Theorem cycsubmcl 19078

Description: The set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 contains 𝐴. Although this theorem holds for any class 𝐺, the definition of 𝐹 is only meaningful if 𝐺 is a monoid or at least a unital magma. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubm.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubm.c	⊢ 𝐶 = ran 𝐹

Assertion

Ref	Expression
cycsubmcl	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐶)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥, ·

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cycsubmcl

Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1nn0 12488	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℕ0
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 1 ∈ ℕ0)
3		oveq1 7416	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝑖 · 𝐴) = (1 · 𝐴))
4	3	eqeq2d 2744	. . . 4 ⊢ (𝑖 = 1 → (𝐴 = (𝑖 · 𝐴) ↔ 𝐴 = (1 · 𝐴)))
5	4	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐵 ∧ 𝑖 = 1) → (𝐴 = (𝑖 · 𝐴) ↔ 𝐴 = (1 · 𝐴)))
6		cycsubm.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
7		cycsubm.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
8	6, 7	mulg1 18961	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
9	8	eqcomd 2739	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 = (1 · 𝐴))
10	2, 5, 9	rspcedvd 3615	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑖 · 𝐴))
11		cycsubm.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
12		cycsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ran 𝐹
13	6, 7, 11, 12	cycsubmel 19077	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑖 · 𝐴))
14	10, 13	sylibr 233	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → 𝐴 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∃wrex 3071   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  1c1 11111  ℕ₀cn0 12472  Basecbs 17144  ._gcmg 18950

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-seq 13967  df-mulg 18951

This theorem is referenced by: (None)