MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubm 18996
Description: The set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of a monoid forms a submonoid containing 𝐴 (see cycsubmcl 18995), called the cyclic monoid generated by the element 𝐴. This corresponds to the statement in [Lang] p. 6. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
cycsubm.t Β· = (.gβ€˜πΊ)
cycsubm.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))
cycsubm.c 𝐢 = ran 𝐹
Assertion
Ref Expression
cycsubm ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯, Β·   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝐹(π‘₯)

Proof of Theorem cycsubm
Dummy variables 𝑖 π‘Ž 𝑏 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycsubm.c . . 3 𝐢 = ran 𝐹
2 cycsubm.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
3 cycsubm.t . . . . . . . 8 Β· = (.gβ€˜πΊ)
42, 3mulgnn0cl 18893 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
543expa 1119 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
65an32s 651 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
7 cycsubm.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))
86, 7fmptd 7063 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:β„•0⟢𝐡)
98frnd 6677 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
101, 9eqsstrid 3993 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
11 0nn0 12429 . . . . 5 0 ∈ β„•0
1211a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ β„•0)
13 oveq1 7365 . . . . . 6 (𝑖 = 0 β†’ (𝑖 Β· 𝐴) = (0 Β· 𝐴))
1413eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑖 = 0 β†’ ((0gβ€˜πΊ) = (𝑖 Β· 𝐴) ↔ (0gβ€˜πΊ) = (0 Β· 𝐴)))
1514adantl 483 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((0gβ€˜πΊ) = (𝑖 Β· 𝐴) ↔ (0gβ€˜πΊ) = (0 Β· 𝐴)))
16 eqid 2737 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
172, 16, 3mulg0 18880 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (0 Β· 𝐴) = (0gβ€˜πΊ))
1817adantl 483 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· 𝐴) = (0gβ€˜πΊ))
1918eqcomd 2743 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜πΊ) = (0 Β· 𝐴))
2012, 15, 19rspcedvd 3584 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 (0gβ€˜πΊ) = (𝑖 Β· 𝐴))
212, 3, 7, 1cycsubmel 18994 . . 3 ((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐢 ↔ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 (0gβ€˜πΊ) = (𝑖 Β· 𝐴))
2220, 21sylibr 233 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐢)
23 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
24 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
2523, 24nn0addcld 12478 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝑖 + 𝑗) ∈ β„•0)
2625adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴) ∧ π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴))) β†’ (𝑖 + 𝑗) ∈ β„•0)
27 oveq1 7365 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (𝑖 + 𝑗) β†’ (π‘˜ Β· 𝐴) = ((𝑖 + 𝑗) Β· 𝐴))
2827eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (𝑖 + 𝑗) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝐴) ↔ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) Β· 𝐴)))
2928adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴) ∧ π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴))) ∧ π‘˜ = (𝑖 + 𝑗)) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝐴) ↔ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) Β· 𝐴)))
30 oveq12 7367 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = ((𝑖 Β· 𝐴)(+gβ€˜πΊ)(𝑗 Β· 𝐴)))
3130ancoms 460 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴) ∧ π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = ((𝑖 Β· 𝐴)(+gβ€˜πΊ)(𝑗 Β· 𝐴)))
32 simplll 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
33 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
34 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
352, 3, 34mulgnn0dir 18907 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑗 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑖 + 𝑗) Β· 𝐴) = ((𝑖 Β· 𝐴)(+gβ€˜πΊ)(𝑗 Β· 𝐴)))
3632, 23, 24, 33, 35syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((𝑖 + 𝑗) Β· 𝐴) = ((𝑖 Β· 𝐴)(+gβ€˜πΊ)(𝑗 Β· 𝐴)))
3736eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((𝑖 Β· 𝐴)(+gβ€˜πΊ)(𝑗 Β· 𝐴)) = ((𝑖 + 𝑗) Β· 𝐴))
3831, 37sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴) ∧ π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴))) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) Β· 𝐴))
3926, 29, 38rspcedvd 3584 . . . . . . . . 9 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴) ∧ π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝐴))
4039exp32 422 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴) β†’ (π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝐴))))
4140rexlimdva 3153 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„•0 𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴) β†’ (π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝐴))))
4241com23 86 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„•0 𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝐴))))
4342rexlimdva 3153 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ β„•0 π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„•0 𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝐴))))
4443impd 412 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ((βˆƒπ‘– ∈ β„•0 π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„•0 𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝐴)))
452, 3, 7, 1cycsubmel 18994 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝐢 ↔ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴))
462, 3, 7, 1cycsubmel 18994 . . . . 5 (𝑏 ∈ 𝐢 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„•0 𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴))
4745, 46anbi12i 628 . . . 4 ((π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢) ↔ (βˆƒπ‘– ∈ β„•0 π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„•0 𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴)))
482, 3, 7, 1cycsubmel 18994 . . . 4 ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐢 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝐴))
4944, 47, 483imtr4g 296 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐢))
5049ralrimivv 3196 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐢 βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐢)
512, 16, 34issubm 18615 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (𝐢 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ (𝐢 βŠ† 𝐡 ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐢 βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐢)))
5251adantr 482 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝐢 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ (𝐢 βŠ† 𝐡 ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐢 βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐢)))
5310, 22, 50, 52mpbir3and 1343 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3911   ↦ cmpt 5189  ran crn 5635  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  0cc0 11052   + caddc 11055  β„•0cn0 12414  Basecbs 17084  +gcplusg 17134  0gc0g 17322  Mndcmnd 18557  SubMndcsubmnd 18601  .gcmg 18873
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-seq 13908  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-submnd 18603  df-mulg 18874
This theorem is referenced by:  cycsubmcmn  19667
  Copyright terms: Public domain W3C validator