Theorem cycsubmcom 19150

Description: The operation of a monoid is commutative over the set of nonnegative integer powers of an element 𝐴 of the monoid. (Contributed by AV, 20-Jan-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
cycsubmcom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
cycsubmcom.t	⊢ · = (.g‘𝐺)
cycsubmcom.f	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
cycsubmcom.c	⊢ 𝐶 = ran 𝐹
cycsubmcom.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
cycsubmcom	⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥, ·

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑥)   + (𝑥)   𝐹(𝑥)   𝐺(𝑥)   𝑋(𝑥)   𝑌(𝑥)

Proof of Theorem cycsubmcom

Dummy variables 𝑐 𝑖 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cycsubmcom.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
2		cycsubmcom.t	. . . . . 6 ⊢ · = (.g‘𝐺)
3		cycsubmcom.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ ℕ0 ↦ (𝑥 · 𝐴))
4		cycsubmcom.c	. . . . . 6 ⊢ 𝐶 = ran 𝐹
5	1, 2, 3, 4	cycsubmel 19146	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐶 ↔ ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑐 = (𝑖 · 𝐴))
6	5	biimpi 216	. . . 4 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐶 → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑐 = (𝑖 · 𝐴))
7	6	adantl 481	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ 𝑐 ∈ 𝐶) → ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑐 = (𝑖 · 𝐴))
8	7	ralrimiva 3130	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ∀𝑐 ∈ 𝐶 ∃𝑖 ∈ ℕ0 𝑐 = (𝑖 · 𝐴))
9		simplll 775	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝐺 ∈ Mnd)
10		simprl 771	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑚 ∈ ℕ0)
11		simprr 773	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
12		simpllr 776	. . . 4 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → 𝐴 ∈ 𝐵)
13		cycsubmcom.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝐺)
14	1, 2, 13	mulgnn0dir 19051	. . . 4 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0 ∧ 𝐴 ∈ 𝐵)) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
15	9, 10, 11, 12, 14	syl13anc 1375	. . 3 ⊢ ((((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑛 ∈ ℕ0)) → ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
16	15	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑛 ∈ ℕ0 ((𝑚 + 𝑛) · 𝐴) = ((𝑚 · 𝐴) + (𝑛 · 𝐴)))
17		simprl 771	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑋 ∈ 𝐶)
18		simprr 773	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → 𝑌 ∈ 𝐶)
19		nn0sscn 12420	. . 3 ⊢ ℕ0 ⊆ ℂ
20	19	a1i 11	. 2 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → ℕ0 ⊆ ℂ)
21	8, 16, 17, 18, 20	cyccom 19149	1 ⊢ (((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) ∧ (𝑋 ∈ 𝐶 ∧ 𝑌 ∈ 𝐶)) → (𝑋 + 𝑌) = (𝑌 + 𝑋))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3062   ⊆ wss 3903   ↦ cmpt 5181  ran crn 5635  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  ℂcc 11038   + caddc 11043  ℕ₀cn0 12415  Basecbs 17150  +_gcplusg 17191  Mndcmnd 18673  ._gcmg 19014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5529  df-eprel 5534  df-po 5542  df-so 5543  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6269  df-ord 6330  df-on 6331  df-lim 6332  df-suc 6333  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7327  df-ov 7373  df-oprab 7374  df-mpo 7375  df-om 7821  df-1st 7945  df-2nd 7946  df-frecs 8235  df-wrecs 8266  df-recs 8315  df-rdg 8353  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186  df-sub 11380  df-neg 11381  df-nn 12160  df-n0 12416  df-z 12503  df-uz 12766  df-fz 13438  df-seq 13939  df-0g 17375  df-mgm 18579  df-sgrp 18658  df-mnd 18674  df-mulg 19015

This theorem is referenced by:  cycsubmcmn  19835