Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | elrspunidl.n |
. . 3
⊢ 𝑁 = (RSpan‘𝑅) |
2 | | elrspunidl.b |
. . 3
⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅) |
3 | | elrspunidl.1 |
. . 3
⊢ 0 =
(0g‘𝑅) |
4 | | elrspunidl.x |
. . 3
⊢ · =
(.r‘𝑅) |
5 | | elrspunidl.r |
. . 3
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring) |
6 | | elrspunidl.i |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) |
7 | 6 | sselda 3888 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅)) |
8 | | eqid 2759 |
. . . . . . 7
⊢
(LIdeal‘𝑅) =
(LIdeal‘𝑅) |
9 | 2, 8 | lidlss 20036 |
. . . . . 6
⊢ (𝑖 ∈ (LIdeal‘𝑅) → 𝑖 ⊆ 𝐵) |
10 | 7, 9 | syl 17 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝑖 ⊆ 𝐵) |
11 | 10 | ralrimiva 3111 |
. . . 4
⊢ (𝜑 → ∀𝑖 ∈ 𝑆 𝑖 ⊆ 𝐵) |
12 | | unissb 4825 |
. . . 4
⊢ (∪ 𝑆
⊆ 𝐵 ↔
∀𝑖 ∈ 𝑆 𝑖 ⊆ 𝐵) |
13 | 11, 12 | sylibr 237 |
. . 3
⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆
⊆ 𝐵) |
14 | 1, 2, 3, 4, 5, 13 | elrsp 31075 |
. 2
⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘∪ 𝑆) ↔ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))))) |
15 | | fvexd 6666 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → (LIdeal‘𝑅) ∈ V) |
16 | 15, 6 | ssexd 5187 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ V) |
17 | 16 | uniexd 7459 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∪ 𝑆
∈ V) |
18 | | eluni2 4795 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↔ ∃𝑖 ∈
𝑆 𝑗 ∈ 𝑖) |
19 | 18 | biimpi 219 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
→ ∃𝑖 ∈
𝑆 𝑗 ∈ 𝑖) |
20 | 19 | adantl 486 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → ∃𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖) |
21 | 20 | ralrimiva 3111 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆∃𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖) |
22 | | eleq2 2839 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑖 = (𝑓‘𝑗) → (𝑗 ∈ 𝑖 ↔ 𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗))) |
23 | 22 | ac6sg 9933 |
. . . . . . . 8
⊢ (∪ 𝑆
∈ V → (∀𝑗
∈ ∪ 𝑆∃𝑖 ∈ 𝑆 𝑗 ∈ 𝑖 → ∃𝑓(𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆 ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)))) |
24 | 17, 21, 23 | sylc 65 |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → ∃𝑓(𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆 ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗))) |
25 | 24 | ad3antrrr 730 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → ∃𝑓(𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆 ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗))) |
26 | | simp-5l 785 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝜑) |
27 | 26 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝜑) |
28 | | ringcmn 19387 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ CMnd) |
29 | 27, 5, 28 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ CMnd) |
30 | | vex 3411 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑓 ∈ V |
31 | | cnvexg 7627 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑓 ∈ V → ◡𝑓 ∈ V) |
32 | | imaexg 7618 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (◡𝑓 ∈ V → (◡𝑓 “ {𝑖}) ∈ V) |
33 | 30, 31, 32 | mp2b 10 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (◡𝑓 “ {𝑖}) ∈ V |
34 | 33 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ∈ V) |
35 | 5 | ad7antr 738 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑅 ∈ Ring) |
36 | | elmapi 8431 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)
→ 𝑏:∪ 𝑆⟶𝐵) |
37 | 36 | ad7antlr 739 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑏:∪ 𝑆⟶𝐵) |
38 | | cnvimass 5914 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ dom 𝑓 |
39 | | fdm 6499 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑓:∪
𝑆⟶𝑆 → dom 𝑓 = ∪ 𝑆) |
40 | 38, 39 | sseqtrid 3940 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑓:∪
𝑆⟶𝑆 → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ∪ 𝑆) |
41 | 40 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ∪ 𝑆) |
42 | 41 | sselda 3888 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑙 ∈ ∪ 𝑆) |
43 | 37, 42 | ffvelrnd 6836 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → (𝑏‘𝑙) ∈ 𝐵) |
44 | 13 | ad7antr 738 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵) |
45 | 44, 42 | sseldd 3889 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑙 ∈ 𝐵) |
46 | 2, 4 | ringcl 19367 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏‘𝑙) ∈ 𝐵 ∧ 𝑙 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘𝑙) · 𝑙) ∈ 𝐵) |
47 | 35, 43, 45, 46 | syl3anc 1369 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏‘𝑙) · 𝑙) ∈ 𝐵) |
48 | | fveq2 6651 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑏‘𝑗) = (𝑏‘𝑙)) |
49 | | id 22 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 = 𝑙 → 𝑗 = 𝑙) |
50 | 48, 49 | oveq12d 7161 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑗 = 𝑙 → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = ((𝑏‘𝑙) · 𝑙)) |
51 | 50 | cbvmptv 5128 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑙) · 𝑙)) |
52 | 47, 51 | fmptd 6862 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)):(◡𝑓 “ {𝑖})⟶𝐵) |
53 | 34 | mptexd 6971 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ∈ V) |
54 | 52 | ffund 6495 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → Fun (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) |
55 | | simp-5r 786 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → 𝑏 finSupp 0 ) |
56 | | nfv 1916 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑗((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0
) |
57 | | nfcv 2917 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑗𝑅 |
58 | | nfcv 2917 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑗
Σg |
59 | | nfmpt1 5123 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
Ⅎ𝑗(𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) |
60 | 57, 58, 59 | nfov 7173 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
Ⅎ𝑗(𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) |
61 | 60 | nfeq2 2934 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
Ⅎ𝑗 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) |
62 | 56, 61 | nfan 1901 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑗(((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) |
63 | | nfv 1916 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑗 𝑓:∪
𝑆⟶𝑆 |
64 | 62, 63 | nfan 1901 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑗((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) |
65 | | nfra1 3145 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑗∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗) |
66 | 64, 65 | nfan 1901 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑗(((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) |
67 | | nfv 1916 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ 𝑆 |
68 | 66, 67 | nfan 1901 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑗((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) |
69 | | nfcv 2917 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑗(◡𝑓 “ {𝑖}) |
70 | | nfcv 2917 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑗(𝑏 supp 0 ) |
71 | 36 | ad7antlr 739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏:∪
𝑆⟶𝐵) |
72 | 71 | ffnd 6492 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn ∪
𝑆) |
73 | 26, 17 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ∪ 𝑆 ∈ V) |
74 | 73 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ∪ 𝑆
∈ V) |
75 | 3 | fvexi 6665 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ 0 ∈
V |
76 | 75 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈
V) |
77 | 41 | ssdifd 4042 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 )) ⊆ (∪ 𝑆
∖ (𝑏 supp 0
))) |
78 | 77 | sselda 3888 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ (∪ 𝑆
∖ (𝑏 supp 0
))) |
79 | 72, 74, 76, 78 | fvdifsupp 30527 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏‘𝑗) = 0 ) |
80 | 79 | oveq1d 7158 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗)) |
81 | 5 | ad7antr 738 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑅 ∈ Ring) |
82 | 13 | ad7antr 738 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ∪ 𝑆
⊆ 𝐵) |
83 | 78 | eldifad 3866 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) |
84 | 82, 83 | sseldd 3889 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ 𝐵) |
85 | 2, 4, 3 | ringlz 19393 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ( 0 · 𝑗) = 0 ) |
86 | 81, 84, 85 | syl2anc 588 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 ) |
87 | 80, 86 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑖}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = 0 ) |
88 | 68, 69, 70, 87, 34 | suppss2f 30481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → ((𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 )) |
89 | | fsuppsssupp 8867 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 ) |
90 | 53, 54, 55, 88, 89 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 ) |
91 | 2, 3, 29, 34, 52, 90 | gsumcl 19088 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ∈ 𝐵) |
92 | 91 | fmpttd 6863 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))):𝑆⟶𝐵) |
93 | 2 | fvexi 6665 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝐵 ∈ V |
94 | 93 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V) |
95 | 94, 16 | elmapd 8423 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝜑 → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) ↔ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))):𝑆⟶𝐵)) |
96 | 95 | biimpar 482 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝜑 ∧ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))):𝑆⟶𝐵) → (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) |
97 | 26, 92, 96 | syl2anc 588 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) |
98 | | breq1 5028 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → (𝑎 finSupp 0 ↔ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 )) |
99 | | oveq2 7151 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → (𝑅 Σg 𝑎) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))))) |
100 | 99 | eqeq2d 2770 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → (𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))))) |
101 | | fveq1 6650 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → (𝑎‘𝑘) = ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘)) |
102 | 101 | eleq1d 2835 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → ((𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘 ↔ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)) |
103 | 102 | ralbidv 3124 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → (∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝑆 ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)) |
104 | 98, 100, 103 | 3anbi123d 1434 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘))) |
105 | 104 | adantl 486 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑎 = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) → ((𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ↔ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘))) |
106 | 26, 16 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑆 ∈ V) |
107 | 106 | mptexd 6971 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∈ V) |
108 | 75 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 0 ∈ V) |
109 | | funmpt 6366 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ Fun
(𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) |
110 | 109 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → Fun (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) |
111 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) |
112 | 111 | ffund 6495 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → Fun 𝑓) |
113 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑏 finSupp 0 ) |
114 | 113 | fsuppimpd 8858 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑏 supp 0 ) ∈
Fin) |
115 | | imafi 8835 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((Fun
𝑓 ∧ (𝑏 supp 0 ) ∈ Fin) →
(𝑓 “ (𝑏 supp 0 )) ∈
Fin) |
116 | 112, 114,
115 | syl2anc 588 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )) ∈
Fin) |
117 | | nfv 1916 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
Ⅎ𝑗 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))) |
118 | 66, 117 | nfan 1901 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑗((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) |
119 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑓:∪
𝑆⟶𝑆) |
120 | 119 | ffund 6495 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → Fun 𝑓) |
121 | | snssi 4691 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))) → {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) |
122 | 121 | adantl 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) |
123 | | sspreima 30489 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((Fun
𝑓 ∧ {𝑖} ⊆ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ (◡𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))) |
124 | 120, 122,
123 | syl2anc 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ (◡𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))) |
125 | | difpreima 6819 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ (Fun
𝑓 → (◡𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) = ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))) |
126 | 120, 125 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) = ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))) |
127 | 124, 126 | sseqtrd 3928 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))))) |
128 | | suppssdm 7844 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ (𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑏 |
129 | 36 | ad6antlr 737 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑏:∪
𝑆⟶𝐵) |
130 | 128, 129 | fssdm 6508 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ ∪ 𝑆) |
131 | 119 | fdmd 6501 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → dom 𝑓 = ∪
𝑆) |
132 | 130, 131 | sseqtrrd 3929 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓) |
133 | | sseqin2 4116 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
⊢ ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 ↔ (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) = (𝑏 supp 0 )) |
134 | 133 | biimpi 219 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → (dom 𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) = (𝑏 supp 0 )) |
135 | | dminss 5975 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
⊢ (dom
𝑓 ∩ (𝑏 supp 0 )) ⊆ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))) |
136 | 134, 135 | eqsstrrdi 3943 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
⊢ ((𝑏 supp 0 ) ⊆ dom 𝑓 → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) |
137 | 132, 136 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) |
138 | 137 | sscond 4043 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (◡𝑓 “ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ⊆ ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 ))) |
139 | 127, 138 | sstrd 3898 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 ))) |
140 | | fimacnv 6823 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ (𝑓:∪
𝑆⟶𝑆 → (◡𝑓 “ 𝑆) = ∪ 𝑆) |
141 | 119, 140 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ 𝑆) = ∪ 𝑆) |
142 | 141 | difeq1d 4023 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → ((◡𝑓 “ 𝑆) ∖ (𝑏 supp 0 )) = (∪ 𝑆
∖ (𝑏 supp 0
))) |
143 | 139, 142 | sseqtrd 3928 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ (∪
𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) |
144 | 143 | sselda 3888 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) |
145 | | ssidd 3911 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑏 supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 )) |
146 | 73 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → ∪ 𝑆
∈ V) |
147 | 75 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 0 ∈
V) |
148 | 129, 145,
146, 147 | suppssr 7863 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆
∖ (𝑏 supp 0 ))) →
(𝑏‘𝑗) = 0 ) |
149 | 144, 148 | syldan 595 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → (𝑏‘𝑗) = 0 ) |
150 | 149 | oveq1d 7158 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗)) |
151 | 5 | ad7antr 738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑅 ∈ Ring) |
152 | 13 | ad7antr 738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵) |
153 | 40 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (◡𝑓 “ {𝑖}) ⊆ ∪ 𝑆) |
154 | 153 | sselda 3888 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) |
155 | 152, 154 | sseldd 3889 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → 𝑗 ∈ 𝐵) |
156 | 151, 155,
85 | syl2anc 588 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → ( 0 · 𝑗) = 0 ) |
157 | 150, 156 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) ∧ 𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖})) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = 0 ) |
158 | 118, 157 | mpteq2da 5119 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )) |
159 | 158 | oveq2d 7159 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg
(𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 ))) |
160 | 5, 28 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ CMnd) |
161 | 160 | cmnmndd 18981 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Mnd) |
162 | 161 | ad6antr 736 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → 𝑅 ∈ Mnd) |
163 | 3 | gsumz 18051 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑅 ∈ Mnd ∧ (◡𝑓 “ {𝑖}) ∈ V) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )) = 0 ) |
164 | 162, 33, 163 | sylancl 590 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg
(𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ 0 )) = 0 ) |
165 | 159, 164 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ (𝑆 ∖ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 )))) → (𝑅 Σg
(𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) = 0 ) |
166 | 165, 106 | suppss2 7867 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ⊆ (𝑓 “ (𝑏 supp 0 ))) |
167 | 116, 166 | ssfid 8755 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈
Fin) |
168 | | isfsupp 8855 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ↔ (Fun (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈
Fin))) |
169 | 168 | biimpar 482 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∈ V ∧ 0 ∈ V) ∧ (Fun
(𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) supp 0 ) ∈ Fin)) →
(𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ) |
170 | 107, 108,
110, 167, 169 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ) |
171 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) |
172 | 26, 160 | syl 17 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑅 ∈ CMnd) |
173 | 5 | ad6antr 736 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring) |
174 | 36 | ad5antlr 735 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑏:∪ 𝑆⟶𝐵) |
175 | 174 | ffvelrnda 6835 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → (𝑏‘𝑗) ∈ 𝐵) |
176 | 26, 13 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵) |
177 | 176 | sselda 3888 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → 𝑗 ∈ 𝐵) |
178 | 2, 4 | ringcl 19367 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑏‘𝑗) ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵) |
179 | 173, 175,
177, 178 | syl3anc 1369 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵) |
180 | | eqid 2759 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) |
181 | 66, 179, 180 | fmptdf 6865 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)):∪ 𝑆⟶𝐵) |
182 | 73 | mptexd 6971 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ∈ V) |
183 | | funmpt 6366 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ Fun
(𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) |
184 | 183 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → Fun (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) |
185 | | nfcv 2917 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
Ⅎ𝑗∪ 𝑆 |
186 | 174 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏:∪
