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Theorem itg2addnclem2 35474
Description: Lemma for itg2addnc 35476. The function described is a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2addnc.f1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2addnc.f2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
itg2addnclem2 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∈ dom ∫1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑣,,𝐹   𝜑,𝑣,𝑥,

Proof of Theorem itg2addnclem2
Dummy variables 𝑡 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2addnc.f2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2 rge0ssre 12932 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
3 fss 6521 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
41, 2, 3sylancl 589 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
54ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
65ffvelrnda 6863 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7 rpre 12482 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ)
8 3re 11798 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
9 3ne0 11824 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
108, 9pm3.2i 474 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)
11 redivcl 11439 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
12113expb 1121 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
137, 10, 12sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
1413ad2antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
15 rpcnne0 12492 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0))
16 3cn 11799 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
1716, 9pm3.2i 474 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
18 divne0 11390 . . . . . . . . . 10 (((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
1915, 17, 18sylancl 589 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ≠ 0)
2019ad2antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
216, 14, 20redivcld 11548 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
22 reflcl 13259 . . . . . . 7 (((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
24 peano2rem 11033 . . . . . 6 ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
2625, 14remulcld 10751 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
27 i1ff 24430 . . . . . 6 ( ∈ dom ∫1:ℝ⟶ℝ)
2827ad2antlr 727 . . . . 5 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → :ℝ⟶ℝ)
2928ffvelrnda 6863 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ ℝ)
3026, 29ifcld 4460 . . 3 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ ℝ)
3130fmpttd 6891 . 2 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))):ℝ⟶ℝ)
32 fzfi 13433 . . . . 5 (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin
33 ovex 7205 . . . . . . 7 ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V
34 eqid 2738 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) = (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
3533, 34fnmpti 6480 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
36 dffn4 6598 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
3735, 36mpbi 233 . . . . 5 (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
38 fofi 8885 . . . . 5 (((0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin ∧ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) → ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin)
3932, 37, 38mp2an 692 . . . 4 ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin
40 i1frn 24431 . . . . 5 ( ∈ dom ∫1 → ran ∈ Fin)
4140ad2antlr 727 . . . 4 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran ∈ Fin)
42 unfi 8773 . . . 4 ((ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin ∧ ran ∈ Fin) → (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ) ∈ Fin)
4339, 41, 42sylancr 590 . . 3 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ) ∈ Fin)
44 0zd 12076 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → 0 ∈ ℤ)
4527frnd 6512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → ran ⊆ ℝ)
46 i1f0rn 24436 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran )
47 elex2 3419 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ran → ∃𝑥 𝑥 ∈ ran )
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ dom ∫1 → ∃𝑥 𝑥 ∈ ran )
49 n0 4235 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ran ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ran )
5048, 49sylibr 237 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → ran ≠ ∅)
51 fimaxre2 11665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ran ⊆ ℝ ∧ ran ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥)
5245, 40, 51syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥)
53 suprcl 11680 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ran ⊆ ℝ ∧ ran ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥) → sup(ran , ℝ, < ) ∈ ℝ)
5445, 50, 52, 53syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 → sup(ran , ℝ, < ) ∈ ℝ)
5554ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → sup(ran , ℝ, < ) ∈ ℝ)
5655, 14, 20redivcld 11548 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
57 peano2re 10893 . . . . . . . . . . . . 13 ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
59 ceicl 13304 . . . . . . . . . . . 12 (((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
6160adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
6221flcld 13261 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
6362adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
64 3nn 11797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℕ
65 nnrp 12485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ+
67 rpdivcl 12499 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
6866, 67mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
6968ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
701ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
7170ffvelrnda 6863 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
72 elrege0 12930 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
7371, 72sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
7473simprd 499 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
756, 69, 74divge0d 12556 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))
76 flge0nn0 13283 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℕ0)
7721, 75, 76syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℕ0)
7877nn0ge0d 12041 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
7978adantr 484 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
8045, 50, 523jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 → (ran ⊆ ℝ ∧ ran ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥))
8180ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ran ⊆ ℝ ∧ ran ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥))
82 ffn 6504 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (:ℝ⟶ℝ → Fn ℝ)
8327, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ dom ∫1 Fn ℝ)
84 dffn3 6517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( Fn ℝ ↔ :ℝ⟶ran )
8583, 84sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1:ℝ⟶ran )
8685ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → :ℝ⟶ran )
8786ffvelrnda 6863 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ ran )
88 suprub 11681 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ran ⊆ ℝ ∧ ran ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥) ∧ (𝑥) ∈ ran ) → (𝑥) ≤ sup(ran , ℝ, < ))
8981, 87, 88syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ≤ sup(ran , ℝ, < ))
90 letr 10814 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝑥) ∈ ℝ ∧ sup(ran , ℝ, < ) ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≤ sup(ran , ℝ, < )) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran , ℝ, < )))
9126, 29, 55, 90syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≤ sup(ran , ℝ, < )) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran , ℝ, < )))
9225, 55, 69lemuldivd 12565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran , ℝ, < ) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3))))
93 1red 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
9423, 93, 56lesubaddd 11317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
9592, 94bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran , ℝ, < ) ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
96 ceige 13306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
9758, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
9860zred 12170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
99 letr 10814 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ ∧ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ ∧ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
10023, 58, 98, 99syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
10197, 100mpan2d 694 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
10295, 101sylbid 243 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran , ℝ, < ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
10391, 102syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≤ sup(ran , ℝ, < )) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
10489, 103mpan2d 694 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
105104adantrd 495 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
106105imp 410 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
10744, 61, 63, 79, 106elfzd 12991 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
108 eqid 2738 . . . . . . . . 9 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))
109 oveq1 7179 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) → (𝑡 − 1) = ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))
110109oveq1d 7187 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) → ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))
111110rspceeqv 3541 . . . . . . . . 9 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∧ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) → ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
112107, 108, 111sylancl 589 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
113 ovex 7205 . . . . . . . . 9 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V
11434elrnmpt 5799 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
116112, 115sylibr 237 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
117 elun1 4066 . . . . . . 7 ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
118116, 117syl 17 . . . . . 6 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
119 elun2 4067 . . . . . . . 8 ((𝑥) ∈ ran → (𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
12087, 119syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
121120adantr 484 . . . . . 6 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
122118, 121ifclda 4449 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
123122fmpttd 6891 . . . 4 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))):ℝ⟶(ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
124123frnd 6512 . . 3 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
125 ssfi 8774 . . 3 (((ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ) ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran )) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∈ Fin)
12643, 124, 125syl2anc 587 . 2 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∈ Fin)
127 eqid 2738 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)))
128127mptpreima 6070 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}}
129 unrab 4194 . . . . 5 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥)))}
130 inrab 4195 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)}
131130ineq1i 4099 . . . . . . 7 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))})
132 inrab 4195 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))}
133131, 132eqtri 2761 . . . . . 6 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))}
134 unrab 4194 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0)}
135134ineq1i 4099 . . . . . . 7 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})
136 inrab 4195 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))}
137135, 136eqtri 2761 . . . . . 6 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))}
138133, 137uneq12i 4051 . . . . 5 ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))})
139 eqcom 2745 . . . . . . 7 (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = 𝑡𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)))
140 fvex 6689 . . . . . . . . 9 (𝑥) ∈ V
141113, 140ifex 4464 . . . . . . . 8 if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ V
142141elsn 4531 . . . . . . 7 (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = 𝑡)
143 ianor 981 . . . . . . . . . . 11 (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ ¬ (𝑥) ≠ 0))
144 nne 2938 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑥) = 0)
145144orbi2i 912 . . . . . . . . . . 11 ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ ¬ (𝑥) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0))
146143, 145bitr2i 279 . . . . . . . . . 10 ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ↔ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0))
147146anbi1i 627 . . . . . . . . 9 (((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥)) ↔ (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (𝑥)))
148147orbi2i 912 . . . . . . . 8 (((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))) ↔ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))))
149 eqif 4455 . . . . . . . 8 (𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ↔ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))))
150148, 149bitr4i 281 . . . . . . 7 (((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))) ↔ 𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)))
151139, 142, 1503bitr4i 306 . . . . . 6 (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))))
152151rabbii 3374 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥)))}
153129, 138, 1523eqtr4ri 2772 . . . 4 {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}} = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}))
154128, 153eqtri 2761 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}))
155 eldifi 4017 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))))
15631frnd 6512 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ⊆ ℝ)
157156sseld 3876 . . . . . 6 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) → 𝑡 ∈ ℝ))
158155, 157syl5 34 . . . . 5 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ℝ))
159158imdistani 572 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ))
160 rabiun 35395 . . . . . . . . . 10 {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)}
161 cnvimarndm 5924 . . . . . . . . . . . . . 14 ( “ ran ) = dom
162 iunid 4946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡 ∈ ran {𝑡} = ran
163162imaeq2i 5901 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑡 ∈ ran {𝑡}) = ( “ ran )
164 imaiun 7017 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑡 ∈ ran {𝑡}) = 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡})
165163, 164eqtr3i 2763 . . . . . . . . . . . . . 14 ( “ ran ) = 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡})
166161, 165eqtr3i 2763 . . . . . . . . . . . . 13 dom = 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡})
16727fdmd 6515 . . . . . . . . . . . . 13 ( ∈ dom ∫1 → dom = ℝ)
168166, 167eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . 12 ( ∈ dom ∫1 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) = ℝ)
169168ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) = ℝ)
170 rabeq 3385 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
172160, 171eqtr3id 2787 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
173 fniniseg 6839 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( Fn ℝ → (𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥) = 𝑡)))
17427, 82, 1733syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥) = 𝑡)))
175174simplbda 503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ( “ {𝑡})) → (𝑥) = 𝑡)
176175breq2d 5042 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ( “ {𝑡})) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ↔ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
177176rabbidva 3379 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
178 inrab2 4196 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}
179 imassrn 5914 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( “ {𝑡}) ⊆ ran
180 dfdm4 5738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom = ran
181180, 167eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( ∈ dom ∫1 → ran = ℝ)
182179, 181sseqtrid 3929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {𝑡}) ⊆ ℝ)
183 sseqin2 4106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( “ {𝑡}) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) = ( “ {𝑡}))
184182, 183sylib 221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) = ( “ {𝑡}))
185 rabeq 3385 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℝ ∩ ( “ {𝑡})) = ( “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
186184, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
187178, 186syl5eq 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ dom ∫1 → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
188177, 187eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})))
189188ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})))
19025adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
19145ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran ⊆ ℝ)
192191sselda 3877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → 𝑡 ∈ ℝ)
193192adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
19468ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
195190, 193, 194lemuldivd 12565 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3))))
19623adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
197 1red 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
19813ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
19919ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
200193, 198, 199redivcld 11548 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
201196, 197, 200lesubaddd 11317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)))
2026adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
203 peano2re 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
204200, 203syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
205 reflcl 13259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
206204, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
207 peano2re 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
208206, 207syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
209202, 208, 194ltdivmuld 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ↔ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))
21021adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
211 flflp1 13270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))
212210, 204, 211syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))
213198, 208remulcld 10751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ)
214213rexrd 10771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ*)
215 elioomnf 12920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
216214, 215syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
217202biantrurd 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
218216, 217bitr4d 285 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))
219209, 212, 2183bitr4d 314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
220195, 201, 2193bitrd 308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
221220rabbidva 3379 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
2221feqmptd 6739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
223222cnveqd 5718 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
224223imaeq1d 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
225 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥))
226225mptpreima 6070 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))}
227224, 226eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
228227ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
229221, 228eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
230 itg2addnc.f1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
231 mbfima 24384 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
232230, 4, 231syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
233232ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
234229, 233eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
23545sseld 3876 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ran 𝑡 ∈ ℝ))
236235ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ ran 𝑡 ∈ ℝ))
237236imdistani 572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ))
238 i1fmbf 24429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ dom ∫1 ∈ MblFn)
239238, 27jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → ( ∈ MblFn ∧ :ℝ⟶ℝ))
240239ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ( ∈ MblFn ∧ :ℝ⟶ℝ))
241 mbfimasn 24386 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( ∈ MblFn ∧ :ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( “ {𝑡}) ∈ dom vol)
2422413expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((( ∈ MblFn ∧ :ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( “ {𝑡}) ∈ dom vol)
243240, 242sylan 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( “ {𝑡}) ∈ dom vol)
244237, 243syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → ( “ {𝑡}) ∈ dom vol)
245 inmbl 24296 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ ( “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) ∈ dom vol)
246234, 244, 245syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) ∈ dom vol)
247189, 246eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
248247ralrimiva 3096 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
249 finiunmbl 24298 . . . . . . . . . 10 ((ran ∈ Fin ∧ ∀𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
25041, 248, 249syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
251172, 250eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
252 unrab 4194 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞))}
25327feqmptd 6739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)))
254253cnveqd 5718 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ dom ∫1 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)))
255254imaeq1d 5902 . . . . . . . . . . . . 13 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (-∞(,)0)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ (-∞(,)0)))
256 eqid 2738 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥))
257256mptpreima 6070 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (-∞(,)0)}
258255, 257eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (-∞(,)0)})
259254imaeq1d 5902 . . . . . . . . . . . . 13 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (0(,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ (0(,)+∞)))
260256mptpreima 6070 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)}
261259, 260eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . 12 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)})
262258, 261uneq12d 4054 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → (( “ (-∞(,)0)) ∪ ( “ (0(,)+∞))) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)}))
26327ffvelrnda 6863 . . . . . . . . . . . . 13 (( ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ ℝ)
264 0re 10723 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
265 lttri2 10803 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥))))
266264, 265mpan2 691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥) ∈ ℝ → ((𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥))))
267 ibar 532 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥) ∈ ℝ → (((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥)) ↔ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥)))))
268 andi 1007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥))) ↔ (((𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥) < 0) ∨ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥))))
269 0xr 10768 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ*
270 elioomnf 12920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℝ* → ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ↔ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥) < 0)))
271 elioopnf 12919 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℝ* → ((𝑥) ∈ (0(,)+∞) ↔ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥))))
272270, 271orbi12d 918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ ℝ* → (((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥) < 0) ∨ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥)))))
273269, 272ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥) < 0) ∨ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥))))
274268, 273bitr4i 281 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥))) ↔ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)))
275267, 274bitrdi 290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥) ∈ ℝ → (((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥)) ↔ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
276266, 275bitrd 282 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥) ∈ ℝ → ((𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
277263, 276syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (( ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
278277rabbidva 3379 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞))})
279252, 262, 2783eqtr4a 2799 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 → (( “ (-∞(,)0)) ∪ ( “ (0(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0})
280 i1fima 24432 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (-∞(,)0)) ∈ dom vol)
281 i1fima 24432 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (0(,)+∞)) ∈ dom vol)
282 unmbl 24291 . . . . . . . . . . 11 ((( “ (-∞(,)0)) ∈ dom vol ∧ ( “ (0(,)+∞)) ∈ dom vol) → (( “ (-∞(,)0)) ∪ ( “ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
283280, 281, 282syl2anc 587 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 → (( “ (-∞(,)0)) ∪ ( “ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
284279, 283eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol)
285284ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol)
286 inmbl 24296 . . . . . . . 8 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
287251, 285, 286syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
288287adantr 484 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
28923recnd 10749 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ)
290289adantlr 715 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ)
291 1cnd 10716 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
292 simplr 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
29313ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
29419ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
295292, 293, 294redivcld 11548 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
296295recnd 10749 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℂ)
297290, 291, 296subadd2d 11096 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))))
298 eqcom 2745 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))
299 recn 10707 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
300299ad2antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
30125recnd 10749 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℂ)
302301adantlr 715 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℂ)
30313recnd 10749 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
304303ad3antlr 731 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
305300, 302, 304, 294divmul3d 11530 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
306298, 305syl5bb 286 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
307297, 306bitr3d 284 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
308307rabbidva 3379 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))})
309 imaundi 5982 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = ((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
310223ad4antr 732 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
311 zre 12068 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
312311adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
31313ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
314312, 313remulcld 10751 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
315314rexrd 10771 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ*)
316 peano2z 12106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℤ)
317316zred 12170 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
318317adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
319313, 318remulcld 10751 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
320319rexrd 10771 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*)
321 zcn 12069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ)
322321adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ)
323303ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
324322, 323mulcomd 10742 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)))
32568ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
326311ltp1d 11650 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
327326adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
328312, 318, 325, 327ltmul2dd 12572 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
329324, 328eqbrtrd 5052 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
330 snunioo 12954 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ* ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
331315, 320, 329, 330syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
332310, 331imaeq12d 5904 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
333309, 332eqtr3id 2787 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
334225mptpreima 6070 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))}
3354ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
336335ffvelrnda 6863 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3373363biant1d 1479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
338337adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
339311adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
340336adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
34168ad4antlr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
342339, 340, 341lemuldivd 12565 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
343317adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
344340, 343, 341ltdivmuld 12567 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ↔ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
345344bicomd 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ↔ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
346342, 345anbi12d 634 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
347338, 346bitr3d 284 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
348 elico2 12887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
349314, 320, 348syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
350349adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
351 eqcom 2745 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1))
35221adantlr 715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
353 flbi 13279 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
354352, 353sylan 583 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
355351, 354syl5bb 286 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
356347, 350, 3553bitr4d 314 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))))
357356an32s 652 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))))
358357rabbidva 3379 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))})
359334, 358syl5eq 2785 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))})
360333, 359eqtrd 2773 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))})
361230ad4antr 732 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹 ∈ MblFn)
3624ad4antr 732 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
363 mbfimasn 24386 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → (𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
364361, 362, 314, 363syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
365 mbfima 24384 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
366230, 4, 365syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
367366ad4antr 732 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
368 unmbl 24291 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom vol)
369364, 367, 368syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom vol)
370360, 369eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
371 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
372352flcld 13261 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
373372adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
374371, 373eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ)
375374stoic1a 1779 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
