Theorem fsumcvg4 33933

Description: A serie with finite support is a finite sum, and therefore converges. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcvg4.s	⊢ 𝑆 = (ℤ≥‘𝑀)
fsumcvg4.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumcvg4.c	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
fsumcvg4.f	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fsumcvg4	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Proof of Theorem fsumcvg4

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcvg4.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (ℤ≥‘𝑀)
2		fsumcvg4.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		fsumcvg4.f	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∈ Fin)
4		fsumcvg4.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
5		ffun 6655	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑆⟶ℂ → Fun 𝐹)
6		difpreima 6999	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) = ((◡𝐹 “ ℂ) ∖ (◡𝐹 “ {0})))
7	4, 5, 6	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) = ((◡𝐹 “ ℂ) ∖ (◡𝐹 “ {0})))
8		difss 4087	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ ℂ) ∖ (◡𝐹 “ {0})) ⊆ (◡𝐹 “ ℂ)
9	7, 8	eqsstrdi 3980	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ (◡𝐹 “ ℂ))
10		fimacnv 6674	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑆⟶ℂ → (◡𝐹 “ ℂ) = 𝑆)
11	4, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℂ) = 𝑆)
12	9, 11	sseqtrd 3972	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ 𝑆)
13		exmidd 895	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∨ ¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))))
14		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)
15	14	biantru 529	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)))
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))))
17	1	fvexi 6836	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
19		0nn0 12399	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
21		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (ℂ ∖ {0})
22	21	ffs2 32679	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝑆⟶ℂ) → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})))
23	18, 20, 4, 22	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})))
24	4	ffnd 6653	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑆)
25		suppvalfn 8101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹 supp 0) = {𝑘 ∈ 𝑆 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
26	24, 18, 20, 25	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = {𝑘 ∈ 𝑆 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
27	23, 26	eqtr3d 2766	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) = {𝑘 ∈ 𝑆 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
28	27	eleq2d 2814	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ 𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝑆 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0}))
29		rabid 3416	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝑆 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0} ↔ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 0))
30	28, 29	bitrdi 287	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 0)))
31	30	baibd 539	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐹‘𝑘) ≠ 0))
32	31	necon2bbid 2968	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))))
33	32	biimprd 248	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) → (𝐹‘𝑘) = 0))
34	33	pm4.71d 561	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0)))
35	16, 34	orbi12d 918	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∨ ¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))) ↔ ((𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)) ∨ (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0))))
36	13, 35	mpbid 232	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)) ∨ (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0)))
37		eqif 4518	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})), (𝐹‘𝑘), 0) ↔ ((𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)) ∨ (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0)))
38	36, 37	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})), (𝐹‘𝑘), 0))
39	12	sselda 3935	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))) → 𝑘 ∈ 𝑆)
40	4	ffvelcdmda 7018	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
41	39, 40	syldan 591	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
42	1, 2, 3, 12, 38, 41	fsumcvg3 15636	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  {crab 3394  Vcvv 3436   ∖ cdif 3900  ifcif 4476  {csn 4577  ^◡ccnv 5618  dom cdm 5619   “ cima 5622  Fun wfun 6476   Fn wfn 6477  ⟶wf 6478  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349   supp csupp 8093  Fincfn 8872  ℂcc 11007  0cc0 11009   + caddc 11012  ℕ₀cn0 12384  ℤcz 12471  ℤ_≥cuz 12735  seqcseq 13908   ⇝ cli 15391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5218  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-inf2 9537  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086  ax-pre-sup 11087

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-tr 5200  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6249  df-ord 6310  df-on 6311  df-lim 6312  df-suc 6313  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-om 7800  df-1st 7924  df-2nd 7925  df-supp 8094  df-frecs 8214  df-wrecs 8245  df-recs 8294  df-rdg 8332  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-fin 8876  df-sup 9332  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778  df-nn 12129  df-2 12191  df-n0 12385  df-z 12472  df-uz 12736  df-rp 12894  df-fz 13411  df-seq 13909  df-exp 13969  df-cj 15006  df-re 15007  df-im 15008  df-sqrt 15142  df-abs 15143  df-clim 15395

This theorem is referenced by:  eulerpartlems  34344