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Theorem itg2addnclem2 35838
Description: Lemma for itg2addnc 35840. The function described is a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
itg2addnc.f1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
itg2addnc.f2 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
itg2addnclem2 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∈ dom ∫1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑣,,𝐹   𝜑,𝑣,𝑥,

Proof of Theorem itg2addnclem2
Dummy variables 𝑡 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 itg2addnc.f2 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2 rge0ssre 13197 . . . . . . . . . . 11 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
3 fss 6626 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
41, 2, 3sylancl 586 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐹:ℝ⟶ℝ)
54ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
65ffvelrnda 6970 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
7 rpre 12747 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ℝ+𝑣 ∈ ℝ)
8 3re 12062 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℝ
9 3ne0 12088 . . . . . . . . . . 11 3 ≠ 0
108, 9pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)
11 redivcl 11703 . . . . . . . . . . 11 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
12113expb 1119 . . . . . . . . . 10 ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
137, 10, 12sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
1413ad2antlr 724 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
15 rpcnne0 12757 . . . . . . . . . 10 (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0))
16 3cn 12063 . . . . . . . . . . 11 3 ∈ ℂ
1716, 9pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
18 divne0 11654 . . . . . . . . . 10 (((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
1915, 17, 18sylancl 586 . . . . . . . . 9 (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ≠ 0)
2019ad2antlr 724 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
216, 14, 20redivcld 11812 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
22 reflcl 13525 . . . . . . 7 (((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
2321, 22syl 17 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
24 peano2rem 11297 . . . . . 6 ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
2523, 24syl 17 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
2625, 14remulcld 11014 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
27 i1ff 24849 . . . . . 6 ( ∈ dom ∫1:ℝ⟶ℝ)
2827ad2antlr 724 . . . . 5 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → :ℝ⟶ℝ)
2928ffvelrnda 6970 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ ℝ)
3026, 29ifcld 4506 . . 3 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ ℝ)
3130fmpttd 6998 . 2 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))):ℝ⟶ℝ)
32 fzfi 13701 . . . . 5 (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin
33 ovex 7317 . . . . . . 7 ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V
34 eqid 2739 . . . . . . 7 (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) = (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
3533, 34fnmpti 6585 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
36 dffn4 6703 . . . . . 6 ((𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
3735, 36mpbi 229 . . . . 5 (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
38 fofi 9114 . . . . 5 (((0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin ∧ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) → ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin)
3932, 37, 38mp2an 689 . . . 4 ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin
40 i1frn 24850 . . . . 5 ( ∈ dom ∫1 → ran ∈ Fin)
4140ad2antlr 724 . . . 4 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran ∈ Fin)
42 unfi 8964 . . . 4 ((ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin ∧ ran ∈ Fin) → (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ) ∈ Fin)
4339, 41, 42sylancr 587 . . 3 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ) ∈ Fin)
44 0zd 12340 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → 0 ∈ ℤ)
4527frnd 6617 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → ran ⊆ ℝ)
46 i1f0rn 24855 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran )
47 elex2 2819 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ran → ∃𝑥 𝑥 ∈ ran )
4846, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ dom ∫1 → ∃𝑥 𝑥 ∈ ran )
49 n0 4281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ran ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ran )
5048, 49sylibr 233 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → ran ≠ ∅)
51 fimaxre2 11929 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((ran ⊆ ℝ ∧ ran ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥)
5245, 40, 51syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥)
53 suprcl 11944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ran ⊆ ℝ ∧ ran ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥) → sup(ran , ℝ, < ) ∈ ℝ)
5445, 50, 52, 53syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 → sup(ran , ℝ, < ) ∈ ℝ)
5554ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → sup(ran , ℝ, < ) ∈ ℝ)
5655, 14, 20redivcld 11812 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
57 peano2re 11157 . . . . . . . . . . . . 13 ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
59 ceicl 13570 . . . . . . . . . . . 12 (((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
6160adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
6221flcld 13527 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
6362adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
64 3nn 12061 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 3 ∈ ℕ
65 nnrp 12750 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ+
67 rpdivcl 12764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
6866, 67mpan2 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
6968ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
701ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
7170ffvelrnda 6970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞))
72 elrege0 13195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
7371, 72sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹𝑥)))
7473simprd 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹𝑥))
756, 69, 74divge0d 12821 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))
76 flge0nn0 13549 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℕ0)
7721, 75, 76syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℕ0)
7877nn0ge0d 12305 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
7978adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
8045, 50, 523jca 1127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 → (ran ⊆ ℝ ∧ ran ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥))
8180ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ran ⊆ ℝ ∧ ran ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥))
82 ffn 6609 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (:ℝ⟶ℝ → Fn ℝ)
8327, 82syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ dom ∫1 Fn ℝ)
84 dffn3 6622 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( Fn ℝ ↔ :ℝ⟶ran )
8583, 84sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1:ℝ⟶ran )
8685ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → :ℝ⟶ran )
8786ffvelrnda 6970 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ ran )
88 suprub 11945 . . . . . . . . . . . . . 14 (((ran ⊆ ℝ ∧ ran ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran 𝑦𝑥) ∧ (𝑥) ∈ ran ) → (𝑥) ≤ sup(ran , ℝ, < ))
8981, 87, 88syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ≤ sup(ran , ℝ, < ))
90 letr 11078 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ (𝑥) ∈ ℝ ∧ sup(ran , ℝ, < ) ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≤ sup(ran , ℝ, < )) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran , ℝ, < )))
9126, 29, 55, 90syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≤ sup(ran , ℝ, < )) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran , ℝ, < )))
9225, 55, 69lemuldivd 12830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran , ℝ, < ) ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3))))
93 1red 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
9423, 93, 56lesubaddd 11581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
9592, 94bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran , ℝ, < ) ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
96 ceige 13573 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
9758, 96syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
9860zred 12435 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
99 letr 11078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ ∧ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ ∧ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
10023, 58, 98, 99syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
10197, 100mpan2d 691 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
10295, 101sylbid 239 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran , ℝ, < ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
10391, 102syld 47 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≤ sup(ran , ℝ, < )) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
10489, 103mpan2d 691 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
105104adantrd 492 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
106105imp 407 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
10744, 61, 63, 79, 106elfzd 13256 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
108 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))
109 oveq1 7291 . . . . . . . . . . 11 (𝑡 = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) → (𝑡 − 1) = ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))
110109oveq1d 7299 . . . . . . . . . 10 (𝑡 = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) → ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))
111110rspceeqv 3576 . . . . . . . . 9 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∧ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) → ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
112107, 108, 111sylancl 586 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
113 ovex 7317 . . . . . . . . 9 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V
11434elrnmpt 5868 . . . . . . . . 9 ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
115113, 114ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
116112, 115sylibr 233 . . . . . . 7 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
117 elun1 4111 . . . . . . 7 ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
118116, 117syl 17 . . . . . 6 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
119 elun2 4112 . . . . . . . 8 ((𝑥) ∈ ran → (𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
12087, 119syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
121120adantr 481 . . . . . 6 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)) → (𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
122118, 121ifclda 4495 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
123122fmpttd 6998 . . . 4 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))):ℝ⟶(ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
124123frnd 6617 . . 3 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ))
125 ssfi 8965 . . 3 (((ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ) ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran , ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran )) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∈ Fin)
12643, 124, 125syl2anc 584 . 2 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∈ Fin)
127 eqid 2739 . . . . 5 (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)))
128127mptpreima 6146 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}}
129 unrab 4240 . . . . 5 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥)))}
130 inrab 4241 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)}
131130ineq1i 4143 . . . . . . 7 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))})
132 inrab 4241 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))}
133131, 132eqtri 2767 . . . . . 6 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))}
134 unrab 4240 . . . . . . . 8 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0)}
135134ineq1i 4143 . . . . . . 7 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})
136 inrab 4241 . . . . . . 7 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))}
137135, 136eqtri 2767 . . . . . 6 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))}
138133, 137uneq12i 4096 . . . . 5 ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))})
139 eqcom 2746 . . . . . . 7 (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = 𝑡𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)))
140 fvex 6796 . . . . . . . . 9 (𝑥) ∈ V
141113, 140ifex 4510 . . . . . . . 8 if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ V
142141elsn 4577 . . . . . . 7 (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = 𝑡)
143 ianor 979 . . . . . . . . . . 11 (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ ¬ (𝑥) ≠ 0))
144 nne 2948 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (𝑥) ≠ 0 ↔ (𝑥) = 0)
145144orbi2i 910 . . . . . . . . . . 11 ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ ¬ (𝑥) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0))
146143, 145bitr2i 275 . . . . . . . . . 10 ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ↔ ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0))
147146anbi1i 624 . . . . . . . . 9 (((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥)) ↔ (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (𝑥)))
148147orbi2i 910 . . . . . . . 8 (((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))) ↔ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))))
149 eqif 4501 . . . . . . . 8 (𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ↔ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))))
150148, 149bitr4i 277 . . . . . . 7 (((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))) ↔ 𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)))
151139, 142, 1503bitr4i 303 . . . . . 6 (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥))))
152151rabbii 3409 . . . . 5 {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∨ (𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (𝑥)))}
153129, 138, 1523eqtr4ri 2778 . . . 4 {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}} = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}))
154128, 153eqtri 2767 . . 3 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}))
155 eldifi 4062 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))))
15631frnd 6617 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ⊆ ℝ)
157156sseld 3921 . . . . . 6 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) → 𝑡 ∈ ℝ))
158155, 157syl5 34 . . . . 5 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ℝ))
159158imdistani 569 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ))
160 rabiun 35759 . . . . . . . . . 10 {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)}
161 cnvimarndm 5993 . . . . . . . . . . . . . 14 ( “ ran ) = dom
162 iunid 4991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑡 ∈ ran {𝑡} = ran
163162imaeq2i 5970 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑡 ∈ ran {𝑡}) = ( “ ran )
164 imaiun 7127 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( 𝑡 ∈ ran {𝑡}) = 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡})
165163, 164eqtr3i 2769 . . . . . . . . . . . . . 14 ( “ ran ) = 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡})
166161, 165eqtr3i 2769 . . . . . . . . . . . . 13 dom = 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡})
16727fdmd 6620 . . . . . . . . . . . . 13 ( ∈ dom ∫1 → dom = ℝ)
168166, 167eqtr3id 2793 . . . . . . . . . . . 12 ( ∈ dom ∫1 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) = ℝ)
169168ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) = ℝ)
170 rabeq 3419 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
171169, 170syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
172160, 171eqtr3id 2793 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
173 fniniseg 6946 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( Fn ℝ → (𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥) = 𝑡)))
17427, 82, 1733syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑥) = 𝑡)))
175174simplbda 500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ( “ {𝑡})) → (𝑥) = 𝑡)
176175breq2d 5087 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ( “ {𝑡})) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ↔ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
177176rabbidva 3414 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
178 inrab2 4242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}
179 imassrn 5983 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( “ {𝑡}) ⊆ ran
180 dfdm4 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 dom = ran
181180, 167eqtr3id 2793 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ( ∈ dom ∫1 → ran = ℝ)
182179, 181sseqtrid 3974 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {𝑡}) ⊆ ℝ)
183 sseqin2 4150 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (( “ {𝑡}) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) = ( “ {𝑡}))
184182, 183sylib 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) = ( “ {𝑡}))
185 rabeq 3419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℝ ∩ ( “ {𝑡})) = ( “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
186184, 185syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
187178, 186eqtrid 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ dom ∫1 → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
188177, 187eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . . . 13 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})))
189188ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})))
19025adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
19145ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran ⊆ ℝ)
192191sselda 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → 𝑡 ∈ ℝ)
193192adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
19468ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
195190, 193, 194lemuldivd 12830 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3))))
19623adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
197 1red 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
19813ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
19919ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
200193, 198, 199redivcld 11812 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
201196, 197, 200lesubaddd 11581 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)))
2026adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
203 peano2re 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
204200, 203syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
205 reflcl 13525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
206204, 205syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
207 peano2re 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
208206, 207syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
209202, 208, 194ltdivmuld 12832 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ↔ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))
21021adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
211 flflp1 13536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))
212210, 204, 211syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))
213198, 208remulcld 11014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ)
214213rexrd 11034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ*)
215 elioomnf 13185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ* → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
216214, 215syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
217202biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
218216, 217bitr4d 281 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))
219209, 212, 2183bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
220195, 201, 2193bitrd 305 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
221220rabbidva 3414 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
2221feqmptd 6846 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
223222cnveqd 5787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
224223imaeq1d 5971 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
225 eqid 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥))
226225mptpreima 6146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))}
227224, 226eqtrdi 2795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
228227ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
229221, 228eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
230 itg2addnc.f1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
231 mbfima 24803 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
232230, 4, 231syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
233232ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → (𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
234229, 233eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
23545sseld 3921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ran 𝑡 ∈ ℝ))
236235ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ ran 𝑡 ∈ ℝ))
237236imdistani 569 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ))
238 i1fmbf 24848 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ( ∈ dom ∫1 ∈ MblFn)
239238, 27jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( ∈ dom ∫1 → ( ∈ MblFn ∧ :ℝ⟶ℝ))
240239ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ( ∈ MblFn ∧ :ℝ⟶ℝ))
241 mbfimasn 24805 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (( ∈ MblFn ∧ :ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( “ {𝑡}) ∈ dom vol)
2422413expa 1117 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((( ∈ MblFn ∧ :ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( “ {𝑡}) ∈ dom vol)
243240, 242sylan 580 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( “ {𝑡}) ∈ dom vol)
244237, 243syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → ( “ {𝑡}) ∈ dom vol)
245 inmbl 24715 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ ( “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) ∈ dom vol)
246234, 244, 245syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) ∈ dom vol)
247189, 246eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
248247ralrimiva 3104 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
249 finiunmbl 24717 . . . . . . . . . 10 ((ran ∈ Fin ∧ ∀𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
25041, 248, 249syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
251172, 250eqeltrrd 2841 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
252 unrab 4240 . . . . . . . . . . 11 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞))}
25327feqmptd 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)))
254253cnveqd 5787 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ dom ∫1 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)))
255254imaeq1d 5971 . . . . . . . . . . . . 13 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (-∞(,)0)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ (-∞(,)0)))
256 eqid 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥))
257256mptpreima 6146 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (-∞(,)0)}
258255, 257eqtrdi 2795 . . . . . . . . . . . 12 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (-∞(,)0)})
259254imaeq1d 5971 . . . . . . . . . . . . 13 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (0(,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ (0(,)+∞)))
260256mptpreima 6146 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)}
261259, 260eqtrdi 2795 . . . . . . . . . . . 12 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)})
262258, 261uneq12d 4099 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → (( “ (-∞(,)0)) ∪ ( “ (0(,)+∞))) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)}))
26327ffvelrnda 6970 . . . . . . . . . . . . 13 (( ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥) ∈ ℝ)
264 0re 10986 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 ∈ ℝ
265 lttri2 11066 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥))))
266264, 265mpan2 688 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥) ∈ ℝ → ((𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥))))
267 ibar 529 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥) ∈ ℝ → (((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥)) ↔ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥)))))
268 andi 1005 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥))) ↔ (((𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥) < 0) ∨ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥))))
269 0xr 11031 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ ℝ*
270 elioomnf 13185 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℝ* → ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ↔ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥) < 0)))
271 elioopnf 13184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (0 ∈ ℝ* → ((𝑥) ∈ (0(,)+∞) ↔ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥))))
272270, 271orbi12d 916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (0 ∈ ℝ* → (((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥) < 0) ∨ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥)))))
273269, 272ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝑥) < 0) ∨ ((𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑥))))
274268, 273bitr4i 277 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑥) ∈ ℝ ∧ ((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥))) ↔ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞)))
275267, 274bitrdi 287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥) ∈ ℝ → (((𝑥) < 0 ∨ 0 < (𝑥)) ↔ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
276266, 275bitrd 278 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥) ∈ ℝ → ((𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
277263, 276syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (( ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥) ≠ 0 ↔ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
278277rabbidva 3414 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (𝑥) ∈ (0(,)+∞))})
279252, 262, 2783eqtr4a 2805 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 → (( “ (-∞(,)0)) ∪ ( “ (0(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0})
280 i1fima 24851 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (-∞(,)0)) ∈ dom vol)
281 i1fima 24851 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (0(,)+∞)) ∈ dom vol)
282 unmbl 24710 . . . . . . . . . . 11 ((( “ (-∞(,)0)) ∈ dom vol ∧ ( “ (0(,)+∞)) ∈ dom vol) → (( “ (-∞(,)0)) ∪ ( “ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
283280, 281, 282syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 → (( “ (-∞(,)0)) ∪ ( “ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
284279, 283eqeltrrd 2841 . . . . . . . . 9 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol)
285284ad2antlr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol)
286 inmbl 24715 . . . . . . . 8 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
287251, 285, 286syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
288287adantr 481 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
28923recnd 11012 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ)
290289adantlr 712 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ)
291 1cnd 10979 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
292 simplr 766 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
29313ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
29419ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
295292, 293, 294redivcld 11812 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
296295recnd 11012 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℂ)
297290, 291, 296subadd2d 11360 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))))
298 eqcom 2746 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))
299 recn 10970 . . . . . . . . . . . 12 (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
300299ad2antlr 724 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
30125recnd 11012 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℂ)
302301adantlr 712 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℂ)
30313recnd 11012 . . . . . . . . . . . 12 (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
304303ad3antlr 728 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
305300, 302, 304, 294divmul3d 11794 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
306298, 305syl5bb 283 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
307297, 306bitr3d 280 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
308307rabbidva 3414 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))})
309 imaundi 6058 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = ((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
310223ad4antr 729 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)))
311 zre 12332 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
312311adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
31313ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
314312, 313remulcld 11014 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
315314rexrd 11034 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ*)
316 peano2z 12370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℤ)
317316zred 12435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
318317adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
319313, 318remulcld 11014 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
320319rexrd 11034 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*)
321 zcn 12333 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ)
322321adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ)
323303ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
324322, 323mulcomd 11005 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)))
32568ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
326311ltp1d 11914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
327326adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
328312, 318, 325, 327ltmul2dd 12837 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
329324, 328eqbrtrd 5097 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
330 snunioo 13219 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ* ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
331315, 320, 329, 330syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
332310, 331imaeq12d 5973 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
333309, 332eqtr3id 2793 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
334225mptpreima 6146 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))}
3354ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
336335ffvelrnda 6970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
3373363biant1d 1477 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
338337adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
339311adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
340336adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
34168ad4antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
342339, 340, 341lemuldivd 12830 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
343317adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
344340, 343, 341ltdivmuld 12832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ↔ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
345344bicomd 222 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ↔ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
346342, 345anbi12d 631 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
347338, 346bitr3d 280 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
348 elico2 13152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
349314, 320, 348syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
350349adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ∧ (𝐹𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
351 eqcom 2746 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1))
35221adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
353 flbi 13545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
354352, 353sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
355351, 354syl5bb 283 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
356347, 350, 3553bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))))
357356an32s 649 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))))
358357rabbidva 3414 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))})
359334, 358eqtrid 2791 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))})
360333, 359eqtrd 2779 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))})
361230ad4antr 729 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹 ∈ MblFn)
3624ad4antr 729 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
363 mbfimasn 24805 . . . . . . . . . . 11 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → (𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
364361, 362, 314, 363syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
365 mbfima 24803 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
366230, 4, 365syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
367366ad4antr 729 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
368 unmbl 24710 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom vol)
369364, 367, 368syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom vol)
370360, 369eqeltrrd 2841 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
371 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
372352flcld 13527 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
373372adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
374371, 373eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ)
375374stoic1a 1775 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
376375an32s 649 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
377376ralrimiva 3104 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
378 rabeq0 4319 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
379377, 378sylibr 233 . . . . . . . . 9 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅)
380 0mbl 24712 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ dom vol
381379, 380eqeltrdi 2848 . . . . . . . 8 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
382370, 381pm2.61dan 810 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
383308, 382eqeltrrd 2841 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom vol)
384 inmbl 24715 . . . . . 6 ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom vol) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
385288, 383, 384syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
386 rabiun 35759 . . . . . . . . . . 11 {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)}
387 rabeq 3419 . . . . . . . . . . . 12 ( 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
388168, 387syl 17 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 𝑡 ∈ ran ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
389386, 388eqtr3id 2793 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
390389ad2antlr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)})
391176notbid 318 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( ∈ dom ∫1𝑥 ∈ ( “ {𝑡})) → (¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
392391rabbidva 3414 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
393 inrab2 4242 . . . . . . . . . . . . . . 15 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}
394 rabeq 3419 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℝ ∩ ( “ {𝑡})) = ( “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
395184, 394syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ ( “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
396393, 395eqtrid 2791 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ∈ dom ∫1 → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
397392, 396eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . . . 13 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})))
398397ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})))
399 imaundi 6058 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = ((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)))
40013, 19jca 512 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 (𝑣 ∈ ℝ+ → ((𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0))
401 redivcl 11703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
4024013expb 1119 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ((𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0)) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
403400, 402sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
404403ancoms 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑣 ∈ ℝ+𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
405404adantll 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
406405, 203syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
407 peano2re 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
408 reflcl 13525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
409406, 407, 4083syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
41013ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
411409, 410remulcld 11014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
412411rexrd 11034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ*)
413 pnfxr 11038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 +∞ ∈ ℝ*
414413a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
415 ltpnf 12865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞)
416411, 415syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞)
417 snunioo 13219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞) → ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞))
418412, 414, 416, 417syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞))
419418imaeq2d 5972 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
420399, 419eqtr3id 2793 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
421223imaeq1d 5971 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
422225mptpreima 6146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)}
423421, 422eqtrdi 2795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)})
424423ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)})
425406, 407syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
426425adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
427 flflp1 13536 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
428426, 352, 427syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
429411adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
430 elicopnf 13186 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥))))
431429, 430syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥))))
432336biantrurd 533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ↔ ((𝐹𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥))))
433409adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
43468ad3antlr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
435433, 336, 434lemuldivd 12830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹𝑥) ↔ (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
436431, 432, 4353bitr2d 307 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))))
437406adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
438352, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
439 1red 10985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
440437, 438, 439ltadd1d 11577 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
441428, 436, 4403bitr4d 311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3)))))
442295, 439, 438ltaddsubd 11584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)))
443441, 442bitrd 278 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)))
444438, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
445292, 444, 434ltdivmul2d 12833 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 < (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
446444, 293remulcld 11014 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
447292, 446ltnled 11131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 < (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
448443, 445, 4473bitrd 305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
449448rabbidva 3414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
450420, 424, 4493eqtrd 2783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
451230ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ MblFn)
452 mbfimasn 24805 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → (𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
453451, 335, 411, 452syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
454 mbfima 24803 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
455230, 4, 454syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
456455ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
457 unmbl 24710 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom vol)
458453, 456, 457syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom vol)
459450, 458eqeltrrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
460237, 459syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
461 inmbl 24715 . . . . . . . . . . . . 13 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ ( “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) ∈ dom vol)
462460, 244, 461syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ ( “ {𝑡})) ∈ dom vol)
463398, 462eqeltrd 2840 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ) → {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
464463ralrimiva 3104 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
465 finiunmbl 24717 . . . . . . . . . 10 ((ran ∈ Fin ∧ ∀𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
46641, 464, 465syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝑡 ∈ ran {𝑥 ∈ ( “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
467390, 466eqeltrrd 2841 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol)
468254imaeq1d 5971 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {0}) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {0}))
469256mptpreima 6146 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {0}}
470140elsn 4577 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥) ∈ {0} ↔ (𝑥) = 0)
471470rabbii 3409 . . . . . . . . . . . 12 {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {0}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}
472469, 471eqtri 2767 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}
473468, 472eqtrdi 2795 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0})
474 i1fima 24851 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {0}) ∈ dom vol)
475473, 474eqeltrrd 2841 . . . . . . . . 9 ( ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0} ∈ dom vol)
476475ad2antlr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0} ∈ dom vol)
477 unmbl 24710 . . . . . . . 8 (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
478467, 476, 477syl2anc 584 . . . . . . 7 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
479478adantr 481 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
480254imaeq1d 5971 . . . . . . . . 9 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {𝑡}) = ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {𝑡}))
481256mptpreima 6146 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {𝑡}}
482140elsn 4577 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥) ∈ {𝑡} ↔ (𝑥) = 𝑡)
483 eqcom 2746 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥) = 𝑡𝑡 = (𝑥))
484482, 483bitri 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥) ∈ {𝑡} ↔ 𝑡 = (𝑥))
485484rabbii 3409 . . . . . . . . . 10 {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}
486481, 485eqtri 2767 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}
487480, 486eqtrdi 2795 . . . . . . . 8 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})
488487ad3antlr 728 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ( “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})
489488, 243eqeltrrd 2841 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)} ∈ dom vol)
490 inmbl 24715 . . . . . 6 ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)} ∈ dom vol) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) ∈ dom vol)
491479, 489, 490syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) ∈ dom vol)
492 unmbl 24710 . . . . 5 (((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)}) ∈ dom vol) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})) ∈ dom vol)
493385, 491, 492syl2anc 584 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})) ∈ dom vol)
494159, 493syl 17 . . 3 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (𝑥)})) ∈ dom vol)
495154, 494eqeltrid 2844 . 2 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol)
496 mblvol 24703 . . . 4 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol → (vol‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})))
497495, 496syl 17 . . 3 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})))
498 eldifsn 4721 . . . . . 6 (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0}) ↔ (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0))
499157anim1d 611 . . . . . 6 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ((𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
500498, 499syl5bi 241 . . . . 5 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0}) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
501500imdistani 569 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
502128a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}})
503468, 469eqtrdi 2795 . . . . . . . . . . 11 ( ∈ dom ∫1 → ( “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {0}})
504502, 503ineq12d 4148 . . . . . . . . . 10 ( ∈ dom ∫1 → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {0}}))
505 inrab 4241 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥) ∈ {0}}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})}
506504, 505eqtrdi 2795 . . . . . . . . 9 ( ∈ dom ∫1 → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})})
507506ad3antlr 728 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})})
508144biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥) = 0 → ¬ (𝑥) ≠ 0)
509508intnand 489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥) = 0 → ¬ ((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0))
510509iffalsed 4471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = (𝑥))
511 eqtr 2762 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = (𝑥) ∧ (𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = 0)
512510, 511mpancom 685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = 0)
513512adantl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) = 0)
514 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥) = 0) → 𝑡 ≠ 0)
515514necomd 3000 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥) = 0) → 0 ≠ 𝑡)
516513, 515eqnetrd 3012 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ≠ 𝑡)
517516ex 413 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ≠ 𝑡))
518 orcom 867 . . . . . . . . . . . . . 14 ((¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬ (𝑥) ∈ {0} ∨ ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}))
519 ianor 979 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (𝑥) ∈ {0}))
520 imor 850 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ (¬ (𝑥) ∈ {0} ∨ ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}))
521518, 519, 5203bitr4i 303 . . . . . . . . . . . . 13 (¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}) ↔ ((𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}))
522142necon3bbii 2992 . . . . . . . . . . . . . 14 (¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ≠ 𝑡)
523470, 522imbi12i 351 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ ((𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ≠ 𝑡))
524521, 523bitri 274 . . . . . . . . . . . 12 (¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}) ↔ ((𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ≠ 𝑡))
525517, 524sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}))
526525ralrimiva 3104 . . . . . . . . . 10 (𝑡 ≠ 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}))
527 rabeq0 4319 . . . . . . . . . 10 ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0}))
528526, 527sylibr 233 . . . . . . . . 9 (𝑡 ≠ 0 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})} = ∅)
529528ad2antll 726 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (𝑥) ∈ {0})} = ∅)
530507, 529eqtrd 2779 . . . . . . 7 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = ∅)
531 imassrn 5983 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)))
532 dfdm4 5807 . . . . . . . . . 10 dom (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) = ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥)))
533141, 127dmmpti 6586 . . . . . . . . . 10 dom (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) = ℝ
534532, 533eqtr3i 2769 . . . . . . . . 9 ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) = ℝ
535531, 534sseqtri 3958 . . . . . . . 8 ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ
536 reldisj 4386 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ → ((((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = ∅ ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ ( “ {0}))))
537535, 536ax-mp 5 . . . . . . 7 ((((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ∩ ( “ {0})) = ∅ ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ ( “ {0})))
538530, 537sylib 217 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ ( “ {0})))
539 ffun 6612 . . . . . . . . . 10 (:ℝ⟶ℝ → Fun )
540 difpreima 6951 . . . . . . . . . 10 (Fun → ( “ (ran ∖ {0})) = (( “ ran ) ∖ ( “ {0})))
541539, 540syl 17 . . . . . . . . 9 (:ℝ⟶ℝ → ( “ (ran ∖ {0})) = (( “ ran ) ∖ ( “ {0})))
542 fdm 6618 . . . . . . . . . . 11 (:ℝ⟶ℝ → dom = ℝ)
543161, 542eqtrid 2791 . . . . . . . . . 10 (:ℝ⟶ℝ → ( “ ran ) = ℝ)
544543difeq1d 4057 . . . . . . . . 9 (:ℝ⟶ℝ → (( “ ran ) ∖ ( “ {0})) = (ℝ ∖ ( “ {0})))
545541, 544eqtrd 2779 . . . . . . . 8 (:ℝ⟶ℝ → ( “ (ran ∖ {0})) = (ℝ ∖ ( “ {0})))
54627, 545syl 17 . . . . . . 7 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (ran ∖ {0})) = (ℝ ∖ ( “ {0})))
547546ad3antlr 728 . . . . . 6 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ( “ (ran ∖ {0})) = (ℝ ∖ ( “ {0})))
548538, 547sseqtrrd 3963 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ( “ (ran ∖ {0})))
549 imassrn 5983 . . . . . . 7 ( “ (ran ∖ {0})) ⊆ ran
550549, 181sseqtrid 3974 . . . . . 6 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (ran ∖ {0})) ⊆ ℝ)
551550ad3antlr 728 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ( “ (ran ∖ {0})) ⊆ ℝ)
552 i1fima 24851 . . . . . . . 8 ( ∈ dom ∫1 → ( “ (ran ∖ {0})) ∈ dom vol)
553 mblvol 24703 . . . . . . . 8 (( “ (ran ∖ {0})) ∈ dom vol → (vol‘( “ (ran ∖ {0}))) = (vol*‘( “ (ran ∖ {0}))))
554552, 553syl 17 . . . . . . 7 ( ∈ dom ∫1 → (vol‘( “ (ran ∖ {0}))) = (vol*‘( “ (ran ∖ {0}))))
555 neldifsn 4726 . . . . . . . 8 ¬ 0 ∈ (ran ∖ {0})
556 i1fima2 24852 . . . . . . . 8 (( ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ (ran ∖ {0})) → (vol‘( “ (ran ∖ {0}))) ∈ ℝ)
557555, 556mpan2 688 . . . . . . 7 ( ∈ dom ∫1 → (vol‘( “ (ran ∖ {0}))) ∈ ℝ)
558554, 557eqeltrrd 2841 . . . . . 6 ( ∈ dom ∫1 → (vol*‘( “ (ran ∖ {0}))) ∈ ℝ)
559558ad3antlr 728 . . . . 5 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (vol*‘( “ (ran ∖ {0}))) ∈ ℝ)
560 ovolsscl 24659 . . . . 5 ((((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ( “ (ran ∖ {0})) ∧ ( “ (ran ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘( “ (ran ∖ {0}))) ∈ ℝ) → (vol*‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
561548, 551, 559, 560syl3anc 1370 . . . 4 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (vol*‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
562501, 561syl 17 . . 3 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → (vol*‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
563497, 562eqeltrd 2840 . 2 ((((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘((𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
56431, 126, 495, 563i1fd 24854 1 (((𝜑 ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝑥) ∧ (𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (𝑥))) ∈ dom ∫1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 396  wo 844  w3a 1086   = wceq 1539  wex 1782  wcel 2107  wne 2944  wral 3065  wrex 3066  {crab 3069  Vcvv 3433  cdif 3885  cun 3886  cin 3887  wss 3888  c0 4257  ifcif 4460  {csn 4562   ciun 4925   class class class wbr 5075  cmpt 5158  ccnv 5589  dom cdm 5590  ran crn 5591  cima 5593  Fun wfun 6431   Fn wfn 6432  wf 6433  ontowfo 6435  cfv 6437  (class class class)co 7284  Fincfn 8742  supcsup 9208  cc 10878  cr 10879  0cc0 10880  1c1 10881   + caddc 10883   · cmul 10885  +∞cpnf 11015  -∞cmnf 11016  *cxr 11017   < clt 11018  cle 11019  cmin 11214  -cneg 11215   / cdiv 11641  cn 11982  3c3 12038  0cn0 12242  cz 12328  +crp 12739  (,)cioo 13088  [,)cico 13090  ...cfz 13248  cfl 13519  vol*covol 24635  volcvol 24636  MblFncmbf 24787  1citg1 24788
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-rep 5210  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-inf2 9408  ax-cnex 10936  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956  ax-pre-mulgt0 10957  ax-pre-sup 10958
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-rmo 3072  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-int 4881  df-iun 4927  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6206  df-ord 6273  df-on 6274  df-lim 6275  df-suc 6276  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-isom 6446  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-of 7542  df-om 7722  df-1st 7840  df-2nd 7841  df-frecs 8106  df-wrecs 8137  df-recs 8211  df-rdg 8250  df-1o 8306  df-2o 8307  df-er 8507  df-map 8626  df-pm 8627  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-fin 8746  df-fi 9179  df-sup 9210  df-inf 9211  df-oi 9278  df-dju 9668  df-card 9706  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-xr 11022  df-ltxr 11023  df-le 11024  df-sub 11216  df-neg 11217  df-div 11642  df-nn 11983  df-2 12045  df-3 12046  df-n0 12243  df-z 12329  df-uz 12592  df-q 12698  df-rp 12740  df-xneg 12857  df-xadd 12858  df-xmul 12859  df-ioo 13092  df-ico 13094  df-icc 13095  df-fz 13249  df-fzo 13392  df-fl 13521  df-seq 13731  df-exp 13792  df-hash 14054  df-cj 14819  df-re 14820  df-im 14821  df-sqrt 14955  df-abs 14956  df-clim 15206  df-sum 15407  df-rest 17142  df-topgen 17163  df-psmet 20598  df-xmet 20599  df-met 20600  df-bl 20601  df-mopn 20602  df-top 22052  df-topon 22069  df-bases 22105  df-cmp 22547  df-ovol 24637  df-vol 24638  df-mbf 24792  df-itg1 24793
This theorem is referenced by:  itg2addnclem3  35839
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