376375an32s 652 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
377376ralrimiva 3096 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
378 rabeq0 4273 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
379377, 378sylibr 237 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅)
380 0mbl 24293 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ dom vol
381379, 380eqeltrdi 2841 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
382370, 381pm2.61dan 813 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
383308, 382eqeltrrd 2834 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom vol)
384 inmbl 24296 . . . . . 6 ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom vol) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
385288, 383, 384syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
386 rabiun 35395 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)}
387 rabeq 3385 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
388168, 387syl 17 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
389386, 388eqtr3id 2787 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
390389ad2antlr 727 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
391176notbid 321 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ( “ {𝑡})) → (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
392391rabbidva 3379 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
393 inrab2 4196 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}
394 rabeq 3385 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℝ ∩ ( “ {𝑡})) = ( “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
395184, 394syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
396393, 395syl5eq 2785 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ dom ∫1 → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
397392, 396eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})))
398397ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})))
399 imaundi 5982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = ((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)))
40013, 19jca 515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 ∈ ℝ+ → ((𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0))
401 redivcl 11439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
4024013expb 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ((𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0)) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
403400, 402sylan2 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
404403ancoms 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑣 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
405404adantll 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
406405, 203syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
407 peano2re 10893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
408 reflcl 13259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
409406, 407, 4083syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
41013ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
411409, 410remulcld 10751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
412411rexrd 10771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ*)
413 pnfxr 10775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +∞ ∈ ℝ*
414413a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
415 ltpnf 12600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞)
416411, 415syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞)
417 snunioo 12954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞) → ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞))
418412, 414, 416, 417syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞))
419418imaeq2d 5903 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
420399, 419eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
421223imaeq1d 5902 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
422225mptpreima 6070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)}
423421, 422eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)})
424423ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)})
425406, 407syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
426425adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
427 flflp1 13270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
428426, 352, 427syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
429411adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
430 elicopnf 12921 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥))))
431429, 430syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥))))
432336biantrurd 536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥))))
433409adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
43468ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
435433, 336, 434lemuldivd 12565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
436431, 432, 4353bitr2d 310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
437406adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
438352, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
439 1red 10722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
440437, 438, 439ltadd1d 11313 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
441428, 436, 4403bitr4d 314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))))
442295, 439, 438ltaddsubd 11320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)))
443441, 442bitrd 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)))
444438, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
445292, 444, 434ltdivmul2d 12568 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 < (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
446444, 293remulcld 10751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
447292, 446ltnled 10867 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 < (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
448443, 445, 4473bitrd 308 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
449448rabbidva 3379 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
450420, 424, 4493eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
451230ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ MblFn)
452 mbfimasn 24386 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → (𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
453451, 335, 411, 452syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
454 mbfima 24384 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
455230, 4, 454syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
456455ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
