![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cycsubmel | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Characterization of an element of the set of nonnegative integer powers of an element ๐ด. Although this theorem holds for any class ๐บ, the definition of ๐น is only meaningful if ๐บ is a monoid or at least a unital magma. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.) |
Ref | Expression |
---|---|
cycsubm.b | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
cycsubm.t | โข ยท = (.gโ๐บ) |
cycsubm.f | โข ๐น = (๐ฅ โ โ0 โฆ (๐ฅ ยท ๐ด)) |
cycsubm.c | โข ๐ถ = ran ๐น |
Ref | Expression |
---|---|
cycsubmel | โข (๐ โ ๐ถ โ โ๐ โ โ0 ๐ = (๐ ยท ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cycsubm.c | . . 3 โข ๐ถ = ran ๐น | |
2 | 1 | eleq2i 2826 | . 2 โข (๐ โ ๐ถ โ ๐ โ ran ๐น) |
3 | ovex 7442 | . . . 4 โข (๐ฅ ยท ๐ด) โ V | |
4 | cycsubm.f | . . . 4 โข ๐น = (๐ฅ โ โ0 โฆ (๐ฅ ยท ๐ด)) | |
5 | 3, 4 | fnmpti 6694 | . . 3 โข ๐น Fn โ0 |
6 | fvelrnb 6953 | . . 3 โข (๐น Fn โ0 โ (๐ โ ran ๐น โ โ๐ โ โ0 (๐นโ๐) = ๐)) | |
7 | 5, 6 | ax-mp 5 | . 2 โข (๐ โ ran ๐น โ โ๐ โ โ0 (๐นโ๐) = ๐) |
8 | oveq1 7416 | . . . . . 6 โข (๐ฅ = ๐ โ (๐ฅ ยท ๐ด) = (๐ ยท ๐ด)) | |
9 | ovex 7442 | . . . . . 6 โข (๐ ยท ๐ด) โ V | |
10 | 8, 4, 9 | fvmpt 6999 | . . . . 5 โข (๐ โ โ0 โ (๐นโ๐) = (๐ ยท ๐ด)) |
11 | 10 | eqeq1d 2735 | . . . 4 โข (๐ โ โ0 โ ((๐นโ๐) = ๐ โ (๐ ยท ๐ด) = ๐)) |
12 | eqcom 2740 | . . . 4 โข ((๐ ยท ๐ด) = ๐ โ ๐ = (๐ ยท ๐ด)) | |
13 | 11, 12 | bitrdi 287 | . . 3 โข (๐ โ โ0 โ ((๐นโ๐) = ๐ โ ๐ = (๐ ยท ๐ด))) |
14 | 13 | rexbiia 3093 | . 2 โข (โ๐ โ โ0 (๐นโ๐) = ๐ โ โ๐ โ โ0 ๐ = (๐ ยท ๐ด)) |
15 | 2, 7, 14 | 3bitri 297 | 1 โข (๐ โ ๐ถ โ โ๐ โ โ0 ๐ = (๐ ยท ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wb 205 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwrex 3071 โฆ cmpt 5232 ran crn 5678 Fn wfn 6539 โcfv 6544 (class class class)co 7409 โ0cn0 12472 Basecbs 17144 .gcmg 18950 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5300 ax-nul 5307 ax-pr 5428 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2942 df-ral 3063 df-rex 3072 df-rab 3434 df-v 3477 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4324 df-if 4530 df-sn 4630 df-pr 4632 df-op 4636 df-uni 4910 df-br 5150 df-opab 5212 df-mpt 5233 df-id 5575 df-xp 5683 df-rel 5684 df-cnv 5685 df-co 5686 df-dm 5687 df-rn 5688 df-iota 6496 df-fun 6546 df-fn 6547 df-fv 6552 df-ov 7412 |
This theorem is referenced by: cycsubmcl 19078 cycsubm 19079 cycsubmcom 19081 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |