Theorem cycsubm 19133

Description: The set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of a monoid forms a submonoid containing 𝐴 (see cycsubmcl 19132), called the cyclic monoid generated by the element 𝐴. This corresponds to the statement in [Lang] p. 6. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubm.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubm.c	⊢ 𝐶 = ran 𝐹

Assertion

Ref	Expression
cycsubm	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥, ·   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cycsubm

Dummy variables 𝑖 𝑎 𝑏 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ran 𝐹
2		cycsubm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		cycsubm.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4	2, 3	mulgnn0cl 19022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
5	4	3expa 1119	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
6	5	an32s 653	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
7		cycsubm.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
8	6, 7	fmptd 7059	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
9	8	frnd 6669	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
10	1, 9	eqsstrid 3971	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
11		0nn0 12418	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℕ0)
13		oveq1 7365	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
14	13	eqeq2d 2746	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 0 → ((0g‘𝐺) = (𝑖 · 𝐴) ↔ (0g‘𝐺) = (0 · 𝐴)))
15	14	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 = 0) → ((0g‘𝐺) = (𝑖 · 𝐴) ↔ (0g‘𝐺) = (0 · 𝐴)))
16		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	2, 16, 3	mulg0 19006	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (0 · 𝐴) = (0g‘𝐺))
18	17	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (0 · 𝐴) = (0g‘𝐺))
19	18	eqcomd 2741	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) = (0 · 𝐴))
20	12, 15, 19	rspcedvd 3577	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 (0g‘𝐺) = (𝑖 · 𝐴))
21	2, 3, 7, 1	cycsubmel 19131	. . 3 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 (0g‘𝐺) = (𝑖 · 𝐴))
22	20, 21	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐶)
23		simplr 769	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
24		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
25	23, 24	nn0addcld 12468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℕ0)
26	25	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℕ0)
27		oveq1 7365	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 𝑗) → (𝑘 · 𝐴) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
28	27	eqeq2d 2746	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 𝑗) → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴) ↔ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴)))
29	28	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 𝑗)) → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴) ↔ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴)))
30		oveq12 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
31	30	ancoms 458	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
32		simplll 775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
33		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ 𝐵)
34		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
35	2, 3, 34	mulgnn0dir 19036	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴) = ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
36	32, 23, 24, 33, 35	syl13anc 1375	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴) = ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
37	36	eqcomd 2741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
38	31, 37	sylan9eqr 2792	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
39	26, 29, 38	rspcedvd 3577	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))
40	39	exp32 420	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
41	40	rexlimdva 3136	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
42	41	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
43	42	rexlimdva 3136	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
44	43	impd 410	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴)))
45	2, 3, 7, 1	cycsubmel 19131	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))
46	2, 3, 7, 1	cycsubmel 19131	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴))
47	45, 46	anbi12i 629	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) ↔ (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)))
48	2, 3, 7, 1	cycsubmel 19131	. . . 4 ⊢ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))
49	44, 47, 48	3imtr4g 296	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶))
50	49	ralrimivv 3176	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)
51	2, 16, 34	issubm 18730	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)))
52	51	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)))
53	10, 22, 50, 52	mpbir3and 1344	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3050  ∃wrex 3059   ⊆ wss 3900   ↦ cmpt 5178  ran crn 5624  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  0cc0 11028   + caddc 11031  ℕ₀cn0 12403  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  0_gc0g 17361  Mndcmnd 18661  SubMndcsubmnd 18709  ._gcmg 18999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-fz 13426  df-seq 13927  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711  df-mulg 19000

This theorem is referenced by:  cycsubmcmn  19820