MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubm 19220
Description: The set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of a monoid forms a submonoid containing 𝐴 (see cycsubmcl 19219), called the cyclic monoid generated by the element 𝐴. This corresponds to the statement in [Lang] p. 6. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubm.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubm.t · = (.g𝐺)
cycsubm.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubm.c 𝐶 = ran 𝐹
Assertion
Ref Expression
cycsubm ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥, ·   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cycsubm
Dummy variables 𝑖 𝑎 𝑏 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycsubm.c . . 3 𝐶 = ran 𝐹
2 cycsubm.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 cycsubm.t . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
42, 3mulgnn0cl 19108 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
543expa 1119 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
65an32s 652 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
7 cycsubm.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
86, 7fmptd 7134 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → 𝐹:ℕ0𝐵)
98frnd 6744 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ran 𝐹𝐵)
101, 9eqsstrid 4022 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
11 0nn0 12541 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1211a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → 0 ∈ ℕ0)
13 oveq1 7438 . . . . . 6 (𝑖 = 0 → (𝑖 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
1413eqeq2d 2748 . . . . 5 (𝑖 = 0 → ((0g𝐺) = (𝑖 · 𝐴) ↔ (0g𝐺) = (0 · 𝐴)))
1514adantl 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 = 0) → ((0g𝐺) = (𝑖 · 𝐴) ↔ (0g𝐺) = (0 · 𝐴)))
16 eqid 2737 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
172, 16, 3mulg0 19092 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (0 · 𝐴) = (0g𝐺))
1817adantl 481 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (0 · 𝐴) = (0g𝐺))
1918eqcomd 2743 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (0g𝐺) = (0 · 𝐴))
2012, 15, 19rspcedvd 3624 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 (0g𝐺) = (𝑖 · 𝐴))
212, 3, 7, 1cycsubmel 19218 . . 3 ((0g𝐺) ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 (0g𝐺) = (𝑖 · 𝐴))
2220, 21sylibr 234 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (0g𝐺) ∈ 𝐶)
23 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
24 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
2523, 24nn0addcld 12591 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℕ0)
2625adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℕ0)
27 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑖 + 𝑗) → (𝑘 · 𝐴) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
2827eqeq2d 2748 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑖 + 𝑗) → ((𝑎(+g𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴) ↔ (𝑎(+g𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴)))
2928adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 𝑗)) → ((𝑎(+g𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴) ↔ (𝑎(+g𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴)))
30 oveq12 7440 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)) → (𝑎(+g𝐺)𝑏) = ((𝑖 · 𝐴)(+g𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
3130ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴)) → (𝑎(+g𝐺)𝑏) = ((𝑖 · 𝐴)(+g𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
32 simplll 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
33 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴𝐵)
34 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝐺) = (+g𝐺)
352, 3, 34mulgnn0dir 19122 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴) = ((𝑖 · 𝐴)(+g𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
3632, 23, 24, 33, 35syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴) = ((𝑖 · 𝐴)(+g𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
3736eqcomd 2743 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑖 · 𝐴)(+g𝐺)(𝑗 · 𝐴)) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
3831, 37sylan9eqr 2799 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → (𝑎(+g𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
3926, 29, 38rspcedvd 3624 . . . . . . . . 9 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))
4039exp32 420 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
4140rexlimdva 3155 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
4241com23 86 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
4342rexlimdva 3155 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
4443impd 410 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ((∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴)))
452, 3, 7, 1cycsubmel 19218 . . . . 5 (𝑎𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))
462, 3, 7, 1cycsubmel 19218 . . . . 5 (𝑏𝐶 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴))
4745, 46anbi12i 628 . . . 4 ((𝑎𝐶𝑏𝐶) ↔ (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)))
482, 3, 7, 1cycsubmel 19218 . . . 4 ((𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))
4944, 47, 483imtr4g 296 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑎𝐶𝑏𝐶) → (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝐶))
5049ralrimivv 3200 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ∀𝑎𝐶𝑏𝐶 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)
512, 16, 34issubm 18816 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑎𝐶𝑏𝐶 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)))
5251adantr 480 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑎𝐶𝑏𝐶 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)))
5310, 22, 50, 52mpbir3and 1343 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  wss 3951  cmpt 5225  ran crn 5686  cfv 6561  (class class class)co 7431  0cc0 11155   + caddc 11158  0cn0 12526  Basecbs 17247  +gcplusg 17297  0gc0g 17484  Mndcmnd 18747  SubMndcsubmnd 18795  .gcmg 19085
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086
This theorem is referenced by:  cycsubmcmn  19907
  Copyright terms: Public domain W3C validator