Theorem elrspunidl 33509

Description: Elementhood in the span of a union of ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
elrspunidl.n	⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
elrspunidl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrspunidl.1	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
elrspunidl.x	⊢ · = (.r‘𝑅)
elrspunidl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
elrspunidl.i	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (LIdeal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
elrspunidl	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘∪ 𝑆) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘)))

Distinct variable groups:   0 ,𝑎,𝑘   · ,𝑎,𝑘   𝐵,𝑎,𝑘   𝑅,𝑎,𝑘   𝑆,𝑎,𝑘   𝑋,𝑎,𝑘   𝜑,𝑎,𝑘

Allowed substitution hints:   𝑁(𝑘,𝑎)

Proof of Theorem elrspunidl

Dummy variables 𝑏 𝑓 𝑖 𝑗 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elrspunidl.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
2		elrspunidl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
3		elrspunidl.1	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		elrspunidl.x	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
5		elrspunidl.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
6		elrspunidl.i	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
7	6	sselda 3933	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
9	2, 8	lidlss 21167	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ 𝐵)
10	7, 9	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝑖 ⊆ 𝐵)
11	10	ralrimiva 3128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑆 𝑖 ⊆ 𝐵)
12		unissb 4896	. . . 4 ⊢ (∪ 𝑆 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑖 ∈ 𝑆 𝑖 ⊆ 𝐵)
13	11, 12	sylibr 234	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵)
14	1, 2, 3, 4, 5, 13	elrsp 33453	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘∪ 𝑆) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))))
15		fvexd 6849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) ∈ V)
16	15, 6	ssexd 5269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V)
17	16	uniexd 7687	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆 ∈ V)
18		eluni2 4867	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↔ ∃𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖)
19	18	biimpi 216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 → ∃𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖)
20	19	adantl 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → ∃𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖)
21	20	ralrimiva 3128	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆∃𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖)
22		eleq2 2825	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑖 = (𝑓‘𝑗) → (𝑗 ∈ 𝑖 ↔ 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)))
23	22	ac6sg 10398	. . . . . . . 8 ⊢ (∪ 𝑆 ∈ V → (∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆∃𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 → ∃𝑓(𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆 ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗))))
24	17, 21, 23	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆 ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)))
25	24	ad3antrrr 730	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → ∃𝑓(𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆 ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)))
26		simp-5l 784	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝜑)
27	26	adantr 480	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝜑)
28		ringcmn 20217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
29	27, 5, 28	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ CMnd)
30		vex 3444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑓 ∈ V
31		cnvexg 7866	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑓 ∈ V → ◡𝑓 ∈ V)
32		imaexg 7855	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡𝑓 ∈ V → (◡𝑓 “ {𝑖}) ∈ V)
33	30, 31, 32	mp2b 10	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝑓 “ {𝑖}) ∈ V
34	33	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ∈ V)
35	5	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑅 ∈ Ring)
36		elmapi 8786	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆) → 𝑏:∪ 𝑆⟶𝐵)
37	36	ad7antlr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑏:∪ 𝑆⟶𝐵)
38		cnvimass 6041	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ dom 𝑓
39		fdm 6671	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆 → dom 𝑓 = ∪ 𝑆)
40	38, 39	sseqtrid 3976	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆 → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ∪ 𝑆)
41	40	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ∪ 𝑆)
42	41	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑙 ∈ ∪ 𝑆)
43	37, 42	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → (𝑏‘𝑙) ∈ 𝐵)
44	13	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵)
45	44, 42	sseldd 3934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑙 ∈ 𝐵)
46	2, 4	ringcl 20185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏‘𝑙) ∈ 𝐵 ∧ 𝑙 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘𝑙) · 𝑙) ∈ 𝐵)
47	35, 43, 45, 46	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏‘𝑙) · 𝑙) ∈ 𝐵)
48		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑏‘𝑗) = (𝑏‘𝑙))
49		id 22	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → 𝑗 = 𝑙)
50	48, 49	oveq12d 7376	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = ((𝑏‘𝑙) · 𝑙))
51	50	cbvmptv 5202	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑙) · 𝑙))
52	47, 51	fmptd 7059	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)):(◡𝑓 “ {𝑖})⟶𝐵)
53	34	mptexd 7170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ∈ V)
54	52	ffund 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → Fun (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))
55		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝑏 finSupp 0 )
56		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 )
57		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗𝑅
58		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗 Σg
59		nfmpt1 5197	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))
60	57, 58, 59	nfov 7388	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))
