Theorem itg2addnclem2 37696

Description: Lemma for itg2addnc 37698. The function described is a simple function. (Contributed by Brendan Leahy, 29-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
itg2addnc.f1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
itg2addnc.f2	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
itg2addnclem2	⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ dom ∫1)

Distinct variable groups:   𝑥,𝑣,ℎ,𝐹   𝜑,𝑣,𝑥,ℎ

Proof of Theorem itg2addnclem2

Dummy variables 𝑡 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		itg2addnc.f2	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
2		rge0ssre 13473	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
3		fss 6722	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞) ∧ (0[,)+∞) ⊆ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
4	1, 2, 3	sylancl 586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
5	4	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
6	5	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
7		rpre 13017	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → 𝑣 ∈ ℝ)
8		3re 12320	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℝ
9		3ne0 12346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ≠ 0
10	8, 9	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)
11		redivcl 11960	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ 3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
12	11	3expb 1120	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ ∧ (3 ∈ ℝ ∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
13	7, 10, 12	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
14	13	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
15		rpcnne0 13027	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0))
16		3cn 12321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 3 ∈ ℂ
17	16, 9	pm3.2i 470	. . . . . . . . . 10 ⊢ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)
18		divne0 11908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑣 ∈ ℂ ∧ 𝑣 ≠ 0) ∧ (3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0)) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
19	15, 17, 18	sylancl 586	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ≠ 0)
20	19	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
21	6, 14, 20	redivcld 12069	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
22		reflcl 13813	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
23	21, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
24		peano2rem 11550	. . . . . 6 ⊢ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
25	23, 24	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
26	25, 14	remulcld 11265	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
27		i1ff 25629	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ:ℝ⟶ℝ)
28	27	ad2antlr 727	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ℎ:ℝ⟶ℝ)
29	28	ffvelcdmda 7074	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
30	26, 29	ifcld 4547	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ ℝ)
31	30	fmpttd 7105	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))):ℝ⟶ℝ)
32		fzfi 13990	. . . . 5 ⊢ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin
33		ovex 7438	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V
34		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) = (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
35	33, 34	fnmpti 6681	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
36		dffn4 6796	. . . . . 6 ⊢ ((𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) Fn (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↔ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
37	35, 36	mpbi 230	. . . . 5 ⊢ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
38		fofi 9323	. . . . 5 ⊢ (((0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∈ Fin ∧ (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))):(0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))–onto→ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))) → ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin)
39	32, 37, 38	mp2an 692	. . . 4 ⊢ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin
40		i1frn 25630	. . . . 5 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ran ℎ ∈ Fin)
41	40	ad2antlr 727	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran ℎ ∈ Fin)
42		unfi 9185	. . . 4 ⊢ ((ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∈ Fin ∧ ran ℎ ∈ Fin) → (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin)
43	39, 41, 42	sylancr 587	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin)
44		0zd 12600	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → 0 ∈ ℤ)
45	27	frnd 6714	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ran ℎ ⊆ ℝ)
46		i1f0rn 25635	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → 0 ∈ ran ℎ)
47		elex2 2811	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ran ℎ → ∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ)
49		n0 4328	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ran ℎ ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ ran ℎ)
50	48, 49	sylibr 234	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ran ℎ ≠ ∅)
51		fimaxre2 12187	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ∈ Fin) → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥)
52	45, 40, 51	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥)
53		suprcl 12202	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) → sup(ran ℎ, ℝ, < ) ∈ ℝ)
54	45, 50, 52, 53	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → sup(ran ℎ, ℝ, < ) ∈ ℝ)
55	54	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → sup(ran ℎ, ℝ, < ) ∈ ℝ)
56	55, 14, 20	redivcld 12069	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
57		peano2re 11408	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
59		ceicl 13858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℤ)
62	21	flcld 13815	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
63	62	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
64		3nn 12319	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 3 ∈ ℕ
65		nnrp 13020	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (3 ∈ ℕ → 3 ∈ ℝ+)
66	64, 65	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 3 ∈ ℝ+
67		rpdivcl 13034	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
68	66, 67	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
69	68	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
70	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → 𝐹:ℝ⟶(0[,)+∞))
71	70	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞))
72		elrege0 13471	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
73	71, 72	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (𝐹‘𝑥)))
74	73	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (𝐹‘𝑥))
75	6, 69, 74	divge0d 13091	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))
76		flge0nn0 13837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℕ0)
77	21, 75, 76	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℕ0)
78	77	nn0ge0d 12565	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
79	78	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → 0 ≤ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
80	45, 50, 52	3jca 1128	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥))
81	80	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥))
82		ffn 6706	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → ℎ Fn ℝ)
83	27, 82	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ Fn ℝ)
84		dffn3 6718	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ Fn ℝ ↔ ℎ:ℝ⟶ran ℎ)
85	83, 84	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ:ℝ⟶ran ℎ)
86	85	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ℎ:ℝ⟶ran ℎ)
87	86	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ)
88		suprub 12203	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ran ℎ ⊆ ℝ ∧ ran ℎ ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ ran ℎ 𝑦 ≤ 𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ) → (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ))
89	81, 87, 88	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ))
90		letr 11329	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )))
91	26, 29, 55, 90	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )))
92	25, 55, 69	lemuldivd 13100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ↔ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3))))
93		1red 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
94	23, 93, 56	lesubaddd 11834	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) ↔ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
95	92, 94	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) ↔ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
96		ceige 13861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
97	58, 96	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
98	60	zred 12697	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
99		letr 11329	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ ∧ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
100	23, 58, 98, 99	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ∧ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
101	97, 100	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
102	95, 101	sylbid 240	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
103	91, 102	syld 47	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≤ sup(ran ℎ, ℝ, < )) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
104	89, 103	mpan2d 694	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
105	104	adantrd 491	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
106	105	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ -(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))
107	44, 61, 63, 79, 106	elfzd 13532	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))))
108		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))
109		oveq1 7412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑡 = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → (𝑡 − 1) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))
110	109	oveq1d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) → ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))
111	110	rspceeqv 3624	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ∧ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) → ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
112	107, 108, 111	sylancl 586	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
113		ovex 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V
114	34	elrnmpt 5938	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ V → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
115	113, 114	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ↔ ∃𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1)))(((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3)))
116	112, 115	sylibr 234	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))))
117		elun1 4157	. . . . . . 7 ⊢ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
118	116, 117	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
119		elun2 4158	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ran ℎ → (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
120	87, 119	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
121	120	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)) → (ℎ‘𝑥) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
122	118, 121	ifclda 4536	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
123	122	fmpttd 7105	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))):ℝ⟶(ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
124	123	frnd 6714	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ))
125		ssfi 9187	. . 3 ⊢ (((ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ) ∈ Fin ∧ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ (ran (𝑡 ∈ (0...-(⌊‘-((sup(ran ℎ, ℝ, < ) / (𝑣 / 3)) + 1))) ↦ ((𝑡 − 1) · (𝑣 / 3))) ∪ ran ℎ)) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ Fin)
126	43, 124, 125	syl2anc 584	. 2 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ Fin)
127		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)))
128	127	mptpreima 6227	. . . 4 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}}
129		unrab 4290	. . . . 5 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))}
130		inrab 4291	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)}
131	130	ineq1i 4191	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))})
132		inrab 4291	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))}
133	131, 132	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))}
134		unrab 4290	. . . . . . . 8 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)}
135	134	ineq1i 4191	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})
136		inrab 4291	. . . . . . 7 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))}
137	135, 136	eqtri 2758	. . . . . 6 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))}
138	133, 137	uneq12i 4141	. . . . 5 ⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)))} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))})
139		eqcom 2742	. . . . . . 7 ⊢ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 𝑡 ↔ 𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)))
140		fvex 6889	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ‘𝑥) ∈ V
141	113, 140	ifex 4551	. . . . . . . 8 ⊢ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ V
142	141	elsn 4616	. . . . . . 7 ⊢ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 𝑡)
143		ianor 983	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0))
144		nne 2936	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ (ℎ‘𝑥) = 0)
145	144	orbi2i 912	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ↔ (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0))
146	143, 145	bitr2i 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ↔ ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0))
147	146	anbi1i 624	. . . . . . . . 9 ⊢ (((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)) ↔ (¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))
148	147	orbi2i 912	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))) ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))))
149		eqif 4542	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ (¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))))
150	148, 149	bitr4i 278	. . . . . . 7 ⊢ (((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))) ↔ 𝑡 = if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)))
151	139, 142, 150	3bitr4i 303	. . . . . 6 ⊢ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))))
152	151	rabbii 3421	. . . . 5 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0) ∧ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))) ∨ ((¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∨ (ℎ‘𝑥) = 0) ∧ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)))}
153	129, 138, 152	3eqtr4ri 2769	. . . 4 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}))
154	128, 153	eqtri 2758	. . 3 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}))
155		eldifi 4106	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))))
156	31	frnd 6714	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ⊆ ℝ)
157	156	sseld 3957	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) → 𝑡 ∈ ℝ))
158	155, 157	syl5 34	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → 𝑡 ∈ ℝ))
159	158	imdistani 568	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ))
160		rabiun 37617	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}
161		cnvimarndm 6070	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡ℎ “ ran ℎ) = dom ℎ
162		iunid 5036	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡} = ran ℎ
163	162	imaeq2i 6045	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (◡ℎ “ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡}) = (◡ℎ “ ran ℎ)
164		imaiun 7237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (◡ℎ “ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑡}) = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡})
165	163, 164	eqtr3i 2760	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (◡ℎ “ ran ℎ) = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡})
166	161, 165	eqtr3i 2760	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ dom ℎ = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡})
167	27	fdmd 6716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → dom ℎ = ℝ)
168	166, 167	eqtr3id 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ)
169	168	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ)
170		rabeq 3430	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
171	169, 170	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
172	160, 171	eqtr3id 2784	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
173		fniniseg 7050	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ Fn ℝ → (𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) = 𝑡)))
174	27, 82, 173	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) = 𝑡)))
175	174	simplbda 499	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → (ℎ‘𝑥) = 𝑡)
176	175	breq2d 5131	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ↔ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
177	176	rabbidva 3422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
178		inrab2 4292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}
179		imassrn 6058	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ran ◡ℎ
180		dfdm4 5875	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ dom ℎ = ran ◡ℎ
181	180, 167	eqtr3id 2784	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ran ◡ℎ = ℝ)
182	179, 181	sseqtrid 4001	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ℝ)
183		sseqin2 4198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((◡ℎ “ {𝑡}) ⊆ ℝ ↔ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡}))
184	182, 183	sylib 218	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡}))
185		rabeq 3430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
186	184, 185	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
187	178, 186	eqtrid 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
188	177, 187	eqtr4d 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})))
189	188	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})))
190	25	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
191	45	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ran ℎ ⊆ ℝ)
192	191	sselda 3958	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → 𝑡 ∈ ℝ)
193	192	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
194	68	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
195	190, 193, 194	lemuldivd 13100	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3))))
196	23	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
197		1red 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
198	13	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
199	19	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
200	193, 198, 199	redivcld 12069	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
201	196, 197, 200	lesubaddd 11834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ≤ (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)))
202	6	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
203		peano2re 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
204	200, 203	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
205		reflcl 13813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
206	204, 205	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ)
207		peano2re 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) ∈ ℝ → ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
208	206, 207	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ∈ ℝ)
209	202, 208, 194	ltdivmuld 13102	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))
210	21	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
211		flflp1 13824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))
212	210, 204, 211	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))
213	198, 208	remulcld 11265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ)
214	213	rexrd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ*)
215		elioomnf 13461	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ∈ ℝ* → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
216	214, 215	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
217	202	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
218	216, 217	bitr4d 282	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1))))
219	209, 212, 218	3bitr4d 311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ≤ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
220	195, 201, 219	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡 ↔ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
221	220	rabbidva 3422	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
222	1	feqmptd 6947	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
223	222	cnveqd 5855	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ◡𝐹 = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
224	223	imaeq1d 6046	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
225		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥))
226	225	mptpreima 6227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))}
227	224, 226	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
228	227	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))})
229	221, 228	eqtr4d 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))))
230		itg2addnc.f1	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
231		mbfima 25583	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
232	230, 4, 231	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
233	232	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡𝐹 “ (-∞(,)((𝑣 / 3) · ((⌊‘((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) + 1)))) ∈ dom vol)
234	229, 233	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
235	45	sseld 3957	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (𝑡 ∈ ran ℎ → 𝑡 ∈ ℝ))
236	235	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ ran ℎ → 𝑡 ∈ ℝ))
237	236	imdistani 568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ))
238		i1fmbf 25628	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ ∈ MblFn)
239	238, 27	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ:ℝ⟶ℝ))
240	239	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ:ℝ⟶ℝ))
241		mbfimasn 25585	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ:ℝ⟶ℝ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol)
242	241	3expa 1118	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℎ ∈ MblFn ∧ ℎ:ℝ⟶ℝ) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol)
243	240, 242	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol)
244	237, 243	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol)
245		inmbl 25495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol)
246	234, 244, 245	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol)
247	189, 246	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
248	247	ralrimiva 3132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
249		finiunmbl 25497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran ℎ ∈ Fin ∧ ∀𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
250	41, 248, 249	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
251	172, 250	eqeltrrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
252		unrab 4290	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))}
253	27	feqmptd 6947	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ℎ = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)))
254	253	cnveqd 5855	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ◡ℎ = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)))
255	254	imaeq1d 6046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (-∞(,)0)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (-∞(,)0)))
256		eqid 2735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) = (𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥))
257	256	mptpreima 6227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)}
258	255, 257	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (-∞(,)0)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)})
259	254	imaeq1d 6046	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (0(,)+∞)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (0(,)+∞)))
260	256	mptpreima 6227	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)}
261	259, 260	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (0(,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)})
262	258, 261	uneq12d 4144	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)}))
263	27	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (ℎ‘𝑥) ∈ ℝ)
264		0re 11237	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 0 ∈ ℝ
265		lttri2 11317	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))))
266	264, 265	mpan2 691	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))))
267		ibar 528	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → (((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)))))
268		andi 1009	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥))))
269		0xr 11282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ ℝ*
270		elioomnf 13461	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ℝ* → ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0)))
271		elioopnf 13460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (0 ∈ ℝ* → ((ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥))))
272	270, 271	orbi12d 918	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (0 ∈ ℝ* → (((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥)))))
273	269, 272	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)) ↔ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (ℎ‘𝑥) < 0) ∨ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ 0 < (ℎ‘𝑥))))
274	268, 273	bitr4i 278	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥))) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞)))
275	267, 274	bitrdi 287	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → (((ℎ‘𝑥) < 0 ∨ 0 < (ℎ‘𝑥)) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
276	266, 275	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ ℝ → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
277	263, 276	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℎ‘𝑥) ≠ 0 ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))))
278	277	rabbidva 3422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((ℎ‘𝑥) ∈ (-∞(,)0) ∨ (ℎ‘𝑥) ∈ (0(,)+∞))})
279	252, 262, 278	3eqtr4a 2796	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0})
280		i1fima 25631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∈ dom vol)
281		i1fima 25631	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (0(,)+∞)) ∈ dom vol)
282		unmbl 25490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∈ dom vol ∧ (◡ℎ “ (0(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
283	280, 281, 282	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ((◡ℎ “ (-∞(,)0)) ∪ (◡ℎ “ (0(,)+∞))) ∈ dom vol)
284	279, 283	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol)
285	284	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol)
286		inmbl 25495	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
287	251, 285, 286	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
288	287	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol)
289	23	recnd 11263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ)
290	289	adantlr 715	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℂ)
291		1cnd 11230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
292		simplr 768	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℝ)
293	13	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
294	19	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ≠ 0)
295	292, 293, 294	redivcld 12069	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
296	295	recnd 11263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℂ)
297	290, 291, 296	subadd2d 11613	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))))
298		eqcom 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1))
299		recn 11219	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑡 ∈ ℝ → 𝑡 ∈ ℂ)
300	299	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝑡 ∈ ℂ)
301	25	recnd 11263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℂ)
302	301	adantlr 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℂ)
303	13	recnd 11263	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
304	303	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
305	300, 302, 304, 294	divmul3d 12051	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) = ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
306	298, 305	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) = (𝑡 / (𝑣 / 3)) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
307	297, 306	bitr3d 281	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
308	307	rabbidva 3422	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))})
309		imaundi 6138	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
310	223	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ◡𝐹 = ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)))
