Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | itg2addnc.f2 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞)) |
2 | | rge0ssre 12932 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(0[,)+∞) ⊆ ℝ |
3 | | fss 6521 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞)
∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
4 | 1, 2, 3 | sylancl 589 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
5 | 4 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
6 | 5 | ffvelrnda 6863 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝐹‘𝑥) ∈
ℝ) |
7 | | rpre 12482 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ 𝑣 ∈
ℝ) |
8 | | 3re 11798 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 3 ∈
ℝ |
9 | | 3ne0 11824 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 3 ≠
0 |
10 | 8, 9 | pm3.2i 474 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (3 ∈
ℝ ∧ 3 ≠ 0) |
11 | | redivcl 11439 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 3 ∈
ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ) |
12 | 11 | 3expb 1121 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (3 ∈
ℝ ∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ) |
13 | 7, 10, 12 | sylancl 589 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ (𝑣 / 3) ∈
ℝ) |
14 | 13 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝑣 / 3) ∈
ℝ) |
15 | | rpcnne0 12492 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ (𝑣 ∈ ℂ
∧ 𝑣 ≠
0)) |
16 | | 3cn 11799 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ 3 ∈
ℂ |
17 | 16, 9 | pm3.2i 474 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (3 ∈
ℂ ∧ 3 ≠ 0) |
18 | | divne0 11390 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ
∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣
/ 3) ≠ 0) |
19 | 15, 17, 18 | sylancl 589 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ (𝑣 / 3) ≠
0) |
20 | 19 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝑣 / 3) ≠
0) |
21 | 6, 14, 20 | redivcld 11548 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
22 | | reflcl 13259 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ) |
23 | 21, 22 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ) |
24 | | peano2rem 11033 |
. . . . . 6
⊢
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℝ) |
25 | 23, 24 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℝ) |
26 | 25, 14 | remulcld 10751 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
27 | | i1ff 24430 |
. . . . . 6
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ:ℝ⟶ℝ) |
28 | 27 | ad2antlr 727 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ℎ:ℝ⟶ℝ) |
29 | 28 | ffvelrnda 6863 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ∈
ℝ) |
30 | 26, 29 | ifcld 4460 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ ℝ) |
31 | 30 | fmpttd 6891 |
. 2
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))):ℝ⟶ℝ) |
32 | | fzfi 13433 |
. . . . 5
⊢
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin |
33 | | ovex 7205 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V |
34 | | eqid 2738 |
. . . . . . 7
⊢ (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) = (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) |
35 | 33, 34 | fnmpti 6480 |
. . . . . 6
⊢ (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran
ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
36 | | dffn4 6598 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran
ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) |
37 | 35, 36 | mpbi 233 |
. . . . 5
⊢ (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) |
38 | | fofi 8885 |
. . . . 5
⊢
(((0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin ∧ (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) → ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin) |
39 | 32, 37, 38 | mp2an 692 |
. . . 4
⊢ ran
(𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin |
40 | | i1frn 24431 |
. . . . 5
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ran ℎ ∈
Fin) |
41 | 40 | ad2antlr 727 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ran ℎ ∈
Fin) |
42 | | unfi 8773 |
. . . 4
⊢ ((ran
(𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin ∧ ran ℎ ∈ Fin) → (ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin) |
43 | 39, 41, 42 | sylancr 590 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin) |
44 | | 0zd 12076 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → 0 ∈
ℤ) |
45 | 27 | frnd 6512 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ran ℎ ⊆
ℝ) |
46 | | i1f0rn 24436 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ 0 ∈ ran ℎ) |
47 | | elex2 3419 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 ∈
ran ℎ → ∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ) |
48 | 46, 47 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ) |
49 | | n0 4235 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ran
ℎ ≠ ∅ ↔
∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ) |
50 | 48, 49 | sylibr 237 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ran ℎ ≠
∅) |
51 | | fimaxre2 11665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((ran
ℎ ⊆ ℝ ∧ ran
ℎ ∈ Fin) →
∃𝑥 ∈ ℝ
∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) |
52 | 45, 40, 51 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ∃𝑥 ∈
ℝ ∀𝑦 ∈
ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) |
53 | | suprcl 11680 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ran
ℎ ⊆ ℝ ∧ ran
ℎ ≠ ∅ ∧
∃𝑥 ∈ ℝ
∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(ran ℎ, ℝ, < ) ∈
ℝ) |
54 | 45, 50, 52, 53 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ sup(ran ℎ, ℝ,
< ) ∈ ℝ) |
55 | 54 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ sup(ran ℎ, ℝ,
< ) ∈ ℝ) |
56 | 55, 14, 20 | redivcld 11548 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (sup(ran ℎ, ℝ,
< ) / (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
57 | | peano2re 10893 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((sup(ran
ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ →
((sup(ran ℎ, ℝ, < )
/ (𝑣 / 3)) + 1) ∈
ℝ) |
58 | 56, 57 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((sup(ran ℎ, ℝ,
< ) / (𝑣 / 3)) + 1)
∈ ℝ) |
59 | | ceicl 13304 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((sup(ran ℎ,
ℝ, < ) / (𝑣 / 3))
+ 1) ∈ ℝ → -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ) |
60 | 58, 59 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ) |
61 | 60 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → -(⌊‘-((sup(ran
ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈
ℤ) |
62 | 21 | flcld 13261 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ) |
63 | 62 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ) |
64 | | 3nn 11797 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 3 ∈
ℕ |
65 | | nnrp 12485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (3 ∈
ℕ → 3 ∈ ℝ+) |
66 | 64, 65 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ 3 ∈
ℝ+ |
67 | | rpdivcl 12499 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ+
∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
68 | 66, 67 | mpan2 691 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
69 | 68 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
70 | 1 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞)) |
71 | 70 | ffvelrnda 6863 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (𝐹‘𝑥) ∈
(0[,)+∞)) |
72 | | elrege0 12930 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥))) |
73 | 71, 72 | sylib 221 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤
(𝐹‘𝑥))) |
74 | 73 | simprd 499 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)) |
75 | 6, 69, 74 | divge0d 12556 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) |
76 | | flge0nn0 13283 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈
ℕ0) |
77 | 21, 75, 76 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈
ℕ0) |
78 | 77 | nn0ge0d 12041 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ 0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
79 | 78 | adantr 484 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → 0 ≤
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
80 | 45, 50, 52 | 3jca 1129 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (ran ℎ ⊆
ℝ ∧ ran ℎ ≠
∅ ∧ ∃𝑥
∈ ℝ ∀𝑦
∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥)) |
81 | 80 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ran ℎ ⊆
ℝ ∧ ran ℎ ≠
∅ ∧ ∃𝑥
∈ ℝ ∀𝑦
∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥)) |
82 | | ffn 6504 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
ℎ Fn
ℝ) |
83 | 27, 82 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ Fn
ℝ) |
84 | | dffn3 6517 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ Fn ℝ ↔ ℎ:ℝ⟶ran ℎ) |
85 | 83, 84 | sylib 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ:ℝ⟶ran
ℎ) |
86 | 85 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ℎ:ℝ⟶ran
ℎ) |
87 | 86 | ffvelrnda 6863 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ) |
88 | | suprub 11681 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((ran
ℎ ⊆ ℝ ∧ ran
ℎ ≠ ∅ ∧
∃𝑥 ∈ ℝ
∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ) → (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) |
89 | 81, 87, 88 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, <
)) |
90 | | letr 10814 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧
(ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ∈ ℝ)
→ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, <
))) |
91 | 26, 29, 55, 90 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, <
))) |
92 | 25, 55, 69 | lemuldivd 12565 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ↔
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)))) |
93 | | 1red 10722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ 1 ∈ ℝ) |
94 | 23, 93, 56 | lesubaddd 11317 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ↔
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
95 | 92, 94 | bitrd 282 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ↔
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
96 | | ceige 13306 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((sup(ran ℎ,
ℝ, < ) / (𝑣 / 3))
+ 1) ∈ ℝ → ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran
ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
97 | 58, 96 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((sup(ran ℎ, ℝ,
< ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤
-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
98 | 60 | zred 12170 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ) |
99 | | letr 10814 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ ∧
-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤
-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
100 | 23, 58, 98, 99 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤
-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
101 | 97, 100 | mpan2d 694 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
102 | 95, 101 | sylbid 243 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
103 | 91, 102 | syld 47 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
104 | 89, 103 | mpan2d 694 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
105 | 104 | adantrd 495 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
106 | 105 | imp 410 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) |
107 | 44, 61, 63, 79, 106 | elfzd 12991 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))) |
108 | | eqid 2738 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) =
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) |
109 | | oveq1 7179 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑡 = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → (𝑡 − 1) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)) |
110 | 109 | oveq1d 7187 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) |
111 | 110 | rspceeqv 3541 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∧ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) =
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) → ∃𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) |
112 | 107, 108,
111 | sylancl 589 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) +
1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) |
113 | | ovex 7205 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V |
114 | 34 | elrnmpt 5799 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V →
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) +
1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) |
115 | 113, 114 | ax-mp 5 |
. . . . . . . 8
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) +
1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) |
116 | 112, 115 | sylibr 237 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) |
117 | | elun1 4066 |
. . . . . . 7
⊢
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
118 | 116, 117 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
119 | | elun2 4067 |
. . . . . . . 8
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ → (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
120 | 87, 119 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
121 | 120 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
122 | 118, 121 | ifclda 4449 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
123 | 122 | fmpttd 6891 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))):ℝ⟶(ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
124 | 123 | frnd 6512 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ran (𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) |
125 | | ssfi 8774 |
. . 3
⊢ (((ran
(𝑡 ∈
(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ Fin) |
126 | 43, 124, 125 | syl2anc 587 |
. 2
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ran (𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ Fin) |
127 | | eqid 2738 |
. . . . 5
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
128 | 127 | mptpreima 6070 |
. . . 4
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} |
129 | | unrab 4194 |
. . . . 5
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))} |
130 | | inrab 4195 |
. . . . . . . 8
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)} |
131 | 130 | ineq1i 4099 |
. . . . . . 7
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) |
132 | | inrab 4195 |
. . . . . . 7
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} |
133 | 131, 132 | eqtri 2761 |
. . . . . 6
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} |
134 | | unrab 4194 |
. . . . . . . 8
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)} |
135 | 134 | ineq1i 4099 |
. . . . . . 7
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) |
136 | | inrab 4195 |
. . . . . . 7
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))} |
137 | 135, 136 | eqtri 2761 |
. . . . . 6
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))} |
138 | 133, 137 | uneq12i 4051 |
. . . . 5
⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))}) |
139 | | eqcom 2745 |
. . . . . . 7
⊢
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 𝑡 ↔ 𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
140 | | fvex 6689 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ‘𝑥) ∈ V |
141 | 113, 140 | ifex 4464 |
. . . . . . . 8
⊢
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ V |
142 | 141 | elsn 4531 |
. . . . . . 7
⊢
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 𝑡) |
143 | | ianor 981 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ↔ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) |
144 | | nne 2938 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (¬
(ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ (ℎ‘𝑥) = 0) |
145 | 144 | orbi2i 912 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ↔ (¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)) |
146 | 143, 145 | bitr2i 279 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ↔ ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) |
147 | 146 | anbi1i 627 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)) ↔ (¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))) |
148 | 147 | orbi2i 912 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))) ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))) |
149 | | eqif 4455 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))) |
150 | 148, 149 | bitr4i 281 |
. . . . . . 7
⊢
(((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))) ↔ 𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
151 | 139, 142,
150 | 3bitr4i 306 |
. . . . . 6
⊢
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))) |
152 | 151 | rabbii 3374 |
. . . . 5
⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣
((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))} |
153 | 129, 138,
152 | 3eqtr4ri 2772 |
. . . 4
⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) |
154 | 128, 153 | eqtri 2761 |
. . 3
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) |
155 | | eldifi 4017 |
. . . . . 6
⊢ (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)))) |
156 | 31 | frnd 6512 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ran (𝑥 ∈
ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ ℝ) |
157 | 156 | sseld 3876 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → 𝑡 ∈ ℝ)) |
158 | 155, 157 | syl5 34 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑡 ∈ (ran
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ℝ)) |
159 | 158 | imdistani 572 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈
ℝ)) |
160 | | rabiun 35395 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ∪
𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} |
161 | | cnvimarndm 5924 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (◡ℎ “ ran ℎ) = dom ℎ |
162 | | iunid 4946 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡} = ran ℎ |
163 | 162 | imaeq2i 5901 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (◡ℎ “ ∪
𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡}) = (◡ℎ “ ran ℎ) |
164 | | imaiun 7017 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (◡ℎ “ ∪
𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡}) = ∪
𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) |
165 | 163, 164 | eqtr3i 2763 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (◡ℎ “ ran ℎ) = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) |
166 | 161, 165 | eqtr3i 2763 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ dom ℎ = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) |
167 | 27 | fdmd 6515 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ dom ℎ =
ℝ) |
168 | 166, 167 | eqtr3id 2787 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ) |
169 | 168 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ) |
170 | | rabeq 3385 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 ∈ ∪
𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
171 | 169, 170 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
172 | 160, 171 | eqtr3id 2787 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
173 | | fniniseg 6839 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℎ Fn ℝ → (𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) = 𝑡))) |
174 | 27, 82, 173 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) = 𝑡))) |
175 | 174 | simplbda 503 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → (ℎ‘𝑥) = 𝑡) |
176 | 175 | breq2d 5042 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ↔ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡)) |
177 | 176 | rabbidva 3379 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
178 | | inrab2 4196 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} |
179 | | imassrn 5914 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ran ◡ℎ |
180 | | dfdm4 5738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ dom ℎ = ran ◡ℎ |
181 | 180, 167 | eqtr3id 2787 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ran ◡ℎ = ℝ) |
182 | 179, 181 | sseqtrid 3929 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ℝ) |
183 | | sseqin2 4106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩
(◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡})) |
184 | 182, 183 | sylib 221 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡})) |
185 | | rabeq 3385 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℝ
∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
186 | 184, 185 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (ℝ
∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
187 | 178, 186 | syl5eq 2785 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
188 | 177, 187 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡}))) |
189 | 188 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡}))) |
190 | 25 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℝ) |
191 | 45 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ran ℎ ⊆
ℝ) |
192 | 191 | sselda 3877 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → 𝑡 ∈ ℝ) |
193 | 192 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ) |
194 | 68 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
195 | 190, 193,
194 | lemuldivd 12565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3)))) |
196 | 23 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ) |
197 | | 1red 10722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℝ) |
198 | 13 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ) |
199 | 19 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0) |
200 | 193, 198,
199 | redivcld 11548 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
201 | 196, 197,
200 | lesubaddd 11317 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1))) |
202 | 6 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) |
203 | | peano2re 10893 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
204 | 200, 203 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
205 | | reflcl 13259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ →
(⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈
ℝ) |
206 | 204, 205 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈
ℝ) |
207 | | peano2re 10893 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
((⌊‘((𝑡
/ (𝑣 / 3)) + 1)) ∈
ℝ → ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈
ℝ) |
