| Step | Hyp | Ref
| Expression |
| 1 | | itg2addnc.f2 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞)) |
| 2 | | rge0ssre 13496 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℝ |
| 3 | | fss 6752 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞)
∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
| 4 | 1, 2, 3 | sylancl 586 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
| 5 | 4 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
| 6 | 5 | ffvelcdmda 7104 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝐹‘𝑥) ∈
ℝ) |
| 7 | | rpre 13043 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ 𝑣 ∈
ℝ) |
| 8 | | 3re 12346 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 3 ∈
ℝ |
| 9 | | 3ne0 12372 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 3 ≠
0 |
| 10 | 8, 9 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (3 ∈
ℝ ∧ 3 ≠ 0) |
| 11 | | redivcl 11986 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 3 ∈
ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ) |
| 12 | 11 | 3expb 1121 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (3 ∈
ℝ ∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ) |
| 13 | 7, 10, 12 | sylancl 586 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ (𝑣 / 3) ∈
ℝ) |
| 14 | 13 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝑣 / 3) ∈
ℝ) |
| 15 | | rpcnne0 13053 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ (𝑣 ∈ ℂ
∧ 𝑣 ≠
0)) |
| 16 | | 3cn 12347 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 3 ∈
ℂ |
| 17 | 16, 9 | pm3.2i 470 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (3 ∈
ℂ ∧ 3 ≠ 0) |
| 18 | | divne0 11934 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ
∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣
/ 3) ≠ 0) |
| 19 | 15, 17, 18 | sylancl 586 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ (𝑣 / 3) ≠
0) |
| 20 | 19 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝑣 / 3) ≠
0) |
| 21 | 6, 14, 20 | redivcld 12095 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
| 22 | | reflcl 13836 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ) |
| 23 | 21, 22 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ) |
| 24 | | peano2rem 11576 |
. . . . . 6
⊢
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℝ) |
| 25 | 23, 24 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℝ) |
| 26 | 25, 14 | remulcld 11291 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
| 27 | | i1ff 25711 |
. . . . . 6
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ:ℝ⟶ℝ) |
| 28 | 27 | ad2antlr 727 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ℎ:ℝ⟶ℝ) |
| 29 | 28 | ffvelcdmda 7104 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ∈
ℝ) |
| 30 | 26, 29 | ifcld 4572 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ ℝ) |
| 31 | 30 | fmpttd 7135 |
. 2
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))):ℝ⟶ℝ) |
| 32 | | fzfi 14013 |
. . . . 5
⊢
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin |
| 33 | | ovex 7464 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V |
| 34 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) = (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) |
| 35 | 33, 34 | fnmpti 6711 |
. . . . . 6
⊢ (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran
ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
| 36 | | dffn4 6826 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran
ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) |
| 37 | 35, 36 | mpbi 230 |
. . . . 5
⊢ (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) |
| 38 | | fofi 9351 |
. . . . 5
⊢
(((0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin ∧ (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) → ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin) |
| 39 | 32, 37, 38 | mp2an 692 |
. . . 4
⊢ ran
(𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin |
| 40 | | i1frn 25712 |
. . . . 5
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ran ℎ ∈
Fin) |
| 41 | 40 | ad2antlr 727 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ran ℎ ∈
Fin) |
| 42 | | unfi 9211 |
. . . 4
⊢ ((ran
(𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin ∧ ran ℎ ∈ Fin) → (ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin) |
| 43 | 39, 41, 42 | sylancr 587 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin) |
| 44 | | 0zd 12625 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → 0 ∈
ℤ) |
| 45 | 27 | frnd 6744 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ran ℎ ⊆
ℝ) |
| 46 | | i1f0rn 25717 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ 0 ∈ ran ℎ) |
| 47 | | elex2 2818 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 ∈
ran ℎ → ∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ) |
| 48 | 46, 47 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ) |
| 49 | | n0 4353 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ran
ℎ ≠ ∅ ↔
∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ) |
| 50 | 48, 49 | sylibr 234 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ran ℎ ≠
∅) |
| 51 | | fimaxre2 12213 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((ran
ℎ ⊆ ℝ ∧ ran
ℎ ∈ Fin) →
∃𝑥 ∈ ℝ
∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) |
| 52 | 45, 40, 51 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ∃𝑥 ∈
ℝ ∀𝑦 ∈
ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) |
| 53 | | suprcl 12228 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ran
ℎ ⊆ ℝ ∧ ran
ℎ ≠ ∅ ∧
∃𝑥 ∈ ℝ
∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(ran ℎ, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
| 54 | 45, 50, 52, 53 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ sup(ran ℎ, ℝ,
< ) ∈ ℝ) |
| 55 | 54 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ sup(ran ℎ, ℝ,
< ) ∈ ℝ) |
| 56 | 55, 14, 20 | redivcld 12095 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (sup(ran ℎ, ℝ,
< ) / (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
| 57 | | peano2re 11434 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((sup(ran
ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ →
((sup(ran ℎ, ℝ, < )
/ (𝑣 / 3)) + 1) ∈
ℝ) |
| 58 | 56, 57 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((sup(ran ℎ, ℝ,
< ) / (𝑣 / 3)) + 1)
∈ ℝ) |
| 59 | | ceicl 13881 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((sup(ran ℎ,
ℝ, < ) / (𝑣 / 3))
+ 1) ∈ ℝ → -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ) |
| 60 | 58, 59 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ) |
| 61 | 60 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → -(⌊‘-((sup(ran
ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈
ℤ) |
| 62 | 21 | flcld 13838 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ) |
| 63 | 62 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ) |
| 64 | | 3nn 12345 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 3 ∈
ℕ |
| 65 | | nnrp 13046 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (3 ∈
ℕ → 3 ∈ ℝ+) |
| 66 | 64, 65 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 3 ∈
ℝ+ |
| 67 | | rpdivcl 13060 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ+
∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
| 68 | 66, 67 | mpan2 691 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
| 69 | 68 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
| 70 | 1 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞)) |
| 71 | 70 | ffvelcdmda 7104 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝐹‘𝑥) ∈
(0[,)+∞)) |
| 72 | | elrege0 13494 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥))) |
| 73 | 71, 72 | sylib 218 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(𝐹‘𝑥))) |
| 74 | 73 | simprd 495 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)) |
| 75 | 6, 69, 74 | divge0d 13117 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) |
| 76 | | flge0nn0 13860 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈
ℕ0) |
| 77 | 21, 75, 76 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈
ℕ0) |
| 78 | 77 | nn0ge0d 12590 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ 0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
| 79 | 78 | adantr 480 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → 0 ≤
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
| 80 | 45, 50, 52 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (ran ℎ ⊆
ℝ ∧ ran ℎ ≠
∅ ∧ ∃𝑥
∈ ℝ ∀𝑦
∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥)) |
| 81 | 80 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ran ℎ ⊆
ℝ ∧ ran ℎ ≠
∅ ∧ ∃𝑥
∈ ℝ ∀𝑦
∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥)) |
| 82 | | ffn 6736 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
ℎ Fn
ℝ) |
| 83 | 27, 82 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ Fn
ℝ) |
| 84 | | dffn3 6748 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ Fn ℝ ↔ ℎ:ℝ⟶ran ℎ) |
| 85 | 83, 84 | sylib 218 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ:ℝ⟶ran
ℎ) |
| 86 | 85 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ℎ:ℝ⟶ran
ℎ) |
| 87 | 86 | ffvelcdmda 7104 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ) |
| 88 | | suprub 12229 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((ran
ℎ ⊆ ℝ ∧ ran
ℎ ≠ ∅ ∧
∃𝑥 ∈ ℝ
∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ) → (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) |
| 89 | 81, 87, 88 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, <
)) |
| 90 | | letr 11355 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧
(ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ∈ ℝ)
→ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, <
))) |
| 91 | 26, 29, 55, 90 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, <
))) |
| 92 | 25, 55, 69 | lemuldivd 13126 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ↔
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)))) |
| 93 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ 1 ∈ ℝ) |
| 94 | 23, 93, 56 | lesubaddd 11860 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ↔
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
| 95 | 92, 94 | bitrd 279 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ↔
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
| 96 | | ceige 13884 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((sup(ran ℎ,
ℝ, < ) / (𝑣 / 3))
+ 1) ∈ ℝ → ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran
ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
| 97 | 58, 96 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((sup(ran ℎ, ℝ,
< ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤
-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
| 98 | 60 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ) |
| 99 | | letr 11355 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ ∧
-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤
-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
| 100 | 23, 58, 98, 99 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤
-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
| 101 | 97, 100 | mpan2d 694 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
| 102 | 95, 101 | sylbid 240 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
| 103 | 91, 102 | syld 47 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
| 104 | 89, 103 | mpan2d 694 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
| 105 | 104 | adantrd 491 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
| 106 | 105 | imp 406 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
| 107 | 44, 61, 63, 79, 106 | elfzd 13555 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
| 108 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) =
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) |
| 109 | | oveq1 7438 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → (𝑡 − 1) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)) |
| 110 | 109 | oveq1d 7446 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) |
| 111 | 110 | rspceeqv 3645 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∧ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) =
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) → ∃𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) |
| 112 | 107, 108,
111 | sylancl 586 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) +
1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) |
| 113 | | ovex 7464 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V |
| 114 | 34 | elrnmpt 5969 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V →
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) +
1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) |
| 115 | 113, 114 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) +
1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) |
| 116 | 112, 115 | sylibr 234 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) |
| 117 | | elun1 4182 |
. . . . . . 7
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
| 118 | 116, 117 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
| 119 | | elun2 4183 |
. . . . . . . 8
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ → (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
| 120 | 87, 119 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
| 121 | 120 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
| 122 | 118, 121 | ifclda 4561 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
| 123 | 122 | fmpttd 7135 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))):ℝ⟶(ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
| 124 | 123 | frnd 6744 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ran (𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
| 125 | | ssfi 9213 |
. . 3
⊢ (((ran
(𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ Fin) |
| 126 | 43, 124, 125 | syl2anc 584 |
. 2
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ran (𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ Fin) |
| 127 | | eqid 2737 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
| 128 | 127 | mptpreima 6258 |
. . . 4
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} |
| 129 | | unrab 4315 |
. . . . 5
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))} |
| 130 | | inrab 4316 |
. . . . . . . 8
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)} |
| 131 | 130 | ineq1i 4216 |
. . . . . . 7
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) |
| 132 | | inrab 4316 |
. . . . . . 7
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} |
| 133 | 131, 132 | eqtri 2765 |
. . . . . 6
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} |
| 134 | | unrab 4315 |
. . . . . . . 8
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)} |
| 135 | 134 | ineq1i 4216 |
. . . . . . 7
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) |
| 136 | | inrab 4316 |
. . . . . . 7
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))} |
| 137 | 135, 136 | eqtri 2765 |
. . . . . 6
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))} |
| 138 | 133, 137 | uneq12i 4166 |
. . . . 5
⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))}) |
| 139 | | eqcom 2744 |
. . . . . . 7
⊢
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 𝑡 ↔ 𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
| 140 | | fvex 6919 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ‘𝑥) ∈ V |
| 141 | 113, 140 | ifex 4576 |
. . . . . . . 8
⊢
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ V |
| 142 | 141 | elsn 4641 |
. . . . . . 7
⊢
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 𝑡) |
| 143 | | ianor 984 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ↔ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) |
| 144 | | nne 2944 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (¬
(ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ (ℎ‘𝑥) = 0) |
| 145 | 144 | orbi2i 913 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ↔ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)) |
| 146 | 143, 145 | bitr2i 276 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ↔ ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) |
| 147 | 146 | anbi1i 624 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)) ↔ (¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))) |
| 148 | 147 | orbi2i 913 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))) ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))) |
| 149 | | eqif 4567 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))) |
| 150 | 148, 149 | bitr4i 278 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))) ↔ 𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
| 151 | 139, 142,
150 | 3bitr4i 303 |
. . . . . 6
⊢
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))) |
| 152 | 151 | rabbii 3442 |
. . . . 5
⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣
((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))} |
| 153 | 129, 138,
152 | 3eqtr4ri 2776 |
. . . 4
⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) |
| 154 | 128, 153 | eqtri 2765 |
. . 3
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) |
| 155 | | eldifi 4131 |
. . . . . 6
⊢ (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) |
| 156 | 31 | frnd 6744 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ran (𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ ℝ) |
| 157 | 156 | sseld 3982 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → 𝑡 ∈ ℝ)) |
| 158 | 155, 157 | syl5 34 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑡 ∈ (ran
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ℝ)) |
| 159 | 158 | imdistani 568 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈
ℝ)) |
| 160 | | rabiun 37600 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ∪
𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} |
| 161 | | cnvimarndm 6101 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (◡ℎ “ ran ℎ) = dom ℎ |
| 162 | | iunid 5060 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡} = ran ℎ |
| 163 | 162 | imaeq2i 6076 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (◡ℎ “ ∪
𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡}) = (◡ℎ “ ran ℎ) |
| 164 | | imaiun 7265 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (◡ℎ “ ∪
𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡}) = ∪
𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) |
| 165 | 163, 164 | eqtr3i 2767 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (◡ℎ “ ran ℎ) = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) |
| 166 | 161, 165 | eqtr3i 2767 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ dom ℎ = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) |
| 167 | 27 | fdmd 6746 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ dom ℎ =
ℝ) |
| 168 | 166, 167 | eqtr3id 2791 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ) |
| 169 | 168 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ) |
| 170 | | rabeq 3451 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 ∈ ∪
𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
| 171 | 169, 170 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
| 172 | 160, 171 | eqtr3id 2791 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
| 173 | | fniniseg 7080 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℎ Fn ℝ → (𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) = 𝑡))) |
| 174 | 27, 82, 173 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) = 𝑡))) |
| 175 | 174 | simplbda 499 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → (ℎ‘𝑥) = 𝑡) |
| 176 | 175 | breq2d 5155 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ↔ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡)) |
| 177 | 176 | rabbidva 3443 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
| 178 | | inrab2 4317 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} |
| 179 | | imassrn 6089 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ran ◡ℎ |
| 180 | | dfdm4 5906 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ dom ℎ = ran ◡ℎ |
| 181 | 180, 167 | eqtr3id 2791 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ran ◡ℎ = ℝ) |
| 182 | 179, 181 | sseqtrid 4026 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ℝ) |
| 183 | | sseqin2 4223 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩
(◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡})) |
| 184 | 182, 183 | sylib 218 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡})) |
| 185 | | rabeq 3451 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℝ
∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
| 186 | 184, 185 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (ℝ
∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
| 187 | 178, 186 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
| 188 | 177, 187 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡}))) |
| 189 | 188 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡}))) |
| 190 | 25 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℝ) |
| 191 | 45 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ran ℎ ⊆
ℝ) |
| 192 | 191 | sselda 3983 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → 𝑡 ∈ ℝ) |
| 193 | 192 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ) |
| 194 | 68 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
| 195 | 190, 193,
194 | lemuldivd 13126 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3)))) |
| 196 | 23 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ) |
| 197 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℝ) |
| 198 | 13 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ) |
| 199 | 19 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0) |
| 200 | 193, 198,
199 | redivcld 12095 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
| 201 | 196, 197,
200 | lesubaddd 11860 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1))) |
| 202 | 6 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) |
| 203 | | peano2re 11434 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
| 204 | 200, 203 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
| 205 | | reflcl 13836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ →
(⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈
ℝ) |
| 206 | 204, 205 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈
ℝ) |
| 207 | | peano2re 11434 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((⌊‘((𝑡
/ (𝑣 / 3)) + 1)) ∈
ℝ → ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈
ℝ) |
| 208 | 206, 207 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈
ℝ) |
| 209 | 202, 208,
194 | ltdivmuld 13128 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) |
| 210 | 21 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
| 211 | | flflp1 13847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) |
| 212 | 210, 204,
211 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) |
| 213 | 198, 208 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈
ℝ) |
| 214 | 213 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈
ℝ*) |
| 215 | | elioomnf 13484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑣 / 3) ·
((⌊‘((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈
ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
| 216 | 214, 215 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
| 217 | 202 | biantrurd 532 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
| 218 | 216, 217 | bitr4d 282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) |
| 219 | 209, 212,
218 | 3bitr4d 311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
| 220 | 195, 201,
219 | 3bitrd 305 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
| 221 | 220 | rabbidva 3443 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))}) |
| 222 | 1 | feqmptd 6977 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥))) |
| 223 | 222 | cnveqd 5886 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ◡𝐹 = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥))) |
| 224 | 223 | imaeq1d 6077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
| 225 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) |
| 226 | 225 | mptpreima 6258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))} |
| 227 | 224, 226 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))}) |
| 228 | 227 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))}) |
| 229 | 221, 228 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
| 230 | | itg2addnc.f1 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn) |
| 231 | | mbfima 25665 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) →
(◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom
vol) |
| 232 | 230, 4, 231 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom
vol) |
| 233 | 232 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom
vol) |
| 234 | 229, 233 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol) |
| 235 | 45 | sseld 3982 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (𝑡 ∈ ran ℎ → 𝑡 ∈ ℝ)) |
| 236 | 235 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑡 ∈ ran ℎ → 𝑡 ∈ ℝ)) |
| 237 | 236 | imdistani 568 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈
ℝ)) |
| 238 | | i1fmbf 25710 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ ∈
MblFn) |
| 239 | 238, 27 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (ℎ ∈ MblFn ∧
ℎ:ℝ⟶ℝ)) |
| 240 | 239 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (ℎ ∈ MblFn ∧
ℎ:ℝ⟶ℝ)) |
| 241 | | mbfimasn 25667 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ:ℝ⟶ℝ ∧
𝑡 ∈ ℝ) →
(◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) |
| 242 | 241 | 3expa 1119 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ:ℝ⟶ℝ) ∧
𝑡 ∈ ℝ) →
(◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) |
| 243 | 240, 242 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) |
| 244 | 237, 243 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) |
| 245 | | inmbl 25577 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol) |
| 246 | 234, 244,
245 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol) |
| 247 | 189, 246 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
| 248 | 247 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∀𝑡 ∈ ran
ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
| 249 | | finiunmbl 25579 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((ran
ℎ ∈ Fin ∧
∀𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
| 250 | 41, 248, 249 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
| 251 | 172, 250 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
| 252 | | unrab 4315 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))} |
| 253 | 27 | feqmptd 6977 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥))) |
| 254 | 253 | cnveqd 5886 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ◡ℎ = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥))) |
| 255 | 254 | imaeq1d 6077 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (-∞(,)0)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (-∞(,)0))) |
| 256 | | eqid 2737 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) |
| 257 | 256 | mptpreima 6258 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)} |
| 258 | 255, 257 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)}) |
| 259 | 254 | imaeq1d 6077 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (0(,)+∞)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (0(,)+∞))) |
| 260 | 256 | mptpreima 6258 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)} |
| 261 | 259, 260 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)}) |
| 262 | 258, 261 | uneq12d 4169 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)})) |
| 263 | 27 | ffvelcdmda 7104 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ∈
ℝ) |
| 264 | | 0re 11263 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 0 ∈
ℝ |
| 265 | | lttri2 11343 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)
→ ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)))) |
| 266 | 264, 265 | mpan2 691 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)))) |
| 267 | | ibar 528 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → (((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))))) |
| 268 | | andi 1010 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥)))) |
| 269 | | 0xr 11308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 0 ∈
ℝ* |
| 270 | | elioomnf 13484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 ∈
ℝ* → ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0))) |
| 271 | | elioopnf 13483 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 ∈
ℝ* → ((ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥)))) |
| 272 | 270, 271 | orbi12d 919 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (0 ∈
ℝ* → (((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥))))) |
| 273 | 269, 272 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥)))) |
| 274 | 268, 273 | bitr4i 278 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))) |
| 275 | 267, 274 | bitrdi 287 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → (((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)))) |
| 276 | 266, 275 | bitrd 279 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)))) |
| 277 | 263, 276 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)))) |
| 278 | 277 | rabbidva 3443 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))}) |
| 279 | 252, 262,
278 | 3eqtr4a 2803 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) |
| 280 | | i1fima 25713 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∈ dom
vol) |
| 281 | | i1fima 25713 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (0(,)+∞)) ∈ dom
vol) |
| 282 | | unmbl 25572 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∈ dom vol ∧
(◡ℎ “ (0(,)+∞)) ∈ dom vol)
→ ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) ∈ dom
vol) |
| 283 | 280, 281,
282 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) ∈ dom
vol) |
| 284 | 279, 283 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom
vol) |
| 285 | 284 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom
vol) |
| 286 | | inmbl 25577 |
. . . . . . . 8
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol) |
| 287 | 251, 285,
286 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol) |
| 288 | 287 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol) |
| 289 | 23 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ) |
| 290 | 289 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ) |
| 291 | | 1cnd 11256 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℂ) |
| 292 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ) |
| 293 | 13 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ) |
| 294 | 19 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0) |
| 295 | 292, 293,
294 | redivcld 12095 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
| 296 | 295 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℂ) |
| 297 | 290, 291,
296 | subadd2d 11639 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))) |
| 298 | | eqcom 2744 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)) |
| 299 | | recn 11245 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈
ℂ) |
| 300 | 299 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ) |
| 301 | 25 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℂ) |
| 302 | 301 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℂ) |
| 303 | 13 | recnd 11289 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ (𝑣 / 3) ∈
ℂ) |
| 304 | 303 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℂ) |
| 305 | 300, 302,
304, 294 | divmul3d 12077 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))) |
| 306 | 298, 305 | bitrid 283 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))) |
| 307 | 297, 306 | bitr3d 281 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))) |
| 308 | 307 | rabbidva 3443 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) =
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) |
| 309 | | imaundi 6169 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (◡𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
| 310 | 223 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ◡𝐹 = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥))) |
| 311 | | zre 12617 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
| 312 | 311 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
| 313 | 13 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ) |
| 314 | 312, 313 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
| 315 | 314 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈
ℝ*) |
| 316 | | peano2z 12658 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℤ) |
| 317 | 316 | zred 12722 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
| 318 | 317 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
| 319 | 313, 318 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈
ℝ) |
| 320 | 319 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈
ℝ*) |
| 321 | | zcn 12618 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ) |
| 322 | 321 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ) |
| 323 | 303 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈
ℂ) |
| 324 | 322, 323 | mulcomd 11282 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1))) |
| 325 | 68 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
| 326 | 311 | ltp1d 12198 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) |
| 327 | 326 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) |
| 328 | 312, 318,
325, 327 | ltmul2dd 13133 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) |
| 329 | 324, 328 | eqbrtrd 5165 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) |
| 330 | | snunioo 13518 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈
ℝ* ∧ ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*
∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
| 331 | 315, 320,
329, 330 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
| 332 | 310, 331 | imaeq12d 6079 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
| 333 | 309, 332 | eqtr3id 2791 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
| 334 | 225 | mptpreima 6258 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))} |
| 335 | 4 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
| 336 | 335 | ffvelcdmda 7104 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) |
| 337 | 336 | 3biant1d 1480 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
| 338 | 337 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
| 339 | 311 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
| 340 | 336 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) |
| 341 | 68 | ad4antlr 733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
| 342 | 339, 340,
341 | lemuldivd 13126 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
| 343 | 317 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
| 344 | 340, 343,
341 | ltdivmuld 13128 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
| 345 | 344 | bicomd 223 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) |
| 346 | 342, 345 | anbi12d 632 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
| 347 | 338, 346 | bitr3d 281 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
| 348 | | elico2 13451 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧
((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*)
→ ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
| 349 | 314, 320,
348 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
| 350 | 349 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
| 351 | | eqcom 2744 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) |
| 352 | 21 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
| 353 | | flbi 13856 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
| 354 | 352, 353 | sylan 580 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
| 355 | 351, 354 | bitrid 283 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
| 356 | 347, 350,
355 | 3bitr4d 311 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))) |
| 357 | 356 | an32s 652 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))) |
| 358 | 357 | rabbidva 3443 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))}) |
| 359 | 334, 358 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))}) |
| 360 | 333, 359 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))}) |
| 361 | 230 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹 ∈ MblFn) |
| 362 | 4 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
| 363 | | mbfimasn 25667 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧
(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol) |
| 364 | 361, 362,
314, 363 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol) |
| 365 | | mbfima 25665 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) →
(◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom
vol) |
| 366 | 230, 4, 365 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom
vol) |
| 367 | 366 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom
vol) |
| 368 | | unmbl 25572 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol) →
((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom
vol) |
| 369 | 364, 367,
368 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom
vol) |
| 370 | 360, 369 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol) |
| 371 | | simpr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
| 372 | 352 | flcld 13838 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ) |
| 373 | 372 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ) |
| 374 | 371, 373 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) |
| 375 | 374 | stoic1a 1772 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ¬
((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
| 376 | 375 | an32s 652 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬
((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
| 377 | 376 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) →
∀𝑥 ∈ ℝ
¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) =
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
| 378 | | rabeq0 4388 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
| 379 | 377, 378 | sylibr 234 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅) |
| 380 | | 0mbl 25574 |
. . . . . . . . 9
⊢ ∅
∈ dom vol |
| 381 | 379, 380 | eqeltrdi 2849 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol) |
| 382 | 370, 381 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) =
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol) |
| 383 | 308, 382 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ 𝑡 =
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom
vol) |
| 384 | | inmbl 25577 |
. . . . . 6
⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom vol) →
(({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom
vol) |
| 385 | 288, 383,
384 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (({𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom
vol) |
| 386 | | rabiun 37600 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ∪
𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} |
| 387 | | rabeq 3451 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 ∈ ∪
𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
| 388 | 168, 387 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
| 389 | 386, 388 | eqtr3id 2791 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
| 390 | 389 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
| 391 | 176 | notbid 318 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡)) |
| 392 | 391 | rabbidva 3443 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
| 393 | | inrab2 4317 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} |
| 394 | | rabeq 3451 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℝ
∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
| 395 | 184, 394 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (ℝ
∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
| 396 | 393, 395 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
| 397 | 392, 396 | eqtr4d 2780 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡}))) |
| 398 | 397 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡}))) |
| 399 | | imaundi 6169 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (◡𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))(,)+∞))) = ((◡𝐹 “
{((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3))}) ∪
(◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))(,)+∞))) |
| 400 | 13, 19 | jca 511 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ ((𝑣 / 3) ∈
ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠
0)) |
| 401 | | redivcl 11986 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧
(𝑣 / 3) ≠ 0) →
(𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
| 402 | 401 | 3expb 1121 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ((𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧
(𝑣 / 3) ≠ 0)) →
(𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
| 403 | 400, 402 | sylan2 593 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
| 404 | 403 | ancoms 458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ+
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
| 405 | 404 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
| 406 | 405, 203 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈
ℝ) |
| 407 | | peano2re 11434 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
| 408 | | reflcl 13836 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ →
(⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈
ℝ) |
| 409 | 406, 407,
408 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (⌊‘(((𝑡
/ (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
∈ ℝ) |
| 410 | 13 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (𝑣 / 3) ∈
ℝ) |
| 411 | 409, 410 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘(((𝑡
/ (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
| 412 | 411 | rexrd 11311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘(((𝑡
/ (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ∈
ℝ*) |
| 413 | | pnfxr 11315 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ +∞
∈ ℝ* |
| 414 | 413 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ +∞ ∈ ℝ*) |
| 415 | | ltpnf 13162 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ →
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) <
+∞) |
| 416 | 411, 415 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘(((𝑡
/ (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) <
+∞) |
| 417 | | snunioo 13518 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈
ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) <
+∞) → ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞)) |
| 418 | 412, 414,
416, 417 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞)) |
| 419 | 418 | imaeq2d 6078 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))(,)+∞))) = (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞))) |
| 420 | 399, 419 | eqtr3id 2791 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞))) |
| 421 | 223 | imaeq1d 6077 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞))) |
| 422 | 225 | mptpreima 6258 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞)} |
| 423 | 421, 422 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞)}) |
| 424 | 423 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞)}) |
| 425 | 406, 407 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
| 426 | 425 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
| 427 | | flflp1 13847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ
∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) →
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤
((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1))) |
| 428 | 426, 352,
427 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤
((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1))) |
| 429 | 411 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