𝑆⟶𝐵) |
187 | 186 | ffnd 6492 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn ∪
𝑆) |
188 | 73 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ∪ 𝑆
∈ V) |
189 | 75 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈
V) |
190 | | simpr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ (∪ 𝑆
∖ (𝑏 supp 0
))) |
191 | 187, 188,
189, 190 | fvdifsupp 30527 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏‘𝑗) = 0 ) |
192 | 191 | oveq1d 7158 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗)) |
193 | 5 | ad6antr 736 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑅 ∈ Ring) |
194 | 176 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ∪ 𝑆
⊆ 𝐵) |
195 | 190 | eldifad 3866 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) |
196 | 194, 195 | sseldd 3889 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ 𝐵) |
197 | 193, 196,
85 | syl2anc 588 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 ) |
198 | 192, 197 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = 0 ) |
199 | 66, 185, 70, 198, 73 | suppss2f 30481 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 )) |
200 | | fsuppsssupp 8867 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 ) |
201 | 182, 184,
113, 199, 200 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 ) |
202 | | sndisj 5016 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
Disj 𝑖 ∈
𝑆 {𝑖} |
203 | | disjpreima 30430 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((Fun
𝑓 ∧ Disj 𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖}) → Disj 𝑖 ∈ 𝑆 (◡𝑓 “ {𝑖})) |
204 | 112, 202,
203 | sylancl 590 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → Disj 𝑖 ∈ 𝑆 (◡𝑓 “ {𝑖})) |
205 | | iunid 4942 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ∪ 𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖} = 𝑆 |
206 | 205 | imaeq2i 5892 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (◡𝑓 “ ∪
𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖}) = (◡𝑓 “ 𝑆) |
207 | | iunpreima 30411 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (Fun
𝑓 → (◡𝑓 “ ∪
𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖}) = ∪
𝑖 ∈ 𝑆 (◡𝑓 “ {𝑖})) |
208 | 112, 207 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (◡𝑓 “ ∪
𝑖 ∈ 𝑆 {𝑖}) = ∪
𝑖 ∈ 𝑆 (◡𝑓 “ {𝑖})) |
209 | 140 | ad2antlr 727 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (◡𝑓 “ 𝑆) = ∪ 𝑆) |
210 | 206, 208,
209 | 3eqtr3a 2818 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ∪
𝑖 ∈ 𝑆 (◡𝑓 “ {𝑖}) = ∪ 𝑆) |
211 | 2, 3, 172, 73, 106, 181, 201, 204, 210 | gsumpart 30826 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ↾ (◡𝑓 “ {𝑖})))))) |
212 | 41 | resmptd 5873 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ↾ (◡𝑓 “ {𝑖})) = (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) |
213 | 212 | oveq2d 7159 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ↾ (◡𝑓 “ {𝑖}))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) |
214 | 213 | mpteq2dva 5120 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ↾ (◡𝑓 “ {𝑖})))) = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) |
215 | 214 | oveq2d 7159 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg ((𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ↾ (◡𝑓 “ {𝑖}))))) = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))))) |
216 | 171, 211,
215 | 3eqtrd 2798 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))))) |
217 | | eqid 2759 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) = (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) |
218 | | simpr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → 𝑖 = 𝑘) |
219 | 218 | sneqd 4527 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → {𝑖} = {𝑘}) |
220 | 219 | imaeq2d 5894 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (◡𝑓 “ {𝑖}) = (◡𝑓 “ {𝑘})) |
221 | 220 | mpteq1d 5114 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) |
222 | 221 | oveq2d 7159 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑖 = 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) |
223 | | simpr 489 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ 𝑆) |
224 | | ovexd 7178 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ∈ V) |
225 | 217, 222,
223, 224 | fvmptd2 6760 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) |
226 | 160 | ad6antr 736 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ CMnd) |
227 | 30 | cnvex 7628 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ◡𝑓 ∈ V |
228 | 227 | imaex 7619 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (◡𝑓 “ {𝑘}) ∈ V |
229 | 228 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (◡𝑓 “ {𝑘}) ∈ V) |
230 | 5 | ad6antr 736 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring) |
231 | 26, 6 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → 𝑆 ⊆ (LIdeal‘𝑅)) |
232 | 231 | sselda 3888 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) |
233 | 8 | lidlsubg 20041 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑘 ∈ (SubGrp‘𝑅)) |
234 | | subgsubm 18353 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑘 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅)) |
235 | 233, 234 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅)) |
236 | 230, 232,
235 | syl2anc 588 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ∈ (SubMnd‘𝑅)) |
237 | 230 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑅 ∈ Ring) |
238 | 232 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) |
239 | 36 | ad7antlr 739 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑏:∪ 𝑆⟶𝐵) |
240 | | cnvimass 5914 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (◡𝑓 “ {𝑘}) ⊆ dom 𝑓 |
241 | 240, 39 | sseqtrid 3940 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑓:∪
𝑆⟶𝑆 → (◡𝑓 “ {𝑘}) ⊆ ∪ 𝑆) |
242 | 241 | ad3antlr 731 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (◡𝑓 “ {𝑘}) ⊆ ∪ 𝑆) |
243 | 242 | sselda 3888 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙 ∈ ∪ 𝑆) |
244 | 239, 243 | ffvelrnd 6836 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → (𝑏‘𝑙) ∈ 𝐵) |
245 | | fveq2 6651 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑓‘𝑗) = (𝑓‘𝑙)) |
246 | 49, 245 | eleq12d 2845 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑗 = 𝑙 → (𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗) ↔ 𝑙 ∈ (𝑓‘𝑙))) |
247 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) |
248 | 246, 247,
243 | rspcdva 3541 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙 ∈ (𝑓‘𝑙)) |
249 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) |
250 | 249 | ffnd 6492 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑓 Fn ∪ 𝑆) |
251 | | elpreima 6812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑓 Fn ∪
𝑆 → (𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↔ (𝑙 ∈ ∪ 𝑆 ∧ (𝑓‘𝑙) ∈ {𝑘}))) |
