Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubmcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubmcl 18416
 Description: The set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 contains 𝐴. Although this theorem holds for any class 𝐺, the definition of 𝐹 is only meaningful if 𝐺 is a monoid or at least a unital magma. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubm.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubm.t · = (.g𝐺)
cycsubm.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubm.c 𝐶 = ran 𝐹
Assertion
Ref Expression
cycsubmcl (𝐴𝐵𝐴𝐶)
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥, ·
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)

Proof of Theorem cycsubmcl
Dummy variable 𝑖 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1nn0 11955 . . . 4 1 ∈ ℕ0
21a1i 11 . . 3 (𝐴𝐵 → 1 ∈ ℕ0)
3 oveq1 7162 . . . . 5 (𝑖 = 1 → (𝑖 · 𝐴) = (1 · 𝐴))
43eqeq2d 2769 . . . 4 (𝑖 = 1 → (𝐴 = (𝑖 · 𝐴) ↔ 𝐴 = (1 · 𝐴)))
54adantl 485 . . 3 ((𝐴𝐵𝑖 = 1) → (𝐴 = (𝑖 · 𝐴) ↔ 𝐴 = (1 · 𝐴)))
6 cycsubm.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐺)
7 cycsubm.t . . . . 5 · = (.g𝐺)
86, 7mulg1 18307 . . . 4 (𝐴𝐵 → (1 · 𝐴) = 𝐴)
98eqcomd 2764 . . 3 (𝐴𝐵𝐴 = (1 · 𝐴))
102, 5, 9rspcedvd 3546 . 2 (𝐴𝐵 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑖 · 𝐴))
11 cycsubm.f . . 3 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
12 cycsubm.c . . 3 𝐶 = ran 𝐹
136, 7, 11, 12cycsubmel 18415 . 2 (𝐴𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝐴 = (𝑖 · 𝐴))
1410, 13sylibr 237 1 (𝐴𝐵𝐴𝐶)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3071   ↦ cmpt 5115  ran crn 5528  ‘cfv 6339  (class class class)co 7155  1c1 10581  ℕ0cn0 11939  Basecbs 16546  .gcmg 18296 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-iun 4888  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-tr 5142  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5446  df-so 5447  df-fr 5486  df-we 5488  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7585  df-1st 7698  df-2nd 7699  df-wrecs 7962  df-recs 8023  df-rdg 8061  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916  df-nn 11680  df-n0 11940  df-z 12026  df-uz 12288  df-seq 13424  df-mulg 18297 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator