Theorem fsumcvg4 34088

Description: A serie with finite support is a finite sum, and therefore converges. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcvg4.s	⊢ 𝑆 = (ℤ≥‘𝑀)
fsumcvg4.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumcvg4.c	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
fsumcvg4.f	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fsumcvg4	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Proof of Theorem fsumcvg4

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcvg4.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (ℤ≥‘𝑀)
2		fsumcvg4.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		fsumcvg4.f	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∈ Fin)
4		fsumcvg4.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
5		ffun 6666	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑆⟶ℂ → Fun 𝐹)
6		difpreima 7012	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) = ((◡𝐹 “ ℂ) ∖ (◡𝐹 “ {0})))
7	4, 5, 6	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) = ((◡𝐹 “ ℂ) ∖ (◡𝐹 “ {0})))
8		difss 4089	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ ℂ) ∖ (◡𝐹 “ {0})) ⊆ (◡𝐹 “ ℂ)
9	7, 8	eqsstrdi 3979	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ (◡𝐹 “ ℂ))
10		fimacnv 6685	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑆⟶ℂ → (◡𝐹 “ ℂ) = 𝑆)
11	4, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℂ) = 𝑆)
12	9, 11	sseqtrd 3971	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ 𝑆)
13		exmidd 896	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∨ ¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))))
14		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)
15	14	biantru 529	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)))
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))))
17	1	fvexi 6849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
19		0nn0 12420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
21		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (ℂ ∖ {0})
22	21	ffs2 32787	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝑆⟶ℂ) → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})))
23	18, 20, 4, 22	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})))
24	4	ffnd 6664	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑆)
25		suppvalfn 8112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹 supp 0) = {𝑘 ∈ 𝑆 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
26	24, 18, 20, 25	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = {𝑘 ∈ 𝑆 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
27	23, 26	eqtr3d 2774	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) = {𝑘 ∈ 𝑆 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
28	27	eleq2d 2823	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ 𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝑆 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0}))
29		rabid 3421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝑆 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0} ↔ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 0))
30	28, 29	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 0)))
31	30	baibd 539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐹‘𝑘) ≠ 0))
32	31	necon2bbid 2976	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))))
33	32	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) → (𝐹‘𝑘) = 0))
34	33	pm4.71d 561	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0)))
35	16, 34	orbi12d 919	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∨ ¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))) ↔ ((𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)) ∨ (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0))))
36	13, 35	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)) ∨ (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0)))
37		eqif 4522	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})), (𝐹‘𝑘), 0) ↔ ((𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)) ∨ (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0)))
38	36, 37	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})), (𝐹‘𝑘), 0))
39	12	sselda 3934	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))) → 𝑘 ∈ 𝑆)
40	4	ffvelcdmda 7031	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
41	39, 40	syldan 592	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
42	1, 2, 3, 12, 38, 41	fsumcvg3 15656	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3400  Vcvv 3441   ∖ cdif 3899  ifcif 4480  {csn 4581  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625   “ cima 5628  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7360   supp csupp 8104  Fincfn 8887  ℂcc 11028  0cc0 11030   + caddc 11033  ℕ₀cn0 12405  ℤcz 12492  ℤ_≥cuz 12755  seqcseq 13928   ⇝ cli 15411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-inf2 9554  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-pre-sup 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8105  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12150  df-2 12212  df-n0 12406  df-z 12493  df-uz 12756  df-rp 12910  df-fz 13428  df-seq 13929  df-exp 13989  df-cj 15026  df-re 15027  df-im 15028  df-sqrt 15162  df-abs 15163  df-clim 15415

This theorem is referenced by:  eulerpartlems  34498