MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cycsubmcom Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cycsubmcom 19161
Description: The operation of a monoid is commutative over the set of nonnegative integer powers of an element ๐ด of the monoid. (Contributed by AV, 20-Jan-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
cycsubmcom.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
cycsubmcom.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
cycsubmcom.f ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
cycsubmcom.c ๐ถ = ran ๐น
cycsubmcom.p + = (+gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
cycsubmcom (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ถ)) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ, ยท
Allowed substitution hints:   ๐ต(๐‘ฅ)   ๐ถ(๐‘ฅ)   + (๐‘ฅ)   ๐น(๐‘ฅ)   ๐บ(๐‘ฅ)   ๐‘‹(๐‘ฅ)   ๐‘Œ(๐‘ฅ)

Proof of Theorem cycsubmcom
Dummy variables ๐‘ ๐‘– ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cycsubmcom.b . . . . . 6 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
2 cycsubmcom.t . . . . . 6 ยท = (.gโ€˜๐บ)
3 cycsubmcom.f . . . . . 6 ๐น = (๐‘ฅ โˆˆ โ„•0 โ†ฆ (๐‘ฅ ยท ๐ด))
4 cycsubmcom.c . . . . . 6 ๐ถ = ran ๐น
51, 2, 3, 4cycsubmel 19157 . . . . 5 (๐‘ โˆˆ ๐ถ โ†” โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 ๐‘ = (๐‘– ยท ๐ด))
65biimpi 215 . . . 4 (๐‘ โˆˆ ๐ถ โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 ๐‘ = (๐‘– ยท ๐ด))
76adantl 480 . . 3 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ถ)) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ถ) โ†’ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 ๐‘ = (๐‘– ยท ๐ด))
87ralrimiva 3136 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ถ)) โ†’ โˆ€๐‘ โˆˆ ๐ถ โˆƒ๐‘– โˆˆ โ„•0 ๐‘ = (๐‘– ยท ๐ด))
9 simplll 773 . . . 4 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ถ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐บ โˆˆ Mnd)
10 simprl 769 . . . 4 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ถ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„•0)
11 simprr 771 . . . 4 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ถ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
12 simpllr 774 . . . 4 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ถ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โ†’ ๐ด โˆˆ ๐ต)
13 cycsubmcom.p . . . . 5 + = (+gโ€˜๐บ)
141, 2, 13mulgnn0dir 19061 . . . 4 ((๐บ โˆˆ Mnd โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0 โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘š + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘š ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)))
159, 10, 11, 12, 14syl13anc 1369 . . 3 ((((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ถ)) โˆง (๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0)) โ†’ ((๐‘š + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘š ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)))
1615ralrimivva 3191 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ถ)) โ†’ โˆ€๐‘š โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘› โˆˆ โ„•0 ((๐‘š + ๐‘›) ยท ๐ด) = ((๐‘š ยท ๐ด) + (๐‘› ยท ๐ด)))
17 simprl 769 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ถ)
18 simprr 771 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ถ)) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ ๐ถ)
19 nn0sscn 12505 . . 3 โ„•0 โІ โ„‚
2019a1i 11 . 2 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ถ)) โ†’ โ„•0 โІ โ„‚)
218, 16, 17, 18, 20cyccom 19160 1 (((๐บ โˆˆ Mnd โˆง ๐ด โˆˆ ๐ต) โˆง (๐‘‹ โˆˆ ๐ถ โˆง ๐‘Œ โˆˆ ๐ถ)) โ†’ (๐‘‹ + ๐‘Œ) = (๐‘Œ + ๐‘‹))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆƒwrex 3060   โІ wss 3940   โ†ฆ cmpt 5226  ran crn 5673  โ€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  โ„‚cc 11134   + caddc 11139  โ„•0cn0 12500  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  Mndcmnd 18691  .gcmg 19025
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-seq 13997  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mulg 19026
This theorem is referenced by:  cycsubmcmn  19846
  Copyright terms: Public domain W3C validator