Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1mulgsum Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ply1mulgsum 47569
Description: The product of two polynomials expressed as group sum of scaled monomials. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1mulgsum.p 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
ply1mulgsum.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
ply1mulgsum.a 𝐴 = (coe1β€˜πΎ)
ply1mulgsum.c 𝐢 = (coe1β€˜πΏ)
ply1mulgsum.x 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
ply1mulgsum.pm Γ— = (.rβ€˜π‘ƒ)
ply1mulgsum.sm Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
ply1mulgsum.rm βˆ— = (.rβ€˜π‘…)
ply1mulgsum.m 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
ply1mulgsum.e ↑ = (.gβ€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
ply1mulgsum ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Γ— 𝐿) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑙   𝐡,𝑙   𝐢,𝑙   𝐾,𝑙   𝐿,𝑙   𝑅,𝑙   𝐴,π‘˜   𝐡,π‘˜   𝐢,π‘˜   π‘˜,𝐾   π‘˜,𝐿   𝑅,π‘˜   βˆ— ,π‘˜,𝑙   π‘˜,𝑋   ↑ ,π‘˜   Β· ,π‘˜   𝑃,π‘˜   βˆ— ,𝑙
Allowed substitution hints:   𝑃(𝑙)   Β· (𝑙)   Γ— (π‘˜,𝑙)   ↑ (𝑙)   𝑀(π‘˜,𝑙)   𝑋(𝑙)

Proof of Theorem ply1mulgsum
Dummy variables 𝑛 𝑖 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ply1mulgsum.p . . . . . . 7 𝑃 = (Poly1β€˜π‘…)
2 ply1mulgsum.pm . . . . . . 7 Γ— = (.rβ€˜π‘ƒ)
3 ply1mulgsum.rm . . . . . . 7 βˆ— = (.rβ€˜π‘…)
4 ply1mulgsum.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘ƒ)
51, 2, 3, 4coe1mul 22196 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜(𝐾 Γ— 𝐿)) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...π‘š) ↦ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(π‘š βˆ’ 𝑖)))))))
65adantr 479 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (coe1β€˜(𝐾 Γ— 𝐿)) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...π‘š) ↦ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(π‘š βˆ’ 𝑖)))))))
76fveq1d 6893 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜(𝐾 Γ— 𝐿))β€˜π‘›) = ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...π‘š) ↦ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(π‘š βˆ’ 𝑖))))))β€˜π‘›))
8 eqidd 2726 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...π‘š) ↦ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(π‘š βˆ’ 𝑖)))))) = (π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...π‘š) ↦ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(π‘š βˆ’ 𝑖)))))))
9 oveq2 7423 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ (0...π‘š) = (0...𝑛))
10 fvoveq1 7438 . . . . . . . . 9 (π‘š = 𝑛 β†’ ((coe1β€˜πΏ)β€˜(π‘š βˆ’ 𝑖)) = ((coe1β€˜πΏ)β€˜(𝑛 βˆ’ 𝑖)))
1110oveq2d 7431 . . . . . . . 8 (π‘š = 𝑛 β†’ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(π‘š βˆ’ 𝑖))) = (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(𝑛 βˆ’ 𝑖))))
129, 11mpteq12dv 5234 . . . . . . 7 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑖 ∈ (0...π‘š) ↦ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(π‘š βˆ’ 𝑖)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(𝑛 βˆ’ 𝑖)))))
1312oveq2d 7431 . . . . . 6 (π‘š = 𝑛 β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...π‘š) ↦ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(π‘š βˆ’ 𝑖))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(𝑛 βˆ’ 𝑖))))))
1413adantl 480 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘š = 𝑛) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...π‘š) ↦ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(π‘š βˆ’ 𝑖))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(𝑛 βˆ’ 𝑖))))))
15 simpr 483 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
16 ovexd 7450 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(𝑛 βˆ’ 𝑖))))) ∈ V)
178, 14, 15, 16fvmptd 7006 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((π‘š ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...π‘š) ↦ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(π‘š βˆ’ 𝑖))))))β€˜π‘›) = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(𝑛 βˆ’ 𝑖))))))
18 ply1mulgsum.x . . . . . 6 𝑋 = (var1β€˜π‘…)
19 ply1mulgsum.e . . . . . . 7 ↑ = (.gβ€˜π‘€)
20 ply1mulgsum.m . . . . . . . 8 𝑀 = (mulGrpβ€˜π‘ƒ)
2120fveq2i 6894 . . . . . . 7 (.gβ€˜π‘€) = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
2219, 21eqtri 2753 . . . . . 6 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘ƒ))
23 simp1 1133 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2423adantr 479 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
25 eqid 2725 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
26 ply1mulgsum.sm . . . . . 6 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
27 eqid 2725 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
28 ringcmn 20220 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
29283ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
3029ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
31 fzfid 13968 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (0...π‘˜) ∈ Fin)
32 simpll1 1209 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3332adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
34 simp2 1134 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ 𝐡)
3534ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ 𝐡)
36 elfznn0 13624 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 ∈ (0...π‘˜) β†’ 𝑙 ∈ β„•0)
37 ply1mulgsum.a . . . . . . . . . . . 12 𝐴 = (coe1β€˜πΎ)
3837, 4, 1, 25coe1fvalcl 22138 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝑙 ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜π‘™) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
3935, 36, 38syl2an 594 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ (π΄β€˜π‘™) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
