Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  smfresal Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem smfresal 45802
Description: Given a sigma-measurable function, the subsets of ℝ whose preimage is in the sigma-algebra induced by the function's domain, form a sigma-algebra. First part of the proof of Proposition 121E (f) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
smfresal.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
smfresal.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
smfresal.d 𝐷 = dom 𝐹
smfresal.t 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)}
Assertion
Ref Expression
smfresal (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ SAlg)
Distinct variable groups:   𝐷,𝑒   𝑒,𝐹   𝑆,𝑒   πœ‘,𝑒
Allowed substitution hint:   𝑇(𝑒)

Proof of Theorem smfresal
Dummy variables 𝑛 π‘₯ 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 smfresal.t . . . 4 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)}
2 reex 11203 . . . . 5 ℝ ∈ V
32pwex 5377 . . . 4 𝒫 ℝ ∈ V
41, 3rabex2 5333 . . 3 𝑇 ∈ V
54a1i 11 . 2 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ V)
6 0elpw 5353 . . . . 5 βˆ… ∈ 𝒫 ℝ
76a1i 11 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝒫 ℝ)
8 ima0 6075 . . . . . 6 (◑𝐹 β€œ βˆ…) = βˆ…
98a1i 11 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ βˆ…) = βˆ…)
10 smfresal.s . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
1110uniexd 7734 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
12 smfresal.f . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
13 smfresal.d . . . . . . . . 9 𝐷 = dom 𝐹
1410, 12, 13smfdmss 45747 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† βˆͺ 𝑆)
1511, 14ssexd 5323 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ V)
16 eqid 2730 . . . . . . 7 (𝑆 β†Ύt 𝐷) = (𝑆 β†Ύt 𝐷)
1710, 15, 16subsalsal 45373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
18170sald 45364 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
199, 18eqeltrd 2831 . . . 4 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ βˆ…) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
207, 19jca 510 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ… ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◑𝐹 β€œ βˆ…) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
21 imaeq2 6054 . . . . 5 (𝑒 = βˆ… β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑒) = (◑𝐹 β€œ βˆ…))
2221eleq1d 2816 . . . 4 (𝑒 = βˆ… β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ (◑𝐹 β€œ βˆ…) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
2322, 1elrab2 3685 . . 3 (βˆ… ∈ 𝑇 ↔ (βˆ… ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◑𝐹 β€œ βˆ…) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
2420, 23sylibr 233 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ… ∈ 𝑇)
25 eqid 2730 . 2 βˆͺ 𝑇 = βˆͺ 𝑇
26 nfv 1915 . . . . . . 7 β„²π‘¦πœ‘
27 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑒𝑦
28 nfrab1 3449 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑒{𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)}
291, 28nfcxfr 2899 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑒𝑇
3027, 29eluni2f 44093 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ βˆͺ 𝑇 ↔ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑇 𝑦 ∈ 𝑒)
3130biimpi 215 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ βˆͺ 𝑇 β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑇 𝑦 ∈ 𝑒)
3231adantl 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑇 𝑦 ∈ 𝑒)
33 nfv 1915 . . . . . . . . . . . 12 β„²π‘’πœ‘
3429nfuni 4914 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑒βˆͺ 𝑇
3527, 34nfel 2915 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑒 𝑦 ∈ βˆͺ 𝑇
3633, 35nfan 1900 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑒(πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝑇)
3727nfel1 2917 . . . . . . . . . . 11 Ⅎ𝑒 𝑦 ∈ ℝ
381eleq2i 2823 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 ∈ 𝑇 ↔ 𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)})
3938biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 ∈ 𝑇 β†’ 𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)})
40 rabidim1 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)} β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
4139, 40syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∈ 𝑇 β†’ 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
42 elpwi 4608 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 ∈ 𝒫 ℝ β†’ 𝑒 βŠ† ℝ)
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑒 ∈ 𝑇 β†’ 𝑒 βŠ† ℝ)
4443adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑒 βŠ† ℝ)
45 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑦 ∈ 𝑒)
4644, 45sseldd 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑒) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
4746ex 411 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 ∈ 𝑇 β†’ (𝑦 ∈ 𝑒 β†’ 𝑦 ∈ ℝ))
4847a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ (𝑒 ∈ 𝑇 β†’ (𝑦 ∈ 𝑒 β†’ 𝑦 ∈ ℝ)))
4936, 37, 48rexlimd 3261 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ (βˆƒπ‘’ ∈ 𝑇 𝑦 ∈ 𝑒 β†’ 𝑦 ∈ ℝ))
5032, 49mpd 15 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝑇) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
5150ex 411 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝑇 β†’ 𝑦 ∈ ℝ))
52 ovexd 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ V)
53 ioossre 13389 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1)) βŠ† ℝ
5453a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1)) βŠ† ℝ)
5552, 54elpwd 4607 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝒫 ℝ)
5655adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝒫 ℝ)
5710, 12, 13smff 45746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
5857ffnd 6717 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn 𝐷)
59 fncnvima2 7061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐹 Fn 𝐷 β†’ (◑𝐹 β€œ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1))) = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1))})
6058, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1))) = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1))})
6160adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1))) = {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1))})
62 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
6310adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑆 ∈ SAlg)
6415adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝐷 ∈ V)
6557adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ 𝐹:π·βŸΆβ„)
66 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ π‘₯ ∈ 𝐷)
6765, 66ffvelcdmd 7086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
6867adantlr 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ 𝐷) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ℝ)
6957feqmptd 6959 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
7069eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = 𝐹)
7170, 12eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
7271adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ (SMblFnβ€˜π‘†))
73 peano2rem 11531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
7473rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦 βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
7574adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 βˆ’ 1) ∈ ℝ*)
76 peano2re 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
7776rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦 + 1) ∈ ℝ*)
7877adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (𝑦 + 1) ∈ ℝ*)
7962, 63, 64, 68, 72, 75, 78smfpimioompt 45800 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ {π‘₯ ∈ 𝐷 ∣ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1))} ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
8061, 79eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (◑𝐹 β€œ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1))) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
8156, 80jca 510 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◑𝐹 β€œ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1))) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
82 imaeq2 6054 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑒 = ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1)) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑒) = (◑𝐹 β€œ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1))))
8382eleq1d 2816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑒 = ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1)) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ (◑𝐹 β€œ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1))) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
8483, 1elrab2 3685 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝑇 ↔ (((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◑𝐹 β€œ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1))) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
8581, 84sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝑇)
86 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
87 ltm1 12060 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ β†’ (𝑦 βˆ’ 1) < 𝑦)
88 ltp1 12058 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 < (𝑦 + 1))
8974, 77, 86, 87, 88eliood 44509 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1)))
9089adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1)))
91 nfv 1915 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑒 𝑦 ∈ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1))
92 nfcv 2901 . . . . . . . . . . . 12 Ⅎ𝑒((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1))
93 eleq2 2820 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1)) β†’ (𝑦 ∈ 𝑒 ↔ 𝑦 ∈ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1))))
9491, 92, 29, 93rspcef 44060 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑦 βˆ’ 1)(,)(𝑦 + 1))) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑇 𝑦 ∈ 𝑒)
9585, 90, 94syl2anc 582 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ βˆƒπ‘’ ∈ 𝑇 𝑦 ∈ 𝑒)
9695, 30sylibr 233 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝑇)
9796ex 411 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ ℝ β†’ 𝑦 ∈ βˆͺ 𝑇))
9851, 97impbid 211 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ βˆͺ 𝑇 ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
9926, 98alrimi 2204 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦(𝑦 ∈ βˆͺ 𝑇 ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
100 dfcleq 2723 . . . . . 6 (βˆͺ 𝑇 = ℝ ↔ βˆ€π‘¦(𝑦 ∈ βˆͺ 𝑇 ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
10199, 100sylibr 233 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑇 = ℝ)
102101difeq1d 4120 . . . 4 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑇 βˆ– π‘₯) = (ℝ βˆ– π‘₯))
103102adantr 479 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (βˆͺ 𝑇 βˆ– π‘₯) = (ℝ βˆ– π‘₯))
104 difss 4130 . . . . . . 7 (ℝ βˆ– π‘₯) βŠ† ℝ
1052, 104ssexi 5321 . . . . . . . 8 (ℝ βˆ– π‘₯) ∈ V
106 elpwg 4604 . . . . . . . 8 ((ℝ βˆ– π‘₯) ∈ V β†’ ((ℝ βˆ– π‘₯) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (ℝ βˆ– π‘₯) βŠ† ℝ))
107105, 106ax-mp 5 . . . . . . 7 ((ℝ βˆ– π‘₯) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (ℝ βˆ– π‘₯) βŠ† ℝ)
108104, 107mpbir 230 . . . . . 6 (ℝ βˆ– π‘₯) ∈ 𝒫 ℝ
109108a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (ℝ βˆ– π‘₯) ∈ 𝒫 ℝ)
11057ffund 6720 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Fun 𝐹)
111 difpreima 7065 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) = ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
112110, 111syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) = ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
113 fimacnv 6738 . . . . . . . . . . 11 (𝐹:π·βŸΆβ„ β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) = 𝐷)
11457, 113syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) = 𝐷)
11510, 14restuni4 44111 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) = 𝐷)
116114, 115eqtr4d 2773 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ ℝ) = βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
117116difeq1d 4120 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((◑𝐹 β€œ ℝ) βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)) = (βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
118112, 117eqtrd 2770 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) = (βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
119118adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) = (βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)))
12017adantr 479 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
121 imaeq2 6054 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = π‘₯ β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑒) = (◑𝐹 β€œ π‘₯))
122121eleq1d 2816 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = π‘₯ β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
123122, 1elrab2 3685 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ 𝑇 ↔ (π‘₯ ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
124123biimpi 215 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ (π‘₯ ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
125124simprd 494 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑇 β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
126125adantl 480 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (◑𝐹 β€œ π‘₯) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
127120, 126saldifcld 45361 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (βˆͺ (𝑆 β†Ύt 𝐷) βˆ– (◑𝐹 β€œ π‘₯)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
128119, 127eqeltrd 2831 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
129109, 128jca 510 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ ((ℝ βˆ– π‘₯) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
130 imaeq2 6054 . . . . . 6 (𝑒 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑒) = (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)))
131130eleq1d 2816 . . . . 5 (𝑒 = (ℝ βˆ– π‘₯) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
132131, 1elrab2 3685 . . . 4 ((ℝ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑇 ↔ ((ℝ βˆ– π‘₯) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◑𝐹 β€œ (ℝ βˆ– π‘₯)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
133129, 132sylibr 233 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (ℝ βˆ– π‘₯) ∈ 𝑇)
134103, 133eqeltrd 2831 . 2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑇) β†’ (βˆͺ 𝑇 βˆ– π‘₯) ∈ 𝑇)
135 nnex 12222 . . . . . . . 8 β„• ∈ V
136 fvex 6903 . . . . . . . 8 (π‘”β€˜π‘›) ∈ V
137135, 136iunex 7957 . . . . . . 7 βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ V
138137a1i 11 . . . . . 6 (𝑔:β„•βŸΆπ‘‡ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ V)
139 ffvelcdm 7082 . . . . . . . 8 ((𝑔:β„•βŸΆπ‘‡ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ 𝑇)
1401eleq2i 2823 . . . . . . . . . . 11 ((π‘”β€˜π‘›) ∈ 𝑇 ↔ (π‘”β€˜π‘›) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)})
141140biimpi 215 . . . . . . . . . 10 ((π‘”β€˜π‘›) ∈ 𝑇 β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)})
