Theorem pm2mpcoe1 22657

Description: A coefficient of the polynomial over matrices which is the result of the transformation of a polynomial matrix is the matrix consisting of the coefficients in the polynomial entries of the polynomial matrix. (Contributed by AV, 20-Oct-2019.) (Revised by AV, 5-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
pm2mpval.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
pm2mpval.c	⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
pm2mpval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
pm2mpval.m	⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
pm2mpval.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
pm2mpval.x	⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
pm2mpval.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
pm2mpval.q	⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
pm2mpval.t	⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)

Assertion

Ref	Expression
pm2mpcoe1	⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑇‘𝑀))‘𝐾) = (𝑀 decompPMat 𝐾))

Proof of Theorem pm2mpcoe1

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 764	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑁 ∈ Fin)
2		simplr 766	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑅 ∈ Ring)
3		simprl 768	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝑀 ∈ 𝐵)
4		pm2mpval.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
5		pm2mpval.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = (𝑁 Mat 𝑃)
6		pm2mpval.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐶)
7		pm2mpval.m	. . . . . 6 ⊢ ∗ = ( ·𝑠 ‘𝑄)
8		pm2mpval.e	. . . . . 6 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑄))
9		pm2mpval.x	. . . . . 6 ⊢ 𝑋 = (var1‘𝐴)
10		pm2mpval.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
11		pm2mpval.q	. . . . . 6 ⊢ 𝑄 = (Poly1‘𝐴)
12		pm2mpval.t	. . . . . 6 ⊢ 𝑇 = (𝑁 pMatToMatPoly 𝑅)
13	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	pm2mpfval 22653	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑇‘𝑀) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
14	1, 2, 3, 13	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑇‘𝑀) = (𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))
15	14	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (coe1‘(𝑇‘𝑀)) = (coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋))))))
16	15	fveq1d 6887	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑇‘𝑀))‘𝐾) = ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐾))
17		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Base‘𝑄) = (Base‘𝑄)
18	10	matring 22300	. . . 4 ⊢ ((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → 𝐴 ∈ Ring)
19	18	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ Ring)
20		eqid 2726	. . 3 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘𝐴)
21		eqid 2726	. . 3 ⊢ (0g‘𝐴) = (0g‘𝐴)
22	2	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑅 ∈ Ring)
23	3	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑀 ∈ 𝐵)
24		simpr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → 𝑘 ∈ ℕ0)
25	4, 5, 6, 10, 20	decpmatcl 22624	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
26	22, 23, 24, 25	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ ((((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝑀 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
27	26	ralrimiva 3140	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ∀𝑘 ∈ ℕ0 (𝑀 decompPMat 𝑘) ∈ (Base‘𝐴))
28	4, 5, 6, 10, 21	decpmatfsupp 22626	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑀 ∈ 𝐵) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑀 decompPMat 𝑘)) finSupp (0g‘𝐴))
29	28	ad2ant2lr 745	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ (𝑀 decompPMat 𝑘)) finSupp (0g‘𝐴))
30		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → 𝐾 ∈ ℕ0)
31	30	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → 𝐾 ∈ ℕ0)
32	11, 17, 9, 8, 19, 20, 7, 21, 27, 29, 31	gsummoncoe1 22182	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑄 Σg (𝑘 ∈ ℕ0 ↦ ((𝑀 decompPMat 𝑘) ∗ (𝑘 ↑ 𝑋)))))‘𝐾) = ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑀 decompPMat 𝑘))
33		csbov2g 7451	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑀 decompPMat 𝑘) = (𝑀 decompPMat ⦋𝐾 / 𝑘⦌𝑘))
34		csbvarg 4426	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ⦋𝐾 / 𝑘⦌𝑘 = 𝐾)
35	34	oveq2d 7421	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → (𝑀 decompPMat ⦋𝐾 / 𝑘⦌𝑘) = (𝑀 decompPMat 𝐾))
36	33, 35	eqtrd 2766	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ ℕ0 → ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑀 decompPMat 𝑘) = (𝑀 decompPMat 𝐾))
37	36	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0) → ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑀 decompPMat 𝑘) = (𝑀 decompPMat 𝐾))
38	37	adantl 481	. 2 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ⦋𝐾 / 𝑘⦌(𝑀 decompPMat 𝑘) = (𝑀 decompPMat 𝐾))
39	16, 32, 38	3eqtrd 2770	1 ⊢ (((𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐾 ∈ ℕ0)) → ((coe1‘(𝑇‘𝑀))‘𝐾) = (𝑀 decompPMat 𝐾))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ⦋csb 3888   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  ℕ₀cn0 12476  Basecbs 17153   ·_𝑠 cvsca 17210  0_gc0g 17394   Σ_g cgsu 17395  ._gcmg 18995  mulGrpcmgp 20039  Ringcrg 20138  var₁cv1 22050  Poly₁cpl1 22051  coe₁cco1 22052   Mat cmat 22262   decompPMat cdecpmat 22619   pMatToMatPoly cpm2mp 22649

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-sra 21021  df-rgmod 21022  df-dsmm 21627  df-frlm 21642  df-psr 21803  df-mvr 21804  df-mpl 21805  df-opsr 21807  df-psr1 22054  df-vr1 22055  df-ply1 22056  df-coe1 22057  df-mamu 22241  df-mat 22263  df-decpmat 22620  df-pm2mp 22650

This theorem is referenced by: (None)