40 simp3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ 𝐿 ∈ 𝐡)
4140ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐿 ∈ 𝐡)
42 fznn0sub 13563 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 ∈ (0...π‘˜) β†’ (π‘˜ βˆ’ 𝑙) ∈ β„•0)
43 ply1mulgsum.c . . . . . . . . . . . 12 𝐢 = (coe1β€˜πΏ)
4443, 4, 1, 25coe1fvalcl 22138 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿 ∈ 𝐡 ∧ (π‘˜ βˆ’ 𝑙) ∈ β„•0) β†’ (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4541, 42, 44syl2an 594 . . . . . . . . . 10 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4625, 3ringcl 20192 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π΄β€˜π‘™) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4733, 39, 45, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 (((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4847ralrimiva 3136 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘™ ∈ (0...π‘˜)((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
4925, 30, 31, 48gsummptcl 19924 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5049ralrimiva 3136 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„•0 (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
511, 4, 37, 43, 18, 2, 26, 3, 20, 19ply1mulgsumlem3 47567 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
5251adantr 479 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)))))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
531, 4, 18, 22, 24, 25, 26, 27, 50, 52, 15gsummoncoe1 22234 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜π‘›) = ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))))
54 vex 3467 . . . . . 6 𝑛 ∈ V
55 csbov2g 7462 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) = (𝑅 Ξ£g ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))))
56 id 22 . . . . . . . . 9 (𝑛 ∈ V β†’ 𝑛 ∈ V)
57 oveq2 7423 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (0...π‘˜) = (0...𝑛))
58 fvoveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)) = (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙)))
5958oveq2d 7431 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = 𝑛 β†’ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))) = ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))
6057, 59mpteq12dv 5234 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ = 𝑛 β†’ (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙)))))
6160adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑛 ∈ V ∧ π‘˜ = 𝑛) β†’ (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙)))))
6256, 61csbied 3923 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)))) = (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙)))))
6362oveq2d 7431 . . . . . . 7 (𝑛 ∈ V β†’ (𝑅 Ξ£g ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))))
6455, 63eqtrd 2765 . . . . . 6 (𝑛 ∈ V β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))))
6554, 64mp1i 13 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ⦋𝑛 / π‘˜β¦Œ(𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))))
66 fveq2 6891 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑖 β†’ (π΄β€˜π‘™) = (π΄β€˜π‘–))
6737fveq1i 6892 . . . . . . . . . 10 (π΄β€˜π‘–) = ((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–)
6866, 67eqtrdi 2781 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑖 β†’ (π΄β€˜π‘™) = ((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–))
69 oveq2 7423 . . . . . . . . . . 11 (𝑙 = 𝑖 β†’ (𝑛 βˆ’ 𝑙) = (𝑛 βˆ’ 𝑖))
7069fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (𝑙 = 𝑖 β†’ (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙)) = (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑖)))
7143fveq1i 6892 . . . . . . . . . 10 (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑖)) = ((coe1β€˜πΏ)β€˜(𝑛 βˆ’ 𝑖))
7270, 71eqtrdi 2781 . . . . . . . . 9 (𝑙 = 𝑖 β†’ (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙)) = ((coe1β€˜πΏ)β€˜(𝑛 βˆ’ 𝑖)))
7368, 72oveq12d 7433 . . . . . . . 8 (𝑙 = 𝑖 β†’ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))) = (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(𝑛 βˆ’ 𝑖))))
7473cbvmptv 5256 . . . . . . 7 (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(𝑛 βˆ’ 𝑖))))
7574a1i 11 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙)))) = (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(𝑛 βˆ’ 𝑖)))))
7675oveq2d 7431 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...𝑛) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(𝑛 βˆ’ 𝑙))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(𝑛 βˆ’ 𝑖))))))
7753, 65, 763eqtrrd 2770 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ (0...𝑛) ↦ (((coe1β€˜πΎ)β€˜π‘–) βˆ— ((coe1β€˜πΏ)β€˜(𝑛 βˆ’ 𝑖))))) = ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜π‘›))
787, 17, 773eqtrd 2769 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜(𝐾 Γ— 𝐿))β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜π‘›))
7978ralrimiva 3136 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((coe1β€˜(𝐾 Γ— 𝐿))β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜π‘›))
801ply1ring 22173 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ Ring)
814, 2ringcl 20192 . . . 4 ((𝑃 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Γ— 𝐿) ∈ 𝐡)
8280, 81syl3an1 1160 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Γ— 𝐿) ∈ 𝐡)
83 eqid 2725 . . . 4 (0gβ€˜π‘ƒ) = (0gβ€˜π‘ƒ)
84 ringcmn 20220 . . . . . 6 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
8580, 84syl 17 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
86853ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ CMnd)
87 nn0ex 12506 . . . . 5 β„•0 ∈ V
8887a1i 11 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ β„•0 ∈ V)
