Theorem smfresal 43420

Description: Given a sigma-measurable function, the subsets of ℝ whose preimage is in the sigma-algebra induced by the function's domain, form a sigma-algebra. First part of the proof of Proposition 121E (f) of [Fremlin1] p. 38 . (Contributed by Glauco Siliprandi, 26-Jun-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
smfresal.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
smfresal.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
smfresal.d	⊢ 𝐷 = dom 𝐹
smfresal.t	⊢ 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}

Assertion

Ref	Expression
smfresal	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ SAlg)

Distinct variable groups:   𝐷,𝑒   𝑒,𝐹   𝑆,𝑒   𝜑,𝑒

Allowed substitution hint:   𝑇(𝑒)

Proof of Theorem smfresal

Dummy variables 𝑛 𝑥 𝑔 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		smfresal.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}
2		reex 10617	. . . . 5 ⊢ ℝ ∈ V
3	2	pwex 5246	. . . 4 ⊢ 𝒫 ℝ ∈ V
4	1, 3	rabex2 5201	. . 3 ⊢ 𝑇 ∈ V
5	4	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ V)
6		0elpw 5221	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 ℝ
7	6	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝒫 ℝ)
8		ima0 5912	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ ∅) = ∅
9	8	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ∅) = ∅)
10		smfresal.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ SAlg)
11	10	uniexd 7448	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V)
12		smfresal.f	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (SMblFn‘𝑆))
13		smfresal.d	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐷 = dom 𝐹
14	10, 12, 13	smfdmss 43367	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ∪ 𝑆)
15	11, 14	ssexd 5192	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
16		eqid 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ↾t 𝐷) = (𝑆 ↾t 𝐷)
17	10, 15, 16	subsalsal 42999	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
18	17	0sald 42990	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
19	9, 18	eqeltrd 2890	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ∅) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
20	7, 19	jca 515	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∅ ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ ∅) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
21		imaeq2 5892	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = ∅ → (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ ∅))
22	21	eleq1d 2874	. . . 4 ⊢ (𝑒 = ∅ → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ (◡𝐹 “ ∅) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
23	22, 1	elrab2 3631	. . 3 ⊢ (∅ ∈ 𝑇 ↔ (∅ ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ ∅) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
24	20, 23	sylibr 237	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝑇)
25		eqid 2798	. 2 ⊢ ∪ 𝑇 = ∪ 𝑇
26		nfv 1915	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦𝜑
27		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑒𝑦
28		nfrab1 3337	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑒{𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)}
29	1, 28	nfcxfr 2953	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑒𝑇
30	27, 29	eluni2f 41739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑇 ↔ ∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑦 ∈ 𝑒)
31	30	biimpi 219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑇 → ∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑦 ∈ 𝑒)
32	31	adantl 485	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝑇) → ∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑦 ∈ 𝑒)
33		nfv 1915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑒𝜑
34	29	nfuni 4807	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑒∪ 𝑇
35	27, 34	nfel 2969	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑒 𝑦 ∈ ∪ 𝑇
36	33, 35	nfan 1900	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑒(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝑇)
37	27	nfel1 2971	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Ⅎ𝑒 𝑦 ∈ ℝ
38	1	eleq2i 2881	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 ↔ 𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)})
39	38	biimpi 219	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)})
40		rabidim1 3333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑒 ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)} → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
41	39, 40	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ∈ 𝒫 ℝ)
42		elpwi 4506	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑒 ∈ 𝒫 ℝ → 𝑒 ⊆ ℝ)
43	41, 42	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → 𝑒 ⊆ ℝ)
44	43	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑒) → 𝑒 ⊆ ℝ)
45		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑒) → 𝑦 ∈ 𝑒)
46	44, 45	sseldd 3916	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑒 ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ 𝑒) → 𝑦 ∈ ℝ)
47	46	ex 416	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 ∈ 𝑇 → (𝑦 ∈ 𝑒 → 𝑦 ∈ ℝ))
48	47	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝑇) → (𝑒 ∈ 𝑇 → (𝑦 ∈ 𝑒 → 𝑦 ∈ ℝ)))
49	36, 37, 48	rexlimd 3276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝑇) → (∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑦 ∈ 𝑒 → 𝑦 ∈ ℝ))
50	32, 49	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ∪ 𝑇) → 𝑦 ∈ ℝ)
51	50	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ∪ 𝑇 → 𝑦 ∈ ℝ))
52		ovexd 7170	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ V)
53		ioossre 12786	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ⊆ ℝ
54	53	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ⊆ ℝ)
55	52, 54	elpwd 4505	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝒫 ℝ)
56	55	adantr 484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝒫 ℝ)
57	10, 12, 13	smff 43366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
58	57	ffnd 6488	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn 𝐷)
59		fncnvima2 6808	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐹 Fn 𝐷 → (◡𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))})
60	58, 59	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))})
61	60	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) = {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))})
62		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ)
63	10	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑆 ∈ SAlg)
64	15	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ V)
65	57	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝐹:𝐷⟶ℝ)
66		simpr 488	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → 𝑥 ∈ 𝐷)
67	65, 66	ffvelrnd 6829	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
68	67	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ 𝐷) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℝ)
69	57	feqmptd 6708	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)))
70	69	eqcomd 2804	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) = 𝐹)
71	70, 12	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
72	71	adantr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ (SMblFn‘𝑆))
73		peano2rem 10942	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) ∈ ℝ)
74	73	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) ∈ ℝ*)
75	74	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 − 1) ∈ ℝ*)
76		peano2re 10802	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
77	76	rexrd 10680	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 + 1) ∈ ℝ*)
78	77	adantl 485	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ*)
79	62, 63, 64, 68, 72, 75, 78	smfpimioompt 43418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → {𝑥 ∈ 𝐷 ∣ (𝐹‘𝑥) ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))} ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
80	61, 79	eqeltrd 2890	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (◡𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
81	56, 80	jca 515	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
82		imaeq2 5892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑒 = ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) → (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))))
83	82	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑒 = ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ (◡𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
84	83, 1	elrab2 3631	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝑇 ↔ (((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
85	81, 84	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝑇)
86		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℝ)
87		ltm1 11471	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 − 1) < 𝑦)
88		ltp1 11469	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 < (𝑦 + 1))
89	74, 77, 86, 87, 88	eliood 42135	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)))
90	89	adantl 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)))
91		nfv 1915	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑒 𝑦 ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))
92		nfcv 2955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Ⅎ𝑒((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))
93		eleq2 2878	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) → (𝑦 ∈ 𝑒 ↔ 𝑦 ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))))
94	91, 92, 29, 93	rspcef 41706	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1)) ∈ 𝑇 ∧ 𝑦 ∈ ((𝑦 − 1)(,)(𝑦 + 1))) → ∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑦 ∈ 𝑒)
95	85, 90, 94	syl2anc 587	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑒 ∈ 𝑇 𝑦 ∈ 𝑒)
96	95, 30	sylibr 237	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ∪ 𝑇)
97	96	ex 416	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ∪ 𝑇))
98	51, 97	impbid 215	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ ∪ 𝑇 ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
99	26, 98	alrimi 2211	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦(𝑦 ∈ ∪ 𝑇 ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
100		dfcleq 2792	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑇 = ℝ ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ ∪ 𝑇 ↔ 𝑦 ∈ ℝ))
101	99, 100	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑇 = ℝ)
102	101	difeq1d 4049	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) = (ℝ ∖ 𝑥))
103	102	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) = (ℝ ∖ 𝑥))
104		difss 4059	. . . . . . 7 ⊢ (ℝ ∖ 𝑥) ⊆ ℝ
105	2, 104	ssexi 5190	. . . . . . . 8 ⊢ (ℝ ∖ 𝑥) ∈ V
106		elpwg 4500	. . . . . . . 8 ⊢ ((ℝ ∖ 𝑥) ∈ V → ((ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (ℝ ∖ 𝑥) ⊆ ℝ))
107	105, 106	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ((ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 ℝ ↔ (ℝ ∖ 𝑥) ⊆ ℝ)
108	104, 107	mpbir 234	. . . . . 6 ⊢ (ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 ℝ
109	108	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 ℝ)
110	57	ffund 6491	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
111		difpreima 6812	. . . . . . . . 9 ⊢ (Fun 𝐹 → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) = ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ 𝑥)))
112	110, 111	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) = ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ 𝑥)))
113		fimacnv 6816	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹:𝐷⟶ℝ → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐷)
114	57, 113	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℝ) = 𝐷)
115	10, 14	restuni4 41756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∪ (𝑆 ↾t 𝐷) = 𝐷)
116	114, 115	eqtr4d 2836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ ℝ) = ∪ (𝑆 ↾t 𝐷))
117	116	difeq1d 4049	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((◡𝐹 “ ℝ) ∖ (◡𝐹 “ 𝑥)) = (∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∖ (◡𝐹 “ 𝑥)))
118	112, 117	eqtrd 2833	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) = (∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∖ (◡𝐹 “ 𝑥)))
119	118	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) = (∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∖ (◡𝐹 “ 𝑥)))
120	17	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
121		imaeq2 5892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = 𝑥 → (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ 𝑥))
122	121	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = 𝑥 → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
123	122, 1	elrab2 3631	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 ↔ (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
124	123	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 → (𝑥 ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
125	124	simprd 499	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
126	125	adantl 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝐹 “ 𝑥) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
127	120, 126	saldifcld 42987	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (∪ (𝑆 ↾t 𝐷) ∖ (◡𝐹 “ 𝑥)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
128	119, 127	eqeltrd 2890	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (◡𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
129	109, 128	jca 515	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → ((ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
130		imaeq2 5892	. . . . . 6 ⊢ (𝑒 = (ℝ ∖ 𝑥) → (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)))
131	130	eleq1d 2874	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = (ℝ ∖ 𝑥) → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
132	131, 1	elrab2 3631	. . . 4 ⊢ ((ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝑇 ↔ ((ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ (ℝ ∖ 𝑥)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
133	129, 132	sylibr 237	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (ℝ ∖ 𝑥) ∈ 𝑇)
134	103, 133	eqeltrd 2890	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑇) → (∪ 𝑇 ∖ 𝑥) ∈ 𝑇)
135		nnex 11631	. . . . . . . 8 ⊢ ℕ ∈ V
136		fvex 6658	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑔‘𝑛) ∈ V
137	135, 136	iunex 7651	. . . . . . 7 ⊢ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ∈ V
138	137	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑔:ℕ⟶𝑇 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ∈ V)
139		ffvelrn 6826	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔:ℕ⟶𝑇 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔‘𝑛) ∈ 𝑇)
140	1	eleq2i 2881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔‘𝑛) ∈ 𝑇 ↔ (𝑔‘𝑛) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)})
141	140	biimpi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔‘𝑛) ∈ 𝑇 → (𝑔‘𝑛) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)})
142		elrabi 3623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔‘𝑛) ∈ {𝑒 ∈ 𝒫 ℝ ∣ (◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)} → (𝑔‘𝑛) ∈ 𝒫 ℝ)
143	141, 142	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔‘𝑛) ∈ 𝑇 → (𝑔‘𝑛) ∈ 𝒫 ℝ)
144		elpwi 4506	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔‘𝑛) ∈ 𝒫 ℝ → (𝑔‘𝑛) ⊆ ℝ)
145	143, 144	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔‘𝑛) ∈ 𝑇 → (𝑔‘𝑛) ⊆ ℝ)
146	139, 145	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:ℕ⟶𝑇 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑔‘𝑛) ⊆ ℝ)
147	146	iunssd 4937	. . . . . 6 ⊢ (𝑔:ℕ⟶𝑇 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ⊆ ℝ)
148	138, 147	elpwd 4505	. . . . 5 ⊢ (𝑔:ℕ⟶𝑇 → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ∈ 𝒫 ℝ)
149	148	adantl 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶𝑇) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ∈ 𝒫 ℝ)
150		imaiun 6982	. . . . . 6 ⊢ (◡𝐹 “ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛)) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (𝑔‘𝑛))
151	150	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶𝑇) → (◡𝐹 “ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛)) = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (𝑔‘𝑛)))
152	17	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶𝑇) → (𝑆 ↾t 𝐷) ∈ SAlg)
153		nnct 13344	. . . . . . 7 ⊢ ℕ ≼ ω
154	153	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶𝑇) → ℕ ≼ ω)
155		imaeq2 5892	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑒 = (𝑔‘𝑛) → (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ (𝑔‘𝑛)))
156	155	eleq1d 2874	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑒 = (𝑔‘𝑛) → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ (◡𝐹 “ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
157	156, 1	elrab2 3631	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑔‘𝑛) ∈ 𝑇 ↔ ((𝑔‘𝑛) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
158	157	biimpi 219	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑔‘𝑛) ∈ 𝑇 → ((𝑔‘𝑛) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
159	158	simprd 499	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑔‘𝑛) ∈ 𝑇 → (◡𝐹 “ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
160	139, 159	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔:ℕ⟶𝑇 ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
161	160	adantll 713	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶𝑇) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (◡𝐹 “ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
162	152, 154, 161	saliuncl 42964	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶𝑇) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (◡𝐹 “ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
163	151, 162	eqeltrd 2890	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶𝑇) → (◡𝐹 “ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷))
164	149, 163	jca 515	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶𝑇) → (∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
165		imaeq2 5892	. . . . 5 ⊢ (𝑒 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) → (◡𝐹 “ 𝑒) = (◡𝐹 “ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛)))
166	165	eleq1d 2874	. . . 4 ⊢ (𝑒 = ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) → ((◡𝐹 “ 𝑒) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷) ↔ (◡𝐹 “ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
167	166, 1	elrab2 3631	. . 3 ⊢ (∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ∈ 𝑇 ↔ (∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ∈ 𝒫 ℝ ∧ (◡𝐹 “ ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛)) ∈ (𝑆 ↾t 𝐷)))
168	164, 167	sylibr 237	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑔:ℕ⟶𝑇) → ∪ 𝑛 ∈ ℕ (𝑔‘𝑛) ∈ 𝑇)
169	5, 24, 25, 134, 168	issalnnd 42985	1 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ SAlg)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399  ∀wal 1536   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∃wrex 3107  {crab 3110  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  𝒫 cpw 4497  ∪ cuni 4800  ∪ ciun 4881   class class class wbr 5030   ↦ cmpt 5110  ^◡ccnv 5518  dom cdm 5519   “ cima 5522  Fun wfun 6318   Fn wfn 6319  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ωcom 7560   ≼ cdom 8490  ℝcr 10525  1c1 10527   + caddc 10529  ℝ^*cxr 10663   − cmin 10859  ℕcn 11625  (,)cioo 12726   ↾_t crest 16686  SAlgcsalg 42950  SMblFncsmblfn 43334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-inf2 9088  ax-cc 9846  ax-ac2 9874  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603  ax-pre-sup 10604

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-pm 8392  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-sup 8890  df-inf 8891  df-card 9352  df-acn 9355  df-ac 9527  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287  df-nn 11626  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-q 12337  df-rp 12378  df-ioo 12730  df-ico 12732  df-fl 13157  df-rest 16688  df-salg 42951  df-smblfn 43335

This theorem is referenced by:  smfpimbor1lem1  43430  smfpimbor1lem2  43431