208 | 206, 207 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈
ℝ) |
209 | 202, 208,
194 | ltdivmuld 12567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) |
210 | 21 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
211 | | flflp1 13270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) |
212 | 210, 204,
211 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) |
213 | 198, 208 | remulcld 10751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈
ℝ) |
214 | 213 | rexrd 10771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈
ℝ*) |
215 | | elioomnf 12920 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑣 / 3) ·
((⌊‘((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈
ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
216 | 214, 215 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
217 | 202 | biantrurd 536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
218 | 216, 217 | bitr4d 285 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) |
219 | 209, 212,
218 | 3bitr4d 314 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
220 | 195, 201,
219 | 3bitrd 308 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
221 | 220 | rabbidva 3379 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))}) |
222 | 1 | feqmptd 6739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥))) |
223 | 222 | cnveqd 5718 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → ◡𝐹 = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥))) |
224 | 223 | imaeq1d 5902 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
225 | | eqid 2738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) |
226 | 225 | mptpreima 6070 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))} |
227 | 224, 226 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))}) |
228 | 227 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))}) |
229 | 221, 228 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))) |
230 | | itg2addnc.f1 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn) |
231 | | mbfima 24384 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) →
(◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom
vol) |
232 | 230, 4, 231 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom
vol) |
233 | 232 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom
vol) |
234 | 229, 233 | eqeltrd 2833 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol) |
235 | 45 | sseld 3876 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (𝑡 ∈ ran ℎ → 𝑡 ∈ ℝ)) |
236 | 235 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑡 ∈ ran ℎ → 𝑡 ∈ ℝ)) |
237 | 236 | imdistani 572 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈
ℝ)) |
238 | | i1fmbf 24429 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ ∈
MblFn) |
239 | 238, 27 | jca 515 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (ℎ ∈ MblFn ∧
ℎ:ℝ⟶ℝ)) |
240 | 239 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (ℎ ∈ MblFn ∧
ℎ:ℝ⟶ℝ)) |
241 | | mbfimasn 24386 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ:ℝ⟶ℝ ∧
𝑡 ∈ ℝ) →
(◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) |
242 | 241 | 3expa 1119 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ:ℝ⟶ℝ) ∧
𝑡 ∈ ℝ) →
(◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) |
243 | 240, 242 | sylan 583 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) |
244 | 237, 243 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) |
245 | | inmbl 24296 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol) |
246 | 234, 244,
245 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol) |
247 | 189, 246 | eqeltrd 2833 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
248 | 247 | ralrimiva 3096 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∀𝑡 ∈ ran
ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
249 | | finiunmbl 24298 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((ran
ℎ ∈ Fin ∧
∀𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
250 | 41, 248, 249 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
251 | 172, 250 | eqeltrrd 2834 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
252 | | unrab 4194 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))} |
253 | 27 | feqmptd 6739 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ℎ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥))) |
254 | 253 | cnveqd 5718 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ◡ℎ = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥))) |
255 | 254 | imaeq1d 5902 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (-∞(,)0)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (-∞(,)0))) |
256 | | eqid 2738 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) |
257 | 256 | mptpreima 6070 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)} |
258 | 255, 257 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)}) |
259 | 254 | imaeq1d 5902 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (0(,)+∞)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (0(,)+∞))) |
260 | 256 | mptpreima 6070 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)} |
261 | 259, 260 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)}) |
262 | 258, 261 | uneq12d 4054 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)})) |
263 | 27 | ffvelrnda 6863 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (ℎ‘𝑥) ∈
ℝ) |
264 | | 0re 10723 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 0 ∈
ℝ |
265 | | lttri2 10803 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ)
→ ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)))) |
266 | 264, 265 | mpan2 691 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)))) |
267 | | ibar 532 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → (((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))))) |
268 | | andi 1007 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥)))) |
269 | | 0xr 10768 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 0 ∈
ℝ* |
270 | | elioomnf 12920 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 ∈
ℝ* → ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0))) |
271 | | elioopnf 12919 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (0 ∈
ℝ* → ((ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥)))) |
272 | 270, 271 | orbi12d 918 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (0 ∈
ℝ* → (((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥))))) |
273 | 269, 272 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥)))) |
274 | 268, 273 | bitr4i 281 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))) |
275 | 267, 274 | bitrdi 290 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → (((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)))) |
276 | 266, 275 | bitrd 282 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)))) |
277 | 263, 276 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)))) |
278 | 277 | rabbidva 3379 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))}) |
279 | 252, 262,
278 | 3eqtr4a 2799 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) |
280 | | i1fima 24432 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∈ dom
vol) |
281 | | i1fima 24432 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (0(,)+∞)) ∈ dom
vol) |
282 | | unmbl 24291 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∈ dom vol ∧
(◡ℎ “ (0(,)+∞)) ∈ dom vol)
→ ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) ∈ dom
vol) |
283 | 280, 281,
