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Theorem elrspunidl 32203
Description: Elementhood to the span of a union of ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
elrspunidl.n 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
elrspunidl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrspunidl.1 0 = (0g𝑅)
elrspunidl.x · = (.r𝑅)
elrspunidl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
elrspunidl.i (𝜑𝑆 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
elrspunidl (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁 𝑆) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘)))
Distinct variable groups:   0 ,𝑎,𝑘   · ,𝑎,𝑘   𝐵,𝑎,𝑘   𝑅,𝑎,𝑘   𝑆,𝑎,𝑘   𝑋,𝑎,𝑘   𝜑,𝑎,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑘,𝑎)

Proof of Theorem elrspunidl
Dummy variables 𝑏 𝑓 𝑖 𝑗 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrspunidl.n . . 3 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
2 elrspunidl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 elrspunidl.1 . . 3 0 = (0g𝑅)
4 elrspunidl.x . . 3 · = (.r𝑅)
5 elrspunidl.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
6 elrspunidl.i . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
76sselda 3944 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑆) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8 eqid 2736 . . . . . . 7 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
92, 8lidlss 20680 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖𝐵)
107, 9syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑆) → 𝑖𝐵)
1110ralrimiva 3143 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖𝑆 𝑖𝐵)
12 unissb 4900 . . . 4 ( 𝑆𝐵 ↔ ∀𝑖𝑆 𝑖𝐵)
1311, 12sylibr 233 . . 3 (𝜑 𝑆𝐵)
141, 2, 3, 4, 5, 13elrsp 32162 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁 𝑆) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))))
15 fvexd 6857 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) ∈ V)
1615, 6ssexd 5281 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ V)
1716uniexd 7679 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑆 ∈ V)
18 eluni2 4869 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 𝑆 ↔ ∃𝑖𝑆 𝑗𝑖)
1918biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑗 𝑆 → ∃𝑖𝑆 𝑗𝑖)
2019adantl 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 𝑆) → ∃𝑖𝑆 𝑗𝑖)
2120ralrimiva 3143 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 𝑆𝑖𝑆 𝑗𝑖)
22 eleq2 2826 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑓𝑗) → (𝑗𝑖𝑗 ∈ (𝑓𝑗)))
2322ac6sg 10424 . . . . . . . 8 ( 𝑆 ∈ V → (∀𝑗 𝑆𝑖𝑆 𝑗𝑖 → ∃𝑓(𝑓: 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗))))
2417, 21, 23sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓: 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)))
2524ad3antrrr 728 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → ∃𝑓(𝑓: 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)))
26 simp-5l 783 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝜑)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → 𝜑)
28 ringcmn 20003 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
2927, 5, 283syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → 𝑅 ∈ CMnd)
30 vex 3449 . . . . . . . . . . . . 13 𝑓 ∈ V
31 cnvexg 7861 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V → 𝑓 ∈ V)
32 imaexg 7852 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V → (𝑓 “ {𝑖}) ∈ V)
3330, 31, 32mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 “ {𝑖}) ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑓 “ {𝑖}) ∈ V)
355ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑅 ∈ Ring)
36 elmapi 8787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆) → 𝑏: 𝑆𝐵)
3736ad7antlr 737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑏: 𝑆𝐵)
38 cnvimass 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ dom 𝑓
39 fdm 6677 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓: 𝑆𝑆 → dom 𝑓 = 𝑆)
4038, 39sseqtrid 3996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓: 𝑆𝑆 → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ 𝑆)
4140ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ 𝑆)
4241sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑙 𝑆)
4337, 42ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → (𝑏𝑙) ∈ 𝐵)
4413ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑆𝐵)
4544, 42sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑙𝐵)
462, 4ringcl 19981 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏𝑙) ∈ 𝐵𝑙𝐵) → ((𝑏𝑙) · 𝑙) ∈ 𝐵)
4735, 43, 45, 46syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏𝑙) · 𝑙) ∈ 𝐵)
48 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑙 → (𝑏𝑗) = (𝑏𝑙))
49 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑙𝑗 = 𝑙)
5048, 49oveq12d 7375 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑙 → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ((𝑏𝑙) · 𝑙))
5150cbvmptv 5218 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑙) · 𝑙))
5247, 51fmptd 7062 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)):(𝑓 “ {𝑖})⟶𝐵)
5334mptexd 7174 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V)
5452ffund 6672 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → Fun (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
55 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → 𝑏 finSupp 0 )
56 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 )
57 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝑅
58 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗 Σg
59 nfmpt1 5213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗(𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))
6057, 58, 59nfov 7387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗(𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
6160nfeq2 2924 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
6256, 61nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗(((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
63 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗 𝑓: 𝑆𝑆
6462, 63nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆)
65 nfra1 3267 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)
6664, 65nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗(((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗))
67 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 𝑖𝑆
6866, 67nfan 1902 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆)
69 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗(𝑓 “ {𝑖})
70 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗(𝑏 supp 0 )
7136ad7antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏: 𝑆𝐵)
7271ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn 𝑆)
7326, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑆 ∈ V)
7473ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆 ∈ V)
753fvexi 6856 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈ V)
7741ssdifd 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 )) ⊆ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
7877sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
7972, 74, 76, 78fvdifsupp 31599 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏𝑗) = 0 )
8079oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
815ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑅 ∈ Ring)
8213ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆𝐵)
8378eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 𝑆)
8482, 83sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗𝐵)
852, 4, 3ringlz 20011 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗𝐵) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
8681, 84, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
8780, 86eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = 0 )
8868, 69, 70, 87, 34suppss2f 31553 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → ((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))
89 fsuppsssupp 9321 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
9053, 54, 55, 88, 89syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
912, 3, 29, 34, 52, 90gsumcl 19692 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∈ 𝐵)
9291fmpttd 7063 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))):𝑆𝐵)
932fvexi 6856 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ V
9493a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ V)
9594, 16elmapd 8779 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵m 𝑆) ↔ (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))):𝑆𝐵))
9695biimpar 478 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))):𝑆𝐵) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵m 𝑆))
9726, 92, 96syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵m 𝑆))
98 breq1 5108 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → (𝑎 finSupp 0 ↔ (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ))
99 oveq2 7365 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → (𝑅 Σg 𝑎) = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))))
10099eqeq2d 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → (𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))))
101 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → (𝑎𝑘) = ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘))
102101eleq1d 2822 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → ((𝑎𝑘) ∈ 𝑘 ↔ ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘))
103102ralbidv 3174 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → (∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘 ↔ ∀𝑘𝑆 ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘))
10498, 100, 1033anbi123d 1436 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → ((𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ↔ ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘𝑆 ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)))
105104adantl 482 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) → ((𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ↔ ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘𝑆 ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)))
10626, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑆 ∈ V)
107106mptexd 7174 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ V)
10875a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 0 ∈ V)
109 funmpt 6539 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
110109a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → Fun (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))
111 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑓: 𝑆𝑆)
112111ffund 6672 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → Fun 𝑓)
113 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑏 finSupp 0 )
114113fsuppimpd 9312 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑏 supp 0 ) ∈ Fin)
115 imafi 9119 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝑓 ∧ (𝑏 supp 0 ) ∈ Fin) → (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )) ∈ Fin)
116112, 114, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )) ∈ Fin)
117 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))
11866, 117nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
119 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑓: 𝑆𝑆)
120119ffund 6672 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → Fun 𝑓)
121 snssi 4768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))) → {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
122121adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
123 sspreima 7018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Fun 𝑓 ∧ {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ (𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
124120, 122, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ (𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
125 difpreima 7015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Fun 𝑓 → (𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) = ((𝑓𝑆) ∖ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
126120, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) = ((𝑓𝑆) ∖ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
127124, 126sseqtrd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ((𝑓𝑆) ∖ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
128 suppssdm 8108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑏
12936ad6antlr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑏: 𝑆𝐵)
130128, 129fssdm 6688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ 𝑆)
131119fdmd 6679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → dom 𝑓 = 𝑆)
132130, 131sseqtrrd 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓)
133 sseqin2 4175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 ↔ (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) = (𝑏 supp 0 ))
134133biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) = (𝑏 supp 0 ))
135 dminss 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) ⊆ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))
136134, 135eqsstrrdi 3999 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
137132, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
138137sscond 4101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → ((𝑓𝑆) ∖ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ⊆ ((𝑓𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 )))
139127, 138sstrd 3954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ((𝑓𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 )))
140 fimacnv 6690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓: 𝑆𝑆 → (𝑓𝑆) = 𝑆)
141119, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓𝑆) = 𝑆)
142141difeq1d 4081 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → ((𝑓𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 )) = ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
143139, 142sseqtrd 3984 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
144143sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
145 ssidd 3967 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))
14673adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑆 ∈ V)
14775a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 0 ∈ V)
148129, 145, 146, 147suppssr 8127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏𝑗) = 0 )
149144, 148syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → (𝑏𝑗) = 0 )
150149oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
1515ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑅 ∈ Ring)
15213ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑆𝐵)
15340ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ 𝑆)
154153sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗 𝑆)
155152, 154sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗𝐵)
156151, 155, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
157150, 156eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = 0 )
158118, 157mpteq2da 5203 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 ))
159158oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )))
1605, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
161160cmnmndd 19586 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
162161ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑅 ∈ Mnd)
1633gsumz 18646 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑓 “ {𝑖}) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )) = 0 )
164162, 33, 163sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )) = 0 )
165159, 164eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) = 0 )
166165, 106suppss2 8131 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ⊆ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))
167116, 166ssfid 9211 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈ Fin)
168 isfsupp 9309 . . . . . . . . . . 11 (((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
169168biimpar 478 . . . . . . . . . 10 ((((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (Fun (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈ Fin)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 )
170107, 108, 110, 167, 169syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 )
171 simpllr 774 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
17226, 160syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑅 ∈ CMnd)
1735ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
17436ad5antlr 733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑏: 𝑆𝐵)
175174ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 𝑆) → (𝑏𝑗) ∈ 𝐵)
17626, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑆𝐵)
177176sselda 3944 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 𝑆) → 𝑗𝐵)
1782, 4ringcl 19981 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏𝑗) ∈ 𝐵𝑗𝐵) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵)
179173, 175, 177, 178syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 𝑆) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵)
180 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))
18166, 179, 180fmptdf 7065 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)): 𝑆𝐵)
18273mptexd 7174 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V)
183 funmpt 6539 . . . . . . . . . . . . 13 Fun (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))
184183a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → Fun (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
185 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 𝑆
186174adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏: 𝑆𝐵)
187186ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn 𝑆)
18873adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆 ∈ V)
18975a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈ V)
190 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
191187, 188, 189, 190fvdifsupp 31599 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏𝑗) = 0 )
192191oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
1935ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑅 ∈ Ring)
194176adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆𝐵)
195190eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 𝑆)
196194, 195sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗𝐵)
197193, 196, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
198192, 197eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = 0 )
19966, 185, 70, 198, 73suppss2f 31553 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))
200 fsuppsssupp 9321 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
201182, 184, 113, 199, 200syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
202 sndisj 5096 . . . . . . . . . . . 12 Disj 𝑖𝑆 {𝑖}
203 disjpreima 31502 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝑓Disj 𝑖𝑆 {𝑖}) → Disj 𝑖𝑆 (𝑓 “ {𝑖}))
204112, 202, 203sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → Disj 𝑖𝑆 (𝑓 “ {𝑖}))
205 iunid 5020 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖𝑆 {𝑖} = 𝑆
206205imaeq2i 6011 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 𝑖𝑆 {𝑖}) = (𝑓𝑆)
207 iunpreima 31483 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝑓 → (𝑓 𝑖𝑆 {𝑖}) = 𝑖𝑆 (𝑓 “ {𝑖}))
208112, 207syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑓 𝑖𝑆 {𝑖}) = 𝑖𝑆 (𝑓 “ {𝑖}))
209140ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑓𝑆) = 𝑆)
210206, 208, 2093eqtr3a 2800 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑖𝑆 (𝑓 “ {𝑖}) = 𝑆)
2112, 3, 172, 73, 106, 181, 201, 204, 210gsumpart 31897 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ↾ (𝑓 “ {𝑖}))))))
21241resmptd 5994 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ↾ (𝑓 “ {𝑖})) = (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
213212oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑅 Σg ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ↾ (𝑓 “ {𝑖}))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
214213mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ↾ (𝑓 “ {𝑖})))) = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))
215214oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ↾ (𝑓 “ {𝑖}))))) = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))))
216171, 211, 2153eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))))
217 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
218 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → 𝑖 = 𝑘)
219218sneqd 4598 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → {𝑖} = {𝑘})
220219imaeq2d 6013 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝑓 “ {𝑖}) = (𝑓 “ {𝑘}))
221220mpteq1d 5200 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
222221oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
223 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘𝑆)
224 ovexd 7392 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∈ V)
225217, 222, 223, 224fvmptd2 6956 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
226160ad6antr 734 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑅 ∈ CMnd)
22730cnvex 7862 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑓 ∈ V
228227imaex 7853 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 “ {𝑘}) ∈ V
229228a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑓 “ {𝑘}) ∈ V)
2305ad6antr 734 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
23126, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑆 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
232231sselda 3944 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅))
2338lidlsubg 20685 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑘 ∈ (SubGrp‘𝑅))
234 subgsubm 18950 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅))
235233, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅))
236230, 232, 235syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅))
237230adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑅 ∈ Ring)
238232adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅))
23936ad7antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑏: 𝑆𝐵)
240 cnvimass 6033 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 “ {𝑘}) ⊆ dom 𝑓
241240, 39sseqtrid 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓: 𝑆𝑆 → (𝑓 “ {𝑘}) ⊆ 𝑆)
242241ad3antlr 729 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑓 “ {𝑘}) ⊆ 𝑆)
243242sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙 𝑆)
244239, 243ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → (𝑏𝑙) ∈ 𝐵)
245 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑙 → (𝑓𝑗) = (𝑓𝑙))
24649, 245eleq12d 2832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑙 → (𝑗 ∈ (𝑓𝑗) ↔ 𝑙 ∈ (𝑓𝑙)))
247 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗))
248246, 247, 243rspcdva 3582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙 ∈ (𝑓𝑙))
249 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑓: 𝑆𝑆)
250249ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑓 Fn 𝑆)
251 elpreima 7008 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 Fn 𝑆 → (𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↔ (𝑙 𝑆 ∧ (𝑓𝑙) ∈ {𝑘})))
252251biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 Fn 𝑆𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → (𝑙 𝑆 ∧ (𝑓𝑙) ∈ {𝑘}))
253 elsni 4603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓𝑙) ∈ {𝑘} → (𝑓𝑙) = 𝑘)
254252, 253simpl2im 504 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 Fn 𝑆𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → (𝑓𝑙) = 𝑘)
255250, 254sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → (𝑓𝑙) = 𝑘)
256248, 255eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙𝑘)
2578, 2, 4lidlmcl 20687 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑏𝑙) ∈ 𝐵𝑙𝑘)) → ((𝑏𝑙) · 𝑙) ∈ 𝑘)
258237, 238, 244, 256, 257syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → ((𝑏𝑙) · 𝑙) ∈ 𝑘)
25950cbvmptv 5218 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑙) · 𝑙))
260258, 259fmptd 7062 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)):(𝑓 “ {𝑘})⟶𝑘)
261229mptexd 7174 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V)
262260ffund 6672 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → Fun (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
263 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑏 finSupp 0 )
264 nfv 1917 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗 𝑘𝑆
26566, 264nfan 1902 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆)
266 nfcv 2907 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗(𝑓 “ {𝑘})
26736ad7antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏: 𝑆𝐵)
268267ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn 𝑆)
26973ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆 ∈ V)
27075a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈ V)
271242ssdifd 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 )) ⊆ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
272271sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
273268, 269, 270, 272fvdifsupp 31599 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏𝑗) = 0 )
274273oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
27513ad7antr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆𝐵)
276272eldifad 3922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 𝑆)
277275, 276sseldd 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗𝐵)
278230, 277, 85syl2an2r 683 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
279274, 278eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = 0 )
280265, 266, 70, 279, 229suppss2f 31553 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))
281 fsuppsssupp 9321 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
282261, 262, 263, 280, 281syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
2833, 226, 229, 236, 260, 282gsumsubmcl 19696 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∈ 𝑘)
284225, 283eqeltrd 2838 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)
285284ralrimiva 3143 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ∀𝑘𝑆 ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)
286170, 216, 2853jca 1128 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘𝑆 ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘))
28797, 105, 286rspcedvd 3583 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘))
288287anasss 467 . . . . . 6 (((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ (𝑓: 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘))
28925, 288exlimddv 1938 . . . . 5 ((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘))
290289anasss 467 . . . 4 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ (𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘))
291290r19.29an 3155 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘))
2925ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑅 ∈ Ring)
293292adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
294 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
295294zrhrhm 20912 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
296 zringbas 20875 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ = (Base‘ℤring)
297296, 2rhmf 20158 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶𝐵)
298293, 295, 2973syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶𝐵)
299 simp-5r 784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆))
30075a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 0 ∈ V)
301 ssv 3968 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran 𝑎 ⊆ V
302 ssdif 4099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ran 𝑎 ⊆ V → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ (V ∖ { 0 }))
303301, 302ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ (V ∖ { 0 })
304303sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) → 𝑚 ∈ (V ∖ { 0 }))
305304adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑚 ∈ (V ∖ { 0 }))
306 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 finSupp 0 )
307299, 300, 305, 306fsuppinisegfi 31602 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (𝑎 “ {𝑚}) ∈ Fin)
308 hashcl 14256 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 “ {𝑚}) ∈ Fin → (♯‘(𝑎 “ {𝑚})) ∈ ℕ0)
309307, 308syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (♯‘(𝑎 “ {𝑚})) ∈ ℕ0)
310309nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (♯‘(𝑎 “ {𝑚})) ∈ ℤ)
311298, 310ffvelcdmd 7036 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))) ∈ 𝐵)
312 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) = (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))))
313311, 312fmptd 7062 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))):(ran 𝑎 ∖ { 0 })⟶𝐵)
3142, 3ring0cl 19990 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
315 fconst6g 6731 . . . . . . . . . . 11 ( 0𝐵 → (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }):( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))⟶𝐵)
316292, 314, 3153syl 18 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }):( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))⟶𝐵)
317 disjdif 4431 . . . . . . . . . . 11 ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅
318317a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅)
319313, 316, 318fun2d 6706 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))⟶𝐵)
320 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)))
32194, 16elmapd 8779 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆) ↔ 𝑎:𝑆𝐵))
322321biimpa 477 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) → 𝑎:𝑆𝐵)
323320, 322syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎:𝑆𝐵)
324323ffnd 6669 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 Fn 𝑆)
325 elssuni 4898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑆𝑘 𝑆)
326325adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 𝑆)
327326sseld 3943 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑎𝑘) ∈ 𝑘 → (𝑎𝑘) ∈ 𝑆))
328327ralimdva 3164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) → (∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘 → ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑆))
329328imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑆)
330 fnfvrnss 7068 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 Fn 𝑆 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑆) → ran 𝑎 𝑆)
331324, 329, 330syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ran 𝑎 𝑆)
332331ssdifssd 4102 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑆)
333 undif 4441 . . . . . . . . . . 11 ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑆 ↔ ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = 𝑆)
334332, 333sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = 𝑆)
335334feq2d 6654 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))⟶𝐵 ↔ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })): 𝑆𝐵))
336319, 335mpbid 231 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })): 𝑆𝐵)
33793a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝐵 ∈ V)
33817ad4antr 730 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑆 ∈ V)
339337, 338elmapd 8779 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ (𝐵m 𝑆) ↔ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })): 𝑆𝐵))
340336, 339mpbird 256 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ (𝐵m 𝑆))
341 breq1 5108 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑏 finSupp 0 ↔ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 ))
342 fveq1 6841 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑏𝑗) = (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗))
343342oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))
344343mpteq2dv 5207 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗)))
345344oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))
346345eqeq2d 2747 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗)))))
347341, 346anbi12d 631 . . . . . . . 8 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → ((𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ↔ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))))
348347adantl 482 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))) → ((𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ↔ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))))
349319ffund 6672 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → Fun ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })))
350340elexd 3465 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ V)
35175a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 0 ∈ V)
352323ffund 6672 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → Fun 𝑎)
353320simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆))
354 simpllr 774 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 finSupp 0 )
355 fsupprnfi 31607 . . . . . . . . . . . . 13 (((Fun 𝑎𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ran 𝑎 ∈ Fin)
356 diffi 9123 . . . . . . . . . . . . 13 (ran 𝑎 ∈ Fin → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∈ Fin)
357355, 356syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((Fun 𝑎𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∈ Fin)
358352, 353, 351, 354, 357syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∈ Fin)
359313, 358, 351fdmfifsupp 9315 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) finSupp 0 )
36013ssdifssd 4102 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ⊆ 𝐵)
361360ad4antr 730 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ⊆ 𝐵)
362337, 361ssexd 5281 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ∈ V)
363362, 351fczfsuppd 9323 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) finSupp 0 )
364359, 363fsuppun 9324 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp 0 ) ∈ Fin)
365 funisfsupp 9310 . . . . . . . . . 10 ((Fun ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∧ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 ↔ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp 0 ) ∈ Fin))
366365biimpar 478 . . . . . . . . 9 (((Fun ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∧ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp 0 ) ∈ Fin) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 )
367349, 350, 351, 364, 366syl31anc 1373 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 )
368 fvex 6855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))) ∈ V
369368, 312fnmpti 6644 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 })
370369a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 }))
371 fnconstg 6730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 0 ∈ V → (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))
37275, 371ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))
373372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))
374317a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅)
375 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))
376370, 373, 374, 375fvun1d 6934 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))))‘𝑗))
377 sneq 4596 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑗 → {𝑚} = {𝑗})
378377imaeq2d 6013 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 𝑗 → (𝑎 “ {𝑚}) = (𝑎 “ {𝑗}))
379378fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑗 → (♯‘(𝑎 “ {𝑚})) = (♯‘(𝑎 “ {𝑗})))
380379fveq2d 6846 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑗 → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))))
381 fvexd 6857 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) ∈ V)
382312, 380, 375, 381fvmptd3 6971 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))))‘𝑗) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))))
383376, 382eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))))
384383oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) = (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))
385384mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗)))
386385oveq2d 7373 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))))
387292, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑅 ∈ CMnd)
388317a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅)
389 fvun2 6933 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∧ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ∧ (((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗))
390369, 372, 389mp3an12 1451 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗))
391388, 390sylancom 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗))
39275fvconst2 7153 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗) = 0 )
393392adantl 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗) = 0 )
394391, 393eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = 0 )
395394oveq1d 7372 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
396361sselda 3944 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → 𝑗𝐵)
397292, 396, 85syl2an2r 683 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
398395, 397eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) = 0 )
399292adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
400336ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 𝑆) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) ∈ 𝐵)
40113ad4antr 730 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑆𝐵)
402401sselda 3944 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 𝑆) → 𝑗𝐵)
4032, 4ringcl 19981 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) ∈ 𝐵𝑗𝐵) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵)
404399, 400, 402, 403syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 𝑆) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵)
4052, 3, 387, 338, 398, 358, 404, 332gsummptres2 31895 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))
406 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (.g𝑅) = (.g𝑅)
4072, 3, 406, 387, 323, 354gsumhashmul 31898 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg 𝑎) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗))))
408 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎))
409292adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
410353adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆))
41175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 0 ∈ V)
412303, 375sselid 3942 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ (V ∖ { 0 }))
413354adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 finSupp 0 )
414410, 411, 412, 413fsuppinisegfi 31602 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (𝑎 “ {𝑗}) ∈ Fin)
415 hashcl 14256 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 “ {𝑗}) ∈ Fin → (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℕ0)
416414, 415syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℕ0)
417416nn0zd 12525 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ)
418332, 401sstrd 3954 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵)
419418sselda 3944 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗𝐵)
420 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1r𝑅) = (1r𝑅)
421294, 406, 420zrhmulg 20910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)(1r𝑅)))
422421adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)(1r𝑅)))
423422oveq1d 7372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = (((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)(1r𝑅)) · 𝑗))
424 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
425 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ)
4262, 420ringidcl 19989 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
427426ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
428 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → 𝑗𝐵)
4292, 406, 4mulgass2 20025 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵𝑗𝐵)) → (((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)(1r𝑅)) · 𝑗) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)((1r𝑅) · 𝑗)))
430424, 425, 427, 428, 429syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → (((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)(1r𝑅)) · 𝑗) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)((1r𝑅) · 𝑗)))
4312, 4, 420ringlidm 19992 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗𝐵) → ((1r𝑅) · 𝑗) = 𝑗)
432424, 431sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → ((1r𝑅) · 𝑗) = 𝑗)
433432oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)((1r𝑅) · 𝑗)) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗))
434423, 430, 4333eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗))
435409, 417, 419, 434syl21anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗))
436435mpteq2dva 5205 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗)))
437436oveq2d 7373 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗))))
438407, 408, 4373eqtr4d 2786 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))))
439386, 405, 4383eqtr4rd 2787 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))
440367, 439jca 512 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗)))))
441340, 348, 440rspcedvd 3583 . . . . . 6 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))
442441exp41 435 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) → (𝑎 finSupp 0 → (𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) → (∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘 → ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))))))
4434423imp2 1349 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ (𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘)) → ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))
444443r19.29an 3155 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘)) → ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))
445291, 444impbida 799 . 2 (𝜑 → (∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘)))
44614, 445bitrd 278 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁 𝑆) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  cdif 3907  cun 3908  cin 3909  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   cuni 4865   ciun 4954  Disj wdisj 5070   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ccnv 5632  dom cdm 5633  ran crn 5634  cres 5635  cima 5636  Fun wfun 6490   Fn wfn 6491  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357   supp csupp 8092  m cmap 8765  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  0cn0 12413  cz 12499  chash 14230  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Mndcmnd 18556  SubMndcsubmnd 18600  .gcmg 18872  SubGrpcsubg 18922  CMndccmn 19562  1rcur 19913  Ringcrg 19964   RingHom crh 20143  LIdealclidl 20631  RSpancrsp 20632  ringczring 20869  ℤRHomczrh 20900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-reg 9528  ax-inf2 9577  ax-ac2 10399  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-r1 9700  df-rank 9701  df-card 9875  df-ac 10052  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-cring 19967  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lmhm 20483  df-lbs 20536  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-lidl 20635  df-rsp 20636  df-nzr 20728  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-uvc 21189
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