Theorem qus0subgadd 19266

Description: The addition in a quotient of a group by the trivial (zero) subgroup. (Contributed by AV, 26-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qus0subg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
qus0subg.s	⊢ 𝑆 = { 0 }
qus0subg.e	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
qus0subg.u	⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
qus0subg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
qus0subgadd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ({𝑎} (+g‘𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)})

Distinct variable groups:   𝐵,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   ∼ (𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝑈(𝑎,𝑏)   0 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem qus0subgadd

Dummy variables 𝑥 𝑝 𝑞 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qus0subg.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑈 = (𝐺 /s ∼ ))
3		qus0subg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 = (Base‘𝐺))
5		qus0subg.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = { 0 }
6		qus0subg.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
7	6	0subg 19214	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	5, 7	eqeltrid 2873	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9		qus0subg.e	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
10	3, 9	eqger 19242	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∼ Er 𝐵)
11	8, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∼ Er 𝐵)
12		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
13	6	0nsg 19231	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
14	5, 13	eqeltrid 2873	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
15		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
16	3, 9, 15	eqgcpbl 19246	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝑥 ∼ 𝑝 ∧ 𝑦 ∼ 𝑞) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∼ (𝑝(+g‘𝐺)𝑞)))
17	14, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∼ 𝑝 ∧ 𝑦 ∼ 𝑞) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∼ (𝑝(+g‘𝐺)𝑞)))
18	3, 15	grpcl 19004	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑝(+g‘𝐺)𝑞) ∈ 𝐵)
19	18	3expb 1136	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝(+g‘𝐺)𝑞) ∈ 𝐵)
20		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
21	2, 4, 11, 12, 17, 19, 15, 20	qusaddval 17603	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝑈)[𝑏] ∼ ) = [(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)] ∼ )
22	21	3expb 1136	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝑈)[𝑏] ∼ ) = [(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)] ∼ )
23	6, 5, 3, 9	eqg0subgecsn 19264	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → [𝑎] ∼ = {𝑎})
24	23	adantrr 729	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → [𝑎] ∼ = {𝑎})
25	6, 5, 3, 9	eqg0subgecsn 19264	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → [𝑏] ∼ = {𝑏})
26	25	adantrl 728	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → [𝑏] ∼ = {𝑏})
27	24, 26	oveq12d 7426	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝑈)[𝑏] ∼ ) = ({𝑎} (+g‘𝑈){𝑏}))
28	3, 15	grpcl 19004	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐵)
29	28	3expb 1136	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐵)
30	6, 5, 3, 9	eqg0subgecsn 19264	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐵) → [(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)] ∼ = {(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)})
31	29, 30	syldan 602	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → [(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)] ∼ = {(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)})
32	22, 27, 31	3eqtr3d 2812	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({𝑎} (+g‘𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)})
33	32	ralrimivva 3214	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ({𝑎} (+g‘𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∀wral 3085  {csn 4591   class class class wbr 5110  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408   Er wer 8687  [cec 8688  Basecbs 17265  +_gcplusg 17306  0_gc0g 17488   /_s cqus 17555  Grpcgrp 18996  SubGrpcsubg 19182  NrmSGrpcnsg 19183   ~_QG cqg 19184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6300  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6490  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-ec 8692  df-qs 8696  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9398  df-inf 9399  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-0g 17490  df-imas 17558  df-qus 17559  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-subg 19185  df-nsg 19186  df-eqg 19187

This theorem is referenced by: (None)