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Theorem elrspunidl 33457
Description: Elementhood in the span of a union of ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
elrspunidl.n 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
elrspunidl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrspunidl.1 0 = (0g𝑅)
elrspunidl.x · = (.r𝑅)
elrspunidl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
elrspunidl.i (𝜑𝑆 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
elrspunidl (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁 𝑆) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘)))
Distinct variable groups:   0 ,𝑎,𝑘   · ,𝑎,𝑘   𝐵,𝑎,𝑘   𝑅,𝑎,𝑘   𝑆,𝑎,𝑘   𝑋,𝑎,𝑘   𝜑,𝑎,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑘,𝑎)

Proof of Theorem elrspunidl
Dummy variables 𝑏 𝑓 𝑖 𝑗 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrspunidl.n . . 3 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
2 elrspunidl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 elrspunidl.1 . . 3 0 = (0g𝑅)
4 elrspunidl.x . . 3 · = (.r𝑅)
5 elrspunidl.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
6 elrspunidl.i . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
76sselda 3982 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑆) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8 eqid 2736 . . . . . . 7 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
92, 8lidlss 21223 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖𝐵)
107, 9syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑆) → 𝑖𝐵)
1110ralrimiva 3145 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖𝑆 𝑖𝐵)
12 unissb 4938 . . . 4 ( 𝑆𝐵 ↔ ∀𝑖𝑆 𝑖𝐵)
1311, 12sylibr 234 . . 3 (𝜑 𝑆𝐵)
141, 2, 3, 4, 5, 13elrsp 33401 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁 𝑆) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))))
15 fvexd 6920 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) ∈ V)
1615, 6ssexd 5323 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ V)
1716uniexd 7763 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑆 ∈ V)
18 eluni2 4910 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 𝑆 ↔ ∃𝑖𝑆 𝑗𝑖)
1918biimpi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑗 𝑆 → ∃𝑖𝑆 𝑗𝑖)
2019adantl 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 𝑆) → ∃𝑖𝑆 𝑗𝑖)
2120ralrimiva 3145 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 𝑆𝑖𝑆 𝑗𝑖)
22 eleq2 2829 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑓𝑗) → (𝑗𝑖𝑗 ∈ (𝑓𝑗)))
2322ac6sg 10529 . . . . . . . 8 ( 𝑆 ∈ V → (∀𝑗 𝑆𝑖𝑆 𝑗𝑖 → ∃𝑓(𝑓: 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗))))
2417, 21, 23sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓: 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)))
2524ad3antrrr 730 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → ∃𝑓(𝑓: 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)))
26 simp-5l 784 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝜑)
2726adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → 𝜑)
28 ringcmn 20280 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
2927, 5, 283syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → 𝑅 ∈ CMnd)
30 vex 3483 . . . . . . . . . . . . 13 𝑓 ∈ V
31 cnvexg 7947 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V → 𝑓 ∈ V)
32 imaexg 7936 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V → (𝑓 “ {𝑖}) ∈ V)
3330, 31, 32mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 “ {𝑖}) ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑓 “ {𝑖}) ∈ V)
355ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑅 ∈ Ring)
36 elmapi 8890 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆) → 𝑏: 𝑆𝐵)
3736ad7antlr 739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑏: 𝑆𝐵)
38 cnvimass 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ dom 𝑓
39 fdm 6744 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓: 𝑆𝑆 → dom 𝑓 = 𝑆)
4038, 39sseqtrid 4025 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓: 𝑆𝑆 → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ 𝑆)
4140ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ 𝑆)
4241sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑙 𝑆)
4337, 42ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → (𝑏𝑙) ∈ 𝐵)
4413ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑆𝐵)
4544, 42sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑙𝐵)
462, 4ringcl 20248 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏𝑙) ∈ 𝐵𝑙𝐵) → ((𝑏𝑙) · 𝑙) ∈ 𝐵)
4735, 43, 45, 46syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏𝑙) · 𝑙) ∈ 𝐵)
48 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑙 → (𝑏𝑗) = (𝑏𝑙))
49 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑙𝑗 = 𝑙)
5048, 49oveq12d 7450 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑙 → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ((𝑏𝑙) · 𝑙))
5150cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑙) · 𝑙))
5247, 51fmptd 7133 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)):(𝑓 “ {𝑖})⟶𝐵)
5334mptexd 7245 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V)
5452ffund 6739 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → Fun (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
55 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → 𝑏 finSupp 0 )
56 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 )
57 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝑅
58 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗 Σg
59 nfmpt1 5249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗(𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))
6057, 58, 59nfov 7462 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗(𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
6160nfeq2 2922 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
6256, 61nfan 1898 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗(((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
63 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗 𝑓: 𝑆𝑆
6462, 63nfan 1898 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆)
65 nfra1 3283 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)
6664, 65nfan 1898 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗(((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗))
