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Theorem elrspunidl 33436
Description: Elementhood in the span of a union of ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
elrspunidl.n 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
elrspunidl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrspunidl.1 0 = (0g𝑅)
elrspunidl.x · = (.r𝑅)
elrspunidl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
elrspunidl.i (𝜑𝑆 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
elrspunidl (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁 𝑆) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘)))
Distinct variable groups:   0 ,𝑎,𝑘   · ,𝑎,𝑘   𝐵,𝑎,𝑘   𝑅,𝑎,𝑘   𝑆,𝑎,𝑘   𝑋,𝑎,𝑘   𝜑,𝑎,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑘,𝑎)

Proof of Theorem elrspunidl
Dummy variables 𝑏 𝑓 𝑖 𝑗 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrspunidl.n . . 3 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
2 elrspunidl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 elrspunidl.1 . . 3 0 = (0g𝑅)
4 elrspunidl.x . . 3 · = (.r𝑅)
5 elrspunidl.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
6 elrspunidl.i . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
76sselda 3995 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑆) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8 eqid 2735 . . . . . . 7 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
92, 8lidlss 21240 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖𝐵)
107, 9syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑆) → 𝑖𝐵)
1110ralrimiva 3144 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖𝑆 𝑖𝐵)
12 unissb 4944 . . . 4 ( 𝑆𝐵 ↔ ∀𝑖𝑆 𝑖𝐵)
1311, 12sylibr 234 . . 3 (𝜑 𝑆𝐵)
141, 2, 3, 4, 5, 13elrsp 33380 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁 𝑆) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))))
15 fvexd 6922 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) ∈ V)
1615, 6ssexd 5330 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ V)
1716uniexd 7761 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑆 ∈ V)
18 eluni2 4916 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 𝑆 ↔ ∃𝑖𝑆 𝑗𝑖)
1918biimpi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑗 𝑆 → ∃𝑖𝑆 𝑗𝑖)
2019adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 𝑆) → ∃𝑖𝑆 𝑗𝑖)
2120ralrimiva 3144 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 𝑆𝑖𝑆 𝑗𝑖)
22 eleq2 2828 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑓𝑗) → (𝑗𝑖𝑗 ∈ (𝑓𝑗)))
2322ac6sg 10526 . . . . . . . 8 ( 𝑆 ∈ V → (∀𝑗 𝑆𝑖𝑆 𝑗𝑖 → ∃𝑓(𝑓: 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗))))
2417, 21, 23sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓: 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)))
2524ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → ∃𝑓(𝑓: 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)))
26 simp-5l 785 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝜑)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → 𝜑)
28 ringcmn 20296 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
2927, 5, 283syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → 𝑅 ∈ CMnd)
30 vex 3482 . . . . . . . . . . . . 13 𝑓 ∈ V
31 cnvexg 7947 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V → 𝑓 ∈ V)
32 imaexg 7936 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V → (𝑓 “ {𝑖}) ∈ V)
3330, 31, 32mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 “ {𝑖}) ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑓 “ {𝑖}) ∈ V)
355ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑅 ∈ Ring)
36 elmapi 8888 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆) → 𝑏: 𝑆𝐵)
3736ad7antlr 739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑏: 𝑆𝐵)
38 cnvimass 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ dom 𝑓
39 fdm 6746 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓: 𝑆𝑆 → dom 𝑓 = 𝑆)
4038, 39sseqtrid 4048 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓: 𝑆𝑆 → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ 𝑆)
4140ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ 𝑆)
4241sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑙 𝑆)
4337, 42ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → (𝑏𝑙) ∈ 𝐵)
4413ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑆𝐵)
4544, 42sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑙𝐵)
462, 4ringcl 20268 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏𝑙) ∈ 𝐵𝑙𝐵) → ((𝑏𝑙) · 𝑙) ∈ 𝐵)
4735, 43, 45, 46syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏𝑙) · 𝑙) ∈ 𝐵)
48 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑙 → (𝑏𝑗) = (𝑏𝑙))
49 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑙𝑗 = 𝑙)
5048, 49oveq12d 7449 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑙 → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ((𝑏𝑙) · 𝑙))
5150cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑙) · 𝑙))
5247, 51fmptd 7134 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)):(𝑓 “ {𝑖})⟶𝐵)
5334mptexd 7244 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V)
5452ffund 6741 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → Fun (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
55 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → 𝑏 finSupp 0 )
56 nfv 1912 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 )
57 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝑅
58 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗 Σg
59 nfmpt1 5256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗(𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))
6057, 58, 59nfov 7461 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗(𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
6160nfeq2 2921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
6256, 61nfan 1897 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗(((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
63 nfv 1912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗 𝑓: 𝑆𝑆
6462, 63nfan 1897 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆)
65 nfra1 3282 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)
6664, 65nfan 1897 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗(((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗))
67 nfv 1912 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 𝑖𝑆
6866, 67nfan 1897 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆)
69 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗(𝑓 “ {𝑖})
70 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗(𝑏 supp 0 )
7136ad7antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏: 𝑆𝐵)
7271ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn 𝑆)
7326, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑆 ∈ V)
7473ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆 ∈ V)
753fvexi 6921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈ V)
7741ssdifd 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 )) ⊆ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
7877sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
7972, 74, 76, 78fvdifsupp 8195 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏𝑗) = 0 )
8079oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
815ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑅 ∈ Ring)
8213ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆𝐵)
8378eldifad 3975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 𝑆)
8482, 83sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗𝐵)
852, 4, 3ringlz 20307 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗𝐵) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
8681, 84, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
8780, 86eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = 0 )
8868, 69, 70, 87, 34suppss2f 32655 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → ((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))
89 fsuppsssupp 9419 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
9053, 54, 55, 88, 89syl22anc 839 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
912, 3, 29, 34, 52, 90gsumcl 19948 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∈ 𝐵)
9291fmpttd 7135 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))):𝑆𝐵)
932fvexi 6921 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ V
9493a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ V)
9594, 16elmapd 8879 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵m 𝑆) ↔ (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))):𝑆𝐵))
9695biimpar 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))):𝑆𝐵) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵m 𝑆))
9726, 92, 96syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵m 𝑆))
98 breq1 5151 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → (𝑎 finSupp 0 ↔ (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ))
99 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → (𝑅 Σg 𝑎) = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))))
10099eqeq2d 2746 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → (𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))))
101 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → (𝑎𝑘) = ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘))
102101eleq1d 2824 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → ((𝑎𝑘) ∈ 𝑘 ↔ ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘))
103102ralbidv 3176 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → (∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘 ↔ ∀𝑘𝑆 ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘))
10498, 100, 1033anbi123d 1435 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → ((𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ↔ ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘𝑆 ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)))
105104adantl 481 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) → ((𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ↔ ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘𝑆 ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)))
10626, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑆 ∈ V)
107106mptexd 7244 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ V)
10875a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 0 ∈ V)
109 funmpt 6606 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
110109a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → Fun (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))
111 simplr 769 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑓: 𝑆𝑆)
112111ffund 6741 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → Fun 𝑓)
113 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑏 finSupp 0 )
114113fsuppimpd 9407 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑏 supp 0 ) ∈ Fin)
115 imafi 9351 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝑓 ∧ (𝑏 supp 0 ) ∈ Fin) → (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )) ∈ Fin)
116112, 114, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )) ∈ Fin)
117 nfv 1912 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))
11866, 117nfan 1897 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
119 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑓: 𝑆𝑆)
120119ffund 6741 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → Fun 𝑓)
121 snssi 4813 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))) → {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
122121adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
123 sspreima 7088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Fun 𝑓 ∧ {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ (𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
124120, 122, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ (𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
125 difpreima 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Fun 𝑓 → (𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) = ((𝑓𝑆) ∖ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
126120, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) = ((𝑓𝑆) ∖ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
127124, 126sseqtrd 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ((𝑓𝑆) ∖ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
128 suppssdm 8201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑏
12936ad6antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑏: 𝑆𝐵)
130128, 129fssdm 6756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ 𝑆)
131119fdmd 6747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → dom 𝑓 = 𝑆)
132130, 131sseqtrrd 4037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓)
133 sseqin2 4231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 ↔ (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) = (𝑏 supp 0 ))
134133biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) = (𝑏 supp 0 ))
135 dminss 6175 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) ⊆ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))
136134, 135eqsstrrdi 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
137132, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
138137sscond 4156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → ((𝑓𝑆) ∖ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ⊆ ((𝑓𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 )))
139127, 138sstrd 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ((𝑓𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 )))
140 fimacnv 6759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓: 𝑆𝑆 → (𝑓𝑆) = 𝑆)
141119, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓𝑆) = 𝑆)
142141difeq1d 4135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → ((𝑓𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 )) = ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
143139, 142sseqtrd 4036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
144143sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
145 ssidd 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))
14673adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑆 ∈ V)
14775a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 0 ∈ V)
148129, 145, 146, 147suppssr 8219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏𝑗) = 0 )
149144, 148syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → (𝑏𝑗) = 0 )
150149oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
1515ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑅 ∈ Ring)
15213ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑆𝐵)
15340ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ 𝑆)
154153sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗 𝑆)
155152, 154sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗𝐵)
156151, 155, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
157150, 156eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = 0 )
158118, 157mpteq2da 5246 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 ))
159158oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )))
1605, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
161160cmnmndd 19837 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
162161ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑅 ∈ Mnd)
1633gsumz 18862 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑓 “ {𝑖}) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )) = 0 )
164162, 33, 163sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )) = 0 )
165159, 164eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) = 0 )
166165, 106suppss2 8224 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ⊆ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))
167116, 166ssfid 9299 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈ Fin)
168 isfsupp 9403 . . . . . . . . . . 11 (((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
169168biimpar 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (Fun (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈ Fin)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 )
170107, 108, 110, 167, 169syl22anc 839 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 )
171 simpllr 776 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
17226, 160syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑅 ∈ CMnd)
1735ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
17436ad5antlr 735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑏: 𝑆𝐵)
175174ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 𝑆) → (𝑏𝑗) ∈ 𝐵)
17626, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑆𝐵)
177176sselda 3995 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 𝑆) → 𝑗𝐵)
1782, 4ringcl 20268 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏𝑗) ∈ 𝐵𝑗𝐵) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵)
179173, 175, 177, 178syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 𝑆) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵)
180 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))
18166, 179, 180fmptdf 7137 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)): 𝑆𝐵)
18273mptexd 7244 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V)
183 funmpt 6606 . . . . . . . . . . . . 13 Fun (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))
184183a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → Fun (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
185 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 𝑆
186174adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏: 𝑆𝐵)
187186ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn 𝑆)
18873adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆 ∈ V)
18975a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈ V)
190 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
191187, 188, 189, 190fvdifsupp 8195 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏𝑗) = 0 )
192191oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
1935ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑅 ∈ Ring)
194176adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆𝐵)
195190eldifad 3975 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 𝑆)
196194, 195sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗𝐵)
197193, 196, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
198192, 197eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = 0 )
19966, 185, 70, 198, 73suppss2f 32655 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))
200 fsuppsssupp 9419 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
201182, 184, 113, 199, 200syl22anc 839 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
202 sndisj 5140 . . . . . . . . . . . 12 Disj 𝑖𝑆 {𝑖}
203 disjpreima 32604 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝑓Disj 𝑖𝑆 {𝑖}) → Disj 𝑖𝑆 (𝑓 “ {𝑖}))
204112, 202, 203sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → Disj 𝑖𝑆 (𝑓 “ {𝑖}))
205 iunid 5065 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖𝑆 {𝑖} = 𝑆
206205imaeq2i 6078 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 𝑖𝑆 {𝑖}) = (𝑓𝑆)
207 iunpreima 32585 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝑓 → (𝑓 𝑖𝑆 {𝑖}) = 𝑖𝑆 (𝑓 “ {𝑖}))
208112, 207syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑓 𝑖𝑆 {𝑖}) = 𝑖𝑆 (𝑓 “ {𝑖}))
209140ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑓𝑆) = 𝑆)
210206, 208, 2093eqtr3a 2799 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑖𝑆 (𝑓 “ {𝑖}) = 𝑆)
2112, 3, 172, 73, 106, 181, 201, 204, 210gsumpart 33043 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ↾ (𝑓 “ {𝑖}))))))
21241resmptd 6060 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ↾ (𝑓 “ {𝑖})) = (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
213212oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑅 Σg ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ↾ (𝑓 “ {𝑖}))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
214213mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ↾ (𝑓 “ {𝑖})))) = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))
215214oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ↾ (𝑓 “ {𝑖}))))) = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))))
216171, 211, 2153eqtrd 2779 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))))
217 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
218 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → 𝑖 = 𝑘)
219218sneqd 4643 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → {𝑖} = {𝑘})
220219imaeq2d 6080 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝑓 “ {𝑖}) = (𝑓 “ {𝑘}))
221220mpteq1d 5243 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
222221oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
223 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘𝑆)
224 ovexd 7466 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∈ V)
225217, 222, 223, 224fvmptd2 7024 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
226160ad6antr 736 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑅 ∈ CMnd)
22730cnvex 7948 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑓 ∈ V
228227imaex 7937 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 “ {𝑘}) ∈ V
229228a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑓 “ {𝑘}) ∈ V)
2305ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
23126, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑆 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
232231sselda 3995 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅))
2338lidlsubg 21251 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑘 ∈ (SubGrp‘𝑅))
234 subgsubm 19179 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅))
235233, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅))
236230, 232, 235syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅))
237230adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑅 ∈ Ring)
238232adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅))
23936ad7antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑏: 𝑆𝐵)
240 cnvimass 6102 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 “ {𝑘}) ⊆ dom 𝑓
241240, 39sseqtrid 4048 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓: 𝑆𝑆 → (𝑓 “ {𝑘}) ⊆ 𝑆)
242241ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑓 “ {𝑘}) ⊆ 𝑆)
243242sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙 𝑆)
244239, 243ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → (𝑏𝑙) ∈ 𝐵)
245 fveq2 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑙 → (𝑓𝑗) = (𝑓𝑙))
24649, 245eleq12d 2833 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑙 → (𝑗 ∈ (𝑓𝑗) ↔ 𝑙 ∈ (𝑓𝑙)))
247 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗))
248246, 247, 243rspcdva 3623 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙 ∈ (𝑓𝑙))
249 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑓: 𝑆𝑆)
250249ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑓 Fn 𝑆)
251 elpreima 7078 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 Fn 𝑆 → (𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↔ (𝑙 𝑆 ∧ (𝑓𝑙) ∈ {𝑘})))
252251biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 Fn 𝑆𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → (𝑙 𝑆 ∧ (𝑓𝑙) ∈ {𝑘}))
253 elsni 4648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓𝑙) ∈ {𝑘} → (𝑓𝑙) = 𝑘)
254252, 253simpl2im 503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 Fn 𝑆𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → (𝑓𝑙) = 𝑘)
255250, 254sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → (𝑓𝑙) = 𝑘)
256248, 255eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙𝑘)
2578, 2, 4lidlmcl 21253 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑏𝑙) ∈ 𝐵𝑙𝑘)) → ((𝑏𝑙) · 𝑙) ∈ 𝑘)
258237, 238, 244, 256, 257syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → ((𝑏𝑙) · 𝑙) ∈ 𝑘)
25950cbvmptv 5261 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑙) · 𝑙))
260258, 259fmptd 7134 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)):(𝑓 “ {𝑘})⟶𝑘)
261229mptexd 7244 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V)
262260ffund 6741 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → Fun (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
263 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑏 finSupp 0 )
264 nfv 1912 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗 𝑘𝑆
26566, 264nfan 1897 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆)
266 nfcv 2903 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗(𝑓 “ {𝑘})
26736ad7antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏: 𝑆𝐵)
268267ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn 𝑆)
26973ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆 ∈ V)
27075a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈ V)
271242ssdifd 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 )) ⊆ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
272271sselda 3995 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
273268, 269, 270, 272fvdifsupp 8195 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏𝑗) = 0 )
274273oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
27513ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆𝐵)
276272eldifad 3975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 𝑆)
277275, 276sseldd 3996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗𝐵)
278230, 277, 85syl2an2r 685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
279274, 278eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = 0 )
280265, 266, 70, 279, 229suppss2f 32655 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))
281 fsuppsssupp 9419 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
282261, 262, 263, 280, 281syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
2833, 226, 229, 236, 260, 282gsumsubmcl 19952 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∈ 𝑘)
284225, 283eqeltrd 2839 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)
285284ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ∀𝑘𝑆 ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)
286170, 216, 2853jca 1127 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘𝑆 ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘))
28797, 105, 286rspcedvd 3624 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘))
288287anasss 466 . . . . . 6 (((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ (𝑓: 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘))
28925, 288exlimddv 1933 . . . . 5 ((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘))
290289anasss 466 . . . 4 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ (𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘))
291290r19.29an 3156 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘))
2925ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑅 ∈ Ring)
293292adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
294 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
295294zrhrhm 21540 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
296 zringbas 21482 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ = (Base‘ℤring)
297296, 2rhmf 20502 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶𝐵)
298293, 295, 2973syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶𝐵)
299 simp-5r 786 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆))
30075a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 0 ∈ V)
301 ssv 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran 𝑎 ⊆ V
302 ssdif 4154 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ran 𝑎 ⊆ V → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ (V ∖ { 0 }))
303301, 302ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ (V ∖ { 0 })
304303sseli 3991 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) → 𝑚 ∈ (V ∖ { 0 }))
305304adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑚 ∈ (V ∖ { 0 }))
306 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 finSupp 0 )
307299, 300, 305, 306fsuppinisegfi 32702 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (𝑎 “ {𝑚}) ∈ Fin)
308 hashcl 14392 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 “ {𝑚}) ∈ Fin → (♯‘(𝑎 “ {𝑚})) ∈ ℕ0)
309307, 308syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (♯‘(𝑎 “ {𝑚})) ∈ ℕ0)
310309nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (♯‘(𝑎 “ {𝑚})) ∈ ℤ)
311298, 310ffvelcdmd 7105 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))) ∈ 𝐵)
312 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) = (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))))
313311, 312fmptd 7134 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))):(ran 𝑎 ∖ { 0 })⟶𝐵)
3142, 3ring0cl 20281 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
315 fconst6g 6798 . . . . . . . . . . 11 ( 0𝐵 → (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }):( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))⟶𝐵)
316292, 314, 3153syl 18 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }):( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))⟶𝐵)
317 disjdif 4478 . . . . . . . . . . 11 ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅
318317a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅)
319313, 316, 318fun2d 6773 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))⟶𝐵)
320 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)))
32194, 16elmapd 8879 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆) ↔ 𝑎:𝑆𝐵))
322321biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) → 𝑎:𝑆𝐵)
323320, 322syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎:𝑆𝐵)
324323ffnd 6738 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 Fn 𝑆)
325 elssuni 4942 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑆𝑘 𝑆)
326325adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 𝑆)
327326sseld 3994 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑎𝑘) ∈ 𝑘 → (𝑎𝑘) ∈ 𝑆))
328327ralimdva 3165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) → (∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘 → ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑆))
329328imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑆)
330 fnfvrnss 7141 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 Fn 𝑆 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑆) → ran 𝑎 𝑆)
331324, 329, 330syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ran 𝑎 𝑆)
332331ssdifssd 4157 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑆)
333 undif 4488 . . . . . . . . . . 11 ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑆 ↔ ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = 𝑆)
334332, 333sylib 218 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = 𝑆)
335334feq2d 6723 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))⟶𝐵 ↔ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })): 𝑆𝐵))
336319, 335mpbid 232 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })): 𝑆𝐵)
33793a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝐵 ∈ V)
33817ad4antr 732 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑆 ∈ V)
339337, 338elmapd 8879 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ (𝐵m 𝑆) ↔ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })): 𝑆𝐵))
340336, 339mpbird 257 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ (𝐵m 𝑆))
341 breq1 5151 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑏 finSupp 0 ↔ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 ))
342 fveq1 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑏𝑗) = (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗))
343342oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))
344343mpteq2dv 5250 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗)))
345344oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))
346345eqeq2d 2746 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗)))))
347341, 346anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → ((𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ↔ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))))
348347adantl 481 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))) → ((𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ↔ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))))
349319ffund 6741 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → Fun ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })))
350340elexd 3502 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ V)
35175a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 0 ∈ V)
352323ffund 6741 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → Fun 𝑎)
353320simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆))
354 simpllr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 finSupp 0 )
355 fsupprnfi 32707 . . . . . . . . . . . . 13 (((Fun 𝑎𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ran 𝑎 ∈ Fin)
356 diffi 9214 . . . . . . . . . . . . 13 (ran 𝑎 ∈ Fin → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∈ Fin)
357355, 356syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((Fun 𝑎𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∈ Fin)
358352, 353, 351, 354, 357syl22anc 839 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∈ Fin)
359313, 358, 351fdmfifsupp 9413 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) finSupp 0 )
36013ssdifssd 4157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ⊆ 𝐵)
361360ad4antr 732 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ⊆ 𝐵)
362337, 361ssexd 5330 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ∈ V)
363362, 351fczfsuppd 9424 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) finSupp 0 )
364359, 363fsuppun 9425 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp 0 ) ∈ Fin)
365 funisfsupp 9405 . . . . . . . . . 10 ((Fun ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∧ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 ↔ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp 0 ) ∈ Fin))
366365biimpar 477 . . . . . . . . 9 (((Fun ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∧ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp 0 ) ∈ Fin) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 )
367349, 350, 351, 364, 366syl31anc 1372 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 )
368 fvex 6920 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))) ∈ V
369368, 312fnmpti 6712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 })
370369a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 }))
371 fnconstg 6797 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 0 ∈ V → (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))
37275, 371ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))
373372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))
374317a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅)
375 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))
376370, 373, 374, 375fvun1d 7002 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))))‘𝑗))
377 sneq 4641 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑗 → {𝑚} = {𝑗})
378377imaeq2d 6080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 𝑗 → (𝑎 “ {𝑚}) = (𝑎 “ {𝑗}))
379378fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑗 → (♯‘(𝑎 “ {𝑚})) = (♯‘(𝑎 “ {𝑗})))
380379fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑗 → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))))
381 fvexd 6922 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) ∈ V)
382312, 380, 375, 381fvmptd3 7039 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))))‘𝑗) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))))
383376, 382eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))))
384383oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) = (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))
385384mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗)))
386385oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))))
387292, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑅 ∈ CMnd)
388317a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅)
389 fvun2 7001 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∧ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ∧ (((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗))
390369, 372, 389mp3an12 1450 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗))
391388, 390sylancom 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗))
39275fvconst2 7224 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗) = 0 )
393392adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗) = 0 )
394391, 393eqtrd 2775 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = 0 )
395394oveq1d 7446 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
396361sselda 3995 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → 𝑗𝐵)
397292, 396, 85syl2an2r 685 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
398395, 397eqtrd 2775 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) = 0 )
399292adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
400336ffvelcdmda 7104 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 𝑆) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) ∈ 𝐵)
40113ad4antr 732 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑆𝐵)
402401sselda 3995 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 𝑆) → 𝑗𝐵)
4032, 4ringcl 20268 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) ∈ 𝐵𝑗𝐵) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵)
404399, 400, 402, 403syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 𝑆) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵)
4052, 3, 387, 338, 398, 358, 404, 332gsummptres2 33039 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))
406 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (.g𝑅) = (.g𝑅)
4072, 3, 406, 387, 323, 354gsumhashmul 33047 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg 𝑎) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗))))
408 simplr 769 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎))
409292adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
410353adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆))
41175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 0 ∈ V)
412303, 375sselid 3993 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ (V ∖ { 0 }))
413354adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 finSupp 0 )
414410, 411, 412, 413fsuppinisegfi 32702 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (𝑎 “ {𝑗}) ∈ Fin)
415 hashcl 14392 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 “ {𝑗}) ∈ Fin → (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℕ0)
416414, 415syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℕ0)
417416nn0zd 12637 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ)
418332, 401sstrd 4006 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵)
419418sselda 3995 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗𝐵)
420 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1r𝑅) = (1r𝑅)
421294, 406, 420zrhmulg 21538 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)(1r𝑅)))
422421adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)(1r𝑅)))
423422oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = (((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)(1r𝑅)) · 𝑗))
424 simpll 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
425 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ)
4262, 420ringidcl 20280 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
427426ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
428 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → 𝑗𝐵)
4292, 406, 4mulgass2 20323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵𝑗𝐵)) → (((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)(1r𝑅)) · 𝑗) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)((1r𝑅) · 𝑗)))
430424, 425, 427, 428, 429syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → (((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)(1r𝑅)) · 𝑗) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)((1r𝑅) · 𝑗)))
4312, 4, 420ringlidm 20283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗𝐵) → ((1r𝑅) · 𝑗) = 𝑗)
432424, 431sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → ((1r𝑅) · 𝑗) = 𝑗)
433432oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)((1r𝑅) · 𝑗)) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗))
434423, 430, 4333eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗))
435409, 417, 419, 434syl21anc 838 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗))
436435mpteq2dva 5248 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗)))
437436oveq2d 7447 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗))))
438407, 408, 4373eqtr4d 2785 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))))
439386, 405, 4383eqtr4rd 2786 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))
440367, 439jca 511 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗)))))
441340, 348, 440rspcedvd 3624 . . . . . 6 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))
442441exp41 434 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) → (𝑎 finSupp 0 → (𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) → (∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘 → ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))))))
4434423imp2 1348 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ (𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘)) → ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))
444443r19.29an 3156 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘)) → ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))
445291, 444impbida 801 . 2 (𝜑 → (∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘)))
44614, 445bitrd 279 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁 𝑆) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478  cdif 3960  cun 3961  cin 3962  wss 3963  c0 4339  {csn 4631   cuni 4912   ciun 4996  Disj wdisj 5115   class class class wbr 5148  cmpt 5231   × cxp 5687  ccnv 5688  dom cdm 5689  ran crn 5690  cres 5691  cima 5692  Fun wfun 6557   Fn wfn 6558  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431   supp csupp 8184  m cmap 8865  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399  0cn0 12524  cz 12611  chash 14366  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808  .gcmg 19098  SubGrpcsubg 19151  CMndccmn 19813  1rcur 20199  Ringcrg 20251   RingHom crh 20486  LIdealclidl 21234  RSpancrsp 21235  ringczring 21475  ℤRHomczrh 21528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-reg 9630  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5116  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-r1 9802  df-rank 9803  df-card 9977  df-ac 10154  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-nzr 20530  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lmhm 21039  df-lbs 21092  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-lidl 21236  df-rsp 21237  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-uvc 21821
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