Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elrspunidl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elrspunidl 32251
Description: Elementhood to the span of a union of ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
elrspunidl.n 𝑁 = (RSpanβ€˜π‘…)
elrspunidl.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
elrspunidl.1 0 = (0gβ€˜π‘…)
elrspunidl.x Β· = (.rβ€˜π‘…)
elrspunidl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
elrspunidl.i (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…))
Assertion
Ref Expression
elrspunidl (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜βˆͺ 𝑆) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)(π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜)))
Distinct variable groups:   0 ,π‘Ž,π‘˜   Β· ,π‘Ž,π‘˜   𝐡,π‘Ž,π‘˜   𝑅,π‘Ž,π‘˜   𝑆,π‘Ž,π‘˜   𝑋,π‘Ž,π‘˜   πœ‘,π‘Ž,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝑁(π‘˜,π‘Ž)

Proof of Theorem elrspunidl
Dummy variables 𝑏 𝑓 𝑖 𝑗 𝑙 π‘š are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrspunidl.n . . 3 𝑁 = (RSpanβ€˜π‘…)
2 elrspunidl.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
3 elrspunidl.1 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
4 elrspunidl.x . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
5 elrspunidl.r . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
6 elrspunidl.i . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…))
76sselda 3945 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ 𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
8 eqid 2733 . . . . . . 7 (LIdealβ€˜π‘…) = (LIdealβ€˜π‘…)
92, 8lidlss 20696 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (LIdealβ€˜π‘…) β†’ 𝑖 βŠ† 𝐡)
107, 9syl 17 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ 𝑖 βŠ† 𝐡)
1110ralrimiva 3140 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘– ∈ 𝑆 𝑖 βŠ† 𝐡)
12 unissb 4901 . . . 4 (βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝐡 ↔ βˆ€π‘– ∈ 𝑆 𝑖 βŠ† 𝐡)
1311, 12sylibr 233 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝐡)
141, 2, 3, 4, 5, 13elrsp 32209 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜βˆͺ 𝑆) ↔ βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))))
15 fvexd 6858 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (LIdealβ€˜π‘…) ∈ V)
1615, 6ssexd 5282 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ V)
1716uniexd 7680 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
18 eluni2 4870 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↔ βˆƒπ‘– ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖)
1918biimpi 215 . . . . . . . . . 10 (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖)
2019adantl 483 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆) β†’ βˆƒπ‘– ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖)
2120ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ π‘†βˆƒπ‘– ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖)
22 eleq2 2823 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (π‘“β€˜π‘—) β†’ (𝑗 ∈ 𝑖 ↔ 𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)))
2322ac6sg 10429 . . . . . . . 8 (βˆͺ 𝑆 ∈ V β†’ (βˆ€π‘— ∈ βˆͺ π‘†βˆƒπ‘– ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—))))
2417, 21, 23sylc 65 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)))
2524ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)))
26 simp-5l 784 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ πœ‘)
2726adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ πœ‘)
28 ringcmn 20008 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
2927, 5, 283syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
30 vex 3448 . . . . . . . . . . . . 13 𝑓 ∈ V
31 cnvexg 7862 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V β†’ ◑𝑓 ∈ V)
32 imaexg 7853 . . . . . . . . . . . . 13 (◑𝑓 ∈ V β†’ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ∈ V)
3330, 31, 32mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ∈ V)
355ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖})) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
36 elmapi 8790 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆) β†’ 𝑏:βˆͺ π‘†βŸΆπ΅)
3736ad7antlr 738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖})) β†’ 𝑏:βˆͺ π‘†βŸΆπ΅)
38 cnvimass 6034 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (◑𝑓 β€œ {𝑖}) βŠ† dom 𝑓
39 fdm 6678 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘† β†’ dom 𝑓 = βˆͺ 𝑆)
4038, 39sseqtrid 3997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘† β†’ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) βŠ† βˆͺ 𝑆)
4140ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) βŠ† βˆͺ 𝑆)
4241sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖})) β†’ 𝑙 ∈ βˆͺ 𝑆)
4337, 42ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖})) β†’ (π‘β€˜π‘™) ∈ 𝐡)
4413ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖})) β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝐡)
4544, 42sseldd 3946 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖})) β†’ 𝑙 ∈ 𝐡)
462, 4ringcl 19986 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π‘™) ∈ 𝐡 ∧ 𝑙 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘β€˜π‘™) Β· 𝑙) ∈ 𝐡)
4735, 43, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖})) β†’ ((π‘β€˜π‘™) Β· 𝑙) ∈ 𝐡)
48 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑙 β†’ (π‘β€˜π‘—) = (π‘β€˜π‘™))
49 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑙 β†’ 𝑗 = 𝑙)
5048, 49oveq12d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑙 β†’ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗) = ((π‘β€˜π‘™) Β· 𝑙))
5150cbvmptv 5219 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) = (𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘™) Β· 𝑙))
5247, 51fmptd 7063 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)):(◑𝑓 β€œ {𝑖})⟢𝐡)
5334mptexd 7175 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) ∈ V)
5452ffund 6673 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ Fun (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))
55 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ 𝑏 finSupp 0 )
56 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑗((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 )
57 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑗𝑅
58 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑗 Ξ£g
59 nfmpt1 5214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))
6057, 58, 59nfov 7388 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Ⅎ𝑗(𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))
6160nfeq2 2921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Ⅎ𝑗 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))
6256, 61nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑗(((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))
63 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑗 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†
6462, 63nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑗((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†)
65 nfra1 3266 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘—βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)
6664, 65nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑗(((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—))
67 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ 𝑆
6866, 67nfan 1903 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆)
69 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗(◑𝑓 β€œ {𝑖})
70 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗(𝑏 supp 0 )
7136ad7antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {𝑖}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ 𝑏:βˆͺ π‘†βŸΆπ΅)
7271ffnd 6670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {𝑖}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ 𝑏 Fn βˆͺ 𝑆)
7326, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {𝑖}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
753fvexi 6857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {𝑖}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ 0 ∈ V)
7741ssdifd 4101 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ ((◑𝑓 β€œ {𝑖}) βˆ– (𝑏 supp 0 )) βŠ† (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 )))
7877sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {𝑖}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 )))
7972, 74, 76, 78fvdifsupp 31645 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {𝑖}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ (π‘β€˜π‘—) = 0 )
8079oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {𝑖}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗) = ( 0 Β· 𝑗))
815ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {𝑖}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
8213ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {𝑖}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝐡)
8378eldifad 3923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {𝑖}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ 𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆)
8482, 83sseldd 3946 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {𝑖}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ 𝑗 ∈ 𝐡)
852, 4, 3ringlz 20016 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 Β· 𝑗) = 0 )
8681, 84, 85syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {𝑖}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ ( 0 Β· 𝑗) = 0 )
8780, 86eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {𝑖}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗) = 0 )
8868, 69, 70, 87, 34suppss2f 31599 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) supp 0 ) βŠ† (𝑏 supp 0 ))
89 fsuppsssupp 9326 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) supp 0 ) βŠ† (𝑏 supp 0 ))) β†’ (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) finSupp 0 )
9053, 54, 55, 88, 89syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) finSupp 0 )
912, 3, 29, 34, 52, 90gsumcl 19697 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))) ∈ 𝐡)
9291fmpttd 7064 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))):π‘†βŸΆπ΅)
932fvexi 6857 . . . . . . . . . . . 12 𝐡 ∈ V
9493a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ V)
9594, 16elmapd 8782 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ↔ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))):π‘†βŸΆπ΅))
9695biimpar 479 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))):π‘†βŸΆπ΅) β†’ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))
9726, 92, 96syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))
98 breq1 5109 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) β†’ (π‘Ž finSupp 0 ↔ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) finSupp 0 ))
99 oveq2 7366 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) β†’ (𝑅 Ξ£g π‘Ž) = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))))
10099eqeq2d 2744 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) β†’ (𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž) ↔ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))))))
101 fveq1 6842 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Ž = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) = ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))β€˜π‘˜))
102101eleq1d 2819 . . . . . . . . . . 11 (π‘Ž = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜ ↔ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))β€˜π‘˜) ∈ π‘˜))
103102ralbidv 3171 . . . . . . . . . 10 (π‘Ž = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜ ↔ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))β€˜π‘˜) ∈ π‘˜))
10498, 100, 1033anbi123d 1437 . . . . . . . . 9 (π‘Ž = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))β€˜π‘˜) ∈ π‘˜)))
105104adantl 483 . . . . . . . 8 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘Ž = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))) β†’ ((π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))β€˜π‘˜) ∈ π‘˜)))
10626, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ 𝑆 ∈ V)
107106mptexd 7175 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∈ V)
10875a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ 0 ∈ V)
109 funmpt 6540 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))
110109a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ Fun (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))))
111 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†)
112111ffund 6673 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ Fun 𝑓)
113 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ 𝑏 finSupp 0 )
114113fsuppimpd 9316 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ (𝑏 supp 0 ) ∈ Fin)
115 imafi 9122 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝑓 ∧ (𝑏 supp 0 ) ∈ Fin) β†’ (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )) ∈ Fin)
116112, 114, 115syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )) ∈ Fin)
117 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))
11866, 117nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑗((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 ))))
119 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†)
120119ffund 6673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ Fun 𝑓)
121 snssi 4769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 ))) β†’ {𝑖} βŠ† (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 ))))
122121adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ {𝑖} βŠ† (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 ))))
123 sspreima 7019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Fun 𝑓 ∧ {𝑖} βŠ† (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) βŠ† (◑𝑓 β€œ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))))
124120, 122, 123syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) βŠ† (◑𝑓 β€œ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))))
125 difpreima 7016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Fun 𝑓 β†’ (◑𝑓 β€œ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) = ((◑𝑓 β€œ 𝑆) βˆ– (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))))
126120, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ (◑𝑓 β€œ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) = ((◑𝑓 β€œ 𝑆) βˆ– (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))))
127124, 126sseqtrd 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) βŠ† ((◑𝑓 β€œ 𝑆) βˆ– (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))))
128 suppssdm 8109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 supp 0 ) βŠ† dom 𝑏
12936ad6antlr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ 𝑏:βˆͺ π‘†βŸΆπ΅)
130128, 129fssdm 6689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ (𝑏 supp 0 ) βŠ† βˆͺ 𝑆)
131119fdmd 6680 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ dom 𝑓 = βˆͺ 𝑆)
132130, 131sseqtrrd 3986 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ (𝑏 supp 0 ) βŠ† dom 𝑓)
133 sseqin2 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑏 supp 0 ) βŠ† dom 𝑓 ↔ (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) = (𝑏 supp 0 ))
134133biimpi 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑏 supp 0 ) βŠ† dom 𝑓 β†’ (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) = (𝑏 supp 0 ))
135 dminss 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) βŠ† (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))
136134, 135eqsstrrdi 4000 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 supp 0 ) βŠ† dom 𝑓 β†’ (𝑏 supp 0 ) βŠ† (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 ))))
137132, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ (𝑏 supp 0 ) βŠ† (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 ))))
138137sscond 4102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ ((◑𝑓 β€œ 𝑆) βˆ– (◑𝑓 β€œ (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) βŠ† ((◑𝑓 β€œ 𝑆) βˆ– (𝑏 supp 0 )))
139127, 138sstrd 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) βŠ† ((◑𝑓 β€œ 𝑆) βˆ– (𝑏 supp 0 )))
140 fimacnv 6691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘† β†’ (◑𝑓 β€œ 𝑆) = βˆͺ 𝑆)
141119, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ (◑𝑓 β€œ 𝑆) = βˆͺ 𝑆)
142141difeq1d 4082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ ((◑𝑓 β€œ 𝑆) βˆ– (𝑏 supp 0 )) = (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 )))
143139, 142sseqtrd 3985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) βŠ† (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 )))
144143sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖})) β†’ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 )))
145 ssidd 3968 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ (𝑏 supp 0 ) βŠ† (𝑏 supp 0 ))
14673adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
14775a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ 0 ∈ V)
148129, 145, 146, 147suppssr 8128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ (π‘β€˜π‘—) = 0 )
149144, 148syldan 592 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖})) β†’ (π‘β€˜π‘—) = 0 )
150149oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖})) β†’ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗) = ( 0 Β· 𝑗))
1515ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖})) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
15213ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖})) β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝐡)
15340ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) βŠ† βˆͺ 𝑆)
154153sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖})) β†’ 𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆)
155152, 154sseldd 3946 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖})) β†’ 𝑗 ∈ 𝐡)
156151, 155, 85syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖})) β†’ ( 0 Β· 𝑗) = 0 )
157150, 156eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖})) β†’ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗) = 0 )
158118, 157mpteq2da 5204 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) = (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ 0 ))
159158oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ 0 )))
1605, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
161160cmnmndd 19591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
162161ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ 𝑅 ∈ Mnd)
1633gsumz 18651 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ∈ V) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ 0 )) = 0 )
164162, 33, 163sylancl 587 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ 0 )) = 0 )
165159, 164eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 βˆ– (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))) = 0 )
166165, 106suppss2 8132 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) supp 0 ) βŠ† (𝑓 β€œ (𝑏 supp 0 )))
167116, 166ssfid 9214 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) supp 0 ) ∈ Fin)
168 isfsupp 9312 . . . . . . . . . . 11 (((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
169168biimpar 479 . . . . . . . . . 10 ((((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (Fun (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) supp 0 ) ∈ Fin)) β†’ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) finSupp 0 )
170107, 108, 110, 167, 169syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) finSupp 0 )
171 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))
17226, 160syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
1735ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
17436ad5antlr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ 𝑏:βˆͺ π‘†βŸΆπ΅)
175174ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆) β†’ (π‘β€˜π‘—) ∈ 𝐡)
17626, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝐡)
177176sselda 3945 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆) β†’ 𝑗 ∈ 𝐡)
1782, 4ringcl 19986 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π‘—) ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡) β†’ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗) ∈ 𝐡)
179173, 175, 177, 178syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆) β†’ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗) ∈ 𝐡)
180 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) = (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))
18166, 179, 180fmptdf 7066 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)):βˆͺ π‘†βŸΆπ΅)
18273mptexd 7175 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) ∈ V)
183 funmpt 6540 . . . . . . . . . . . . 13 Fun (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))
184183a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ Fun (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))
185 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 Ⅎ𝑗βˆͺ 𝑆
186174adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ 𝑏:βˆͺ π‘†βŸΆπ΅)
187186ffnd 6670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ 𝑏 Fn βˆͺ 𝑆)
18873adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
18975a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ 0 ∈ V)
190 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 )))
191187, 188, 189, 190fvdifsupp 31645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ (π‘β€˜π‘—) = 0 )
192191oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗) = ( 0 Β· 𝑗))
1935ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
194176adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝐡)
195190eldifad 3923 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ 𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆)
196194, 195sseldd 3946 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ 𝑗 ∈ 𝐡)
197193, 196, 85syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ ( 0 Β· 𝑗) = 0 )
198192, 197eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗) = 0 )
19966, 185, 70, 198, 73suppss2f 31599 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ ((𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) supp 0 ) βŠ† (𝑏 supp 0 ))
200 fsuppsssupp 9326 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) supp 0 ) βŠ† (𝑏 supp 0 ))) β†’ (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) finSupp 0 )
