MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubm Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cycsubm 19079
Description: The set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of a monoid forms a submonoid containing 𝐴 (see cycsubmcl 19078), called the cyclic monoid generated by the element 𝐴. This corresponds to the statement in [Lang] p. 6. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubm.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
cycsubm.t Β· = (.gβ€˜πΊ)
cycsubm.f 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))
cycsubm.c 𝐢 = ran 𝐹
Assertion
Ref Expression
cycsubm ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯, Β·   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐢(π‘₯)   𝐹(π‘₯)
Proof of Theorem cycsubm
Dummy variables 𝑖 π‘Ž 𝑏 𝑗 π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycsubm.c . . 3 𝐢 = ran 𝐹
2 cycsubm.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΊ)
3 cycsubm.t . . . . . . . 8 Β· = (.gβ€˜πΊ)
42, 3mulgnn0cl 18970 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
543expa 1119 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ π‘₯ ∈ β„•0) ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
65an32s 651 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ π‘₯ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ Β· 𝐴) ∈ 𝐡)
7 cycsubm.f . . . . 5 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„•0 ↦ (π‘₯ Β· 𝐴))
86, 7fmptd 7114 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹:β„•0⟢𝐡)
98frnd 6726 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ran 𝐹 βŠ† 𝐡)
101, 9eqsstrid 4031 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 βŠ† 𝐡)
11 0nn0 12487 . . . . 5 0 ∈ β„•0
1211a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ 0 ∈ β„•0)
13 oveq1 7416 . . . . . 6 (𝑖 = 0 β†’ (𝑖 Β· 𝐴) = (0 Β· 𝐴))
1413eqeq2d 2744 . . . . 5 (𝑖 = 0 β†’ ((0gβ€˜πΊ) = (𝑖 Β· 𝐴) ↔ (0gβ€˜πΊ) = (0 Β· 𝐴)))
1514adantl 483 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 = 0) β†’ ((0gβ€˜πΊ) = (𝑖 Β· 𝐴) ↔ (0gβ€˜πΊ) = (0 Β· 𝐴)))
16 eqid 2733 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
172, 16, 3mulg0 18957 . . . . . 6 (𝐴 ∈ 𝐡 β†’ (0 Β· 𝐴) = (0gβ€˜πΊ))
1817adantl 483 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (0 Β· 𝐴) = (0gβ€˜πΊ))
1918eqcomd 2739 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜πΊ) = (0 Β· 𝐴))
2012, 15, 19rspcedvd 3615 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 (0gβ€˜πΊ) = (𝑖 Β· 𝐴))
212, 3, 7, 1cycsubmel 19077 . . 3 ((0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐢 ↔ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 (0gβ€˜πΊ) = (𝑖 Β· 𝐴))
2220, 21sylibr 233 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐢)
23 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝑖 ∈ β„•0)
24 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝑗 ∈ β„•0)
2523, 24nn0addcld 12536 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝑖 + 𝑗) ∈ β„•0)
2625adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴) ∧ π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴))) β†’ (𝑖 + 𝑗) ∈ β„•0)
27 oveq1 7416 . . . . . . . . . . . 12 (π‘˜ = (𝑖 + 𝑗) β†’ (π‘˜ Β· 𝐴) = ((𝑖 + 𝑗) Β· 𝐴))
2827eqeq2d 2744 . . . . . . . . . . 11 (π‘˜ = (𝑖 + 𝑗) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝐴) ↔ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) Β· 𝐴)))
2928adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴) ∧ π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴))) ∧ π‘˜ = (𝑖 + 𝑗)) β†’ ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝐴) ↔ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) Β· 𝐴)))
30 oveq12 7418 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = ((𝑖 Β· 𝐴)(+gβ€˜πΊ)(𝑗 Β· 𝐴)))
3130ancoms 460 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴) ∧ π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴)) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = ((𝑖 Β· 𝐴)(+gβ€˜πΊ)(𝑗 Β· 𝐴)))
32 simplll 774 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝐺 ∈ Mnd)
33 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ 𝐴 ∈ 𝐡)
34 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
352, 3, 34mulgnn0dir 18984 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑖 ∈ β„•0 ∧ 𝑗 ∈ β„•0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑖 + 𝑗) Β· 𝐴) = ((𝑖 Β· 𝐴)(+gβ€˜πΊ)(𝑗 Β· 𝐴)))
3632, 23, 24, 33, 35syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((𝑖 + 𝑗) Β· 𝐴) = ((𝑖 Β· 𝐴)(+gβ€˜πΊ)(𝑗 Β· 𝐴)))
3736eqcomd 2739 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ ((𝑖 Β· 𝐴)(+gβ€˜πΊ)(𝑗 Β· 𝐴)) = ((𝑖 + 𝑗) Β· 𝐴))
3831, 37sylan9eqr 2795 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴) ∧ π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴))) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) Β· 𝐴))
3926, 29, 38rspcedvd 3615 . . . . . . . . 9 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) ∧ (𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴) ∧ π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴))) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝐴))
4039exp32 422 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) ∧ 𝑗 ∈ β„•0) β†’ (𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴) β†’ (π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝐴))))
4140rexlimdva 3156 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„•0 𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴) β†’ (π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝐴))))
4241com23 86 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) ∧ 𝑖 ∈ β„•0) β†’ (π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„•0 𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝐴))))
4342rexlimdva 3156 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘– ∈ β„•0 π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘— ∈ β„•0 𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝐴))))
4443impd 412 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ((βˆƒπ‘– ∈ β„•0 π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„•0 𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝐴)))
452, 3, 7, 1cycsubmel 19077 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝐢 ↔ βˆƒπ‘– ∈ β„•0 π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴))
462, 3, 7, 1cycsubmel 19077 . . . . 5 (𝑏 ∈ 𝐢 ↔ βˆƒπ‘— ∈ β„•0 𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴))
4745, 46anbi12i 628 . . . 4 ((π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢) ↔ (βˆƒπ‘– ∈ β„•0 π‘Ž = (𝑖 Β· 𝐴) ∧ βˆƒπ‘— ∈ β„•0 𝑏 = (𝑗 Β· 𝐴)))
482, 3, 7, 1cycsubmel 19077 . . . 4 ((π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐢 ↔ βˆƒπ‘˜ ∈ β„•0 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) = (π‘˜ Β· 𝐴))
4944, 47, 483imtr4g 296 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘Ž ∈ 𝐢 ∧ 𝑏 ∈ 𝐢) β†’ (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐢))
5049ralrimivv 3199 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐢 βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐢)
512, 16, 34issubm 18684 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd β†’ (𝐢 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ (𝐢 βŠ† 𝐡 ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐢 βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐢)))
5251adantr 482 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ (𝐢 ∈ (SubMndβ€˜πΊ) ↔ (𝐢 βŠ† 𝐡 ∧ (0gβ€˜πΊ) ∈ 𝐢 ∧ βˆ€π‘Ž ∈ 𝐢 βˆ€π‘ ∈ 𝐢 (π‘Ž(+gβ€˜πΊ)𝑏) ∈ 𝐢)))
5310, 22, 50, 52mpbir3and 1343 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐡) β†’ 𝐢 ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   βŠ† wss 3949   ↦ cmpt 5232  ran crn 5678  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110   + caddc 11113  β„•0cn0 12472  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  0gc0g 17385  Mndcmnd 18625  SubMndcsubmnd 18670  .gcmg 18950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-mulg 18951
This theorem is referenced by:  cycsubmcmn  19757
  Copyright terms: Public domain W3C validator