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Theorem elrspunidl 31017
Description: Elementhood to the span of a union of ideals. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Jun-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
elrspunidl.n 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
elrspunidl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
elrspunidl.1 0 = (0g𝑅)
elrspunidl.x · = (.r𝑅)
elrspunidl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
elrspunidl.i (𝜑𝑆 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
Assertion
Ref Expression
elrspunidl (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁 𝑆) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘)))
Distinct variable groups:   0 ,𝑎,𝑘   · ,𝑎,𝑘   𝐵,𝑎,𝑘   𝑅,𝑎,𝑘   𝑆,𝑎,𝑘   𝑋,𝑎,𝑘   𝜑,𝑎,𝑘
Allowed substitution hints:   𝑁(𝑘,𝑎)

Proof of Theorem elrspunidl
Dummy variables 𝑏 𝑓 𝑖 𝑗 𝑙 𝑚 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elrspunidl.n . . 3 𝑁 = (RSpan‘𝑅)
2 elrspunidl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
3 elrspunidl.1 . . 3 0 = (0g𝑅)
4 elrspunidl.x . . 3 · = (.r𝑅)
5 elrspunidl.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
6 elrspunidl.i . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
76sselda 3918 . . . . . 6 ((𝜑𝑖𝑆) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅))
8 eqid 2801 . . . . . . 7 (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
92, 8lidlss 19979 . . . . . 6 (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖𝐵)
107, 9syl 17 . . . . 5 ((𝜑𝑖𝑆) → 𝑖𝐵)
1110ralrimiva 3152 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑖𝑆 𝑖𝐵)
12 unissb 4835 . . . 4 ( 𝑆𝐵 ↔ ∀𝑖𝑆 𝑖𝐵)
1311, 12sylibr 237 . . 3 (𝜑 𝑆𝐵)
141, 2, 3, 4, 5, 13elrsp 30992 . 2 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁 𝑆) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))))
15 fvexd 6664 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) ∈ V)
1615, 6ssexd 5195 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ V)
1716uniexd 7452 . . . . . . . 8 (𝜑 𝑆 ∈ V)
18 eluni2 4807 . . . . . . . . . . 11 (𝑗 𝑆 ↔ ∃𝑖𝑆 𝑗𝑖)
1918biimpi 219 . . . . . . . . . 10 (𝑗 𝑆 → ∃𝑖𝑆 𝑗𝑖)
2019adantl 485 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑗 𝑆) → ∃𝑖𝑆 𝑗𝑖)
2120ralrimiva 3152 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 𝑆𝑖𝑆 𝑗𝑖)
22 eleq2 2881 . . . . . . . . 9 (𝑖 = (𝑓𝑗) → (𝑗𝑖𝑗 ∈ (𝑓𝑗)))
2322ac6sg 9903 . . . . . . . 8 ( 𝑆 ∈ V → (∀𝑗 𝑆𝑖𝑆 𝑗𝑖 → ∃𝑓(𝑓: 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗))))
2417, 21, 23sylc 65 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑓(𝑓: 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)))
2524ad3antrrr 729 . . . . . 6 ((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → ∃𝑓(𝑓: 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)))
26 simp-5l 784 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝜑)
2726adantr 484 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → 𝜑)
28 ringcmn 19330 . . . . . . . . . . . 12 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd)
2927, 5, 283syl 18 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → 𝑅 ∈ CMnd)
30 vex 3447 . . . . . . . . . . . . 13 𝑓 ∈ V
31 cnvexg 7615 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V → 𝑓 ∈ V)
32 imaexg 7606 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 ∈ V → (𝑓 “ {𝑖}) ∈ V)
3330, 31, 32mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 “ {𝑖}) ∈ V
3433a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑓 “ {𝑖}) ∈ V)
355ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑅 ∈ Ring)
36 elmapi 8415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆) → 𝑏: 𝑆𝐵)
3736ad7antlr 738 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑏: 𝑆𝐵)
38 cnvimass 5920 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ dom 𝑓
39 fdm 6499 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓: 𝑆𝑆 → dom 𝑓 = 𝑆)
4038, 39sseqtrid 3970 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓: 𝑆𝑆 → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ 𝑆)
4140ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ 𝑆)
4241sselda 3918 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑙 𝑆)
4337, 42ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → (𝑏𝑙) ∈ 𝐵)
4413ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑆𝐵)
4544, 42sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑙𝐵)
462, 4ringcl 19310 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏𝑙) ∈ 𝐵𝑙𝐵) → ((𝑏𝑙) · 𝑙) ∈ 𝐵)
4735, 43, 45, 46syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏𝑙) · 𝑙) ∈ 𝐵)
48 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑙 → (𝑏𝑗) = (𝑏𝑙))
49 id 22 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 = 𝑙𝑗 = 𝑙)
5048, 49oveq12d 7157 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 = 𝑙 → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ((𝑏𝑙) · 𝑙))
5150cbvmptv 5136 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑙) · 𝑙))
5247, 51fmptd 6859 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)):(𝑓 “ {𝑖})⟶𝐵)
5334mptexd 6968 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V)
5452ffund 6495 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → Fun (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
55 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → 𝑏 finSupp 0 )
56 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 )
57 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗𝑅
58 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗 Σg
59 nfmpt1 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑗(𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))
6057, 58, 59nfov 7169 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑗(𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
6160nfeq2 2975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑗 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
6256, 61nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗(((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
63 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗 𝑓: 𝑆𝑆
6462, 63nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆)
65 nfra1 3186 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)
6664, 65nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗(((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗))
67 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗 𝑖𝑆
6866, 67nfan 1900 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆)
69 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗(𝑓 “ {𝑖})
70 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗(𝑏 supp 0 )
7136ad7antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏: 𝑆𝐵)
7271ffnd 6492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn 𝑆)
7326, 17syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑆 ∈ V)
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆 ∈ V)
753fvexi 6663 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ V
7675a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈ V)
7741ssdifd 4071 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 )) ⊆ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
7877sselda 3918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
7972, 74, 76, 78fvdifsupp 30447 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏𝑗) = 0 )
8079oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
815ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑅 ∈ Ring)
8213ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆𝐵)
8378eldifad 3896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 𝑆)
8482, 83sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗𝐵)
852, 4, 3ringlz 19336 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗𝐵) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
8681, 84, 85syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
8780, 86eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = 0 )
8868, 69, 70, 87, 34suppss2f 30401 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → ((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))
89 fsuppsssupp 8837 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
9053, 54, 55, 88, 89syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
912, 3, 29, 34, 52, 90gsumcl 19031 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∈ 𝐵)
9291fmpttd 6860 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))):𝑆𝐵)
932fvexi 6663 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ V
9493a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ V)
9594, 16elmapd 8407 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵m 𝑆) ↔ (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))):𝑆𝐵))
9695biimpar 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))):𝑆𝐵) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵m 𝑆))
9726, 92, 96syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵m 𝑆))
98 breq1 5036 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → (𝑎 finSupp 0 ↔ (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ))
99 oveq2 7147 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → (𝑅 Σg 𝑎) = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))))
10099eqeq2d 2812 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → (𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))))
101 fveq1 6648 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → (𝑎𝑘) = ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘))
102101eleq1d 2877 . . . . . . . . . . 11 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → ((𝑎𝑘) ∈ 𝑘 ↔ ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘))
103102ralbidv 3165 . . . . . . . . . 10 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → (∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘 ↔ ∀𝑘𝑆 ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘))
10498, 100, 1033anbi123d 1433 . . . . . . . . 9 (𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → ((𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ↔ ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘𝑆 ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)))
105104adantl 485 . . . . . . . 8 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑎 = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) → ((𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ↔ ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘𝑆 ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)))
10626, 16syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑆 ∈ V)
107106mptexd 6968 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ V)
10875a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 0 ∈ V)
109 funmpt 6366 . . . . . . . . . . 11 Fun (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
110109a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → Fun (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))
111 simplr 768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑓: 𝑆𝑆)
112111ffund 6495 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → Fun 𝑓)
113 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑏 finSupp 0 )
114113fsuppimpd 8828 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑏 supp 0 ) ∈ Fin)
115 imafi 8805 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝑓 ∧ (𝑏 supp 0 ) ∈ Fin) → (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )) ∈ Fin)
116112, 114, 115syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )) ∈ Fin)
117 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑗 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))
11866, 117nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
119 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑓: 𝑆𝑆)
120119ffund 6495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → Fun 𝑓)
121 snssi 4704 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))) → {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
122121adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
123 sspreima 30409 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((Fun 𝑓 ∧ {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ (𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
124120, 122, 123syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ (𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
125 difpreima 6816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (Fun 𝑓 → (𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) = ((𝑓𝑆) ∖ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
126120, 125syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) = ((𝑓𝑆) ∖ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
127124, 126sseqtrd 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ((𝑓𝑆) ∖ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))))
128 suppssdm 7830 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑏
12936ad6antlr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑏: 𝑆𝐵)
130128, 129fssdm 6508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ 𝑆)
131119fdmd 6501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → dom 𝑓 = 𝑆)
132130, 131sseqtrrd 3959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓)
133 sseqin2 4145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 ↔ (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) = (𝑏 supp 0 ))
134133biimpi 219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) = (𝑏 supp 0 ))
135 dminss 5981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) ⊆ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))
136134, 135eqsstrrdi 3973 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
137132, 136syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))
138137sscond 4072 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → ((𝑓𝑆) ∖ (𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ⊆ ((𝑓𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 )))
139127, 138sstrd 3928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ((𝑓𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 )))
140 fimacnv 6820 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑓: 𝑆𝑆 → (𝑓𝑆) = 𝑆)
141119, 140syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓𝑆) = 𝑆)
142141difeq1d 4052 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → ((𝑓𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 )) = ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
143139, 142sseqtrd 3958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
144143sselda 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
145 ssidd 3941 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))
14673adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑆 ∈ V)
14775a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 0 ∈ V)
148129, 145, 146, 147suppssr 7848 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏𝑗) = 0 )
149144, 148syldan 594 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → (𝑏𝑗) = 0 )
150149oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
1515ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑅 ∈ Ring)
15213ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑆𝐵)
15340ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑓 “ {𝑖}) ⊆ 𝑆)
154153sselda 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗 𝑆)
155152, 154sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗𝐵)
156151, 155, 85syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
157150, 156eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = 0 )
158118, 157mpteq2da 5127 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 ))
159158oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )))
1605, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅 ∈ CMnd)
161160cmnmndd 18924 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅 ∈ Mnd)
162161ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑅 ∈ Mnd)
1633gsumz 17995 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (𝑓 “ {𝑖}) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )) = 0 )
164162, 33, 163sylancl 589 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )) = 0 )
165159, 164eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) = 0 )
166165, 106suppss2 7851 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ⊆ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))
167116, 166ssfid 8729 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈ Fin)
168 isfsupp 8825 . . . . . . . . . . 11 (((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈ Fin)))
169168biimpar 481 . . . . . . . . . 10 ((((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (Fun (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈ Fin)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 )
170107, 108, 110, 167, 169syl22anc 837 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 )
171 simpllr 775 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
17226, 160syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑅 ∈ CMnd)
1735ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
17436ad5antlr 734 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑏: 𝑆𝐵)
175174ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 𝑆) → (𝑏𝑗) ∈ 𝐵)
17626, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑆𝐵)
177176sselda 3918 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 𝑆) → 𝑗𝐵)
1782, 4ringcl 19310 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏𝑗) ∈ 𝐵𝑗𝐵) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵)
179173, 175, 177, 178syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 𝑆) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵)
180 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))
18166, 179, 180fmptdf 6862 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)): 𝑆𝐵)
18273mptexd 6968 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V)
183 funmpt 6366 . . . . . . . . . . . . 13 Fun (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))
184183a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → Fun (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
185 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . 13 𝑗 𝑆
186174adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏: 𝑆𝐵)
187186ffnd 6492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn 𝑆)
18873adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆 ∈ V)
18975a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈ V)
190 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
191187, 188, 189, 190fvdifsupp 30447 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏𝑗) = 0 )
192191oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
1935ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑅 ∈ Ring)
194176adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆𝐵)
195190eldifad 3896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 𝑆)
196194, 195sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗𝐵)
197193, 196, 85syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
198192, 197eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = 0 )
19966, 185, 70, 198, 73suppss2f 30401 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))
200 fsuppsssupp 8837 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
201182, 184, 113, 199, 200syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
202 sndisj 5024 . . . . . . . . . . . 12 Disj 𝑖𝑆 {𝑖}
203 disjpreima 30350 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝑓Disj 𝑖𝑆 {𝑖}) → Disj 𝑖𝑆 (𝑓 “ {𝑖}))
204112, 202, 203sylancl 589 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → Disj 𝑖𝑆 (𝑓 “ {𝑖}))
205 iunid 4950 . . . . . . . . . . . . 13 𝑖𝑆 {𝑖} = 𝑆
206205imaeq2i 5898 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓 𝑖𝑆 {𝑖}) = (𝑓𝑆)
207 iunpreima 30331 . . . . . . . . . . . . 13 (Fun 𝑓 → (𝑓 𝑖𝑆 {𝑖}) = 𝑖𝑆 (𝑓 “ {𝑖}))
208112, 207syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑓 𝑖𝑆 {𝑖}) = 𝑖𝑆 (𝑓 “ {𝑖}))
209140ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑓𝑆) = 𝑆)
210206, 208, 2093eqtr3a 2860 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑖𝑆 (𝑓 “ {𝑖}) = 𝑆)
2112, 3, 172, 73, 106, 181, 201, 204, 210gsumpart 30743 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ↾ (𝑓 “ {𝑖}))))))
21241resmptd 5879 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ↾ (𝑓 “ {𝑖})) = (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
213212oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑖𝑆) → (𝑅 Σg ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ↾ (𝑓 “ {𝑖}))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
214213mpteq2dva 5128 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ↾ (𝑓 “ {𝑖})))) = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))
215214oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ↾ (𝑓 “ {𝑖}))))) = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))))
216171, 211, 2153eqtrd 2840 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))))
217 eqid 2801 . . . . . . . . . . . 12 (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) = (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
218 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → 𝑖 = 𝑘)
219218sneqd 4540 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → {𝑖} = {𝑘})
220219imaeq2d 5900 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝑓 “ {𝑖}) = (𝑓 “ {𝑘}))
221220mpteq1d 5122 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
222221oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . 12 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
223 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘𝑆)
224 ovexd 7174 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∈ V)
225217, 222, 223, 224fvmptd2 6757 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))
226160ad6antr 735 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑅 ∈ CMnd)
22730cnvex 7616 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑓 ∈ V
228227imaex 7607 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑓 “ {𝑘}) ∈ V
229228a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑓 “ {𝑘}) ∈ V)
2305ad6antr 735 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
23126, 6syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → 𝑆 ⊆ (LIdeal‘𝑅))
232231sselda 3918 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅))
2338lidlsubg 19984 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑘 ∈ (SubGrp‘𝑅))
234 subgsubm 18296 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅))
235233, 234syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅))
236230, 232, 235syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅))
237230adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑅 ∈ Ring)
238232adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅))
23936ad7antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑏: 𝑆𝐵)
240 cnvimass 5920 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 “ {𝑘}) ⊆ dom 𝑓
241240, 39sseqtrid 3970 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑓: 𝑆𝑆 → (𝑓 “ {𝑘}) ⊆ 𝑆)
242241ad3antlr 730 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑓 “ {𝑘}) ⊆ 𝑆)
243242sselda 3918 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙 𝑆)
244239, 243ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → (𝑏𝑙) ∈ 𝐵)
245 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑗 = 𝑙 → (𝑓𝑗) = (𝑓𝑙))
24649, 245eleq12d 2887 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑗 = 𝑙 → (𝑗 ∈ (𝑓𝑗) ↔ 𝑙 ∈ (𝑓𝑙)))
247 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗))
248246, 247, 243rspcdva 3576 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙 ∈ (𝑓𝑙))
249 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑓: 𝑆𝑆)
250249ffnd 6492 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑓 Fn 𝑆)
251 elpreima 6809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓 Fn 𝑆 → (𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↔ (𝑙 𝑆 ∧ (𝑓𝑙) ∈ {𝑘})))
252251biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓 Fn 𝑆𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → (𝑙 𝑆 ∧ (𝑓𝑙) ∈ {𝑘}))
253 elsni 4545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑓𝑙) ∈ {𝑘} → (𝑓𝑙) = 𝑘)
254252, 253simpl2im 507 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑓 Fn 𝑆𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → (𝑓𝑙) = 𝑘)
255250, 254sylancom 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → (𝑓𝑙) = 𝑘)
256248, 255eleqtrd 2895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙𝑘)
2578, 2, 4lidlmcl 19986 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑏𝑙) ∈ 𝐵𝑙𝑘)) → ((𝑏𝑙) · 𝑙) ∈ 𝑘)
258237, 238, 244, 256, 257syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘})) → ((𝑏𝑙) · 𝑙) ∈ 𝑘)
25950cbvmptv 5136 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑙 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑙) · 𝑙))
260258, 259fmptd 6859 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)):(𝑓 “ {𝑘})⟶𝑘)
261229mptexd 6968 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V)
262260ffund 6495 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → Fun (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))
263 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑏 finSupp 0 )
264 nfv 1915 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑗 𝑘𝑆
26566, 264nfan 1900 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆)
266 nfcv 2958 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑗(𝑓 “ {𝑘})
26736ad7antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏: 𝑆𝐵)
268267ffnd 6492 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn 𝑆)
26973ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆 ∈ V)
27075a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈ V)
271242ssdifd 4071 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 )) ⊆ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
272271sselda 3918 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 )))
273268, 269, 270, 272fvdifsupp 30447 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏𝑗) = 0 )
274273oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
27513ad7antr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑆𝐵)
276272eldifad 3896 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 𝑆)
277275, 276sseldd 3919 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗𝐵)
278230, 277, 85syl2an2r 684 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
279274, 278eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = 0 )
280265, 266, 70, 279, 229suppss2f 30401 . . . . . . . . . . . . 13 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))
281 fsuppsssupp 8837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
282261, 262, 263, 280, 281syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 )
2833, 226, 229, 236, 260, 282gsumsubmcl 19035 . . . . . . . . . . 11 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ∈ 𝑘)
284225, 283eqeltrd 2893 . . . . . . . . . 10 (((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)
285284ralrimiva 3152 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ∀𝑘𝑆 ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)
286170, 216, 2853jca 1125 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘𝑆 ((𝑖𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘))
28797, 105, 286rspcedvd 3577 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓: 𝑆𝑆) ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗)) → ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘))
288287anasss 470 . . . . . 6 (((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ∧ (𝑓: 𝑆𝑆 ∧ ∀𝑗 𝑆𝑗 ∈ (𝑓𝑗))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘))
28925, 288exlimddv 1936 . . . . 5 ((((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘))
290289anasss 470 . . . 4 (((𝜑𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ (𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘))
291290r19.29an 3250 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘))
2925ad4antr 731 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑅 ∈ Ring)
293292adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
294 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . 14 (ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅)
295294zrhrhm 20208 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Ring → (ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
296 zringbas 20172 . . . . . . . . . . . . . 14 ℤ = (Base‘ℤring)
297296, 2rhmf 19477 . . . . . . . . . . . . 13 ((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶𝐵)
298293, 295, 2973syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶𝐵)
299 simp-5r 785 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆))
30075a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 0 ∈ V)
301 ssv 3942 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ran 𝑎 ⊆ V
302 ssdif 4070 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (ran 𝑎 ⊆ V → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ (V ∖ { 0 }))
303301, 302ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ (V ∖ { 0 })
304303sseli 3914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) → 𝑚 ∈ (V ∖ { 0 }))
305304adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑚 ∈ (V ∖ { 0 }))
306 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 finSupp 0 )
307299, 300, 305, 306fsuppinisegfi 30450 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (𝑎 “ {𝑚}) ∈ Fin)
308 hashcl 13717 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑎 “ {𝑚}) ∈ Fin → (♯‘(𝑎 “ {𝑚})) ∈ ℕ0)
309307, 308syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (♯‘(𝑎 “ {𝑚})) ∈ ℕ0)
310309nn0zd 12077 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (♯‘(𝑎 “ {𝑚})) ∈ ℤ)
311298, 310ffvelrnd 6833 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))) ∈ 𝐵)
312 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) = (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))))
313311, 312fmptd 6859 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))):(ran 𝑎 ∖ { 0 })⟶𝐵)
3142, 3ring0cl 19318 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 0𝐵)
315 fconst6g 6546 . . . . . . . . . . 11 ( 0𝐵 → (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }):( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))⟶𝐵)
316292, 314, 3153syl 18 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }):( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))⟶𝐵)
317 disjdif 4382 . . . . . . . . . . 11 ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅
318317a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅)
319313, 316, 318fun2d 6520 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))⟶𝐵)
320 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)))
32194, 16elmapd 8407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆) ↔ 𝑎:𝑆𝐵))
322321biimpa 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) → 𝑎:𝑆𝐵)
323320, 322syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎:𝑆𝐵)
324323ffnd 6492 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 Fn 𝑆)
325 elssuni 4833 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘𝑆𝑘 𝑆)
326325adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ 𝑘𝑆) → 𝑘 𝑆)
327326sseld 3917 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ 𝑘𝑆) → ((𝑎𝑘) ∈ 𝑘 → (𝑎𝑘) ∈ 𝑆))
328327ralimdva 3147 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) → (∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘 → ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑆))
329328imp 410 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑆)
330 fnfvrnss 6865 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎 Fn 𝑆 ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑆) → ran 𝑎 𝑆)
331324, 329, 330syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ran 𝑎 𝑆)
332331ssdifssd 4073 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑆)
333 undif 4391 . . . . . . . . . . 11 ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ 𝑆 ↔ ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = 𝑆)
334332, 333sylib 221 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = 𝑆)
335334feq2d 6477 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))⟶𝐵 ↔ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })): 𝑆𝐵))
336319, 335mpbid 235 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })): 𝑆𝐵)
33793a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝐵 ∈ V)
33817ad4antr 731 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑆 ∈ V)
339337, 338elmapd 8407 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ (𝐵m 𝑆) ↔ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })): 𝑆𝐵))
340336, 339mpbird 260 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ (𝐵m 𝑆))
341 breq1 5036 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑏 finSupp 0 ↔ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 ))
342 fveq1 6648 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑏𝑗) = (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗))
343342oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → ((𝑏𝑗) · 𝑗) = ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))
344343mpteq2dv 5129 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗)))
345344oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))
346345eqeq2d 2812 . . . . . . . . 9 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → (𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗)))))
347341, 346anbi12d 633 . . . . . . . 8 (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) → ((𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ↔ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))))
348347adantl 485 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))) → ((𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ↔ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))))
349319ffund 6495 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → Fun ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })))
350340elexd 3464 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ V)
35175a1i 11 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 0 ∈ V)
352323ffund 6495 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → Fun 𝑎)
353320simprd 499 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆))
354 simpllr 775 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 finSupp 0 )
355 fsupprnfi 30455 . . . . . . . . . . . . 13 (((Fun 𝑎𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ran 𝑎 ∈ Fin)
356 diffi 8738 . . . . . . . . . . . . 13 (ran 𝑎 ∈ Fin → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∈ Fin)
357355, 356syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((Fun 𝑎𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∈ Fin)
358352, 353, 351, 354, 357syl22anc 837 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∈ Fin)
359313, 358, 351fdmfifsupp 8831 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) finSupp 0 )
36013ssdifssd 4073 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ⊆ 𝐵)
361360ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ⊆ 𝐵)
362337, 361ssexd 5195 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ∈ V)
363362, 351fczfsuppd 8839 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) finSupp 0 )
364359, 363fsuppun 8840 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp 0 ) ∈ Fin)
365 funisfsupp 8826 . . . . . . . . . 10 ((Fun ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∧ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 ↔ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp 0 ) ∈ Fin))
366365biimpar 481 . . . . . . . . 9 (((Fun ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∧ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp 0 ) ∈ Fin) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 )
367349, 350, 351, 364, 366syl31anc 1370 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0 )
368 fvex 6662 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))) ∈ V
369368, 312fnmpti 6467 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 })
370369a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 }))
371 fnconstg 6545 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ( 0 ∈ V → (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))
37275, 371ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))
373372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))
374317a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅)
375 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))
376370, 373, 374, 375fvun1d 6735 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))))‘𝑗))
377 sneq 4538 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑚 = 𝑗 → {𝑚} = {𝑗})
378377imaeq2d 5900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑚 = 𝑗 → (𝑎 “ {𝑚}) = (𝑎 “ {𝑗}))
379378fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑚 = 𝑗 → (♯‘(𝑎 “ {𝑚})) = (♯‘(𝑎 “ {𝑗})))
380379fveq2d 6653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑚 = 𝑗 → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))))
381 fvexd 6664 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) ∈ V)
382312, 380, 375, 381fvmptd3 6772 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚}))))‘𝑗) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))))
383376, 382eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))))
384383oveq1d 7154 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) = (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))
385384mpteq2dva 5128 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗)))
386385oveq2d 7155 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))))
387292, 28syl 17 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑅 ∈ CMnd)
388317a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅)
389 fvun2 6734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∧ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ∧ (((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗))
390369, 372, 389mp3an12 1448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗))
391388, 390sylancom 591 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = ((( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗))
39275fvconst2 6947 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗) = 0 )
393392adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })‘𝑗) = 0 )
394391, 393eqtrd 2836 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) = 0 )
395394oveq1d 7154 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗))
396361sselda 3918 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → 𝑗𝐵)
397292, 396, 85syl2an2r 684 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ( 0 · 𝑗) = 0 )
398395, 397eqtrd 2836 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) = 0 )
399292adantr 484 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
400336ffvelrnda 6832 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 𝑆) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) ∈ 𝐵)
40113ad4antr 731 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑆𝐵)
402401sselda 3918 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 𝑆) → 𝑗𝐵)
4032, 4ringcl 19310 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) ∈ 𝐵𝑗𝐵) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵)
404399, 400, 402, 403syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 𝑆) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵)
4052, 3, 387, 338, 398, 358, 404, 332gsummptres2 30741 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))
406 eqid 2801 . . . . . . . . . . 11 (.g𝑅) = (.g𝑅)
4072, 3, 406, 387, 323, 354gsumhashmul 30744 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg 𝑎) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗))))
408 simplr 768 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎))
409292adantr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring)
410353adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆))
41175a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 0 ∈ V)
412303, 375sseldi 3916 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ (V ∖ { 0 }))
413354adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 finSupp 0 )
414410, 411, 412, 413fsuppinisegfi 30450 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (𝑎 “ {𝑗}) ∈ Fin)
415 hashcl 13717 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑎 “ {𝑗}) ∈ Fin → (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℕ0)
416414, 415syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℕ0)
417416nn0zd 12077 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ)
418332, 401sstrd 3928 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵)
419418sselda 3918 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗𝐵)
420 eqid 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (1r𝑅) = (1r𝑅)
421294, 406, 420zrhmulg 20206 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)(1r𝑅)))
422421adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)(1r𝑅)))
423422oveq1d 7154 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = (((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)(1r𝑅)) · 𝑗))
424 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
425 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ)
4262, 420ringidcl 19317 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑅 ∈ Ring → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
427426ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → (1r𝑅) ∈ 𝐵)
428 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → 𝑗𝐵)
4292, 406, 4mulgass2 19350 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ ∧ (1r𝑅) ∈ 𝐵𝑗𝐵)) → (((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)(1r𝑅)) · 𝑗) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)((1r𝑅) · 𝑗)))
430424, 425, 427, 428, 429syl13anc 1369 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → (((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)(1r𝑅)) · 𝑗) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)((1r𝑅) · 𝑗)))
4312, 4, 420ringlidm 19320 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗𝐵) → ((1r𝑅) · 𝑗) = 𝑗)
432424, 431sylancom 591 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → ((1r𝑅) · 𝑗) = 𝑗)
433432oveq2d 7155 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)((1r𝑅) · 𝑗)) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗))
434423, 430, 4333eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (♯‘(𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗))
435409, 417, 419, 434syl21anc 836 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗))
436435mpteq2dva 5128 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗)))
437436oveq2d 7155 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((♯‘(𝑎 “ {𝑗}))(.g𝑅)𝑗))))
438407, 408, 4373eqtr4d 2846 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))))
439386, 405, 4383eqtr4rd 2847 . . . . . . . 8 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗))))
440367, 439jca 515 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(𝑎 “ {𝑚})))) ∪ (( 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))‘𝑗) · 𝑗)))))
441340, 348, 440rspcedvd 3577 . . . . . 6 (((((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘) → ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))
442441exp41 438 . . . . 5 ((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) → (𝑎 finSupp 0 → (𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) → (∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘 → ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗))))))))
4434423imp2 1346 . . . 4 (((𝜑𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)) ∧ (𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘)) → ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))
444443r19.29an 3250 . . 3 ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘)) → ∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))))
445291, 444impbida 800 . 2 (𝜑 → (∃𝑏 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑏 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 𝑆 ↦ ((𝑏𝑗) · 𝑗)))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘)))
44614, 445bitrd 282 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁 𝑆) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵m 𝑆)(𝑎 finSupp 0𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘𝑆 (𝑎𝑘) ∈ 𝑘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wex 1781  wcel 2112  wral 3109  wrex 3110  Vcvv 3444  cdif 3881  cun 3882  cin 3883  wss 3884  c0 4246  {csn 4528   cuni 4803   ciun 4884  Disj wdisj 4998   class class class wbr 5033  cmpt 5113   × cxp 5521  ccnv 5522  dom cdm 5523  ran crn 5524  cres 5525  cima 5526  Fun wfun 6322   Fn wfn 6323  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139   supp csupp 7817  m cmap 8393  Fincfn 8496   finSupp cfsupp 8821  0cn0 11889  cz 11973  chash 13690  Basecbs 16478  .rcmulr 16561  0gc0g 16708   Σg cgsu 16709  Mndcmnd 17906  SubMndcsubmnd 17950  .gcmg 18219  SubGrpcsubg 18268  CMndccmn 18901  1rcur 19247  Ringcrg 19293   RingHom crh 19463  LIdealclidl 19938  RSpancrsp 19939  ringzring 20166  ℤRHomczrh 20196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-reg 9044  ax-inf2 9092  ax-ac2 9878  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-addf 10609  ax-mulf 10610
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-iin 4887  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-supp 7818  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-oadd 8093  df-er 8276  df-map 8395  df-ixp 8449  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-oi 8962  df-r1 9181  df-rank 9182  df-card 9356  df-ac 9531  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-7 11697  df-8 11698  df-9 11699  df-n0 11890  df-z 11974  df-dec 12091  df-uz 12236  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-seq 13369  df-hash 13691  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-starv 16575  df-sca 16576  df-vsca 16577  df-ip 16578  df-tset 16579  df-ple 16580  df-ds 16582  df-unif 16583  df-hom 16584  df-cco 16585  df-0g 16710  df-gsum 16711  df-prds 16716  df-pws 16718  df-mre 16852  df-mrc 16853  df-acs 16855  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-mhm 17951  df-submnd 17952  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-sbg 18103  df-mulg 18220  df-subg 18271  df-ghm 18351  df-cntz 18442  df-cmn 18903  df-abl 18904  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-cring 19296  df-rnghom 19466  df-subrg 19529  df-lmod 19632  df-lss 19700  df-lsp 19740  df-lmhm 19790  df-lbs 19843  df-sra 19940  df-rgmod 19941  df-lidl 19942  df-rsp 19943  df-nzr 20027  df-cnfld 20095  df-zring 20167  df-zrh 20200  df-dsmm 20424  df-frlm 20439  df-uvc 20475
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