Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubmcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubmcom 18360
 Description: The operation of a monoid is commutative over the set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of the monoid. (Contributed by AV, 20-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubmcom.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubmcom.t · = (.g𝐺)
cycsubmcom.f 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubmcom.c 𝐶 = ran 𝐹
cycsubmcom.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
cycsubmcom (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥, ·
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   + (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem cycsubmcom
Dummy variables 𝑐 𝑖 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycsubmcom.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐺)
2 cycsubmcom.t . . . . . 6 · = (.g𝐺)
3 cycsubmcom.f . . . . . 6 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
4 cycsubmcom.c . . . . . 6 𝐶 = ran 𝐹
51, 2, 3, 4cycsubmel 18356 . . . . 5 (𝑐𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑐 = (𝑖 · 𝐴))
65biimpi 219 . . . 4 (𝑐𝐶 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑐 = (𝑖 · 𝐴))
76adantl 485 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) ∧ 𝑐𝐶) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑐 = (𝑖 · 𝐴))
87ralrimiva 3149 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → ∀𝑐𝐶𝑖 ∈ ℕ0 𝑐 = (𝑖 · 𝐴))
9 simplll 774 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
10 simprl 770 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
11 simprr 772 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
12 simpllr 775 . . . 4 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝐴𝐵)
13 cycsubmcom.p . . . . 5 + = (+g𝐺)
141, 2, 13mulgnn0dir 18270 . . . 4 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0𝐴𝐵)) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
159, 10, 11, 12, 14syl13anc 1369 . . 3 ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
1615ralrimivva 3156 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
17 simprl 770 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑋𝐶)
18 simprr 772 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → 𝑌𝐶)
19 nn0sscn 11908 . . 3 0 ⊆ ℂ
2019a1i 11 . 2 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → ℕ0 ⊆ ℂ)
218, 16, 17, 18, 20cyccom 18359 1 (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴𝐵) ∧ (𝑋𝐶𝑌𝐶)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3883   ↦ cmpt 5114  ran crn 5524  ‘cfv 6332  (class class class)co 7145  ℂcc 10542   + caddc 10547  ℕ0cn0 11903  Basecbs 16495  +gcplusg 16577  Mndcmnd 17923  .gcmg 18237 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5171  ax-nul 5178  ax-pow 5235  ax-pr 5299  ax-un 7454  ax-cnex 10600  ax-resscn 10601  ax-1cn 10602  ax-icn 10603  ax-addcl 10604  ax-addrcl 10605  ax-mulcl 10606  ax-mulrcl 10607  ax-mulcom 10608  ax-addass 10609  ax-mulass 10610  ax-distr 10611  ax-i2m1 10612  ax-1ne0 10613  ax-1rid 10614  ax-rnegex 10615  ax-rrecex 10616  ax-cnre 10617  ax-pre-lttri 10618  ax-pre-lttrn 10619  ax-pre-ltadd 10620  ax-pre-mulgt0 10621 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3444  df-sbc 3723  df-csb 3831  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4805  df-iun 4887  df-br 5035  df-opab 5097  df-mpt 5115  df-tr 5141  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6123  df-ord 6169  df-on 6170  df-lim 6171  df-suc 6172  df-iota 6291  df-fun 6334  df-fn 6335  df-f 6336  df-f1 6337  df-fo 6338  df-f1o 6339  df-fv 6340  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7574  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-wrecs 7948  df-recs 8009  df-rdg 8047  df-er 8290  df-en 8511  df-dom 8512  df-sdom 8513  df-pnf 10684  df-mnf 10685  df-xr 10686  df-ltxr 10687  df-le 10688  df-sub 10879  df-neg 10880  df-nn 11644  df-n0 11904  df-z 11990  df-uz 12252  df-fz 12906  df-seq 13385  df-0g 16727  df-mgm 17864  df-sgrp 17913  df-mnd 17924  df-mulg 18238 This theorem is referenced by:  cycsubmcmn  19022
 Copyright terms: Public domain W3C validator