252 | 251 | biimpa 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑓 Fn ∪
𝑆 ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → (𝑙 ∈ ∪ 𝑆 ∧ (𝑓‘𝑙) ∈ {𝑘})) |
253 | | elsni 4532 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑓‘𝑙) ∈ {𝑘} → (𝑓‘𝑙) = 𝑘) |
254 | 252, 253 | simpl2im 508 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑓 Fn ∪
𝑆 ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → (𝑓‘𝑙) = 𝑘) |
255 | 250, 254 | sylancom 592 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → (𝑓‘𝑙) = 𝑘) |
256 | 248, 255 | eleqtrd 2853 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → 𝑙 ∈ 𝑘) |
257 | 8, 2, 4 | lidlmcl 20043 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑘 ∈ (LIdeal‘𝑅)) ∧ ((𝑏‘𝑙) ∈ 𝐵 ∧ 𝑙 ∈ 𝑘)) → ((𝑏‘𝑙) · 𝑙) ∈ 𝑘) |
258 | 237, 238,
244, 256, 257 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘})) → ((𝑏‘𝑙) · 𝑙) ∈ 𝑘) |
259 | 50 | cbvmptv 5128 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑙 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑙) · 𝑙)) |
260 | 258, 259 | fmptd 6862 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)):(◡𝑓 “ {𝑘})⟶𝑘) |
261 | 229 | mptexd 6971 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ∈ V) |
262 | 260 | ffund 6495 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → Fun (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) |
263 | | simp-5r 786 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑏 finSupp 0 ) |
264 | | nfv 1916 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
Ⅎ𝑗 𝑘 ∈ 𝑆 |
265 | 66, 264 | nfan 1901 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑗((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) |
266 | | nfcv 2917 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
Ⅎ𝑗(◡𝑓 “ {𝑘}) |
267 | 36 | ad7antlr 739 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏:∪
𝑆⟶𝐵) |
268 | 267 | ffnd 6492 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑏 Fn ∪
𝑆) |
269 | 73 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ∪ 𝑆
∈ V) |
270 | 75 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 0 ∈
V) |
271 | 242 | ssdifd 4042 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 )) ⊆ (∪ 𝑆
∖ (𝑏 supp 0
))) |
272 | 271 | sselda 3888 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ (∪ 𝑆
∖ (𝑏 supp 0
))) |
273 | 268, 269,
270, 272 | fvdifsupp 30527 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑏‘𝑗) = 0 ) |
274 | 273 | oveq1d 7158 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗)) |
275 | 13 | ad7antr 738 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ∪ 𝑆
⊆ 𝐵) |
276 | 272 | eldifad 3866 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) |
277 | 275, 276 | sseldd 3889 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → 𝑗 ∈ 𝐵) |
278 | 230, 277,
85 | syl2an2r 685 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ( 0 · 𝑗) = 0 ) |
279 | 274, 278 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ 𝑗 ∈ ((◡𝑓 “ {𝑘}) ∖ (𝑏 supp 0 ))) → ((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = 0 ) |
280 | 265, 266,
70, 279, 229 | suppss2f 30481 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 )) |
281 | | fsuppsssupp 8867 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) ∈ V ∧ Fun (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ ((𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) supp 0 ) ⊆ (𝑏 supp 0 ))) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 ) |
282 | 261, 262,
263, 280, 281 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) finSupp 0 ) |
283 | 3, 226, 229, 236, 260, 282 | gsumsubmcl 19092 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑘}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ∈ 𝑘) |
284 | 225, 283 | eqeltrd 2851 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘) |
285 | 284 | ralrimiva 3111 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ∀𝑘 ∈ 𝑆 ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘) |
286 | 170, 216,
285 | 3jca 1126 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 ((𝑖 ∈ 𝑆 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (◡𝑓 “ {𝑖}) ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))‘𝑘) ∈ 𝑘)) |
287 | 97, 105, 286 | rspcedvd 3542 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ 𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆) ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗)) → ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘)) |
288 | 287 | anasss 471 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ∧ (𝑓:∪ 𝑆⟶𝑆 ∧ ∀𝑗 ∈ ∪ 𝑆𝑗 ∈ (𝑓‘𝑗))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘)) |
289 | 25, 288 | exlimddv 1937 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ 𝑏 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘)) |
290 | 289 | anasss 471 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆))
∧ (𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘)) |
291 | 290 | r19.29an 3210 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) → ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘)) |
292 | 5 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑅 ∈ Ring) |
293 | 292 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring) |
294 | | eqid 2759 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(ℤRHom‘𝑅) = (ℤRHom‘𝑅) |
295 | 294 | zrhrhm 20266 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑅 ∈ Ring →
(ℤRHom‘𝑅)
∈ (ℤring RingHom 𝑅)) |
296 | | zringbas 20229 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ℤ =
(Base‘ℤring) |
297 | 296, 2 | rhmf 19534 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((ℤRHom‘𝑅) ∈ (ℤring RingHom
𝑅) →
(ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶𝐵) |
298 | 293, 295,
297 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) →
(ℤRHom‘𝑅):ℤ⟶𝐵) |
299 | | simp-5r 786 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) |
300 | 75 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 0 ∈
V) |
301 | | ssv 3912 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ran 𝑎 ⊆ V |
302 | | ssdif 4041 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (ran
𝑎 ⊆ V → (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ (V
∖ { 0 })) |
303 | 301, 302 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ (V
∖ { 0 }) |
304 | 303 | sseli 3884 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) → 𝑚 ∈ (V ∖ { 0
})) |
305 | 304 | adantl 486 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑚 ∈ (V ∖ { 0
})) |
306 | | simp-4r 784 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 finSupp 0 ) |
307 | 299, 300,
305, 306 | fsuppinisegfi 30530 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (◡𝑎 “ {𝑚}) ∈ Fin) |
308 | | hashcl 13752 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((◡𝑎 “ {𝑚}) ∈ Fin → (♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})) ∈
ℕ0) |
309 | 307, 308 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) →
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})) ∈
ℕ0) |
310 | 309 | nn0zd 12109 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) →
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})) ∈ ℤ) |
311 | 298, 310 | ffvelrnd 6836 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) →
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚}))) ∈ 𝐵) |
312 | | eqid 2759 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) = (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) |
313 | 311, 312 | fmptd 6862 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))):(ran 𝑎 ∖ { 0 })⟶𝐵) |
314 | 2, 3 | ring0cl 19375 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑅 ∈ Ring → 0 ∈ 𝐵) |
315 | | fconst6g 6546 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ( 0 ∈ 𝐵 → ((∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
× { 0 }):(∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0
}))⟶𝐵) |
316 | 292, 314,
315 | 3syl 18 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }):(∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0
}))⟶𝐵) |
317 | | disjdif 4361 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((ran
𝑎 ∖ { 0 }) ∩
(∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) =
∅ |
318 | 317 | a1i 11 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))) =
∅) |
319 | 313, 316,
318 | fun2d 6520 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):((ran
𝑎 ∖ { 0 }) ∪
(∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))⟶𝐵) |
320 | | simplll 775 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆))) |
321 | 94, 16 | elmapd 8423 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → (𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆) ↔ 𝑎:𝑆⟶𝐵)) |
322 | 321 | biimpa 481 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) → 𝑎:𝑆⟶𝐵) |
323 | 320, 322 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎:𝑆⟶𝐵) |
324 | 323 | ffnd 6492 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 Fn 𝑆) |
325 | | elssuni 4823 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑘 ∈ 𝑆 → 𝑘 ⊆ ∪ 𝑆) |
326 | 325 | adantl 486 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → 𝑘 ⊆ ∪ 𝑆) |
327 | 326 | sseld 3887 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) → ((𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘 → (𝑎‘𝑘) ∈ ∪ 𝑆)) |
328 | 327 | ralimdva 3106 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) → (∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘 → ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ ∪ 𝑆)) |
329 | 328 | imp 411 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ ∪ 𝑆) |
330 | | fnfvrnss 6868 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑎 Fn 𝑆 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ ∪ 𝑆) → ran 𝑎 ⊆ ∪ 𝑆) |
331 | 324, 329,
330 | syl2anc 588 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ran 𝑎 ⊆ ∪ 𝑆) |
332 | 331 | ssdifssd 4044 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ ∪ 𝑆) |
333 | | undif 4371 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((ran
𝑎 ∖ { 0 }) ⊆
∪ 𝑆 ↔ ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))) =
∪ 𝑆) |
334 | 332, 333 | sylib 221 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∪ (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))) =
∪ 𝑆) |
335 | 334 | feq2d 6477 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):((ran
𝑎 ∖ { 0 }) ∪
(∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })))⟶𝐵 ↔ ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):∪ 𝑆⟶𝐵)) |
336 | 319, 335 | mpbid 235 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):∪ 𝑆⟶𝐵) |
337 | 93 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝐵 ∈ V) |
338 | 17 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ∪ 𝑆 ∈ V) |
339 | 337, 338 | elmapd 8423 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈
(𝐵 ↑m ∪ 𝑆)
↔ ((𝑚 ∈ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })):∪ 𝑆⟶𝐵)) |
340 | 336, 339 | mpbird 260 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈
(𝐵 ↑m ∪ 𝑆)) |
341 | | breq1 5028 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) →
(𝑏 finSupp 0 ↔
((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp
0
)) |
342 | | fveq1 6650 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) →
(𝑏‘𝑗) = (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗)) |
343 | 342 | oveq1d 7158 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) →
((𝑏‘𝑗) · 𝑗) = ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗)) |
344 | 343 | mpteq2dv 5121 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) →
(𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗))) |
345 | 344 | oveq2d 7159 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) →
(𝑅
Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆 ↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((((𝑚 ∈ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗)))) |
346 | 345 | eqeq2d 2770 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) →
(𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))) ↔ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((((𝑚 ∈ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗))))) |
347 | 341, 346 | anbi12d 634 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) →
((𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ↔ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp
0 ∧
𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((((𝑚 ∈ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗)))))) |
348 | 347 | adantl 486 |
. . . . . . 7
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑏 = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }))) →
((𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ↔ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp
0 ∧
𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((((𝑚 ∈ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗)))))) |
349 | 319 | ffund 6495 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → Fun ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))) |
350 | 340 | elexd 3429 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈
V) |
351 | 75 | a1i 11 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 0 ∈ V) |
352 | 323 | ffund 6495 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → Fun 𝑎) |
353 | 320 | simprd 500 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) |
354 | | simpllr 776 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑎 finSupp 0 ) |
355 | | fsupprnfi 30535 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((Fun
𝑎 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → ran 𝑎 ∈ Fin) |
356 | | diffi 8764 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (ran
𝑎 ∈ Fin → (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ∈
Fin) |
357 | 355, 356 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((Fun
𝑎 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ ( 0 ∈ V ∧ 𝑎 finSupp 0 )) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∈
Fin) |
358 | 352, 353,
351, 354, 357 | syl22anc 838 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∈
Fin) |
359 | 313, 358,
351 | fdmfifsupp 8861 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) finSupp 0 ) |
360 | 13 | ssdifssd 4044 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝜑 → (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
⊆ 𝐵) |
361 | 360 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ⊆ 𝐵) |
362 | 337, 361 | ssexd 5187 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) ∈
V) |
363 | 362, 351 | fczfsuppd 8869 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) finSupp
0
) |
364 | 359, 363 | fsuppun 8870 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp
0 )
∈ Fin) |
365 | | funisfsupp 8856 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((Fun
((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∧
((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ V
∧ 0
∈ V) → (((𝑚
∈ (ran 𝑎 ∖ {
0 })
↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp
0 ↔
(((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp
0 )
∈ Fin)) |
366 | 365 | biimpar 482 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((Fun
((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∧
((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) ∈ V
∧ 0
∈ V) ∧ (((𝑚 ∈
(ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) supp
0 )
∈ Fin) → ((𝑚
∈ (ran 𝑎 ∖ {
0 })
↦ ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp
0
) |
367 | 349, 350,
351, 364, 366 | syl31anc 1371 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp
0
) |
368 | | fvex 6664 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚}))) ∈ V |
369 | 368, 312 | fnmpti 6467 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 }) |
370 | 369 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 })) |
371 | | fnconstg 6545 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ( 0 ∈ V
→ ((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 }) Fn (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0
}))) |
372 | 75, 371 | ax-mp 5 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
× { 0 }) Fn (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0
})) |
373 | 372 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
× { 0 }) Fn (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0
}))) |
374 | 317 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))) =
∅) |
375 | | simpr 489 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) |
376 | 370, 373,
374, 375 | fvun1d 6738 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) = ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚}))))‘𝑗)) |
377 | | sneq 4525 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑚 = 𝑗 → {𝑚} = {𝑗}) |
378 | 377 | imaeq2d 5894 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑚 = 𝑗 → (◡𝑎 “ {𝑚}) = (◡𝑎 “ {𝑗})) |
379 | 378 | fveq2d 6655 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝑚 = 𝑗 → (♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})) = (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) |
380 | 379 | fveq2d 6655 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑚 = 𝑗 → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚}))) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})))) |
381 | | fvexd 6666 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) →
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) ∈ V) |
382 | 312, 380,
375, 381 | fvmptd3 6775 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚}))))‘𝑗) = ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})))) |
383 | 376, 382 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) =
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})))) |
384 | 383 | oveq1d 7158 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗) = (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗)) |
385 | 384 | mpteq2dva 5120 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
(((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))) |
386 | 385 | oveq2d 7159 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
(((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗)))) |
387 | 292, 28 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑅 ∈ CMnd) |
388 | 317 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∩ (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))) =
∅) |
389 | | fvun2 6737 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) Fn (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ∧ ((∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
× { 0 }) Fn (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
∧ (((ran 𝑎 ∖ {
0 })
∩ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))))
→ (((𝑚 ∈ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) = (((∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
× { 0 })‘𝑗)) |
390 | 369, 372,
389 | mp3an12 1449 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((ran
𝑎 ∖ { 0 }) ∩
(∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) = ∅ ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 })))
→ (((𝑚 ∈ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) = (((∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
× { 0 })‘𝑗)) |
391 | 388, 390 | sylancom 592 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) = (((∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
× { 0 })‘𝑗)) |
392 | 75 | fvconst2 6950 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑗 ∈ (∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
→ (((∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
})‘𝑗) = 0
) |
393 | 392 | adantl 486 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((∪ 𝑆
∖ (ran 𝑎 ∖ {
0 }))
× { 0 })‘𝑗) = 0 ) |
394 | 391, 393 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) = 0
) |
395 | 394 | oveq1d 7158 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗) = ( 0 · 𝑗)) |
396 | 361 | sselda 3888 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → 𝑗 ∈ 𝐵) |
397 | 292, 396,
85 | syl2an2r 685 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ( 0 · 𝑗) = 0 ) |
398 | 395, 397 | eqtrd 2794 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (∪ 𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 }))) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗) = 0 ) |
399 | 292 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring) |
400 | 336 | ffvelrnda 6835 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) ∈ 𝐵) |
401 | 13 | ad4antr 732 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ∪ 𝑆 ⊆ 𝐵) |
402 | 401 | sselda 3888 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → 𝑗 ∈ 𝐵) |
403 | 2, 4 | ringcl 19367 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) ∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵) |
404 | 399, 400,
402, 403 | syl3anc 1369 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ ∪ 𝑆) → ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗) ∈ 𝐵) |
405 | 2, 3, 387, 338, 398, 358, 404, 332 | gsummptres2 30824 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((((𝑚 ∈ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦ ((((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗)))) |
406 | | eqid 2759 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(.g‘𝑅) = (.g‘𝑅) |
407 | 2, 3, 406, 387, 323, 354 | gsumhashmul 30827 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg 𝑎) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)𝑗)))) |
408 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) |
409 | 292 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑅 ∈ Ring) |
410 | 353 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) |
411 | 75 | a1i 11 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 0 ∈
V) |
412 | 303, 375 | sseldi 3886 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ (V ∖ { 0
})) |
413 | 354 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑎 finSupp 0 ) |
414 | 410, 411,
412, 413 | fsuppinisegfi 30530 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → (◡𝑎 “ {𝑗}) ∈ Fin) |
415 | | hashcl 13752 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((◡𝑎 “ {𝑗}) ∈ Fin → (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈
ℕ0) |
416 | 414, 415 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) →
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈
ℕ0) |
417 | 416 | nn0zd 12109 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) →
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) |
418 | 332, 401 | sstrd 3898 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ⊆ 𝐵) |
419 | 418 | sselda 3888 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) → 𝑗 ∈ 𝐵) |
420 | | eqid 2759 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢
(1r‘𝑅) = (1r‘𝑅) |
421 | 294, 406,
420 | zrhmulg 20264 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) →
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) |
422 | 421 | adantr 485 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅))) |
423 | 422 | oveq1d 7158 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = (((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) · 𝑗)) |
424 | | simpll 767 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring) |
425 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) |
426 | 2, 420 | ringidcl 19374 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝑅 ∈ Ring →
(1r‘𝑅)
∈ 𝐵) |
427 | 426 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐵) |
428 | | simpr 489 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → 𝑗 ∈ 𝐵) |
429 | 2, 406, 4 | mulgass2 19407 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧
((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ ∧
(1r‘𝑅)
∈ 𝐵 ∧ 𝑗 ∈ 𝐵)) → (((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) · 𝑗) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)((1r‘𝑅) · 𝑗))) |
430 | 424, 425,
427, 428, 429 | syl13anc 1370 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)(1r‘𝑅)) · 𝑗) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)((1r‘𝑅) · 𝑗))) |
431 | 2, 4, 420 | ringlidm 19377 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑗) = 𝑗) |
432 | 424, 431 | sylancom 592 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑗) = 𝑗) |
433 | 432 | oveq2d 7159 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)((1r‘𝑅) · 𝑗)) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)𝑗)) |
434 | 423, 430,
433 | 3eqtrd 2798 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧
(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗})) ∈ ℤ) ∧ 𝑗 ∈ 𝐵) → (((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)𝑗)) |
435 | 409, 417,
419, 434 | syl21anc 837 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) ∧ 𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) →
(((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗) = ((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)𝑗)) |
436 | 435 | mpteq2dva 5120 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
(((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗)) = (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)𝑗))) |
437 | 436 | oveq2d 7159 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
(((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗))) = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))(.g‘𝑅)𝑗)))) |
438 | 407, 408,
437 | 3eqtr4d 2804 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
(((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑗}))) · 𝑗)))) |
439 | 386, 405,
438 | 3eqtr4rd 2805 |
. . . . . . . 8
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((((𝑚 ∈ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗)))) |
440 | 367, 439 | jca 516 |
. . . . . . 7
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → (((𝑚 ∈ (ran 𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0 })) finSupp
0 ∧
𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((((𝑚 ∈ (ran
𝑎 ∖ { 0 }) ↦
((ℤRHom‘𝑅)‘(♯‘(◡𝑎 “ {𝑚})))) ∪ ((∪
𝑆 ∖ (ran 𝑎 ∖ { 0 })) × { 0
}))‘𝑗) · 𝑗))))) |
441 | 340, 348,
440 | rspcedvd 3542 |
. . . . . 6
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ 𝑎 finSupp 0 ) ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎)) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) |
442 | 441 | exp41 439 |
. . . . 5
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) → (𝑎 finSupp 0 → (𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) → (∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘 → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))))))) |
443 | 442 | 3imp2 1347 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)) ∧ (𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘)) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) |
444 | 443 | r19.29an 3210 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘)) → ∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗))))) |
445 | 291, 444 | impbida 801 |
. 2
⊢ (𝜑 → (∃𝑏 ∈ (𝐵 ↑m ∪ 𝑆)(𝑏 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg (𝑗 ∈ ∪ 𝑆
↦ ((𝑏‘𝑗) · 𝑗)))) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘))) |
446 | 14, 445 | bitrd 282 |
1
⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑁‘∪ 𝑆) ↔ ∃𝑎 ∈ (𝐵 ↑m 𝑆)(𝑎 finSupp 0 ∧ 𝑋 = (𝑅 Σg 𝑎) ∧ ∀𝑘 ∈ 𝑆 (𝑎‘𝑘) ∈ 𝑘))) |