MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pm2mpmhmlem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem pm2mpmhmlem2 22695
Description: Lemma 2 for pm2mpmhm 22696. (Contributed by AV, 22-Oct-2019.) (Revised by AV, 6-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
pm2mpmhm.p ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
pm2mpmhm.c ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
pm2mpmhm.a ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
pm2mpmhm.q ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
pm2mpmhm.t ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
pm2mpmhm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
Assertion
Ref Expression
pm2mpmhmlem2 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘„)(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ต,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘,๐‘ฆ   ๐‘ฅ,๐‘…,๐‘ฆ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘ƒ(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘„(๐‘ฅ,๐‘ฆ)   ๐‘‡(๐‘ฅ,๐‘ฆ)

Proof of Theorem pm2mpmhmlem2
Dummy variables ๐‘˜ ๐‘™ ๐‘› ๐‘Ÿ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
2 simplr 768 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
3 pm2mpmhm.p . . . . . . . 8 ๐‘ƒ = (Poly1โ€˜๐‘…)
4 pm2mpmhm.c . . . . . . . 8 ๐ถ = (๐‘ Mat ๐‘ƒ)
53, 4pmatring 22568 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ถ โˆˆ Ring)
65adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ถ โˆˆ Ring)
7 simpl 482 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
87adantl 481 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
9 simpr 484 . . . . . . 7 ((๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
109adantl 481 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
11 pm2mpmhm.b . . . . . . 7 ๐ต = (Baseโ€˜๐ถ)
12 eqid 2727 . . . . . . 7 (.rโ€˜๐ถ) = (.rโ€˜๐ถ)
1311, 12ringcl 20174 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
146, 8, 10, 13syl3anc 1369 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต)
15 eqid 2727 . . . . . 6 ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„) = ( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)
16 eqid 2727 . . . . . 6 (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„)) = (.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))
17 eqid 2727 . . . . . 6 (var1โ€˜๐ด) = (var1โ€˜๐ด)
18 pm2mpmhm.a . . . . . 6 ๐ด = (๐‘ Mat ๐‘…)
19 pm2mpmhm.q . . . . . 6 ๐‘„ = (Poly1โ€˜๐ด)
20 pm2mpmhm.t . . . . . 6 ๐‘‡ = (๐‘ pMatToMatPoly ๐‘…)
213, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 20pm2mpfval 22672 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
221, 2, 14, 21syl3anc 1369 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
233, 4, 11, 18decpmatmul 22648 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜) = (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))))
2423ad4ant234 1173 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜) = (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))))
2524oveq1d 7429 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) = ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))
2625mpteq2dva 5242 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) = (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))
2726oveq2d 7430 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (((๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ) decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
28 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘„) = (Baseโ€˜๐‘„)
2918matring 22319 . . . . . . . . 9 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
3029ad2antrr 725 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
31 eqid 2727 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐ด) = (Baseโ€˜๐ด)
32 eqid 2727 . . . . . . . 8 (0gโ€˜๐ด) = (0gโ€˜๐ด)
33 ringcmn 20200 . . . . . . . . . . . 12 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ ๐ด โˆˆ CMnd)
3429, 33syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐ด โˆˆ CMnd)
3534ad3antrrr 729 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ CMnd)
36 fzfid 13956 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0...๐‘˜) โˆˆ Fin)
3730ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
38 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
398ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
40 elfznn0 13612 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
4140adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
423, 4, 11, 18, 31decpmatcl 22643 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ง โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
4338, 39, 41, 42syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
4410ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
45 fznn0sub 13551 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
4645adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
473, 4, 11, 18, 31decpmatcl 22643 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
4838, 44, 46, 47syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
49 eqid 2727 . . . . . . . . . . . . 13 (.rโ€˜๐ด) = (.rโ€˜๐ด)
5031, 49ringcl 20174 . . . . . . . . . . . 12 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด) โˆง (๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด)) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
5137, 43, 48, 50syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
5251ralrimiva 3141 . . . . . . . . . 10 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
5331, 35, 36, 52gsummptcl 19906 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
5453ralrimiva 3141 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
553, 4, 11, 18, 49, 32decpmatmulsumfsupp 22649 . . . . . . . . 9 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))) finSupp (0gโ€˜๐ด))
5655adantr 480 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))) finSupp (0gโ€˜๐ด))
57 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
5819, 28, 17, 16, 30, 31, 15, 32, 54, 56, 57gsummoncoe1 22201 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘›) = โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))))
59 csbov2g 7460 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) = (๐ด ฮฃg โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))))
60 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
61 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (0...๐‘˜) = (0...๐‘›))
62 oveq1 7421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))
6362oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)) = (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)))
6463oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))) = ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))))
6561, 64mpteq12dv 5233 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ = ๐‘› โ†’ (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))) = (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)))))
6665adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘˜ = ๐‘›) โ†’ (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))) = (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)))))
6760, 66csbied 3927 . . . . . . . . . 10 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))) = (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)))))
6867oveq2d 7430 . . . . . . . . 9 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐ด ฮฃg โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) = (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))))))
6959, 68eqtrd 2767 . . . . . . . 8 (๐‘› โˆˆ โ„•0 โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) = (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))))))
7069adantl 481 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ โฆ‹๐‘› / ๐‘˜โฆŒ(๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) = (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))))))
71 eqidd 2728 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™)))))) = (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™)))))))
72 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ = ๐‘› โ†’ (0...๐‘Ÿ) = (0...๐‘›))
73 fvoveq1 7437 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘Ÿ = ๐‘› โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™)) = ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
7473oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘Ÿ = ๐‘› โ†’ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™))) = (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))
7572, 74mpteq12dv 5233 . . . . . . . . . . 11 (๐‘Ÿ = ๐‘› โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™)))) = (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))))
7675oveq2d 7430 . . . . . . . . . 10 (๐‘Ÿ = ๐‘› โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™))))) = (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))))
7776adantl 481 . . . . . . . . 9 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘Ÿ = ๐‘›) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™))))) = (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))))
78 ovexd 7449 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))) โˆˆ V)
7971, 77, 57, 78fvmptd 7006 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™))))))โ€˜๐‘›) = (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))))
80 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (0gโ€˜๐‘„) = (0gโ€˜๐‘„)
8119ply1ring 22140 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ ๐‘„ โˆˆ Ring)
8229, 81syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘„ โˆˆ Ring)
83 ringcmn 20200 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘„ โˆˆ Ring โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
8482, 83syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
8584ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
86 nn0ex 12494 . . . . . . . . . . 11 โ„•0 โˆˆ V
8786a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ โ„•0 โˆˆ V)
887anim2i 616 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
89 df-3an 1087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†” ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
9088, 89sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
9190adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
923, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 28pm2mpghmlem1 22689 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
9391, 92sylan 579 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
9493fmpttd 7119 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘„))
953, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19pm2mpghmlem2 22688 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
9691, 95syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
9728, 80, 85, 87, 94, 96gsumcl 19854 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
989anim2i 616 . . . . . . . . . . . . . 14 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
99 df-3an 1087 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†” ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
10098, 99sylibr 233 . . . . . . . . . . . . 13 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
101100adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
1023, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 28pm2mpghmlem1 22689 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
103101, 102sylan 579 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
104103fmpttd 7119 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘„))
1051, 2, 103jca 1126 . . . . . . . . . . . 12 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
106105adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
1073, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19pm2mpghmlem2 22688 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
10928, 80, 85, 87, 104, 108gsumcl 19854 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
110 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (.rโ€˜๐‘„) = (.rโ€˜๐‘„)
11119, 110, 49, 28coe1mul 22163 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„) โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„)) โ†’ (coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))) = (๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™)))))))
112111fveq1d 6893 . . . . . . . . 9 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„) โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„)) โ†’ ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›) = ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™))))))โ€˜๐‘›))
11330, 97, 109, 112syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›) = ((๐‘Ÿ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘Ÿ) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘Ÿ โˆ’ ๐‘™))))))โ€˜๐‘›))
114 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘™ โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง) = (๐‘ฅ decompPMat ๐‘™))
115 oveq2 7422 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘ง = ๐‘™ โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘ง) = (๐‘› โˆ’ ๐‘™))
116115oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘ง = ๐‘™ โ†’ (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)) = (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
117114, 116oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ง = ๐‘™ โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))) = ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘™)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™))))
118117cbvmptv 5255 . . . . . . . . . 10 (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)))) = (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘™)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™))))
11929ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
120 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
1218ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
122 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
1233, 4, 11, 18, 31decpmatcl 22643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
124120, 121, 122, 123syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
125124ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
