MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  qus0subgadd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qus0subgadd 19153
Description: The addition in a quotient of a group by the trivial (zero) subgroup. (Contributed by AV, 26-Feb-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
qus0subg.0 0 = (0g𝐺)
qus0subg.s 𝑆 = { 0 }
qus0subg.e = (𝐺 ~QG 𝑆)
qus0subg.u 𝑈 = (𝐺 /s )
qus0subg.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
Assertion
Ref Expression
qus0subgadd (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ({𝑎} (+g𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g𝐺)𝑏)})
Distinct variable groups:   𝐵,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   (𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝑈(𝑎,𝑏)   0 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem qus0subgadd
Dummy variables 𝑥 𝑝 𝑞 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qus0subg.u . . . . . 6 𝑈 = (𝐺 /s )
21a1i 11 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝑈 = (𝐺 /s ))
3 qus0subg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
43a1i 11 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 = (Base‘𝐺))
5 qus0subg.s . . . . . . 7 𝑆 = { 0 }
6 qus0subg.0 . . . . . . . 8 0 = (0g𝐺)
760subg 19105 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
85, 7eqeltrid 2829 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9 qus0subg.e . . . . . . 7 = (𝐺 ~QG 𝑆)
103, 9eqger 19132 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → Er 𝐵)
118, 10syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → Er 𝐵)
12 id 22 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
1360nsg 19123 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
145, 13eqeltrid 2829 . . . . . 6 (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
15 eqid 2725 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
163, 9, 15eqgcpbl 19136 . . . . . 6 (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝑥 𝑝𝑦 𝑞) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) (𝑝(+g𝐺)𝑞)))
1714, 16syl 17 . . . . 5 (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 𝑝𝑦 𝑞) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) (𝑝(+g𝐺)𝑞)))
183, 15grpcl 18897 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑝𝐵𝑞𝐵) → (𝑝(+g𝐺)𝑞) ∈ 𝐵)
19183expb 1117 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑝𝐵𝑞𝐵)) → (𝑝(+g𝐺)𝑞) ∈ 𝐵)
20 eqid 2725 . . . . 5 (+g𝑈) = (+g𝑈)
212, 4, 11, 12, 17, 19, 15, 20qusaddval 17529 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → ([𝑎] (+g𝑈)[𝑏] ) = [(𝑎(+g𝐺)𝑏)] )
22213expb 1117 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ([𝑎] (+g𝑈)[𝑏] ) = [(𝑎(+g𝐺)𝑏)] )
236, 5, 3, 9eqg0subgecsn 19151 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵) → [𝑎] = {𝑎})
2423adantrr 715 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → [𝑎] = {𝑎})
256, 5, 3, 9eqg0subgecsn 19151 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏𝐵) → [𝑏] = {𝑏})
2625adantrl 714 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → [𝑏] = {𝑏})
2724, 26oveq12d 7431 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ([𝑎] (+g𝑈)[𝑏] ) = ({𝑎} (+g𝑈){𝑏}))
283, 15grpcl 18897 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎𝐵𝑏𝐵) → (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝐵)
29283expb 1117 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝐵)
306, 5, 3, 9eqg0subgecsn 19151 . . . 4 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝐵) → [(𝑎(+g𝐺)𝑏)] = {(𝑎(+g𝐺)𝑏)})
3129, 30syldan 589 . . 3 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → [(𝑎(+g𝐺)𝑏)] = {(𝑎(+g𝐺)𝑏)})
3222, 27, 313eqtr3d 2773 . 2 ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎𝐵𝑏𝐵)) → ({𝑎} (+g𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g𝐺)𝑏)})
3332ralrimivva 3191 1 (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎𝐵𝑏𝐵 ({𝑎} (+g𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g𝐺)𝑏)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wral 3051  {csn 4625   class class class wbr 5144  cfv 6543  (class class class)co 7413   Er wer 8715  [cec 8716  Basecbs 17174  +gcplusg 17227  0gc0g 17415   /s cqus 17481  Grpcgrp 18889  SubGrpcsubg 19074  NrmSGrpcnsg 19075   ~QG cqg 19076
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-ec 8720  df-qs 8724  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9460  df-inf 9461  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-0g 17417  df-imas 17484  df-qus 17485  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-subg 19077  df-nsg 19078  df-eqg 19079
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator