Theorem cycsubm 19172

Description: The set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of a monoid forms a submonoid containing 𝐴 (see cycsubmcl 19171), called the cyclic monoid generated by the element 𝐴. This corresponds to the statement in [Lang] p. 6. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubm.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubm.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubm.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubm.c	⊢ 𝐶 = ran 𝐹

Assertion

Ref	Expression
cycsubm	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥, ·   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺

Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cycsubm

Dummy variables 𝑖 𝑎 𝑏 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubm.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ran 𝐹
2		cycsubm.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		cycsubm.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = (.g‘𝐺)
4	2, 3	mulgnn0cl 19061	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
5	4	3expa 1125	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
6	5	an32s 659	. . . . 5 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
7		cycsubm.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
8	6, 7	fmptd 7059	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐹:ℕ0⟶𝐵)
9	8	frnd 6667	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ran 𝐹 ⊆ 𝐵)
10	1, 9	eqsstrid 3955	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ⊆ 𝐵)
11		0nn0 12447	. . . . 5 ⊢ 0 ∈ ℕ0
12	11	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 0 ∈ ℕ0)
13		oveq1 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 = 0 → (𝑖 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
14	13	eqeq2d 2752	. . . . 5 ⊢ (𝑖 = 0 → ((0g‘𝐺) = (𝑖 · 𝐴) ↔ (0g‘𝐺) = (0 · 𝐴)))
15	14	adantl 483	. . . 4 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 = 0) → ((0g‘𝐺) = (𝑖 · 𝐴) ↔ (0g‘𝐺) = (0 · 𝐴)))
16		eqid 2741	. . . . . . 7 ⊢ (0g‘𝐺) = (0g‘𝐺)
17	2, 16, 3	mulg0 19045	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (0 · 𝐴) = (0g‘𝐺))
18	17	adantl 483	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (0 · 𝐴) = (0g‘𝐺))
19	18	eqcomd 2747	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) = (0 · 𝐴))
20	12, 15, 19	rspcedvd 3564	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 (0g‘𝐺) = (𝑖 · 𝐴))
21	2, 3, 7, 1	cycsubmel 19170	. . 3 ⊢ ((0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 (0g‘𝐺) = (𝑖 · 𝐴))
22	20, 21	sylibr 236	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (0g‘𝐺) ∈ 𝐶)
23		simplr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
24		simpr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
25	23, 24	nn0addcld 12497	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℕ0)
26	25	adantr 482	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℕ0)
27		oveq1 7367	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 𝑗) → (𝑘 · 𝐴) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
28	27	eqeq2d 2752	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑘 = (𝑖 + 𝑗) → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴) ↔ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴)))
29	28	adantl 483	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 𝑗)) → ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴) ↔ (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴)))
30		oveq12 7369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
31	30	ancoms 460	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴)) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
32		simplll 781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
33		simpllr 782	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴 ∈ 𝐵)
34		eqid 2741	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
35	2, 3, 34	mulgnn0dir 19075	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑖 ∈ ℕ0 ∧ 𝑗 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴) = ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
36	32, 23, 24, 33, 35	syl13anc 1381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴) = ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
37	36	eqcomd 2747	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑖 · 𝐴)(+g‘𝐺)(𝑗 · 𝐴)) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
38	31, 37	sylan9eqr 2798	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
39	26, 29, 38	rspcedvd 3564	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))
40	39	exp32 422	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
41	40	rexlimdva 3142	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
42	41	com23 86	. . . . . 6 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
43	42	rexlimdva 3142	. . . . 5 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
44	43	impd 412	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴)))
45	2, 3, 7, 1	cycsubmel 19170	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))
46	2, 3, 7, 1	cycsubmel 19170	. . . . 5 ⊢ (𝑏 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴))
47	45, 46	anbi12i 635	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) ↔ (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)))
48	2, 3, 7, 1	cycsubmel 19170	. . . 4 ⊢ ((𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))
49	44, 47, 48	3imtr4g 298	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ((𝑎 ∈ 𝐶 ∧ 𝑏 ∈ 𝐶) → (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶))
50	49	ralrimivv 3182	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)
51	2, 16, 34	issubm 18766	. . 3 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)))
52	51	adantr 482	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶 ⊆ 𝐵 ∧ (0g‘𝐺) ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑎 ∈ 𝐶 ∀𝑏 ∈ 𝐶 (𝑎(+g‘𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)))
53	10, 22, 50, 52	mpbir3and 1350	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  ∀wral 3055  ∃wrex 3065   ⊆ wss 3885   ↦ cmpt 5156  ran crn 5622  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  0cc0 11033   + caddc 11036  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174  +_gcplusg 17215  0_gc0g 17397  Mndcmnd 18697  SubMndcsubmnd 18745  ._gcmg 19038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-nn 12170  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-fz 13457  df-seq 13959  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18747  df-mulg 19039

This theorem is referenced by:  cycsubmcmn  19859