282 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) ∈ dom
vol) |
284 | 279, 283 | eqeltrrd 2834 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom
vol) |
285 | 284 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom
vol) |
286 | | inmbl 24296 |
. . . . . . . 8
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol) |
287 | 251, 285,
286 | syl2anc 587 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol) |
288 | 287 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol) |
289 | 23 | recnd 10749 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ) |
290 | 289 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ) |
291 | | 1cnd 10716 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℂ) |
292 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ) |
293 | 13 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ) |
294 | 19 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0) |
295 | 292, 293,
294 | redivcld 11548 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
296 | 295 | recnd 10749 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℂ) |
297 | 290, 291,
296 | subadd2d 11096 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))) |
298 | | eqcom 2745 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)) |
299 | | recn 10707 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈
ℂ) |
300 | 299 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ) |
301 | 25 | recnd 10749 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑥 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℂ) |
302 | 301 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℂ) |
303 | 13 | recnd 10749 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ (𝑣 / 3) ∈
ℂ) |
304 | 303 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℂ) |
305 | 300, 302,
304, 294 | divmul3d 11530 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))) |
306 | 298, 305 | syl5bb 286 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))) |
307 | 297, 306 | bitr3d 284 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))) |
308 | 307 | rabbidva 3379 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) =
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) |
309 | | imaundi 5982 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (◡𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
310 | 223 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ◡𝐹 = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥))) |
311 | | zre 12068 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
312 | 311 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
313 | 13 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ) |
314 | 312, 313 | remulcld 10751 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
315 | 314 | rexrd 10771 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈
ℝ*) |
316 | | peano2z 12106 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℤ) |
317 | 316 | zred 12170 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
318 | 317 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
319 | 313, 318 | remulcld 10751 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈
ℝ) |
320 | 319 | rexrd 10771 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈
ℝ*) |
321 | | zcn 12069 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ) |
322 | 321 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ) |
323 | 303 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈
ℂ) |
324 | 322, 323 | mulcomd 10742 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1))) |
325 | 68 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
326 | 311 | ltp1d 11650 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) |
327 | 326 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) |
328 | 312, 318,
325, 327 | ltmul2dd 12572 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) |
329 | 324, 328 | eqbrtrd 5052 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) |
330 | | snunioo 12954 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈
ℝ* ∧ ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*
∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
331 | 315, 320,
329, 330 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
332 | 310, 331 | imaeq12d 5904 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
333 | 309, 332 | eqtr3id 2787 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
334 | 225 | mptpreima 6070 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))} |
335 | 4 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
336 | 335 | ffvelrnda 6863 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) |
337 | 336 | 3biant1d 1479 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
338 | 337 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
339 | 311 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
340 | 336 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ) |
341 | 68 | ad4antlr 733 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
342 | 339, 340,
341 | lemuldivd 12565 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
343 | 317 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
344 | 340, 343,
341 | ltdivmuld 12567 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
345 | 344 | bicomd 226 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) |
346 | 342, 345 | anbi12d 634 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
347 | 338, 346 | bitr3d 284 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
348 | | elico2 12887 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧
((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*)
→ ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
349 | 314, 320,
348 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
350 | 349 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) |
351 | | eqcom 2745 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) |
352 | 21 | adantlr 715 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
353 | | flbi 13279 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
354 | 352, 353 | sylan 583 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
355 | 351, 354 | syl5bb 286 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) |
356 | 347, 350,
355 | 3bitr4d 314 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))) |
357 | 356 | an32s 652 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))) |
358 | 357 | rabbidva 3379 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))}) |
359 | 334, 358 | syl5eq 2785 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))}) |
360 | 333, 359 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))}) |
361 | 230 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹 ∈ MblFn) |
362 | 4 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ) |
363 | | mbfimasn 24386 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧
(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol) |
364 | 361, 362,
314, 363 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol) |
365 | | mbfima 24384 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) →
(◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom
vol) |
366 | 230, 4, 365 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom
vol) |
367 | 366 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom
vol) |
368 | | unmbl 24291 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol) →
((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom
vol) |
