| Step | Hyp | Ref | Expression | 
|---|
| 1 |  | elrspunidl.n | . . 3
⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅) | 
| 2 |  | elrspunidl.b | . . 3
⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅) | 
| 3 |  | elrspunidl.1 | . . 3
⊢  0 =
(0g‘𝑅) | 
| 4 |  | elrspunidl.x | . . 3
⊢  · =
(.r‘𝑅) | 
| 5 |  | elrspunidl.r | . . 3
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring) | 
| 6 |  | elrspunidl.i | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) | 
| 7 | 6 | sselda 3982 | . . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) | 
| 8 |  | eqid 2736 | . . . . . . 7
⊢
(LIdeal‘𝑅) =
(LIdeal‘𝑅) | 
| 9 | 2, 8 | lidlss 21223 | . . . . . 6
⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ 𝐵) | 
| 10 | 7, 9 | syl 17 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝑖 ⊆ 𝐵) | 
| 11 | 10 | ralrimiva 3145 | . . . 4
⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑆 𝑖 ⊆ 𝐵) | 
| 12 |  | unissb 4938 | . . . 4
⊢ (∪ 𝑆
⊆ 𝐵 ↔
∀𝑖 ∈ 𝑆 𝑖 ⊆ 𝐵) | 
| 13 | 11, 12 | sylibr 234 | . . 3
⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆
⊆ 𝐵) | 
| 14 | 1, 2, 3, 4, 5, 13 | elrsp 33401 | . 2
⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘∪ 𝑆) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))))) | 
| 15 |  | fvexd 6920 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) ∈ V) | 
| 16 | 15, 6 | ssexd 5323 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V) | 
| 17 | 16 | uniexd 7763 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆
∈ V) | 
| 18 |  | eluni2 4910 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↔ ∃𝑖 ∈
𝑆 𝑗 ∈ 𝑖) | 
| 19 | 18 | biimpi 216 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
→ ∃𝑖 ∈
𝑆 𝑗 ∈ 𝑖) | 
| 20 | 19 | adantl 481 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → ∃𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖) | 
| 21 | 20 | ralrimiva 3145 | . . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆∃𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖) | 
| 22 |  | eleq2 2829 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑖 = (𝑓‘𝑗) → (𝑗 ∈ 𝑖 ↔ 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗))) | 
| 23 | 22 | ac6sg 10529 | . . . . . . . 8
⊢ (∪ 𝑆
∈ V → (∀𝑗
∈ ∪ 𝑆∃𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 → ∃𝑓(𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆 ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)))) | 
| 24 | 17, 21, 23 | sylc 65 | . . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆 ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗))) | 
| 25 | 24 | ad3antrrr 730 | . . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → ∃𝑓(𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆 ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗))) | 
| 26 |  | simp-5l 784 | . . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝜑) | 
| 27 | 26 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝜑) | 
| 28 |  | ringcmn 20280 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd) | 
| 29 | 27, 5, 28 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ CMnd) | 
| 30 |  | vex 3483 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑓 ∈ V | 
| 31 |  | cnvexg 7947 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑓 ∈ V → ◡𝑓 ∈ V) | 
| 32 |  | imaexg 7936 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (◡𝑓 ∈ V → (◡𝑓 “ {𝑖}) ∈ V) | 
| 33 | 30, 31, 32 | mp2b 10 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (◡𝑓 “ {𝑖}) ∈ V | 
| 34 | 33 | a1i 11 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ∈ V) | 
| 35 | 5 | ad7antr 738 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑅 ∈ Ring) | 
| 36 |  | elmapi 8890 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)
→ 𝑏:∪ 𝑆⟶𝐵) | 
| 37 | 36 | ad7antlr 739 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑏:∪ 𝑆⟶𝐵) | 
| 38 |  | cnvimass 6099 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ dom 𝑓 | 
| 39 |  | fdm 6744 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑓:∪
𝑆⟶𝑆 → dom 𝑓 = ∪ 𝑆) | 
| 40 | 38, 39 | sseqtrid 4025 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑓:∪
𝑆⟶𝑆 → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ∪ 𝑆) | 
| 41 | 40 | ad3antlr 731 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ∪ 𝑆) | 
| 42 | 41 | sselda 3982 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑙 ∈ ∪ 𝑆) | 
| 43 | 37, 42 | ffvelcdmd 7104 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → (𝑏‘𝑙) ∈ 𝐵) | 
| 44 | 13 | ad7antr 738 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵) | 
| 45 | 44, 42 | sseldd 3983 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑙 ∈ 𝐵) | 
| 46 | 2, 4 | ringcl 20248 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏‘𝑙) ∈ 𝐵 ∧ 𝑙 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘𝑙) · 𝑙) ∈ 𝐵) | 
| 47 | 35, 43, 45, 46 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏‘𝑙) · 𝑙) ∈ 𝐵) | 
| 48 |  | fveq2 6905 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑏‘𝑗) = (𝑏‘𝑙)) | 
| 49 |  | id 22 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 = 𝑙 → 𝑗 = 𝑙) | 
| 50 | 48, 49 | oveq12d 7450 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑗 = 𝑙 → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = ((𝑏‘𝑙) · 𝑙)) | 
| 51 | 50 | cbvmptv 5254 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑙) · 𝑙)) | 
| 52 | 47, 51 | fmptd 7133 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)):(◡𝑓 “ {𝑖})⟶𝐵) | 
| 53 | 34 | mptexd 7245 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ∈ V) | 
| 54 | 52 | ffund 6739 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → Fun (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) | 
| 55 |  | simp-5r 785 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝑏 finSupp 0 ) | 
| 56 |  | nfv 1913 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0
) | 
| 57 |  | nfcv 2904 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑗𝑅 | 
| 58 |  | nfcv 2904 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑗
Σg | 
| 59 |  | nfmpt1 5249 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) | 
| 60 | 57, 58, 59 | nfov 7462 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Ⅎ𝑗(𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) | 
| 61 | 60 | nfeq2 2922 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑗 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) | 
| 62 | 56, 61 | nfan 1898 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑗(((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) | 
| 63 |  | nfv 1913 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑗 𝑓:∪
𝑆⟶𝑆 | 
| 64 | 62, 63 | nfan 1898 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑗((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) | 
| 65 |  | nfra1 3283 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗) | 
| 66 | 64, 65 | nfan 1898 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑗(((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) | 
| 67 |  | nfv 1913 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ 𝑆 | 
| 68 | 66, 67 | nfan 1898 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑗((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) | 
| 69 |  | nfcv 2904 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑗(◡𝑓 “ {𝑖}) | 
| 70 |  | nfcv 2904 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑗(𝑏 supp 0 ) | 
| 71 | 36 | ad7antlr 739 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏:∪
𝑆⟶𝐵) | 
| 72 | 71 | ffnd 6736 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn ∪
𝑆) | 
| 73 | 26, 17 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ∪ 𝑆 ∈ V) | 
| 74 | 73 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ∪ 𝑆
∈ V) | 
| 75 | 3 | fvexi 6919 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢  0 ∈
V | 
| 76 | 75 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈
V) | 
| 77 | 41 | ssdifd 4144 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 )) ⊆ (∪ 𝑆
∖ (𝑏 supp 0
))) | 
| 78 | 77 | sselda 3982 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ (∪ 𝑆
∖ (𝑏 supp 0
))) | 
| 79 | 72, 74, 76, 78 | fvdifsupp 8197 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏‘𝑗) = 0 ) | 
| 80 | 79 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗)) | 
| 81 | 5 | ad7antr 738 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑅 ∈ Ring) | 
| 82 | 13 | ad7antr 738 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ∪ 𝑆
⊆ 𝐵) | 
| 83 | 78 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) | 
| 84 | 82, 83 | sseldd 3983 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ 𝐵) | 
| 85 | 2, 4, 3 | ringlz 20291 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑗) = 0 ) | 
| 86 | 81, 84, 85 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 ) | 
| 87 | 80, 86 | eqtrd 2776 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = 0 ) | 
| 88 | 68, 69, 70, 87, 34 | suppss2f 32649 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → ((𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 )) | 
| 89 |  | fsuppsssupp 9422 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 ) | 
| 90 | 53, 54, 55, 88, 89 | syl22anc 838 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 ) | 
| 91 | 2, 3, 29, 34, 52, 90 | gsumcl 19934 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ∈ 𝐵) | 
| 92 | 91 | fmpttd 7134 | . . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))):𝑆⟶𝐵) | 
| 93 | 2 | fvexi 6919 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐵 ∈ V | 
| 94 | 93 | a1i 11 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V) | 
| 95 | 94, 16 | elmapd 8881 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) ↔ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))):𝑆⟶𝐵)) | 
| 96 | 95 | biimpar 477 | . . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))):𝑆⟶𝐵) → (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) | 
| 97 | 26, 92, 96 | syl2anc 584 | . . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) | 
| 98 |  | breq1 5145 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → (𝑎 finSupp 0 ↔ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 )) | 
| 99 |  | oveq2 7440 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → (𝑅 Σg 𝑎) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))))) | 
| 100 | 99 | eqeq2d 2747 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → (𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))))) | 
| 101 |  | fveq1 6904 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → (𝑎‘𝑘) = ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘)) | 
| 102 | 101 | eleq1d 2825 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → ((𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘 ↔ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)) | 
| 103 | 102 | ralbidv 3177 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → (∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑆 ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)) | 
| 104 | 98, 100, 103 | 3anbi123d 1437 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘))) | 
| 105 | 104 | adantl 481 | . . . . . . . 8
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘))) | 
| 106 | 26, 16 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑆 ∈ V) | 
| 107 | 106 | mptexd 7245 | . . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∈ V) | 
| 108 | 75 | a1i 11 | . . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 0 ∈ V) | 
| 109 |  | funmpt 6603 | . . . . . . . . . . 11
⊢ Fun
(𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) | 
| 110 | 109 | a1i 11 | . . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → Fun (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) | 
| 111 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) | 
| 112 | 111 | ffund 6739 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → Fun 𝑓) | 
| 113 |  | simp-4r 783 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑏 finSupp 0 ) | 
| 114 | 113 | fsuppimpd 9410 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑏 supp 0 ) ∈
Fin) | 
| 115 |  | imafi 9354 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((Fun
𝑓 ∧ (𝑏 supp 0 ) ∈ Fin) →
(𝑓 “ (𝑏 supp 0 )) ∈
Fin) | 
| 116 | 112, 114,
115 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )) ∈
Fin) | 
| 117 |  | nfv 1913 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))) | 
| 118 | 66, 117 | nfan 1898 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑗((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) | 
| 119 |  | simpllr 775 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑓:∪
𝑆⟶𝑆) | 
| 120 | 119 | ffund 6739 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → Fun 𝑓) | 
| 121 |  | snssi 4807 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))) → {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) | 
