![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cycsubmcom | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The operation of a monoid is commutative over the set of nonnegative integer powers of an element ๐ด of the monoid. (Contributed by AV, 20-Jan-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
cycsubmcom.b | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
cycsubmcom.t | โข ยท = (.gโ๐บ) |
cycsubmcom.f | โข ๐น = (๐ฅ โ โ0 โฆ (๐ฅ ยท ๐ด)) |
cycsubmcom.c | โข ๐ถ = ran ๐น |
cycsubmcom.p | โข + = (+gโ๐บ) |
Ref | Expression |
---|---|
cycsubmcom | โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โ (๐ + ๐) = (๐ + ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cycsubmcom.b | . . . . . 6 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
2 | cycsubmcom.t | . . . . . 6 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
3 | cycsubmcom.f | . . . . . 6 โข ๐น = (๐ฅ โ โ0 โฆ (๐ฅ ยท ๐ด)) | |
4 | cycsubmcom.c | . . . . . 6 โข ๐ถ = ran ๐น | |
5 | 1, 2, 3, 4 | cycsubmel 18994 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ โ๐ โ โ0 ๐ = (๐ ยท ๐ด)) |
6 | 5 | biimpi 215 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ โ๐ โ โ0 ๐ = (๐ ยท ๐ด)) |
7 | 6 | adantl 483 | . . 3 โข ((((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โง ๐ โ ๐ถ) โ โ๐ โ โ0 ๐ = (๐ ยท ๐ด)) |
8 | 7 | ralrimiva 3144 | . 2 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โ โ๐ โ ๐ถ โ๐ โ โ0 ๐ = (๐ ยท ๐ด)) |
9 | simplll 774 | . . . 4 โข ((((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โง (๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0)) โ ๐บ โ Mnd) | |
10 | simprl 770 | . . . 4 โข ((((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โง (๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0)) โ ๐ โ โ0) | |
11 | simprr 772 | . . . 4 โข ((((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โง (๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0)) โ ๐ โ โ0) | |
12 | simpllr 775 | . . . 4 โข ((((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โง (๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0)) โ ๐ด โ ๐ต) | |
13 | cycsubmcom.p | . . . . 5 โข + = (+gโ๐บ) | |
14 | 1, 2, 13 | mulgnn0dir 18907 | . . . 4 โข ((๐บ โ Mnd โง (๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0 โง ๐ด โ ๐ต)) โ ((๐ + ๐) ยท ๐ด) = ((๐ ยท ๐ด) + (๐ ยท ๐ด))) |
15 | 9, 10, 11, 12, 14 | syl13anc 1373 | . . 3 โข ((((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โง (๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0)) โ ((๐ + ๐) ยท ๐ด) = ((๐ ยท ๐ด) + (๐ ยท ๐ด))) |
16 | 15 | ralrimivva 3198 | . 2 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โ โ๐ โ โ0 โ๐ โ โ0 ((๐ + ๐) ยท ๐ด) = ((๐ ยท ๐ด) + (๐ ยท ๐ด))) |
17 | simprl 770 | . 2 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โ ๐ โ ๐ถ) | |
18 | simprr 772 | . 2 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โ ๐ โ ๐ถ) | |
19 | nn0sscn 12419 | . . 3 โข โ0 โ โ | |
20 | 19 | a1i 11 | . 2 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โ โ0 โ โ) |
21 | 8, 16, 17, 18, 20 | cyccom 18997 | 1 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โ (๐ + ๐) = (๐ + ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 397 = wceq 1542 โ wcel 2107 โwrex 3074 โ wss 3911 โฆ cmpt 5189 ran crn 5635 โcfv 6497 (class class class)co 7358 โcc 11050 + caddc 11055 โ0cn0 12414 Basecbs 17084 +gcplusg 17134 Mndcmnd 18557 .gcmg 18873 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2708 ax-sep 5257 ax-nul 5264 ax-pow 5321 ax-pr 5385 ax-un 7673 ax-cnex 11108 ax-resscn 11109 ax-1cn 11110 ax-icn 11111 ax-addcl 11112 ax-addrcl 11113 ax-mulcl 11114 ax-mulrcl 11115 ax-mulcom 11116 ax-addass 11117 ax-mulass 11118 ax-distr 11119 ax-i2m1 11120 ax-1ne0 11121 ax-1rid 11122 ax-rnegex 11123 ax-rrecex 11124 ax-cnre 11125 ax-pre-lttri 11126 ax-pre-lttrn 11127 ax-pre-ltadd 11128 ax-pre-mulgt0 11129 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2539 df-eu 2568 df-clab 2715 df-cleq 2729 df-clel 2815 df-nfc 2890 df-ne 2945 df-nel 3051 df-ral 3066 df-rex 3075 df-rmo 3354 df-reu 3355 df-rab 3409 df-v 3448 df-sbc 3741 df-csb 3857 df-dif 3914 df-un 3916 df-in 3918 df-ss 3928 df-pss 3930 df-nul 4284 df-if 4488 df-pw 4563 df-sn 4588 df-pr 4590 df-op 4594 df-uni 4867 df-iun 4957 df-br 5107 df-opab 5169 df-mpt 5190 df-tr 5224 df-id 5532 df-eprel 5538 df-po 5546 df-so 5547 df-fr 5589 df-we 5591 df-xp 5640 df-rel 5641 df-cnv 5642 df-co 5643 df-dm 5644 df-rn 5645 df-res 5646 df-ima 5647 df-pred 6254 df-ord 6321 df-on 6322 df-lim 6323 df-suc 6324 df-iota 6449 df-fun 6499 df-fn 6500 df-f 6501 df-f1 6502 df-fo 6503 df-f1o 6504 df-fv 6505 df-riota 7314 df-ov 7361 df-oprab 7362 df-mpo 7363 df-om 7804 df-1st 7922 df-2nd 7923 df-frecs 8213 df-wrecs 8244 df-recs 8318 df-rdg 8357 df-er 8649 df-en 8885 df-dom 8886 df-sdom 8887 df-pnf 11192 df-mnf 11193 df-xr 11194 df-ltxr 11195 df-le 11196 df-sub 11388 df-neg 11389 df-nn 12155 df-n0 12415 df-z 12501 df-uz 12765 df-fz 13426 df-seq 13908 df-0g 17324 df-mgm 18498 df-sgrp 18547 df-mnd 18558 df-mulg 18874 |
This theorem is referenced by: cycsubmcmn 19667 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |