Theorem smfresal 47109

Description: Given a sigma-measurable function, the subsets of ℝ whose preimage is in the sigma-algebra induced by the function's domain, form a sigma-algebra. First part of the proof of Proposition 121E (f) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfresal.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfresal.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfresal.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfresal.t	⊢ 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}

Assertion

Ref	Expression
smfresal	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ SAlg)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑒   𝑒,𝐹   𝑆,𝑒   𝜑,𝑒

Allowed substitution hint:   𝑇(𝑒)

Proof of Theorem smfresal

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfresal.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}
2		reex 11122	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
3	2	pwex 5326	. . . 4 ⊢ 𝒫 ℝ ∈ V
4	1, 3	rabex2 5287	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ V
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
6		0elpw 5302	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 ℝ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 ℝ)
8		ima0 6037	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ ∅) = ∅
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ∅) = ∅)
10		smfresal.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
11	10	uniexd 7690	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V)
12		smfresal.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
13		smfresal.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
14	10, 12, 13	smfdmss 47054	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
15	11, 14	ssexd 5270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
16		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
17	10, 15, 16	subsalsal 46680	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
18	17	0sald 46671	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
19	9, 18	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ∅) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
20	7, 19	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ ∅) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
21		imaeq2 6016	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = ∅ → (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ ∅))
22	21	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑒 = ∅ → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ (◡𝐹 “ ∅) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
23	22, 1	elrab2 3650	. . 3 ⊢ (∅ ∈ 𝑇 ↔ (∅ ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ ∅) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
24	20, 23	sylibr 234	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑇)
25		eqid 2737	. 2 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝑇
26		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
27		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑒𝑦
28		nfrab1 3420	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑒{𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}
29	1, 28	nfcxfr 2897	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑒𝑇
30	27, 29	eluni2f 45425	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑇 ↔ ∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑦 ∈ 𝑒)
31	30	biimpi 216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑇 → ∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑦 ∈ 𝑒)
32	31	adantl 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝑇) → ∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑦 ∈ 𝑒)
33		nfv 1916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑒𝜑
34	29	nfuni 4871	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑒∪ 𝑇
35	27, 34	nfel 2914	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑒 𝑦 ∈ ∪ 𝑇
36	33, 35	nfan 1901	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑒(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝑇)
37	27	nfel1 2916	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑒 𝑦 ∈ ℝ
38	1	eleq2i 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 ↔ 𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)})
39	38	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)})
40		rabidim1 3422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)} → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
42		elpwi 4562	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑒 ⊆ ℝ)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ⊆ ℝ)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑒) → 𝑒 ⊆ ℝ)
45		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑒) → 𝑦 ∈ 𝑒)
46	44, 45	sseldd 3935	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑒) → 𝑦 ∈ ℝ)
47	46	ex 412	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → (𝑦 ∈ 𝑒 → 𝑦 ∈ ℝ))
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝑇) → (𝑒 ∈ 𝑇 → (𝑦 ∈ 𝑒 → 𝑦 ∈ ℝ)))
49	36, 37, 48	rexlimd 3244	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝑇) → (∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑦 ∈ 𝑒 → 𝑦 ∈ ℝ))
50	32, 49	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑦 ∈ ℝ)
51	50	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ∪ 𝑇 → 𝑦 ∈ ℝ))
52		ovexd 7396	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ V)
53		ioossre 13328	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ⊆ ℝ
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ⊆ ℝ)
55	52, 54	elpwd 4561	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝒫 ℝ)
56	55	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝒫 ℝ)
57	10, 12, 13	smff 47053	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
58	57	ffnd 6664	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
59		fncnvima2 7008	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 Fn 𝐷 → (◡𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))})
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))})
61	60	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))})
62		nfv 1916	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
63	10	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
64	15	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ V)
65	57	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
66		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
67	65, 66	ffvelcdmd 7032	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
68	67	adantlr 716	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
69	57	feqmptd 6903	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
70	69	eqcomd 2743	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) = 𝐹)
71	70, 12	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
72	71	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
73		peano2rem 11453	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
74	73	rexrd 11187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) ∈ ℝ*)
75	74	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ*)
76		peano2re 11311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
77	76	rexrd 11187	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ*)
78	77	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ*)
79	62, 63, 64, 68, 72, 75, 78	smfpimioompt 47107	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
80	61, 79	eqeltrd 2837	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
81	56, 80	jca 511	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
82		imaeq2 6016	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) → (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))))
83	82	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ (◡𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
84	83, 1	elrab2 3650	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝑇 ↔ (((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
85	81, 84	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝑇)
86		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ)
87		ltm1 11988	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) < 𝑦)
88		ltp1 11986	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑦 + 1))
89	74, 77, 86, 87, 88	eliood 45821	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)))
90	89	adantl 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)))
91		nfv 1916	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑒 𝑦 ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))
92		nfcv 2899	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑒((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))
93		eleq2 2826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) → (𝑦 ∈ 𝑒 ↔ 𝑦 ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))))
94	91, 92, 29, 93	rspcef 45395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) → ∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑦 ∈ 𝑒)
95	85, 90, 94	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑦 ∈ 𝑒)
96	95, 30	sylibr 234	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ∪ 𝑇)
97	96	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ∪ 𝑇))
98	51, 97	impbid 212	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ∪ 𝑇 ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
99	26, 98	alrimi 2221	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦(𝑦 ∈ ∪ 𝑇 ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
100		dfcleq 2730	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑇 = ℝ ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ∪ 𝑇 ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
101	99, 100	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ℝ)
102	101	difeq1d 4078	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) = (ℝ ∖ 𝑥))
103	102	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) = (ℝ ∖ 𝑥))
104		difss 4089	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∖ 𝑥) ⊆ ℝ
105	2, 104	ssexi 5268	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ∖ 𝑥) ∈ V
106		elpwg 4558	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ ∖ 𝑥) ∈ V → ((ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (ℝ ∖ 𝑥) ⊆ ℝ))
107	105, 106	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (ℝ ∖ 𝑥) ⊆ ℝ)
108	104, 107	mpbir 231	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 ℝ
109	108	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 ℝ)
110	57	ffund 6667	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
111		difpreima 7012	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) = ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ 𝑥)))
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) = ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ 𝑥)))
113		fimacnv 6685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐷⟶ℝ → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐷)
114	57, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐷)
115	10, 14	restuni4 45443	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) = 𝐷)
116	114, 115	eqtr4d 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℝ) = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷))
117	116	difeq1d 4078	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ 𝑥)) = (∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∖ (◡𝐹 “ 𝑥)))
118	112, 117	eqtrd 2772	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) = (∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∖ (◡𝐹 “ 𝑥)))
119	118	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) = (∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∖ (◡𝐹 “ 𝑥)))
120	17	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
121		imaeq2 6016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = 𝑥 → (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ 𝑥))
122	121	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝑥 → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
123	122, 1	elrab2 3650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
124	123	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 → (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
125	124	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
126	125	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
127	120, 126	saldifcld 46668	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∖ (◡𝐹 “ 𝑥)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
128	119, 127	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
129	109, 128	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ((ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
130		imaeq2 6016	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = (ℝ ∖ 𝑥) → (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)))
131	130	eleq1d 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = (ℝ ∖ 𝑥) → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
132	131, 1	elrab2 3650	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝑇 ↔ ((ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
133	129, 132	sylibr 234	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝑇)
134	103, 133	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇)
135		nnex 12156	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
136		fvex 6848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔‘𝑛) ∈ V
137	135, 136	iunex 7915	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ∈ V
138	137	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑔:ℕ⟶𝑇 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ∈ V)
139		ffvelcdm 7028	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔:ℕ⟶𝑇 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔‘𝑛) ∈ 𝑇)
140	1	eleq2i 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔‘𝑛) ∈ 𝑇 ↔ (𝑔‘𝑛) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)})
141	140	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔‘𝑛) ∈ 𝑇 → (𝑔‘𝑛) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)})
142		elrabi 3643	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔‘𝑛) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)} → (𝑔‘𝑛) ∈ 𝒫 ℝ)
143		elpwi 4562	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔‘𝑛) ∈ 𝒫 ℝ → (𝑔‘𝑛) ⊆ ℝ)
144	139, 141, 142, 143	4syl 19	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:ℕ⟶𝑇 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔‘𝑛) ⊆ ℝ)
145	144	iunssd 5007	. . . . . 6 ⊢ (𝑔:ℕ⟶𝑇 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ⊆ ℝ)
146	138, 145	elpwd 4561	. . . . 5 ⊢ (𝑔:ℕ⟶𝑇 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ∈ 𝒫 ℝ)
147	146	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶𝑇) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ∈ 𝒫 ℝ)
148		imaiun 7194	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛)) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (𝑔‘𝑛))
149	148	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶𝑇) → (◡𝐹 “ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛)) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (𝑔‘𝑛)))
150	17	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶𝑇) → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
151		nnct 13909	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≼ ω
152	151	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶𝑇) → ℕ ≼ ω)
153		imaeq2 6016	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = (𝑔‘𝑛) → (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ (𝑔‘𝑛)))
154	153	eleq1d 2822	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = (𝑔‘𝑛) → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ (◡𝐹 “ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
155	154, 1	elrab2 3650	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔‘𝑛) ∈ 𝑇 ↔ ((𝑔‘𝑛) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
156	155	biimpi 216	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔‘𝑛) ∈ 𝑇 → ((𝑔‘𝑛) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
157	156	simprd 495	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔‘𝑛) ∈ 𝑇 → (◡𝐹 “ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
158	139, 157	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:ℕ⟶𝑇 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
159	158	adantll 715	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
160	150, 152, 159	saliuncl 46644	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶𝑇) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
161	149, 160	eqeltrd 2837	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶𝑇) → (◡𝐹 “ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
162	147, 161	jca 511	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶𝑇) → (∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
163		imaeq2 6016	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) → (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛)))
164	163	eleq1d 2822	. . . 4 ⊢ (𝑒 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ (◡𝐹 “ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
165	164, 1	elrab2 3650	. . 3 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ∈ 𝑇 ↔ (∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
166	162, 165	sylibr 234	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶𝑇) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ∈ 𝑇)
167	5, 24, 25, 134, 166	issalnnd 46666	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ SAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395  ∀wal 1540   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∃wrex 3061  {crab 3400  Vcvv 3441   ∖ cdif 3899   ⊆ wss 3902  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4555  ∪ cuni 4864  ∪ ciun 4947   class class class wbr 5099   ↦ cmpt 5180  ^◡ccnv 5624  dom cdm 5625   “ cima 5628  Fun wfun 6487   Fn wfn 6488  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  ωcom 7811   ≼ cdom 8886  ℝcr 11030  1c1 11032   + caddc 11034  ℝ^*cxr 11170   − cmin 11369  ℕcn 12150  (,)cioo 13266   ↾_t crest 17345  SAlgcsalg 46629  SMblFncsmblfn 47016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-inf2 9555  ax-cc 10350  ax-ac2 10378  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108  ax-pre-sup 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4904  df-iun 4949  df-iin 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-1o 8400  df-2o 8401  df-er 8638  df-map 8770  df-pm 8771  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-fin 8892  df-sup 9350  df-inf 9351  df-card 9856  df-acn 9859  df-ac 10031  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-div 11800  df-nn 12151  df-n0 12407  df-z 12494  df-uz 12757  df-q 12867  df-rp 12911  df-ioo 13270  df-ico 13272  df-fl 13717  df-rest 17347  df-salg 46630  df-smblfn 47017

This theorem is referenced by:  smfpimbor1lem1  47119  smfpimbor1lem2  47120