369 | 364, 367,
368 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom
vol) |
370 | 360, 369 | eqeltrrd 2834 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol) |
371 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
372 | 352 | flcld 13261 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ) |
373 | 372 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ) |
374 | 371, 373 | eqeltrd 2833 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) |
375 | 374 | stoic1a 1779 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ¬
((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
376 | 375 | an32s 652 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬
((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
377 | 376 | ralrimiva 3096 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) →
∀𝑥 ∈ ℝ
¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) =
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
378 | | rabeq0 4273 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
379 | 377, 378 | sylibr 237 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅) |
380 | | 0mbl 24293 |
. . . . . . . . 9
⊢ ∅
∈ dom vol |
381 | 379, 380 | eqeltrdi 2841 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol) |
382 | 370, 381 | pm2.61dan 813 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) =
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol) |
383 | 308, 382 | eqeltrrd 2834 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ 𝑡 =
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom
vol) |
384 | | inmbl 24296 |
. . . . . 6
⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom vol) →
(({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom
vol) |
385 | 288, 383,
384 | syl2anc 587 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (({𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom
vol) |
386 | | rabiun 35395 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ∪
𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} |
387 | | rabeq 3385 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 ∈ ∪
𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
388 | 168, 387 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
389 | 386, 388 | eqtr3id 2787 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
390 | 389 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}) |
391 | 176 | notbid 321 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡)) |
392 | 391 | rabbidva 3379 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
393 | | inrab2 4196 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} |
394 | | rabeq 3385 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℝ
∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
395 | 184, 394 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (ℝ
∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
396 | 393, 395 | syl5eq 2785 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
397 | 392, 396 | eqtr4d 2776 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡}))) |
398 | 397 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡}))) |
399 | | imaundi 5982 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (◡𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))(,)+∞))) = ((◡𝐹 “
{((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3))}) ∪
(◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))(,)+∞))) |
400 | 13, 19 | jca 515 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ (𝑣 ∈ ℝ+
→ ((𝑣 / 3) ∈
ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠
0)) |
401 | | redivcl 11439 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧
(𝑣 / 3) ≠ 0) →
(𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
402 | 401 | 3expb 1121 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ((𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧
(𝑣 / 3) ≠ 0)) →
(𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) |
403 | 400, 402 | sylan2 596 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
404 | 403 | ancoms 462 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑣 ∈ ℝ+
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
405 | 404 | adantll 714 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
406 | 405, 203 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈
ℝ) |
407 | | peano2re 10893 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
408 | | reflcl 13259 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ →
(⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈
ℝ) |
409 | 406, 407,
408 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (⌊‘(((𝑡
/ (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
∈ ℝ) |
410 | 13 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (𝑣 / 3) ∈
ℝ) |
411 | 409, 410 | remulcld 10751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘(((𝑡
/ (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
412 | 411 | rexrd 10771 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘(((𝑡
/ (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ∈
ℝ*) |
413 | | pnfxr 10775 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ +∞
∈ ℝ* |
414 | 413 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ +∞ ∈ ℝ*) |
415 | | ltpnf 12600 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ →
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) <
+∞) |
416 | 411, 415 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((⌊‘(((𝑡
/ (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) <
+∞) |
417 | | snunioo 12954 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
((((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈
ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) <
+∞) → ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞)) |
418 | 412, 414,
416, 417 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞)) |
419 | 418 | imaeq2d 5903 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))(,)+∞))) = (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞))) |
420 | 399, 419 | eqtr3id 2787 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞))) |
421 | 223 | imaeq1d 5902 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞))) |
422 | 225 | mptpreima 6070 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞)} |
423 | 421, 422 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞)}) |
424 | 423 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 /
3))[,)+∞)}) |
425 | 406, 407 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
426 | 425 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈
ℝ) |
427 | | flflp1 13270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ
∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) →
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤
((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1))) |
428 | 426, 352,
427 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤
((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1))) |
429 | 411 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
430 | | elicopnf 12921 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ →
((𝐹‘𝑥) ∈
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ≤
(𝐹‘𝑥)))) |
431 | 429, 430 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔
((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ≤
(𝐹‘𝑥)))) |
432 | 336 | biantrurd 536 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ≤
(𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ≤
(𝐹‘𝑥)))) |