| 122 | 121 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) | 
| 123 |  | sspreima 7087 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((Fun
𝑓 ∧ {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ (◡𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))) | 
| 124 | 120, 122,
123 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ (◡𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))) | 
| 125 |  | difpreima 7084 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (Fun
𝑓 → (◡𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) = ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))) | 
| 126 | 120, 125 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) = ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))) | 
| 127 | 124, 126 | sseqtrd 4019 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))) | 
| 128 |  | suppssdm 8203 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑏 | 
| 129 | 36 | ad6antlr 737 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑏:∪
𝑆⟶𝐵) | 
| 130 | 128, 129 | fssdm 6754 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ ∪ 𝑆) | 
| 131 | 119 | fdmd 6745 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → dom 𝑓 = ∪
𝑆) | 
| 132 | 130, 131 | sseqtrrd 4020 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓) | 
| 133 |  | sseqin2 4222 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 ↔ (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) = (𝑏 supp 0 )) | 
| 134 | 133 | biimpi 216 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) = (𝑏 supp 0 )) | 
| 135 |  | dminss 6172 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (dom
𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) ⊆ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))) | 
| 136 | 134, 135 | eqsstrrdi 4028 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) | 
| 137 | 132, 136 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) | 
| 138 | 137 | sscond 4145 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ⊆ ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 ))) | 
| 139 | 127, 138 | sstrd 3993 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 ))) | 
| 140 |  | fimacnv 6757 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑓:∪
𝑆⟶𝑆 → (◡𝑓 “ 𝑆) = ∪ 𝑆) | 
| 141 | 119, 140 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ 𝑆) = ∪ 𝑆) | 
| 142 | 141 | difeq1d 4124 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 )) = (∪ 𝑆
∖ (𝑏 supp 0
))) | 
| 143 | 139, 142 | sseqtrd 4019 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ (∪
𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) | 
| 144 | 143 | sselda 3982 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) | 
| 145 |  | ssidd 4006 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 )) | 
| 146 | 73 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → ∪ 𝑆
∈ V) | 
| 147 | 75 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 0 ∈
V) | 
| 148 | 129, 145,
146, 147 | suppssr 8221 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆
∖ (𝑏 supp 0 ))) →
(𝑏‘𝑗) = 0 ) | 
| 149 | 144, 148 | syldan 591 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → (𝑏‘𝑗) = 0 ) | 
| 150 | 149 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗)) | 
| 151 | 5 | ad7antr 738 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑅 ∈ Ring) | 
| 152 | 13 | ad7antr 738 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵) | 
| 153 | 40 | ad3antlr 731 | . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ∪ 𝑆) | 
| 154 | 153 | sselda 3982 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) | 
| 155 | 152, 154 | sseldd 3983 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗 ∈ 𝐵) | 
| 156 | 151, 155,
85 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → ( 0 · 𝑗) = 0 ) | 
| 157 | 150, 156 | eqtrd 2776 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = 0 ) | 
| 158 | 118, 157 | mpteq2da 5239 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )) | 
| 159 | 158 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg
(𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 ))) | 
| 160 | 5, 28 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd) | 
| 161 | 160 | cmnmndd 19823 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd) | 
| 162 | 161 | ad6antr 736 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑅 ∈ Mnd) | 
| 163 | 3 | gsumz 18850 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (◡𝑓 “ {𝑖}) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )) = 0 ) | 
| 164 | 162, 33, 163 | sylancl 586 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg
(𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )) = 0 ) | 
| 165 | 159, 164 | eqtrd 2776 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg
(𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) = 0 ) | 
| 166 | 165, 106 | suppss2 8226 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ⊆ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))) | 
| 167 | 116, 166 | ssfid 9302 | . . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈
Fin) | 
| 168 |  | isfsupp 9406 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈
Fin))) | 
| 169 | 168 | biimpar 477 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (Fun
(𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈ Fin)) →
(𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ) | 
| 170 | 107, 108,
110, 167, 169 | syl22anc 838 | . . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ) | 
| 171 |  | simpllr 775 | . . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) | 
| 172 | 26, 160 | syl 17 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑅 ∈ CMnd) | 
| 173 | 5 | ad6antr 736 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring) | 
| 174 | 36 | ad5antlr 735 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑏:∪ 𝑆⟶𝐵) | 
| 175 | 174 | ffvelcdmda 7103 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → (𝑏‘𝑗) ∈ 𝐵) | 
| 176 | 26, 13 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵) | 
| 177 | 176 | sselda 3982 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → 𝑗 ∈ 𝐵) | 
| 178 | 2, 4 | ringcl 20248 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏‘𝑗) ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵) | 
| 179 | 173, 175,
177, 178 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵) | 
| 180 |  | eqid 2736 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) | 
