Theorem cycsubmcom 19275

Description: The operation of a monoid is commutative over the set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of the monoid. (Contributed by AV, 20-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubmcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubmcom.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubmcom.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubmcom.c	⊢ 𝐶 = ran 𝐹
cycsubmcom.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cycsubmcom	⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥, ·

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   + (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem cycsubmcom

Dummy variables 𝑐 𝑖 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubmcom.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		cycsubmcom.t	. . . . 5 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		cycsubmcom.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
4		cycsubmcom.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ran 𝐹
5	1, 2, 3, 4	cycsubmel 19271	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑐 = (𝑖 · 𝐴))
6	5	bilani 509	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑐 = (𝑖 · 𝐴))
7	6	ralrimiva 3163	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ∀𝑐 ∈ 𝐶 ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑐 = (𝑖 · 𝐴))
8		simplll 786	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
9		simprl 782	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
10		simprr 784	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
11		simpllr 787	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
12		cycsubmcom.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
13	1, 2, 12	mulgnn0dir 19170	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
14	8, 9, 10, 11, 13	syl13anc 1397	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
15	14	ralrimivva 3214	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
16		simprl 782	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
17		simprr 784	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
18		nn0sscn 12509	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
19	18	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ℕ0 ⊆ ℂ)
20	7, 15, 16, 17, 19	cyccom 19274	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ∃wrex 3095   ⊆ wss 3911   ↦ cmpt 5194  ran crn 5663  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℂcc 11098   + caddc 11103  ℕ₀cn0 12504  Basecbs 17269  +_gcplusg 17310  Mndcmnd 18792  ._gcmg 19133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12234  df-n0 12505  df-z 12592  df-uz 12863  df-fz 13536  df-seq 14038  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-mulg 19134

This theorem is referenced by:  cycsubmcmn  19959