Theorem fnmpti 6633

Description: Functionality and domain of an ordered-pair class abstraction. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnmpti.1	⊢ 𝐵 ∈ V
fnmpti.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fnmpti	⊢ 𝐹 Fn 𝐴

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fnmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpti.1	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	rgenw 3053	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
3		fnmpti.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	mptfng 6629	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ↔ 𝐹 Fn 𝐴)
5	2, 4	mpbi 230	1 ⊢ 𝐹 Fn 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3049  Vcvv 3438   ↦ cmpt 5177   Fn wfn 6485

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-fun 6492  df-fn 6493

This theorem is referenced by:  dmmpti  6634  fconst  6718  dffn5  6890  idref  7089  eufnfv  7173  offn  7633  caofinvl  7652  fo1st  7951  fo2nd  7952  reldm  7986  fimaproj  8075  mapsnf1o2  8830  unfilem2  9204  fidomdm  9232  noinfep  9567  ssttrcl  9622  ttrcltr  9623  ttrclselem2  9633  aceq3lem  10028  dfac4  10030  ackbij2lem2  10147  cfslb2n  10176  axcc2lem  10344  dmct  10432  konigthlem  10477  rankcf  10686  tskuni  10692  seqf1o  13964  ccatlen  14496  ccatvalfn  14502  swrdlen  14569  swrdwrdsymb  14584  swrdswrd  14626  sqrtf  15285  mptfzshft  15699  efcvgfsum  16007  prmreclem2  16843  1arith  16853  vdwlem6  16912  vdwlem8  16914  slotfn  17109  topnfn  17343  fnmre  17508  cidffn  17599  cidfn  17600  funcres  17818  initofn  17909  termofn  17910  zeroofn  17911  yonedainv  18202  fn0g  18586  smndex1igid  18827  smndex1n0mnd  18835  grpinvfn  18909  cycsubmel  19127  conjnmz  19179  ghmquskerco  19211  psgnfn  19428  odf  19464  sylow1lem4  19528  pgpssslw  19541  sylow2blem3  19549  sylow3lem2  19555  cygctb  19819  dprd2da  19971  fnmgp  20075  zrinitorngc  20573  zrtermorngc  20574  zrtermoringc  20606  rrgsupp  20632  rlmfn  21140  frlmup4  21754  asclfn  21834  evlslem1  22035  evlsvvval  22046  psdmplcl  22103  psdadd  22104  psdmul  22107  psdmvr  22110  mdetrlin  22544  fncld  22964  hauseqlcld  23588  kqf  23689  filunirn  23824  fmf  23887  txflf  23948  clsnsg  24052  tgpconncomp  24055  qustgpopn  24062  qustgplem  24063  ustfn  24144  xmetunirn  24279  met1stc  24463  rrxmvallem  25358  ovolf  25437  vitali  25568  i1fmulc  25658  mbfi1fseqlem4  25673  itg2seq  25697  itg2monolem1  25705  i1fibl  25763  fncpn  25889  lhop1lem  25972  mdegxrf  26027  aannenlem3  26292  efabl  26513  logccv  26626  gausslemma2dlem1  27331  padicabvf  27596  mpteleeOLD  28917  wlkiswwlks2lem1  29891  clwlkclwwlklem2a2  30017  grpoinvf  30556  occllem  31327  pjfni  31725  pjmfn  31739  rnbra  32131  bra11  32132  kbass2  32141  hmopidmchi  32175  xppreima2  32678  abfmpunirn  32679  psgnfzto1stlem  33131  elrspunidl  33458  locfinreflem  33946  zarclsint  33978  zar0ring  33984  rhmpreimacn  33991  ofcfn  34206  sxbrsigalem3  34378  eulerpartgbij  34478  sseqfv1  34495  sseqfn  34496  sseqf  34498  sseqfv2  34500  signstlen  34673  msubrn  35672  msrf  35685  faclimlem1  35886  weiunlem2  36606  bj-evalfn  37218  bj-inftyexpitaufo  37346  matunitlindflem1  37756  poimirlem30  37790  mblfinlem2  37798  volsupnfl  37805  cnambfre  37808  itg2addnclem2  37812  itg2addnclem3  37813  ftc1anclem5  37837  ftc1anclem7  37839  sdclem2  37882  prdsbnd2  37935  rrncmslem  37972  diafn  41233  cdlemm10N  41317  dibfna  41353  lcfrlem9  41749  mapd1o  41847  hdmapfnN  42028  hgmapfnN  42087  fsuppind  42775  rmxypairf1o  43095  hbtlem6  43313  dgraaf  43331  cytpfn  43385  tfsconcatrev  43532  ntrf  44306  uzmptshftfval  44529  binomcxplemrat  44533  addrfn  44654  subrfn  44655  mulvfn  44656  limsup10exlem  45958  liminfvalxr  45969  fourierdlem62  46354  fourierdlem70  46362  fourierdlem71  46363  nthrucw  47072  cjnpoly  47077  fmtnorn  47722  tposideq  49075  cicfn  49229  fucofn22  49527  fucoid  49535  dfinito4  49688