Theorem fvelrnb 6701

Description: A member of a function's range is a value of the function. (Contributed by NM, 31-Oct-1995.)

Assertion

Ref	Expression
fvelrnb	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐹

Proof of Theorem fvelrnb

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnrnfv 6700	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ran 𝐹 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)})
2	1	eleq2d 2875	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ ran 𝐹 ↔ 𝐵 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)}))
3		fvex 6658	. . . . 5 ⊢ (𝐹‘𝑥) ∈ V
4		eleq1 2877	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝐵 → ((𝐹‘𝑥) ∈ V ↔ 𝐵 ∈ V))
5	3, 4	mpbii 236	. . . 4 ⊢ ((𝐹‘𝑥) = 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
6	5	rexlimivw 3241	. . 3 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵 → 𝐵 ∈ V)
7		eqeq1 2802	. . . . 5 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ 𝐵 = (𝐹‘𝑥)))
8		eqcom 2805	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
9	7, 8	syl6bb 290	. . . 4 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝐵))
10	9	rexbidv 3256	. . 3 ⊢ (𝑦 = 𝐵 → (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵))
11	6, 10	elab3 3622	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = (𝐹‘𝑥)} ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵)
12	2, 11	syl6bb 290	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝐵 ∈ ran 𝐹 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (𝐹‘𝑥) = 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  {cab 2776  ∃wrex 3107  Vcvv 3441  ran crn 5520   Fn wfn 6319  ‘cfv 6324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pr 5295

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-fv 6332

This theorem is referenced by:  foelrni  6702  chfnrn  6796  rexrn  6830  ralrn  6831  elrnrexdmb  6833  ffnfv  6859  elunirn  6988  isoini  7070  canth  7090  reldm  7725  seqomlem2  8070  fipreima  8814  ordiso2  8963  inf0  9068  inf3lem6  9080  noinfep  9107  cantnflem4  9139  infenaleph  9502  isinfcard  9503  dfac5  9539  ackbij1  9649  sornom  9688  fin23lem16  9746  fin23lem21  9750  isf32lem2  9765  fin1a2lem5  9815  itunitc  9832  axdc3lem2  9862  zorn2lem4  9910  cfpwsdom  9995  peano2nn  11637  uzn0  12248  om2uzrani  13315  uzrdgfni  13321  uzin2  14696  unbenlem  16234  vdwlem6  16312  0ram  16346  imasmnd2  17940  imasgrp2  18206  cycsubmel  18335  pmtrfrn  18578  pgpssslw  18731  efgsfo  18857  efgrelexlemb  18868  gexex  18966  imasring  19365  lindfrn  20510  mpfind  20779  mpfpf1  20975  pf1mpf  20976  2ndcomap  22063  kgenidm  22152  kqreglem1  22346  zfbas  22501  rnelfmlem  22557  rnelfm  22558  fmfnfmlem2  22560  ovolctb  24094  ovolicc2  24126  mbfinf  24269  dvivth  24613  dvne0  24614  aannenlem3  24926  reeff1o  25042  uhgr2edg  26998  ushgredgedg  27019  ushgredgedgloop  27021  2pthon3v  27729  rnbra  29890  cnvbraval  29893  pjssdif1i  29958  dfpjop  29965  elpjrn  29973  foresf1o  30273  ressupprn  30450  fsumiunle  30571  imaslmod  30973  dimkerim  31111  rhmpreimacn  31238  esumfsup  31439  esumiun  31463  msrid  32905  tailfb  33838  indexdom  35172  cdleme50rnlem  37840  diaelrnN  38341  diaintclN  38354  cdlemm10N  38414  dibintclN  38463  dihglb2  38638  dihintcl  38640  lcfrlem9  38846  mapd1o  38944  hdmaprnlem11N  39156  hgmaprnlem4N  39195  nacsfix  39653  fvelrnbf  41647  cncmpmax  41661  climinf2lem  42348  stoweidlem27  42669  stoweidlem31  42673  stoweidlem48  42690  stoweidlem59  42701  stirlinglem13  42728  fourierdlem12  42761  fourierdlem41  42790  fourierdlem42  42791  fourierdlem46  42794  fourierdlem48  42796  fourierdlem49  42797  fourierdlem70  42818  fourierdlem71  42819  fourierdlem74  42822  fourierdlem75  42823  fourierdlem102  42850  fourierdlem103  42851  fourierdlem104  42852  fourierdlem114  42862  sge0tsms  43019  sge0sup  43030  sge0le  43046  sge0isum  43066  sge0seq  43085  nnfoctbdjlem  43094  meadjiunlem  43104  iccpartrn  43947  iccpartnel  43955  fmtnorn  44051  isomushgr  44344