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Theorem itg2addnclem2 34814
Description: Lemma for itg2addnc 34816. The function described is a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2addnc.f1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2addnc.f2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
itg2addnclem2 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∈ dom ∫1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑣,,𝐹   𝜑,𝑣,𝑥,

Proof of Theorem itg2addnclem2
Dummy variables 𝑡 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2addnc.f2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2 rge0ssre 12834 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
3 fss 6524 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
41, 2, 3sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
54ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
65ffvelrnda 6847 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7 rpre 12387 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ)
8 3re 11706 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
9 3ne0 11732 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
108, 9pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)
11 redivcl 11348 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
12113expb 1114 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
137, 10, 12sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
1413ad2antlr 723 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
15 rpcnne0 12397 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0))
16 3cn 11707 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
1716, 9pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
18 divne0 11299 . . . . . . . . . 10 (((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
1915, 17, 18sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ≠ 0)
2019ad2antlr 723 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
216, 14, 20redivcld 11457 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
22 reflcl 13156 . . . . . . 7 (((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
24 peano2rem 10942 . . . . . 6 ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
2625, 14remulcld 10660 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
27 i1ff 24195 . . . . . 6 ( ∈ dom ∫1:ℝ⟶ℝ)
2827ad2antlr 723 . . . . 5 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → :ℝ⟶ℝ)
2928ffvelrnda 6847 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ ℝ)
3026, 29ifcld 4515 . . 3 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ ℝ)
3130fmpttd 6875 . 2 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))):ℝ⟶ℝ)
32 fzfi 13330 . . . . 5 (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin
33 ovex 7181 . . . . . . 7 ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V
34 eqid 2826 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) = (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
3533, 34fnmpti 6488 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
36 dffn4 6593 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
3735, 36mpbi 231 . . . . 5 (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
38 fofi 8799 . . . . 5 (((0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin ∧ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) → ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin)
3932, 37, 38mp2an 688 . . . 4 ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin
40 i1frn 24196 . . . . 5 ( ∈ dom ∫1 → ran ∈ Fin)
4140ad2antlr 723 . . . 4 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran ∈ Fin)
42 unfi 8774 . . . 4 ((ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin ∧ ran ∈ Fin) → (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ) ∈ Fin)
4339, 41, 42sylancr 587 . . 3 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ) ∈ Fin)
44 3nn 11705 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℕ
45 nnrp 12390 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
4644, 45ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ+
47 rpdivcl 12404 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
4846, 47mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
4948ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
501ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
5150ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
52 elrege0 12832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
5351, 52sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
5453simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
556, 49, 54divge0d 12461 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))
56 flge0nn0 13180 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℕ0)
5721, 55, 56syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℕ0)
5857nn0ge0d 11947 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
5958adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
6027frnd 6518 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → ran ⊆ ℝ)
61 i1f0rn 24201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran )
62 elex2 3522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ran → ∃𝑥 𝑥 ∈ ran )
6361, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ dom ∫1 → ∃𝑥 𝑥 ∈ ran )
64 n0 4314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ran ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ran )
6563, 64sylibr 235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → ran ≠ ∅)
66 fimaxre2 11575 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ran ⊆ ℝ ∧ ran ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥)
6760, 40, 66syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥)
6860, 65, 673jca 1122 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 → (ran ⊆ ℝ ∧ ran ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥))
6968ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ran ⊆ ℝ ∧ ran ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥))
70 ffn 6511 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (:ℝ⟶ℝ → Fn ℝ)
7127, 70syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ dom ∫1 Fn ℝ)
72 dffn3 6522 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( Fn ℝ ↔ :ℝ⟶ran )
7371, 72sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1:ℝ⟶ran )
7473ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → :ℝ⟶ran )
7574ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ ran )
76 suprub 11591 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ran ⊆ ℝ ∧ ran ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥) ∧ (𝑥) ∈ ran ) → (𝑥) ≤ sup(ran , ℝ, < ))
7769, 75, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ≤ sup(ran , ℝ, < ))
78 suprcl 11590 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ran ⊆ ℝ ∧ ran ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥) → sup(ran , ℝ, < ) ∈ ℝ)
7960, 65, 67, 78syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → sup(ran , ℝ, < ) ∈ ℝ)
8079ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → sup(ran , ℝ, < ) ∈ ℝ)
81 letr 10723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝑥) ∈ ℝ ∧ sup(ran , ℝ, < ) ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≤ sup(ran , ℝ, < )) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran , ℝ, < )))
8226, 29, 80, 81syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≤ sup(ran , ℝ, < )) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran , ℝ, < )))
8325, 80, 49lemuldivd 12470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran , ℝ, < ) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3))))
84 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
8580, 14, 20redivcld 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
8623, 84, 85lesubaddd 11226 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
8783, 86bitrd 280 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran , ℝ, < ) ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
88 peano2re 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
8985, 88syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
90 ceige 13203 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
9189, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
92 ceicl 13201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
9389, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
9493zred 12076 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
95 letr 10723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ ∧ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ ∧ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
9623, 89, 94, 95syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
9791, 96mpan2d 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
9887, 97sylbid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran , ℝ, < ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
9982, 98syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≤ sup(ran , ℝ, < )) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
10077, 99mpan2d 690 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
101100adantrd 492 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
102101imp 407 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
10321flcld 13158 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
104103adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
105 0zd 11982 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → 0 ∈ ℤ)
10693adantr 481 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
107 elfz 12888 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∧ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))))
108104, 105, 106, 107syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∧ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))))
10959, 102, 108mpbir2and 709 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
110 eqid 2826 . . . . . . . . 9 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))
111 oveq1 7155 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) → (𝑡 − 1) = ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))
112111oveq1d 7163 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) → ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))
113112rspceeqv 3642 . . . . . . . . 9 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∧ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) → ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
114109, 110, 113sylancl 586 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
115 ovex 7181 . . . . . . . . 9 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V
11634elrnmpt 5827 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
117115, 116ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
118114, 117sylibr 235 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
119 elun1 4156 . . . . . . 7 ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
120118, 119syl 17 . . . . . 6 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
121 elun2 4157 . . . . . . . 8 ((𝑥) ∈ ran → (𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
12275, 121syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
123122adantr 481 . . . . . 6 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
124120, 123ifclda 4504 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
125124fmpttd 6875 . . . 4 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))):ℝ⟶(ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
126125frnd 6518 . . 3 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
127 ssfi 8727 . . 3 (((ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ) ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran )) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∈ Fin)
12843, 126, 127syl2anc 584 . 2 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∈ Fin)
129 eqid 2826 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)))
130129mptpreima 6090 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}}
131 unrab 4278 . . . . 5 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥)))}
132 inrab 4279 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)}
133132ineq1i 4189 . . . . . . 7 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))})
134 inrab 4279 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))}
135133, 134eqtri 2849 . . . . . 6 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))}
136 unrab 4278 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0)}
137136ineq1i 4189 . . . . . . 7 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})
138 inrab 4279 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))}
139137, 138eqtri 2849 . . . . . 6 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))}
140135, 139uneq12i 4141 . . . . 5 ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))})
141 eqcom 2833 . . . . . . 7 (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = 𝑡𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)))
142 fvex 6680 . . . . . . . . 9 (𝑥) ∈ V
143115, 142ifex 4518 . . . . . . . 8 if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ V
144143elsn 4579 . . . . . . 7 (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = 𝑡)
145 ianor 977 . . . . . . . . . . 11 (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ ¬ (𝑥) ≠ 0))
146 nne 3025 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑥) = 0)
147146orbi2i 908 . . . . . . . . . . 11 ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ ¬ (𝑥) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0))