433 | 409 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈
ℝ) |
434 | 68 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈
ℝ+) |
435 | 433, 336,
434 | lemuldivd 12565 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ≤
(𝐹‘𝑥) ↔ (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
436 | 431, 432,
435 | 3bitr2d 310 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔
(⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤
((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) |
437 | 406 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) |
438 | 352, 22 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ) |
439 | | 1red 10722 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈
ℝ) |
440 | 437, 438,
439 | ltadd1d 11313 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1))) |
441 | 428, 436,
440 | 3bitr4d 314 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔
((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))) |
442 | 295, 439,
438 | ltaddsubd 11320 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))) |
443 | 441, 442 | bitrd 282 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))) |
444 | 438, 24 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈
ℝ) |
445 | 292, 444,
434 | ltdivmul2d 12568 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 < (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))) |
446 | 444, 293 | remulcld 10751 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) →
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) |
447 | 292, 446 | ltnled 10867 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 < (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ↔ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡)) |
448 | 443, 445,
447 | 3bitrd 308 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1)
∧ 𝑣 ∈
ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡)) |
449 | 448 | rabbidva 3379 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (𝐹‘𝑥) ∈
(((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 /
3))[,)+∞)} = {𝑥
∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
450 | 420, 424,
449 | 3eqtrd 2777 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}) |
451 | 230 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ 𝐹 ∈
MblFn) |
452 | | mbfimasn 24386 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧
((⌊‘(((𝑡 /
(𝑣 / 3)) + 1) + 1))
· (𝑣 / 3)) ∈
ℝ) → (◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom
vol) |
453 | 451, 335,
411, 452 | syl3anc 1372 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom
vol) |
454 | | mbfima 24384 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) →
(◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom
vol) |
455 | 230, 4, 454 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom
vol) |
456 | 455 | ad3antrrr 730 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom
vol) |
457 | | unmbl 24291 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧
(◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom
vol) → ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom
vol) |
458 | 453, 456,
457 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom
vol) |
459 | 450, 458 | eqeltrrd 2834 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol) |
460 | 237, 459 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol) |
461 | | inmbl 24296 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol) |
462 | 460, 244,
461 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol) |
463 | 398, 462 | eqeltrd 2833 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
464 | 463 | ralrimiva 3096 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∀𝑡 ∈ ran
ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
465 | | finiunmbl 24298 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((ran
ℎ ∈ Fin ∧
∀𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
466 | 41, 464, 465 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
467 | 390, 466 | eqeltrrd 2834 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
468 | 254 | imaeq1d 5902 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {0}) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0})) |
469 | 256 | mptpreima 6070 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}} |
470 | 140 | elsn 4531 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {0} ↔ (ℎ‘𝑥) = 0) |
471 | 470 | rabbii 3374 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} |
472 | 469, 471 | eqtri 2761 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} |
473 | 468, 472 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) |
474 | | i1fima 24432 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {0}) ∈ dom vol) |
475 | 473, 474 | eqeltrrd 2834 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom
vol) |
476 | 475 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom
vol) |
477 | | unmbl 24291 |
. . . . . . . 8
⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol) |
478 | 467, 476,
477 | syl2anc 587 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol) |
479 | 478 | adantr 484 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ({𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol) |
480 | 254 | imaeq1d 5902 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {𝑡}) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡})) |
481 | 256 | mptpreima 6070 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡}} |
482 | 140 | elsn 4531 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡} ↔ (ℎ‘𝑥) = 𝑡) |
483 | | eqcom 2745 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((ℎ‘𝑥) = 𝑡 ↔ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)) |
484 | 482, 483 | bitri 278 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡} ↔ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)) |
485 | 484 | rabbii 3374 |
. . . . . . . . . 10
⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} |
486 | 481, 485 | eqtri 2761 |
. . . . . . . . 9
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} |
487 | 480, 486 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . 8
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) |
488 | 487 | ad3antlr 731 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (◡ℎ “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) |
489 | 488, 243 | eqeltrrd 2834 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ {𝑥 ∈ ℝ
∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) |
490 | | inmbl 24296 |
. . . . . 6
⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol) |
491 | 479, 489,
490 | syl2anc 587 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ (({𝑥 ∈ ℝ
∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol) |
492 | | unmbl 24291 |
. . . . 5
⊢
(((({𝑥 ∈
ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧
(({𝑥 ∈ ℝ ∣
¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol) |
493 | 385, 491,
492 | syl2anc 587 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ ℝ)
→ ((({𝑥 ∈ ℝ
∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol) |
494 | 159, 493 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬
(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol) |
495 | 154, 494 | eqeltrid 2837 |
. 2
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol) |
496 | | mblvol 24284 |
. . . 4
⊢ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}))) |
497 | 495, 496 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}))) |
498 | | eldifsn 4675 |
. . . . . 6