| 181 | 66, 179, 180 | fmptdf 7136 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)):∪ 𝑆⟶𝐵) | 
| 182 | 73 | mptexd 7245 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ∈ V) | 
| 183 |  | funmpt 6603 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ Fun
(𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) | 
| 184 | 183 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → Fun (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) | 
| 185 |  | nfcv 2904 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑗∪ 𝑆 | 
| 186 | 174 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏:∪
𝑆⟶𝐵) | 
| 187 | 186 | ffnd 6736 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn ∪
𝑆) | 
| 188 | 73 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ∪ 𝑆
∈ V) | 
| 189 | 75 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈
V) | 
| 190 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ (∪ 𝑆
∖ (𝑏 supp 0
))) | 
| 191 | 187, 188,
189, 190 | fvdifsupp 8197 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏‘𝑗) = 0 ) | 
| 192 | 191 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗)) | 
| 193 | 5 | ad6antr 736 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑅 ∈ Ring) | 
| 194 | 176 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ∪ 𝑆
⊆ 𝐵) | 
| 195 | 190 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) | 
| 196 | 194, 195 | sseldd 3983 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ 𝐵) | 
| 197 | 193, 196,
85 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 ) | 
| 198 | 192, 197 | eqtrd 2776 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = 0 ) | 
| 199 | 66, 185, 70, 198, 73 | suppss2f 32649 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 )) | 
| 200 |  | fsuppsssupp 9422 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 ) | 
| 201 | 182, 184,
113, 199, 200 | syl22anc 838 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 ) | 
| 202 |  | sndisj 5134 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
Disj 𝑖 ∈
𝑆 {𝑖} | 
| 203 |  | disjpreima 32598 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ ((Fun
𝑓 ∧ Disj 𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖}) → Disj 𝑖 ∈ 𝑆 (◡𝑓 “ {𝑖})) | 
| 204 | 112, 202,
203 | sylancl 586 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → Disj 𝑖 ∈ 𝑆 (◡𝑓 “ {𝑖})) | 
| 205 |  | iunid 5059 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖} = 𝑆 | 
| 206 | 205 | imaeq2i 6075 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (◡𝑓 “ ∪
𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖}) = (◡𝑓 “ 𝑆) | 
| 207 |  | iunpreima 32578 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (Fun
𝑓 → (◡𝑓 “ ∪
𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖}) = ∪
𝑖 ∈ 𝑆 (◡𝑓 “ {𝑖})) | 
| 208 | 112, 207 | syl 17 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (◡𝑓 “ ∪
𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖}) = ∪
𝑖 ∈ 𝑆 (◡𝑓 “ {𝑖})) | 
| 209 | 140 | ad2antlr 727 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (◡𝑓 “ 𝑆) = ∪ 𝑆) | 
| 210 | 206, 208,
209 | 3eqtr3a 2800 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ∪
𝑖 ∈ 𝑆 (◡𝑓 “ {𝑖}) = ∪ 𝑆) | 
| 211 | 2, 3, 172, 73, 106, 181, 201, 204, 210 | gsumpart 33061 | . . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ↾ (◡𝑓 “ {𝑖})))))) | 
| 212 | 41 | resmptd 6057 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ↾ (◡𝑓 “ {𝑖})) = (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) | 
| 213 | 212 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ↾ (◡𝑓 “ {𝑖}))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) | 
| 214 | 213 | mpteq2dva 5241 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ↾ (◡𝑓 “ {𝑖})))) = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) | 
| 215 | 214 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ↾ (◡𝑓 “ {𝑖}))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))))) | 
| 216 | 171, 211,
215 | 3eqtrd 2780 | . . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))))) | 
| 217 |  | eqid 2736 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) | 
| 218 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → 𝑖 = 𝑘) | 
| 219 | 218 | sneqd 4637 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → {𝑖} = {𝑘}) | 
| 220 | 219 | imaeq2d 6077 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (◡𝑓 “ {𝑖}) = (◡𝑓 “ {𝑘})) | 
| 221 | 220 | mpteq1d 5236 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) | 
| 222 | 221 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) | 
| 223 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ 𝑆) | 
| 224 |  | ovexd 7467 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ∈ V) | 
| 225 | 217, 222,
223, 224 | fvmptd2 7023 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) | 
| 226 | 160 | ad6antr 736 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ CMnd) | 
| 227 | 30 | cnvex 7948 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ◡𝑓 ∈ V | 
| 228 | 227 | imaex 7937 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (◡𝑓 “ {𝑘}) ∈ V | 
| 229 | 228 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (◡𝑓 “ {𝑘}) ∈ V) | 
| 230 | 5 | ad6antr 736 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring) | 
| 231 | 26, 6 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑆 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) | 
| 232 | 231 | sselda 3982 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) | 
| 233 | 8 | lidlsubg 21234 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑘 ∈ (SubGrp‘𝑅)) | 
| 234 |  | subgsubm 19167 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅)) | 
| 235 | 233, 234 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅)) | 
| 236 | 230, 232,
235 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅)) | 
| 237 | 230 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑅 ∈ Ring) | 
| 238 | 232 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) | 
| 239 | 36 | ad7antlr 739 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑏:∪ 𝑆⟶𝐵) | 
| 240 |  | cnvimass 6099 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (◡𝑓 “ {𝑘}) ⊆ dom 𝑓 | 
| 241 | 240, 39 | sseqtrid 4025 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑓:∪
𝑆⟶𝑆 → (◡𝑓 “ {𝑘}) ⊆ ∪ 𝑆) | 
| 242 | 241 | ad3antlr 731 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (◡𝑓 “ {𝑘}) ⊆ ∪ 𝑆) | 
| 243 | 242 | sselda 3982 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙 ∈ ∪ 𝑆) | 
