Theorem qus0subgadd 19119

Description: The addition in a quotient of a group by the trivial (zero) subgroup. (Contributed by AV, 26-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
qus0subg.0	⊢ 0 = (0g‘𝐺)
qus0subg.s	⊢ 𝑆 = { 0 }
qus0subg.e	⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
qus0subg.u	⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
qus0subg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
qus0subgadd	⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ({𝑎} (+g‘𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)})

Distinct variable groups:   𝐵,𝑏   𝐺,𝑎,𝑏

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑎)   ∼ (𝑎,𝑏)   𝑆(𝑎,𝑏)   𝑈(𝑎,𝑏)   0 (𝑎,𝑏)

Proof of Theorem qus0subgadd

Dummy variables 𝑥 𝑝 𝑞 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qus0subg.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (𝐺 /s ∼ )
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑈 = (𝐺 /s ∼ ))
3		qus0subg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
4	3	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐵 = (Base‘𝐺))
5		qus0subg.s	. . . . . . 7 ⊢ 𝑆 = { 0 }
6		qus0subg.0	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐺)
7	6	0subg 19072	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (SubGrp‘𝐺))
8	5, 7	eqeltrid 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺))
9		qus0subg.e	. . . . . . 7 ⊢ ∼ = (𝐺 ~QG 𝑆)
10	3, 9	eqger 19098	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝐺) → ∼ Er 𝐵)
11	8, 10	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∼ Er 𝐵)
12		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝐺 ∈ Grp)
13	6	0nsg 19089	. . . . . . 7 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → { 0 } ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
14	5, 13	eqeltrid 2837	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → 𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺))
15		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
16	3, 9, 15	eqgcpbl 19102	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ (NrmSGrp‘𝐺) → ((𝑥 ∼ 𝑝 ∧ 𝑦 ∼ 𝑞) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∼ (𝑝(+g‘𝐺)𝑞)))
17	14, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ((𝑥 ∼ 𝑝 ∧ 𝑦 ∼ 𝑞) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∼ (𝑝(+g‘𝐺)𝑞)))
18	3, 15	grpcl 18862	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵) → (𝑝(+g‘𝐺)𝑞) ∈ 𝐵)
19	18	3expb 1120	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑝 ∈ 𝐵 ∧ 𝑞 ∈ 𝐵)) → (𝑝(+g‘𝐺)𝑞) ∈ 𝐵)
20		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
21	2, 4, 11, 12, 17, 19, 15, 20	qusaddval 17465	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝑈)[𝑏] ∼ ) = [(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)] ∼ )
22	21	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝑈)[𝑏] ∼ ) = [(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)] ∼ )
23	6, 5, 3, 9	eqg0subgecsn 19117	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → [𝑎] ∼ = {𝑎})
24	23	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → [𝑎] ∼ = {𝑎})
25	6, 5, 3, 9	eqg0subgecsn 19117	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → [𝑏] ∼ = {𝑏})
26	25	adantrl 716	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → [𝑏] ∼ = {𝑏})
27	24, 26	oveq12d 7373	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ([𝑎] ∼ (+g‘𝑈)[𝑏] ∼ ) = ({𝑎} (+g‘𝑈){𝑏}))
28	3, 15	grpcl 18862	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐵)
29	28	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐵)
30	6, 5, 3, 9	eqg0subgecsn 19117	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐵) → [(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)] ∼ = {(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)})
31	29, 30	syldan 591	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → [(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)] ∼ = {(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)})
32	22, 27, 31	3eqtr3d 2776	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ({𝑎} (+g‘𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)})
33	32	ralrimivva 3176	1 ⊢ (𝐺 ∈ Grp → ∀𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑏 ∈ 𝐵 ({𝑎} (+g‘𝑈){𝑏}) = {(𝑎(+g‘𝐺)𝑏)})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3048  {csn 4577   class class class wbr 5095  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355   Er wer 8628  [cec 8629  Basecbs 17127  +_gcplusg 17168  0_gc0g 17350   /_s cqus 17417  Grpcgrp 18854  SubGrpcsubg 19041  NrmSGrpcnsg 19042   ~_QG cqg 19043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-ec 8633  df-qs 8637  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-sup 9337  df-inf 9338  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-7 12204  df-8 12205  df-9 12206  df-n0 12393  df-z 12480  df-dec 12599  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-ip 17186  df-tset 17187  df-ple 17188  df-ds 17190  df-0g 17352  df-imas 17420  df-qus 17421  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-subg 19044  df-nsg 19045  df-eqg 19046

This theorem is referenced by: (None)