![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > cycsubmcom | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The operation of a monoid is commutative over the set of nonnegative integer powers of an element ๐ด of the monoid. (Contributed by AV, 20-Jan-2024.) |
Ref | Expression |
---|---|
cycsubmcom.b | โข ๐ต = (Baseโ๐บ) |
cycsubmcom.t | โข ยท = (.gโ๐บ) |
cycsubmcom.f | โข ๐น = (๐ฅ โ โ0 โฆ (๐ฅ ยท ๐ด)) |
cycsubmcom.c | โข ๐ถ = ran ๐น |
cycsubmcom.p | โข + = (+gโ๐บ) |
Ref | Expression |
---|---|
cycsubmcom | โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โ (๐ + ๐) = (๐ + ๐)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | cycsubmcom.b | . . . . . 6 โข ๐ต = (Baseโ๐บ) | |
2 | cycsubmcom.t | . . . . . 6 โข ยท = (.gโ๐บ) | |
3 | cycsubmcom.f | . . . . . 6 โข ๐น = (๐ฅ โ โ0 โฆ (๐ฅ ยท ๐ด)) | |
4 | cycsubmcom.c | . . . . . 6 โข ๐ถ = ran ๐น | |
5 | 1, 2, 3, 4 | cycsubmel 19157 | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ถ โ โ๐ โ โ0 ๐ = (๐ ยท ๐ด)) |
6 | 5 | biimpi 215 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ถ โ โ๐ โ โ0 ๐ = (๐ ยท ๐ด)) |
7 | 6 | adantl 480 | . . 3 โข ((((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โง ๐ โ ๐ถ) โ โ๐ โ โ0 ๐ = (๐ ยท ๐ด)) |
8 | 7 | ralrimiva 3136 | . 2 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โ โ๐ โ ๐ถ โ๐ โ โ0 ๐ = (๐ ยท ๐ด)) |
9 | simplll 773 | . . . 4 โข ((((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โง (๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0)) โ ๐บ โ Mnd) | |
10 | simprl 769 | . . . 4 โข ((((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โง (๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0)) โ ๐ โ โ0) | |
11 | simprr 771 | . . . 4 โข ((((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โง (๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0)) โ ๐ โ โ0) | |
12 | simpllr 774 | . . . 4 โข ((((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โง (๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0)) โ ๐ด โ ๐ต) | |
13 | cycsubmcom.p | . . . . 5 โข + = (+gโ๐บ) | |
14 | 1, 2, 13 | mulgnn0dir 19061 | . . . 4 โข ((๐บ โ Mnd โง (๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0 โง ๐ด โ ๐ต)) โ ((๐ + ๐) ยท ๐ด) = ((๐ ยท ๐ด) + (๐ ยท ๐ด))) |
15 | 9, 10, 11, 12, 14 | syl13anc 1369 | . . 3 โข ((((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โง (๐ โ โ0 โง ๐ โ โ0)) โ ((๐ + ๐) ยท ๐ด) = ((๐ ยท ๐ด) + (๐ ยท ๐ด))) |
16 | 15 | ralrimivva 3191 | . 2 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โ โ๐ โ โ0 โ๐ โ โ0 ((๐ + ๐) ยท ๐ด) = ((๐ ยท ๐ด) + (๐ ยท ๐ด))) |
17 | simprl 769 | . 2 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โ ๐ โ ๐ถ) | |
18 | simprr 771 | . 2 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โ ๐ โ ๐ถ) | |
19 | nn0sscn 12505 | . . 3 โข โ0 โ โ | |
20 | 19 | a1i 11 | . 2 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โ โ0 โ โ) |
21 | 8, 16, 17, 18, 20 | cyccom 19160 | 1 โข (((๐บ โ Mnd โง ๐ด โ ๐ต) โง (๐ โ ๐ถ โง ๐ โ ๐ถ)) โ (๐ + ๐) = (๐ + ๐)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 = wceq 1533 โ wcel 2098 โwrex 3060 โ wss 3940 โฆ cmpt 5226 ran crn 5673 โcfv 6542 (class class class)co 7415 โcc 11134 + caddc 11139 โ0cn0 12500 Basecbs 17177 +gcplusg 17230 Mndcmnd 18691 .gcmg 19025 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2696 ax-sep 5294 ax-nul 5301 ax-pow 5359 ax-pr 5423 ax-un 7737 ax-cnex 11192 ax-resscn 11193 ax-1cn 11194 ax-icn 11195 ax-addcl 11196 ax-addrcl 11197 ax-mulcl 11198 ax-mulrcl 11199 ax-mulcom 11200 ax-addass 11201 ax-mulass 11202 ax-distr 11203 ax-i2m1 11204 ax-1ne0 11205 ax-1rid 11206 ax-rnegex 11207 ax-rrecex 11208 ax-cnre 11209 ax-pre-lttri 11210 ax-pre-lttrn 11211 ax-pre-ltadd 11212 ax-pre-mulgt0 11213 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2703 df-cleq 2717 df-clel 2802 df-nfc 2877 df-ne 2931 df-nel 3037 df-ral 3052 df-rex 3061 df-rmo 3364 df-reu 3365 df-rab 3420 df-v 3465 df-sbc 3770 df-csb 3886 df-dif 3943 df-un 3945 df-in 3947 df-ss 3957 df-pss 3960 df-nul 4319 df-if 4525 df-pw 4600 df-sn 4625 df-pr 4627 df-op 4631 df-uni 4904 df-iun 4993 df-br 5144 df-opab 5206 df-mpt 5227 df-tr 5261 df-id 5570 df-eprel 5576 df-po 5584 df-so 5585 df-fr 5627 df-we 5629 df-xp 5678 df-rel 5679 df-cnv 5680 df-co 5681 df-dm 5682 df-rn 5683 df-res 5684 df-ima 5685 df-pred 6300 df-ord 6367 df-on 6368 df-lim 6369 df-suc 6370 df-iota 6494 df-fun 6544 df-fn 6545 df-f 6546 df-f1 6547 df-fo 6548 df-f1o 6549 df-fv 6550 df-riota 7371 df-ov 7418 df-oprab 7419 df-mpo 7420 df-om 7868 df-1st 7989 df-2nd 7990 df-frecs 8283 df-wrecs 8314 df-recs 8388 df-rdg 8427 df-er 8721 df-en 8961 df-dom 8962 df-sdom 8963 df-pnf 11278 df-mnf 11279 df-xr 11280 df-ltxr 11281 df-le 11282 df-sub 11474 df-neg 11475 df-nn 12241 df-n0 12501 df-z 12587 df-uz 12851 df-fz 13515 df-seq 13997 df-0g 17420 df-mgm 18597 df-sgrp 18676 df-mnd 18692 df-mulg 19026 |
This theorem is referenced by: cycsubmcmn 19846 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |