Theorem ply1mulgsum 45249

Description: The product of two polynomials expressed as group sum of scaled monomials. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1mulgsum.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
ply1mulgsum.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ply1mulgsum.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
ply1mulgsum.c	⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
ply1mulgsum.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
ply1mulgsum.pm	⊢ × = (.r‘𝑃)
ply1mulgsum.sm	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
ply1mulgsum.rm	⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
ply1mulgsum.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
ply1mulgsum.e	⊢ ↑ = (.g‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
ply1mulgsum	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝐵,𝑙   𝐶,𝑙   𝐾,𝑙   𝐿,𝑙   𝑅,𝑙   𝐴,𝑘   𝐵,𝑘   𝐶,𝑘   𝑘,𝐾   𝑘,𝐿   𝑅,𝑘   ∗ ,𝑘,𝑙   𝑘,𝑋   ↑ ,𝑘   · ,𝑘   𝑃,𝑘   ∗ ,𝑙

Allowed substitution hints:   𝑃(𝑙)   · (𝑙)   × (𝑘,𝑙)   ↑ (𝑙)   𝑀(𝑘,𝑙)   𝑋(𝑙)

Proof of Theorem ply1mulgsum

Dummy variables 𝑛 𝑖 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1mulgsum.p	. . . . . . 7 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
2		ply1mulgsum.pm	. . . . . . 7 ⊢ × = (.r‘𝑃)
3		ply1mulgsum.rm	. . . . . . 7 ⊢ ∗ = (.r‘𝑅)
4		ply1mulgsum.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5	1, 2, 3, 4	coe1mul 21038	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))))))
6	5	adantr 484	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))))))
7	6	fveq1d 6670	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))))))‘𝑛))
8		eqidd 2739	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))))) = (𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))))))
9		oveq2 7172	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (0...𝑚) = (0...𝑛))
10		fvoveq1 7187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)) = ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖)))
11	10	oveq2d 7180	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))) = (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))
12	9, 11	mpteq12dv 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖)))))
13	12	oveq2d 7180	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑛 → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))))
14	13	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑚 = 𝑛) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))))
15		simpr 488	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑛 ∈ ℕ0)
16		ovexd 7199	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))) ∈ V)
17	8, 14, 15, 16	fvmptd 6776	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((𝑚 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑚) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑚 − 𝑖))))))‘𝑛) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))))
18		ply1mulgsum.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝑅)
19		ply1mulgsum.e	. . . . . . 7 ⊢ ↑ = (.g‘𝑀)
20		ply1mulgsum.m	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑃)
21	20	fveq2i 6671	. . . . . . 7 ⊢ (.g‘𝑀) = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
22	19, 21	eqtri 2761	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑃))
23		simp1 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
24	23	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
25		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
26		ply1mulgsum.sm	. . . . . 6 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
27		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
28		ringcmn 19446	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
29	28	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ CMnd)
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CMnd)
31		fzfid 13425	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
32		simpll1 1213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
33	32	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑅 ∈ Ring)
34		simp2 1138	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ 𝐵)
35	34	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ 𝐵)
36		elfznn0 13084	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑘) → 𝑙 ∈ ℕ0)
37		ply1mulgsum.a	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐾)
38	37, 4, 1, 25	coe1fvalcl 20980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝑙 ∈ ℕ0) → (𝐴‘𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
39	35, 36, 38	syl2an 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴‘𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
40		simp3 1139	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝐿 ∈ 𝐵)
41	40	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ 𝐵)
42		fznn0sub 13023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑘) → (𝑘 − 𝑙) ∈ ℕ0)
43		ply1mulgsum.c	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐶 = (coe1‘𝐿)
44	43, 4, 1, 25	coe1fvalcl 20980	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿 ∈ 𝐵 ∧ (𝑘 − 𝑙) ∈ ℕ0) → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
45	41, 42, 44	syl2an 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
46	25, 3	ringcl 19426	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐴‘𝑙) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
47	33, 39, 45, 46	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
48	47	ralrimiva 3096	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
49	25, 30, 31, 48	gsummptcl 19199	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
50	49	ralrimiva 3096	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
51	1, 4, 37, 43, 18, 2, 26, 3, 20, 19	ply1mulgsumlem3 45247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))))) finSupp (0g‘𝑅))
52	51	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))))) finSupp (0g‘𝑅))
53	1, 4, 18, 22, 24, 25, 26, 27, 50, 52, 15	gsummoncoe1 21072	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) = ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))))
54		vex 3401	. . . . . 6 ⊢ 𝑛 ∈ V
55		csbov2g 7210	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))))
56		id 22	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑛 ∈ V → 𝑛 ∈ V)
57		oveq2 7172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (0...𝑘) = (0...𝑛))
58		fvoveq1 7187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) = (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))
59	58	oveq2d 7180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) = ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))
60	57, 59	mpteq12dv 5112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 = 𝑛 → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
61	60	adantl 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑛 ∈ V ∧ 𝑘 = 𝑛) → (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
62	56, 61	csbied 3824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))))
63	62	oveq2d 7180	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 ∈ V → (𝑅 Σg ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
64	55, 63	eqtrd 2773	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 ∈ V → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
65	54, 64	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ⦋𝑛 / 𝑘⦌(𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))))
66		fveq2 6668	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐴‘𝑙) = (𝐴‘𝑖))
67	37	fveq1i 6669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴‘𝑖) = ((coe1‘𝐾)‘𝑖)
68	66, 67	eqtrdi 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐴‘𝑙) = ((coe1‘𝐾)‘𝑖))
69		oveq2 7172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝑛 − 𝑙) = (𝑛 − 𝑖))
70	69	fveq2d 6672	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)) = (𝐶‘(𝑛 − 𝑖)))
71	43	fveq1i 6669	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶‘(𝑛 − 𝑖)) = ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))
72	70, 71	eqtrdi 2789	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)) = ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖)))
73	68, 72	oveq12d 7182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑙 = 𝑖 → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))) = (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))
74	73	cbvmptv 5130	. . . . . . 7 ⊢ (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))
75	74	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖)))))
76	75	oveq2d 7180	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑛 − 𝑙))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))))
77	53, 65, 76	3eqtrrd 2778	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1‘𝐾)‘𝑖) ∗ ((coe1‘𝐿)‘(𝑛 − 𝑖))))) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
78	7, 17, 77	3eqtrd 2777	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
79	78	ralrimiva 3096	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛))
80	1	ply1ring 21016	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ Ring)
81	4, 2	ringcl 19426	. . . 4 ⊢ ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵)
82	80, 81	syl3an1 1164	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵)
83		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑃) = (0g‘𝑃)
84		ringcmn 19446	. . . . . 6 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
85	80, 84	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ CMnd)
86	85	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ CMnd)
87		nn0ex 11975	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
88	87	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → ℕ0 ∈ V)
89	1	ply1lmod 21020	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑃 ∈ LMod)
90	89	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑃 ∈ LMod)
91	90	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑃 ∈ LMod)
92	29	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ CMnd)
93		fzfid 13425	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (0...𝑘) ∈ Fin)
94		simpll1 1213	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → 𝑅 ∈ Ring)
95	34	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ 𝐵)
96	95, 36, 38	syl2an 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐴‘𝑙) ∈ (Base‘𝑅))
97	40	adantr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝐿 ∈ 𝐵)
98	97, 42, 44	syl2an 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → (𝐶‘(𝑘 − 𝑙)) ∈ (Base‘𝑅))
99	94, 96, 98, 46	syl3anc 1372	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) ∧ 𝑙 ∈ (0...𝑘)) → ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
100	99	ralrimiva 3096	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ∀𝑙 ∈ (0...𝑘)((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))) ∈ (Base‘𝑅))
101	25, 92, 93, 100	gsummptcl 19199	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘𝑅))
102	23	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
103	1	ply1sca 21021	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
104	102, 103	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
105	104	fveq2d 6672	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
106	101, 105	eleqtrd 2835	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
107	20	ringmgp 19415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑃 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
108	80, 107	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
109	108	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑀 ∈ Mnd)
110	109	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ Mnd)
111		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
112	18, 1, 4	vr1cl 20985	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑋 ∈ 𝐵)
113	112	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
114	113	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑋 ∈ 𝐵)
115	20, 4	mgpbas 19357	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
116	115, 19	mulgnn0cl 18355	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑘 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
117	110, 111, 114, 116	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵)
118		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
119		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
120	4, 118, 26, 119	lmodvscl 19763	. . . . . 6 ⊢ ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ (𝑘 ↑ 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
121	91, 106, 117, 120	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)) ∈ 𝐵)
122	121	fmpttd 6883	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))):ℕ0⟶𝐵)
123	1, 4, 37, 43, 18, 2, 26, 3, 20, 19	ply1mulgsumlem4 45248	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))) finSupp (0g‘𝑃))
124	4, 83, 86, 88, 122, 123	gsumcl 19147	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐵)
125		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝐾 × 𝐿)) = (coe1‘(𝐾 × 𝐿))
126		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))))) = (coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))
127	1, 4, 125, 126	ply1coe1eq 21066	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾 × 𝐿) ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐵) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) ↔ (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))))))
128	23, 82, 124, 127	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (∀𝑛 ∈ ℕ0 ((coe1‘(𝐾 × 𝐿))‘𝑛) = ((coe1‘(𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝑛) ↔ (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋))))))
129	79, 128	mpbid 235	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐵 ∧ 𝐿 ∈ 𝐵) → (𝐾 × 𝐿) = (𝑃 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑅 Σg (𝑙 ∈ (0...𝑘) ↦ ((𝐴‘𝑙) ∗ (𝐶‘(𝑘 − 𝑙))))) · (𝑘 ↑ 𝑋)))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2113  ∀wral 3053  Vcvv 3397  ⦋csb 3788   class class class wbr 5027   ↦ cmpt 5107  ‘cfv 6333  (class class class)co 7164   finSupp cfsupp 8899  0cc0 10608   − cmin 10941  ℕ₀cn0 11969  ...cfz 12974  Basecbs 16579  ._rcmulr 16662  Scalarcsca 16664   ·_𝑠 cvsca 16665  0_gc0g 16809   Σ_g cgsu 16810  Mndcmnd 18020  ._gcmg 18335  CMndccmn 19017  mulGrpcmgp 19351  Ringcrg 19409  LModclmod 19746  var₁cv1 20944  Poly₁cpl1 20945  coe₁cco1 20946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2019  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2710  ax-rep 5151  ax-sep 5164  ax-nul 5171  ax-pow 5229  ax-pr 5293  ax-un 7473  ax-cnex 10664  ax-resscn 10665  ax-1cn 10666  ax-icn 10667  ax-addcl 10668  ax-addrcl 10669  ax-mulcl 10670  ax-mulrcl 10671  ax-mulcom 10672  ax-addass 10673  ax-mulass 10674  ax-distr 10675  ax-i2m1 10676  ax-1ne0 10677  ax-1rid 10678  ax-rnegex 10679  ax-rrecex 10680  ax-cnre 10681  ax-pre-lttri 10682  ax-pre-lttrn 10683  ax-pre-ltadd 10684  ax-pre-mulgt0 10685