67 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 𝑖𝑆
6866, 67nfan 1898 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆)
69 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗(𝑓 “ {𝑖})
70 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗(𝑏 supp 0 )
7136ad7antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏: 𝑆𝐵)
7271ffnd 6736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn 𝑆)
7326, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑆 ∈ V)
7473ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆 ∈ V)
753fvexi 6919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈ V)
7741ssdifd 4144 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 )) ⊆ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
7877sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
7972, 74, 76, 78fvdifsupp 8197 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏𝑗) = 0 )
8079oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
815ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑅 ∈ Ring)
8213ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆𝐵)
8378eldifad 3962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 𝑆)
8482, 83sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗𝐵)
852, 4, 3ringlz 20291 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗𝐵) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
8681, 84, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
8780, 86eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = 0 )
8868, 69, 70, 87, 34suppss2f 32649 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → ((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))
89 fsuppsssupp 9422 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
9053, 54, 55, 88, 89syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
912, 3, 29, 34, 52, 90gsumcl 19934 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∈ 𝐵)
9291fmpttd 7134 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))):𝑆𝐵)
932fvexi 6919 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ V
9493a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ V)
9594, 16elmapd 8881 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵m 𝑆) ↔ (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))):𝑆𝐵))
9695biimpar 477 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))):𝑆𝐵) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵m 𝑆))
9726, 92, 96syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵m 𝑆))
98 breq1 5145 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → (𝑎 finSupp 0 ↔ (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ))
99 oveq2 7440 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → (𝑅 Σg 𝑎) = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))))
10099eqeq2d 2747 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → (𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))))
101 fveq1 6904 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → (𝑎𝑘) = ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘))
102101eleq1d 2825 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → ((𝑎𝑘) ∈ 𝑘 ↔ ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘))
103102ralbidv 3177 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → (∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘 ↔ ∀𝑘𝑆 ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘))
10498, 100, 1033anbi123d 1437 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → ((𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ↔ ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘𝑆 ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)))
105104adantl 481 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) → ((𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ↔ ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘𝑆 ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)))
10626, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑆 ∈ V)
107106mptexd 7245 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ V)
10875a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 0 ∈ V)
109 funmpt 6603 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
110109a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → Fun (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))
111 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑓: 𝑆𝑆)
112111ffund 6739 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → Fun 𝑓)
113 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑏 finSupp 0 )
114113fsuppimpd 9410 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑏 supp 0 ) ∈ Fin)
115 imafi 9354 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝑓 ∧ (𝑏 supp 0 ) ∈ Fin) → (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )) ∈ Fin)
116112, 114, 115syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )) ∈ Fin)
117 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))
11866, 117nfan 1898 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
119 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑓: 𝑆𝑆)
120119ffund 6739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → Fun 𝑓)
121 snssi 4807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))) → {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
122121adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
123 sspreima 7087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Fun 𝑓 ∧ {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ (𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
124120, 122, 123syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ (𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
125 difpreima 7084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Fun 𝑓 → (𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) = ((𝑓𝑆) ∖ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
126120, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) = ((𝑓𝑆) ∖ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
127124, 126sseqtrd 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ((𝑓𝑆) ∖ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
128 suppssdm 8203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑏
12936ad6antlr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑏: 𝑆𝐵)
130128, 129fssdm 6754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ 𝑆)
131119fdmd 6745 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → dom 𝑓 = 𝑆)
132130, 131sseqtrrd 4020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓)
133 sseqin2 4222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 ↔ (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) = (𝑏 supp 0 ))
134133biimpi 216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) = (𝑏 supp 0 ))
135 dminss 6172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) ⊆ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))
136134, 135eqsstrrdi 4028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
137132, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
138137sscond 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → ((𝑓𝑆) ∖ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ⊆ ((𝑓𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 )))
139127, 138sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ((𝑓𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 )))
140 fimacnv 6757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓: 𝑆𝑆 → (𝑓𝑆) = 𝑆)
141119, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓𝑆) = 𝑆)
142141difeq1d 4124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → ((𝑓𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 )) = ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
143139, 142sseqtrd 4019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
144143sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
145 ssidd 4006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))
14673adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑆 ∈ V)
14775a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 0 ∈ V)
148129, 145, 146, 147suppssr 8221 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏𝑗) = 0 )
149144, 148syldan 591 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → (𝑏𝑗) = 0 )
150149oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
1515ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑅 ∈ Ring)
15213ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑆𝐵)
15340ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ 𝑆)
154153sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗 𝑆)
155152, 154sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗𝐵)
156151, 155, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
157150, 156eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = 0 )
158118, 157mpteq2da 5239 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 ))
159158oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )))
1605, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
161160cmnmndd 19823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
162161ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑅 ∈ Mnd)
1633gsumz 18850 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑓 “ {𝑖}) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )) = 0 )
164162, 33, 163sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )) = 0 )
165159, 164eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) = 0 )
166165, 106suppss2 8226 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ⊆ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))
167116, 166ssfid 9302 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈ Fin)
168 isfsupp 9406 . . . . . . . . . . 11 (((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
169168biimpar 477 . . . . . . . . . 10 ((((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (Fun (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈ Fin)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 )
170107, 108, 110, 167, 169syl22anc 838 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 )
171 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
17226, 160syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑅 ∈ CMnd)
1735ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
17436ad5antlr 735 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑏: 𝑆𝐵)
175174ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 𝑆) → (𝑏𝑗) ∈ 𝐵)
17626, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑆𝐵)
177176sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 𝑆) → 𝑗𝐵)
1782, 4ringcl 20248 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏𝑗) ∈ 𝐵𝑗𝐵) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵)
179173, 175, 177, 178syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 𝑆) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵)
180 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))
18166, 179, 180fmptdf 7136 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)): 𝑆𝐵)
18273mptexd 7245 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V)
183 funmpt 6603 . . . . . . . . . . . . 13 Fun (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))
184183a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → Fun (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
185 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 𝑆
186174adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏: 𝑆𝐵)
187186ffnd 6736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn 𝑆)
18873adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆 ∈ V)
18975a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈ V)
190 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
191187, 188, 189, 190fvdifsupp 8197 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏𝑗) = 0 )
192191oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
1935ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑅 ∈ Ring)
194176adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆𝐵)
195190eldifad 3962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 𝑆)
196194, 195sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗𝐵)
197193, 196, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
198192, 197eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = 0 )
19966, 185, 70, 198, 73suppss2f 32649 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))
200 fsuppsssupp 9422 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
201182, 184, 113, 199, 200syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
202 sndisj 5134 . . . . . . . . . . . 12 Disj 𝑖𝑆 {𝑖}
203 disjpreima 32598 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝑓Disj 𝑖𝑆 {𝑖}) → Disj 𝑖𝑆 (𝑓 “ {𝑖}))
204112, 202, 203sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → Disj 𝑖𝑆 (𝑓 “ {𝑖}))
205 iunid 5059 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖𝑆 {𝑖} = 𝑆
206205imaeq2i 6075 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 𝑖𝑆 {𝑖}) = (𝑓𝑆)
207 iunpreima 32578 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝑓 → (𝑓 𝑖𝑆 {𝑖}) = 𝑖𝑆 (𝑓 “ {𝑖}))
208112, 207syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑓 𝑖𝑆 {𝑖}) = 𝑖𝑆 (𝑓 “ {𝑖}))
209140ad2antlr 727 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑓𝑆) = 𝑆)
210206, 208, 2093eqtr3a 2800 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑖𝑆 (𝑓 “ {𝑖}) = 𝑆)
2112, 3, 172, 73, 106, 181, 201, 204, 210gsumpart 33061 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ↾ (𝑓 “ {𝑖}))))))
21241resmptd 6057 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ↾ (𝑓 “ {𝑖})) = (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
213212oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑅 Σg ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ↾ (𝑓 “ {𝑖}))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
214213mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ↾ (𝑓 “ {𝑖})))) = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))
215214oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ↾ (𝑓 “ {𝑖}))))) = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))))
216171, 211, 2153eqtrd 2780 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))))
217 eqid 2736 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
218 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → 𝑖 = 𝑘)
219218sneqd 4637 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → {𝑖} = {𝑘})
220219imaeq2d 6077 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝑓 “ {𝑖}) = (𝑓 “ {𝑘}))
221220mpteq1d 5236 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
222221oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
223 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘𝑆)
224 ovexd 7467 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∈ V)
225217, 222, 223, 224fvmptd2 7023 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
226160ad6antr 736 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑅 ∈ CMnd)
22730cnvex 7948 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑓 ∈ V
228227imaex 7937 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 “ {𝑘}) ∈ V
229228a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑓 “ {𝑘}) ∈ V)
2305ad6antr 736 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
23126, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑆 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
232231sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅))
2338lidlsubg 21234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑘 ∈ (SubGrp‘𝑅))
234 subgsubm 19167 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅))
235233, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅))
236230, 232, 235syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅))
237230adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑅 ∈ Ring)
238232adantr 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅))
23936ad7antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑏: 𝑆𝐵)
240 cnvimass 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 “ {𝑘}) ⊆ dom 𝑓
241240, 39sseqtrid 4025 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓: 𝑆𝑆 → (𝑓 “ {𝑘}) ⊆ 𝑆)
242241ad3antlr 731 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑓 “ {𝑘}) ⊆ 𝑆)
243242sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙 𝑆)
244239, 243ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → (𝑏𝑙) ∈ 𝐵)
245 fveq2 6905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑙 → (𝑓𝑗) = (𝑓𝑙))
24649, 245eleq12d 2834 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑙 → (𝑗 ∈ (𝑓𝑗) ↔ 𝑙 ∈ (𝑓𝑙)))
247 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗))
248246, 247, 243rspcdva 3622 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙 ∈ (𝑓𝑙))
249 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑓: 𝑆𝑆)
250249ffnd 6736 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑓 Fn 𝑆)
251 elpreima 7077 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 Fn 𝑆 → (𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↔ (𝑙 𝑆 ∧ (𝑓𝑙) ∈ {𝑘})))
252251biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 Fn 𝑆𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → (𝑙 𝑆 ∧ (𝑓𝑙) ∈ {𝑘}))
253 elsni 4642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓𝑙) ∈ {𝑘} → (𝑓𝑙) = 𝑘)
254252, 253simpl2im 503 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 Fn 𝑆𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → (𝑓𝑙) = 𝑘)
255250, 254sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → (𝑓𝑙) = 𝑘)
256248, 255eleqtrd 2842 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙𝑘)
2578, 2, 4lidlmcl 21236 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑏𝑙) ∈ 𝐵𝑙𝑘)) → ((𝑏𝑙) · 𝑙) ∈ 𝑘)
258237, 238, 244, 256, 257syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → ((𝑏𝑙) · 𝑙) ∈ 𝑘)
25950cbvmptv 5254 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑙) · 𝑙))
260258, 259fmptd 7133 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)):(𝑓 “ {𝑘})⟶𝑘)
261229mptexd 7245 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V)
262260ffund 6739 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → Fun (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
263 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑏 finSupp 0 )
264 nfv 1913 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗 𝑘𝑆
26566, 264nfan 1898 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆)
266 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗(𝑓 “ {𝑘})
26736ad7antlr 739 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏: 𝑆𝐵)
268267ffnd 6736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn 𝑆)
26973ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆 ∈ V)
27075a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈ V)
271242ssdifd 4144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 )) ⊆ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
272271sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
273268, 269, 270, 272fvdifsupp 8197 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏𝑗) = 0 )
274273oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
27513ad7antr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆𝐵)
276272eldifad 3962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 𝑆)
277275, 276sseldd 3983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗𝐵)
278230, 277, 85syl2an2r 685 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
279274, 278eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = 0 )
280265, 266, 70, 279, 229suppss2f 32649 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))
281 fsuppsssupp 9422 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
282261, 262, 263, 280, 281syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
2833, 226, 229, 236, 260, 282gsumsubmcl 19938 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∈ 𝑘)
284225, 283eqeltrd 2840 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)
285284ralrimiva 3145 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ∀𝑘𝑆 ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)
286170, 216, 2853jca 1128 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘𝑆 ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘))
28797, 105, 286rspcedvd 3623 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘))
288287anasss 466 . . . . . 6 (((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ (𝑓: 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘))
28925, 288exlimddv 1934 . . . . 5 ((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘))
290289anasss 466 . . . 4 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ (𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘))
291290r19.29an 3157 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘))
2925ad4antr 732 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑅 ∈ Ring)
293292adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
294 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
295294zrhrhm 21523 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
296 zringbas 21465 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ = (Base‘ℤring)
297296, 2rhmf 20486 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶𝐵)
298293, 295, 2973syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶𝐵)
299 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆))
30075a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 0 ∈ V)
301 ssv 4007 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran 𝑎 ⊆ V
302 ssdif 4143 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ran 𝑎 ⊆ V → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ (V ∖ { 0 }))
303301, 302ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ (V ∖ { 0 })
304303sseli 3978 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) → 𝑚 ∈ (V ∖ { 0 }))
305304adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑚 ∈ (V ∖ { 0 }))
306 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 finSupp 0 )
307299, 300, 305, 306fsuppinisegfi 32697 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (𝑎 “ {𝑚}) ∈ Fin)
308 hashcl 14396 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 “ {𝑚}) ∈ Fin → (♯‘(𝑎 “ {𝑚})) ∈ ℕ0)
309307, 308syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (♯‘(𝑎 “ {𝑚})) ∈ ℕ0)
310309nn0zd 12641 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (♯‘(𝑎 “ {𝑚})) ∈ ℤ)
311298, 310ffvelcdmd 7104 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))) ∈ 𝐵)
312 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) = (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))))
313311, 312fmptd 7133 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))):(ran 𝑎 ∖ { 0 })⟶𝐵)
3142, 3ring0cl 20265 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
315 fconst6g 6796 . . . . . . . . . . 11 ( 0𝐵 → (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }):( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))⟶𝐵)
316292, 314, 3153syl 18 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }):( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))⟶𝐵)
317 disjdif 4471 . . . . . . . . . . 11 ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅
318317a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅)
319313, 316, 318fun2d 6771 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))⟶𝐵)
320 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)))
32194, 16elmapd 8881 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆) ↔ 𝑎:𝑆𝐵))
322321biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) → 𝑎:𝑆𝐵)
323320, 322syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎:𝑆𝐵)
324323ffnd 6736 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 Fn 𝑆)
325 elssuni 4936 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑆𝑘 𝑆)
326325adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 𝑆)
327326sseld 3981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑎𝑘) ∈ 𝑘 → (𝑎𝑘) ∈ 𝑆))
328327ralimdva 3166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) → (∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘 → ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑆))
329328imp 406 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑆)
330 fnfvrnss 7140 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 Fn 𝑆 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑆) → ran 𝑎 𝑆)
331324, 329, 330syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ran 𝑎 𝑆)
332331ssdifssd 4146 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑆)
333 undif 4481 . . . . . . . . . . 11 ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑆 ↔ ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = 𝑆)
334332, 333sylib 218 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = 𝑆)
335334feq2d 6721 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))⟶𝐵 ↔ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })): 𝑆𝐵))
336319, 335mpbid 232 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })): 𝑆𝐵)
33793a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝐵 ∈ V)
33817ad4antr 732 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑆 ∈ V)
339337, 338elmapd 8881 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ (𝐵m 𝑆) ↔ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })): 𝑆𝐵))
340336, 339mpbird 257 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ (𝐵m 𝑆))
341 breq1 5145 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑏 finSupp 0 ↔ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 ))