| 430 | | elicopnf 13485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ →
((𝐹‘𝑥) ∈
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ≤
(𝐹‘𝑥)))) |
| 431 | 429, 430 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔
((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ≤
(𝐹‘𝑥)))) |
| 432 | 336 | biantrurd 532 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ≤
(𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ≤
(𝐹‘𝑥)))) |
| 433 | 409 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈
ℝ) |
| 434 | 68 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
| 435 | 433, 336,
434 | lemuldivd 13126 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ≤
(𝐹‘𝑥) ↔ (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
| 436 | 431, 432,
435 | 3bitr2d 307 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔
(⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤
((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
| 437 | 406 | adantr 480 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
| 438 | 352, 22 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ) |
| 439 | | 1red 11262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℝ) |
| 440 | 437, 438,
439 | ltadd1d 11856 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1))) |
| 441 | 428, 436,
440 | 3bitr4d 311 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔
((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))) |
| 442 | 295, 439,
438 | ltaddsubd 11863 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))) |
| 443 | 441, 442 | bitrd 279 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))) |
| 444 | 438, 24 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℝ) |
| 445 | 292, 444,
434 | ltdivmul2d 13129 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 < (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))) |
| 446 | 444, 293 | remulcld 11291 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
| 447 | 292, 446 | ltnled 11408 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 < (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ↔ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡)) |
| 448 | 443, 445,
447 | 3bitrd 305 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡)) |
| 449 | 448 | rabbidva 3443 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (𝐹‘𝑥) ∈
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))[,)+∞)} = {𝑥
∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
| 450 | 420, 424,
449 | 3eqtrd 2781 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
| 451 | 230 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ 𝐹 ∈
MblFn) |
| 452 | | mbfimasn 25667 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) → (◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom
vol) |
| 453 | 451, 335,
411, 452 | syl3anc 1373 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom
vol) |
| 454 | | mbfima 25665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) →
(◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom
vol) |
| 455 | 230, 4, 454 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom
vol) |
| 456 | 455 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom
vol) |
| 457 | | unmbl 25572 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧
(◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom
vol) → ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom
vol) |
| 458 | 453, 456,
457 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom
vol) |
| 459 | 450, 458 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol) |
| 460 | 237, 459 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol) |
| 461 | | inmbl 25577 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol) |
| 462 | 460, 244,
461 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol) |
| 463 | 398, 462 | eqeltrd 2841 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
| 464 | 463 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∀𝑡 ∈ ran
ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
| 465 | | finiunmbl 25579 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((ran
ℎ ∈ Fin ∧
∀𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
| 466 | 41, 464, 465 | syl2anc 584 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
| 467 | 390, 466 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
| 468 | 254 | imaeq1d 6077 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {0}) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0})) |
| 469 | 256 | mptpreima 6258 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}} |
| 470 | 140 | elsn 4641 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {0} ↔ (ℎ‘𝑥) = 0) |
| 471 | 470 | rabbii 3442 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} |
| 472 | 469, 471 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} |
| 473 | 468, 472 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) |
| 474 | | i1fima 25713 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {0}) ∈ dom vol) |
| 475 | 473, 474 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom
vol) |
| 476 | 475 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom
vol) |
| 477 | | unmbl 25572 |
. . . . . . . 8
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol) |
| 478 | 467, 476,
477 | syl2anc 584 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol) |
| 479 | 478 | adantr 480 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol) |
| 480 | 254 | imaeq1d 6077 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {𝑡}) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡})) |
| 481 | 256 | mptpreima 6258 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡}} |
| 482 | 140 | elsn 4641 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡} ↔ (ℎ‘𝑥) = 𝑡) |
| 483 | | eqcom 2744 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((ℎ‘𝑥) = 𝑡 ↔ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)) |
| 484 | 482, 483 | bitri 275 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡} ↔ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)) |
| 485 | 484 | rabbii 3442 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} |
| 486 | 481, 485 | eqtri 2765 |
. . . . . . . . 9
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} |
| 487 | 480, 486 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . 8
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) |
| 488 | 487 | ad3antlr 731 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡ℎ “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) |
| 489 | 488, 243 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
| 490 | | inmbl 25577 |
. . . . . 6
⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol) |
| 491 | 479, 489,
490 | syl2anc 584 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (({𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol) |
| 492 | | unmbl 25572 |
. . . . 5
⊢
(((({𝑥 ∈
ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧
(({𝑥 ∈ ℝ ∣
¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol) |
| 493 | 385, 491,
492 | syl2anc 584 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((({𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol) |
| 494 | 159, 493 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol) |
| 495 | 154, 494 | eqeltrid 2845 |
. 2
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol) |
| 496 | | mblvol 25565 |
. . . 4
⊢ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}))) |
