Theorem ply1mulgsum 48703

Description: The product of two polynomials expressed as group sum of scaled monomials. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1mulgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1mulgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1mulgsum.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
ply1mulgsum.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
ply1mulgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1mulgsum.pm	⊢ × = (.r‘𝑃)
ply1mulgsum.sm	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1mulgsum.rm	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
ply1mulgsum.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1mulgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ply1mulgsum	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐾,𝑙   𝐿,𝑙   𝑅,𝑙   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑅,𝑘   ∗ ,𝑘,𝑙   𝑘,𝑋   ↑ ,𝑘   · ,𝑘   𝑃,𝑘   ∗ ,𝑙

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑙)   · (𝑙)   × (𝑘,𝑙)   ↑ (𝑙)   𝑀(𝑘,𝑙)   𝑋(𝑙)

Proof of Theorem ply1mulgsum

Dummy variables 𝑛 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1mulgsum.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1mulgsum.pm	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑃)
3		ply1mulgsum.rm	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
4		ply1mulgsum.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	1, 2, 3, 4	coe1mul 22216	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))))))
6	5	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))))))
7	6	fveq1d 6837	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))))))‘𝑛))
8		eqidd 2738	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))))))
9		oveq2 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (0...𝑚) = (0...𝑛))
10		fvoveq1 7383	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)) = ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖)))
11	10	oveq2d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))) = (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))
12	9, 11	mpteq12dv 5186	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖)))))
13	12	oveq2d 7376	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))))
14	13	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))))
15		simpr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
16		ovexd 7395	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))) ∈ V)
17	8, 14, 15, 16	fvmptd 6950	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))))))‘𝑛) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))))
18		ply1mulgsum.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
19		ply1mulgsum.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
20		ply1mulgsum.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
21	20	fveq2i 6838	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝑀) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
22	19, 21	eqtri 2760	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
23		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
25		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26		ply1mulgsum.sm	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
27		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
28		ringcmn 20221	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
29	28	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
30	29	ad2antrr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CMnd)
31		fzfid 13900	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
32		simpll1 1214	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
33	32	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑅 ∈ Ring)
34		simp2 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ 𝐵)
35	34	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ 𝐵)
36		elfznn0 13540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑘) → 𝑙 ∈ ℕ0)
37		ply1mulgsum.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
38	37, 4, 1, 25	coe1fvalcl 22157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
39	35, 36, 38	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴‘𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
40		simp3 1139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐿 ∈ 𝐵)
41	40	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ 𝐵)
42		fznn0sub 13476	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑘) → (𝑘 − 𝑙) ∈ ℕ0)
43		ply1mulgsum.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
44	43, 4, 1, 25	coe1fvalcl 22157	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝐵 ∧ (𝑘 − 𝑙) ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
45	41, 42, 44	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
46	25, 3	ringcl 20189	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝑙) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
47	33, 39, 45, 46	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
48	47	ralrimiva 3129	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
49	25, 30, 31, 48	gsummptcl 19900	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
50	49	ralrimiva 3129	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
51	1, 4, 37, 43, 18, 2, 26, 3, 20, 19	ply1mulgsumlem3 48701	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))))) finSupp (0g‘𝑅))
52	51	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))))) finSupp (0g‘𝑅))
53	1, 4, 18, 22, 24, 25, 26, 27, 50, 52, 15	gsummoncoe1 22256	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) = ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))))
54		vex 3445	. . . . . 6 ⊢ 𝑛 ∈ V
55		csbov2g 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))))
56		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
57		oveq2 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (0...𝑘) = (0...𝑛))
58		fvoveq1 7383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) = (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))
59	58	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) = ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))
60	57, 59	mpteq12dv 5186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
61	60	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ V ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
62	56, 61	csbied 3886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
63	62	oveq2d 7376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ V → (𝑅 Σg ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
64	55, 63	eqtrd 2772	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
65	54, 64	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
