MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qus0subgadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qus0subgadd 19230
Description: The addition in a quotient of a group by the trivial (zero) subgroup. (Contributed by AV, 26-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
qus0subg.0 0 = (0g𝐺)
qus0subg.s 𝑆 = { 0 }
qus0subg.e = (𝐺 ~QG 𝑆)
qus0subg.u 𝑈 = (𝐺 /s )
qus0subg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
qus0subgadd (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ({𝑎} (+g𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g𝐺)𝑏)})
Distinct variable groups:   𝐵,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   (𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝑈(𝑎,𝑏)   0 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem qus0subgadd
Dummy variables 𝑥 𝑝 𝑞 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qus0subg.u . . . . . 6 𝑈 = (𝐺 /s )
21a1i 11 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝑈 = (𝐺 /s ))
3 qus0subg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
43a1i 11 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 = (Base‘𝐺))
5 qus0subg.s . . . . . . 7 𝑆 = { 0 }
6 qus0subg.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
760subg 19182 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
85, 7eqeltrid 2843 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9 qus0subg.e . . . . . . 7 = (𝐺 ~QG 𝑆)
103, 9eqger 19209 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → Er 𝐵)
118, 10syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → Er 𝐵)
12 id 22 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
1360nsg 19200 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
145, 13eqeltrid 2843 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
15 eqid 2735 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
163, 9, 15eqgcpbl 19213 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝑥 𝑝𝑦 𝑞) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) (𝑝(+g𝐺)𝑞)))
1714, 16syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 𝑝𝑦 𝑞) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) (𝑝(+g𝐺)𝑞)))
183, 15grpcl 18972 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑝𝐵𝑞𝐵) → (𝑝(+g𝐺)𝑞) ∈ 𝐵)
19183expb 1119 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑝𝐵𝑞𝐵)) → (𝑝(+g𝐺)𝑞) ∈ 𝐵)
20 eqid 2735 . . . . 5 (+g𝑈) = (+g𝑈)
212, 4, 11, 12, 17, 19, 15, 20qusaddval 17600 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → ([𝑎] (+g𝑈)[𝑏] ) = [(𝑎(+g𝐺)𝑏)] )
22213expb 1119 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ([𝑎] (+g𝑈)[𝑏] ) = [(𝑎(+g𝐺)𝑏)] )
236, 5, 3, 9eqg0subgecsn 19228 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵) → [𝑎] = {𝑎})
2423adantrr 717 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → [𝑎] = {𝑎})
256, 5, 3, 9eqg0subgecsn 19228 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏𝐵) → [𝑏] = {𝑏})
2625adantrl 716 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → [𝑏] = {𝑏})
2724, 26oveq12d 7449 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ([𝑎] (+g𝑈)[𝑏] ) = ({𝑎} (+g𝑈){𝑏}))
283, 15grpcl 18972 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝐵)
29283expb 1119 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝐵)
306, 5, 3, 9eqg0subgecsn 19228 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝐵) → [(𝑎(+g𝐺)𝑏)] = {(𝑎(+g𝐺)𝑏)})
3129, 30syldan 591 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → [(𝑎(+g𝐺)𝑏)] = {(𝑎(+g𝐺)𝑏)})
3222, 27, 313eqtr3d 2783 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({𝑎} (+g𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g𝐺)𝑏)})
3332ralrimivva 3200 1 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ({𝑎} (+g𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g𝐺)𝑏)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  {csn 4631   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431   Er wer 8741  [cec 8742  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  0gc0g 17486   /s cqus 17552  Grpcgrp 18964  SubGrpcsubg 19151  NrmSGrpcnsg 19152   ~QG cqg 19153
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-ec 8746  df-qs 8750  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-0g 17488  df-imas 17555  df-qus 17556  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-nsg 19155  df-eqg 19156
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator