Theorem qus0subgadd 19464

Description: The addition in a quotient of a group by the trivial (zero) subgroup. (Contributed by AV, 26-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qus0subg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
qus0subg.s	⊢ 𝑆 = { 0 }
qus0subg.e	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
qus0subg.u	⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
qus0subg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
qus0subgadd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ({𝑎} (+g‘𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)})

Distinct variable groups:   𝐵,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   ∼ (𝑎, 𝑏)   𝑆(𝑎, 𝑏)   𝑈(𝑎, 𝑏)   0 (𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem qus0subgadd

Dummy variables 𝑥 𝑝 𝑞 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qus0subg.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑈 = (𝐺 /s ∼ ))
3		qus0subg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 = (Base‘𝐺))
5		qus0subg.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = { 0 }
6		qus0subg.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
7	6	0subg 19412	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	5, 7	eqeltrid 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9		qus0subg.e	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
10	3, 9	eqger 19440	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∼ Er 𝐵)
11	8, 10	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∼ Er 𝐵)
12		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
13	6	0nsg 19429	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
14	5, 13	eqeltrid 2868	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
15		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
16	3, 9, 15	eqgcpbl 19444	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝑥 ∼ 𝑝 ∧ 𝑦 ∼ 𝑞) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∼ (𝑝(+g‘𝐺)𝑞)))
17	14, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∼ 𝑝 ∧ 𝑦 ∼ 𝑞) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∼ (𝑝(+g‘𝐺)𝑞)))
18	3, 15	grpcl 19202	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑝(+g‘𝐺)𝑞) ∈ 𝐵)
19	18	3expb 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝(+g‘𝐺)𝑞) ∈ 𝐵)
20		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
21	2, 4, 11, 12, 17, 19, 15, 20	qusaddval 17775	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝑈)[𝑏] ∼ ) = [(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)] ∼ )
22	21	3expb 1138	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝑈)[𝑏] ∼ ) = [(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)] ∼ )
23	6, 5, 3, 9	eqg0subgecsn 19462	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → [𝑎] ∼ = {𝑎})
24	23	adantrr 730	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → [𝑎] ∼ = {𝑎})
25	6, 5, 3, 9	eqg0subgecsn 19462	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → [𝑏] ∼ = {𝑏})
26	25	adantrl 729	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → [𝑏] ∼ = {𝑏})
27	24, 26	oveq12d 7469	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝑈)[𝑏] ∼ ) = ({𝑎} (+g‘𝑈){𝑏}))
28	3, 15	grpcl 19202	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐵)
29	28	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐵)
30	6, 5, 3, 9	eqg0subgecsn 19462	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐵) → [(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)] ∼ = {(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)})
31	29, 30	syldan 603	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → [(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)] ∼ = {(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)})
32	22, 27, 31	3eqtr3d 2806	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({𝑎} (+g‘𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)})
33	32	ralrimivva 3209	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ({𝑎} (+g‘𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  {csn 4588   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   Er wer 8752  [cec 8753  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  0_gc0g 17660   /_s cqus 17727  Grpcgrp 19194  SubGrpcsubg 19380  NrmSGrpcnsg 19381   ~_QG cqg 19382

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-ec 8757  df-qs 8761  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-sup 9471  df-inf 9472  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-0g 17662  df-imas 17730  df-qus 17731  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-nsg 19384  df-eqg 19385

This theorem is used by: (None)