201182, 184, 113, 199, 200syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) finSupp 0 )
202 sndisj 5097 . . . . . . . . . . . 12 Disj 𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖}
203 disjpreima 31548 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝑓 ∧ Disj 𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖}) β†’ Disj 𝑖 ∈ 𝑆 (◑𝑓 β€œ {𝑖}))
204112, 202, 203sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ Disj 𝑖 ∈ 𝑆 (◑𝑓 β€œ {𝑖}))
205 iunid 5021 . . . . . . . . . . . . 13 βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖} = 𝑆
206205imaeq2i 6012 . . . . . . . . . . . 12 (◑𝑓 β€œ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖}) = (◑𝑓 β€œ 𝑆)
207 iunpreima 31529 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝑓 β†’ (◑𝑓 β€œ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖}) = βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑆 (◑𝑓 β€œ {𝑖}))
208112, 207syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ (◑𝑓 β€œ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖}) = βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑆 (◑𝑓 β€œ {𝑖}))
209140ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ (◑𝑓 β€œ 𝑆) = βˆͺ 𝑆)
210206, 208, 2093eqtr3a 2797 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ βˆͺ 𝑖 ∈ 𝑆 (◑𝑓 β€œ {𝑖}) = βˆͺ 𝑆)
2112, 3, 172, 73, 106, 181, 201, 204, 210gsumpart 31946 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))) = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g ((𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) β†Ύ (◑𝑓 β€œ {𝑖}))))))
21241resmptd 5995 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ ((𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) β†Ύ (◑𝑓 β€œ {𝑖})) = (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))
213212oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) β†’ (𝑅 Ξ£g ((𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) β†Ύ (◑𝑓 β€œ {𝑖}))) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))
214213mpteq2dva 5206 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g ((𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) β†Ύ (◑𝑓 β€œ {𝑖})))) = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))))
215214oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g ((𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) β†Ύ (◑𝑓 β€œ {𝑖}))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))))
216171, 211, 2153eqtrd 2777 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))))
217 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))
218 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = π‘˜) β†’ 𝑖 = π‘˜)
219218sneqd 4599 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = π‘˜) β†’ {𝑖} = {π‘˜})
220219imaeq2d 6014 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = π‘˜) β†’ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) = (◑𝑓 β€œ {π‘˜}))
221220mpteq1d 5201 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = π‘˜) β†’ (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) = (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))
222221oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = π‘˜) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))
223 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ π‘˜ ∈ 𝑆)
224 ovexd 7393 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))) ∈ V)
225217, 222, 223, 224fvmptd2 6957 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))β€˜π‘˜) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))
226160ad6antr 735 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
22730cnvex 7863 . . . . . . . . . . . . . 14 ◑𝑓 ∈ V
228227imaex 7854 . . . . . . . . . . . . 13 (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) ∈ V
229228a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) ∈ V)
2305ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
23126, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ 𝑆 βŠ† (LIdealβ€˜π‘…))
232231sselda 3945 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
2338lidlsubg 20701 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ π‘˜ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…))
234 subgsubm 18955 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ ∈ (SubGrpβ€˜π‘…) β†’ π‘˜ ∈ (SubMndβ€˜π‘…))
235233, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) β†’ π‘˜ ∈ (SubMndβ€˜π‘…))
236230, 232, 235syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ π‘˜ ∈ (SubMndβ€˜π‘…))
237230adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜})) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
238232adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜})) β†’ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…))
23936ad7antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜})) β†’ 𝑏:βˆͺ π‘†βŸΆπ΅)
240 cnvimass 6034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) βŠ† dom 𝑓
241240, 39sseqtrid 3997 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘† β†’ (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) βŠ† βˆͺ 𝑆)
242241ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) βŠ† βˆͺ 𝑆)
243242sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜})) β†’ 𝑙 ∈ βˆͺ 𝑆)
244239, 243ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜})) β†’ (π‘β€˜π‘™) ∈ 𝐡)
245 fveq2 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑙 β†’ (π‘“β€˜π‘—) = (π‘“β€˜π‘™))
24649, 245eleq12d 2828 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑙 β†’ (𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—) ↔ 𝑙 ∈ (π‘“β€˜π‘™)))
247 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜})) β†’ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—))
248246, 247, 243rspcdva 3581 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜})) β†’ 𝑙 ∈ (π‘“β€˜π‘™))
249 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜})) β†’ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†)
250249ffnd 6670 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜})) β†’ 𝑓 Fn βˆͺ 𝑆)
251 elpreima 7009 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 Fn βˆͺ 𝑆 β†’ (𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) ↔ (𝑙 ∈ βˆͺ 𝑆 ∧ (π‘“β€˜π‘™) ∈ {π‘˜})))
252251biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 Fn βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜})) β†’ (𝑙 ∈ βˆͺ 𝑆 ∧ (π‘“β€˜π‘™) ∈ {π‘˜}))
253 elsni 4604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘“β€˜π‘™) ∈ {π‘˜} β†’ (π‘“β€˜π‘™) = π‘˜)
254252, 253simpl2im 505 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 Fn βˆͺ 𝑆 ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜})) β†’ (π‘“β€˜π‘™) = π‘˜)
255250, 254sylancom 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜})) β†’ (π‘“β€˜π‘™) = π‘˜)
256248, 255eleqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜})) β†’ 𝑙 ∈ π‘˜)
2578, 2, 4lidlmcl 20703 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘˜ ∈ (LIdealβ€˜π‘…)) ∧ ((π‘β€˜π‘™) ∈ 𝐡 ∧ 𝑙 ∈ π‘˜)) β†’ ((π‘β€˜π‘™) Β· 𝑙) ∈ π‘˜)
258237, 238, 244, 256, 257syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜})) β†’ ((π‘β€˜π‘™) Β· 𝑙) ∈ π‘˜)
25950cbvmptv 5219 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) = (𝑙 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) ↦ ((π‘β€˜π‘™) Β· 𝑙))
260258, 259fmptd 7063 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)):(◑𝑓 β€œ {π‘˜})βŸΆπ‘˜)
