Theorem fsumcvg4 33228

Description: A serie with finite support is a finite sum, and therefore converges. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcvg4.s	⊢ 𝑆 = (ℤ≥‘𝑀)
fsumcvg4.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumcvg4.c	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
fsumcvg4.f	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fsumcvg4	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Proof of Theorem fsumcvg4

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcvg4.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (ℤ≥‘𝑀)
2		fsumcvg4.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		fsumcvg4.f	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∈ Fin)
4		fsumcvg4.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
5		ffun 6719	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑆⟶ℂ → Fun 𝐹)
6		difpreima 7065	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) = ((◡𝐹 “ ℂ) ∖ (◡𝐹 “ {0})))
7	4, 5, 6	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) = ((◡𝐹 “ ℂ) ∖ (◡𝐹 “ {0})))
8		difss 4130	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ ℂ) ∖ (◡𝐹 “ {0})) ⊆ (◡𝐹 “ ℂ)
9	7, 8	eqsstrdi 4035	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ (◡𝐹 “ ℂ))
10		fimacnv 6738	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑆⟶ℂ → (◡𝐹 “ ℂ) = 𝑆)
11	4, 10	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℂ) = 𝑆)
12	9, 11	sseqtrd 4021	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ 𝑆)
13		exmidd 892	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∨ ¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))))
14		eqid 2730	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)
15	14	biantru 528	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)))
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))))
17	1	fvexi 6904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
19		0nn0 12491	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
21		eqid 2730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (ℂ ∖ {0})
22	21	ffs2 32220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝑆⟶ℂ) → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})))
23	18, 20, 4, 22	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})))
24	4	ffnd 6717	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑆)
25		suppvalfn 8156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹 supp 0) = {𝑘 ∈ 𝑆 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
26	24, 18, 20, 25	syl3anc 1369	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = {𝑘 ∈ 𝑆 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
27	23, 26	eqtr3d 2772	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) = {𝑘 ∈ 𝑆 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
28	27	eleq2d 2817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ 𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝑆 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0}))
29		rabid 3450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝑆 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0} ↔ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 0))
30	28, 29	bitrdi 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 0)))
31	30	baibd 538	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐹‘𝑘) ≠ 0))
32	31	necon2bbid 2982	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))))
33	32	biimprd 247	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) → (𝐹‘𝑘) = 0))
34	33	pm4.71d 560	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0)))
35	16, 34	orbi12d 915	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∨ ¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))) ↔ ((𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)) ∨ (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0))))
36	13, 35	mpbid 231	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)) ∨ (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0)))
37		eqif 4568	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})), (𝐹‘𝑘), 0) ↔ ((𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)) ∨ (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0)))
38	36, 37	sylibr 233	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})), (𝐹‘𝑘), 0))
39	12	sselda 3981	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))) → 𝑘 ∈ 𝑆)
40	4	ffvelcdmda 7085	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
41	39, 40	syldan 589	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
42	1, 2, 3, 12, 38, 41	fsumcvg3 15679	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  {crab 3430  Vcvv 3472   ∖ cdif 3944  ifcif 4527  {csn 4627  ^◡ccnv 5674  dom cdm 5675   “ cima 5678  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411   supp csupp 8148  Fincfn 8941  ℂcc 11110  0cc0 11112   + caddc 11115  ℕ₀cn0 12476  ℤcz 12562  ℤ_≥cuz 12826  seqcseq 13970   ⇝ cli 15432

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-rp 12979  df-fz 13489  df-seq 13971  df-exp 14032  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436

This theorem is referenced by:  eulerpartlems  33657