Theorem cycsubm 19242

Description: The set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of a monoid forms a submonoid containing 𝐴 (see cycsubmcl 19241), called the cyclic monoid generated by the element 𝐴. This corresponds to the statement in [Lang] p. 6. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubm.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubm.c	⊢ 𝐶 = ran 𝐹

Assertion

Ref	Expression
cycsubm	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥, ·   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cycsubm

Dummy variables 𝑖 𝑎 𝑏 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ran 𝐹
2		cycsubm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		cycsubm.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4	2, 3	mulgnn0cl 19130	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
5	4	3expa 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
6	5	an32s 651	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
7		cycsubm.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
8	6, 7	fmptd 7148	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
9	8	frnd 6755	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
10	1, 9	eqsstrid 4057	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
11		0nn0 12568	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℕ0)
13		oveq1 7455	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
14	13	eqeq2d 2751	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 0 → ((0g‘𝐺) = (𝑖 · 𝐴) ↔ (0g‘𝐺) = (0 · 𝐴)))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 = 0) → ((0g‘𝐺) = (𝑖 · 𝐴) ↔ (0g‘𝐺) = (0 · 𝐴)))
16		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	2, 16, 3	mulg0 19114	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (0 · 𝐴) = (0g‘𝐺))
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (0 · 𝐴) = (0g‘𝐺))
19	18	eqcomd 2746	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) = (0 · 𝐴))
20	12, 15, 19	rspcedvd 3637	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 (0g‘𝐺) = (𝑖 · 𝐴))
21	2, 3, 7, 1	cycsubmel 19240	. . 3 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 (0g‘𝐺) = (𝑖 · 𝐴))
22	20, 21	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐶)
23		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
25	23, 24	nn0addcld 12617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℕ0)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℕ0)
27		oveq1 7455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 𝑗) → (𝑘 · 𝐴) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
28	27	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 𝑗) → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴) ↔ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴)))
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 𝑗)) → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴) ↔ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴)))
30		oveq12 7457	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
31	30	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
32		simplll 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
33		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ 𝐵)
34		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
35	2, 3, 34	mulgnn0dir 19144	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴) = ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
36	32, 23, 24, 33, 35	syl13anc 1372	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴) = ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
37	36	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
38	31, 37	sylan9eqr 2802	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
39	26, 29, 38	rspcedvd 3637	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))
40	39	exp32 420	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
41	40	rexlimdva 3161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
42	41	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
43	42	rexlimdva 3161	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
44	43	impd 410	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴)))
45	2, 3, 7, 1	cycsubmel 19240	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))
46	2, 3, 7, 1	cycsubmel 19240	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴))
47	45, 46	anbi12i 627	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) ↔ (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)))
48	2, 3, 7, 1	cycsubmel 19240	. . . 4 ⊢ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))
49	44, 47, 48	3imtr4g 296	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶))
50	49	ralrimivv 3206	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)
51	2, 16, 34	issubm 18838	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)))
52	51	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)))
53	10, 22, 50, 52	mpbir3and 1342	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ∀wral 3067  ∃wrex 3076   ⊆ wss 3976   ↦ cmpt 5249  ran crn 5701  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184   + caddc 11187  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  0_gc0g 17499  Mndcmnd 18772  SubMndcsubmnd 18817  ._gcmg 19107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-seq 14053  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-mulg 19108

This theorem is referenced by:  cycsubmcmn  19931