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3399  df-sbc 3680  df-csb 3789  df-dif 3844  df-un 3846  df-in 3848  df-ss 3858  df-pss 3860  df-nul 4210  df-if 4412  df-pw 4487  df-sn 4514  df-pr 4516  df-tp 4518  df-op 4520  df-uni 4794  df-int 4834  df-iun 4880  df-iin 4881  df-br 5028  df-opab 5090  df-mpt 5108  df-tr 5134  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6335  df-fn 6336  df-f 6337  df-f1 6338  df-fo 6339  df-f1o 6340  df-fv 6341  df-isom 6342  df-riota 7121  df-ov 7167  df-oprab 7168  df-mpo 7169  df-of 7419  df-ofr 7420  df-om 7594  df-1st 7707  df-2nd 7708  df-supp 7850  df-wrecs 7969  df-recs 8030  df-rdg 8068  df-1o 8124  df-er 8313  df-map 8432  df-pm 8433  df-ixp 8501  df-en 8549  df-dom 8550  df-sdom 8551  df-fin 8552  df-fsupp 8900  df-oi 9040  df-card 9434  df-pnf 10748  df-mnf 10749  df-xr 10750  df-ltxr 10751  df-le 10752  df-sub 10943  df-neg 10944  df-nn 11710  df-2 11772  df-3 11773  df-4 11774  df-5 11775  df-6 11776  df-7 11777  df-8 11778  df-9 11779  df-n0 11970  df-z 12056  df-dec 12173  df-uz 12318  df-fz 12975  df-fzo 13118  df-seq 13454  df-hash 13776  df-struct 16581  df-ndx 16582  df-slot 16583  df-base 16585  df-sets 16586  df-ress 16587  df-plusg 16674  df-mulr 16675  df-sca 16677  df-vsca 16678  df-tset 16680  df-ple 16681  df-0g 16811  df-gsum 16812  df-mre 16953  df-mrc 16954  df-acs 16956  df-mgm 17961  df-sgrp 18010  df-mnd 18021  df-mhm 18065  df-submnd 18066  df-grp 18215  df-minusg 18216  df-sbg 18217  df-mulg 18336  df-subg 18387  df-ghm 18467  df-cntz 18558  df-cmn 19019  df-abl 19020  df-mgp 19352  df-ur 19364  df-srg 19368  df-ring 19411  df-subrg 19645  df-lmod 19748  df-lss 19816  df-psr 20715  df-mvr 20716  df-mpl 20717  df-opsr 20719  df-psr1 20948  df-vr1 20949  df-ply1 20950  df-coe1 20951

This theorem is referenced by: (None)