261229mptexd 7175 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) ∈ V)
262260ffund 6673 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ Fun (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))
263 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ 𝑏 finSupp 0 )
264 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . 15 Ⅎ𝑗 π‘˜ ∈ 𝑆
26566, 264nfan 1903 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑗((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆)
266 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 Ⅎ𝑗(◑𝑓 β€œ {π‘˜})
26736ad7antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {π‘˜}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ 𝑏:βˆͺ π‘†βŸΆπ΅)
268267ffnd 6670 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {π‘˜}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ 𝑏 Fn βˆͺ 𝑆)
26973ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {π‘˜}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
27075a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {π‘˜}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ 0 ∈ V)
271242ssdifd 4101 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ ((◑𝑓 β€œ {π‘˜}) βˆ– (𝑏 supp 0 )) βŠ† (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 )))
272271sselda 3945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {π‘˜}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (𝑏 supp 0 )))
273268, 269, 270, 272fvdifsupp 31645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {π‘˜}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ (π‘β€˜π‘—) = 0 )
274273oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {π‘˜}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗) = ( 0 Β· 𝑗))
27513ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {π‘˜}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝐡)
276272eldifad 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {π‘˜}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ 𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆)
277275, 276sseldd 3946 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {π‘˜}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ 𝑗 ∈ 𝐡)
278230, 277, 85syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {π‘˜}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ ( 0 Β· 𝑗) = 0 )
279274, 278eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◑𝑓 β€œ {π‘˜}) βˆ– (𝑏 supp 0 ))) β†’ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗) = 0 )
280265, 266, 70, 279, 229suppss2f 31599 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) supp 0 ) βŠ† (𝑏 supp 0 ))
281 fsuppsssupp 9326 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) supp 0 ) βŠ† (𝑏 supp 0 ))) β†’ (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) finSupp 0 )
282261, 262, 263, 280, 281syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) finSupp 0 )
2833, 226, 229, 236, 260, 282gsumsubmcl 19701 . . . . . . . . . . 11 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {π‘˜}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))) ∈ π‘˜)
284225, 283eqeltrd 2834 . . . . . . . . . 10 (((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))β€˜π‘˜) ∈ π‘˜)
285284ralrimiva 3140 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))β€˜π‘˜) ∈ π‘˜)
286170, 216, 2853jca 1129 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (◑𝑓 β€œ {𝑖}) ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))β€˜π‘˜) ∈ π‘˜))
28797, 105, 286rspcedvd 3582 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ 𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘†) ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—)) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)(π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜))
288287anasss 468 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ∧ (𝑓:βˆͺ π‘†βŸΆπ‘† ∧ βˆ€π‘— ∈ βˆͺ 𝑆𝑗 ∈ (π‘“β€˜π‘—))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)(π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜))
28925, 288exlimddv 1939 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)(π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜))
290289anasss 468 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑏 ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)(π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜))
291290r19.29an 3152 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))) β†’ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)(π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜))
2925ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
293292adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
294 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (β„€RHomβ€˜π‘…) = (β„€RHomβ€˜π‘…)
295294zrhrhm 20928 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring β†’ (β„€RHomβ€˜π‘…) ∈ (β„€ring RingHom 𝑅))
296 zringbas 20891 . . . . . . . . . . . . . 14 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
297296, 2rhmf 20165 . . . . . . . . . . . . 13 ((β„€RHomβ€˜π‘…) ∈ (β„€ring RingHom 𝑅) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘…):β„€βŸΆπ΅)
298293, 295, 2973syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ (β„€RHomβ€˜π‘…):β„€βŸΆπ΅)
299 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))
30075a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ 0 ∈ V)
301 ssv 3969 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran π‘Ž βŠ† V
302 ssdif 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ran π‘Ž βŠ† V β†’ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) βŠ† (V βˆ– { 0 }))
303301, 302ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) βŠ† (V βˆ– { 0 })
304303sseli 3941 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) β†’ π‘š ∈ (V βˆ– { 0 }))
305304adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ π‘š ∈ (V βˆ– { 0 }))
306 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ π‘Ž finSupp 0 )
307299, 300, 305, 306fsuppinisegfi 31648 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ (β—‘π‘Ž β€œ {π‘š}) ∈ Fin)
308 hashcl 14262 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β—‘π‘Ž β€œ {π‘š}) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})) ∈ β„•0)
309307, 308syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ (β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})) ∈ β„•0)
310309nn0zd 12530 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ (β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})) ∈ β„€)
311298, 310ffvelcdmd 7037 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š}))) ∈ 𝐡)
312 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) = (π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š}))))
313311, 312fmptd 7063 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ (π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))):(ran π‘Ž βˆ– { 0 })⟢𝐡)
3142, 3ring0cl 19995 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring β†’ 0 ∈ 𝐡)
315 fconst6g 6732 . . . . . . . . . . 11 ( 0 ∈ 𝐡 β†’ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }):(βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))⟢𝐡)
316292, 314, 3153syl 18 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }):(βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))⟢𝐡)
317 disjdif 4432 . . . . . . . . . . 11 ((ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ∩ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))) = βˆ…
318317a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ ((ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ∩ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))) = βˆ…)
319313, 316, 318fun2d 6707 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })):((ran π‘Ž βˆ– { 0 }) βˆͺ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })))⟢𝐡)
320 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ (πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)))
32194, 16elmapd 8782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆) ↔ π‘Ž:π‘†βŸΆπ΅))
322321biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) β†’ π‘Ž:π‘†βŸΆπ΅)
323320, 322syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ π‘Ž:π‘†βŸΆπ΅)
324323ffnd 6670 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ π‘Ž Fn 𝑆)
325 elssuni 4899 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ ∈ 𝑆 β†’ π‘˜ βŠ† βˆͺ 𝑆)
326325adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ π‘˜ βŠ† βˆͺ 𝑆)
327326sseld 3944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) β†’ ((π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜ β†’ (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ βˆͺ 𝑆))
328327ralimdva 3161 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ βˆͺ 𝑆))
329328imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ βˆͺ 𝑆)
330 fnfvrnss 7069 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Ž Fn 𝑆 ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ βˆͺ 𝑆) β†’ ran π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆)
331324, 329, 330syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ ran π‘Ž βŠ† βˆͺ 𝑆)
332331ssdifssd 4103 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) βŠ† βˆͺ 𝑆)
333 undif 4442 . . . . . . . . . . 11 ((ran π‘Ž βˆ– { 0 }) βŠ† βˆͺ 𝑆 ↔ ((ran π‘Ž βˆ– { 0 }) βˆͺ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))) = βˆͺ 𝑆)
334332, 333sylib 217 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ ((ran π‘Ž βˆ– { 0 }) βˆͺ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))) = βˆͺ 𝑆)
335334feq2d 6655 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ (((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })):((ran π‘Ž βˆ– { 0 }) βˆͺ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })))⟢𝐡 ↔ ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })):βˆͺ π‘†βŸΆπ΅))
336319, 335mpbid 231 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })):βˆͺ π‘†βŸΆπ΅)
33793a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ 𝐡 ∈ V)
33817ad4antr 731 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ βˆͺ 𝑆 ∈ V)
339337, 338elmapd 8782 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ (((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆) ↔ ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })):βˆͺ π‘†βŸΆπ΅))
340336, 339mpbird 257 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆))
341 breq1 5109 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) β†’ (𝑏 finSupp 0 ↔ ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) finSupp 0 ))
342 fveq1 6842 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) β†’ (π‘β€˜π‘—) = (((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—))
343342oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) β†’ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗) = ((((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) Β· 𝑗))
344343mpteq2dv 5208 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) β†’ (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)) = (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) Β· 𝑗)))
345344oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) Β· 𝑗))))
346345eqeq2d 2744 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) β†’ (𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))) ↔ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) Β· 𝑗)))))
347341, 346anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑏 = ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) β†’ ((𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ↔ (((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) Β· 𝑗))))))
348347adantl 483 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑏 = ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))) β†’ ((𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ↔ (((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) Β· 𝑗))))))
349319ffund 6673 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ Fun ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })))
350340elexd 3464 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) ∈ V)
35175a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ 0 ∈ V)
352323ffund 6673 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ Fun π‘Ž)
353320simprd 497 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))
354 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ π‘Ž finSupp 0 )
355 fsupprnfi 31653 . . . . . . . . . . . . 13 (((Fun π‘Ž ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ ( 0 ∈ V ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ ran π‘Ž ∈ Fin)
356 diffi 9126 . . . . . . . . . . . . 13 (ran π‘Ž ∈ Fin β†’ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ∈ Fin)
357355, 356syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((Fun π‘Ž ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ ( 0 ∈ V ∧ π‘Ž finSupp 0 )) β†’ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ∈ Fin)
358352, 353, 351, 354, 357syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ∈ Fin)
359313, 358, 351fdmfifsupp 9320 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ (π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) finSupp 0 )
36013ssdifssd 4103 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) βŠ† 𝐡)
361360ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) βŠ† 𝐡)
362337, 361ssexd 5282 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) ∈ V)
363362, 351fczfsuppd 9328 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }) finSupp 0 )
364359, 363fsuppun 9329 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ (((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) supp 0 ) ∈ Fin)
365 funisfsupp 9314 . . . . . . . . . 10 ((Fun ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) ∧ ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ (((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) finSupp 0 ↔ (((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) supp 0 ) ∈ Fin))
366365biimpar 479 . . . . . . . . 9 (((Fun ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) ∧ ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) supp 0 ) ∈ Fin) β†’ ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) finSupp 0 )
367349, 350, 351, 364, 366syl31anc 1374 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) finSupp 0 )
368 fvex 6856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š}))) ∈ V
369368, 312fnmpti 6645 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) Fn (ran π‘Ž βˆ– { 0 })
370369a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ (π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) Fn (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))
371 fnconstg 6731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 0 ∈ V β†’ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }) Fn (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })))
37275, 371ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }) Fn (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))
373372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }) Fn (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })))
374317a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ ((ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ∩ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))) = βˆ…)
375 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ 𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))
376370, 373, 374, 375fvun1d 6935 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ (((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) = ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š}))))β€˜π‘—))
377 sneq 4597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘š = 𝑗 β†’ {π‘š} = {𝑗})
378377imaeq2d 6014 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘š = 𝑗 β†’ (β—‘π‘Ž β€œ {π‘š}) = (β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))
379378fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘š = 𝑗 β†’ (β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})) = (β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗})))
380379fveq2d 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘š = 𝑗 β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š}))) = ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))))
381 fvexd 6858 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))) ∈ V)
382312, 380, 375, 381fvmptd3 6972 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ ((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š}))))β€˜π‘—) = ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))))
383376, 382eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ (((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) = ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))))
384383oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ ((((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) Β· 𝑗) = (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))) Β· 𝑗))
385384mpteq2dva 5206 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ (𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) Β· 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))) Β· 𝑗)))
386385oveq2d 7374 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) Β· 𝑗))) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))) Β· 𝑗))))
387292, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
388317a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))) β†’ ((ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ∩ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))) = βˆ…)
389 fvun2 6934 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) Fn (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ∧ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }) Fn (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) ∧ (((ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ∩ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))) = βˆ… ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })))) β†’ (((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) = (((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })β€˜π‘—))
390369, 372, 389mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ∩ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))) = βˆ… ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))) β†’ (((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) = (((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })β€˜π‘—))
391388, 390sylancom 589 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))) β†’ (((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) = (((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })β€˜π‘—))
39275fvconst2 7154 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ (((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })β€˜π‘—) = 0 )
393392adantl 483 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))) β†’ (((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })β€˜π‘—) = 0 )
394391, 393eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))) β†’ (((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) = 0 )
395394oveq1d 7373 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))) β†’ ((((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) Β· 𝑗) = ( 0 Β· 𝑗))
396361sselda 3945 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))) β†’ 𝑗 ∈ 𝐡)
397292, 396, 85syl2an2r 684 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))) β†’ ( 0 Β· 𝑗) = 0 )
398395, 397eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 }))) β†’ ((((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) Β· 𝑗) = 0 )
399292adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
400336ffvelcdmda 7036 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆) β†’ (((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) ∈ 𝐡)
40113ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ βˆͺ 𝑆 βŠ† 𝐡)
402401sselda 3945 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆) β†’ 𝑗 ∈ 𝐡)
4032, 4ringcl 19986 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡) β†’ ((((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) Β· 𝑗) ∈ 𝐡)
404399, 400, 402, 403syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆) β†’ ((((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) Β· 𝑗) ∈ 𝐡)
4052, 3, 387, 338, 398, 358, 404, 332gsummptres2 31944 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) Β· 𝑗))) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) Β· 𝑗))))
406 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (.gβ€˜π‘…) = (.gβ€˜π‘…)
4072, 3, 406, 387, 323, 354gsumhashmul 31947 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ (𝑅 Ξ£g π‘Ž) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))(.gβ€˜π‘…)𝑗))))
408 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž))
409292adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
410353adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆))
41175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ 0 ∈ V)
412303, 375sselid 3943 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ 𝑗 ∈ (V βˆ– { 0 }))
413354adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ π‘Ž finSupp 0 )
414410, 411, 412, 413fsuppinisegfi 31648 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ (β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}) ∈ Fin)
415 hashcl 14262 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}) ∈ Fin β†’ (β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗})) ∈ β„•0)
416414, 415syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ (β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗})) ∈ β„•0)
417416nn0zd 12530 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ (β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗})) ∈ β„€)
418332, 401sstrd 3955 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) βŠ† 𝐡)
419418sselda 3945 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ 𝑗 ∈ 𝐡)
420 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
421294, 406, 420zrhmulg 20926 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗})) ∈ β„€) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))) = ((β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
422421adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗})) ∈ β„€) ∧ 𝑗 ∈ 𝐡) β†’ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))) = ((β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)))
423422oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗})) ∈ β„€) ∧ 𝑗 ∈ 𝐡) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))) Β· 𝑗) = (((β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) Β· 𝑗))
424 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗})) ∈ β„€) ∧ 𝑗 ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
425 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗})) ∈ β„€) ∧ 𝑗 ∈ 𝐡) β†’ (β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗})) ∈ β„€)
4262, 420ringidcl 19994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
427426ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗})) ∈ β„€) ∧ 𝑗 ∈ 𝐡) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡)
428 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗})) ∈ β„€) ∧ 𝑗 ∈ 𝐡) β†’ 𝑗 ∈ 𝐡)
4292, 406, 4mulgass2 20030 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗})) ∈ β„€ ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐡 ∧ 𝑗 ∈ 𝐡)) β†’ (((β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) Β· 𝑗) = ((β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))(.gβ€˜π‘…)((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑗)))
430424, 425, 427, 428, 429syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗})) ∈ β„€) ∧ 𝑗 ∈ 𝐡) β†’ (((β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))(.gβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) Β· 𝑗) = ((β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))(.gβ€˜π‘…)((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑗)))
4312, 4, 420ringlidm 19997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑗) = 𝑗)
432424, 431sylancom 589 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗})) ∈ β„€) ∧ 𝑗 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑗) = 𝑗)
433432oveq2d 7374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗})) ∈ β„€) ∧ 𝑗 ∈ 𝐡) β†’ ((β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))(.gβ€˜π‘…)((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑗)) = ((β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))(.gβ€˜π‘…)𝑗))
434423, 430, 4333eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗})) ∈ β„€) ∧ 𝑗 ∈ 𝐡) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))) Β· 𝑗) = ((β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))(.gβ€˜π‘…)𝑗))
435409, 417, 419, 434syl21anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) ∧ 𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) β†’ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))) Β· 𝑗) = ((β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))(.gβ€˜π‘…)𝑗))
436435mpteq2dva 5206 . . . . . . . . . . 11 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ (𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))) Β· 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))(.gβ€˜π‘…)𝑗)))
437436oveq2d 7374 . . . . . . . . . 10 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))) Β· 𝑗))) = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))(.gβ€˜π‘…)𝑗))))
438407, 408, 4373eqtr4d 2783 . . . . . . . . 9 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ (((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {𝑗}))) Β· 𝑗))))
439386, 405, 4383eqtr4rd 2784 . . . . . . . 8 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) Β· 𝑗))))
440367, 439jca 513 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ (((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 })) finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((((π‘š ∈ (ran π‘Ž βˆ– { 0 }) ↦ ((β„€RHomβ€˜π‘…)β€˜(β™―β€˜(β—‘π‘Ž β€œ {π‘š})))) βˆͺ ((βˆͺ 𝑆 βˆ– (ran π‘Ž βˆ– { 0 })) Γ— { 0 }))β€˜π‘—) Β· 𝑗)))))
441340, 348, 440rspcedvd 3582 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ π‘Ž finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž)) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))))
442441exp41 436 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) β†’ (π‘Ž finSupp 0 β†’ (𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž) β†’ (βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜ β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗))))))))
4434423imp2 1350 . . . 4 (((πœ‘ ∧ π‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)) ∧ (π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))))
444443r19.29an 3152 . . 3 ((πœ‘ ∧ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)(π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))))
445291, 444impbida 800 . 2 (πœ‘ β†’ (βˆƒπ‘ ∈ (𝐡 ↑m βˆͺ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g (𝑗 ∈ βˆͺ 𝑆 ↦ ((π‘β€˜π‘—) Β· 𝑗)))) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)(π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜)))
44614, 445bitrd 279 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (π‘β€˜βˆͺ 𝑆) ↔ βˆƒπ‘Ž ∈ (𝐡 ↑m 𝑆)(π‘Ž finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Ξ£g π‘Ž) ∧ βˆ€π‘˜ ∈ 𝑆 (π‘Žβ€˜π‘˜) ∈ π‘˜)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3908   βˆͺ cun 3909   ∩ cin 3910   βŠ† wss 3911  βˆ…c0 4283  {csn 4587  βˆͺ cuni 4866  βˆͺ ciun 4955  Disj wdisj 5071   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   Γ— cxp 5632  β—‘ccnv 5633  dom cdm 5634  ran crn 5635   β†Ύ cres 5636   β€œ cima 5637  Fun wfun 6491   Fn wfn 6492  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   supp csupp 8093   ↑m cmap 8768  Fincfn 8886   finSupp cfsupp 9308  β„•0cn0 12418  β„€cz 12504  β™―chash 14236  Basecbs 17088  .rcmulr 17139  0gc0g 17326   Ξ£g cgsu 17327  Mndcmnd 18561  SubMndcsubmnd 18605  .gcmg 18877  SubGrpcsubg 18927  CMndccmn 19567  1rcur 19918  Ringcrg 19969   RingHom crh 20150  LIdealclidl 20647  RSpancrsp 20648  β„€ringczring 20885  β„€RHomczrh 20916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-reg 9533  ax-inf2 9582  ax-ac2 10404  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133  ax-addf 11135  ax-mulf 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-iin 4958  df-disj 5072  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8651  df-map 8770  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9309  df-sup 9383  df-oi 9451  df-r1 9705  df-rank 9706  df-card 9880  df-ac 10057  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-4 12223  df-5 12224  df-6 12225  df-7 12226  df-8 12227  df-9 12228  df-n0 12419  df-z 12505  df-dec 12624  df-uz 12769  df-fz 13431  df-fzo 13574  df-seq 13913  df-hash 14237  df-struct 17024  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-starv 17153  df-sca 17154  df-vsca 17155  df-ip 17156  df-tset 17157  df-ple 17158  df-ds 17160  df-unif 17161  df-hom 17162  df-cco 17163  df-0g 17328  df-gsum 17329  df-prds 17334  df-pws 17336  df-mre 17471  df-mrc 17472  df-acs 17474  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-mhm 18606  df-submnd 18607  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mulg 18878  df-subg 18930  df-ghm 19011  df-cntz 19102  df-cmn 19569  df-abl 19570  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-cring 19972  df-rnghom 20153  df-subrg 20234  df-lmod 20338  df-lss 20408  df-lsp 20448  df-lmhm 20498  df-lbs 20551  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-lidl 20651  df-rsp 20652  df-nzr 20744  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-uvc 21205
This theorem is referenced by:  zarcmplem  32519
  Copyright terms: Public domain W3C validator