| 244 | 239, 243 | ffvelcdmd 7104 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → (𝑏‘𝑙) ∈ 𝐵) | 
| 245 |  | fveq2 6905 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑓‘𝑗) = (𝑓‘𝑙)) | 
| 246 | 49, 245 | eleq12d 2834 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗) ↔ 𝑙 ∈ (𝑓‘𝑙))) | 
| 247 |  | simpllr 775 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) | 
| 248 | 246, 247,
243 | rspcdva 3622 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙 ∈ (𝑓‘𝑙)) | 
| 249 |  | simp-4r 783 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) | 
| 250 | 249 | ffnd 6736 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑓 Fn ∪ 𝑆) | 
| 251 |  | elpreima 7077 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑓 Fn ∪
𝑆 → (𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↔ (𝑙 ∈ ∪ 𝑆 ∧ (𝑓‘𝑙) ∈ {𝑘}))) | 
| 252 | 251 | biimpa 476 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑓 Fn ∪
𝑆 ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → (𝑙 ∈ ∪ 𝑆 ∧ (𝑓‘𝑙) ∈ {𝑘})) | 
| 253 |  | elsni 4642 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑓‘𝑙) ∈ {𝑘} → (𝑓‘𝑙) = 𝑘) | 
| 254 | 252, 253 | simpl2im 503 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑓 Fn ∪
𝑆 ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → (𝑓‘𝑙) = 𝑘) | 
| 255 | 250, 254 | sylancom 588 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → (𝑓‘𝑙) = 𝑘) | 
| 256 | 248, 255 | eleqtrd 2842 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙 ∈ 𝑘) | 
| 257 | 8, 2, 4 | lidlmcl 21236 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑏‘𝑙) ∈ 𝐵 ∧ 𝑙 ∈ 𝑘)) → ((𝑏‘𝑙) · 𝑙) ∈ 𝑘) | 
| 258 | 237, 238,
244, 256, 257 | syl22anc 838 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → ((𝑏‘𝑙) · 𝑙) ∈ 𝑘) | 
| 259 | 50 | cbvmptv 5254 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑙) · 𝑙)) | 
| 260 | 258, 259 | fmptd 7133 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)):(◡𝑓 “ {𝑘})⟶𝑘) | 
| 261 | 229 | mptexd 7245 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ∈ V) | 
| 262 | 260 | ffund 6739 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → Fun (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) | 
| 263 |  | simp-5r 785 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑏 finSupp 0 ) | 
| 264 |  | nfv 1913 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝑆 | 
| 265 | 66, 264 | nfan 1898 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑗((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) | 
| 266 |  | nfcv 2904 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑗(◡𝑓 “ {𝑘}) | 
| 267 | 36 | ad7antlr 739 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏:∪
𝑆⟶𝐵) | 
| 268 | 267 | ffnd 6736 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn ∪
𝑆) | 
| 269 | 73 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ∪ 𝑆
∈ V) | 
| 270 | 75 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈
V) | 
| 271 | 242 | ssdifd 4144 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 )) ⊆ (∪ 𝑆
∖ (𝑏 supp 0
))) | 
| 272 | 271 | sselda 3982 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ (∪ 𝑆
∖ (𝑏 supp 0
))) | 
| 273 | 268, 269,
270, 272 | fvdifsupp 8197 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏‘𝑗) = 0 ) | 
| 274 | 273 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗)) | 
| 275 | 13 | ad7antr 738 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ∪ 𝑆
⊆ 𝐵) | 
| 276 | 272 | eldifad 3962 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) | 
| 277 | 275, 276 | sseldd 3983 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ 𝐵) | 
| 278 | 230, 277,
85 | syl2an2r 685 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 ) | 
| 279 | 274, 278 | eqtrd 2776 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = 0 ) | 
| 280 | 265, 266,
70, 279, 229 | suppss2f 32649 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 )) | 
| 281 |  | fsuppsssupp 9422 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 ) | 
| 282 | 261, 262,
263, 280, 281 | syl22anc 838 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 ) | 
| 283 | 3, 226, 229, 236, 260, 282 | gsumsubmcl 19938 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ∈ 𝑘) | 
| 284 | 225, 283 | eqeltrd 2840 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘) | 
| 285 | 284 | ralrimiva 3145 | . . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ 𝑆 ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘) | 
| 286 | 170, 216,
285 | 3jca 1128 | . . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)) | 
| 287 | 97, 105, 286 | rspcedvd 3623 | . . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘)) | 
| 288 | 287 | anasss 466 | . . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ (𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆 ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘)) | 
| 289 | 25, 288 | exlimddv 1934 | . . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘)) | 
| 290 | 289 | anasss 466 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘)) | 
| 291 | 290 | r19.29an 3157 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘)) | 
| 292 | 5 | ad4antr 732 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑅 ∈ Ring) | 
| 293 | 292 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring) | 
| 294 |  | eqid 2736 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅) | 
| 295 | 294 | zrhrhm 21523 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑅 ∈ Ring →
(ℤRHom‘𝑅)
∈ (ℤring RingHom 𝑅)) | 
| 296 |  | zringbas 21465 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ℤ =
(Base‘ℤring) | 
| 297 | 296, 2 | rhmf 20486 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom
𝑅) →
(ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶𝐵) | 
| 298 | 293, 295,
297 | 3syl 18 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) →
(ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶𝐵) | 
| 299 |  | simp-5r 785 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) | 
| 300 | 75 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 0 ∈
V) | 
| 301 |  | ssv 4007 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ran 𝑎 ⊆ V | 
| 302 |  | ssdif 4143 | . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ran
𝑎 ⊆ V → (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ (V
∖ { 0 })) | 
| 303 | 301, 302 | ax-mp 5 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ (V
∖ { 0 }) | 
