Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfresal Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfresal 45490
Description: Given a sigma-measurable function, the subsets of whose preimage is in the sigma-algebra induced by the function's domain, form a sigma-algebra. First part of the proof of Proposition 121E (f) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfresal.s (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
smfresal.f (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfresal.d 𝐷 = dom 𝐹
smfresal.t 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)}
Assertion
Ref Expression
smfresal (𝜑𝑇 ∈ SAlg)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑒   𝑒,𝐹   𝑆,𝑒   𝜑,𝑒
Allowed substitution hint:   𝑇(𝑒)

Proof of Theorem smfresal
Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfresal.t . . . 4 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)}
2 reex 11197 . . . . 5 ℝ ∈ V
32pwex 5377 . . . 4 𝒫 ℝ ∈ V
41, 3rabex2 5333 . . 3 𝑇 ∈ V
54a1i 11 . 2 (𝜑𝑇 ∈ V)
6 0elpw 5353 . . . . 5 ∅ ∈ 𝒫 ℝ
76a1i 11 . . . 4 (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 ℝ)
8 ima0 6073 . . . . . 6 (𝐹 “ ∅) = ∅
98a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (𝐹 “ ∅) = ∅)
10 smfresal.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ SAlg)
1110uniexd 7728 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑆 ∈ V)
12 smfresal.f . . . . . . . . 9 (𝜑𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
13 smfresal.d . . . . . . . . 9 𝐷 = dom 𝐹
1410, 12, 13smfdmss 45435 . . . . . . . 8 (𝜑𝐷 𝑆)
1511, 14ssexd 5323 . . . . . . 7 (𝜑𝐷 ∈ V)
16 eqid 2732 . . . . . . 7 (𝑆t 𝐷) = (𝑆t 𝐷)
1710, 15, 16subsalsal 45061 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
18170sald 45052 . . . . 5 (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆t 𝐷))
199, 18eqeltrd 2833 . . . 4 (𝜑 → (𝐹 “ ∅) ∈ (𝑆t 𝐷))
207, 19jca 512 . . 3 (𝜑 → (∅ ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹 “ ∅) ∈ (𝑆t 𝐷)))
21 imaeq2 6053 . . . . 5 (𝑒 = ∅ → (𝐹𝑒) = (𝐹 “ ∅))
2221eleq1d 2818 . . . 4 (𝑒 = ∅ → ((𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ (𝐹 “ ∅) ∈ (𝑆t 𝐷)))
2322, 1elrab2 3685 . . 3 (∅ ∈ 𝑇 ↔ (∅ ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹 “ ∅) ∈ (𝑆t 𝐷)))
2420, 23sylibr 233 . 2 (𝜑 → ∅ ∈ 𝑇)
25 eqid 2732 . 2 𝑇 = 𝑇
26 nfv 1917 . . . . . . 7 𝑦𝜑
27 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒𝑦
28 nfrab1 3451 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑒{𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)}
291, 28nfcxfr 2901 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒𝑇
3027, 29eluni2f 43777 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 𝑇 ↔ ∃𝑒𝑇 𝑦𝑒)
3130biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 𝑇 → ∃𝑒𝑇 𝑦𝑒)
3231adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 𝑇) → ∃𝑒𝑇 𝑦𝑒)
33 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 𝑒𝜑
3429nfuni 4914 . . . . . . . . . . . . 13 𝑒 𝑇
3527, 34nfel 2917 . . . . . . . . . . . 12 𝑒 𝑦 𝑇
3633, 35nfan 1902 . . . . . . . . . . 11 𝑒(𝜑𝑦 𝑇)
3727nfel1 2919 . . . . . . . . . . 11 𝑒 𝑦 ∈ ℝ
381eleq2i 2825 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒𝑇𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)})
3938biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒𝑇𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)})
40 rabidim1 3453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)} → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒𝑇𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
42 elpwi 4608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑒 ⊆ ℝ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒𝑇𝑒 ⊆ ℝ)
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒𝑇𝑦𝑒) → 𝑒 ⊆ ℝ)
45 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒𝑇𝑦𝑒) → 𝑦𝑒)
4644, 45sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒𝑇𝑦𝑒) → 𝑦 ∈ ℝ)
4746ex 413 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒𝑇 → (𝑦𝑒𝑦 ∈ ℝ))
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 𝑇) → (𝑒𝑇 → (𝑦𝑒𝑦 ∈ ℝ)))
4936, 37, 48rexlimd 3263 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 𝑇) → (∃𝑒𝑇 𝑦𝑒𝑦 ∈ ℝ))
5032, 49mpd 15 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 𝑇) → 𝑦 ∈ ℝ)
5150ex 413 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 𝑇𝑦 ∈ ℝ))
52 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ V)
53 ioossre 13381 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ⊆ ℝ
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ⊆ ℝ)
5552, 54elpwd 4607 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝒫 ℝ)
5655adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝒫 ℝ)
5710, 12, 13smff 45434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐹:𝐷⟶ℝ)
5857ffnd 6715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝐹 Fn 𝐷)
59 fncnvima2 7059 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 Fn 𝐷 → (𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))})
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))})
6160adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) = {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))})
62 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥(𝜑𝑦 ∈ ℝ)
6310adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
6415adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ V)
6557adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
66 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝐷) → 𝑥𝐷)
6765, 66ffvelcdmd 7084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥𝐷) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
6867adantlr 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥𝐷) → (𝐹𝑥) ∈ ℝ)
6957feqmptd 6957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐹 = (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)))
7069eqcomd 2738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)) = 𝐹)
7170, 12eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
7271adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝐷 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
73 peano2rem 11523 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
7473rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) ∈ ℝ*)
7574adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ*)
76 peano2re 11383 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
7776rexrd 11260 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ*)
7877adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ*)
7962, 63, 64, 68, 72, 75, 78smfpimioompt 45488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → {𝑥𝐷 ∣ (𝐹𝑥) ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))} ∈ (𝑆t 𝐷))
8061, 79eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) ∈ (𝑆t 𝐷))
8156, 80jca 512 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) ∈ (𝑆t 𝐷)))
82 imaeq2 6053 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) → (𝐹𝑒) = (𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))))
8382eleq1d 2818 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) → ((𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ (𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) ∈ (𝑆t 𝐷)))
8483, 1elrab2 3685 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝑇 ↔ (((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) ∈ (𝑆t 𝐷)))
8581, 84sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝑇)
86 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ)
87 ltm1 12052 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) < 𝑦)
88 ltp1 12050 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑦 + 1))
8974, 77, 86, 87, 88eliood 44197 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)))
9089adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)))
91 nfv 1917 . . . . . . . . . . . 12 𝑒 𝑦 ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))
92 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . 12 𝑒((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))
93 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) → (𝑦𝑒𝑦 ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))))
9491, 92, 29, 93rspcef 43744 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝑇𝑦 ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) → ∃𝑒𝑇 𝑦𝑒)
9585, 90, 94syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑒𝑇 𝑦𝑒)
9695, 30sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 𝑇)
9796ex 413 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 𝑇))
9851, 97impbid 211 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦 𝑇𝑦 ∈ ℝ))
9926, 98alrimi 2206 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦(𝑦 𝑇𝑦 ∈ ℝ))
100 dfcleq 2725 . . . . . 6 ( 𝑇 = ℝ ↔ ∀𝑦(𝑦 𝑇𝑦 ∈ ℝ))
10199, 100sylibr 233 . . . . 5 (𝜑 𝑇 = ℝ)
102101difeq1d 4120 . . . 4 (𝜑 → ( 𝑇𝑥) = (ℝ ∖ 𝑥))
103102adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → ( 𝑇𝑥) = (ℝ ∖ 𝑥))
104 difss 4130 . . . . . . 7 (ℝ ∖ 𝑥) ⊆ ℝ
1052, 104ssexi 5321 . . . . . . . 8 (ℝ ∖ 𝑥) ∈ V
106 elpwg 4604 . . . . . . . 8 ((ℝ ∖ 𝑥) ∈ V → ((ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (ℝ ∖ 𝑥) ⊆ ℝ))
107105, 106ax-mp 5 . . . . . . 7 ((ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (ℝ ∖ 𝑥) ⊆ ℝ)
108104, 107mpbir 230 . . . . . 6 (ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 ℝ
109108a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → (ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 ℝ)
11057ffund 6718 . . . . . . . . 9 (𝜑 → Fun 𝐹)
111 difpreima 7063 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) = ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹𝑥)))
112110, 111syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) = ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹𝑥)))
113 fimacnv 6736 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:𝐷⟶ℝ → (𝐹 “ ℝ) = 𝐷)
11457, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) = 𝐷)
11510, 14restuni4 43795 . . . . . . . . . 10 (𝜑 (𝑆t 𝐷) = 𝐷)
116114, 115eqtr4d 2775 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐹 “ ℝ) = (𝑆t 𝐷))
117116difeq1d 4120 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐹 “ ℝ) ∖ (𝐹𝑥)) = ( (𝑆t 𝐷) ∖ (𝐹𝑥)))
118112, 117eqtrd 2772 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) = ( (𝑆t 𝐷) ∖ (𝐹𝑥)))
119118adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) = ( (𝑆t 𝐷) ∖ (𝐹𝑥)))
12017adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
121 imaeq2 6053 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = 𝑥 → (𝐹𝑒) = (𝐹𝑥))
122121eleq1d 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = 𝑥 → ((𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ (𝐹𝑥) ∈ (𝑆t 𝐷)))
123122, 1elrab2 3685 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝑇 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑆t 𝐷)))
124123biimpi 215 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑇 → (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹𝑥) ∈ (𝑆t 𝐷)))
125124simprd 496 . . . . . . . 8 (𝑥𝑇 → (𝐹𝑥) ∈ (𝑆t 𝐷))
126125adantl 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐹𝑥) ∈ (𝑆t 𝐷))
127120, 126saldifcld 45049 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑇) → ( (𝑆t 𝐷) ∖ (𝐹𝑥)) ∈ (𝑆t 𝐷))
128119, 127eqeltrd 2833 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑇) → (𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) ∈ (𝑆t 𝐷))
129109, 128jca 512 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑇) → ((ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) ∈ (𝑆t 𝐷)))
130 imaeq2 6053 . . . . . 6 (𝑒 = (ℝ ∖ 𝑥) → (𝐹𝑒) = (𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)))
131130eleq1d 2818 . . . . 5 (𝑒 = (ℝ ∖ 𝑥) → ((𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ (𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) ∈ (𝑆t 𝐷)))
132131, 1elrab2 3685 . . . 4 ((ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝑇 ↔ ((ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) ∈ (𝑆t 𝐷)))
133129, 132sylibr 233 . . 3 ((𝜑𝑥𝑇) → (ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝑇)
134103, 133eqeltrd 2833 . 2 ((𝜑𝑥𝑇) → ( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇)
135 nnex 12214 . . . . . . . 8 ℕ ∈ V
136 fvex 6901 . . . . . . . 8 (𝑔𝑛) ∈ V
137135, 136iunex 7951 . . . . . . 7 𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ V
138137a1i 11 . . . . . 6 (𝑔:ℕ⟶𝑇 𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ V)
139 ffvelcdm 7080 . . . . . . . 8 ((𝑔:ℕ⟶𝑇𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔𝑛) ∈ 𝑇)