142 elrabi 3676 . . . . . . . . . 10 ((π‘”β€˜π‘›) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)} β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ 𝒫 ℝ)
143141, 142syl 17 . . . . . . . . 9 ((π‘”β€˜π‘›) ∈ 𝑇 β†’ (π‘”β€˜π‘›) ∈ 𝒫 ℝ)
144 elpwi 4608 . . . . . . . . 9 ((π‘”β€˜π‘›) ∈ 𝒫 ℝ β†’ (π‘”β€˜π‘›) βŠ† ℝ)
145143, 144syl 17 . . . . . . . 8 ((π‘”β€˜π‘›) ∈ 𝑇 β†’ (π‘”β€˜π‘›) βŠ† ℝ)
146139, 145syl 17 . . . . . . 7 ((𝑔:β„•βŸΆπ‘‡ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘”β€˜π‘›) βŠ† ℝ)
147146iunssd 5052 . . . . . 6 (𝑔:β„•βŸΆπ‘‡ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) βŠ† ℝ)
148138, 147elpwd 4607 . . . . 5 (𝑔:β„•βŸΆπ‘‡ β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ 𝒫 ℝ)
149148adantl 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔:β„•βŸΆπ‘‡) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ 𝒫 ℝ)
150 imaiun 7246 . . . . . 6 (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›)) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (◑𝐹 β€œ (π‘”β€˜π‘›))
151150a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔:β„•βŸΆπ‘‡) β†’ (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›)) = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (◑𝐹 β€œ (π‘”β€˜π‘›)))
15217adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔:β„•βŸΆπ‘‡) β†’ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ∈ SAlg)
153 nnct 13950 . . . . . . 7 β„• β‰Ό Ο‰
154153a1i 11 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑔:β„•βŸΆπ‘‡) β†’ β„• β‰Ό Ο‰)
155 imaeq2 6054 . . . . . . . . . . . 12 (𝑒 = (π‘”β€˜π‘›) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑒) = (◑𝐹 β€œ (π‘”β€˜π‘›)))
156155eleq1d 2816 . . . . . . . . . . 11 (𝑒 = (π‘”β€˜π‘›) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ (◑𝐹 β€œ (π‘”β€˜π‘›)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
157156, 1elrab2 3685 . . . . . . . . . 10 ((π‘”β€˜π‘›) ∈ 𝑇 ↔ ((π‘”β€˜π‘›) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◑𝐹 β€œ (π‘”β€˜π‘›)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
158157biimpi 215 . . . . . . . . 9 ((π‘”β€˜π‘›) ∈ 𝑇 β†’ ((π‘”β€˜π‘›) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◑𝐹 β€œ (π‘”β€˜π‘›)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
159158simprd 494 . . . . . . . 8 ((π‘”β€˜π‘›) ∈ 𝑇 β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘”β€˜π‘›)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
160139, 159syl 17 . . . . . . 7 ((𝑔:β„•βŸΆπ‘‡ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘”β€˜π‘›)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
161160adantll 710 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑔:β„•βŸΆπ‘‡) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (◑𝐹 β€œ (π‘”β€˜π‘›)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
162152, 154, 161saliuncl 45337 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑔:β„•βŸΆπ‘‡) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (◑𝐹 β€œ (π‘”β€˜π‘›)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
163151, 162eqeltrd 2831 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑔:β„•βŸΆπ‘‡) β†’ (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷))
164149, 163jca 510 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑔:β„•βŸΆπ‘‡) β†’ (βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
165 imaeq2 6054 . . . . 5 (𝑒 = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) β†’ (◑𝐹 β€œ 𝑒) = (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›)))
166165eleq1d 2816 . . . 4 (𝑒 = βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) β†’ ((◑𝐹 β€œ 𝑒) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷) ↔ (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
167166, 1elrab2 3685 . . 3 (βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ 𝑇 ↔ (βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◑𝐹 β€œ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›)) ∈ (𝑆 β†Ύt 𝐷)))
168164, 167sylibr 233 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑔:β„•βŸΆπ‘‡) β†’ βˆͺ 𝑛 ∈ β„• (π‘”β€˜π‘›) ∈ 𝑇)
1695, 24, 25, 134, 168issalnnd 45359 1 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ SAlg)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394  βˆ€wal 1537   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆƒwrex 3068  {crab 3430  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3944   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  π’« cpw 4601  βˆͺ cuni 4907  βˆͺ ciun 4996   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675   β€œ cima 5678  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857   β‰Ό cdom 8939  β„cr 11111  1c1 11113   + caddc 11115  β„*cxr 11251   βˆ’ cmin 11448  β„•cn 12216  (,)cioo 13328   β†Ύt crest 17370  SAlgcsalg 45322  SMblFncsmblfn 45709
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-ac2 10460  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-card 9936  df-acn 9939  df-ac 10113  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-fl 13761  df-rest 17372  df-salg 45323  df-smblfn 45710
This theorem is referenced by:  smfpimbor1lem1  45812  smfpimbor1lem2  45813
  Copyright terms: Public domain W3C validator