| 304 | 303 | sseli 3978 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) → 𝑚 ∈ (V ∖ { 0
})) | 
| 305 | 304 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑚 ∈ (V ∖ { 0
})) | 
| 306 |  | simp-4r 783 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 finSupp 0 ) | 
| 307 | 299, 300,
305, 306 | fsuppinisegfi 32697 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (◡𝑎 “ {𝑚}) ∈ Fin) | 
| 308 |  | hashcl 14396 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((◡𝑎 “ {𝑚}) ∈ Fin → (♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})) ∈
ℕ0) | 
| 309 | 307, 308 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) →
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})) ∈
ℕ0) | 
| 310 | 309 | nn0zd 12641 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) →
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})) ∈ ℤ) | 
| 311 | 298, 310 | ffvelcdmd 7104 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) →
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚}))) ∈ 𝐵) | 
| 312 |  | eqid 2736 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) = (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) | 
| 313 | 311, 312 | fmptd 7133 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))):(ran 𝑎 ∖ { 0 })⟶𝐵) | 
| 314 | 2, 3 | ring0cl 20265 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵) | 
| 315 |  | fconst6g 6796 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ((∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
× { 0 }):(∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0
}))⟶𝐵) | 
| 316 | 292, 314,
315 | 3syl 18 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }):(∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0
}))⟶𝐵) | 
| 317 |  | disjdif 4471 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((ran
𝑎 ∖ { 0 }) ∩
(∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) =
∅ | 
| 318 | 317 | a1i 11 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))) =
∅) | 
| 319 | 313, 316,
318 | fun2d 6771 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):((ran
𝑎 ∖ { 0 }) ∪
(∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))⟶𝐵) | 
| 320 |  | simplll 774 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆))) | 
| 321 | 94, 16 | elmapd 8881 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) ↔ 𝑎:𝑆⟶𝐵)) | 
| 322 | 321 | biimpa 476 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) → 𝑎:𝑆⟶𝐵) | 
| 323 | 320, 322 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎:𝑆⟶𝐵) | 
| 324 | 323 | ffnd 6736 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 Fn 𝑆) | 
| 325 |  | elssuni 4936 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈ 𝑆 → 𝑘 ⊆ ∪ 𝑆) | 
| 326 | 325 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ⊆ ∪ 𝑆) | 
| 327 | 326 | sseld 3981 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘 → (𝑎‘𝑘) ∈ ∪ 𝑆)) | 
| 328 | 327 | ralimdva 3166 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) → (∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘 → ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ ∪ 𝑆)) | 
| 329 | 328 | imp 406 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ ∪ 𝑆) | 
| 330 |  | fnfvrnss 7140 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑎 Fn 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ ∪ 𝑆) → ran 𝑎 ⊆ ∪ 𝑆) | 
| 331 | 324, 329,
330 | syl2anc 584 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ran 𝑎 ⊆ ∪ 𝑆) | 
| 332 | 331 | ssdifssd 4146 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ ∪ 𝑆) | 
| 333 |  | undif 4481 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((ran
𝑎 ∖ { 0 }) ⊆
∪ 𝑆 ↔ ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))) =
∪ 𝑆) | 
| 334 | 332, 333 | sylib 218 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))) =
∪ 𝑆) | 
| 335 | 334 | feq2d 6721 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):((ran
𝑎 ∖ { 0 }) ∪
(∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))⟶𝐵 ↔ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):∪ 𝑆⟶𝐵)) | 
| 336 | 319, 335 | mpbid 232 | . . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):∪ 𝑆⟶𝐵) | 
| 337 | 93 | a1i 11 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝐵 ∈ V) | 
| 338 | 17 | ad4antr 732 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ∪ 𝑆 ∈ V) | 
| 339 | 337, 338 | elmapd 8881 | . . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈
(𝐵 ↑m ∪ 𝑆)
↔ ((𝑚 ∈ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):∪ 𝑆⟶𝐵)) | 
| 340 | 336, 339 | mpbird 257 | . . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈
(𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) | 
| 341 |  | breq1 5145 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) →
(𝑏 finSupp 0 ↔
((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp
0
)) | 
| 342 |  | fveq1 6904 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) →
(𝑏‘𝑗) = (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗)) | 
| 343 | 342 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) →
((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗)) | 
| 344 | 343 | mpteq2dv 5243 | . . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) →
(𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗))) | 
| 345 | 344 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . 10
⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) →
(𝑅
Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((((𝑚 ∈ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗)))) | 
| 346 | 345 | eqeq2d 2747 | . . . . . . . . 9
⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) →
(𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((((𝑚 ∈ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗))))) | 
| 347 | 341, 346 | anbi12d 632 | . . . . . . . 8
⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) →
((𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ↔ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp
0 ∧
𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((((𝑚 ∈ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗)))))) | 
| 348 | 347 | adantl 481 | . . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))) →
((𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ↔ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp
0 ∧
𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((((𝑚 ∈ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗)))))) | 
| 349 | 319 | ffund 6739 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → Fun ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))) | 
| 350 | 340 | elexd 3503 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈
V) | 
| 351 | 75 | a1i 11 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 0 ∈ V) | 
| 352 | 323 | ffund 6739 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → Fun 𝑎) | 
| 353 | 320 | simprd 495 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) | 
| 354 |  | simpllr 775 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 finSupp 0 ) | 
| 355 |  | fsupprnfi 32702 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((Fun
𝑎 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ran 𝑎 ∈ Fin) | 
| 356 |  | diffi 9216 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ran
𝑎 ∈ Fin → (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ∈
Fin) | 
| 357 | 355, 356 | syl 17 | . . . . . . . . . . . 12
⊢ (((Fun
𝑎 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∈
Fin) | 
| 358 | 352, 353,
351, 354, 357 | syl22anc 838 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∈
Fin) | 
| 359 | 313, 358,
351 | fdmfifsupp 9416 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) finSupp 0 ) | 
| 360 | 13 | ssdifssd 4146 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
⊆ 𝐵) | 
| 361 | 360 | ad4antr 732 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ⊆ 𝐵) | 
| 362 | 337, 361 | ssexd 5323 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ∈
V) | 
| 363 | 362, 351 | fczfsuppd 9427 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) finSupp
0
) | 
| 364 | 359, 363 | fsuppun 9428 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp
0 )
∈ Fin) | 
| 365 |  | funisfsupp 9408 | . . . . . . . . . 10
⊢ ((Fun
((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∧
((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ V
∧ 0
∈ V) → (((𝑚
∈ (ran 𝑎 ∖ {
0 })
↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp
0 ↔
(((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp
0 )
∈ Fin)) | 
| 366 | 365 | biimpar 477 | . . . . . . . . 9
⊢ (((Fun
((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∧
((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ V
∧ 0
∈ V) ∧ (((𝑚 ∈
(ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp
0 )
∈ Fin) → ((𝑚
∈ (ran 𝑎 ∖ {
0 })
↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp
0
) | 
| 367 | 349, 350,
351, 364, 366 | syl31anc 1374 | . . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp
0
) | 
| 368 |  | fvex 6918 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚}))) ∈ V | 
| 369 | 368, 312 | fnmpti 6710 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 }) | 
| 370 | 369 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 })) | 
| 371 |  | fnconstg 6795 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ( 0 ∈ V
→ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0
}))) | 
| 372 | 75, 371 | ax-mp 5 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
× { 0 }) Fn (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0
})) | 
| 373 | 372 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
× { 0 }) Fn (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0
}))) | 
| 374 | 317 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))) =
∅) | 
| 375 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) | 
| 376 | 370, 373,
374, 375 | fvun1d 7001 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚}))))‘𝑗)) | 
| 377 |  | sneq 4635 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑚 = 𝑗 → {𝑚} = {𝑗}) | 
| 378 | 377 | imaeq2d 6077 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑚 = 𝑗 → (◡𝑎 “ {𝑚}) = (◡𝑎 “ {𝑗})) | 
| 379 | 378 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑚 = 𝑗 → (♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})) = (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) | 
| 380 | 379 | fveq2d 6909 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚}))) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})))) | 
| 381 |  | fvexd 6920 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) →
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) ∈ V) | 
| 382 | 312, 380,
375, 381 | fvmptd3 7038 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚}))))‘𝑗) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})))) | 
| 383 | 376, 382 | eqtrd 2776 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) =
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})))) | 
| 384 | 383 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗) = (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗)) | 
| 385 | 384 | mpteq2dva 5241 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
(((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))) | 
| 386 | 385 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
(((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗)))) | 
| 387 | 292, 28 | syl 17 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑅 ∈ CMnd) | 
| 388 | 317 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))) =
∅) | 
| 389 |  | fvun2 7000 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∧ ((∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
× { 0 }) Fn (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
∧ (((ran 𝑎 ∖ {
0 })
∩ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))))
→ (((𝑚 ∈ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) = (((∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
× { 0 })‘𝑗)) | 
| 390 | 369, 372,
389 | mp3an12 1452 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((ran
𝑎 ∖ { 0 }) ∩
(∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 })))
→ (((𝑚 ∈ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) = (((∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
× { 0 })‘𝑗)) | 
| 391 | 388, 390 | sylancom 588 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) = (((∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
× { 0 })‘𝑗)) | 
| 392 | 75 | fvconst2 7225 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 ∈ (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
→ (((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
})‘𝑗) = 0
) | 
| 393 | 392 | adantl 481 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
× { 0 })‘𝑗) = 0 ) | 
| 394 | 391, 393 | eqtrd 2776 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) = 0
) | 
| 395 | 394 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗)) | 
