MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qus0subgadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qus0subgadd 19217
Description: The addition in a quotient of a group by the trivial (zero) subgroup. (Contributed by AV, 26-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
qus0subg.0 0 = (0g𝐺)
qus0subg.s 𝑆 = { 0 }
qus0subg.e = (𝐺 ~QG 𝑆)
qus0subg.u 𝑈 = (𝐺 /s )
qus0subg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
qus0subgadd (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ({𝑎} (+g𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g𝐺)𝑏)})
Distinct variable groups:   𝐵,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   (𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝑈(𝑎,𝑏)   0 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem qus0subgadd
Dummy variables 𝑥 𝑝 𝑞 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qus0subg.u . . . . . 6 𝑈 = (𝐺 /s )
21a1i 11 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝑈 = (𝐺 /s ))
3 qus0subg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
43a1i 11 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 = (Base‘𝐺))
5 qus0subg.s . . . . . . 7 𝑆 = { 0 }
6 qus0subg.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
760subg 19169 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
85, 7eqeltrid 2845 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9 qus0subg.e . . . . . . 7 = (𝐺 ~QG 𝑆)
103, 9eqger 19196 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → Er 𝐵)
118, 10syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → Er 𝐵)
12 id 22 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
1360nsg 19187 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
145, 13eqeltrid 2845 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
15 eqid 2737 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
163, 9, 15eqgcpbl 19200 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝑥 𝑝𝑦 𝑞) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) (𝑝(+g𝐺)𝑞)))
1714, 16syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 𝑝𝑦 𝑞) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) (𝑝(+g𝐺)𝑞)))
183, 15grpcl 18959 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑝𝐵𝑞𝐵) → (𝑝(+g𝐺)𝑞) ∈ 𝐵)
19183expb 1121 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑝𝐵𝑞𝐵)) → (𝑝(+g𝐺)𝑞) ∈ 𝐵)
20 eqid 2737 . . . . 5 (+g𝑈) = (+g𝑈)
212, 4, 11, 12, 17, 19, 15, 20qusaddval 17598 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → ([𝑎] (+g𝑈)[𝑏] ) = [(𝑎(+g𝐺)𝑏)] )
22213expb 1121 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ([𝑎] (+g𝑈)[𝑏] ) = [(𝑎(+g𝐺)𝑏)] )
236, 5, 3, 9eqg0subgecsn 19215 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵) → [𝑎] = {𝑎})
2423adantrr 717 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → [𝑎] = {𝑎})
256, 5, 3, 9eqg0subgecsn 19215 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏𝐵) → [𝑏] = {𝑏})
2625adantrl 716 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → [𝑏] = {𝑏})
2724, 26oveq12d 7449 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ([𝑎] (+g𝑈)[𝑏] ) = ({𝑎} (+g𝑈){𝑏}))
283, 15grpcl 18959 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝐵)
29283expb 1121 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝐵)
306, 5, 3, 9eqg0subgecsn 19215 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝐵) → [(𝑎(+g𝐺)𝑏)] = {(𝑎(+g𝐺)𝑏)})
3129, 30syldan 591 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → [(𝑎(+g𝐺)𝑏)] = {(𝑎(+g𝐺)𝑏)})
3222, 27, 313eqtr3d 2785 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({𝑎} (+g𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g𝐺)𝑏)})
3332ralrimivva 3202 1 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ({𝑎} (+g𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g𝐺)𝑏)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  {csn 4626   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431   Er wer 8742  [cec 8743  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484   /s cqus 17550  Grpcgrp 18951  SubGrpcsubg 19138  NrmSGrpcnsg 19139   ~QG cqg 19140
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator