Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  itg2addnclem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem itg2addnclem2 36159
Description: Lemma for itg2addnc 36161. The function described is a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2addnc.f1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
itg2addnc.f2 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
itg2addnclem2 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) ∈ dom ∫1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑣,β„Ž,𝐹   πœ‘,𝑣,π‘₯,β„Ž

Proof of Theorem itg2addnclem2
Dummy variables 𝑑 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2addnc.f2 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
2 rge0ssre 13380 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) βŠ† ℝ
3 fss 6690 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) βŠ† ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
41, 2, 3sylancl 587 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
54ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
65ffvelcdmda 7040 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
7 rpre 12930 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ℝ+ β†’ 𝑣 ∈ ℝ)
8 3re 12240 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
9 3ne0 12266 . . . . . . . . . . 11 3 β‰  0
108, 9pm3.2i 472 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℝ ∧ 3 β‰  0)
11 redivcl 11881 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 β‰  0) β†’ (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
12113expb 1121 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 3 β‰  0)) β†’ (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
137, 10, 12sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℝ+ β†’ (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
1413ad2antlr 726 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
15 rpcnne0 12940 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ℝ+ β†’ (𝑣 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 β‰  0))
16 3cn 12241 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ β„‚
1716, 9pm3.2i 472 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ β„‚ ∧ 3 β‰  0)
18 divne0 11832 . . . . . . . . . 10 (((𝑣 ∈ β„‚ ∧ 𝑣 β‰  0) ∧ (3 ∈ β„‚ ∧ 3 β‰  0)) β†’ (𝑣 / 3) β‰  0)
1915, 17, 18sylancl 587 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℝ+ β†’ (𝑣 / 3) β‰  0)
2019ad2antlr 726 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑣 / 3) β‰  0)
216, 14, 20redivcld 11990 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
22 reflcl 13708 . . . . . . 7 (((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
24 peano2rem 11475 . . . . . 6 ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
2625, 14remulcld 11192 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
27 i1ff 25056 . . . . . 6 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ β„Ž:β„βŸΆβ„)
2827ad2antlr 726 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ β„Ž:β„βŸΆβ„)
2928ffvelcdmda 7040 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3026, 29ifcld 4537 . . 3 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
3130fmpttd 7068 . 2 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))):β„βŸΆβ„)
32 fzfi 13884 . . . . 5 (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin
33 ovex 7395 . . . . . . 7 ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ∈ V
34 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) = (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)))
3533, 34fnmpti 6649 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) Fn (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
36 dffn4 6767 . . . . . 6 ((𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) Fn (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))):(0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–ontoβ†’ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))))
3735, 36mpbi 229 . . . . 5 (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))):(0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–ontoβ†’ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)))
38 fofi 9289 . . . . 5 (((0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin ∧ (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))):(0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–ontoβ†’ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)))) β†’ ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) ∈ Fin)
3932, 37, 38mp2an 691 . . . 4 ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) ∈ Fin
40 i1frn 25057 . . . . 5 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ ran β„Ž ∈ Fin)
4140ad2antlr 726 . . . 4 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ ran β„Ž ∈ Fin)
42 unfi 9123 . . . 4 ((ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) ∈ Fin ∧ ran β„Ž ∈ Fin) β†’ (ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) βˆͺ ran β„Ž) ∈ Fin)
4339, 41, 42sylancr 588 . . 3 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ (ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) βˆͺ ran β„Ž) ∈ Fin)
44 0zd 12518 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 0 ∈ β„€)
4527frnd 6681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ ran β„Ž βŠ† ℝ)
46 i1f0rn 25062 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ 0 ∈ ran β„Ž)
47 elex2 2817 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ran β„Ž β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ ran β„Ž)
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ ran β„Ž)
49 n0 4311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ran β„Ž β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ ran β„Ž)
5048, 49sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ ran β„Ž β‰  βˆ…)
51 fimaxre2 12107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ran β„Ž βŠ† ℝ ∧ ran β„Ž ∈ Fin) β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran β„Ž 𝑦 ≀ π‘₯)
5245, 40, 51syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran β„Ž 𝑦 ≀ π‘₯)
53 suprcl 12122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ran β„Ž βŠ† ℝ ∧ ran β„Ž β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran β„Ž 𝑦 ≀ π‘₯) β†’ sup(ran β„Ž, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5445, 50, 52, 53syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ sup(ran β„Ž, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5554ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ sup(ran β„Ž, ℝ, < ) ∈ ℝ)
5655, 14, 20redivcld 11990 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
57 peano2re 11335 . . . . . . . . . . . . 13 ((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ β†’ ((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
59 ceicl 13753 . . . . . . . . . . . 12 (((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ β†’ -(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ β„€)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ -(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ β„€)
6160adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ -(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ β„€)
6221flcld 13710 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ∈ β„€)
6362adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ∈ β„€)
64 3nn 12239 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ β„•
65 nnrp 12933 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 ∈ β„• β†’ 3 ∈ ℝ+)
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ+
67 rpdivcl 12947 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) β†’ (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
6866, 67mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ ℝ+ β†’ (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
6968ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
701ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ 𝐹:β„βŸΆ(0[,)+∞))
7170ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞))
72 elrege0 13378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
7371, 72sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯)))
7473simprd 497 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (πΉβ€˜π‘₯))
756, 69, 74divge0d 13004 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)))
76 flge0nn0 13732 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ∈ β„•0)
7721, 75, 76syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ∈ β„•0)
7877nn0ge0d 12483 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 0 ≀ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))))
7978adantr 482 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ 0 ≀ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))))
8045, 50, 523jca 1129 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (ran β„Ž βŠ† ℝ ∧ ran β„Ž β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran β„Ž 𝑦 ≀ π‘₯))
8180ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (ran β„Ž βŠ† ℝ ∧ ran β„Ž β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran β„Ž 𝑦 ≀ π‘₯))
82 ffn 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„Ž:β„βŸΆβ„ β†’ β„Ž Fn ℝ)
8327, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ β„Ž Fn ℝ)
84 dffn3 6686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž Fn ℝ ↔ β„Ž:β„βŸΆran β„Ž)
8583, 84sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ β„Ž:β„βŸΆran β„Ž)
8685ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ β„Ž:β„βŸΆran β„Ž)
8786ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ran β„Ž)
88 suprub 12123 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ran β„Ž βŠ† ℝ ∧ ran β„Ž β‰  βˆ… ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ ran β„Ž 𝑦 ≀ π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ran β„Ž) β†’ (β„Žβ€˜π‘₯) ≀ sup(ran β„Ž, ℝ, < ))
8981, 87, 88syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β„Žβ€˜π‘₯) ≀ sup(ran β„Ž, ℝ, < ))
90 letr 11256 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ sup(ran β„Ž, ℝ, < ) ∈ ℝ) β†’ (((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) ≀ sup(ran β„Ž, ℝ, < )) β†’ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ sup(ran β„Ž, ℝ, < )))
9126, 29, 55, 90syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) ≀ sup(ran β„Ž, ℝ, < )) β†’ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ sup(ran β„Ž, ℝ, < )))
9225, 55, 69lemuldivd 13013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ sup(ran β„Ž, ℝ, < ) ↔ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) ≀ (sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3))))
93 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ ℝ)
9423, 93, 56lesubaddd 11759 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) ≀ (sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ↔ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ≀ ((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
9592, 94bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ sup(ran β„Ž, ℝ, < ) ↔ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ≀ ((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
96 ceige 13756 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ β†’ ((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≀ -(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
9758, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≀ -(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
9860zred 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ -(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
99 letr 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ ∧ ((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ ∧ -(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ) β†’ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ≀ ((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≀ -(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ≀ -(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
10023, 58, 98, 99syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ≀ ((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≀ -(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ≀ -(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
10197, 100mpan2d 693 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ≀ ((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ≀ -(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
10295, 101sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ sup(ran β„Ž, ℝ, < ) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ≀ -(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
10391, 102syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) ≀ sup(ran β„Ž, ℝ, < )) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ≀ -(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
10489, 103mpan2d 693 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ≀ -(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
105104adantrd 493 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ≀ -(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
106105imp 408 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ≀ -(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
10744, 61, 63, 79, 106elfzd 13439 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
108 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))
109 oveq1 7369 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) β†’ (𝑑 βˆ’ 1) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1))
110109oveq1d 7377 . . . . . . . . . 10 (𝑑 = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) β†’ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)))
111110rspceeqv 3600 . . . . . . . . 9 (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∧ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) = ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)))
112107, 108, 111sylancl 587 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) = ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)))
113 ovex 7395 . . . . . . . . 9 (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ∈ V
11434elrnmpt 5916 . . . . . . . . 9 ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ∈ V β†’ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) = ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))))
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) ↔ βˆƒπ‘‘ ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) = ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)))
116112, 115sylibr 233 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))))
117 elun1 4141 . . . . . . 7 ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) β†’ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) βˆͺ ran β„Ž))
118116, 117syl 17 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) βˆͺ ran β„Ž))
119 elun2 4142 . . . . . . . 8 ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ran β„Ž β†’ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) βˆͺ ran β„Ž))
12087, 119syl 17 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) βˆͺ ran β„Ž))
121120adantr 482 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0)) β†’ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) βˆͺ ran β„Ž))
122118, 121ifclda 4526 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ (ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) βˆͺ ran β„Ž))
123122fmpttd 7068 . . . 4 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))):β„βŸΆ(ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) βˆͺ ran β„Ž))
124123frnd 6681 . . 3 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) βŠ† (ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) βˆͺ ran β„Ž))
125 ssfi 9124 . . 3 (((ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) βˆͺ ran β„Ž) ∈ Fin ∧ ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) βŠ† (ran (𝑑 ∈ (0...-(βŒŠβ€˜-((sup(ran β„Ž, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑑 βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) βˆͺ ran β„Ž)) β†’ ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) ∈ Fin)
12643, 124, 125syl2anc 585 . 2 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) ∈ Fin)
127 eqid 2737 . . . . 5 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)))
128127mptpreima 6195 . . . 4 (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑}) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑}}
129 unrab 4270 . . . . 5 ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)))} βˆͺ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ ((Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0) ∧ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯))}) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ ((((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) ∨ ((Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0) ∧ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)))}
130 inrab 4271 . . . . . . . 8 ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0}) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0)}
131130ineq1i 4173 . . . . . . 7 (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))}) = ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0)} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))})
132 inrab 4271 . . . . . . 7 ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0)} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))}) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)))}
133131, 132eqtri 2765 . . . . . 6 (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))}) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)))}
134 unrab 4270 . . . . . . . 8 ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0}) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0)}
135134ineq1i 4173 . . . . . . 7 (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)}) = ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0)} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)})
136 inrab 4271 . . . . . . 7 ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0)} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)}) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ ((Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0) ∧ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯))}
137135, 136eqtri 2765 . . . . . 6 (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)}) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ ((Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0) ∧ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯))}
138133, 137uneq12i 4126 . . . . 5 ((({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))}) βˆͺ (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)})) = ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)))} βˆͺ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ ((Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0) ∧ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯))})
139 eqcom 2744 . . . . . . 7 (if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) = 𝑑 ↔ 𝑑 = if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)))
140 fvex 6860 . . . . . . . . 9 (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ V
141113, 140ifex 4541 . . . . . . . 8 if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ V
142141elsn 4606 . . . . . . 7 (if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑} ↔ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) = 𝑑)
143 ianor 981 . . . . . . . . . . 11 (Β¬ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0) ↔ (Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∨ Β¬ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0))
144 nne 2948 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0 ↔ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0)
145144orbi2i 912 . . . . . . . . . . 11 ((Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∨ Β¬ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0) ↔ (Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0))
146143, 145bitr2i 276 . . . . . . . . . 10 ((Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0) ↔ Β¬ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0))
147146anbi1i 625 . . . . . . . . 9 (((Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0) ∧ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)) ↔ (Β¬ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)))
148147orbi2i 912 . . . . . . . 8 (((((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) ∨ ((Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0) ∧ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯))) ↔ ((((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) ∨ (Β¬ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯))))
149 eqif 4532 . . . . . . . 8 (𝑑 = if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ↔ ((((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) ∨ (Β¬ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯))))
150148, 149bitr4i 278 . . . . . . 7 (((((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) ∨ ((Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0) ∧ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯))) ↔ 𝑑 = if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)))
151139, 142, 1503bitr4i 303 . . . . . 6 (if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑} ↔ ((((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) ∨ ((Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0) ∧ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯))))
152151rabbii 3416 . . . . 5 {π‘₯ ∈ ℝ ∣ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑}} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ ((((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0) ∧ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))) ∨ ((Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0) ∧ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)))}
153129, 138, 1523eqtr4ri 2776 . . . 4 {π‘₯ ∈ ℝ ∣ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑}} = ((({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))}) βˆͺ (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)}))
154128, 153eqtri 2765 . . 3 (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑}) = ((({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))}) βˆͺ (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)}))
155 eldifi 4091 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) βˆ– {0}) β†’ 𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))))
15631frnd 6681 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) βŠ† ℝ)
157156sseld 3948 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ (𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β†’ 𝑑 ∈ ℝ))
158155, 157syl5 34 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ (𝑑 ∈ (ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) βˆ– {0}) β†’ 𝑑 ∈ ℝ))
159158imdistani 570 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) βˆ– {0})) β†’ (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ))
160 rabiun 36080 . . . . . . . . . 10 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž(β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} = βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž{π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)}
161 cnvimarndm 6039 . . . . . . . . . . . . . 14 (β—‘β„Ž β€œ ran β„Ž) = dom β„Ž
162 iunid 5025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž{𝑑} = ran β„Ž
163162imaeq2i 6016 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β—‘β„Ž β€œ βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž{𝑑}) = (β—‘β„Ž β€œ ran β„Ž)
164 imaiun 7197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β—‘β„Ž β€œ βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž{𝑑}) = βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž(β—‘β„Ž β€œ {𝑑})
165163, 164eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . . 14 (β—‘β„Ž β€œ ran β„Ž) = βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž(β—‘β„Ž β€œ {𝑑})
166161, 165eqtr3i 2767 . . . . . . . . . . . . 13 dom β„Ž = βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž(β—‘β„Ž β€œ {𝑑})
16727fdmd 6684 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ dom β„Ž = ℝ)
168166, 167eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž(β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) = ℝ)
169168ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž(β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) = ℝ)
170 rabeq 3424 . . . . . . . . . . 11 (βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž(β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) = ℝ β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž(β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)})
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž(β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)})
172160, 171eqtr3id 2791 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž{π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)})
173 fniniseg 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„Ž Fn ℝ β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) = 𝑑)))
17427, 82, 1733syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) = 𝑑)))
175174simplbda 501 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„Ž ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) β†’ (β„Žβ€˜π‘₯) = 𝑑)
176175breq2d 5122 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β„Ž ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) β†’ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ↔ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑))
177176rabbidva 3417 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ {π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑})
178 inrab2 4272 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) = {π‘₯ ∈ (ℝ ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑}
179 imassrn 6029 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) βŠ† ran β—‘β„Ž
180 dfdm4 5856 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom β„Ž = ran β—‘β„Ž
181180, 167eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ ran β—‘β„Ž = ℝ)
182179, 181sseqtrid 4001 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) βŠ† ℝ)
183 sseqin2 4180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) βŠ† ℝ ↔ (ℝ ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) = (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}))
184182, 183sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (ℝ ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) = (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}))
185 rabeq 3424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℝ ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) = (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) β†’ {π‘₯ ∈ (ℝ ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} = {π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑})
186184, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ {π‘₯ ∈ (ℝ ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} = {π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑})
187178, 186eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) = {π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑})
188177, 187eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ {π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} = ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})))
189188ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) β†’ {π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} = ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})))
19025adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
19145ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ ran β„Ž βŠ† ℝ)
192191sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
193192adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
19468ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
195190, 193, 194lemuldivd 13013 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑 ↔ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) ≀ (𝑑 / (𝑣 / 3))))
19623adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
197 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ ℝ)
19813ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
19919ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑣 / 3) β‰  0)
200193, 198, 199redivcld 11990 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
201196, 197, 200lesubaddd 11759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) ≀ (𝑑 / (𝑣 / 3)) ↔ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ≀ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)))
2026adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
203 peano2re 11335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑑 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ β†’ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
204200, 203syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
205 reflcl 13708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
206204, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
207 peano2re 11335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ β†’ ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
208206, 207syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
209202, 208, 194ltdivmuld 13015 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) < ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) < ((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))
21021adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
211 flflp1 13719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ≀ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) < ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))
212210, 204, 211syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ≀ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) < ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))
213198, 208remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ)
214213rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ*)
215 elioomnf 13368 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ* β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < ((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
216214, 215syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < ((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
217202biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < ((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < ((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
218216, 217bitr4d 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) < ((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))
219209, 212, 2183bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ≀ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
220195, 201, 2193bitrd 305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑 ↔ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
221220rabbidva 3417 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
2221feqmptd 6915 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
223222cnveqd 5836 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ ◑𝐹 = β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
224223imaeq1d 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ (-∞(,)((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
225 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯))
226225mptpreima 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ (-∞(,)((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))}
227224, 226eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
228227ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
229221, 228eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} = (◑𝐹 β€œ (-∞(,)((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
230 itg2addnc.f1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
231 mbfima 25010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
232230, 4, 231syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
233232ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) β†’ (◑𝐹 β€œ (-∞(,)((𝑣 / 3) Β· ((βŒŠβ€˜((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
234229, 233eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} ∈ dom vol)
23545sseld 3948 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (𝑑 ∈ ran β„Ž β†’ 𝑑 ∈ ℝ))
236235ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ (𝑑 ∈ ran β„Ž β†’ 𝑑 ∈ ℝ))
237236imdistani 570 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) β†’ (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ))
238 i1fmbf 25055 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ β„Ž ∈ MblFn)
239238, 27jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β„Ž ∈ MblFn ∧ β„Ž:β„βŸΆβ„))
240239ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ (β„Ž ∈ MblFn ∧ β„Ž:β„βŸΆβ„))
241 mbfimasn 25012 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„Ž ∈ MblFn ∧ β„Ž:β„βŸΆβ„ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∈ dom vol)
2422413expa 1119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((β„Ž ∈ MblFn ∧ β„Ž:β„βŸΆβ„) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∈ dom vol)
243240, 242sylan 581 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∈ dom vol)
244237, 243syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) β†’ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∈ dom vol)
245 inmbl 24922 . . . . . . . . . . . . 13 (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} ∈ dom vol ∧ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∈ dom vol) β†’ ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) ∈ dom vol)
246234, 244, 245syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) β†’ ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) ∈ dom vol)
247189, 246eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) β†’ {π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∈ dom vol)
248247ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ran β„Ž{π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∈ dom vol)
249 finiunmbl 24924 . . . . . . . . . 10 ((ran β„Ž ∈ Fin ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ran β„Ž{π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž{π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∈ dom vol)
25041, 248, 249syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž{π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∈ dom vol)
251172, 250eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∈ dom vol)
252 unrab 4270 . . . . . . . . . . 11 ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)0)} βˆͺ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (0(,)+∞)}) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)0) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (0(,)+∞))}
25327feqmptd 6915 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ β„Ž = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (β„Žβ€˜π‘₯)))
254253cnveqd 5836 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ β—‘β„Ž = β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (β„Žβ€˜π‘₯)))
255254imaeq1d 6017 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β—‘β„Ž β€œ (-∞(,)0)) = (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (β„Žβ€˜π‘₯)) β€œ (-∞(,)0)))
256 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (β„Žβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ ℝ ↦ (β„Žβ€˜π‘₯))
257256mptpreima 6195 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (β„Žβ€˜π‘₯)) β€œ (-∞(,)0)) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)0)}
258255, 257eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β—‘β„Ž β€œ (-∞(,)0)) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)0)})
259254imaeq1d 6017 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β—‘β„Ž β€œ (0(,)+∞)) = (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (β„Žβ€˜π‘₯)) β€œ (0(,)+∞)))
260256mptpreima 6195 . . . . . . . . . . . . 13 (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (β„Žβ€˜π‘₯)) β€œ (0(,)+∞)) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (0(,)+∞)}
261259, 260eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . 12 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β—‘β„Ž β€œ (0(,)+∞)) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (0(,)+∞)})
262258, 261uneq12d 4129 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ ((β—‘β„Ž β€œ (-∞(,)0)) βˆͺ (β—‘β„Ž β€œ (0(,)+∞))) = ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)0)} βˆͺ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (0(,)+∞)}))
26327ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„Ž ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
264 0re 11164 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
265 lttri2 11244 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) β†’ ((β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0 ↔ ((β„Žβ€˜π‘₯) < 0 ∨ 0 < (β„Žβ€˜π‘₯))))
266264, 265mpan2 690 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ ((β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0 ↔ ((β„Žβ€˜π‘₯) < 0 ∨ 0 < (β„Žβ€˜π‘₯))))
267 ibar 530 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ (((β„Žβ€˜π‘₯) < 0 ∨ 0 < (β„Žβ€˜π‘₯)) ↔ ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ ((β„Žβ€˜π‘₯) < 0 ∨ 0 < (β„Žβ€˜π‘₯)))))
268 andi 1007 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ ((β„Žβ€˜π‘₯) < 0 ∨ 0 < (β„Žβ€˜π‘₯))) ↔ (((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) < 0) ∨ ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘₯))))
269 0xr 11209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ*
270 elioomnf 13368 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℝ* β†’ ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)0) ↔ ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) < 0)))
271 elioopnf 13367 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℝ* β†’ ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (0(,)+∞) ↔ ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘₯))))
272270, 271orbi12d 918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ ℝ* β†’ (((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)0) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) < 0) ∨ ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘₯)))))
273269, 272ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)0) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) < 0) ∨ ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ 0 < (β„Žβ€˜π‘₯))))
274268, 273bitr4i 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ ((β„Žβ€˜π‘₯) < 0 ∨ 0 < (β„Žβ€˜π‘₯))) ↔ ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)0) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (0(,)+∞)))
275267, 274bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ (((β„Žβ€˜π‘₯) < 0 ∨ 0 < (β„Žβ€˜π‘₯)) ↔ ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)0) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (0(,)+∞))))
276266, 275bitrd 279 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ ℝ β†’ ((β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0 ↔ ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)0) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (0(,)+∞))))
277263, 276syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((β„Ž ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0 ↔ ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)0) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (0(,)+∞))))
278277rabbidva 3417 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (-∞(,)0) ∨ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ (0(,)+∞))})
279252, 262, 2783eqtr4a 2803 . . . . . . . . . 10 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ ((β—‘β„Ž β€œ (-∞(,)0)) βˆͺ (β—‘β„Ž β€œ (0(,)+∞))) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0})
280 i1fima 25058 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β—‘β„Ž β€œ (-∞(,)0)) ∈ dom vol)
281 i1fima 25058 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β—‘β„Ž β€œ (0(,)+∞)) ∈ dom vol)
282 unmbl 24917 . . . . . . . . . . 11 (((β—‘β„Ž β€œ (-∞(,)0)) ∈ dom vol ∧ (β—‘β„Ž β€œ (0(,)+∞)) ∈ dom vol) β†’ ((β—‘β„Ž β€œ (-∞(,)0)) βˆͺ (β—‘β„Ž β€œ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
283280, 281, 282syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ ((β—‘β„Ž β€œ (-∞(,)0)) βˆͺ (β—‘β„Ž β€œ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
284279, 283eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0} ∈ dom vol)
285284ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0} ∈ dom vol)
286 inmbl 24922 . . . . . . . 8 (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∈ dom vol ∧ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0} ∈ dom vol) β†’ ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0}) ∈ dom vol)
287251, 285, 286syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0}) ∈ dom vol)
288287adantr 482 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0}) ∈ dom vol)
28923recnd 11190 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ∈ β„‚)
290289adantlr 714 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ∈ β„‚)
291 1cnd 11157 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„‚)
292 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑑 ∈ ℝ)
29313ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
29419ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑣 / 3) β‰  0)
295292, 293, 294redivcld 11990 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
296295recnd 11190 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 / (𝑣 / 3)) ∈ β„‚)
297290, 291, 296subadd2d 11538 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) = (𝑑 / (𝑣 / 3)) ↔ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)))))
298 eqcom 2744 . . . . . . . . . 10 (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) = (𝑑 / (𝑣 / 3)) ↔ (𝑑 / (𝑣 / 3)) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1))
299 recn 11148 . . . . . . . . . . . 12 (𝑑 ∈ ℝ β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
300299ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝑑 ∈ β„‚)
30125recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
302301adantlr 714 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
30313recnd 11190 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ℝ+ β†’ (𝑣 / 3) ∈ β„‚)
304303ad3antlr 730 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑣 / 3) ∈ β„‚)
305300, 302, 304, 294divmul3d 11972 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) = ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) ↔ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))))
306298, 305bitrid 283 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) = (𝑑 / (𝑣 / 3)) ↔ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))))
307297, 306bitr3d 281 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ↔ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))))
308307rabbidva 3417 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)))} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))})
309 imaundi 6107 . . . . . . . . . . 11 (◑𝐹 β€œ ({(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))} βˆͺ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = ((◑𝐹 β€œ {(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))}) βˆͺ (◑𝐹 β€œ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
310223ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ ◑𝐹 = β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
311 zre 12510 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€ β†’ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
312311adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
31313ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
314312, 313remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
315314rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3)) ∈ ℝ*)
316 peano2z 12551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€ β†’ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ β„€)
317316zred 12614 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€ β†’ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
318317adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
319313, 318remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ ((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
320319rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ ((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*)
321 zcn 12511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€ β†’ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„‚)
322321adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„‚)
323303ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ (𝑣 / 3) ∈ β„‚)
324322, 323mulcomd 11183 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3)) = ((𝑣 / 3) Β· ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)))
32568ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
326311ltp1d 12092 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€ β†’ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
327326adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
328312, 318, 325, 327ltmul2dd 13020 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ ((𝑣 / 3) Β· ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1)) < ((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
329324, 328eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
330 snunioo 13402 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ* ∧ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) β†’ ({(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))} βˆͺ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
331315, 320, 329, 330syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ ({(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))} βˆͺ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
332310, 331imaeq12d 6019 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ (◑𝐹 β€œ ({(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))} βˆͺ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
333309, 332eqtr3id 2791 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ ((◑𝐹 β€œ {(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))}) βˆͺ (◑𝐹 β€œ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
334225mptpreima 6195 . . . . . . . . . . 11 (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))}
3354ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
336335ffvelcdmda 7040 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
3373363biant1d 1479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < ((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < ((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
338337adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ (((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < ((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < ((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
339311adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
340336adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
34168ad4antlr 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
342339, 340, 341lemuldivd 13013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))))
343317adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
344340, 343, 341ltdivmuld 13015 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) < (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ↔ (πΉβ€˜π‘₯) < ((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
345344bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) < ((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) < (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
346342, 345anbi12d 632 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ (((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < ((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) < (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
347338, 346bitr3d 281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ (((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < ((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) < (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
348 elico2 13335 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < ((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
349314, 320, 348syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < ((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
350349adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ∧ (πΉβ€˜π‘₯) < ((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
351 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ↔ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) = ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1))
35221adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
353 flbi 13728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) = ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) < (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
354352, 353sylan 581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) = ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) < (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
355351, 354bitrid 283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) < (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
356347, 350, 3553bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)))))
357356an32s 651 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)))))
358357rabbidva 3417 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)))})
359334, 358eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)))})
360333, 359eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ ((◑𝐹 β€œ {(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))}) βˆͺ (◑𝐹 β€œ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)))})
361230ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
3624ad4antr 731 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ 𝐹:β„βŸΆβ„)
363 mbfimasn 25012 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ {(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
364361, 362, 314, 363syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ (◑𝐹 β€œ {(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
365 mbfima 25010 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
366230, 4, 365syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
367366ad4antr 731 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ (◑𝐹 β€œ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
368 unmbl 24917 . . . . . . . . . 10 (((◑𝐹 β€œ {(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ {(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))}) βˆͺ (◑𝐹 β€œ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom vol)
369364, 367, 368syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ ((◑𝐹 β€œ {(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))}) βˆͺ (◑𝐹 β€œ ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) Β· (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) Β· (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom vol)
370360, 369eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
371 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)))) β†’ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))))
372352flcld 13710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ∈ β„€)
373372adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)))) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ∈ β„€)
374371, 373eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)))) β†’ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€)
375374stoic1a 1775 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ Β¬ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ Β¬ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))))
376375an32s 651 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ Β¬ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ Β¬ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))))
377376ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ Β¬ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ Β¬ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))))
378 rabeq0 4349 . . . . . . . . . 10 ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)))} = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ Β¬ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))))
379377, 378sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ Β¬ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)))} = βˆ…)
380 0mbl 24919 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ dom vol
381379, 380eqeltrdi 2846 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ Β¬ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ β„€) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
382370, 381pm2.61dan 812 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) = (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
383308, 382eqeltrrd 2839 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))} ∈ dom vol)
384 inmbl 24922 . . . . . 6 ((({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0}) ∈ dom vol ∧ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))} ∈ dom vol) β†’ (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
385288, 383, 384syl2anc 585 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
386 rabiun 36080 . . . . . . . . . . 11 {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž(β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} = βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž{π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)}
387 rabeq 3424 . . . . . . . . . . . 12 (βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž(β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) = ℝ β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž(β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)})
388168, 387syl 17 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ {π‘₯ ∈ βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž(β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)})
389386, 388eqtr3id 2791 . . . . . . . . . 10 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž{π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)})
390389ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž{π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)})
391176notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β„Ž ∈ dom ∫1 ∧ π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) β†’ (Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ↔ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑))
392391rabbidva 3417 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ {π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} = {π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑})
393 inrab2 4272 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) = {π‘₯ ∈ (ℝ ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑}
394 rabeq 3424 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℝ ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) = (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) β†’ {π‘₯ ∈ (ℝ ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} = {π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑})
395184, 394syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ {π‘₯ ∈ (ℝ ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} = {π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑})
396393, 395eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) = {π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑})
397392, 396eqtr4d 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ {π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} = ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})))
398397ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) β†’ {π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} = ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})))
399 imaundi 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (◑𝐹 β€œ ({((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))} βˆͺ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))(,)+∞))) = ((◑𝐹 β€œ {((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))}) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))(,)+∞)))
40013, 19jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 ∈ ℝ+ β†’ ((𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) β‰  0))
401 redivcl 11881 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) β‰  0) β†’ (𝑑 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
4024013expb 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ ((𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) β‰  0)) β†’ (𝑑 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
403400, 402sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ (𝑑 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
404403ancoms 460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑑 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
405404adantll 713 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑑 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
406405, 203syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
407 peano2re 11335 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ β†’ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
408 reflcl 13708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
409406, 407, 4083syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
41013ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
411409, 410remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
412411rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3)) ∈ ℝ*)
413 pnfxr 11216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +∞ ∈ ℝ*
414413a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ +∞ ∈ ℝ*)
415 ltpnf 13048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3)) ∈ ℝ β†’ ((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3)) < +∞)
416411, 415syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3)) < +∞)
417 snunioo 13402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3)) < +∞) β†’ ({((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))} βˆͺ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))(,)+∞)) = (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))[,)+∞))
418412, 414, 416, 417syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ({((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))} βˆͺ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))(,)+∞)) = (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))[,)+∞))
419418imaeq2d 6018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ ({((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))} βˆͺ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))(,)+∞))) = (◑𝐹 β€œ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))[,)+∞)))
420399, 419eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((◑𝐹 β€œ {((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))}) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))(,)+∞))) = (◑𝐹 β€œ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))[,)+∞)))
421223imaeq1d 6017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))[,)+∞)) = (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))[,)+∞)))
422225mptpreima 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β€œ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))[,)+∞)}
423421, 422eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))[,)+∞)})
424423ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))[,)+∞)})
425406, 407syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
426425adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
427 flflp1 13719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) + 1)))
428426, 352, 427syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) + 1)))
429411adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
430 elicopnf 13369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3)) ∈ ℝ β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ ((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
431429, 430syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ ((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
432336biantrurd 534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ ∧ ((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯))))
433409adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
43468ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
435433, 336, 434lemuldivd 13013 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (πΉβ€˜π‘₯) ↔ (βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))))
436431, 432, 4353bitr2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ (βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≀ ((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))))
437406adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
438352, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
439 1red 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ ℝ)
440437, 438, 439ltadd1d 11755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) < (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) + 1)))
441428, 436, 4403bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) < (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3)))))
442295, 439, 438ltaddsubd 11762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) < (βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) ↔ (𝑑 / (𝑣 / 3)) < ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1)))
443441, 442bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ (𝑑 / (𝑣 / 3)) < ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1)))
444438, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
445292, 444, 434ltdivmul2d 13016 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((𝑑 / (𝑣 / 3)) < ((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) ↔ 𝑑 < (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))))
446444, 293remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
447292, 446ltnled 11309 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (𝑑 < (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ↔ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑))
448443, 445, 4473bitrd 305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) ∈ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑))
449448rabbidva 3417 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))[,)+∞)} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑})
450420, 424, 4493eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((◑𝐹 β€œ {((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))}) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))(,)+∞))) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑})
451230ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
452 mbfimasn 25012 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„ ∧ ((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ {((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
453451, 335, 411, 452syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ {((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
454 mbfima 25010 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:β„βŸΆβ„) β†’ (◑𝐹 β€œ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
455230, 4, 454syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
456455ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
457 unmbl 24917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((◑𝐹 β€œ {((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (◑𝐹 β€œ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol) β†’ ((◑𝐹 β€œ {((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))}) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom vol)
458453, 456, 457syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((◑𝐹 β€œ {((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))}) βˆͺ (◑𝐹 β€œ (((βŒŠβ€˜(((𝑑 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) Β· (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom vol)
459450, 458eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} ∈ dom vol)
460237, 459syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} ∈ dom vol)
461 inmbl 24922 . . . . . . . . . . . . 13 (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} ∈ dom vol ∧ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∈ dom vol) β†’ ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) ∈ dom vol)
462460, 244, 461syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) β†’ ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ 𝑑} ∩ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑})) ∈ dom vol)
463398, 462eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ran β„Ž) β†’ {π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∈ dom vol)
464463ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ βˆ€π‘‘ ∈ ran β„Ž{π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∈ dom vol)
465 finiunmbl 24924 . . . . . . . . . 10 ((ran β„Ž ∈ Fin ∧ βˆ€π‘‘ ∈ ran β„Ž{π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∈ dom vol) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž{π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∈ dom vol)
46641, 464, 465syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ βˆͺ 𝑑 ∈ ran β„Ž{π‘₯ ∈ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∈ dom vol)
467390, 466eqeltrrd 2839 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∈ dom vol)
468254imaeq1d 6017 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β—‘β„Ž β€œ {0}) = (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (β„Žβ€˜π‘₯)) β€œ {0}))
469256mptpreima 6195 . . . . . . . . . . . 12 (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (β„Žβ€˜π‘₯)) β€œ {0}) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0}}
470140elsn 4606 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0} ↔ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0)
471470rabbii 3416 . . . . . . . . . . . 12 {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0}} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0}
472469, 471eqtri 2765 . . . . . . . . . . 11 (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (β„Žβ€˜π‘₯)) β€œ {0}) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0}
473468, 472eqtrdi 2793 . . . . . . . . . 10 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β—‘β„Ž β€œ {0}) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0})
474 i1fima 25058 . . . . . . . . . 10 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β—‘β„Ž β€œ {0}) ∈ dom vol)
475473, 474eqeltrrd 2839 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0} ∈ dom vol)
476475ad2antlr 726 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0} ∈ dom vol)
477 unmbl 24917 . . . . . . . 8 (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∈ dom vol ∧ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0} ∈ dom vol) β†’ ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0}) ∈ dom vol)
478467, 476, 477syl2anc 585 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0}) ∈ dom vol)
479478adantr 482 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0}) ∈ dom vol)
480254imaeq1d 6017 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) = (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (β„Žβ€˜π‘₯)) β€œ {𝑑}))
481256mptpreima 6195 . . . . . . . . . 10 (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (β„Žβ€˜π‘₯)) β€œ {𝑑}) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {𝑑}}
482140elsn 4606 . . . . . . . . . . . 12 ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {𝑑} ↔ (β„Žβ€˜π‘₯) = 𝑑)
483 eqcom 2744 . . . . . . . . . . . 12 ((β„Žβ€˜π‘₯) = 𝑑 ↔ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯))
484482, 483bitri 275 . . . . . . . . . . 11 ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {𝑑} ↔ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯))
485484rabbii 3416 . . . . . . . . . 10 {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {𝑑}} = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)}
486481, 485eqtri 2765 . . . . . . . . 9 (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ (β„Žβ€˜π‘₯)) β€œ {𝑑}) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)}
487480, 486eqtrdi 2793 . . . . . . . 8 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)})
488487ad3antlr 730 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (β—‘β„Ž β€œ {𝑑}) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)})
489488, 243eqeltrrd 2839 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)} ∈ dom vol)
490 inmbl 24922 . . . . . 6 ((({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0}) ∈ dom vol ∧ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)} ∈ dom vol) β†’ (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)}) ∈ dom vol)
491479, 489, 490syl2anc 585 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)}) ∈ dom vol)
492 unmbl 24917 . . . . 5 (((({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)}) ∈ dom vol) β†’ ((({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))}) βˆͺ (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)})) ∈ dom vol)
493385, 491, 492syl2anc 585 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) β†’ ((({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))}) βˆͺ (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)})) ∈ dom vol)
494159, 493syl 17 . . 3 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) βˆ– {0})) β†’ ((({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3))}) βˆͺ (({π‘₯ ∈ ℝ ∣ Β¬ (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯)} βˆͺ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0}) ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ 𝑑 = (β„Žβ€˜π‘₯)})) ∈ dom vol)
495154, 494eqeltrid 2842 . 2 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) βˆ– {0})) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑}) ∈ dom vol)
496 mblvol 24910 . . . 4 ((β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑}) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑})) = (vol*β€˜(β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑})))
497495, 496syl 17 . . 3 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑})) = (vol*β€˜(β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑})))
498 eldifsn 4752 . . . . . 6 (𝑑 ∈ (ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) βˆ– {0}) ↔ (𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 β‰  0))
499157anim1d 612 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑑 ∈ ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) ∧ 𝑑 β‰  0) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑑 β‰  0)))
500498, 499biimtrid 241 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ (𝑑 ∈ (ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) βˆ– {0}) β†’ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑑 β‰  0)))
501500imdistani 570 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) βˆ– {0})) β†’ (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑑 β‰  0)))
502128a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑}) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑}})
503468, 469eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β—‘β„Ž β€œ {0}) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0}})
504502, 503ineq12d 4178 . . . . . . . . . 10 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑}) ∩ (β—‘β„Ž β€œ {0})) = ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑}} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0}}))
505 inrab 4271 . . . . . . . . . 10 ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑}} ∩ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0}}) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑} ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0})}
506504, 505eqtrdi 2793 . . . . . . . . 9 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑}) ∩ (β—‘β„Ž β€œ {0})) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑} ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0})})
507506ad3antlr 730 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑑 β‰  0)) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑}) ∩ (β—‘β„Ž β€œ {0})) = {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑} ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0})})
508144biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((β„Žβ€˜π‘₯) = 0 β†’ Β¬ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0)
509508intnand 490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((β„Žβ€˜π‘₯) = 0 β†’ Β¬ ((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0))
510509iffalsed 4502 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„Žβ€˜π‘₯) = 0 β†’ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) = (β„Žβ€˜π‘₯))
511 eqtr 2760 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) = (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0) β†’ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) = 0)
512510, 511mpancom 687 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β„Žβ€˜π‘₯) = 0 β†’ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) = 0)
513512adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 β‰  0 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0) β†’ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) = 0)
514 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑑 β‰  0 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0) β†’ 𝑑 β‰  0)
515514necomd 3000 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑑 β‰  0 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0) β†’ 0 β‰  𝑑)
516513, 515eqnetrd 3012 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑑 β‰  0 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) = 0) β†’ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) β‰  𝑑)
517516ex 414 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑑 β‰  0 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((β„Žβ€˜π‘₯) = 0 β†’ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) β‰  𝑑))
518 orcom 869 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Β¬ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑} ∨ Β¬ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0}) ↔ (Β¬ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0} ∨ Β¬ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑}))
519 ianor 981 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ (if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑} ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0}) ↔ (Β¬ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑} ∨ Β¬ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0}))
520 imor 852 . . . . . . . . . . . . . 14 (((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0} β†’ Β¬ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑}) ↔ (Β¬ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0} ∨ Β¬ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑}))
521518, 519, 5203bitr4i 303 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ (if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑} ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0}) ↔ ((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0} β†’ Β¬ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑}))
522142necon3bbii 2992 . . . . . . . . . . . . . 14 (Β¬ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑} ↔ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) β‰  𝑑)
523470, 522imbi12i 351 . . . . . . . . . . . . 13 (((β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0} β†’ Β¬ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑}) ↔ ((β„Žβ€˜π‘₯) = 0 β†’ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) β‰  𝑑))
524521, 523bitri 275 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ (if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑} ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0}) ↔ ((β„Žβ€˜π‘₯) = 0 β†’ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) β‰  𝑑))
525517, 524sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑑 β‰  0 ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ Β¬ (if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑} ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0}))
526525ralrimiva 3144 . . . . . . . . . 10 (𝑑 β‰  0 β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ Β¬ (if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑} ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0}))
527 rabeq0 4349 . . . . . . . . . 10 ({π‘₯ ∈ ℝ ∣ (if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑} ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0})} = βˆ… ↔ βˆ€π‘₯ ∈ ℝ Β¬ (if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑} ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0}))
528526, 527sylibr 233 . . . . . . . . 9 (𝑑 β‰  0 β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑} ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0})} = βˆ…)
529528ad2antll 728 . . . . . . . 8 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑑 β‰  0)) β†’ {π‘₯ ∈ ℝ ∣ (if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)) ∈ {𝑑} ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) ∈ {0})} = βˆ…)
530507, 529eqtrd 2777 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑑 β‰  0)) β†’ ((β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑}) ∩ (β—‘β„Ž β€œ {0})) = βˆ…)
531 imassrn 6029 . . . . . . . . 9 (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑}) βŠ† ran β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)))
532 dfdm4 5856 . . . . . . . . . 10 dom (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) = ran β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯)))
533141, 127dmmpti 6650 . . . . . . . . . 10 dom (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) = ℝ
534532, 533eqtr3i 2767 . . . . . . . . 9 ran β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) = ℝ
535531, 534sseqtri 3985 . . . . . . . 8 (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑}) βŠ† ℝ
536 reldisj 4416 . . . . . . . 8 ((β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑}) βŠ† ℝ β†’ (((β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑}) ∩ (β—‘β„Ž β€œ {0})) = βˆ… ↔ (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑}) βŠ† (ℝ βˆ– (β—‘β„Ž β€œ {0}))))
537535, 536ax-mp 5 . . . . . . 7 (((β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑}) ∩ (β—‘β„Ž β€œ {0})) = βˆ… ↔ (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑}) βŠ† (ℝ βˆ– (β—‘β„Ž β€œ {0})))
538530, 537sylib 217 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑑 β‰  0)) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑}) βŠ† (ℝ βˆ– (β—‘β„Ž β€œ {0})))
539 ffun 6676 . . . . . . . . . 10 (β„Ž:β„βŸΆβ„ β†’ Fun β„Ž)
540 difpreima 7020 . . . . . . . . . 10 (Fun β„Ž β†’ (β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0})) = ((β—‘β„Ž β€œ ran β„Ž) βˆ– (β—‘β„Ž β€œ {0})))
541539, 540syl 17 . . . . . . . . 9 (β„Ž:β„βŸΆβ„ β†’ (β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0})) = ((β—‘β„Ž β€œ ran β„Ž) βˆ– (β—‘β„Ž β€œ {0})))
542 fdm 6682 . . . . . . . . . . 11 (β„Ž:β„βŸΆβ„ β†’ dom β„Ž = ℝ)
543161, 542eqtrid 2789 . . . . . . . . . 10 (β„Ž:β„βŸΆβ„ β†’ (β—‘β„Ž β€œ ran β„Ž) = ℝ)
544543difeq1d 4086 . . . . . . . . 9 (β„Ž:β„βŸΆβ„ β†’ ((β—‘β„Ž β€œ ran β„Ž) βˆ– (β—‘β„Ž β€œ {0})) = (ℝ βˆ– (β—‘β„Ž β€œ {0})))
545541, 544eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (β„Ž:β„βŸΆβ„ β†’ (β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0})) = (ℝ βˆ– (β—‘β„Ž β€œ {0})))
54627, 545syl 17 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0})) = (ℝ βˆ– (β—‘β„Ž β€œ {0})))
547546ad3antlr 730 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑑 β‰  0)) β†’ (β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0})) = (ℝ βˆ– (β—‘β„Ž β€œ {0})))
548538, 547sseqtrrd 3990 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑑 β‰  0)) β†’ (β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑}) βŠ† (β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0})))
549 imassrn 6029 . . . . . . 7 (β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0})) βŠ† ran β—‘β„Ž
550549, 181sseqtrid 4001 . . . . . 6 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0})) βŠ† ℝ)
551550ad3antlr 730 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑑 β‰  0)) β†’ (β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0})) βŠ† ℝ)
552 i1fima 25058 . . . . . . . 8 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0})) ∈ dom vol)
553 mblvol 24910 . . . . . . . 8 ((β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0})) ∈ dom vol β†’ (volβ€˜(β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0}))) = (vol*β€˜(β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0}))))
554552, 553syl 17 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (volβ€˜(β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0}))) = (vol*β€˜(β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0}))))
555 neldifsn 4757 . . . . . . . 8 Β¬ 0 ∈ (ran β„Ž βˆ– {0})
556 i1fima2 25059 . . . . . . . 8 ((β„Ž ∈ dom ∫1 ∧ Β¬ 0 ∈ (ran β„Ž βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
557555, 556mpan2 690 . . . . . . 7 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (volβ€˜(β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
558554, 557eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (β„Ž ∈ dom ∫1 β†’ (vol*β€˜(β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
559558ad3antlr 730 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑑 β‰  0)) β†’ (vol*β€˜(β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0}))) ∈ ℝ)
560 ovolsscl 24866 . . . . 5 (((β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑}) βŠ† (β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0})) ∧ (β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0})) βŠ† ℝ ∧ (vol*β€˜(β—‘β„Ž β€œ (ran β„Ž βˆ– {0}))) ∈ ℝ) β†’ (vol*β€˜(β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑})) ∈ ℝ)
561548, 551, 559, 560syl3anc 1372 . . . 4 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑑 ∈ ℝ ∧ 𝑑 β‰  0)) β†’ (vol*β€˜(β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑})) ∈ ℝ)
562501, 561syl 17 . . 3 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) βˆ– {0})) β†’ (vol*β€˜(β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑})) ∈ ℝ)
563497, 562eqeltrd 2838 . 2 ((((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑑 ∈ (ran (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) βˆ– {0})) β†’ (volβ€˜(β—‘(π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) β€œ {𝑑})) ∈ ℝ)
56431, 126, 495, 563i1fd 25061 1 (((πœ‘ ∧ β„Ž ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ ↦ if(((((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)) ≀ (β„Žβ€˜π‘₯) ∧ (β„Žβ€˜π‘₯) β‰  0), (((βŒŠβ€˜((πΉβ€˜π‘₯) / (𝑣 / 3))) βˆ’ 1) Β· (𝑣 / 3)), (β„Žβ€˜π‘₯))) ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   βˆͺ cun 3913   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  ifcif 4491  {csn 4591  βˆͺ ciun 4959   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  β—‘ccnv 5637  dom cdm 5638  ran crn 5639   β€œ cima 5641  Fun wfun 6495   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€“ontoβ†’wfo 6499  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Fincfn 8890  supcsup 9383  β„‚cc 11056  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  +∞cpnf 11193  -∞cmnf 11194  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392  -cneg 11393   / cdiv 11819  β„•cn 12160  3c3 12216  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„+crp 12922  (,)cioo 13271  [,)cico 13273  ...cfz 13431  βŒŠcfl 13702  vol*covol 24842  volcvol 24843  MblFncmbf 24994  βˆ«1citg1 24995
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-sum 15578  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000
This theorem is referenced by:  itg2addnclem3  36160
  Copyright terms: Public domain W3C validator