MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubmel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubmel 19079
Description: Characterization of an element of the set of nonnegative integer powers of an element ๐ด. Although this theorem holds for any class ๐บ, the definition of ๐น is only meaningful if ๐บ is a monoid or at least a unital magma. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
cycsubm.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
cycsubm.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
cycsubm.c ๐ถ = ran ๐น
Assertion
Ref Expression
cycsubmel (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 ๐‘‹ = (๐‘– ยท ๐ด))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘–,๐น   ๐‘–,๐‘‹   ๐‘ฅ,๐‘–   ๐‘ฅ, ยท
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘–)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘–)   ยท (๐‘–)   ๐น(๐‘ฅ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘–)   ๐‘‹(๐‘ฅ)

Proof of Theorem cycsubmel
StepHypRef Expression
1 cycsubm.c . . 3 ๐ถ = ran ๐น
21eleq2i 2825 . 2 (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โ†” ๐‘‹ โˆˆ ran ๐น)
3 ovex 7444 . . . 4 (๐‘ฅ ยท ๐ด) โˆˆ V
4 cycsubm.f . . . 4 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
53, 4fnmpti 6693 . . 3 ๐น Fn โ„•0
6 fvelrnb 6952 . . 3 (๐น Fn โ„•0 โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ran ๐น โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 (๐นโ€˜๐‘–) = ๐‘‹))
75, 6ax-mp 5 . 2 (๐‘‹ โˆˆ ran ๐น โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 (๐นโ€˜๐‘–) = ๐‘‹)
8 oveq1 7418 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘– โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ด) = (๐‘– ยท ๐ด))
9 ovex 7444 . . . . . 6 (๐‘– ยท ๐ด) โˆˆ V
108, 4, 9fvmpt 6998 . . . . 5 (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) = (๐‘– ยท ๐ด))
1110eqeq1d 2734 . . . 4 (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐นโ€˜๐‘–) = ๐‘‹ โ†” (๐‘– ยท ๐ด) = ๐‘‹))
12 eqcom 2739 . . . 4 ((๐‘– ยท ๐ด) = ๐‘‹ โ†” ๐‘‹ = (๐‘– ยท ๐ด))
1311, 12bitrdi 286 . . 3 (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐นโ€˜๐‘–) = ๐‘‹ โ†” ๐‘‹ = (๐‘– ยท ๐ด)))
1413rexbiia 3092 . 2 (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 (๐นโ€˜๐‘–) = ๐‘‹ โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 ๐‘‹ = (๐‘– ยท ๐ด))
152, 7, 143bitri 296 1 (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 ๐‘‹ = (๐‘– ยท ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106  โˆƒwrex 3070   โ†ฆ cmpt 5231  ran crn 5677   Fn wfn 6538  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  โ„•0cn0 12474  Basecbs 17146  .gcmg 18952
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pr 5427
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-fv 6551  df-ov 7414
This theorem is referenced by:  cycsubmcl  19080  cycsubm  19081  cycsubmcom  19083
  Copyright terms: Public domain W3C validator