457 unmbl 24291 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom vol)
458453, 456, 457syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom vol)
459450, 458eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
460237, 459syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
461 inmbl 24296 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ ( “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) ∈ dom vol)
462460, 244, 461syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) ∈ dom vol)
463398, 462eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
464463ralrimiva 3096 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
465 finiunmbl 24298 . . . . . . . . . 10 ((ran ∈ Fin ∧ ∀𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
46641, 464, 465syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
467390, 466eqeltrrd 2834 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
468254imaeq1d 5902 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {0}) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {0}))
469256mptpreima 6070 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {0}}
470140elsn 4531 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥) ∈ {0} ↔ (𝑥) = 0)
471470rabbii 3374 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {0}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}
472469, 471eqtri 2761 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}
473468, 472eqtrdi 2789 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0})
474 i1fima 24432 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {0}) ∈ dom vol)
475473, 474eqeltrrd 2834 . . . . . . . . 9 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0} ∈ dom vol)
476475ad2antlr 727 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0} ∈ dom vol)
477 unmbl 24291 . . . . . . . 8 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
478467, 476, 477syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
479478adantr 484 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
480254imaeq1d 5902 . . . . . . . . 9 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {𝑡}) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {𝑡}))
481256mptpreima 6070 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {𝑡}}
482140elsn 4531 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥) ∈ {𝑡} ↔ (𝑥) = 𝑡)
483 eqcom 2745 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥) = 𝑡𝑡 = (𝑥))
484482, 483bitri 278 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥) ∈ {𝑡} ↔ 𝑡 = (𝑥))
485484rabbii 3374 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}
486481, 485eqtri 2761 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}
487480, 486eqtrdi 2789 . . . . . . . 8 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})
488487ad3antlr 731 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})
489488, 243eqeltrrd 2834 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)} ∈ dom vol)
490 inmbl 24296 . . . . . 6 ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)} ∈ dom vol) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) ∈ dom vol)
491479, 489, 490syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) ∈ dom vol)
492 unmbl 24291 . . . . 5 (((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) ∈ dom vol) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})) ∈ dom vol)
493385, 491, 492syl2anc 587 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})) ∈ dom vol)
494159, 493syl 17 . . 3 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})) ∈ dom vol)
495154, 494eqeltrid 2837 . 2 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol)
496 mblvol 24284 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol → (vol‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})))
497495, 496syl 17 . . 3 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})))
498 eldifsn 4675 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0}) ↔ (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0))
499157anim1d 614 . . . . . 6 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ((𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
500498, 499syl5bi 245 . . . . 5 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0}) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
501500imdistani 572 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
502128a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}})
503468, 469eqtrdi 2789 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {0}})
504502, 503ineq12d 4104 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {0}}))
505 inrab 4195 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {0}}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})}
506504, 505eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 ( ∈ dom ∫1 → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})})
507506ad3antlr 731 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})})
508144biimpri 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥) = 0 → ¬ (𝑥) ≠ 0)
509508intnand 492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥) = 0 → ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0))
510509iffalsed 4425 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = (𝑥))
511 eqtr 2758 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = (𝑥) ∧ (𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = 0)
512510, 511mpancom 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = 0)
513512adantl 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = 0)
514 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥) = 0) → 𝑡 ≠ 0)
515514necomd 2989 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥) = 0) → 0 ≠ 𝑡)
516513, 515eqnetrd 3001 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ≠ 𝑡)
517516ex 416 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ≠ 𝑡))
518 orcom 869 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬ (𝑥) ∈ {0} ∨ ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}))
519 ianor 981 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (𝑥) ∈ {0}))
520 imor 852 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ (¬ (𝑥) ∈ {0} ∨ ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}))
521518, 519, 5203bitr4i 306 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}) ↔ ((𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}))
522142necon3bbii 2981 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ≠ 𝑡)
523470, 522imbi12i 354 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ ((𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ≠ 𝑡))
524521, 523bitri 278 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}) ↔ ((𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ≠ 𝑡))
525517, 524sylibr 237 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}))
526525ralrimiva 3096 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ≠ 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}))
527 rabeq0 4273 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}))
528526, 527sylibr 237 . . . . . . . . 9 (𝑡 ≠ 0 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})} = ∅)
529528ad2antll 729 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})} = ∅)
530507, 529eqtrd 2773 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = ∅)
531 imassrn 5914 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)))
532 dfdm4 5738 . . . . . . . . . 10 dom (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) = ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)))
533141, 127dmmpti 6481 . . . . . . . . . 10 dom (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) = ℝ
534532, 533eqtr3i 2763 . . . . . . . . 9 ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) = ℝ
535531, 534sseqtri 3913 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ
536 reldisj 4341 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ → ((((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = ∅ ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ ( “ {0}))))
537535, 536ax-mp 5 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = ∅ ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ ( “ {0})))
538530, 537sylib 221 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ ( “ {0})))
539 ffun 6507 . . . . . . . . . 10 (:ℝ⟶ℝ → Fun )
540 difpreima 6844 . . . . . . . . . 10 (Fun → ( “ (ran ∖ {0})) = (( “ ran ) ∖ ( “ {0})))
541539, 540syl 17 . . . . . . . . 9 (:ℝ⟶ℝ → ( “ (ran ∖ {0})) = (( “ ran ) ∖ ( “ {0})))
542 fdm 6513 . . . . . . . . . . 11 (:ℝ⟶ℝ → dom = ℝ)
543161, 542syl5eq 2785 . . . . . . . . . 10 (:ℝ⟶ℝ → ( “ ran ) = ℝ)
544543difeq1d 4012 . . . . . . . . 9 (:ℝ⟶ℝ → (( “ ran ) ∖ ( “ {0})) = (ℝ ∖ ( “ {0})))
545541, 544eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (:ℝ⟶ℝ → ( “ (ran ∖ {0})) = (ℝ ∖ ( “ {0})))
54627, 545syl 17 . . . . . . 7 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (ran ∖ {0})) = (ℝ ∖ ( “ {0})))
547546ad3antlr 731 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ( “ (ran ∖ {0})) = (ℝ ∖ ( “ {0})))
548538, 547sseqtrrd 3918 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ( “ (ran ∖ {0})))
549 imassrn 5914 . . . . . . 7 ( “ (ran ∖ {0})) ⊆ ran
550549, 181sseqtrid 3929 . . . . . 6 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (ran ∖ {0})) ⊆ ℝ)
551550ad3antlr 731 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ( “ (ran ∖ {0})) ⊆ ℝ)
552 i1fima 24432 . . . . . . . 8 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (ran ∖ {0})) ∈ dom vol)
553 mblvol 24284 . . . . . . . 8 (( “ (ran ∖ {0})) ∈ dom vol → (vol‘( “ (ran ∖ {0}))) = (vol*‘( “ (ran ∖ {0}))))
554552, 553syl 17 . . . . . . 7 ( ∈ dom ∫1 → (vol‘( “ (ran ∖ {0}))) = (vol*‘( “ (ran ∖ {0}))))
555 neldifsn 4680 . . . . . . . 8 ¬ 0 ∈ (ran ∖ {0})
556 i1fima2 24433 . . . . . . . 8 (( ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ (ran ∖ {0})) → (vol‘( “ (ran ∖ {0}))) ∈ ℝ)
557555, 556mpan2 691 . . . . . . 7 ( ∈ dom ∫1 → (vol‘( “ (ran ∖ {0}))) ∈ ℝ)
558554, 557eqeltrrd 2834 . . . . . 6 ( ∈ dom ∫1 → (vol*‘( “ (ran ∖ {0}))) ∈ ℝ)
559558ad3antlr 731 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (vol*‘( “ (ran ∖ {0}))) ∈ ℝ)
560 ovolsscl 24240 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ( “ (ran ∖ {0})) ∧ ( “ (ran ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘( “ (ran ∖ {0}))) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
561548, 551, 559, 560syl3anc 1372 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (vol*‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
562501, 561syl 17 . . 3 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → (vol*‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
563497, 562eqeltrd 2833 . 2 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
56431, 126, 495, 563i1fd 24435 1 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 209  wa 399  wo 846  w3a 1088   = wceq 1542  wex 1786  wcel 2114  wne 2934  wral 3053  wrex 3054  {crab 3057  Vcvv 3398  cdif 3840  cun 3841  cin 3842  wss 3843  c0 4211  ifcif 4414  {csn 4516   ciun 4881   class class class wbr 5030  cmpt 5110  ccnv 5524  dom cdm 5525  ran crn 5526  cima 5528  Fun wfun 6333   Fn wfn 6334  wf 6335  ontowfo 6337  cfv 6339  (class class class)co 7172  Fincfn 8557  supcsup 8979  cc 10615  cr 10616  0cc0 10617  1c1 10618   + caddc 10620   · cmul 10622  +∞cpnf 10752  -∞cmnf 10753  *cxr 10754   < clt 10755  cle 10756  cmin 10950  -cneg 10951   / cdiv 11377  cn 11718  3c3 11774  0cn0 11978  cz 12064  +crp 12474  (,)cioo 12823  [,)cico 12825  ...cfz 12983  cfl 13253  vol*covol 24216  volcvol 24217  MblFncmbf 24368  1citg1 24369
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7481  ax-inf2 9179  ax-cnex 10673  ax-resscn 10674  ax-1cn 10675  ax-icn 10676  ax-addcl 10677  ax-addrcl 10678  ax-mulcl 10679  ax-mulrcl 10680  ax-mulcom 10681  ax-addass 10682  ax-mulass 10683  ax-distr 10684  ax-i2m1 10685  ax-1ne0 10686  ax-1rid 10687  ax-rnegex 10688  ax-rrecex 10689  ax-cnre 10690  ax-pre-lttri 10691  ax-pre-lttrn 10692  ax-pre-ltadd 10693  ax-pre-mulgt0 10694  ax-pre-sup 10695
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-int 4837  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-se 5484  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-isom 6348  df-riota 7129  df-ov 7175  df-oprab 7176  df-mpo 7177  df-of 7427  df-om 7602  df-1st 7716  df-2nd 7717  df-wrecs 7978  df-recs 8039  df-rdg 8077  df-1o 8133  df-2o 8134  df-er 8322  df-map 8441  df-pm 8442  df-en 8558  df-dom 8559  df-sdom 8560  df-fin 8561  df-fi 8950  df-sup 8981  df-inf 8982  df-oi 9049  df-dju 9405  df-card 9443  df-pnf 10757  df-mnf 10758  df-xr 10759  df-ltxr 10760  df-le 10761  df-sub 10952  df-neg 10953  df-div 11378  df-nn 11719  df-2 11781  df-3 11782  df-n0 11979  df-z 12065  df-uz 12327  df-q 12433  df-rp 12475  df-xneg 12592  df-xadd 12593  df-xmul 12594  df-ioo 12827  df-ico 12829  df-icc 12830  df-fz 12984  df-fzo 13127  df-fl 13255  df-seq 13463  df-exp 13524  df-hash 13785  df-cj 14550  df-re 14551  df-im 14552  df-sqrt 14686  df-abs 14687  df-clim 14937  df-sum 15138  df-rest 16801  df-topgen 16822  df-psmet 20211  df-xmet 20212  df-met 20213  df-bl 20214  df-mopn 20215  df-top 21647  df-topon 21664  df-bases 21699  df-cmp 22140  df-ovol 24218  df-vol 24219  df-mbf 24373  df-itg1 24374
This theorem is referenced by:  itg2addnclem3  35475
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