	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
61	60	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ V ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
62	56, 61	csbied 3881	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
63	62	oveq2d 7362	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ V → (𝑅 Σg ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
64	55, 63	eqtrd 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
65	54, 64	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
66		fveq2 6822	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐴‘𝑙) = (𝐴‘𝑖))
67	37	fveq1i 6823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴‘𝑖) = ((coe1‘𝐾)‘𝑖)
68	66, 67	eqtrdi 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐴‘𝑙) = ((coe1‘𝐾)‘𝑖))
69		oveq2 7354	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑛 − 𝑙) = (𝑛 − 𝑖))
70	69	fveq2d 6826	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)) = (𝐶‘(𝑛 − 𝑖)))
71	43	fveq1i 6823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶‘(𝑛 − 𝑖)) = ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))
72	70, 71	eqtrdi 2782	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)) = ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖)))
73	68, 72	oveq12d 7364	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))) = (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))
74	73	cbvmptv 5193	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))
75	74	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖)))))
76	75	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))))
77	53, 65, 76	3eqtrrd 2771	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
78	7, 17, 77	3eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
79	78	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
80	1	ply1ring 22160	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
81	4, 2	ringcl 20168	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵)
82	80, 81	syl3an1 1163	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵)
83		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
84		ringcmn 20200	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
85	80, 84	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
86	85	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
87		nn0ex 12387	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
88	87	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
89	1	ply1lmod 22164	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
90	89	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
91	90	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
92	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CMnd)
93		fzfid 13880	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
94		simpll1 1213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑅 ∈ Ring)
95	34	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ 𝐵)
96	95, 36, 38	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴‘𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
97	40	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ 𝐵)
98	97, 42, 44	syl2an 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
99	94, 96, 98, 46	syl3anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
100	99	ralrimiva 3124	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
101	25, 92, 93, 100	gsummptcl 19879	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
102	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
103	1	ply1sca 22165	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
105	104	fveq2d 6826	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
106	101, 105	eleqtrd 2833	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
107	20, 4	mgpbas 20063	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
108	20	ringmgp 20157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
109	80, 108	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
110	109	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ Mnd)
111	110	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
112		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
113	18, 1, 4	vr1cl 22130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
114	113	3ad2ant1 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
115	114	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
116	107, 19, 111, 112, 115	mulgnn0cld 19008	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
117		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
118		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
119	4, 117, 26, 118	lmodvscl 20811	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
120	91, 106, 116, 119	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
121	120	fmpttd 7048	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐵)
122	1, 4, 37, 43, 18, 2, 26, 3, 20, 19	ply1mulgsumlem4 48489	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))
123	4, 83, 86, 88, 121, 122	gsumcl 19827	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐵)
124		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (coe1‘(𝐾 × 𝐿))
125		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
126	1, 4, 124, 125	ply1coe1eq 22215	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐵) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) ↔ (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))))))
127	23, 82, 123, 126	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) ↔ (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))))))
128	79, 127	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436  ⦋csb 3845   class class class wbr 5089   ↦ cmpt 5170  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346   finSupp cfsupp 9245  0cc0 11006   − cmin 11344  ℕ₀cn0 12381  ...cfz 13407  Basecbs 17120  ._rcmulr 17162  Scalarcsca 17164   ·_𝑠 cvsca 17165  0_gc0g 17343   Σ_g cgsu 17344  Mndcmnd 18642  ._gcmg 18980  CMndccmn 19692  mulGrpcmgp 20058  Ringcrg 20151  LModclmod 20793  var₁cv1 22088  Poly₁cpl1 22089  coe₁cco1 22090

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-se 5568  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-ofr 7611  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8091  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-pm 8753  df-ixp 8822  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-fsupp 9246  df-sup 9326  df-oi 9396  df-card 9832  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-7 12193  df-8 12194  df-9 12195  df-n0 12382  df-z 12469  df-dec 12589  df-uz 12733  df-fz 13408  df-fzo 13555  df-seq 13909  df-hash 14238  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-ip 17179  df-tset 17180  df-ple 17181  df-ds 17183  df-hom 17185  df-cco 17186  df-0g 17345  df-gsum 17346  df-prds 17351  df-pws 17353  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-mhm 18691  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-mulg 18981  df-subg 19036  df-ghm 19125  df-cntz 19229  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-srg 20105  df-ring 20153  df-subrng 20461  df-subrg 20485  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-psr 21846  df-mvr 21847  df-mpl 21848  df-opsr 21850  df-psr1 22092  df-vr1 22093  df-ply1 22094  df-coe1 22095

This theorem is referenced by: (None)