Theorem fnmpti 6624

Description: Functionality and domain of an ordered-pair class abstraction. (Contributed by NM, 29-Jan-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 31-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
fnmpti.1	⊢ 𝐵 ∈ V
fnmpti.2	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
fnmpti	⊢ 𝐹 Fn 𝐴

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐹(𝑥)

Proof of Theorem fnmpti

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fnmpti.1	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
2	1	rgenw 3051	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V
3		fnmpti.2	. . 3 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)
4	3	mptfng 6620	. 2 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V ↔ 𝐹 Fn 𝐴)
5	2, 4	mpbi 230	1 ⊢ 𝐹 Fn 𝐴

Syntax hints:   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ↦ cmpt 5170   Fn wfn 6476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5368

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-fun 6483  df-fn 6484

This theorem is referenced by:  dmmpti  6625  fconst  6709  dffn5  6880  idref  7079  eufnfv  7163  offn  7623  caofinvl  7642  fo1st  7941  fo2nd  7942  reldm  7976  fimaproj  8065  mapsnf1o2  8818  unfilem2  9190  fidomdm  9218  noinfep  9550  ssttrcl  9605  ttrcltr  9606  ttrclselem2  9616  aceq3lem  10011  dfac4  10013  ackbij2lem2  10130  cfslb2n  10159  axcc2lem  10327  dmct  10415  konigthlem  10459  rankcf  10668  tskuni  10674  seqf1o  13950  ccatlen  14482  ccatvalfn  14488  swrdlen  14555  swrdwrdsymb  14570  swrdswrd  14612  sqrtf  15271  mptfzshft  15685  efcvgfsum  15993  prmreclem2  16829  1arith  16839  vdwlem6  16898  vdwlem8  16900  slotfn  17095  topnfn  17329  fnmre  17493  cidffn  17584  cidfn  17585  funcres  17803  initofn  17894  termofn  17895  zeroofn  17896  yonedainv  18187  fn0g  18571  smndex1igid  18812  smndex1n0mnd  18820  grpinvfn  18894  cycsubmel  19112  conjnmz  19164  ghmquskerco  19196  psgnfn  19413  odf  19449  sylow1lem4  19513  pgpssslw  19526  sylow2blem3  19534  sylow3lem2  19540  cygctb  19804  dprd2da  19956  fnmgp  20060  zrinitorngc  20557  zrtermorngc  20558  zrtermoringc  20590  rrgsupp  20616  rlmfn  21124  frlmup4  21738  asclfn  21818  evlslem1  22017  psdmplcl  22077  psdadd  22078  psdmul  22081  psdmvr  22084  mdetrlin  22517  fncld  22937  hauseqlcld  23561  kqf  23662  filunirn  23797  fmf  23860  txflf  23921  clsnsg  24025  tgpconncomp  24028  qustgpopn  24035  qustgplem  24036  ustfn  24117  xmetunirn  24252  met1stc  24436  rrxmvallem  25331  ovolf  25410  vitali  25541  i1fmulc  25631  mbfi1fseqlem4  25646  itg2seq  25670  itg2monolem1  25678  i1fibl  25736  fncpn  25862  lhop1lem  25945  mdegxrf  26000  aannenlem3  26265  efabl  26486  logccv  26599  gausslemma2dlem1  27304  padicabvf  27569  mptelee  28873  wlkiswwlks2lem1  29847  clwlkclwwlklem2a2  29973  grpoinvf  30512  occllem  31283  pjfni  31681  pjmfn  31695  rnbra  32087  bra11  32088  kbass2  32097  hmopidmchi  32131  xppreima2  32633  abfmpunirn  32634  psgnfzto1stlem  33069  elrspunidl  33393  locfinreflem  33853  zarclsint  33885  zar0ring  33891  rhmpreimacn  33898  ofcfn  34113  sxbrsigalem3  34285  eulerpartgbij  34385  sseqfv1  34402  sseqfn  34403  sseqf  34405  sseqfv2  34407  signstlen  34580  msubrn  35573  msrf  35586  faclimlem1  35787  weiunlem2  36507  bj-evalfn  37118  bj-inftyexpitaufo  37246  matunitlindflem1  37666  poimirlem30  37700  mblfinlem2  37708  volsupnfl  37715  cnambfre  37718  itg2addnclem2  37722  itg2addnclem3  37723  ftc1anclem5  37747  ftc1anclem7  37749  sdclem2  37792  prdsbnd2  37845  rrncmslem  37882  diafn  41143  cdlemm10N  41227  dibfna  41263  lcfrlem9  41659  mapd1o  41757  hdmapfnN  41938  hgmapfnN  41997  evlsvvval  42666  fsuppind  42693  rmxypairf1o  43014  hbtlem6  43232  dgraaf  43250  cytpfn  43304  tfsconcatrev  43451  ntrf  44226  uzmptshftfval  44449  binomcxplemrat  44453  addrfn  44574  subrfn  44575  mulvfn  44576  limsup10exlem  45880  liminfvalxr  45891  fourierdlem62  46276  fourierdlem70  46284  fourierdlem71  46285  nthrucw  46994  cjnpoly  46999  fmtnorn  47644  tposideq  48998  cicfn  49153  fucofn22  49451  fucoid  49459  dfinito4  49612