1401eleq2i 2825 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔𝑛) ∈ 𝑇 ↔ (𝑔𝑛) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)})
141140biimpi 215 . . . . . . . . . 10 ((𝑔𝑛) ∈ 𝑇 → (𝑔𝑛) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)})
142 elrabi 3676 . . . . . . . . . 10 ((𝑔𝑛) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷)} → (𝑔𝑛) ∈ 𝒫 ℝ)
143141, 142syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝑛) ∈ 𝑇 → (𝑔𝑛) ∈ 𝒫 ℝ)
144 elpwi 4608 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝑛) ∈ 𝒫 ℝ → (𝑔𝑛) ⊆ ℝ)
145143, 144syl 17 . . . . . . . 8 ((𝑔𝑛) ∈ 𝑇 → (𝑔𝑛) ⊆ ℝ)
146139, 145syl 17 . . . . . . 7 ((𝑔:ℕ⟶𝑇𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔𝑛) ⊆ ℝ)
147146iunssd 5052 . . . . . 6 (𝑔:ℕ⟶𝑇 𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ⊆ ℝ)
148138, 147elpwd 4607 . . . . 5 (𝑔:ℕ⟶𝑇 𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ 𝒫 ℝ)
149148adantl 482 . . . 4 ((𝜑𝑔:ℕ⟶𝑇) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ 𝒫 ℝ)
150 imaiun 7240 . . . . . 6 (𝐹 𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛)) = 𝑛 ∈ ℕ (𝐹 “ (𝑔𝑛))
151150a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑔:ℕ⟶𝑇) → (𝐹 𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛)) = 𝑛 ∈ ℕ (𝐹 “ (𝑔𝑛)))
15217adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑔:ℕ⟶𝑇) → (𝑆t 𝐷) ∈ SAlg)
153 nnct 13942 . . . . . . 7 ℕ ≼ ω
154153a1i 11 . . . . . 6 ((𝜑𝑔:ℕ⟶𝑇) → ℕ ≼ ω)
155 imaeq2 6053 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = (𝑔𝑛) → (𝐹𝑒) = (𝐹 “ (𝑔𝑛)))
156155eleq1d 2818 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = (𝑔𝑛) → ((𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ (𝐹 “ (𝑔𝑛)) ∈ (𝑆t 𝐷)))
157156, 1elrab2 3685 . . . . . . . . . 10 ((𝑔𝑛) ∈ 𝑇 ↔ ((𝑔𝑛) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹 “ (𝑔𝑛)) ∈ (𝑆t 𝐷)))
158157biimpi 215 . . . . . . . . 9 ((𝑔𝑛) ∈ 𝑇 → ((𝑔𝑛) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹 “ (𝑔𝑛)) ∈ (𝑆t 𝐷)))
159158simprd 496 . . . . . . . 8 ((𝑔𝑛) ∈ 𝑇 → (𝐹 “ (𝑔𝑛)) ∈ (𝑆t 𝐷))
160139, 159syl 17 . . . . . . 7 ((𝑔:ℕ⟶𝑇𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 “ (𝑔𝑛)) ∈ (𝑆t 𝐷))
161160adantll 712 . . . . . 6 (((𝜑𝑔:ℕ⟶𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐹 “ (𝑔𝑛)) ∈ (𝑆t 𝐷))
162152, 154, 161saliuncl 45025 . . . . 5 ((𝜑𝑔:ℕ⟶𝑇) → 𝑛 ∈ ℕ (𝐹 “ (𝑔𝑛)) ∈ (𝑆t 𝐷))
163151, 162eqeltrd 2833 . . . 4 ((𝜑𝑔:ℕ⟶𝑇) → (𝐹 𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛)) ∈ (𝑆t 𝐷))
164149, 163jca 512 . . 3 ((𝜑𝑔:ℕ⟶𝑇) → ( 𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹 𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛)) ∈ (𝑆t 𝐷)))
165 imaeq2 6053 . . . . 5 (𝑒 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) → (𝐹𝑒) = (𝐹 𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛)))
166165eleq1d 2818 . . . 4 (𝑒 = 𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) → ((𝐹𝑒) ∈ (𝑆t 𝐷) ↔ (𝐹 𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛)) ∈ (𝑆t 𝐷)))
167166, 1elrab2 3685 . . 3 ( 𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ 𝑇 ↔ ( 𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (𝐹 𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛)) ∈ (𝑆t 𝐷)))
168164, 167sylibr 233 . 2 ((𝜑𝑔:ℕ⟶𝑇) → 𝑛 ∈ ℕ (𝑔𝑛) ∈ 𝑇)
1695, 24, 25, 134, 168issalnnd 45047 1 (𝜑𝑇 ∈ SAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  wal 1539   = wceq 1541  wcel 2106  wrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474  cdif 3944  wss 3947  c0 4321  𝒫 cpw 4601   cuni 4907   ciun 4996   class class class wbr 5147  cmpt 5230  ccnv 5674  dom cdm 5675  cima 5678  Fun wfun 6534   Fn wfn 6535  wf 6536  cfv 6540  (class class class)co 7405  ωcom 7851  cdom 8933  cr 11105  1c1 11107   + caddc 11109  *cxr 11243  cmin 11440  cn 12208  (,)cioo 13320  t crest 17362  SAlgcsalg 45010  SMblFncsmblfn 45397
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-ac2 10454  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-card 9930  df-acn 9933  df-ac 10107  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-fl 13753  df-rest 17364  df-salg 45011  df-smblfn 45398
This theorem is referenced by:  smfpimbor1lem1  45500  smfpimbor1lem2  45501
  Copyright terms: Public domain W3C validator