MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm2mpmhmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pm2mpmhmlem2 22184
Description: Lemma 2 for pm2mpmhm 22185. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpmhm.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
pm2mpmhm.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
pm2mpmhm.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
pm2mpmhm.q ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
pm2mpmhm.t ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
pm2mpmhm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
Assertion
Ref Expression
pm2mpmhmlem2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘„)(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘„(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem pm2mpmhmlem2
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘™ ๐‘› ๐‘Ÿ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
2 simplr 768 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3 pm2mpmhm.p . . . . . . . 8 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
4 pm2mpmhm.c . . . . . . . 8 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
53, 4pmatring 22057 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ถ โˆˆ Ring)
65adantr 482 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ Ring)
7 simpl 484 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
87adantl 483 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
9 simpr 486 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
109adantl 483 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
11 pm2mpmhm.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
12 eqid 2733 . . . . . . 7 (.rโ€˜๐ถ) = (.rโ€˜๐ถ)
1311, 12ringcl 19986 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
146, 8, 10, 13syl3anc 1372 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
15 eqid 2733 . . . . . 6 ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„) = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
16 eqid 2733 . . . . . 6 (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„)) = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
17 eqid 2733 . . . . . 6 (var1โ€˜๐ด) = (var1โ€˜๐ด)
18 pm2mpmhm.a . . . . . 6 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
19 pm2mpmhm.q . . . . . 6 ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
20 pm2mpmhm.t . . . . . 6 ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
213, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 20pm2mpfval 22161 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
221, 2, 14, 21syl3anc 1372 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
233, 4, 11, 18decpmatmul 22137 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜) = (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))))
2423ad4ant234 1176 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜) = (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))))
2524oveq1d 7373 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) = ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))
2625mpteq2dva 5206 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))
2726oveq2d 7374 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
28 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘„) = (Baseโ€˜๐‘„)
2918matring 21808 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
3029ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
31 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
32 eqid 2733 . . . . . . . 8 (0gโ€˜๐ด) = (0gโ€˜๐ด)
33 ringcmn 20008 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ ๐ด โˆˆ CMnd)
3429, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ CMnd)
3534ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ CMnd)
36 fzfid 13884 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0...๐‘˜) โˆˆ Fin)
3730ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
38 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
398ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
40 elfznn0 13540 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
4140adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
423, 4, 11, 18, 31decpmatcl 22132 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
4338, 39, 41, 42syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
4410ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
45 fznn0sub 13479 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
4645adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
473, 4, 11, 18, 31decpmatcl 22132 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
4838, 44, 46, 47syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
49 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . 13 (.rโ€˜๐ด) = (.rโ€˜๐ด)
5031, 49ringcl 19986 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
5137, 43, 48, 50syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
5251ralrimiva 3140 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
5331, 35, 36, 52gsummptcl 19749 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
5453ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
553, 4, 11, 18, 49, 32decpmatmulsumfsupp 22138 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))) finSupp (0gโ€˜๐ด))
5655adantr 482 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))) finSupp (0gโ€˜๐ด))
57 simpr 486 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
5819, 28, 17, 16, 30, 31, 15, 32, 54, 56, 57gsummoncoe1 21691 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘›) = โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))))
59 csbov2g 7404 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) = (๐ด ฮฃg โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))))
60 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
61 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (0...๐‘˜) = (0...๐‘›))
62 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))
6362oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)) = (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)))
6463oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))) = ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))))
6561, 64mpteq12dv 5197 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))) = (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)))))
6665adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ = ๐‘›) โ†’ (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))) = (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)))))
6760, 66csbied 3894 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))) = (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)))))
6867oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ด ฮฃg โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) = (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))))))
6959, 68eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) = (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))))))
7069adantl 483 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) = (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))))))
71 eqidd 2734 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™)))))) = (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™)))))))
72 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ = ๐‘› โ†’ (0...๐‘Ÿ) = (0...๐‘›))
73 fvoveq1 7381 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ = ๐‘› โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™)) = ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
7473oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ = ๐‘› โ†’ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™))) = (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))
7572, 74mpteq12dv 5197 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = ๐‘› โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™)))) = (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))))
7675oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = ๐‘› โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™))))) = (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))))