| 497 | 495, 496 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}))) |
| 498 | | eldifsn 4786 |
. . . . . 6
⊢ (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) ↔ (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0)) |
| 499 | 157 | anim1d 611 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ((𝑡 ∈ ran
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0))) |
| 500 | 498, 499 | biimtrid 242 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑡 ∈ (ran
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0))) |
| 501 | 500 | imdistani 568 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠
0))) |
| 502 | 128 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}}) |
| 503 | 468, 469 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}}) |
| 504 | 502, 503 | ineq12d 4221 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}})) |
| 505 | | inrab 4316 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} |
| 506 | 504, 505 | eqtrdi 2793 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})}) |
| 507 | 506 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})}) |
| 508 | 144 | biimpri 228 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) |
| 509 | 508 | intnand 488 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) |
| 510 | 509 | iffalsed 4536 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = (ℎ‘𝑥)) |
| 511 | | eqtr 2760 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0) |
| 512 | 510, 511 | mpancom 688 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0) |
| 513 | 512 | adantl 481 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0) |
| 514 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → 𝑡 ≠ 0) |
| 515 | 514 | necomd 2996 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → 0 ≠ 𝑡) |
| 516 | 513, 515 | eqnetrd 3008 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡) |
| 517 | 516 | ex 412 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡)) |
| 518 | | orcom 871 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0} ∨ ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡})) |
| 519 | | ianor 984 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})) |
| 520 | | imor 854 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ (¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0} ∨ ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡})) |
| 521 | 518, 519,
520 | 3bitr4i 303 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡})) |
| 522 | 142 | necon3bbii 2988 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡) |
| 523 | 470, 522 | imbi12i 350 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡)) |
| 524 | 521, 523 | bitri 275 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡)) |
| 525 | 517, 524 | sylibr 234 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})) |
| 526 | 525 | ralrimiva 3146 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 ≠ 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})) |
| 527 | | rabeq0 4388 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})) |
| 528 | 526, 527 | sylibr 234 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 ≠ 0 → {𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅) |
| 529 | 528 | ad2antll 729 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
{𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅) |
| 530 | 507, 529 | eqtrd 2777 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅) |
| 531 | | imassrn 6089 |
. . . . . . . . 9
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
| 532 | | dfdm4 5906 |
. . . . . . . . . 10
⊢ dom
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
| 533 | 141, 127 | dmmpti 6712 |
. . . . . . . . . 10
⊢ dom
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ℝ |
| 534 | 532, 533 | eqtr3i 2767 |
. . . . . . . . 9
⊢ ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ℝ |
| 535 | 531, 534 | sseqtri 4032 |
. . . . . . . 8
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ |
| 536 | | reldisj 4453 |
. . . . . . . 8
⊢ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ → (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅ ↔ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))) |
| 537 | 535, 536 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
⊢ (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅ ↔ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
| 538 | 530, 537 | sylib 218 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
| 539 | | ffun 6739 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
Fun ℎ) |
| 540 | | difpreima 7085 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (Fun
ℎ → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = ((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
| 541 | 539, 540 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = ((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
| 542 | | fdm 6745 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
dom ℎ =
ℝ) |
| 543 | 161, 542 | eqtrid 2789 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
(◡ℎ “ ran ℎ) = ℝ) |
| 544 | 543 | difeq1d 4125 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
| 545 | 541, 544 | eqtrd 2777 |
. . . . . . . 8
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
| 546 | 27, 545 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
| 547 | 546 | ad3antlr 731 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
| 548 | 538, 547 | sseqtrrd 4021 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) |
| 549 | | imassrn 6089 |
. . . . . . 7
⊢ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆ ran ◡ℎ |
| 550 | 549, 181 | sseqtrid 4026 |
. . . . . 6
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆
ℝ) |
| 551 | 550 | ad3antlr 731 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆
ℝ) |
| 552 | | i1fima 25713 |
. . . . . . . 8
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∈ dom
vol) |
| 553 | | mblvol 25565 |
. . . . . . . 8
⊢ ((◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∈ dom vol →
(vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})))) |
| 554 | 552, 553 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})))) |
| 555 | | neldifsn 4792 |
. . . . . . . 8
⊢ ¬ 0
∈ (ran ℎ ∖
{0}) |
| 556 | | i1fima2 25714 |
. . . . . . . 8
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ ¬ 0 ∈ (ran ℎ
∖ {0})) → (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈
ℝ) |
| 557 | 555, 556 | mpan2 691 |
. . . . . . 7
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈
ℝ) |
| 558 | 554, 557 | eqeltrrd 2842 |
. . . . . 6
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈
ℝ) |
| 559 | 558 | ad3antlr 731 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈
ℝ) |
| 560 | | ovolsscl 25521 |
. . . . 5
⊢ (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∧ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧
(vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈ ℝ) →
(vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ) |
| 561 | 548, 551,
559, 560 | syl3anc 1373 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ) |
| 562 | 501, 561 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ) |
| 563 | 497, 562 | eqeltrd 2841 |
. 2
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ) |
| 564 | 31, 126, 495, 563 | i1fd 25716 |
1
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ dom
∫1) |