![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cycsubmel | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Characterization of an element of the set of nonnegative integer powers of an element ๐ด. Although this theorem holds for any class ๐บ, the definition of ๐น is only meaningful if ๐บ is a monoid or at least a unital magma. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.) |
Ref | Expression |
---|---|
cycsubm.b | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
cycsubm.t | โข ยท = (.gโ๐บ) |
cycsubm.f | โข ๐น = (๐ฅ โ โ0 โฆ (๐ฅ ยท ๐ด)) |
cycsubm.c | โข ๐ถ = ran ๐น |
Ref | Expression |
---|---|
cycsubmel | โข (๐ โ ๐ถ โ โ๐ โ โ0 ๐ = (๐ ยท ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cycsubm.c | . . 3 โข ๐ถ = ran ๐น | |
2 | 1 | eleq2i 2825 | . 2 โข (๐ โ ๐ถ โ ๐ โ ran ๐น) |
3 | ovex 7444 | . . . 4 โข (๐ฅ ยท ๐ด) โ V | |
4 | cycsubm.f | . . . 4 โข ๐น = (๐ฅ โ โ0 โฆ (๐ฅ ยท ๐ด)) | |
5 | 3, 4 | fnmpti 6693 | . . 3 โข ๐น Fn โ0 |
6 | fvelrnb 6952 | . . 3 โข (๐น Fn โ0 โ (๐ โ ran ๐น โ โ๐ โ โ0 (๐นโ๐) = ๐)) | |
7 | 5, 6 | ax-mp 5 | . 2 โข (๐ โ ran ๐น โ โ๐ โ โ0 (๐นโ๐) = ๐) |
8 | oveq1 7418 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ฅ ยท ๐ด) = (๐ ยท ๐ด)) | |
9 | ovex 7444 | . . . . . 6 โข (๐ ยท ๐ด) โ V | |
10 | 8, 4, 9 | fvmpt 6998 | . . . . 5 โข (๐ โ โ0 โ (๐นโ๐) = (๐ ยท ๐ด)) |
11 | 10 | eqeq1d 2734 | . . . 4 โข (๐ โ โ0 โ ((๐นโ๐) = ๐ โ (๐ ยท ๐ด) = ๐)) |
12 | eqcom 2739 | . . . 4 โข ((๐ ยท ๐ด) = ๐ โ ๐ = (๐ ยท ๐ด)) | |
13 | 11, 12 | bitrdi 286 | . . 3 โข (๐ โ โ0 โ ((๐นโ๐) = ๐ โ ๐ = (๐ ยท ๐ด))) |
14 | 13 | rexbiia 3092 | . 2 โข (โ๐ โ โ0 (๐นโ๐) = ๐ โ โ๐ โ โ0 ๐ = (๐ ยท ๐ด)) |
15 | 2, 7, 14 | 3bitri 296 | 1 โข (๐ โ ๐ถ โ โ๐ โ โ0 ๐ = (๐ ยท ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 = wceq 1541 โ wcel 2106 โwrex 3070 โฆ cmpt 5231 ran crn 5677 Fn wfn 6538 โcfv 6543 (class class class)co 7411 โ0cn0 12474 Basecbs 17146 .gcmg 18952 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2703 ax-sep 5299 ax-nul 5306 ax-pr 5427 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2534 df-eu 2563 df-clab 2710 df-cleq 2724 df-clel 2810 df-nfc 2885 df-ne 2941 df-ral 3062 df-rex 3071 df-rab 3433 df-v 3476 df-dif 3951 df-un 3953 df-in 3955 df-ss 3965 df-nul 4323 df-if 4529 df-sn 4629 df-pr 4631 df-op 4635 df-uni 4909 df-br 5149 df-opab 5211 df-mpt 5232 df-id 5574 df-xp 5682 df-rel 5683 df-cnv 5684 df-co 5685 df-dm 5686 df-rn 5687 df-iota 6495 df-fun 6545 df-fn 6546 df-fv 6551 df-ov 7414 |
This theorem is referenced by: cycsubmcl 19080 cycsubm 19081 cycsubmcom 19083 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |