Theorem dfcoss4 38843

Description: Alternate definition of the class of cosets by 𝑅 (see the comment of df-coss 38839). (Contributed by Peter Mazsa, 12-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
dfcoss4	⊢ ≀ 𝑅 = ran (𝑅 ⋉ 𝑅)

Proof of Theorem dfcoss4

Dummy variables 𝑢 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-coss 38839	. 2 ⊢ ≀ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦)}
2		rnxrn 38759	. 2 ⊢ ran (𝑅 ⋉ 𝑅) = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑢(𝑢𝑅𝑥 ∧ 𝑢𝑅𝑦)}
3	1, 2	eqtr4i 2763	1 ⊢ ≀ 𝑅 = ran (𝑅 ⋉ 𝑅)

Syntax hints:   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   class class class wbr 5086  {copab 5148  ran crn 5626   ⋉ cxrn 38512   ≀ ccoss 38521

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371  ax-un 7683

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-fo 6499  df-fv 6501  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-ec 8639  df-xrn 38718  df-coss 38839

This theorem is referenced by: (None)