⊢ (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) ↔ (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0)) |
499 | 157 | anim1d 614 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ ((𝑡 ∈ ran
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0))) |
500 | 498, 499 | syl5bi 245 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑡 ∈ (ran
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0))) |
501 | 500 | imdistani 572 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠
0))) |
502 | 128 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}}) |
503 | 468, 469 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}}) |
504 | 502, 503 | ineq12d 4104 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}})) |
505 | | inrab 4195 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} |
506 | 504, 505 | eqtrdi 2789 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})}) |
507 | 506 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})}) |
508 | 144 | biimpri 231 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) |
509 | 508 | intnand 492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) |
510 | 509 | iffalsed 4425 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = (ℎ‘𝑥)) |
511 | | eqtr 2758 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0) |
512 | 510, 511 | mpancom 688 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0) |
513 | 512 | adantl 485 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0) |
514 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → 𝑡 ≠ 0) |
515 | 514 | necomd 2989 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → 0 ≠ 𝑡) |
516 | 513, 515 | eqnetrd 3001 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡) |
517 | 516 | ex 416 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡)) |
518 | | orcom 869 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0} ∨ ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡})) |
519 | | ianor 981 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})) |
520 | | imor 852 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ (¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0} ∨ ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡})) |
521 | 518, 519,
520 | 3bitr4i 306 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡})) |
522 | 142 | necon3bbii 2981 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡) |
523 | 470, 522 | imbi12i 354 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡)) |
524 | 521, 523 | bitri 278 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡)) |
525 | 517, 524 | sylibr 237 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})) |
526 | 525 | ralrimiva 3096 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑡 ≠ 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})) |
527 | | rabeq0 4273 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})) |
528 | 526, 527 | sylibr 237 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑡 ≠ 0 → {𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅) |
529 | 528 | ad2antll 729 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
{𝑥 ∈ ℝ ∣
(if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅) |
530 | 507, 529 | eqtrd 2773 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅) |
531 | | imassrn 5914 |
. . . . . . . . 9
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
532 | | dfdm4 5738 |
. . . . . . . . . 10
⊢ dom
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) |
533 | 141, 127 | dmmpti 6481 |
. . . . . . . . . 10
⊢ dom
(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ℝ |
534 | 532, 533 | eqtr3i 2763 |
. . . . . . . . 9
⊢ ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ℝ |
535 | 531, 534 | sseqtri 3913 |
. . . . . . . 8
⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ |
536 | | reldisj 4341 |
. . . . . . . 8
⊢ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ → (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅ ↔ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))) |
537 | 535, 536 | ax-mp 5 |
. . . . . . 7
⊢ (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅ ↔ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
538 | 530, 537 | sylib 221 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
539 | | ffun 6507 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
Fun ℎ) |
540 | | difpreima 6844 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (Fun
ℎ → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = ((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
541 | 539, 540 | syl 17 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = ((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
542 | | fdm 6513 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
dom ℎ =
ℝ) |
543 | 161, 542 | syl5eq 2785 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
(◡ℎ “ ran ℎ) = ℝ) |
544 | 543 | difeq1d 4012 |
. . . . . . . . 9
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
545 | 541, 544 | eqtrd 2773 |
. . . . . . . 8
⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ →
(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
546 | 27, 545 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
547 | 546 | ad3antlr 731 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))) |
548 | 538, 547 | sseqtrrd 3918 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) |
549 | | imassrn 5914 |
. . . . . . 7
⊢ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆ ran ◡ℎ |
550 | 549, 181 | sseqtrid 3929 |
. . . . . 6
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆
ℝ) |
551 | 550 | ad3antlr 731 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆
ℝ) |
552 | | i1fima 24432 |
. . . . . . . 8
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∈ dom
vol) |
553 | | mblvol 24284 |
. . . . . . . 8
⊢ ((◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∈ dom vol →
(vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})))) |
554 | 552, 553 | syl 17 |
. . . . . . 7
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})))) |
555 | | neldifsn 4680 |
. . . . . . . 8
⊢ ¬ 0
∈ (ran ℎ ∖
{0}) |
556 | | i1fima2 24433 |
. . . . . . . 8
⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1
∧ ¬ 0 ∈ (ran ℎ
∖ {0})) → (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈
ℝ) |
557 | 555, 556 | mpan2 691 |
. . . . . . 7
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈
ℝ) |
558 | 554, 557 | eqeltrrd 2834 |
. . . . . 6
⊢ (ℎ ∈ dom ∫1
→ (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈
ℝ) |
559 | 558 | ad3antlr 731 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈
ℝ) |
560 | | ovolsscl 24240 |
. . . . 5
⊢ (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∧ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧
(vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈ ℝ) →
(vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ) |
561 | 548, 551,
559, 560 | syl3anc 1372 |
. . . 4
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ (𝑡 ∈ ℝ
∧ 𝑡 ≠ 0)) →
(vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ) |
562 | 501, 561 | syl 17 |
. . 3
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ) |
563 | 497, 562 | eqeltrd 2833 |
. 2
⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦
if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ) |
564 | 31, 126, 495, 563 | i1fd 24435 |
1
⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+)
→ (𝑥 ∈ ℝ
↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ dom
∫1) |