891ply1lmod 22177 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑃 ∈ LMod)
90893ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
9190adantr 479 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
9229adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
93 fzfid 13968 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (0...π‘˜) ∈ Fin)
94 simpll1 1209 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9534adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐾 ∈ 𝐡)
9695, 36, 38syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ (π΄β€˜π‘™) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
9740adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝐿 ∈ 𝐡)
9897, 42, 44syl2an 594 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
9994, 96, 98, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑙 ∈ (0...π‘˜)) β†’ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
10099ralrimiva 3136 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ βˆ€π‘™ ∈ (0...π‘˜)((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
10125, 92, 93, 100gsummptcl 19924 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
10223adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1031ply1sca 22178 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
104102, 103syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
105104fveq2d 6895 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
106101, 105eleqtrd 2827 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
10720, 4mgpbas 20082 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
10820ringmgp 20181 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ Ring β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
10980, 108syl 17 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
1101093ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
111110adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
112 simpr 483 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
11318, 1, 4vr1cl 22143 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
1141133ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
115114adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
116107, 19, 111, 112, 115mulgnn0cld 19052 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐡)
117 eqid 2725 . . . . . . 7 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
118 eqid 2725 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
1194, 117, 26, 118lmodvscl 20763 . . . . . 6 ((𝑃 ∈ LMod ∧ (𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ (π‘˜ ↑ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
12091, 106, 116, 119syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)) ∈ 𝐡)
121120fmpttd 7119 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋))):β„•0⟢𝐡)
1221, 4, 37, 43, 18, 2, 26, 3, 20, 19ply1mulgsumlem4 47568 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋))) finSupp (0gβ€˜π‘ƒ))
1234, 83, 86, 88, 121, 122gsumcl 19872 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐡)
124 eqid 2725 . . . 4 (coe1β€˜(𝐾 Γ— 𝐿)) = (coe1β€˜(𝐾 Γ— 𝐿))
125 eqid 2725 . . . 4 (coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋))))) = (coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
1261, 4, 124, 125ply1coe1eq 22226 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐾 Γ— 𝐿) ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)))) ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((coe1β€˜(𝐾 Γ— 𝐿))β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜π‘›) ↔ (𝐾 Γ— 𝐿) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋))))))
12723, 82, 123, 126syl3anc 1368 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (βˆ€π‘› ∈ β„•0 ((coe1β€˜(𝐾 Γ— 𝐿))β€˜π‘›) = ((coe1β€˜(𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)))))β€˜π‘›) ↔ (𝐾 Γ— 𝐿) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋))))))
12879, 127mpbid 231 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐾 ∈ 𝐡 ∧ 𝐿 ∈ 𝐡) β†’ (𝐾 Γ— 𝐿) = (𝑃 Ξ£g (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ ((𝑅 Ξ£g (𝑙 ∈ (0...π‘˜) ↦ ((π΄β€˜π‘™) βˆ— (πΆβ€˜(π‘˜ βˆ’ 𝑙))))) Β· (π‘˜ ↑ 𝑋)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463  β¦‹csb 3885   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415   finSupp cfsupp 9383  0cc0 11136   βˆ’ cmin 11472  β„•0cn0 12500  ...cfz 13514  Basecbs 17177  .rcmulr 17231  Scalarcsca 17233   ·𝑠 cvsca 17234  0gc0g 17418   Ξ£g cgsu 17419  Mndcmnd 18691  .gcmg 19025  CMndccmn 19737  mulGrpcmgp 20076  Ringcrg 20175  LModclmod 20745  var1cv1 22101  Poly1cpl1 22102  coe1cco1 22103
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-of 7681  df-ofr 7682  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-pm 8844  df-ixp 8913  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-fsupp 9384  df-sup 9463  df-oi 9531  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12501  df-z 12587  df-dec 12706  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-seq 13997  df-hash 14320  df-struct 17113  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-sca 17246  df-vsca 17247  df-ip 17248  df-tset 17249  df-ple 17250  df-ds 17252  df-hom 17254  df-cco 17255  df-0g 17420  df-gsum 17421  df-prds 17426  df-pws 17428  df-mre 17563  df-mrc 17564  df-acs 17566  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18737  df-submnd 18738  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-mulg 19026  df-subg 19080  df-ghm 19170  df-cntz 19270  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-srg 20129  df-ring 20177  df-subrng 20485  df-subrg 20510  df-lmod 20747  df-lss 20818  df-psr 21844  df-mvr 21845  df-mpl 21846  df-opsr 21848  df-psr1 22105  df-vr1 22106  df-ply1 22107  df-coe1 22108
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator