Theorem cycsubm 18345

Description: The set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of a monoid forms a submonoid containing 𝐴 (see cycsubmcl 18344), called the cyclic monoid generated by the element 𝐴. This corresponds to the statement in [Lang] p. 6. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubm.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubm.c	⊢ 𝐶 = ran 𝐹

Assertion

Ref	Expression
cycsubm	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥, ·   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cycsubm

Dummy variables 𝑖 𝑎 𝑏 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ran 𝐹
2		cycsubm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		cycsubm.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4	2, 3	mulgnn0cl 18244	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
5	4	3expa 1114	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
6	5	an32s 650	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
7		cycsubm.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
8	6, 7	fmptd 6878	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
9	8	frnd 6521	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
10	1, 9	eqsstrid 4015	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
11		0nn0 11913	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℕ0)
13		oveq1 7163	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
14	13	eqeq2d 2832	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 0 → ((0g‘𝐺) = (𝑖 · 𝐴) ↔ (0g‘𝐺) = (0 · 𝐴)))
15	14	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 = 0) → ((0g‘𝐺) = (𝑖 · 𝐴) ↔ (0g‘𝐺) = (0 · 𝐴)))
16		eqid 2821	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	2, 16, 3	mulg0 18231	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (0 · 𝐴) = (0g‘𝐺))
18	17	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (0 · 𝐴) = (0g‘𝐺))
19	18	eqcomd 2827	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) = (0 · 𝐴))
20	12, 15, 19	rspcedvd 3626	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 (0g‘𝐺) = (𝑖 · 𝐴))
21	2, 3, 7, 1	cycsubmel 18343	. . 3 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 (0g‘𝐺) = (𝑖 · 𝐴))
22	20, 21	sylibr 236	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐶)
23		simplr 767	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
24		simpr 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
25	23, 24	nn0addcld 11960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℕ0)
26	25	adantr 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℕ0)
27		oveq1 7163	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 𝑗) → (𝑘 · 𝐴) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
28	27	eqeq2d 2832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 𝑗) → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴) ↔ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴)))
29	28	adantl 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 𝑗)) → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴) ↔ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴)))
30		oveq12 7165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
31	30	ancoms 461	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
32		simplll 773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
33		simpllr 774	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ 𝐵)
34		eqid 2821	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
35	2, 3, 34	mulgnn0dir 18257	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴) = ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
36	32, 23, 24, 33, 35	syl13anc 1368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴) = ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
37	36	eqcomd 2827	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
38	31, 37	sylan9eqr 2878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
39	26, 29, 38	rspcedvd 3626	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))
40	39	exp32 423	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
41	40	rexlimdva 3284	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
42	41	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
43	42	rexlimdva 3284	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
44	43	impd 413	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴)))
45	2, 3, 7, 1	cycsubmel 18343	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))
46	2, 3, 7, 1	cycsubmel 18343	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴))
47	45, 46	anbi12i 628	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) ↔ (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)))
48	2, 3, 7, 1	cycsubmel 18343	. . . 4 ⊢ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))
49	44, 47, 48	3imtr4g 298	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶))
50	49	ralrimivv 3190	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)
51	2, 16, 34	issubm 17968	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)))
52	51	adantr 483	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)))
53	10, 22, 50, 52	mpbir3and 1338	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3138  ∃wrex 3139   ⊆ wss 3936   ↦ cmpt 5146  ran crn 5556  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  0cc0 10537   + caddc 10540  ℕ₀cn0 11898  Basecbs 16483  +_gcplusg 16565  0_gc0g 16713  Mndcmnd 17911  SubMndcsubmnd 17955  ._gcmg 18224

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-tr 5173  df-id 5460  df-eprel 5465  df-po 5474  df-so 5475  df-fr 5514  df-we 5516  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-pred 6148  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7581  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-wrecs 7947  df-recs 8008  df-rdg 8046  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11639  df-n0 11899  df-z 11983  df-uz 12245  df-fz 12894  df-seq 13371  df-0g 16715  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-mulg 18225

This theorem is referenced by:  cycsubmcmn  19008