Theorem cycsubmcom 19366

Description: The operation of a monoid is commutative over the set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of the monoid. (Contributed by AV, 20-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubmcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubmcom.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubmcom.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubmcom.c	⊢ 𝐶 = ran 𝐹
cycsubmcom.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cycsubmcom	⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥, ·

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   + (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem cycsubmcom

Dummy variables 𝑐 𝑖 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubmcom.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		cycsubmcom.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		cycsubmcom.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
4		cycsubmcom.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ran 𝐹
5	1, 2, 3, 4	cycsubmel 19362	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑐 = (𝑖 · 𝐴))
6	5	bilani 510	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑐 = (𝑖 · 𝐴))
7	6	ralrimiva 3154	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ∀𝑐 ∈ 𝐶 ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑐 = (𝑖 · 𝐴))
8		simplll 787	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
9		simprl 783	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
10		simprr 785	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
11		simpllr 788	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		cycsubmcom.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
13	1, 2, 12	mulgnn0dir 19261	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
14	8, 9, 10, 11, 13	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
15	14	ralrimivva 3205	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
16		simprl 783	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
17		simprr 785	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
18		nn0sscn 12566	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ℕ0 ⊆ ℂ)
20	7, 15, 16, 17, 19	cyccom 19365	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3899   ↦ cmpt 5186  ran crn 5649  ‘cfv 6528  (class class class)co 7409  ℂcc 11155   + caddc 11160  ℕ₀cn0 12561  Basecbs 17334  +_gcplusg 17375  Mndcmnd 18870  ._gcmg 19224

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7735  ax-cnex 11213  ax-resscn 11214  ax-1cn 11215  ax-icn 11216  ax-addcl 11217  ax-addrcl 11218  ax-mulcl 11219  ax-mulrcl 11220  ax-mulcom 11221  ax-addass 11222  ax-mulass 11223  ax-distr 11224  ax-i2m1 11225  ax-1ne0 11226  ax-1rid 11227  ax-rnegex 11228  ax-rrecex 11229  ax-cnre 11230  ax-pre-lttri 11231  ax-pre-lttrn 11232  ax-pre-ltadd 11233  ax-pre-mulgt0 11234

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5543  df-eprel 5548  df-po 5556  df-so 5557  df-fr 5601  df-we 5603  df-xp 5654  df-rel 5655  df-cnv 5656  df-co 5657  df-dm 5658  df-rn 5659  df-res 5660  df-ima 5661  df-pred 6294  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6530  df-fn 6531  df-f 6532  df-f1 6533  df-fo 6534  df-f1o 6535  df-fv 6536  df-riota 7366  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7862  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11500  df-neg 11501  df-nn 12291  df-n0 12562  df-z 12649  df-uz 12921  df-fz 13595  df-seq 14099  df-0g 17559  df-mgm 18763  df-sgrp 18855  df-mnd 18871  df-mulg 19225

This theorem is used by:  cycsubmcmn  20050