Theorem qus0subgadd 19217

Description: The addition in a quotient of a group by the trivial (zero) subgroup. (Contributed by AV, 26-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qus0subg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
qus0subg.s	⊢ 𝑆 = { 0 }
qus0subg.e	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
qus0subg.u	⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
qus0subg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
qus0subgadd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ({𝑎} (+g‘𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)})

Distinct variable groups:   𝐵,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   ∼ (𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝑈(𝑎,𝑏)   0 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem qus0subgadd

Dummy variables 𝑥 𝑝 𝑞 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qus0subg.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑈 = (𝐺 /s ∼ ))
3		qus0subg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 = (Base‘𝐺))
5		qus0subg.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = { 0 }
6		qus0subg.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
7	6	0subg 19169	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	5, 7	eqeltrid 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9		qus0subg.e	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
10	3, 9	eqger 19196	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∼ Er 𝐵)
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∼ Er 𝐵)
12		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
13	6	0nsg 19187	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
14	5, 13	eqeltrid 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
15		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
16	3, 9, 15	eqgcpbl 19200	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝑥 ∼ 𝑝 ∧ 𝑦 ∼ 𝑞) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∼ (𝑝(+g‘𝐺)𝑞)))
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∼ 𝑝 ∧ 𝑦 ∼ 𝑞) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∼ (𝑝(+g‘𝐺)𝑞)))
18	3, 15	grpcl 18959	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑝(+g‘𝐺)𝑞) ∈ 𝐵)
19	18	3expb 1121	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝(+g‘𝐺)𝑞) ∈ 𝐵)
20		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
21	2, 4, 11, 12, 17, 19, 15, 20	qusaddval 17598	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝑈)[𝑏] ∼ ) = [(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)] ∼ )
22	21	3expb 1121	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝑈)[𝑏] ∼ ) = [(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)] ∼ )
23	6, 5, 3, 9	eqg0subgecsn 19215	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → [𝑎] ∼ = {𝑎})
24	23	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → [𝑎] ∼ = {𝑎})
25	6, 5, 3, 9	eqg0subgecsn 19215	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → [𝑏] ∼ = {𝑏})
26	25	adantrl 716	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → [𝑏] ∼ = {𝑏})
27	24, 26	oveq12d 7449	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝑈)[𝑏] ∼ ) = ({𝑎} (+g‘𝑈){𝑏}))
28	3, 15	grpcl 18959	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐵)
29	28	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐵)
30	6, 5, 3, 9	eqg0subgecsn 19215	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐵) → [(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)] ∼ = {(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)})
31	29, 30	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → [(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)] ∼ = {(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)})
32	22, 27, 31	3eqtr3d 2785	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({𝑎} (+g‘𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)})
33	32	ralrimivva 3202	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ({𝑎} (+g‘𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3061  {csn 4626   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   Er wer 8742  [cec 8743  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17484   /_s cqus 17550  Grpcgrp 18951  SubGrpcsubg 19138  NrmSGrpcnsg 19139   ~_QG cqg 19140

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-ec 8747  df-qs 8751  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17486  df-imas 17553  df-qus 17554  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-nsg 19142  df-eqg 19143

This theorem is referenced by: (None)