Theorem cycsubmcl 19046

Description: The set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 contains 𝐴. Although this theorem holds for any class 𝐺, the definition of 𝐹 is only meaningful if 𝐺 is a monoid or at least a unital magma. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubm.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubm.c	⊢ 𝐶 = ran 𝐹

Assertion

Ref	Expression
cycsubmcl	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥, ·

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cycsubmcl

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12472	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 1 ∈ ℕ0)
3		oveq1 7401	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 · 𝐴) = (1 · 𝐴))
4	3	eqeq2d 2743	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝐴 = (𝑖 · 𝐴) ↔ 𝐴 = (1 · 𝐴)))
5	4	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 = 1) → (𝐴 = (𝑖 · 𝐴) ↔ 𝐴 = (1 · 𝐴)))
6		cycsubm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		cycsubm.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8	6, 7	mulg1 18935	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
9	8	eqcomd 2738	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (1 · 𝐴))
10	2, 5, 9	rspcedvd 3612	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑖 · 𝐴))
11		cycsubm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
12		cycsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ran 𝐹
13	6, 7, 11, 12	cycsubmel 19045	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑖 · 𝐴))
14	10, 13	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   ↦ cmpt 5225  ran crn 5671  ‘cfv 6533  (class class class)co 7394  1c1 11095  ℕ₀cn0 12456  Basecbs 17128  ._gcmg 18924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7709  ax-cnex 11150  ax-resscn 11151  ax-1cn 11152  ax-icn 11153  ax-addcl 11154  ax-addrcl 11155  ax-mulcl 11156  ax-mulrcl 11157  ax-mulcom 11158  ax-addass 11159  ax-mulass 11160  ax-distr 11161  ax-i2m1 11162  ax-1ne0 11163  ax-1rid 11164  ax-rnegex 11165  ax-rrecex 11166  ax-cnre 11167  ax-pre-lttri 11168  ax-pre-lttrn 11169  ax-pre-ltadd 11170  ax-pre-mulgt0 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7350  df-ov 7397  df-oprab 7398  df-mpo 7399  df-om 7840  df-1st 7959  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8355  df-rdg 8394  df-er 8688  df-en 8925  df-dom 8926  df-sdom 8927  df-pnf 11234  df-mnf 11235  df-xr 11236  df-ltxr 11237  df-le 11238  df-sub 11430  df-neg 11431  df-nn 12197  df-n0 12457  df-z 12543  df-uz 12807  df-seq 13951  df-mulg 18925

This theorem is referenced by: (None)