| 396 | 361 | sselda 3982 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → 𝑗 ∈ 𝐵) | 
| 397 | 292, 396,
85 | syl2an2r 685 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ( 0 · 𝑗) = 0 ) | 
| 398 | 395, 397 | eqtrd 2776 | . . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗) = 0 ) | 
| 399 | 292 | adantr 480 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring) | 
| 400 | 336 | ffvelcdmda 7103 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) ∈ 𝐵) | 
| 401 | 13 | ad4antr 732 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵) | 
| 402 | 401 | sselda 3982 | . . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → 𝑗 ∈ 𝐵) | 
| 403 | 2, 4 | ringcl 20248 | . . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵) | 
| 404 | 399, 400,
402, 403 | syl3anc 1372 | . . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵) | 
| 405 | 2, 3, 387, 338, 398, 358, 404, 332 | gsummptres2 33057 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((((𝑚 ∈ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗)))) | 
| 406 |  | eqid 2736 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(.g‘𝑅) = (.g‘𝑅) | 
| 407 | 2, 3, 406, 387, 323, 354 | gsumhashmul 33065 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg 𝑎) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)𝑗)))) | 
| 408 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) | 
| 409 | 292 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring) | 
| 410 | 353 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) | 
| 411 | 75 | a1i 11 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 0 ∈
V) | 
| 412 | 303, 375 | sselid 3980 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ (V ∖ { 0
})) | 
| 413 | 354 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 finSupp 0 ) | 
| 414 | 410, 411,
412, 413 | fsuppinisegfi 32697 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (◡𝑎 “ {𝑗}) ∈ Fin) | 
| 415 |  | hashcl 14396 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((◡𝑎 “ {𝑗}) ∈ Fin → (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈
ℕ0) | 
| 416 | 414, 415 | syl 17 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) →
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈
ℕ0) | 
| 417 | 416 | nn0zd 12641 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) →
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) | 
| 418 | 332, 401 | sstrd 3993 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵) | 
| 419 | 418 | sselda 3982 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ 𝐵) | 
| 420 |  | eqid 2736 | . . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(1r‘𝑅) = (1r‘𝑅) | 
| 421 | 294, 406,
420 | zrhmulg 21521 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) →
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) | 
| 422 | 421 | adantr 480 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) | 
| 423 | 422 | oveq1d 7447 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = (((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) · 𝑗)) | 
| 424 |  | simpll 766 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring) | 
| 425 |  | simplr 768 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) | 
| 426 | 2, 420 | ringidcl 20263 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑅 ∈ Ring →
(1r‘𝑅)
∈ 𝐵) | 
| 427 | 426 | ad2antrr 726 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) | 
| 428 |  | simpr 484 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝑗 ∈ 𝐵) | 
| 429 | 2, 406, 4 | mulgass2 20307 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧
((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ ∧
(1r‘𝑅)
∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) · 𝑗) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)((1r‘𝑅) · 𝑗))) | 
| 430 | 424, 425,
427, 428, 429 | syl13anc 1373 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) · 𝑗) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)((1r‘𝑅) · 𝑗))) | 
| 431 | 2, 4, 420 | ringlidm 20267 | . . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑗) = 𝑗) | 
| 432 | 424, 431 | sylancom 588 | . . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑗) = 𝑗) | 
| 433 | 432 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)((1r‘𝑅) · 𝑗)) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)𝑗)) | 
| 434 | 423, 430,
433 | 3eqtrd 2780 | . . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)𝑗)) | 
| 435 | 409, 417,
419, 434 | syl21anc 837 | . . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) →
(((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)𝑗)) | 
| 436 | 435 | mpteq2dva 5241 | . . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
(((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)𝑗))) | 
| 437 | 436 | oveq2d 7448 | . . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
(((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)𝑗)))) | 
| 438 | 407, 408,
437 | 3eqtr4d 2786 | . . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
(((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗)))) | 
| 439 | 386, 405,
438 | 3eqtr4rd 2787 | . . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((((𝑚 ∈ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗)))) | 
| 440 | 367, 439 | jca 511 | . . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp
0 ∧
𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((((𝑚 ∈ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗))))) | 
| 441 | 340, 348,
440 | rspcedvd 3623 | . . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) | 
| 442 | 441 | exp41 434 | . . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) → (𝑎 finSupp 0 → (𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) → (∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘 → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))))))) | 
| 443 | 442 | 3imp2 1349 | . . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ (𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘)) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) | 
| 444 | 443 | r19.29an 3157 | . . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘)) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) | 
| 445 | 291, 444 | impbida 800 | . 2
⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘))) | 
| 446 | 14, 445 | bitrd 279 | 1
⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘∪ 𝑆) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘))) |