148145, 147bitr2i 277 . . . . . . . . . 10 ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ↔ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0))
149148anbi1i 623 . . . . . . . . 9 (((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥)) ↔ (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (𝑥)))
150149orbi2i 908 . . . . . . . 8 (((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))) ↔ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))))
151 eqif 4510 . . . . . . . 8 (𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ↔ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))))
152150, 151bitr4i 279 . . . . . . 7 (((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))) ↔ 𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)))
153141, 144, 1523bitr4i 304 . . . . . 6 (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))))
154153rabbii 3479 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥)))}
155131, 140, 1543eqtr4ri 2860 . . . 4 {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}} = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}))
156130, 155eqtri 2849 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}))
157 eldifi 4107 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))))
15831frnd 6518 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ⊆ ℝ)
159158sseld 3970 . . . . . 6 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) → 𝑡 ∈ ℝ))
160157, 159syl5 34 . . . . 5 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ℝ))
161160imdistani 569 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ))
162 rabiun 34735 . . . . . . . . . 10 {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)}
163 cnvimarndm 5948 . . . . . . . . . . . . . 14 ( “ ran ) = dom
164 iunid 4981 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡 ∈ ran {𝑡} = ran
165164imaeq2i 5925 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑡 ∈ ran {𝑡}) = ( “ ran )
166 imaiun 6998 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑡 ∈ ran {𝑡}) = 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡})
167165, 166eqtr3i 2851 . . . . . . . . . . . . . 14 ( “ ran ) = 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡})
168163, 167eqtr3i 2851 . . . . . . . . . . . . 13 dom = 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡})
16927fdmd 6520 . . . . . . . . . . . . 13 ( ∈ dom ∫1 → dom = ℝ)
170168, 169syl5eqr 2875 . . . . . . . . . . . 12 ( ∈ dom ∫1 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) = ℝ)
171170ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) = ℝ)
172 rabeq 3489 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
174162, 173syl5eqr 2875 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
175 fniniseg 6826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( Fn ℝ → (𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥) = 𝑡)))
17627, 70, 1753syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥) = 𝑡)))
177176simplbda 500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ( “ {𝑡})) → (𝑥) = 𝑡)
178177breq2d 5075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ( “ {𝑡})) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ↔ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
179178rabbidva 3484 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
180 inrab2 4280 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}
181 imassrn 5938 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( “ {𝑡}) ⊆ ran
182 dfdm4 5763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom = ran
183182, 169syl5eqr 2875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( ∈ dom ∫1 → ran = ℝ)
184181, 183sseqtrid 4023 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {𝑡}) ⊆ ℝ)
185 sseqin2 4196 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( “ {𝑡}) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) = ( “ {𝑡}))
186184, 185sylib 219 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) = ( “ {𝑡}))
187 rabeq 3489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℝ ∩ ( “ {𝑡})) = ( “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
188186, 187syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
189180, 188syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ dom ∫1 → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
190179, 189eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . . 13 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})))
191190ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})))
19225adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
19360ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran ⊆ ℝ)
194193sselda 3971 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → 𝑡 ∈ ℝ)
195194adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
19648ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
197192, 195, 196lemuldivd 12470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3))))
19823adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
199 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
20013ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
20119ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
202195, 200, 201redivcld 11457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
203198, 199, 202lesubaddd 11226 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)))
2046adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
205 peano2re 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
206202, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
207 reflcl 13156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
208206, 207syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
209 peano2re 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
210208, 209syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
211204, 210, 196ltdivmuld 12472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ↔ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))
21221adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
213 flflp1 13167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))
214212, 206, 213syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))
215200, 210remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ)
216215rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ*)
217 elioomnf 12822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
218216, 217syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
219204biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
220218, 219bitr4d 283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))
221211, 214, 2203bitr4d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
222197, 203, 2213bitrd 306 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
223222rabbidva 3484 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
2241feqmptd 6730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
225224cnveqd 5745 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
226225imaeq1d 5926 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
227 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥))
228227mptpreima 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))}
229226, 228syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
230229ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
231223, 230eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
232 itg2addnc.f1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
233 mbfima 24149 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
234232, 4, 233syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
235234ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
236231, 235eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
23760sseld 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ran 𝑡 ∈ ℝ))
238237ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ ran 𝑡 ∈ ℝ))
239238imdistani 569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ))
240 i1fmbf 24194 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ dom ∫1 ∈ MblFn)
241240, 27jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → ( ∈ MblFn ∧ :ℝ⟶ℝ))
242241ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ( ∈ MblFn ∧ :ℝ⟶ℝ))
243 mbfimasn 24151 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( ∈ MblFn ∧ :ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( “ {𝑡}) ∈ dom vol)
2442433expa 1112 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((( ∈ MblFn ∧ :ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( “ {𝑡}) ∈ dom vol)
245242, 244sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( “ {𝑡}) ∈ dom vol)
246239, 245syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → ( “ {𝑡}) ∈ dom vol)
247 inmbl 24061 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ ( “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) ∈ dom vol)
248236, 246, 247syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) ∈ dom vol)
249191, 248eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
250249ralrimiva 3187 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
251 finiunmbl 24063 . . . . . . . . . 10 ((ran ∈ Fin ∧ ∀𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
25241, 250, 251syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
253174, 252eqeltrrd 2919 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
254 unrab 4278 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞))}
25527feqmptd 6730 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)))
256255cnveqd 5745 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ dom ∫1 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)))
257256imaeq1d 5926 . . . . . . . . . . . . 13 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (-∞(,)0)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ (-∞(,)0)))
258 eqid 2826 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥))
259258mptpreima 6090 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (-∞(,)0)}
260257, 259syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . 12 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (-∞(,)0)})
261256imaeq1d 5926 . . . . . . . . . . . . 13 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (0(,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ (0(,)+∞)))
262258mptpreima 6090 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)}
263261, 262syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . 12 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)})
264260, 263uneq12d 4144 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → (( “ (-∞(,)0)) ∪ ( “ (0(,)+∞))) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)}))
26527ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . . . . 13 (( ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ ℝ)
266 0re 10632 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
267 lttri2 10712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥))))
268266, 267mpan2 687 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥) ∈ ℝ → ((𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥))))
269 ibar 529 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥) ∈ ℝ → (((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥)) ↔ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥)))))
270 andi 1003 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥))) ↔ (((𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥) < 0) ∨ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥))))
271 0xr 10677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ*
272 elioomnf 12822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℝ* → ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ↔ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥) < 0)))
273 elioopnf 12821 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℝ* → ((𝑥) ∈ (0(,)+∞) ↔ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥))))
274272, 273orbi12d 914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ ℝ* → (((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥) < 0) ∨ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥)))))
275271, 274ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥) < 0) ∨ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥))))
276270, 275bitr4i 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥))) ↔ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)))
277269, 276syl6bb 288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥) ∈ ℝ → (((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥)) ↔ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
278268, 277bitrd 280 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥) ∈ ℝ → ((𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
279265, 278syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (( ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
280279rabbidva 3484 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞))})
281254, 264, 2803eqtr4a 2887 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 → (( “ (-∞(,)0)) ∪ ( “ (0(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0})
282 i1fima 24197 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (-∞(,)0)) ∈ dom vol)
283 i1fima 24197 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (0(,)+∞)) ∈ dom vol)
284 unmbl 24056 . . . . . . . . . . 11 ((( “ (-∞(,)0)) ∈ dom vol ∧ ( “ (0(,)+∞)) ∈ dom vol) → (( “ (-∞(,)0)) ∪ ( “ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
285282, 283, 284syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 → (( “ (-∞(,)0)) ∪ ( “ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
