MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm2mpmhmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pm2mpmhmlem2 22734
Description: Lemma 2 for pm2mpmhm 22735. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpmhm.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
pm2mpmhm.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
pm2mpmhm.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
pm2mpmhm.q ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
pm2mpmhm.t ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
pm2mpmhm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
Assertion
Ref Expression
pm2mpmhmlem2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘„)(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘„(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem pm2mpmhmlem2
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘™ ๐‘› ๐‘Ÿ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
2 simplr 767 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3 pm2mpmhm.p . . . . . . . 8 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
4 pm2mpmhm.c . . . . . . . 8 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
53, 4pmatring 22607 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ถ โˆˆ Ring)
65adantr 479 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ Ring)
7 simpl 481 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
87adantl 480 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
9 simpr 483 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
109adantl 480 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
11 pm2mpmhm.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
12 eqid 2725 . . . . . . 7 (.rโ€˜๐ถ) = (.rโ€˜๐ถ)
1311, 12ringcl 20189 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
146, 8, 10, 13syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
15 eqid 2725 . . . . . 6 ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„) = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
16 eqid 2725 . . . . . 6 (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„)) = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
17 eqid 2725 . . . . . 6 (var1โ€˜๐ด) = (var1โ€˜๐ด)
18 pm2mpmhm.a . . . . . 6 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
19 pm2mpmhm.q . . . . . 6 ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
20 pm2mpmhm.t . . . . . 6 ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
213, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 20pm2mpfval 22711 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
221, 2, 14, 21syl3anc 1368 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
233, 4, 11, 18decpmatmul 22687 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜) = (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))))
2423ad4ant234 1172 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜) = (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))))
2524oveq1d 7428 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) = ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))
2625mpteq2dva 5244 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))
2726oveq2d 7429 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
28 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘„) = (Baseโ€˜๐‘„)
2918matring 22358 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
3029ad2antrr 724 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
31 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
32 eqid 2725 . . . . . . . 8 (0gโ€˜๐ด) = (0gโ€˜๐ด)
33 ringcmn 20217 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ ๐ด โˆˆ CMnd)
3429, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ CMnd)
3534ad3antrrr 728 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ CMnd)
36 fzfid 13965 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0...๐‘˜) โˆˆ Fin)
3730ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
38 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
398ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
40 elfznn0 13621 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
4140adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
423, 4, 11, 18, 31decpmatcl 22682 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
4338, 39, 41, 42syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
4410ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
45 fznn0sub 13560 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
4645adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
473, 4, 11, 18, 31decpmatcl 22682 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
4838, 44, 46, 47syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
49 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . 13 (.rโ€˜๐ด) = (.rโ€˜๐ด)
5031, 49ringcl 20189 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
5137, 43, 48, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
5251ralrimiva 3136 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
5331, 35, 36, 52gsummptcl 19921 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
5453ralrimiva 3136 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
553, 4, 11, 18, 49, 32decpmatmulsumfsupp 22688 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))) finSupp (0gโ€˜๐ด))
5655adantr 479 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))) finSupp (0gโ€˜๐ด))
57 simpr 483 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
5819, 28, 17, 16, 30, 31, 15, 32, 54, 56, 57gsummoncoe1 22231 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘›) = โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))))
59 csbov2g 7460 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) = (๐ด ฮฃg โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))))
60 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
61 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (0...๐‘˜) = (0...๐‘›))
62 oveq1 7420 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))
6362oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)) = (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)))
6463oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))) = ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))))
6561, 64mpteq12dv 5235 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))) = (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)))))
6665adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ = ๐‘›) โ†’ (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))) = (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)))))
6760, 66csbied 3924 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))) = (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)))))
6867oveq2d 7429 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ด ฮฃg โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) = (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))))))
6959, 68eqtrd 2765 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) = (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))))))
7069adantl 480 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) = (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))))))
71 eqidd 2726 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™)))))) = (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™)))))))
72 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ = ๐‘› โ†’ (0...๐‘Ÿ) = (0...๐‘›))
73 fvoveq1 7436 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ = ๐‘› โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™)) = ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
7473oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ = ๐‘› โ†’ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™))) = (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))
7572, 74mpteq12dv 5235 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = ๐‘› โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™)))) = (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))))
7675oveq2d 7429 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = ๐‘› โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™))))) = (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))))
