Theorem fvelrnb 6982

Description: A member of a function's range is a value of the function. (Contributed by NM, 31-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
fvelrnb	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fvelrnb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrnfv 6981	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ran 𝐹 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)})
2	1	eleq2d 2830	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ ran 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)}))
3		fvex 6933	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
4		eleq1 2832	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
5	3, 4	mpbii 233	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
6	5	rexlimivw 3157	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
7		eqeq1 2744	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ 𝐵 = (𝐹‘𝑥)))
8		eqcom 2747	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
9	7, 8	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝐵))
10	9	rexbidv 3185	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵))
11	6, 10	elab3 3702	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
12	2, 11	bitrdi 287	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {cab 2717  ∃wrex 3076  Vcvv 3488  ran crn 5701   Fn wfn 6568  ‘cfv 6573

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-fv 6581

This theorem is referenced by:  foelcdmi  6983  chfnrn  7082  rexrn  7121  ralrn  7122  elrnrexdmb  7124  ffnfv  7153  elunirn  7288  isoini  7374  canth  7401  mptcnfimad  8027  reldm  8085  seqomlem2  8507  fipreima  9428  ordiso2  9584  inf0  9690  inf3lem6  9702  noinfep  9729  cantnflem4  9761  infenaleph  10160  isinfcard  10161  dfac5  10198  ackbij1  10306  sornom  10346  fin23lem16  10404  fin23lem21  10408  isf32lem2  10423  fin1a2lem5  10473  itunitc  10490  axdc3lem2  10520  zorn2lem4  10568  cfpwsdom  10653  peano2nn  12305  uzn0  12920  om2uzrani  14003  uzrdgfni  14009  uzin2  15393  unbenlem  16955  vdwlem6  17033  0ram  17067  imasmnd2  18809  imasgrp2  19095  cycsubmel  19240  ghmqusker  19327  pmtrfrn  19500  pgpssslw  19656  efgsfo  19781  efgrelexlemb  19792  gexex  19895  imasrng  20204  imasring  20353  lindfrn  21864  mpfind  22154  mpfpf1  22376  pf1mpf  22377  2ndcomap  23487  kgenidm  23576  kqreglem1  23770  zfbas  23925  rnelfmlem  23981  rnelfm  23982  fmfnfmlem2  23984  ovolctb  25544  ovolicc2  25576  mbfinf  25719  dvivth  26069  dvne0  26070  aannenlem3  26390  reeff1o  26509  noseqp1  28315  noseqrdgfn  28330  dfnns2  28380  uhgr2edg  29243  ushgredgedg  29264  ushgredgedgloop  29266  2pthon3v  29976  rnbra  32139  cnvbraval  32142  pjssdif1i  32207  dfpjop  32214  elpjrn  32222  foresf1o  32532  ressupprn  32702  fsumiunle  32833  mgcf1o  32976  chnso  32986  imaslmod  33346  dimkerim  33640  rhmpreimacn  33831  esumfsup  34034  esumiun  34058  msrid  35513  tailfb  36343  indexdom  37694  cdleme50rnlem  40501  diaelrnN  41002  diaintclN  41015  cdlemm10N  41075  dibintclN  41124  dihglb2  41299  dihintcl  41301  lcfrlem9  41507  mapd1o  41605  hdmaprnlem11N  41817  hgmaprnlem4N  41856  sticksstones1  42103  aks6d1c6isolem1  42131  aks6d1c6isolem2  42132  aks6d1c6lem5  42134  unitscyglem1  42152  nacsfix  42668  fvelrnbf  44918  cncmpmax  44932  climinf2lem  45627  stoweidlem27  45948  stoweidlem31  45952  stoweidlem48  45969  stoweidlem59  45980  stirlinglem13  46007  fourierdlem12  46040  fourierdlem41  46069  fourierdlem42  46070  fourierdlem46  46073  fourierdlem48  46075  fourierdlem49  46076  fourierdlem70  46097  fourierdlem71  46098  fourierdlem74  46101  fourierdlem75  46102  fourierdlem102  46129  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem114  46141  sge0tsms  46301  sge0sup  46312  sge0le  46328  sge0isum  46348  sge0seq  46367  nnfoctbdjlem  46376  meadjiunlem  46386  fcoresf1  46984  iccpartrn  47304  iccpartnel  47312  fmtnorn  47408  gricushgr  47770