7776adantl 483 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘›) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™))))) = (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))))
78 ovexd 7393 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) โˆˆ V)
7971, 77, 57, 78fvmptd 6956 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™))))))โ€˜๐‘›) = (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))))
80 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (0gโ€˜๐‘„) = (0gโ€˜๐‘„)
8119ply1ring 21635 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ ๐‘„ โˆˆ Ring)
8229, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘„ โˆˆ Ring)
83 ringcmn 20008 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘„ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
8584ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
86 nn0ex 12424 . . . . . . . . . . 11 โ„•0 โˆˆ V
8786a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ โ„•0 โˆˆ V)
887anim2i 618 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
89 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†” ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
9088, 89sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
9190adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
923, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 28pm2mpghmlem1 22178 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
9391, 92sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
9493fmpttd 7064 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘„))
953, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19pm2mpghmlem2 22177 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
9691, 95syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
9728, 80, 85, 87, 94, 96gsumcl 19697 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
989anim2i 618 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
99 df-3an 1090 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†” ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
10098, 99sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
101100adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
1023, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 28pm2mpghmlem1 22178 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
103101, 102sylan 581 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
104103fmpttd 7064 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘„))
1051, 2, 103jca 1129 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
106105adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
1073, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19pm2mpghmlem2 22177 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
10928, 80, 85, 87, 104, 108gsumcl 19697 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
110 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (.rโ€˜๐‘„) = (.rโ€˜๐‘„)
11119, 110, 49, 28coe1mul 21657 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„) โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„)) โ†’ (coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))) = (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™)))))))
112111fveq1d 6845 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„) โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„)) โ†’ ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›) = ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™))))))โ€˜๐‘›))
11330, 97, 109, 112syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›) = ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™))))))โ€˜๐‘›))
114 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘™ โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง) = (๐‘ฅ decompPMat ๐‘™))
115 oveq2 7366 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = ๐‘™ โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘› โˆ’ ๐‘™))
116115oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘™ โ†’ (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)) = (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
117114, 116oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘™ โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))) = ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘™)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™))))
118117cbvmptv 5219 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)))) = (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘™)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™))))
11929ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
120 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1218ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
122 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
1233, 4, 11, 18, 31decpmatcl 22132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
124120, 121, 122, 123syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
125124ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
1262, 8jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
127126ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
1283, 4, 11, 18, 32decpmatfsupp 22134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)) finSupp (0gโ€˜๐ด))
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)) finSupp (0gโ€˜๐ด))
130 elfznn0 13540 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„•0)
131130adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„•0)
13219, 28, 17, 16, 119, 31, 15, 32, 125, 129, 131gsummoncoe1 21691 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™) = โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜))
133 csbov2g 7404 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) = (๐‘ฅ decompPMat โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜))
134 csbvarg 4392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜ = ๐‘™)
135134oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜) = (๐‘ฅ decompPMat ๐‘™))
136133, 135eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) = (๐‘ฅ decompPMat ๐‘™))
137136adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) = (๐‘ฅ decompPMat ๐‘™))
138132, 137eqtr2d 2774 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘™) = ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™))
13910ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
1403, 4, 11, 18, 31decpmatcl 22132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
141120, 139, 122, 140syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
142141ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
1432, 10jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
144143ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
1453, 4, 11, 18, 32decpmatfsupp 22134 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)) finSupp (0gโ€˜๐ด))
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)) finSupp (0gโ€˜๐ด))
147 fznn0sub 13479 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ โ„•0)
148147adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ โ„•0)
14919, 28, 17, 16, 119, 31, 15, 32, 142, 146, 148gsummoncoe1 21691 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜))
150 ovex 7391 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ V
151 csbov2g 7404 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ V โ†’ โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜) = (๐‘ฆ decompPMat โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜))
152150, 151mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜) = (๐‘ฆ decompPMat โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜))
153 csbvarg 4392 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ V โ†’ โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜ = (๐‘› โˆ’ ๐‘™))
154150, 153mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜ = (๐‘› โˆ’ ๐‘™))
155154oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜) = (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
156149, 152, 1553eqtrrd 2778 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
157138, 156oveq12d 7376 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘™)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™))) = (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))