311		zre 12592	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
312	311	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
313	13	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
314	312, 313	remulcld 11265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
315	314	rexrd 11285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ*)
316		peano2z 12633	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℤ)
317	316	zred 12697	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
318	317	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
319	313, 318	remulcld 11265	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
320	319	rexrd 11285	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*)
321		zcn 12593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ)
322	321	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℂ)
323	303	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℂ)
324	322, 323	mulcomd 11256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) = ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)))
325	68	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
326	311	ltp1d 12172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
327	326	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))
328	312, 318, 325, 327	ltmul2dd 13107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑣 / 3) · ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
329	324, 328	eqbrtrd 5141	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
330		snunioo 13495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ* ∧ ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ* ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
331	315, 320, 329, 330	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
332	310, 331	imaeq12d 6048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ ({(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))} ∪ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
333	309, 332	eqtr3id 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
334	225	mptpreima 6227	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))}
335	4	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
336	335	ffvelcdmda 7074	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
337	336	3biant1d 1480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
338	337	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
339	311	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
340	336	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
341	68	ad4antlr 733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
342	339, 340, 341	lemuldivd 13100	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
343	317	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
344	340, 343, 341	ltdivmuld 13102	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ↔ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
345	344	bicomd 223	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ↔ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))
346	342, 345	anbi12d 632	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
347	338, 346	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
348		elico2 13427	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ*) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
349	314, 320, 348	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
350	349	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ∧ (𝐹‘𝑥) < ((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))))
351		eqcom 2742	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1))
352	21	adantlr 715	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
353		flbi 13833	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
354	352, 353	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) = ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
355	351, 354	bitrid 283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) < (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))
356	347, 350, 355	3bitr4d 311	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))))
357	356	an32s 652	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))))
358	357	rabbidva 3422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))})
359	334, 358	eqtrid 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))[,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))})
360	333, 359	eqtrd 2770	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))})
361	230	ad4antr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹 ∈ MblFn)
362	4	ad4antr 732	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
363		mbfimasn 25585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
364	361, 362, 314, 363	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
365		mbfima 25583	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
366	230, 4, 365	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
367	366	ad4antr 732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol)
368		unmbl 25490	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)))) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom vol)
369	364, 367, 368	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ((◡𝐹 “ {(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) · (𝑣 / 3))(,)((𝑣 / 3) · (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1))))) ∈ dom vol)
370	360, 369	eqeltrrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
371		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
372	352	flcld 13815	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
373	372	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℤ)
374	371, 373	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ)
375	374	stoic1a 1772	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
376	375	an32s 652	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
377	376	ralrimiva 3132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
378		rabeq0 4363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
379	377, 378	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} = ∅)
380		0mbl 25492	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ dom vol
381	379, 380	eqeltrdi 2842	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ ¬ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℤ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
382	370, 381	pm2.61dan 812	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) = (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))} ∈ dom vol)
383	308, 382	eqeltrrd 2835	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom vol)
384		inmbl 25495	. . . . . 6 ⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))} ∈ dom vol) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
385	288, 383, 384	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
386		rabiun 37617	. . . . . . . . . . 11 ⊢ {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)}
387		rabeq 3430	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) = ℝ → {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
388	168, 387	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ(◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
389	386, 388	eqtr3id 2784	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
390	389	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)})
391	176	notbid 318	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1 ∧ 𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡})) → (¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