286281, 285eqeltrrd 2919 . . . . . . . . 9 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol)
287286ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol)
288 inmbl 24061 . . . . . . . 8 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
289253, 287, 288syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
290289adantr 481 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
29123recnd 10658 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ)
292291adantlr 711 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ)
293 1cnd 10625 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
294 simplr 765 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
29513ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
29619ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
297294, 295, 296redivcld 11457 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
298297recnd 10658 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℂ)
299292, 293, 298subadd2d 11005 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))))
300 eqcom 2833 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))
301 recn 10616 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
302301ad2antlr 723 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
30325recnd 10658 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℂ)
304303adantlr 711 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℂ)
30513recnd 10658 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
306305ad3antlr 727 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
307302, 304, 306, 296divmul3d 11439 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
308300, 307syl5bb 284 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
309299, 308bitr3d 282 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
310309rabbidva 3484 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))})
311 imaundi 6006 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = ((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
312225ad4antr 728 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
313 zre 11974 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
314313adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
31513ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
316314, 315remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
317316rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ*)
318 peano2z 12012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℤ)
319318zred 12076 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
320319adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
321315, 320remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
322321rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*)
323 zcn 11975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ)
324323adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ)
325305ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
326324, 325mulcomd 10651 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)))
32748ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
328313ltp1d 11559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
329328adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
330314, 320, 327, 329ltmul2dd 12477 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
331326, 330eqbrtrd 5085 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
332 snunioo 12854 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ* ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
333317, 322, 331, 332syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
334312, 333imaeq12d 5928 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
335311, 334syl5eqr 2875 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
336227mptpreima 6090 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))}
3374ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
338337ffvelrnda 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3393383biant1d 1471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
340339adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
341313adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
342338adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
34348ad4antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
344341, 342, 343lemuldivd 12470 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
345319adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
346342, 345, 343ltdivmuld 12472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ↔ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
347346bicomd 224 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ↔ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
348344, 347anbi12d 630 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
349340, 348bitr3d 282 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
350 elico2 12790 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
351316, 322, 350syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
352351adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
353 eqcom 2833 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1))
35421adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
355 flbi 13176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
356354, 355sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
357353, 356syl5bb 284 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
358349, 352, 3573bitr4d 312 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))))
359358an32s 648 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))))
360359rabbidva 3484 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))})
361336, 360syl5eq 2873 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))})
362335, 361eqtrd 2861 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))})
363232ad4antr 728 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹 ∈ MblFn)
3644ad4antr 728 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
365 mbfimasn 24151 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → (𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
366363, 364, 316, 365syl3anc 1365 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
367 mbfima 24149 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
368232, 4, 367syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
369368ad4antr 728 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
370 unmbl 24056 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom vol)
371366, 369, 370syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom vol)
372362, 371eqeltrrd 2919 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
373 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
374354flcld 13158 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
375374adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
376373, 375eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ)
377376stoic1a 1766 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
378377an32s 648 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
379378ralrimiva 3187 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
380 rabeq0 4342 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
381379, 380sylibr 235 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅)
382 0mbl 24058 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ dom vol
383381, 382syl6eqel 2926 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
384372, 383pm2.61dan 809 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
385310, 384eqeltrrd 2919 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom vol)
386 inmbl 24061 . . . . . 6 ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom vol) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
387290, 385, 386syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
388 rabiun 34735 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)}
389 rabeq 3489 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
390170, 389syl 17 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
391388, 390syl5eqr 2875 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
392391ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
393178notbid 319 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ( “ {𝑡})) → (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
394393rabbidva 3484 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
395 inrab2 4280 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}
396 rabeq 3489 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℝ ∩ ( “ {𝑡})) = ( “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
397186, 396syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
398395, 397syl5eq 2873 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ dom ∫1 → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
399394, 398eqtr4d 2864 . . . . . . . . . . . . 13 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})))
400399ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})))
401 imaundi 6006 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = ((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)))
40213, 19jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 ∈ ℝ+ → ((𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0))
403 redivcl 11348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
4044033expb 1114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ((𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0)) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
405402, 404sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
406405ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑣 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
407406adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
408407, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
409 peano2re 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
410 reflcl 13156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
411408, 409, 4103syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
41213ad2antlr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
413411, 412remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
414413rexrd 10680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ*)
415 pnfxr 10684 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +∞ ∈ ℝ*
416415a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
417 ltpnf 12505 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞)
418413, 417syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞)
419 snunioo 12854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞) → ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞))
420414, 416, 418, 419syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞))
421420imaeq2d 5927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
422401, 421syl5eqr 2875 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
423225imaeq1d 5926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
424227mptpreima 6090 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)}
425423, 424syl6eq 2877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)})
426425ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)})
427408, 409syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
428427adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
429 flflp1 13167 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
430428, 354, 429syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
431413adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
432 elicopnf 12823 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥))))
433431, 432syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥))))
434338biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥))))
435411adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
43648ad3antlr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
437435, 338, 436lemuldivd 12470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
438433, 434, 4373bitr2d 308 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
439408adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
440354, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
441 1red 10631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
442439, 440, 441ltadd1d 11222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
443430, 438, 4423bitr4d 312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))))
444297, 441, 440ltaddsubd 11229 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)))
445443, 444bitrd 280 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)))
446440, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
447294, 446, 436ltdivmul2d 12473 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 < (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
448446, 295remulcld 10660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
449294, 448ltnled 10776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 < (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
450445, 447, 4493bitrd 306 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
451450rabbidva 3484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
452422, 426, 4513eqtrd 2865 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
453232ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ MblFn)
454 mbfimasn 24151 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → (𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
455453, 337, 413, 454syl3anc 1365 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
456 mbfima 24149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
457232, 4, 456syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
458457ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
459 unmbl 24056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom vol)
460455, 458, 459syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom vol)
461452, 460eqeltrrd 2919 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
462239, 461syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
463 inmbl 24061 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ ( “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) ∈ dom vol)
464462, 246, 463syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) ∈ dom vol)
465400, 464eqeltrd 2918 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
466465ralrimiva 3187 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
467 finiunmbl 24063 . . . . . . . . . 10 ((ran ∈ Fin ∧ ∀𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
46841, 466, 467syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
469392, 468eqeltrrd 2919 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
470256imaeq1d 5926 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {0}) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {0}))
471258mptpreima 6090 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {0}}
472142elsn 4579 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥) ∈ {0} ↔ (𝑥) = 0)
473472rabbii 3479 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {0}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}
474471, 473eqtri 2849 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}
475470, 474syl6eq 2877 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0})
476 i1fima 24197 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {0}) ∈ dom vol)
477475, 476eqeltrrd 2919 . . . . . . . . 9 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0} ∈ dom vol)
478477ad2antlr 723 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0} ∈ dom vol)
479 unmbl 24056 . . . . . . . 8 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
480469, 478, 479syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
481480adantr 481 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
482256imaeq1d 5926 . . . . . . . . 9 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {𝑡}) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {𝑡}))
483258mptpreima 6090 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {𝑡}}
484142elsn 4579 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥) ∈ {𝑡} ↔ (𝑥) = 𝑡)
485 eqcom 2833 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥) = 𝑡𝑡 = (𝑥))
486484, 485bitri 276 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥) ∈ {𝑡} ↔ 𝑡 = (𝑥))
487486rabbii 3479 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}
488483, 487eqtri 2849 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}
489482, 488syl6eq 2877 . . . . . . . 8 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})
490489ad3antlr 727 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})
491490, 245eqeltrrd 2919 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)} ∈ dom vol)
492 inmbl 24061 . . . . . 6 ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)} ∈ dom vol) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) ∈ dom vol)
493481, 491, 492syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) ∈ dom vol)
494 unmbl 24056 . . . . 5 (((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) ∈ dom vol) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})) ∈ dom vol)
495387, 493, 494syl2anc 584 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})) ∈ dom vol)
496161, 495syl 17 . . 3 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})) ∈ dom vol)
497156, 496eqeltrid 2922 . 2 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol)
498 mblvol 24049 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol → (vol‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})))
499497, 498syl 17 . . 3 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})))
500 eldifsn 4718 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0}) ↔ (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0))
501159anim1d 610 . . . . . 6 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ((𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
502500, 501syl5bi 243 . . . . 5 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0}) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
503502imdistani 569 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
504130a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}})
505470, 471syl6eq 2877 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {0}})
506504, 505ineq12d 4194 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {0}}))
507 inrab 4279 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {0}}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})}
508506, 507syl6eq 2877 . . . . . . . . 9 ( ∈ dom ∫1 → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})})
509508ad3antlr 727 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})})
510146biimpri 229 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥) = 0 → ¬ (𝑥) ≠ 0)
511510intnand 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥) = 0 → ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0))
512511iffalsed 4481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = (𝑥))
513 eqtr 2846 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = (𝑥) ∧ (𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = 0)
514512, 513mpancom 684 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = 0)
515514adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = 0)
516 simpll 763 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥) = 0) → 𝑡 ≠ 0)
517516necomd 3076 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥) = 0) → 0 ≠ 𝑡)
518515, 517eqnetrd 3088 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ≠ 𝑡)
519518ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ≠ 𝑡))
520 orcom 866 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬ (𝑥) ∈ {0} ∨ ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}))
521 ianor 977 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (𝑥) ∈ {0}))
522 imor 849 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ (¬ (𝑥) ∈ {0} ∨ ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}))
523520, 521, 5223bitr4i 304 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}) ↔ ((𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}))
524144necon3bbii 3068 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ≠ 𝑡)
525472, 524imbi12i 352 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ ((𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ≠ 𝑡))
526523, 525bitri 276 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}) ↔ ((𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ≠ 𝑡))
527519, 526sylibr 235 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}))
528527ralrimiva 3187 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ≠ 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}))
529 rabeq0 4342 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}))
530528, 529sylibr 235 . . . . . . . . 9 (𝑡 ≠ 0 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})} = ∅)
531530ad2antll 725 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})} = ∅)
532509, 531eqtrd 2861 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = ∅)
533 imassrn 5938 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)))
534 dfdm4 5763 . . . . . . . . . 10 dom (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) = ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)))
535143, 129dmmpti 6489 . . . . . . . . . 10 dom (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) = ℝ
536534, 535eqtr3i 2851 . . . . . . . . 9 ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) = ℝ
537533, 536sseqtri 4007 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ
538 reldisj 4405 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ → ((((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = ∅ ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ ( “ {0}))))
539537, 538ax-mp 5 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = ∅ ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ ( “ {0})))
540532, 539sylib 219 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ ( “ {0})))
541 ffun 6514 . . . . . . . . . 10 (:ℝ⟶ℝ → Fun )
542 difpreima 6831 . . . . . . . . . 10 (Fun → ( “ (ran ∖ {0})) = (( “ ran ) ∖ ( “ {0})))
543541, 542syl 17 . . . . . . . . 9 (:ℝ⟶ℝ → ( “ (ran ∖ {0})) = (( “ ran ) ∖ ( “ {0})))
544 fdm 6519 . . . . . . . . . . 11 (:ℝ⟶ℝ → dom = ℝ)
545163, 544syl5eq 2873 . . . . . . . . . 10 (:ℝ⟶ℝ → ( “ ran ) = ℝ)
546545difeq1d 4102 . . . . . . . . 9 (:ℝ⟶ℝ → (( “ ran ) ∖ ( “ {0})) = (ℝ ∖ ( “ {0})))
547543, 546eqtrd 2861 . . . . . . . 8 (:ℝ⟶ℝ → ( “ (ran ∖ {0})) = (ℝ ∖ ( “ {0})))
54827, 547syl 17 . . . . . . 7 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (ran ∖ {0})) = (ℝ ∖ ( “ {0})))
549548ad3antlr 727 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ( “ (ran ∖ {0})) = (ℝ ∖ ( “ {0})))
550540, 549sseqtrrd 4012 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ( “ (ran ∖ {0})))
551 imassrn 5938 . . . . . . 7 ( “ (ran ∖ {0})) ⊆ ran
552551, 183sseqtrid 4023 . . . . . 6 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (ran ∖ {0})) ⊆ ℝ)
553552ad3antlr 727 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ( “ (ran ∖ {0})) ⊆ ℝ)
554 i1fima 24197 . . . . . . . 8 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (ran ∖ {0})) ∈ dom vol)
555 mblvol 24049 . . . . . . . 8 (( “ (ran ∖ {0})) ∈ dom vol → (vol‘( “ (ran ∖ {0}))) = (vol*‘( “ (ran ∖ {0}))))
556554, 555syl 17 . . . . . . 7 ( ∈ dom ∫1 → (vol‘( “ (ran ∖ {0}))) = (vol*‘( “ (ran ∖ {0}))))
557 neldifsn 4724 . . . . . . . 8 ¬ 0 ∈ (ran ∖ {0})
558 i1fima2 24198 . . . . . . . 8 (( ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ (ran ∖ {0})) → (vol‘( “ (ran ∖ {0}))) ∈ ℝ)
559557, 558mpan2 687 . . . . . . 7 ( ∈ dom ∫1 → (vol‘( “ (ran ∖ {0}))) ∈ ℝ)
560556, 559eqeltrrd 2919 . . . . . 6 ( ∈ dom ∫1 → (vol*‘( “ (ran ∖ {0}))) ∈ ℝ)
561560ad3antlr 727 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (vol*‘( “ (ran ∖ {0}))) ∈ ℝ)
562 ovolsscl 24005 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ( “ (ran ∖ {0})) ∧ ( “ (ran ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘( “ (ran ∖ {0}))) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
563550, 553, 561, 562syl3anc 1365 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (vol*‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
564503, 563syl 17 . . 3 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → (vol*‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
565499, 564eqeltrd 2918 . 2 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
56631, 128, 497, 565i1fd 24200 1 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wa 396  wo 843  w3a 1081   = wceq 1530  wex 1773  wcel 2107  wne 3021  wral 3143  wrex 3144  {crab 3147  Vcvv 3500  cdif 3937  cun 3938  cin 3939  wss 3940  c0 4295  ifcif 4470  {csn 4564   ciun 4917   class class class wbr 5063  cmpt 5143  ccnv 5553  dom cdm 5554  ran crn 5555  cima 5557  Fun wfun 6346   Fn wfn 6347  wf 6348  ontowfo 6350  cfv 6352  (class class class)co 7148  Fincfn 8498  supcsup 8893  cc 10524  cr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   + caddc 10529   · cmul 10531  +∞cpnf 10661  -∞cmnf 10662  *cxr 10663   < clt 10664  cle 10665  cmin 10859  -cneg 10860   / cdiv 11286  cn 11627  3c3 11682  0cn0 11886  cz 11970  +crp 12379  (,)cioo 12728  [,)cico 12730  ...cfz 12882  cfl 13150  vol*covol 23981  volcvol 23982  MblFncmbf 24133  1citg1 24134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451  ax-inf2 9093  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-fal 1543  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-nel 3129  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rmo 3151  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-pss 3958  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-tp 4569  df-op 4571  df-uni 4838  df-int 4875  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-tr 5170  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-se 5514  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6146  df-ord 6192  df-on 6193  df-lim 6194  df-suc 6195  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-isom 6361  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-2o 8094  df-oadd 8097  df-er 8279  df-map 8398  df-pm 8399  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-fin 8502  df-fi 8864  df-sup 8895  df-inf 8896  df-oi 8963  df-dju 9319  df-card 9357  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11628  df-2 11689  df-3 11690  df-n0 11887  df-z 11971  df-uz 12233  df-q 12338  df-rp 12380  df-xneg 12497  df-xadd 12498  df-xmul 12499  df-ioo 12732  df-ico 12734  df-icc 12735  df-fz 12883  df-fzo 13024  df-fl 13152  df-seq 13360  df-exp 13420  df-hash 13681  df-cj 14448  df-re 14449  df-im 14450  df-sqrt 14584  df-abs 14585  df-clim 14835  df-sum 15033  df-rest 16686  df-topgen 16707  df-psmet 20456  df-xmet 20457  df-met 20458  df-bl 20459  df-mopn 20460  df-top 21421  df-topon 21438  df-bases 21473  df-cmp 21914  df-ovol 23983  df-vol 23984  df-mbf 24138  df-itg1 24139
This theorem is referenced by:  itg2addnclem3  34815
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