158157mpteq2dva 5206 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘™)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™)))) = (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))))
159118, 158eqtrid 2785 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)))) = (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))))
160159oveq2d 7374 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))))) = (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))))
16179, 113, 1603eqtr4rd 2784 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))))) = ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›))
16258, 70, 1613eqtrd 2777 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›))
163162ralrimiva 3140 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›))
16429adantr 482 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
16584adantr 482 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
16686a1i 11 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ โ„•0 โˆˆ V)
16719ply1lmod 21639 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ ๐‘„ โˆˆ LMod)
16829, 167syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘„ โˆˆ LMod)
169168ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘„ โˆˆ LMod)
17034ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ CMnd)
171 fzfid 13884 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0...๐‘˜) โˆˆ Fin)
17229ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
173 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
174 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
175174adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
17640adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
177173, 175, 176, 42syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
178 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
179178adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
18045adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
181173, 179, 180, 47syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
182172, 177, 181, 50syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
183182ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
18431, 170, 171, 183gsummptcl 19749 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
18529ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
18619ply1sca 21640 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ ๐ด = (Scalarโ€˜๐‘„))
187185, 186syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด = (Scalarโ€˜๐‘„))
188187eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (Scalarโ€˜๐‘„) = ๐ด)
189188fveq2d 6847 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„)) = (Baseโ€˜๐ด))
190184, 189eleqtrrd 2837 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„)))
191 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpโ€˜๐‘„) = (mulGrpโ€˜๐‘„)
19219, 17, 191, 16, 28ply1moncl 21658 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
193185, 192sylancom 589 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
194 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Scalarโ€˜๐‘„) = (Scalarโ€˜๐‘„)
195 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„)) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„))
19628, 194, 15, 195lmodvscl 20354 . . . . . . . . 9 ((๐‘„ โˆˆ LMod โˆง (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„)) โˆง (๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„)) โ†’ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
197169, 190, 193, 196syl3anc 1372 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
198197fmpttd 7064 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘„))
1993, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 28, 20pm2mpmhmlem1 22183 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
20028, 80, 165, 166, 198, 199gsumcl 19697 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
20182adantr 482 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ Ring)
20290, 92sylan 581 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
203202fmpttd 7064 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘„))
20490, 95syl 17 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
20528, 80, 165, 166, 203, 204gsumcl 19697 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
206100, 102sylan 581 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
207206fmpttd 7064 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘„))
2081, 2, 10, 107syl3anc 1372 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
20928, 80, 165, 166, 207, 208gsumcl 19697 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
21028, 110ringcl 19986 . . . . . . 7 ((๐‘„ โˆˆ Ring โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„) โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„)) โ†’ ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
211201, 205, 209, 210syl3anc 1372 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
212 eqid 2733 . . . . . . 7 (coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))) = (coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
213 eqid 2733 . . . . . . 7 (coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))) = (coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))
21419, 28, 212, 213ply1coe1eq 21685 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„) โˆง ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›) โ†” (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) = ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))))
215164, 200, 211, 214syl3anc 1372 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›) โ†” (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) = ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))))
216163, 215mpbid 231 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) = ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))
21722, 27, 2163eqtrd 2777 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)) = ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))
2183, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 20pm2mpfval 22161 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
2191, 2, 8, 218syl3anc 1372 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
2203, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 20pm2mpfval 22161 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
2211, 2, 10, 220syl3anc 1372 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
222219, 221oveq12d 7376 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘„)(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))
223217, 222eqtr4d 2776 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘„)(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
224223ralrimivva 3194 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘„)(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   โˆง w3a 1088   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  Vcvv 3444  โฆ‹csb 3856   class class class wbr 5106   โ†ฆ cmpt 5189  โ€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Fincfn 8886   finSupp cfsupp 9308  0cc0 11056   โˆ’ cmin 11390  โ„•0cn0 12418  ...cfz 13430  Basecbs 17088  .rcmulr 17139  Scalarcsca 17141   ยท๐‘  cvsca 17142  0gc0g 17326   ฮฃg cgsu 17327  .gcmg 18877  CMndccmn 19567  mulGrpcmgp 19901  Ringcrg 19969  LModclmod 20336  var1cv1 21563  Poly1cpl1 21564  coe1cco1 21565   Mat cmat 21770   decompPMat cdecpmat 22127   pMatToMatPoly cpm2mp 22157
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-ofr 7619  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-pm 8771  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-card 9880  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-srg 19923  df-ring 19971  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-psr 21327  df-mvr 21328  df-mpl 21329  df-opsr 21331  df-psr1 21567  df-vr1 21568  df-ply1 21569  df-coe1 21570  df-mamu 21749  df-mat 21771  df-decpmat 22128  df-pm2mp 22158
This theorem is referenced by:  pm2mpmhm  22185
  Copyright terms: Public domain W3C validator