MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubmel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubmel 19077
Description: Characterization of an element of the set of nonnegative integer powers of an element ๐ด. Although this theorem holds for any class ๐บ, the definition of ๐น is only meaningful if ๐บ is a monoid or at least a unital magma. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubm.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
cycsubm.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
cycsubm.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
cycsubm.c ๐ถ = ran ๐น
Assertion
Ref Expression
cycsubmel (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 ๐‘‹ = (๐‘– ยท ๐ด))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘–,๐น   ๐‘–,๐‘‹   ๐‘ฅ,๐‘–   ๐‘ฅ, ยท
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘–)   ๐ต(๐‘ฅ,๐‘–)   ๐ถ(๐‘ฅ,๐‘–)   ยท (๐‘–)   ๐น(๐‘ฅ)   ๐บ(๐‘ฅ,๐‘–)   ๐‘‹(๐‘ฅ)

Proof of Theorem cycsubmel
StepHypRef Expression
1 cycsubm.c . . 3 ๐ถ = ran ๐น
21eleq2i 2826 . 2 (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โ†” ๐‘‹ โˆˆ ran ๐น)
3 ovex 7442 . . . 4 (๐‘ฅ ยท ๐ด) โˆˆ V
4 cycsubm.f . . . 4 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
53, 4fnmpti 6694 . . 3 ๐น Fn โ„•0
6 fvelrnb 6953 . . 3 (๐น Fn โ„•0 โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ran ๐น โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 (๐นโ€˜๐‘–) = ๐‘‹))
75, 6ax-mp 5 . 2 (๐‘‹ โˆˆ ran ๐น โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 (๐นโ€˜๐‘–) = ๐‘‹)
8 oveq1 7416 . . . . . 6 (๐‘ฅ = ๐‘– โ†’ (๐‘ฅ ยท ๐ด) = (๐‘– ยท ๐ด))
9 ovex 7442 . . . . . 6 (๐‘– ยท ๐ด) โˆˆ V
108, 4, 9fvmpt 6999 . . . . 5 (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†’ (๐นโ€˜๐‘–) = (๐‘– ยท ๐ด))
1110eqeq1d 2735 . . . 4 (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐นโ€˜๐‘–) = ๐‘‹ โ†” (๐‘– ยท ๐ด) = ๐‘‹))
12 eqcom 2740 . . . 4 ((๐‘– ยท ๐ด) = ๐‘‹ โ†” ๐‘‹ = (๐‘– ยท ๐ด))
1311, 12bitrdi 287 . . 3 (๐‘– โˆˆ โ„•0 โ†’ ((๐นโ€˜๐‘–) = ๐‘‹ โ†” ๐‘‹ = (๐‘– ยท ๐ด)))
1413rexbiia 3093 . 2 (โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 (๐นโ€˜๐‘–) = ๐‘‹ โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 ๐‘‹ = (๐‘– ยท ๐ด))
152, 7, 143bitri 297 1 (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 ๐‘‹ = (๐‘– ยท ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆƒwrex 3071   โ†ฆ cmpt 5232  ran crn 5678   Fn wfn 6539  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  โ„•0cn0 12472  Basecbs 17144  .gcmg 18950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-fv 6552  df-ov 7412
This theorem is referenced by:  cycsubmcl  19078  cycsubm  19079  cycsubmcom  19081
  Copyright terms: Public domain W3C validator