Theorem cycsubmcom 19075

Description: The operation of a monoid is commutative over the set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of the monoid. (Contributed by AV, 20-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubmcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubmcom.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubmcom.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubmcom.c	⊢ 𝐶 = ran 𝐹
cycsubmcom.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cycsubmcom	⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥, ·

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   + (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem cycsubmcom

Dummy variables 𝑐 𝑖 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubmcom.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		cycsubmcom.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		cycsubmcom.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
4		cycsubmcom.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ran 𝐹
5	1, 2, 3, 4	cycsubmel 19071	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑐 = (𝑖 · 𝐴))
6	5	biimpi 215	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐶 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑐 = (𝑖 · 𝐴))
7	6	adantl 482	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑐 = (𝑖 · 𝐴))
8	7	ralrimiva 3146	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ∀𝑐 ∈ 𝐶 ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑐 = (𝑖 · 𝐴))
9		simplll 773	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
10		simprl 769	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
11		simprr 771	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
12		simpllr 774	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
13		cycsubmcom.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
14	1, 2, 13	mulgnn0dir 18978	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
15	9, 10, 11, 12, 14	syl13anc 1372	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
16	15	ralrimivva 3200	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
17		simprl 769	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
18		simprr 771	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
19		nn0sscn 12473	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ℕ0 ⊆ ℂ)
21	8, 16, 17, 18, 20	cyccom 19074	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ∃wrex 3070   ⊆ wss 3947   ↦ cmpt 5230  ran crn 5676  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  ℂcc 11104   + caddc 11109  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140  +_gcplusg 17193  Mndcmnd 18621  ._gcmg 18944

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-seq 13963  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mulg 18945

This theorem is referenced by:  cycsubmcmn  19751