1262, 8jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
127126ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต))
1283, 4, 11, 18, 32decpmatfsupp 22645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)) finSupp (0gโ€˜๐ด))
129127, 128syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)) finSupp (0gโ€˜๐ด))
130 elfznn0 13612 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„•0)
131130adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ๐‘™ โˆˆ โ„•0)
13219, 28, 17, 16, 119, 31, 15, 32, 125, 129, 131gsummoncoe1 22201 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™) = โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜))
133 csbov2g 7460 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) = (๐‘ฅ decompPMat โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜))
134 csbvarg 4427 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜ = ๐‘™)
135134oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜) = (๐‘ฅ decompPMat ๐‘™))
136133, 135eqtrd 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) = (๐‘ฅ decompPMat ๐‘™))
137136adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ โฆ‹๐‘™ / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜) = (๐‘ฅ decompPMat ๐‘™))
138132, 137eqtr2d 2768 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘™) = ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™))
13910ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
1403, 4, 11, 18, 31decpmatcl 22643 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
141120, 139, 122, 140syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
142141ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ โ„•0 (๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
1432, 10jca 511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
144143ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต))
1453, 4, 11, 18, 32decpmatfsupp 22645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)) finSupp (0gโ€˜๐ด))
146144, 145syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)) finSupp (0gโ€˜๐ด))
147 fznn0sub 13551 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ โ„•0)
148147adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ โ„•0)
14919, 28, 17, 16, 119, 31, 15, 32, 142, 146, 148gsummoncoe1 22201 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜))
150 ovex 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ V
151 csbov2g 7460 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ V โ†’ โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜) = (๐‘ฆ decompPMat โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜))
152150, 151mp1i 13 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ(๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜) = (๐‘ฆ decompPMat โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜))
153 csbvarg 4427 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘› โˆ’ ๐‘™) โˆˆ V โ†’ โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜ = (๐‘› โˆ’ ๐‘™))
154150, 153mp1i 13 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜ = (๐‘› โˆ’ ๐‘™))
155154oveq2d 7430 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat โฆ‹(๐‘› โˆ’ ๐‘™) / ๐‘˜โฆŒ๐‘˜) = (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
156149, 152, 1553eqtrrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™)) = ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))
157138, 156oveq12d 7432 . . . . . . . . . . 11 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›)) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘™)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™))) = (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))
158157mpteq2dva 5242 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘™)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘™)))) = (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))))
159118, 158eqtrid 2779 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง)))) = (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™)))))
160159oveq2d 7430 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))))) = (๐ด ฮฃg (๐‘™ โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ (((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘™)(.rโ€˜๐ด)((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜(๐‘› โˆ’ ๐‘™))))))
16179, 113, 1603eqtr4rd 2778 . . . . . . 7 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘›) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘› โˆ’ ๐‘ง))))) = ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›))
16258, 70, 1613eqtrd 2771 . . . . . 6 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›))
163162ralrimiva 3141 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›))
16429adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
16584adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ CMnd)
16686a1i 11 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ โ„•0 โˆˆ V)
16719ply1lmod 22144 . . . . . . . . . . 11 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ ๐‘„ โˆˆ LMod)
16829, 167syl 17 . . . . . . . . . 10 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘„ โˆˆ LMod)
169168ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘„ โˆˆ LMod)
17034ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ CMnd)
171 fzfid 13956 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (0...๐‘˜) โˆˆ Fin)
17229ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
173 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
174 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
175174adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต)
17640adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘ง โˆˆ โ„•0)
177173, 175, 176, 42syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
178 simplrr 777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
179178adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)
18045adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง) โˆˆ โ„•0)
181173, 179, 180, 47syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ (๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
182172, 177, 181, 50syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โˆง ๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
183182ralrimiva 3141 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ โˆ€๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜)((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
18431, 170, 171, 183gsummptcl 19906 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐ด))
18529ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด โˆˆ Ring)
18619ply1sca 22145 . . . . . . . . . . . . 13 (๐ด โˆˆ Ring โ†’ ๐ด = (Scalarโ€˜๐‘„))
187185, 186syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ๐ด = (Scalarโ€˜๐‘„))
188187eqcomd 2733 . . . . . . . . . . 11 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (Scalarโ€˜๐‘„) = ๐ด)
189188fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„)) = (Baseโ€˜๐ด))
190184, 189eleqtrrd 2831 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„)))
191 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpโ€˜๐‘„) = (mulGrpโ€˜๐‘„)
19219, 17, 191, 16, 28ply1moncl 22164 . . . . . . . . . 10 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
193185, 192sylancom 587 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
194 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (Scalarโ€˜๐‘„) = (Scalarโ€˜๐‘„)
195 eqid 2727 . . . . . . . . . 10 (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„)) = (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„))
19628, 194, 15, 195lmodvscl 20743 . . . . . . . . 9 ((๐‘„ โˆˆ LMod โˆง (๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง))))) โˆˆ (Baseโ€˜(Scalarโ€˜๐‘„)) โˆง (๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„)) โ†’ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
197169, 190, 193, 196syl3anc 1369 . . . . . . . 8 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
198197fmpttd 7119 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘„))
1993, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 28, 20pm2mpmhmlem1 22694 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
20028, 80, 165, 166, 198, 199gsumcl 19854 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
20182adantr 480 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ๐‘„ โˆˆ Ring)
20290, 92sylan 579 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
203202fmpttd 7119 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘„))
20490, 95syl 17 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
20528, 80, 165, 166, 203, 204gsumcl 19854 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
206100, 102sylan 579 . . . . . . . . 9 ((((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
207206fmpttd 7119 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))):โ„•0โŸถ(Baseโ€˜๐‘„))
2081, 2, 10, 107syl3anc 1369 . . . . . . . 8 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))) finSupp (0gโ€˜๐‘„))
20928, 80, 165, 166, 207, 208gsumcl 19854 . . . . . . 7 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
21028, 110ringcl 20174 . . . . . . 7 ((๐‘„ โˆˆ Ring โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„) โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„)) โ†’ ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
211201, 205, 209, 210syl3anc 1369 . . . . . 6 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„))
212 eqid 2727 . . . . . . 7 (coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))) = (coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
213 eqid 2727 . . . . . . 7 (coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))) = (coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))
21419, 28, 212, 213ply1coe1eq 22193 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ Ring โˆง (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„) โˆง ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘„)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›) โ†” (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) = ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))))
215164, 200, 211, 214syl3anc 1369 . . . . 5 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((coe1โ€˜(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))โ€˜๐‘›) = ((coe1โ€˜((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))โ€˜๐‘›) โ†” (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) = ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))))
216163, 215mpbid 231 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐ด ฮฃg (๐‘ง โˆˆ (0...๐‘˜) โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘ง)(.rโ€˜๐ด)(๐‘ฆ decompPMat (๐‘˜ โˆ’ ๐‘ง)))))( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))) = ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))
21722, 27, 2163eqtrd 2771 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)) = ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))
2183, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 20pm2mpfval 22672 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
2191, 2, 8, 218syl3anc 1369 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
2203, 4, 11, 15, 16, 17, 18, 19, 20pm2mpfval 22672 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
2211, 2, 10, 220syl3anc 1369 . . . 4 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜๐‘ฆ) = (๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด))))))
222219, 221oveq12d 7432 . . 3 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘„)(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)) = ((๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฅ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))(.rโ€˜๐‘„)(๐‘„ ฮฃg (๐‘˜ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ ((๐‘ฆ decompPMat ๐‘˜)( ยท๐‘  โ€˜๐‘„)(๐‘˜(.gโ€˜(mulGrpโ€˜๐‘„))(var1โ€˜๐ด)))))))
223217, 222eqtr4d 2770 . 2 (((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘„)(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
224223ralrimivva 3195 1 ((๐‘ โˆˆ Fin โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ ๐ต โˆ€๐‘ฆ โˆˆ ๐ต (๐‘‡โ€˜(๐‘ฅ(.rโ€˜๐ถ)๐‘ฆ)) = ((๐‘‡โ€˜๐‘ฅ)(.rโ€˜๐‘„)(๐‘‡โ€˜๐‘ฆ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1085   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  โˆ€wral 3056  Vcvv 3469  โฆ‹csb 3889   class class class wbr 5142   โ†ฆ cmpt 5225  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Fincfn 8953   finSupp cfsupp 9375  0cc0 11124   โˆ’ cmin 11460  โ„•0cn0 12488  ...cfz 13502  Basecbs 17165  .rcmulr 17219  Scalarcsca 17221   ยท๐‘  cvsca 17222  0gc0g 17406   ฮฃg cgsu 17407  .gcmg 19007  CMndccmn 19719  mulGrpcmgp 20058  Ringcrg 20157  LModclmod 20725  var1cv1 22069  Poly1cpl1 22070  coe1cco1 22071   Mat cmat 22281   decompPMat cdecpmat 22638   pMatToMatPoly cpm2mp 22668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-of 7677  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-supp 8158  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-pm 8837  df-ixp 8906  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-fin 8957  df-fsupp 9376  df-sup 9451  df-oi 9519  df-card 9948  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12489  df-z 12575  df-dec 12694  df-uz 12839  df-fz 13503  df-fzo 13646  df-seq 13985  df-hash 14308  df-struct 17101  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-hom 17242  df-cco 17243  df-0g 17408  df-gsum 17409  df-prds 17414  df-pws 17416  df-mre 17551  df-mrc 17552  df-acs 17554  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-mhm 18725  df-submnd 18726  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-mulg 19008  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19252  df-cmn 19721  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-ur 20106  df-srg 20111  df-ring 20159  df-subrng 20465  df-subrg 20490  df-lmod 20727  df-lss 20798  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-dsmm 21646  df-frlm 21661  df-psr 21822  df-mvr 21823  df-mpl 21824  df-opsr 21826  df-psr1 22073  df-vr1 22074  df-ply1 22075  df-coe1 22076  df-mamu 22260  df-mat 22282  df-decpmat 22639  df-pm2mp 22669
This theorem is referenced by:  pm2mpmhm  22696
  Copyright terms: Public domain W3C validator