342 fveq1 6904 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑏𝑗) = (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗))
343342oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))
344343mpteq2dv 5243 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗)))
345344oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))
346345eqeq2d 2747 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗)))))
347341, 346anbi12d 632 . . . . . . . 8 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → ((𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ↔ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))))
348347adantl 481 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))) → ((𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ↔ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))))
349319ffund 6739 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → Fun ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })))
350340elexd 3503 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ V)
35175a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 0 ∈ V)
352323ffund 6739 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → Fun 𝑎)
353320simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆))
354 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 finSupp 0 )
355 fsupprnfi 32702 . . . . . . . . . . . . 13 (((Fun 𝑎𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ran 𝑎 ∈ Fin)
356 diffi 9216 . . . . . . . . . . . . 13 (ran 𝑎 ∈ Fin → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∈ Fin)
357355, 356syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((Fun 𝑎𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∈ Fin)
358352, 353, 351, 354, 357syl22anc 838 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∈ Fin)
359313, 358, 351fdmfifsupp 9416 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) finSupp 0 )
36013ssdifssd 4146 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ⊆ 𝐵)
361360ad4antr 732 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ⊆ 𝐵)
362337, 361ssexd 5323 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ∈ V)
363362, 351fczfsuppd 9427 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) finSupp 0 )
364359, 363fsuppun 9428 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp 0 ) ∈ Fin)
365 funisfsupp 9408 . . . . . . . . . 10 ((Fun ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∧ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 ↔ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp 0 ) ∈ Fin))
366365biimpar 477 . . . . . . . . 9 (((Fun ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∧ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp 0 ) ∈ Fin) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 )
367349, 350, 351, 364, 366syl31anc 1374 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 )
368 fvex 6918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))) ∈ V
369368, 312fnmpti 6710 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 })
370369a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 }))
371 fnconstg 6795 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 0 ∈ V → (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))
37275, 371ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))
373372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))
374317a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅)
375 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))
376370, 373, 374, 375fvun1d 7001 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))))‘𝑗))
377 sneq 4635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑗 → {𝑚} = {𝑗})
378377imaeq2d 6077 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 𝑗 → (𝑎 “ {𝑚}) = (𝑎 “ {𝑗}))
379378fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑗 → (♯‘(𝑎 “ {𝑚})) = (♯‘(𝑎 “ {𝑗})))
380379fveq2d 6909 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑗 → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))))
381 fvexd 6920 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) ∈ V)
382312, 380, 375, 381fvmptd3 7038 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))))‘𝑗) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))))
383376, 382eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))))
384383oveq1d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) = (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))
385384mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗)))
386385oveq2d 7448 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))))
387292, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑅 ∈ CMnd)
388317a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅)
389 fvun2 7000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∧ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ∧ (((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗))
390369, 372, 389mp3an12 1452 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗))
391388, 390sylancom 588 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗))
39275fvconst2 7225 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗) = 0 )
393392adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗) = 0 )
394391, 393eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = 0 )
395394oveq1d 7447 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
396361sselda 3982 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → 𝑗𝐵)
397292, 396, 85syl2an2r 685 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
398395, 397eqtrd 2776 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) = 0 )
399292adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
400336ffvelcdmda 7103 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 𝑆) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) ∈ 𝐵)
40113ad4antr 732 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑆𝐵)
402401sselda 3982 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 𝑆) → 𝑗𝐵)
4032, 4ringcl 20248 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) ∈ 𝐵𝑗𝐵) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵)
404399, 400, 402, 403syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 𝑆) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵)
4052, 3, 387, 338, 398, 358, 404, 332gsummptres2 33057 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))
406 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (.g𝑅) = (.g𝑅)
4072, 3, 406, 387, 323, 354gsumhashmul 33065 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg 𝑎) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗))))
408 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎))
409292adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
410353adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆))
41175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 0 ∈ V)
412303, 375sselid 3980 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ (V ∖ { 0 }))
413354adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 finSupp 0 )
414410, 411, 412, 413fsuppinisegfi 32697 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (𝑎 “ {𝑗}) ∈ Fin)
415 hashcl 14396 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 “ {𝑗}) ∈ Fin → (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℕ0)
416414, 415syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℕ0)
417416nn0zd 12641 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ)
418332, 401sstrd 3993 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵)
419418sselda 3982 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗𝐵)
420 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1r𝑅) = (1r𝑅)
421294, 406, 420zrhmulg 21521 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)(1r𝑅)))
422421adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)(1r𝑅)))
423422oveq1d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = (((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)(1r𝑅)) · 𝑗))
424 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
425 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ)
4262, 420ringidcl 20263 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
427426ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
428 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → 𝑗𝐵)
4292, 406, 4mulgass2 20307 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵𝑗𝐵)) → (((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)(1r𝑅)) · 𝑗) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)((1r𝑅) · 𝑗)))
430424, 425, 427, 428, 429syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → (((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)(1r𝑅)) · 𝑗) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)((1r𝑅) · 𝑗)))
4312, 4, 420ringlidm 20267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗𝐵) → ((1r𝑅) · 𝑗) = 𝑗)
432424, 431sylancom 588 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → ((1r𝑅) · 𝑗) = 𝑗)
433432oveq2d 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)((1r𝑅) · 𝑗)) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗))
434423, 430, 4333eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗))
435409, 417, 419, 434syl21anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗))
436435mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗)))
437436oveq2d 7448 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗))))
438407, 408, 4373eqtr4d 2786 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))))
439386, 405, 4383eqtr4rd 2787 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))
440367, 439jca 511 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗)))))
441340, 348, 440rspcedvd 3623 . . . . . 6 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))
442441exp41 434 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) → (𝑎 finSupp 0 → (𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) → (∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘 → ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))))))
4434423imp2 1349 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ (𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘)) → ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))
444443r19.29an 3157 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘)) → ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))
445291, 444impbida 800 . 2 (𝜑 → (∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘)))
44614, 445bitrd 279 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁 𝑆) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1539  wex 1778  wcel 2107  wral 3060  wrex 3069  Vcvv 3479  cdif 3947  cun 3948  cin 3949  wss 3950  c0 4332  {csn 4625   cuni 4906   ciun 4990  Disj wdisj 5109   class class class wbr 5142  cmpt 5224   × cxp 5682  ccnv 5683  dom cdm 5684  ran crn 5685  cres 5686  cima 5687  Fun wfun 6554   Fn wfn 6555  wf 6556  cfv 6560  (class class class)co 7432   supp csupp 8186  m cmap 8867  Fincfn 8986   finSupp cfsupp 9402  0cn0 12528  cz 12615  chash 14370  Basecbs 17248  .rcmulr 17299  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  Mndcmnd 18748  SubMndcsubmnd 18796  .gcmg 19086  SubGrpcsubg 19139  CMndccmn 19799  1rcur 20179  Ringcrg 20231   RingHom crh 20470  LIdealclidl 21217  RSpancrsp 21218  ringczring 21458  ℤRHomczrh 21511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-reg 9633  ax-inf2 9682  ax-ac2 10504  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233  ax-addf 11235  ax-mulf 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-iin 4993  df-disj 5110  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-of 7698  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8746  df-map 8869  df-ixp 8939  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-sup 9483  df-oi 9551  df-r1 9805  df-rank 9806  df-card 9980  df-ac 10157  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12529  df-z 12616  df-dec 12736  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-struct 17185  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-prds 17493  df-pws 17495  df-mre 17630  df-mrc 17631  df-acs 17633  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-submnd 18798  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-sbg 18957  df-mulg 19087  df-subg 19142  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-cring 20234  df-rhm 20473  df-nzr 20514  df-subrng 20547  df-subrg 20571  df-lmod 20861  df-lss 20931  df-lsp 20971  df-lmhm 21022  df-lbs 21075  df-sra 21173  df-rgmod 21174  df-lidl 21219  df-rsp 21220  df-cnfld 21366  df-zring 21459  df-zrh 21515  df-dsmm 21753  df-frlm 21768  df-uvc 21804
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