7776adantl 480 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘›) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™))))) = (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))))
78 ovexd 7448 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) โˆˆ V)
7971, 77, 57, 78fvmptd 7005 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™))))))โ€˜๐‘›) = (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))))
80 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (0gโ€˜๐‘„) = (0gโ€˜๐‘„)
8119ply1ring 22170 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ ๐‘„ โˆˆ Ring)
8229, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘„ โˆˆ Ring)
83 ringcmn 20217 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘„ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
8584ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
86 nn0ex 12503 . . . . . . . . . . 11 โ„•0 โˆˆ V
8786a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ โ„•0 โˆˆ V)
887anim2i 615 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
89 df-3an 1086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†” ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
9088, 89sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
9190adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
923, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 28pm2mpghmlem1 22728 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
9391, 92sylan 578 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
9493fmpttd 7118 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘„))
953, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19pm2mpghmlem2 22727 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
9691, 95syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
9728, 80, 85, 87, 94, 96gsumcl 19869 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
989anim2i 615 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
99 df-3an 1086 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†” ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
10098, 99sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
101100adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
1023, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 28pm2mpghmlem1 22728 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
103101, 102sylan 578 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
104103fmpttd 7118 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘„))
1051, 2, 103jca 1125 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
106105adantr 479 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
1073, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19pm2mpghmlem2 22727 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
10928, 80, 85, 87, 104, 108gsumcl 19869 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
110 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (.rโ€˜๐‘„) = (.rโ€˜๐‘„)
11119, 110, 49, 28coe1mul 22193 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„) โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„)) โ†’ (coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))) = (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™)))))))
112111fveq1d 6892 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„) โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„)) โ†’ ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›) = ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™))))))โ€˜๐‘›))
11330, 97, 109, 112syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›) = ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™))))))โ€˜๐‘›))
114 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘™ โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง) = (๐‘ฅ decompPMat ๐‘™))
115 oveq2 7421 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = ๐‘™ โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘› โˆ’ ๐‘™))
116115oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘™ โ†’ (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)) = (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
117114, 116oveq12d 7431 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘™ โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))) = ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘™)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™))))
118117cbvmptv 5257 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)))) = (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘™)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™))))
11929ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
120 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1218ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
122 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
1233, 4, 11, 18, 31decpmatcl 22682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
124120, 121, 122, 123syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
125124ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
1262, 8jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
127126ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
1283, 4, 11, 18, 32decpmatfsupp 22684 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)) finSupp (0gโ€˜๐ด))
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)) finSupp (0gโ€˜๐ด))
130 elfznn0 13621 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„•0)
131130adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„•0)
13219, 28, 17, 16, 119, 31, 15, 32, 125, 129, 131gsummoncoe1 22231 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™) = โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜))
133 csbov2g 7460 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) = (๐‘ฅ decompPMat โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜))
134 csbvarg 4428 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜ = ๐‘™)
135134oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜) = (๐‘ฅ decompPMat ๐‘™))
136133, 135eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) = (๐‘ฅ decompPMat ๐‘™))
137136adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) = (๐‘ฅ decompPMat ๐‘™))
138132, 137eqtr2d 2766 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘™) = ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™))
13910ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
1403, 4, 11, 18, 31decpmatcl 22682 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
141120, 139, 122, 140syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
142141ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
1432, 10jca 510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
144143ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
1453, 4, 11, 18, 32decpmatfsupp 22684 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)) finSupp (0gโ€˜๐ด))
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)) finSupp (0gโ€˜๐ด))
147 fznn0sub 13560 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ โ„•0)
148147adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ โ„•0)
14919, 28, 17, 16, 119, 31, 15, 32, 142, 146, 148gsummoncoe1 22231 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜))
150 ovex 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ V
151 csbov2g 7460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ V โ†’ โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜) = (๐‘ฆ decompPMat โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜))
152150, 151mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜) = (๐‘ฆ decompPMat โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜))
153 csbvarg 4428 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ V โ†’ โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜ = (๐‘› โˆ’ ๐‘™))
154150, 153mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜ = (๐‘› โˆ’ ๐‘™))
155154oveq2d 7429 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜) = (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
156149, 152, 1553eqtrrd 2770 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
157138, 156oveq12d 7431 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘™)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™))) = (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))
158157mpteq2dva 5244 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘™)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™)))) = (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))))
159118, 158eqtrid 2777 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)))) = (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))))
160159oveq2d 7429 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))))) = (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))))
16179, 113, 1603eqtr4rd 2776 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))))) = ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›))
16258, 70, 1613eqtrd 2769 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›))
163162ralrimiva 3136 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›))
16429adantr 479 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
16584adantr 479 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
16686a1i 11 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ โ„•0 โˆˆ V)
16719ply1lmod 22174 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ ๐‘„ โˆˆ LMod)
16829, 167syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘„ โˆˆ LMod)
169168ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘„ โˆˆ LMod)
17034ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ CMnd)
171 fzfid 13965 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0...๐‘˜) โˆˆ Fin)
17229ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
173 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
174 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
175174adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
17640adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
177173, 175, 176, 42syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
178 simplrr 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
179178adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
18045adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
181173, 179, 180, 47syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
182172, 177, 181, 50syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
183182ralrimiva 3136 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
18431, 170, 171, 183gsummptcl 19921 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
18529ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
18619ply1sca 22175 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ ๐ด = (Scalarโ€˜๐‘„))
187185, 186syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด = (Scalarโ€˜๐‘„))
188187eqcomd 2731 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (Scalarโ€˜๐‘„) = ๐ด)
189188fveq2d 6894 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„)) = (Baseโ€˜๐ด))
190184, 189eleqtrrd 2828 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„)))
191 eqid 2725 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpโ€˜๐‘„) = (mulGrpโ€˜๐‘„)
19219, 17, 191, 16, 28ply1moncl 22194 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
193185, 192sylancom 586 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
194 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (Scalarโ€˜๐‘„) = (Scalarโ€˜๐‘„)
195 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„)) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„))
19628, 194, 15, 195lmodvscl 20760 . . . . . . . . 9 ((๐‘„ โˆˆ LMod โˆง (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„)) โˆง (๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„)) โ†’ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
197169, 190, 193, 196syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
198197fmpttd 7118 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘„))
1993, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 28, 20pm2mpmhmlem1 22733 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
20028, 80, 165, 166, 198, 199gsumcl 19869 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
20182adantr 479 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ Ring)
20290, 92sylan 578 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
203202fmpttd 7118 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘„))
20490, 95syl 17 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
20528, 80, 165, 166, 203, 204gsumcl 19869 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
206100, 102sylan 578 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
207206fmpttd 7118 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘„))
2081, 2, 10, 107syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
20928, 80, 165, 166, 207, 208gsumcl 19869 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
21028, 110ringcl 20189 . . . . . . 7 ((๐‘„ โˆˆ Ring โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„) โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„)) โ†’ ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
211201, 205, 209, 210syl3anc 1368 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
212 eqid 2725 . . . . . . 7 (coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))) = (coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
213 eqid 2725 . . . . . . 7 (coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))) = (coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))
21419, 28, 212, 213ply1coe1eq 22223 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„) โˆง ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›) โ†” (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) = ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))))
215164, 200, 211, 214syl3anc 1368 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›) โ†” (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) = ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))))
216163, 215mpbid 231 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) = ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))
21722, 27, 2163eqtrd 2769 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)) = ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))
2183, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 20pm2mpfval 22711 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
2191, 2, 8, 218syl3anc 1368 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
2203, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 20pm2mpfval 22711 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
2211, 2, 10, 220syl3anc 1368 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
222219, 221oveq12d 7431 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘„)(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))
223217, 222eqtr4d 2768 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘„)(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
224223ralrimivva 3191 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘„)(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3051  Vcvv 3463  โฆ‹csb 3886   class class class wbr 5144   โ†ฆ cmpt 5227  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Fincfn 8957   finSupp cfsupp 9380  0cc0 11133   โˆ’ cmin 11469  โ„•0cn0 12497  ...cfz 13511  Basecbs 17174  .rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ยท๐‘  cvsca 17231  0gc0g 17415   ฮฃg cgsu 17416  .gcmg 19022  CMndccmn 19734  mulGrpcmgp 20073  Ringcrg 20172  LModclmod 20742  var1cv1 22098  Poly1cpl1 22099  coe1cco1 22100   Mat cmat 22320   decompPMat cdecpmat 22677   pMatToMatPoly cpm2mp 22707
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-ot 4634  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-srg 20126  df-ring 20174  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-sra 21057  df-rgmod 21058  df-dsmm 21665  df-frlm 21680  df-psr 21841  df-mvr 21842  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22102  df-vr1 22103  df-ply1 22104  df-coe1 22105  df-mamu 22304  df-mat 22321  df-decpmat 22678  df-pm2mp 22708
This theorem is referenced by:  pm2mpmhm  22735
  Copyright terms: Public domain W3C validator