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Theorem imambfm 31642
 Description: If the sigma-algebra in the range of a given function is generated by a collection of basic sets 𝐾, then to check the measurability of that function, we need only consider inverse images of basic sets 𝑎. (Contributed by Thierry Arnoux, 4-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
imambfm.1 (𝜑𝐾 ∈ V)
imambfm.2 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
imambfm.3 (𝜑𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
Assertion
Ref Expression
imambfm (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)))
Distinct variable groups:   𝐹,𝑎   𝐾,𝑎   𝑆,𝑎   𝑇,𝑎   𝜑,𝑎

Proof of Theorem imambfm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 imambfm.2 . . . . 5 (𝜑𝑆 ran sigAlgebra)
21adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) → 𝑆 ran sigAlgebra)
3 imambfm.3 . . . . . 6 (𝜑𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
4 imambfm.1 . . . . . . 7 (𝜑𝐾 ∈ V)
54sgsiga 31523 . . . . . 6 (𝜑 → (sigaGen‘𝐾) ∈ ran sigAlgebra)
63, 5eqeltrd 2890 . . . . 5 (𝜑𝑇 ran sigAlgebra)
76adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) → 𝑇 ran sigAlgebra)
8 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))
92, 7, 8mbfmf 31635 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) → 𝐹: 𝑆 𝑇)
101ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) ∧ 𝑎𝐾) → 𝑆 ran sigAlgebra)
116ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) ∧ 𝑎𝐾) → 𝑇 ran sigAlgebra)
12 simplr 768 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) ∧ 𝑎𝐾) → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))
13 sssigagen 31526 . . . . . . . . 9 (𝐾 ∈ V → 𝐾 ⊆ (sigaGen‘𝐾))
144, 13syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝐾 ⊆ (sigaGen‘𝐾))
1514, 3sseqtrrd 3956 . . . . . . 7 (𝜑𝐾𝑇)
1615ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) ∧ 𝑎𝐾) → 𝐾𝑇)
17 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) ∧ 𝑎𝐾) → 𝑎𝐾)
1816, 17sseldd 3916 . . . . 5 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) ∧ 𝑎𝐾) → 𝑎𝑇)
1910, 11, 12, 18mbfmcnvima 31637 . . . 4 (((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) ∧ 𝑎𝐾) → (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
2019ralrimiva 3149 . . 3 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) → ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
219, 20jca 515 . 2 ((𝜑𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇)) → (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆))
22 unielsiga 31509 . . . . . 6 (𝑇 ran sigAlgebra → 𝑇𝑇)
236, 22syl 17 . . . . 5 (𝜑 𝑇𝑇)
2423adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝑇𝑇)
25 unielsiga 31509 . . . . . 6 (𝑆 ran sigAlgebra → 𝑆𝑆)
261, 25syl 17 . . . . 5 (𝜑 𝑆𝑆)
2726adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝑆𝑆)
28 simprl 770 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝐹: 𝑆 𝑇)
29 elmapg 8404 . . . . 5 (( 𝑇𝑇 𝑆𝑆) → (𝐹 ∈ ( 𝑇m 𝑆) ↔ 𝐹: 𝑆 𝑇))
3029biimpar 481 . . . 4 ((( 𝑇𝑇 𝑆𝑆) ∧ 𝐹: 𝑆 𝑇) → 𝐹 ∈ ( 𝑇m 𝑆))
3124, 27, 28, 30syl21anc 836 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝐹 ∈ ( 𝑇m 𝑆))
323adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
33 simpl 486 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝜑)
34 ssrab2 4007 . . . . . . . . . . 11 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ⊆ 𝑇
35 pwuni 4837 . . . . . . . . . . 11 𝑇 ⊆ 𝒫 𝑇
3634, 35sstri 3924 . . . . . . . . . 10 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ⊆ 𝒫 𝑇
3736a1i 11 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ⊆ 𝒫 𝑇)
38 fimacnv 6816 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹: 𝑆 𝑇 → (𝐹 𝑇) = 𝑆)
3938ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → (𝐹 𝑇) = 𝑆)
4039, 27eqeltrd 2890 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → (𝐹 𝑇) ∈ 𝑆)
41 imaeq2 5892 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = 𝑇 → (𝐹𝑎) = (𝐹 𝑇))
4241eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . 12 (𝑎 = 𝑇 → ((𝐹𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 𝑇) ∈ 𝑆))
4342elrab 3628 . . . . . . . . . . 11 ( 𝑇 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ↔ ( 𝑇𝑇 ∧ (𝐹 𝑇) ∈ 𝑆))
4424, 40, 43sylanbrc 586 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝑇 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
456ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → 𝑇 ran sigAlgebra)
4645, 22syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → 𝑇𝑇)
47 elrabi 3623 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} → 𝑥𝑇)
4847adantl 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → 𝑥𝑇)
49 difelsiga 31514 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑇 ran sigAlgebra ∧ 𝑇𝑇𝑥𝑇) → ( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇)
5045, 46, 48, 49syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → ( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇)
51 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → 𝐹: 𝑆 𝑇)
52 ffun 6490 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹: 𝑆 𝑇 → Fun 𝐹)
53 difpreima 6812 . . . . . . . . . . . . . 14 (Fun 𝐹 → (𝐹 “ ( 𝑇𝑥)) = ((𝐹 𝑇) ∖ (𝐹𝑥)))
5451, 52, 533syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → (𝐹 “ ( 𝑇𝑥)) = ((𝐹 𝑇) ∖ (𝐹𝑥)))
5539difeq1d 4049 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → ((𝐹 𝑇) ∖ (𝐹𝑥)) = ( 𝑆 ∖ (𝐹𝑥)))
5655adantr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → ((𝐹 𝑇) ∖ (𝐹𝑥)) = ( 𝑆 ∖ (𝐹𝑥)))
571ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → 𝑆 ran sigAlgebra)
5857, 25syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → 𝑆𝑆)
59 imaeq2 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = 𝑥 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑥))
6059eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑎 = 𝑥 → ((𝐹𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑥) ∈ 𝑆))
6160elrab 3628 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ↔ (𝑥𝑇 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑆))
6261simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
6362adantl 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → (𝐹𝑥) ∈ 𝑆)
64 difelsiga 31514 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ 𝑆𝑆 ∧ (𝐹𝑥) ∈ 𝑆) → ( 𝑆 ∖ (𝐹𝑥)) ∈ 𝑆)
6557, 58, 63, 64syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → ( 𝑆 ∖ (𝐹𝑥)) ∈ 𝑆)
6656, 65eqeltrd 2890 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → ((𝐹 𝑇) ∖ (𝐹𝑥)) ∈ 𝑆)
6754, 66eqeltrd 2890 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → (𝐹 “ ( 𝑇𝑥)) ∈ 𝑆)
68 imaeq2 5892 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = ( 𝑇𝑥) → (𝐹𝑎) = (𝐹 “ ( 𝑇𝑥)))
6968eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑎 = ( 𝑇𝑥) → ((𝐹𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 “ ( 𝑇𝑥)) ∈ 𝑆))
7069elrab 3628 . . . . . . . . . . . 12 (( 𝑇𝑥) ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ↔ (( 𝑇𝑥) ∈ 𝑇 ∧ (𝐹 “ ( 𝑇𝑥)) ∈ 𝑆))
7150, 67, 70sylanbrc 586 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → ( 𝑇𝑥) ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
7271ralrimiva 3149 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ( 𝑇𝑥) ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
736ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑇 ran sigAlgebra)
7434sspwi 4511 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ⊆ 𝒫 𝑇
7574sseli 3911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑇)
7675ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ∈ 𝒫 𝑇)
77 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ≼ ω)
78 sigaclcu 31498 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑇 ran sigAlgebra ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 𝑇𝑥 ≼ ω) → 𝑥𝑇)
7973, 76, 77, 78syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥𝑇)
80 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆))
8180simpld 498 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝐹: 𝑆 𝑇)
82 unipreima 30412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Fun 𝐹 → (𝐹 𝑥) = 𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
8381, 52, 823syl 18 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝐹 𝑥) = 𝑦𝑥 (𝐹𝑦))
841ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑆 ran sigAlgebra)
85 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
86 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
87 elelpwi 4509 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑦𝑥𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → 𝑦 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
8885, 86, 87syl2anc 587 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
89 imaeq2 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑎 = 𝑦 → (𝐹𝑎) = (𝐹𝑦))
9089eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑎 = 𝑦 → ((𝐹𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹𝑦) ∈ 𝑆))
9190elrab 3628 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ↔ (𝑦𝑇 ∧ (𝐹𝑦) ∈ 𝑆))
9291simprbi 500 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑦 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} → (𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
9388, 92syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) ∧ 𝑦𝑥) → (𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
9493ralrimiva 3149 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
95 nfcv 2955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦𝑥
9695sigaclcuni 31499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ran sigAlgebra ∧ ∀𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ 𝑆𝑥 ≼ ω) → 𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
9784, 94, 77, 96syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑦𝑥 (𝐹𝑦) ∈ 𝑆)
9883, 97eqeltrd 2890 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → (𝐹 𝑥) ∈ 𝑆)
99 imaeq2 5892 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑎 = 𝑥 → (𝐹𝑎) = (𝐹 𝑥))
10099eleq1d 2874 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑎 = 𝑥 → ((𝐹𝑎) ∈ 𝑆 ↔ (𝐹 𝑥) ∈ 𝑆))
101100elrab 3628 . . . . . . . . . . . . 13 ( 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ↔ ( 𝑥𝑇 ∧ (𝐹 𝑥) ∈ 𝑆))
10279, 98, 101sylanbrc 586 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) ∧ 𝑥 ≼ ω) → 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