392	391	rabbidva 3422	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
393		inrab2 4292	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡}
394		rabeq 3430	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = (◡ℎ “ {𝑡}) → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
395	184, 394	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (ℝ ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
396	393, 395	eqtrid 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) = {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
397	392, 396	eqtr4d 2773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})))
398	397	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})))
399		imaundi 6138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (◡𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)))
400	13, 19	jca 511	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑣 ∈ ℝ+ → ((𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0))
401		redivcl 11960	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
402	401	3expb 1120	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ ((𝑣 / 3) ∈ ℝ ∧ (𝑣 / 3) ≠ 0)) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
403	400, 402	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
404	403	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑣 ∈ ℝ+ ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
405	404	adantll 714	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑡 / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
406	405, 203	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
407		peano2re 11408	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
408		reflcl 13813	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
409	406, 407, 408	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
410	13	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ)
411	409, 410	remulcld 11265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
412	411	rexrd 11285	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ*)
413		pnfxr 11289	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
414	413	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → +∞ ∈ ℝ*)
415		ltpnf 13136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞)
416	411, 415	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞)
417		snunioo 13495	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ* ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) < +∞) → ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞))
418	412, 414, 416, 417	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) = (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞))
419	418	imaeq2d 6047	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ({((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))} ∪ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
420	399, 419	eqtr3id 2784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
421	223	imaeq1d 6046	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)))
422	225	mptpreima 6227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (𝐹‘𝑥)) “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)}
423	421, 422	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)})
424	423	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)})
425	406, 407	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
426	425	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ)
427		flflp1 13824	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) ∈ ℝ ∧ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
428	426, 352, 427	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
429	411	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
430		elicopnf 13462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥))))
431	429, 430	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥))))
432	336	biantrurd 532	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥))))
433	409	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ∈ ℝ)
434	68	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑣 / 3) ∈ ℝ+)
435	433, 336, 434	lemuldivd 13100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ≤ (𝐹‘𝑥) ↔ (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
436	431, 432, 435	3bitr2d 307	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ (⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) ≤ ((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))))
437	406	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) ∈ ℝ)
438	352, 22	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ∈ ℝ)
439		1red 11236	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℝ)
440	437, 438, 439	ltadd1d 11830	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) + 1)))
441	428, 436, 440	3bitr4d 311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3)))))
442	295, 439, 438	ltaddsubd 11837	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) < (⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)))
443	441, 442	bitrd 279	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ (𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1)))
444	438, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ∈ ℝ)
445	292, 444, 434	ltdivmul2d 13103	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑡 / (𝑣 / 3)) < ((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) ↔ 𝑡 < (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))))
446	444, 293	remulcld 11265	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ)
447	292, 446	ltnled 11382	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑡 < (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
448	443, 445, 447	3bitrd 305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞) ↔ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡))
449	448	rabbidva 3422	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))[,)+∞)} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
450	420, 424, 449	3eqtrd 2774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡})
451	230	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → 𝐹 ∈ MblFn)
452		mbfimasn 25585	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ ∧ ((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3)) ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
453	451, 335, 411, 452	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol)
454		mbfima 25583	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐹:ℝ⟶ℝ) → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
455	230, 4, 454	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
456	455	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol)
457		unmbl 25490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞)) ∈ dom vol) → ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom vol)
458	453, 456, 457	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((◡𝐹 “ {((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))}) ∪ (◡𝐹 “ (((⌊‘(((𝑡 / (𝑣 / 3)) + 1) + 1)) · (𝑣 / 3))(,)+∞))) ∈ dom vol)
459	450, 458	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
460	237, 459	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol)
461		inmbl 25495	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∈ dom vol ∧ (◡ℎ “ {𝑡}) ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol)
462	460, 244, 461	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ 𝑡} ∩ (◡ℎ “ {𝑡})) ∈ dom vol)
463	398, 462	eqeltrd 2834	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ran ℎ) → {𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
464	463	ralrimiva 3132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∀𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
465		finiunmbl 25497	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((ran ℎ ∈ Fin ∧ ∀𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
466	41, 464, 465	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ∪ 𝑡 ∈ ran ℎ{𝑥 ∈ (◡ℎ “ {𝑡}) ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
467	390, 466	eqeltrrd 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
468	254	imaeq1d 6046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {0}) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0}))
469	256	mptpreima 6227	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}}
470	140	elsn 4616	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {0} ↔ (ℎ‘𝑥) = 0)
471	470	rabbii 3421	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}
472	469, 471	eqtri 2758	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}
473	468, 472	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0})
474		i1fima 25631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {0}) ∈ dom vol)
475	473, 474	eqeltrrd 2835	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom vol)
476	475	ad2antlr 727	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom vol)
477		unmbl 25490	. . . . . . . 8 ⊢ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0} ∈ dom vol) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
478	467, 476, 477	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
479	478	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol)
480	254	imaeq1d 6046	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {𝑡}) = (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡}))
481	256	mptpreima 6227	. . . . . . . . . 10 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡}}
482	140	elsn 4616	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡} ↔ (ℎ‘𝑥) = 𝑡)
483		eqcom 2742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((ℎ‘𝑥) = 𝑡 ↔ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))
484	482, 483	bitri 275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡} ↔ 𝑡 = (ℎ‘𝑥))
485	484	rabbii 3421	. . . . . . . . . 10 ⊢ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {𝑡}} = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}
486	481, 485	eqtri 2758	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ (ℎ‘𝑥)) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}
487	480, 486	eqtrdi 2786	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})
488	487	ad3antlr 731	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (◡ℎ “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})
489	488, 243	eqeltrrd 2835	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol)
490		inmbl 25495	. . . . . 6 ⊢ ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∈ dom vol ∧ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)} ∈ dom vol) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol)
491	479, 489, 490	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol)
492		unmbl 25490	. . . . 5 ⊢ (((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∈ dom vol ∧ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)}) ∈ dom vol) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol)
493	385, 491, 492	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ ℝ) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol)
494	159, 493	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → ((({𝑥 ∈ ℝ ∣ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ≠ 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3))}) ∪ (({𝑥 ∈ ℝ ∣ ¬ (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥)} ∪ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) = 0}) ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ 𝑡 = (ℎ‘𝑥)})) ∈ dom vol)
495	154, 494	eqeltrid 2838	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol)
496		mblvol 25483	. . . 4 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∈ dom vol → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})))
497	495, 496	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) = (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})))
498		eldifsn 4762	. . . . . 6 ⊢ (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) ↔ (𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0))
499	157	anim1d 611	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → ((𝑡 ∈ ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∧ 𝑡 ≠ 0) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
500	498, 499	biimtrid 242	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0}) → (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
501	500	imdistani 568	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)))
502	128	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}})
503	468, 469	eqtrdi 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ {0}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}})
504	502, 503	ineq12d 4196	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ({𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}}))
505		inrab 4291	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}} ∩ {𝑥 ∈ ℝ ∣ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}}) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})}
506	504, 505	eqtrdi 2786	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})})
507	506	ad3antlr 731	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})})
508	144	biimpri 228	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → ¬ (ℎ‘𝑥) ≠ 0)
509	508	intnand 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → ¬ ((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0))
510	509	iffalsed 4511	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = (ℎ‘𝑥))
511		eqtr 2755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0)
512	510, 511	mpancom 688	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0)
513	512	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) = 0)
514		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → 𝑡 ≠ 0)
515	514	necomd 2987	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → 0 ≠ 𝑡)
516	513, 515	eqnetrd 2999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (ℎ‘𝑥) = 0) → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡)
517	516	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡))
518		orcom 870	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0} ∨ ¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}))
519		ianor 983	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ (¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∨ ¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}))
520		imor 853	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ (¬ (ℎ‘𝑥) ∈ {0} ∨ ¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}))
521	518, 519, 520	3bitr4i 303	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ ((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}))
522	142	necon3bbii 2979	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ↔ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡)
523	470, 522	imbi12i 350	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((ℎ‘𝑥) ∈ {0} → ¬ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡}) ↔ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡))
