Theorem cycsubmcl 19158

Description: The set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 contains 𝐴. Although this theorem holds for any class 𝐺, the definition of 𝐹 is only meaningful if 𝐺 is a monoid or at least a unital magma. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubm.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubm.c	⊢ 𝐶 = ran 𝐹

Assertion

Ref	Expression
cycsubmcl	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥, ·

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cycsubmcl

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12516	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 1 ∈ ℕ0)
3		oveq1 7421	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 · 𝐴) = (1 · 𝐴))
4	3	eqeq2d 2736	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝐴 = (𝑖 · 𝐴) ↔ 𝐴 = (1 · 𝐴)))
5	4	adantl 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 = 1) → (𝐴 = (𝑖 · 𝐴) ↔ 𝐴 = (1 · 𝐴)))
6		cycsubm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		cycsubm.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8	6, 7	mulg1 19038	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
9	8	eqcomd 2731	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (1 · 𝐴))
10	2, 5, 9	rspcedvd 3603	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑖 · 𝐴))
11		cycsubm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
12		cycsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ran 𝐹
13	6, 7, 11, 12	cycsubmel 19157	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑖 · 𝐴))
14	10, 13	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∃wrex 3060   ↦ cmpt 5224  ran crn 5671  ‘cfv 6541  (class class class)co 7414  1c1 11137  ℕ₀cn0 12500  Basecbs 17177  ._gcmg 19025

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5357  ax-pr 5421  ax-un 7736  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4317  df-if 4523  df-pw 4598  df-sn 4623  df-pr 4625  df-op 4629  df-uni 4902  df-iun 4991  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5568  df-eprel 5574  df-po 5582  df-so 5583  df-fr 5625  df-we 5627  df-xp 5676  df-rel 5677  df-cnv 5678  df-co 5679  df-dm 5680  df-rn 5681  df-res 5682  df-ima 5683  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7867  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-seq 13997  df-mulg 19026

This theorem is referenced by: (None)