Theorem fsumcvg4 34353

Description: A serie with finite support is a finite sum, and therefore converges. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 1-Sep-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumcvg4.s	⊢ 𝑆 = (ℤ≥‘𝑀)
fsumcvg4.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
fsumcvg4.c	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
fsumcvg4.f	⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∈ Fin)

Assertion

Ref	Expression
fsumcvg4	⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

Proof of Theorem fsumcvg4

Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fsumcvg4.s	. 2 ⊢ 𝑆 = (ℤ≥‘𝑀)
2		fsumcvg4.m	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		fsumcvg4.f	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∈ Fin)
4		fsumcvg4.c	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝑆⟶ℂ)
5		ffun 6712	. . . . 5 ⊢ (𝐹:𝑆⟶ℂ → Fun 𝐹)
6		difpreima 7064	. . . . 5 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) = ((◡𝐹 “ ℂ) ∖ (◡𝐹 “ {0})))
7	4, 5, 6	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) = ((◡𝐹 “ ℂ) ∖ (◡𝐹 “ {0})))
8		difss 4093	. . . 4 ⊢ ((◡𝐹 “ ℂ) ∖ (◡𝐹 “ {0})) ⊆ (◡𝐹 “ ℂ)
9	7, 8	eqsstrdi 3984	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ (◡𝐹 “ ℂ))
10		fimacnv 6732	. . . 4 ⊢ (𝐹:𝑆⟶ℂ → (◡𝐹 “ ℂ) = 𝑆)
11	4, 10	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℂ) = 𝑆)
12	9, 11	sseqtrd 3976	. 2 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ⊆ 𝑆)
13		exmidd 909	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∨ ¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))))
14		eqid 2766	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)
15	14	biantru 539	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)))
16	15	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘))))
17	1	fvexi 6899	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝑆 ∈ V
18	17	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
19		0nn0 12529	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ ℕ0
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ ℕ0)
21		eqid 2766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℂ ∖ {0}) = (ℂ ∖ {0})
22	21	ffs2 33087	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑆 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0 ∧ 𝐹:𝑆⟶ℂ) → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})))
23	18, 20, 4, 22	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})))
24	4	ffnd 6710	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝑆)
25		suppvalfn 8166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐹 Fn 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ V ∧ 0 ∈ ℕ0) → (𝐹 supp 0) = {𝑘 ∈ 𝑆 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
26	24, 18, 20, 25	syl3anc 1398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp 0) = {𝑘 ∈ 𝑆 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
27	23, 26	eqtr3d 2803	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) = {𝑘 ∈ 𝑆 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0})
28	27	eleq2d 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ 𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝑆 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0}))
29		rabid 3440	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑘 ∈ {𝑘 ∈ 𝑆 ∣ (𝐹‘𝑘) ≠ 0} ↔ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 0))
30	28, 29	bitrdi 290	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝑘 ∈ 𝑆 ∧ (𝐹‘𝑘) ≠ 0)))
31	30	baibd 549	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (𝐹‘𝑘) ≠ 0))
32	31	necon2bbid 3004	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝐹‘𝑘) = 0 ↔ ¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))))
33	32	biimprd 251	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) → (𝐹‘𝑘) = 0))
34	33	pm4.71d 571	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ↔ (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0)))
35	16, 34	orbi12d 932	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∨ ¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))) ↔ ((𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)) ∨ (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0))))
36	13, 35	mpbid 235	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)) ∨ (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0)))
37		eqif 4532	. . 3 ⊢ ((𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})), (𝐹‘𝑘), 0) ↔ ((𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = (𝐹‘𝑘)) ∨ (¬ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})) ∧ (𝐹‘𝑘) = 0)))
38	36, 37	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑘) = if(𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0})), (𝐹‘𝑘), 0))
39	12	sselda 3940	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))) → 𝑘 ∈ 𝑆)
40	4	ffvelcdmda 7083	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
41	39, 40	syldan 603	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (◡𝐹 “ (ℂ ∖ {0}))) → (𝐹‘𝑘) ∈ ℂ)
42	1, 2, 3, 12, 38, 41	fsumcvg3 15791	1 ⊢ (𝜑 → seq𝑀( + , 𝐹) ∈ dom ⇝ )

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  {crab 3419  Vcvv 3458   ∖ cdif 3905  ifcif 4490  {csn 4592  ^◡ccnv 5663  dom cdm 5664   “ cima 5667  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   supp csupp 8158  Fincfn 8945  ℂcc 11108  0cc0 11110   + caddc 11113  ℕ₀cn0 12514  ℤcz 12601  ℤ_≥cuz 12872  seqcseq 14048   ⇝ cli 15546

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5241  ax-sep 5260  ax-nul 5272  ax-pow 5339  ax-pr 5407  ax-un 7738  ax-inf2 9612  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4876  df-iun 4961  df-br 5113  df-opab 5177  df-mpt 5196  df-tr 5222  df-id 5559  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5670  df-rel 5671  df-cnv 5672  df-co 5673  df-dm 5674  df-rn 5675  df-res 5676  df-ima 5677  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9404  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11882  df-nn 12244  df-2 12313  df-n0 12515  df-z 12602  df-uz 12873  df-rp 13027  df-fz 13546  df-seq 14049  df-exp 14109  df-cj 15161  df-re 15162  df-im 15163  df-sqrt 15297  df-abs 15298  df-clim 15550

This theorem is used by:  eulerpartlems  34763