524	521, 523	bitri 275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (¬ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}) ↔ ((ℎ‘𝑥) = 0 → if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ≠ 𝑡))
525	517, 524	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑡 ≠ 0 ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ¬ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}))
526	525	ralrimiva 3132	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑡 ≠ 0 → ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}))
527		rabeq0 4363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ({𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅ ↔ ∀𝑥 ∈ ℝ ¬ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0}))
528	526, 527	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑡 ≠ 0 → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅)
529	528	ad2antll 729	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → {𝑥 ∈ ℝ ∣ (if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)) ∈ {𝑡} ∧ (ℎ‘𝑥) ∈ {0})} = ∅)
530	507, 529	eqtrd 2770	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅)
531		imassrn 6058	. . . . . . . . 9 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)))
532		dfdm4 5875	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥)))
533	141, 127	dmmpti 6682	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ℝ
534	532, 533	eqtr3i 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ ran ◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) = ℝ
535	531, 534	sseqtri 4007	. . . . . . . 8 ⊢ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ
536		reldisj 4428	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ ℝ → (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅ ↔ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0}))))
537	535, 536	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ∩ (◡ℎ “ {0})) = ∅ ↔ (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))
538	530, 537	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))
539		ffun 6709	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → Fun ℎ)
540		difpreima 7055	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Fun ℎ → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = ((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0})))
541	539, 540	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = ((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0})))
542		fdm 6715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → dom ℎ = ℝ)
543	161, 542	eqtrid 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → (◡ℎ “ ran ℎ) = ℝ)
544	543	difeq1d 4100	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → ((◡ℎ “ ran ℎ) ∖ (◡ℎ “ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))
545	541, 544	eqtrd 2770	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ:ℝ⟶ℝ → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))
546	27, 545	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))
547	546	ad3antlr 731	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) = (ℝ ∖ (◡ℎ “ {0})))
548	538, 547	sseqtrrd 3996	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})))
549		imassrn 6058	. . . . . . 7 ⊢ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆ ran ◡ℎ
550	549, 181	sseqtrid 4001	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
551	550	ad3antlr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆ ℝ)
552		i1fima 25631	. . . . . . . 8 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∈ dom vol)
553		mblvol 25483	. . . . . . . 8 ⊢ ((◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∈ dom vol → (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))))
554	552, 553	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) = (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))))
555		neldifsn 4768	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ 0 ∈ (ran ℎ ∖ {0})
556		i1fima2 25632	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℎ ∈ dom ∫1 ∧ ¬ 0 ∈ (ran ℎ ∖ {0})) → (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
557	555, 556	mpan2 691	. . . . . . 7 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (vol‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
558	554, 557	eqeltrrd 2835	. . . . . 6 ⊢ (ℎ ∈ dom ∫1 → (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
559	558	ad3antlr 731	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈ ℝ)
560		ovolsscl 25439	. . . . 5 ⊢ (((◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡}) ⊆ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ∧ (◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0})) ⊆ ℝ ∧ (vol*‘(◡ℎ “ (ran ℎ ∖ {0}))) ∈ ℝ) → (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
561	548, 551, 559, 560	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ (𝑡 ∈ ℝ ∧ 𝑡 ≠ 0)) → (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
562	501, 561	syl 17	. . 3 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol*‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
563	497, 562	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ ((((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) ∧ 𝑡 ∈ (ran (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∖ {0})) → (vol‘(◡(𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) “ {𝑡})) ∈ ℝ)
564	31, 126, 495, 563	i1fd 25634	1 ⊢ (((𝜑 ∧ ℎ ∈ dom ∫1) ∧ 𝑣 ∈ ℝ+) → (𝑥 ∈ ℝ ↦ if(((((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)) ≤ (ℎ‘𝑥) ∧ (ℎ‘𝑥) ≠ 0), (((⌊‘((𝐹‘𝑥) / (𝑣 / 3))) − 1) · (𝑣 / 3)), (ℎ‘𝑥))) ∈ dom ∫1)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  {crab 3415  Vcvv 3459   ∖ cdif 3923   ∪ cun 3924   ∩ cin 3925   ⊆ wss 3926  ∅c0 4308  ifcif 4500  {csn 4601  ∪ ciun 4967   class class class wbr 5119   ↦ cmpt 5201  ^◡ccnv 5653  dom cdm 5654  ran crn 5655   “ cima 5657  Fun wfun 6525   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  –onto→wfo 6529  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Fincfn 8959  supcsup 9452  ℂcc 11127  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134  +∞cpnf 11266  -∞cmnf 11267  ℝ^*cxr 11268   < clt 11269   ≤ cle 11270   − cmin 11466  -cneg 11467   / cdiv 11894  ℕcn 12240  3c3 12296  ℕ₀cn0 12501  ℤcz 12588  ℝ⁺crp 13008  (,)cioo 13362  [,)cico 13364  ...cfz 13524  ⌊cfl 13807  vol*covol 25415  volcvol 25416  MblFncmbf 25567  ∫₁citg1 25568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-inf2 9655  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-isom 6540  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8719  df-map 8842  df-pm 8843  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fi 9423  df-sup 9454  df-inf 9455  df-oi 9524  df-dju 9915  df-card 9953  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-n0 12502  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-xneg 13128  df-xadd 13129  df-xmul 13130  df-ioo 13366  df-ico 13368  df-icc 13369  df-fz 13525  df-fzo 13672  df-fl 13809  df-seq 14020  df-exp 14080  df-hash 14349  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-clim 15504  df-sum 15703  df-rest 17436  df-topgen 17457  df-psmet 21307  df-xmet 21308  df-met 21309  df-bl 21310  df-mopn 21311  df-top 22832  df-topon 22849  df-bases 22884  df-cmp 23325  df-ovol 25417  df-vol 25418  df-mbf 25572  df-itg1 25573

This theorem is referenced by:  itg2addnclem3  37697