Theorem cycsubm 18736

Description: The set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of a monoid forms a submonoid containing 𝐴 (see cycsubmcl 18735), called the cyclic monoid generated by the element 𝐴. This corresponds to the statement in [Lang] p. 6. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubm.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubm.c	⊢ 𝐶 = ran 𝐹

Assertion

Ref	Expression
cycsubm	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥, ·   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cycsubm

Dummy variables 𝑖 𝑎 𝑏 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ran 𝐹
2		cycsubm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		cycsubm.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4	2, 3	mulgnn0cl 18635	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
5	4	3expa 1116	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
6	5	an32s 648	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
7		cycsubm.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
8	6, 7	fmptd 6970	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
9	8	frnd 6592	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
10	1, 9	eqsstrid 3965	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
11		0nn0 12178	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℕ0)
13		oveq1 7262	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
14	13	eqeq2d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 0 → ((0g‘𝐺) = (𝑖 · 𝐴) ↔ (0g‘𝐺) = (0 · 𝐴)))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 = 0) → ((0g‘𝐺) = (𝑖 · 𝐴) ↔ (0g‘𝐺) = (0 · 𝐴)))
16		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	2, 16, 3	mulg0 18622	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (0 · 𝐴) = (0g‘𝐺))
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (0 · 𝐴) = (0g‘𝐺))
19	18	eqcomd 2744	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) = (0 · 𝐴))
20	12, 15, 19	rspcedvd 3555	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 (0g‘𝐺) = (𝑖 · 𝐴))
21	2, 3, 7, 1	cycsubmel 18734	. . 3 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 (0g‘𝐺) = (𝑖 · 𝐴))
22	20, 21	sylibr 233	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐶)
23		simplr 765	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
25	23, 24	nn0addcld 12227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℕ0)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℕ0)
27		oveq1 7262	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 𝑗) → (𝑘 · 𝐴) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
28	27	eqeq2d 2749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 𝑗) → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴) ↔ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴)))
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 𝑗)) → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴) ↔ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴)))
30		oveq12 7264	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
31	30	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
32		simplll 771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
33		simpllr 772	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ 𝐵)
34		eqid 2738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
35	2, 3, 34	mulgnn0dir 18648	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴) = ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
36	32, 23, 24, 33, 35	syl13anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴) = ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
37	36	eqcomd 2744	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
38	31, 37	sylan9eqr 2801	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
39	26, 29, 38	rspcedvd 3555	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))
40	39	exp32 420	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
41	40	rexlimdva 3212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
42	41	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
43	42	rexlimdva 3212	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
44	43	impd 410	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴)))
45	2, 3, 7, 1	cycsubmel 18734	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))
46	2, 3, 7, 1	cycsubmel 18734	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴))
47	45, 46	anbi12i 626	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) ↔ (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)))
48	2, 3, 7, 1	cycsubmel 18734	. . . 4 ⊢ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))
49	44, 47, 48	3imtr4g 295	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶))
50	49	ralrimivv 3113	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)
51	2, 16, 34	issubm 18357	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)))
52	51	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)))
53	10, 22, 50, 52	mpbir3and 1340	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   ↦ cmpt 5153  ran crn 5581  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  0cc0 10802   + caddc 10805  ℕ₀cn0 12163  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  0_gc0g 17067  Mndcmnd 18300  SubMndcsubmnd 18344  ._gcmg 18615

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-seq 13650  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-mulg 18616

This theorem is referenced by:  cycsubmcmn  19404