61	60	nfeq2 2916	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))
62	56, 61	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑗(((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))
63		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆
64	62, 63	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆)
65		nfra1 3260	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)
66	64, 65	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗(((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗))
67		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ 𝑆
68	66, 67	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆)
69		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗(◡𝑓 “ {𝑖})
70		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗(𝑏 supp 0 )
71	36	ad7antlr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏:∪ 𝑆⟶𝐵)
72	71	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn ∪ 𝑆)
73	26, 17	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ∪ 𝑆 ∈ V)
74	73	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ∪ 𝑆 ∈ V)
75	3	fvexi 6848	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 0 ∈ V
76	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈ V)
77	41	ssdifd 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 )) ⊆ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
78	77	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
79	72, 74, 76, 78	fvdifsupp 8113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏‘𝑗) = 0 )
80	79	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
81	5	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑅 ∈ Ring)
82	13	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵)
83	78	eldifad 3913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆)
84	82, 83	sseldd 3934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ 𝐵)
85	2, 4, 3	ringlz 20228	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
86	81, 84, 85	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
87	80, 86	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = 0 )
88	68, 69, 70, 87, 34	suppss2f 32716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → ((𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))
89		fsuppsssupp 9284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
90	53, 54, 55, 88, 89	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
91	2, 3, 29, 34, 52, 90	gsumcl 19844	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ∈ 𝐵)
92	91	fmpttd 7060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))):𝑆⟶𝐵)
93	2	fvexi 6848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ V
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
95	94, 16	elmapd 8777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) ↔ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))):𝑆⟶𝐵))
96	95	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))):𝑆⟶𝐵) → (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵 ↑m 𝑆))
97	26, 92, 96	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵 ↑m 𝑆))
98		breq1 5101	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → (𝑎 finSupp 0 ↔ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ))
99		oveq2 7366	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → (𝑅 Σg 𝑎) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))))
100	99	eqeq2d 2747	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → (𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))))))
101		fveq1 6833	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → (𝑎‘𝑘) = ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘))
102	101	eleq1d 2821	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → ((𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘 ↔ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘))
103	102	ralbidv 3159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → (∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑆 ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘))
104	98, 100, 103	3anbi123d 1438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)))
105	104	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)))
106	26, 16	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑆 ∈ V)
107	106	mptexd 7170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∈ V)
108	75	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 0 ∈ V)
109		funmpt 6530	. . . . . . . . . . 11 ⊢ Fun (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))
110	109	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → Fun (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))))
111		simplr 768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆)
112	111	ffund 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → Fun 𝑓)
113		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑏 finSupp 0 )
114	113	fsuppimpd 9272	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑏 supp 0 ) ∈ Fin)
115		imafi 9215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun 𝑓 ∧ (𝑏 supp 0 ) ∈ Fin) → (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )) ∈ Fin)
116	112, 114, 115	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )) ∈ Fin)
117		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))
118	66, 117	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
119		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆)
120	119	ffund 6666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → Fun 𝑓)
121		snssi 4764	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))) → {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
122	121	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
123		sspreima 7013	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((Fun 𝑓 ∧ {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ (◡𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
124	120, 122, 123	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ (◡𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
125		difpreima 7010	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (Fun 𝑓 → (◡𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) = ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
126	120, 125	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) = ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
127	124, 126	sseqtrd 3970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
128		suppssdm 8119	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑏
129	36	ad6antlr 737	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑏:∪ 𝑆⟶𝐵)
130	128, 129	fssdm 6681	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ ∪ 𝑆)
131	119	fdmd 6672	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → dom 𝑓 = ∪ 𝑆)
132	130, 131	sseqtrrd 3971	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓)
133		sseqin2 4175	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 ↔ (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) = (𝑏 supp 0 ))
134	133	biimpi 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) = (𝑏 supp 0 ))
135		dminss 6111	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) ⊆ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))
136	134, 135	eqsstrrdi 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
137	132, 136	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
138	137	sscond 4098	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ⊆ ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 )))
139	127, 138	sstrd 3944	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 )))
140		fimacnv 6684	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆 → (◡𝑓 “ 𝑆) = ∪ 𝑆)
141	119, 140	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ 𝑆) = ∪ 𝑆)
142	141	difeq1d 4077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 )) = (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
143	139, 142	sseqtrd 3970	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
144	143	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
145		ssidd 3957	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))
146	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → ∪ 𝑆 ∈ V)
147	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 0 ∈ V)
148	129, 145, 146, 147	suppssr 8137	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏‘𝑗) = 0 )
149	144, 148	syldan 591	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → (𝑏‘𝑗) = 0 )
150	149	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
151	5	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑅 ∈ Ring)
152	13	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵)
153	40	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ∪ 𝑆)
154	153	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆)
155	152, 154	sseldd 3934	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗 ∈ 𝐵)
156	151, 155, 85	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
157	150, 156	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = 0 )
158	118, 157	mpteq2da 5190	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 ))
159	158	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )))
160	5, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd)
161	160	cmnmndd 19733	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd)
162	161	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑅 ∈ Mnd)
163	3	gsumz 18761	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (◡𝑓 “ {𝑖}) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )) = 0 )
164	162, 33, 163	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )) = 0 )
165	159, 164	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) = 0 )
166	165, 106	suppss2 8142	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ⊆ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))
167	116, 166	ssfid 9169	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈ Fin)
168		isfsupp 9268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
169	168	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (Fun (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈ Fin)) → (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 )
170	107, 108, 110, 167, 169	syl22anc 838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 )
171		simpllr 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))
172	26, 160	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑅 ∈ CMnd)
173	5	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
174	36	ad5antlr 735	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑏:∪ 𝑆⟶𝐵)
175	174	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → (𝑏‘𝑗) ∈ 𝐵)
176	26, 13	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵)
177	176	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → 𝑗 ∈ 𝐵)
178	2, 4	ringcl 20185	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏‘𝑗) ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵)
179	173, 175, 177, 178	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵)
180		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))
181	66, 179, 180	fmptdf 7062	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)):∪ 𝑆⟶𝐵)
182	73	mptexd 7170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ∈ V)
183		funmpt 6530	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Fun (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))
184	183	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → Fun (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))
185		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ Ⅎ𝑗∪ 𝑆
186	174	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏:∪ 𝑆⟶𝐵)
187	186	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn ∪ 𝑆)
188	73	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ∪ 𝑆 ∈ V)
189	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈ V)
190		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
191	187, 188, 189, 190	fvdifsupp 8113	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏‘𝑗) = 0 )
192	191	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
193	5	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑅 ∈ Ring)
194	176	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵)
195	190	eldifad 3913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆)
196	194, 195	sseldd 3934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ 𝐵)
197	193, 196, 85	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
198	192, 197	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = 0 )
199	66, 185, 70, 198, 73	suppss2f 32716	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))
200		fsuppsssupp 9284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
201	182, 184, 113, 199, 200	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
202		sndisj 5090	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ Disj 𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖}
203		disjpreima 32659	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Fun 𝑓 ∧ Disj 𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖}) → Disj 𝑖 ∈ 𝑆 (◡𝑓 “ {𝑖}))
204	112, 202, 203	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → Disj 𝑖 ∈ 𝑆 (◡𝑓 “ {𝑖}))
205		iunid 5016	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖} = 𝑆
206	205	imaeq2i 6017	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (◡𝑓 “ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖}) = (◡𝑓 “ 𝑆)
207		iunpreima 32639	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Fun 𝑓 → (◡𝑓 “ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖}) = ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 (◡𝑓 “ {𝑖}))
208	112, 207	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (◡𝑓 “ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖}) = ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 (◡𝑓 “ {𝑖}))
209	140	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (◡𝑓 “ 𝑆) = ∪ 𝑆)
210	206, 208, 209	3eqtr3a 2795	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 (◡𝑓 “ {𝑖}) = ∪ 𝑆)
211	2, 3, 172, 73, 106, 181, 201, 204, 210	gsumpart 33146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ↾ (◡𝑓 “ {𝑖}))))))
212	41	resmptd 5999	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ↾ (◡𝑓 “ {𝑖})) = (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))
213	212	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ↾ (◡𝑓 “ {𝑖}))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))
214	213	mpteq2dva 5191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ↾ (◡𝑓 “ {𝑖})))) = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))))
215	214	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ↾ (◡𝑓 “ {𝑖}))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))))
216	171, 211, 215	3eqtrd 2775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))))
217		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))
218		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → 𝑖 = 𝑘)
219	218	sneqd 4592	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → {𝑖} = {𝑘})
220	219	imaeq2d 6019	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (◡𝑓 “ {𝑖}) = (◡𝑓 “ {𝑘}))
221	220	mpteq1d 5188	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))
222	221	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))
223		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ 𝑆)
224		ovexd 7393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ∈ V)
225	217, 222, 223, 224	fvmptd2 6949	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))
226	160	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ CMnd)
227	30	cnvex 7867	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ◡𝑓 ∈ V
228	227	imaex 7856	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (◡𝑓 “ {𝑘}) ∈ V
229	228	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (◡𝑓 “ {𝑘}) ∈ V)
230	5	ad6antr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
231	26, 6	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑆 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
232	231	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅))
233	8	lidlsubg 21178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑘 ∈ (SubGrp‘𝑅))
234		subgsubm 19078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅))
235	233, 234	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅))
236	230, 232, 235	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅))
237	230	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑅 ∈ Ring)
238	232	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅))
239	36	ad7antlr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑏:∪ 𝑆⟶𝐵)
240		cnvimass 6041	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (◡𝑓 “ {𝑘}) ⊆ dom 𝑓
241	240, 39	sseqtrid 3976	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆 → (◡𝑓 “ {𝑘}) ⊆ ∪ 𝑆)
242	241	ad3antlr 731	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (◡𝑓 “ {𝑘}) ⊆ ∪ 𝑆)
243	242	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙 ∈ ∪ 𝑆)
244	239, 243	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → (𝑏‘𝑙) ∈ 𝐵)
245		fveq2 6834	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑓‘𝑗) = (𝑓‘𝑙))
246	49, 245	eleq12d 2830	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗) ↔ 𝑙 ∈ (𝑓‘𝑙)))
247		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗))
248	246, 247, 243	rspcdva 3577	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙 ∈ (𝑓‘𝑙))
249		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆)
250	249	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑓 Fn ∪ 𝑆)
251		elpreima 7003	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 Fn ∪ 𝑆 → (𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↔ (𝑙 ∈ ∪ 𝑆 ∧ (𝑓‘𝑙) ∈ {𝑘})))
252	251	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓 Fn ∪ 𝑆 ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → (𝑙 ∈ ∪ 𝑆 ∧ (𝑓‘𝑙) ∈ {𝑘}))
253		elsni 4597	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑓‘𝑙) ∈ {𝑘} → (𝑓‘𝑙) = 𝑘)
254	252, 253	simpl2im 503	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑓 Fn ∪ 𝑆 ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → (𝑓‘𝑙) = 𝑘)
255	250, 254	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → (𝑓‘𝑙) = 𝑘)
256	248, 255	eleqtrd 2838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙 ∈ 𝑘)
257	8, 2, 4	lidlmcl 21180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑏‘𝑙) ∈ 𝐵 ∧ 𝑙 ∈ 𝑘)) → ((𝑏‘𝑙) · 𝑙) ∈ 𝑘)
258	237, 238, 244, 256, 257	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → ((𝑏‘𝑙) · 𝑙) ∈ 𝑘)
259	50	cbvmptv 5202	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑙) · 𝑙))
260	258, 259	fmptd 7059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)):(◡𝑓 “ {𝑘})⟶𝑘)
261	229	mptexd 7170	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ∈ V)
262	260	ffund 6666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → Fun (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))
263		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑏 finSupp 0 )
264		nfv 1915	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝑆
265	66, 264	nfan 1900	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆)
266		nfcv 2898	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ Ⅎ𝑗(◡𝑓 “ {𝑘})
267	36	ad7antlr 739	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏:∪ 𝑆⟶𝐵)
268	267	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn ∪ 𝑆)
269	73	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ∪ 𝑆 ∈ V)
270	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈ V)
271	242	ssdifd 4097	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 )) ⊆ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
272	271	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
273	268, 269, 270, 272	fvdifsupp 8113	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏‘𝑗) = 0 )
274	273	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
275	13	ad7antr 738	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵)
276	272	eldifad 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆)
277	275, 276	sseldd 3934	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ 𝐵)
278	230, 277, 85	syl2an2r 685	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
279	274, 278	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = 0 )
280	265, 266, 70, 279, 229	suppss2f 32716	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))
281		fsuppsssupp 9284	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
282	261, 262, 263, 280, 281	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
283	3, 226, 229, 236, 260, 282	gsumsubmcl 19848	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ∈ 𝑘)
284	225, 283	eqeltrd 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)
285	284	ralrimiva 3128	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ 𝑆 ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)
286	170, 216, 285	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘))
287	97, 105, 286	rspcedvd 3578	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘))
288	287	anasss 466	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ (𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆 ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘))
289	25, 288	exlimddv 1936	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘))
290	289	anasss 466	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘))
291	290	r19.29an 3140	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘))
292	5	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑅 ∈ Ring)
293	292	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
294		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
295	294	zrhrhm 21466	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
296		zringbas 21408	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
297	296, 2	rhmf 20420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶𝐵)
298	293, 295, 297	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶𝐵)
299		simp-5r 785	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆))
300	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 0 ∈ V)
301		ssv 3958	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ran 𝑎 ⊆ V
302		ssdif 4096	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (ran 𝑎 ⊆ V → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ (V ∖ { 0 }))
303	301, 302	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ (V ∖ { 0 })
304	303	sseli 3929	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) → 𝑚 ∈ (V ∖ { 0 }))
305	304	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑚 ∈ (V ∖ { 0 }))
306		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 finSupp 0 )
307	299, 300, 305, 306	fsuppinisegfi 32766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (◡𝑎 “ {𝑚}) ∈ Fin)
308		hashcl 14279	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((◡𝑎 “ {𝑚}) ∈ Fin → (♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})) ∈ ℕ0)
309	307, 308	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})) ∈ ℕ0)
310	309	nn0zd 12513	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})) ∈ ℤ)
311	298, 310	ffvelcdmd 7030	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚}))) ∈ 𝐵)
312		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) = (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚}))))
313	311, 312	fmptd 7059	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))):(ran 𝑎 ∖ { 0 })⟶𝐵)
314	2, 3	ring0cl 20202	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵)
315		fconst6g 6723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }):(∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))⟶𝐵)
316	292, 314, 315	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }):(∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))⟶𝐵)
317		disjdif 4424	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅
318	317	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅)
319	313, 316, 318	fun2d 6698	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))⟶𝐵)
320		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)))
321	94, 16	elmapd 8777	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) ↔ 𝑎:𝑆⟶𝐵))
322	321	biimpa 476	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) → 𝑎:𝑆⟶𝐵)
323	320, 322	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎:𝑆⟶𝐵)
324	323	ffnd 6663	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 Fn 𝑆)
325		elssuni 4894	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 ∈ 𝑆 → 𝑘 ⊆ ∪ 𝑆)
326	325	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ⊆ ∪ 𝑆)
327	326	sseld 3932	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘 → (𝑎‘𝑘) ∈ ∪ 𝑆))
328	327	ralimdva 3148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) → (∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘 → ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ ∪ 𝑆))
329	328	imp 406	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ ∪ 𝑆)
330		fnfvrnss 7066	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 Fn 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ ∪ 𝑆) → ran 𝑎 ⊆ ∪ 𝑆)
331	324, 329, 330	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ran 𝑎 ⊆ ∪ 𝑆)
332	331	ssdifssd 4099	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ ∪ 𝑆)
333		undif 4434	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ ∪ 𝑆 ↔ ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∪ 𝑆)
334	332, 333	sylib 218	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∪ 𝑆)
335	334	feq2d 6646	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))⟶𝐵 ↔ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):∪ 𝑆⟶𝐵))
336	319, 335	mpbid 232	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):∪ 𝑆⟶𝐵)
337	93	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝐵 ∈ V)
338	17	ad4antr 732	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ∪ 𝑆 ∈ V)
339	337, 338	elmapd 8777	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆) ↔ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):∪ 𝑆⟶𝐵))
340	336, 339	mpbird 257	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
341		breq1 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑏 finSupp 0 ↔ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 ))
342		fveq1 6833	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑏‘𝑗) = (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗))
343	342	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))
344	343	mpteq2dv 5192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗)))
345	344	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))
346	345	eqeq2d 2747	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗)))))
347	341, 346	anbi12d 632	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → ((𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ↔ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))))
348	347	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))) → ((𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ↔ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))))
349	319	ffund 6666	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → Fun ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })))
350	340	elexd 3464	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ V)
351	75	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 0 ∈ V)
352	323	ffund 6666	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → Fun 𝑎)
353	320	simprd 495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆))
354		simpllr 775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 finSupp 0 )
355		fsupprnfi 32771	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((Fun 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ran 𝑎 ∈ Fin)
356		diffi 9099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (ran 𝑎 ∈ Fin → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∈ Fin)
357	355, 356	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((Fun 𝑎 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∈ Fin)
358	352, 353, 351, 354, 357	syl22anc 838	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∈ Fin)
359	313, 358, 351	fdmfifsupp 9278	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) finSupp 0 )
360	13	ssdifssd 4099	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ⊆ 𝐵)
361	360	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ⊆ 𝐵)
362	337, 361	ssexd 5269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ∈ V)
363	362, 351	fczfsuppd 9289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) finSupp 0 )
364	359, 363	fsuppun 9290	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp 0 ) ∈ Fin)
365		funisfsupp 9270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((Fun ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∧ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 ↔ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp 0 ) ∈ Fin))
366	365	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ (((Fun ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∧ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp 0 ) ∈ Fin) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 )
367	349, 350, 351, 364, 366	syl31anc 1375	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 )
368		fvex 6847	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚}))) ∈ V
369	368, 312	fnmpti 6635	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 })
370	369	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 }))
371		fnconstg 6722	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ( 0 ∈ V → ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))
372	75, 371	ax-mp 5	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))
373	372	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))
374	317	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅)
375		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))
376	370, 373, 374, 375	fvun1d 6927	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚}))))‘𝑗))
377		sneq 4590	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → {𝑚} = {𝑗})
378	377	imaeq2d 6019	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (◡𝑎 “ {𝑚}) = (◡𝑎 “ {𝑗}))
379	378	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → (♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})) = (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})))
380	379	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚}))) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))))
381		fvexd 6849	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) ∈ V)
382	312, 380, 375, 381	fvmptd3 6964	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚}))))‘𝑗) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))))
383	376, 382	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))))
384	383	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) = (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))
385	384	mpteq2dva 5191	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗)))
386	385	oveq2d 7374	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))))
387	292, 28	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑅 ∈ CMnd)
388	317	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅)
389		fvun2 6926	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∧ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ∧ (((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = (((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗))
390	369, 372, 389	mp3an12 1453	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = (((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗))
391	388, 390	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = (((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗))
392	75	fvconst2 7150	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗) = 0 )
393	392	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗) = 0 )
394	391, 393	eqtrd 2771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = 0 )
395	394	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
396	361	sselda 3933	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → 𝑗 ∈ 𝐵)
397	292, 396, 85	syl2an2r 685	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
398	395, 397	eqtrd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) = 0 )
399	292	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
400	336	ffvelcdmda 7029	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) ∈ 𝐵)
401	13	ad4antr 732	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵)
402	401	sselda 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → 𝑗 ∈ 𝐵)
403	2, 4	ringcl 20185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵)
404	399, 400, 402, 403	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵)
405	2, 3, 387, 338, 398, 358, 404, 332	gsummptres2 33136	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))
406		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (.g‘𝑅) = (.g‘𝑅)
407	2, 3, 406, 387, 323, 354	gsumhashmul 33150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg 𝑎) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)𝑗))))
408		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎))
409	292	adantr 480	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
410	353	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆))
411	75	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 0 ∈ V)
412	303, 375	sselid 3931	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ (V ∖ { 0 }))
413	354	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 finSupp 0 )
414	410, 411, 412, 413	fsuppinisegfi 32766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (◡𝑎 “ {𝑗}) ∈ Fin)
415		hashcl 14279	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((◡𝑎 “ {𝑗}) ∈ Fin → (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℕ0)
416	414, 415	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℕ0)
417	416	nn0zd 12513	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ)
418	332, 401	sstrd 3944	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵)
419	418	sselda 3933	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ 𝐵)
420		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
421	294, 406, 420	zrhmulg 21464	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
422	421	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)))
423	422	oveq1d 7373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = (((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) · 𝑗))
424		simpll 766	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
425		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ)
426	2, 420	ringidcl 20200	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
427	426	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵)
428		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝑗 ∈ 𝐵)
429	2, 406, 4	mulgass2 20244	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) · 𝑗) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)((1r‘𝑅) · 𝑗)))
430	424, 425, 427, 428, 429	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) · 𝑗) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)((1r‘𝑅) · 𝑗)))
431	2, 4, 420	ringlidm 20204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑗) = 𝑗)
432	424, 431	sylancom 588	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑗) = 𝑗)
433	432	oveq2d 7374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)((1r‘𝑅) · 𝑗)) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)𝑗))
434	423, 430, 433	3eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)𝑗))
435	409, 417, 419, 434	syl21anc 837	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)𝑗))
436	435	mpteq2dva 5191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)𝑗)))
437	436	oveq2d 7374	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)𝑗))))
438	407, 408, 437	3eqtr4d 2781	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))))
439	386, 405, 438	3eqtr4rd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))
440	367, 439	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗)))))
441	340, 348, 440	rspcedvd 3578	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))))
442	441	exp41 434	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) → (𝑎 finSupp 0 → (𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) → (∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘 → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))))))
443	442	3imp2 1350	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ (𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘)) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))))
444	443	r19.29an 3140	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘)) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))))
445	291, 444	impbida 800	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘)))
446	14, 445	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘∪ 𝑆) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541  ∃wex 1780   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898   ∪ cun 3899   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ∅c0 4285  {csn 4580  ∪ cuni 4863  ∪ ciun 4946  Disj wdisj 5065   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623  dom cdm 5624  ran crn 5625   ↾ cres 5626   “ cima 5627  Fun wfun 6486   Fn wfn 6487  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   supp csupp 8102   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  ℕ₀cn0 12401  ℤcz 12488  ♯chash 14253  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359   Σ_g cgsu 17360  Mndcmnd 18659  SubMndcsubmnd 18707  ._gcmg 18997  SubGrpcsubg 19050  CMndccmn 19709  1_rcur 20116  Ringcrg 20168   RingHom crh 20405  LIdealclidl 21161  RSpancrsp 21162  ℤ_ringczring 21401  ℤRHomczrh 21454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-reg 9497  ax-inf2 9550  ax-ac2 10373  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-disj 5066  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-oi 9415  df-r1 9676  df-rank 9677  df-card 9851  df-ac 10026  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-seq 13925  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18708  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18998  df-subg 19053  df-ghm 19142  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-rhm 20408  df-nzr 20446  df-subrng 20479  df-subrg 20503  df-lmod 20813  df-lss 20883  df-lsp 20923  df-lmhm 20974  df-lbs 21027  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163  df-rsp 21164  df-cnfld 21310  df-zring 21402  df-zrh 21458  df-dsmm 21687  df-frlm 21702  df-uvc 21738

This theorem is referenced by:  zarcmplem  34038