66		fveq2 6835	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐴‘𝑙) = (𝐴‘𝑖))
67	37	fveq1i 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴‘𝑖) = ((coe1‘𝐾)‘𝑖)
68	66, 67	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐴‘𝑙) = ((coe1‘𝐾)‘𝑖))
69		oveq2 7368	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑛 − 𝑙) = (𝑛 − 𝑖))
70	69	fveq2d 6839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)) = (𝐶‘(𝑛 − 𝑖)))
71	43	fveq1i 6836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶‘(𝑛 − 𝑖)) = ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))
72	70, 71	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)) = ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖)))
73	68, 72	oveq12d 7378	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))) = (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))
74	73	cbvmptv 5203	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))
75	74	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖)))))
76	75	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))))
77	53, 65, 76	3eqtrrd 2777	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
78	7, 17, 77	3eqtrd 2776	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
79	78	ralrimiva 3129	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
80	1	ply1ring 22192	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
81	4, 2	ringcl 20189	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵)
82	80, 81	syl3an1 1164	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵)
83		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
84		ringcmn 20221	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
85	80, 84	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
86	85	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
87		nn0ex 12411	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
88	87	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
89	1	ply1lmod 22196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
90	89	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
91	90	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
92	29	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CMnd)
93		fzfid 13900	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
94		simpll1 1214	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑅 ∈ Ring)
95	34	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ 𝐵)
96	95, 36, 38	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴‘𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
97	40	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ 𝐵)
98	97, 42, 44	syl2an 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
99	94, 96, 98, 46	syl3anc 1374	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
100	99	ralrimiva 3129	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
101	25, 92, 93, 100	gsummptcl 19900	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
102	23	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
103	1	ply1sca 22197	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
105	104	fveq2d 6839	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
106	101, 105	eleqtrd 2839	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
107	20, 4	mgpbas 20084	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
108	20	ringmgp 20178	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
109	80, 108	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
110	109	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ Mnd)
111	110	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
112		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
113	18, 1, 4	vr1cl 22162	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
114	113	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
115	114	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
116	107, 19, 111, 112, 115	mulgnn0cld 19029	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
117		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
118		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
119	4, 117, 26, 118	lmodvscl 20833	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
120	91, 106, 116, 119	syl3anc 1374	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
121	120	fmpttd 7062	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐵)
122	1, 4, 37, 43, 18, 2, 26, 3, 20, 19	ply1mulgsumlem4 48702	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))
123	4, 83, 86, 88, 121, 122	gsumcl 19848	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐵)
124		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (coe1‘(𝐾 × 𝐿))
125		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
126	1, 4, 124, 125	ply1coe1eq 22248	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐵) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) ↔ (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))))))
127	23, 82, 123, 126	syl3anc 1374	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) ↔ (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))))))
128	79, 127	mpbid 232	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3052  Vcvv 3441  ⦋csb 3850   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   finSupp cfsupp 9268  0cc0 11030   − cmin 11368  ℕ₀cn0 12405  ...cfz 13427  Basecbs 17140  ._rcmulr 17182  Scalarcsca 17184   ·_𝑠 cvsca 17185  0_gc0g 17363   Σ_g cgsu 17364  Mndcmnd 18663  ._gcmg 19001  CMndccmn 19713  mulGrpcmgp 20079  Ringcrg 20172  LModclmod 20815  var₁cv1 22120  Poly₁cpl1 22121  coe₁cco1 22122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-ofr 7625  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9855  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-9 12219  df-n0 12406  df-z 12493  df-dec 12612  df-uz 12756  df-fz 13428  df-fzo 13575  df-seq 13929  df-hash 14258  df-struct 17078  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-ress 17162  df-plusg 17194  df-mulr 17195  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-tset 17200  df-ple 17201  df-ds 17203  df-hom 17205  df-cco 17206  df-0g 17365  df-gsum 17366  df-prds 17371  df-pws 17373  df-mre 17509  df-mrc 17510  df-acs 17512  df-mgm 18569  df-sgrp 18648  df-mnd 18664  df-mhm 18712  df-submnd 18713  df-grp 18870  df-minusg 18871  df-sbg 18872  df-mulg 19002  df-subg 19057  df-ghm 19146  df-cntz 19250  df-cmn 19715  df-abl 19716  df-mgp 20080  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-subrng 20483  df-subrg 20507  df-lmod 20817  df-lss 20887  df-psr 21869  df-mvr 21870  df-mpl 21871  df-opsr 21873  df-psr1 22124  df-vr1 22125  df-ply1 22126  df-coe1 22127

This theorem is referenced by: (None)