MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubm 19232
Description: The set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of a monoid forms a submonoid containing 𝐴 (see cycsubmcl 19231), called the cyclic monoid generated by the element 𝐴. This corresponds to the statement in [Lang] p. 6. (Contributed by AV, 28-Dec-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubm.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubm.t · = (.g𝐺)
cycsubm.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubm.c 𝐶 = ran 𝐹
Assertion
Ref Expression
cycsubm ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥, ·   𝑥,𝐵   𝑥,𝐺
Allowed substitution hints:   𝐶(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem cycsubm
Dummy variables 𝑖 𝑎 𝑏 𝑗 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycsubm.c . . 3 𝐶 = ran 𝐹
2 cycsubm.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 cycsubm.t . . . . . . . 8 · = (.g𝐺)
42, 3mulgnn0cl 19120 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ ℕ0𝐴𝐵) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
543expa 1117 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) ∧ 𝐴𝐵) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
65an32s 652 . . . . 5 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ℕ0) → (𝑥 · 𝐴) ∈ 𝐵)
7 cycsubm.f . . . . 5 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
86, 7fmptd 7133 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → 𝐹:ℕ0𝐵)
98frnd 6744 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ran 𝐹𝐵)
101, 9eqsstrid 4043 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶𝐵)
11 0nn0 12538 . . . . 5 0 ∈ ℕ0
1211a1i 11 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → 0 ∈ ℕ0)
13 oveq1 7437 . . . . . 6 (𝑖 = 0 → (𝑖 · 𝐴) = (0 · 𝐴))
1413eqeq2d 2745 . . . . 5 (𝑖 = 0 → ((0g𝐺) = (𝑖 · 𝐴) ↔ (0g𝐺) = (0 · 𝐴)))
1514adantl 481 . . . 4 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 = 0) → ((0g𝐺) = (𝑖 · 𝐴) ↔ (0g𝐺) = (0 · 𝐴)))
16 eqid 2734 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
172, 16, 3mulg0 19104 . . . . . 6 (𝐴𝐵 → (0 · 𝐴) = (0g𝐺))
1817adantl 481 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (0 · 𝐴) = (0g𝐺))
1918eqcomd 2740 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (0g𝐺) = (0 · 𝐴))
2012, 15, 19rspcedvd 3623 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 (0g𝐺) = (𝑖 · 𝐴))
212, 3, 7, 1cycsubmel 19230 . . 3 ((0g𝐺) ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 (0g𝐺) = (𝑖 · 𝐴))
2220, 21sylibr 234 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (0g𝐺) ∈ 𝐶)
23 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑖 ∈ ℕ0)
24 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝑗 ∈ ℕ0)
2523, 24nn0addcld 12588 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℕ0)
2625adantr 480 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → (𝑖 + 𝑗) ∈ ℕ0)
27 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 = (𝑖 + 𝑗) → (𝑘 · 𝐴) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
2827eqeq2d 2745 . . . . . . . . . . 11 (𝑘 = (𝑖 + 𝑗) → ((𝑎(+g𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴) ↔ (𝑎(+g𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴)))
2928adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) ∧ 𝑘 = (𝑖 + 𝑗)) → ((𝑎(+g𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴) ↔ (𝑎(+g𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴)))
30 oveq12 7439 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)) → (𝑎(+g𝐺)𝑏) = ((𝑖 · 𝐴)(+g𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
3130ancoms 458 . . . . . . . . . . 11 ((𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴)) → (𝑎(+g𝐺)𝑏) = ((𝑖 · 𝐴)(+g𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
32 simplll 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐺 ∈ Mnd)
33 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → 𝐴𝐵)
34 eqid 2734 . . . . . . . . . . . . . 14 (+g𝐺) = (+g𝐺)
352, 3, 34mulgnn0dir 19134 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑖 ∈ ℕ0𝑗 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴) = ((𝑖 · 𝐴)(+g𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
3632, 23, 24, 33, 35syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴) = ((𝑖 · 𝐴)(+g𝐺)(𝑗 · 𝐴)))
3736eqcomd 2740 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → ((𝑖 · 𝐴)(+g𝐺)(𝑗 · 𝐴)) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
3831, 37sylan9eqr 2796 . . . . . . . . . 10 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → (𝑎(+g𝐺)𝑏) = ((𝑖 + 𝑗) · 𝐴))
3926, 29, 38rspcedvd 3623 . . . . . . . . 9 (((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) ∧ (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) ∧ 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))
4039exp32 420 . . . . . . . 8 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) ∧ 𝑗 ∈ ℕ0) → (𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
4140rexlimdva 3152 . . . . . . 7 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
4241com23 86 . . . . . 6 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ 𝑖 ∈ ℕ0) → (𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
4342rexlimdva 3152 . . . . 5 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) → (∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))))
4443impd 410 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ((∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)) → ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴)))
452, 3, 7, 1cycsubmel 19230 . . . . 5 (𝑎𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴))
462, 3, 7, 1cycsubmel 19230 . . . . 5 (𝑏𝐶 ↔ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴))
4745, 46anbi12i 628 . . . 4 ((𝑎𝐶𝑏𝐶) ↔ (∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑎 = (𝑖 · 𝐴) ∧ ∃𝑗 ∈ ℕ0 𝑏 = (𝑗 · 𝐴)))
482, 3, 7, 1cycsubmel 19230 . . . 4 ((𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑘 ∈ ℕ0 (𝑎(+g𝐺)𝑏) = (𝑘 · 𝐴))
4944, 47, 483imtr4g 296 . . 3 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ((𝑎𝐶𝑏𝐶) → (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝐶))
5049ralrimivv 3197 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → ∀𝑎𝐶𝑏𝐶 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)
512, 16, 34issubm 18828 . . 3 (𝐺 ∈ Mnd → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑎𝐶𝑏𝐶 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)))
5251adantr 480 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → (𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺) ↔ (𝐶𝐵 ∧ (0g𝐺) ∈ 𝐶 ∧ ∀𝑎𝐶𝑏𝐶 (𝑎(+g𝐺)𝑏) ∈ 𝐶)))
5310, 22, 50, 52mpbir3and 1341 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) → 𝐶 ∈ (SubMnd‘𝐺))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  wss 3962  cmpt 5230  ran crn 5689  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152   + caddc 11155  0cn0 12523  Basecbs 17244  +gcplusg 17297  0gc0g 17485  Mndcmnd 18759  SubMndcsubmnd 18807  .gcmg 19097
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-fz 13544  df-seq 14039  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809  df-mulg 19098
This theorem is referenced by:  cycsubmcmn  19921
  Copyright terms: Public domain W3C validator