103102ex 416 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) ∧ 𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}))
104103ralrimiva 3149 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}))
10544, 72, 1043jca 1125 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → ( 𝑇 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ( 𝑇𝑥) ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})))
106 rabexg 5198 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ran sigAlgebra → {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ V)
107 issiga 31493 . . . . . . . . . . 11 ({𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ V → ({𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ (sigAlgebra‘ 𝑇) ↔ ({𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ⊆ 𝒫 𝑇 ∧ ( 𝑇 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ( 𝑇𝑥) ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})))))
1086, 106, 1073syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ({𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ (sigAlgebra‘ 𝑇) ↔ ({𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ⊆ 𝒫 𝑇 ∧ ( 𝑇 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ( 𝑇𝑥) ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})))))
109108biimpar 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ ({𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ⊆ 𝒫 𝑇 ∧ ( 𝑇 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∧ ∀𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ( 𝑇𝑥) ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∧ ∀𝑥 ∈ 𝒫 {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} (𝑥 ≼ ω → 𝑥 ∈ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})))) → {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ (sigAlgebra‘ 𝑇))
11033, 37, 105, 109syl12anc 835 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ (sigAlgebra‘ 𝑇))
1113unieqd 4814 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 𝑇 = (sigaGen‘𝐾))
112 unisg 31524 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐾 ∈ V → (sigaGen‘𝐾) = 𝐾)
1134, 112syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 (sigaGen‘𝐾) = 𝐾)
114111, 113eqtrd 2833 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 𝑇 = 𝐾)
115114fveq2d 6649 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (sigAlgebra‘ 𝑇) = (sigAlgebra‘ 𝐾))
116115eleq2d 2875 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ({𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ (sigAlgebra‘ 𝑇) ↔ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ (sigAlgebra‘ 𝐾)))
117116adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → ({𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ (sigAlgebra‘ 𝑇) ↔ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ (sigAlgebra‘ 𝐾)))
118110, 117mpbid 235 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ (sigAlgebra‘ 𝐾))
11915adantr 484 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝐾𝑇)
120 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
121 ssrab 4000 . . . . . . . 8 (𝐾 ⊆ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ↔ (𝐾𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆))
122119, 120, 121sylanbrc 586 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝐾 ⊆ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
123 sigagenss 31530 . . . . . . 7 (({𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ∈ (sigAlgebra‘ 𝐾) ∧ 𝐾 ⊆ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆}) → (sigaGen‘𝐾) ⊆ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
124118, 122, 123syl2anc 587 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → (sigaGen‘𝐾) ⊆ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
12532, 124eqsstrd 3953 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝑇 ⊆ {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
12634a1i 11 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ⊆ 𝑇)
127125, 126eqssd 3932 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝑇 = {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆})
128 rabid2 3334 . . . 4 (𝑇 = {𝑎𝑇 ∣ (𝐹𝑎) ∈ 𝑆} ↔ ∀𝑎𝑇 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
129127, 128sylib 221 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → ∀𝑎𝑇 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)
1301adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝑆 ran sigAlgebra)
1316adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝑇 ran sigAlgebra)
132130, 131ismbfm 31632 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹 ∈ ( 𝑇m 𝑆) ∧ ∀𝑎𝑇 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)))
13331, 129, 132mpbir2and 712 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)) → 𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇))
13421, 133impbida 800 1 (𝜑 → (𝐹 ∈ (𝑆MblFnM𝑇) ↔ (𝐹: 𝑆 𝑇 ∧ ∀𝑎𝐾 (𝐹𝑎) ∈ 𝑆)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  {crab 3110  Vcvv 3441   ∖ cdif 3878   ⊆ wss 3881  𝒫 cpw 4497  ∪ cuni 4800  ∪ ciun 4881   class class class wbr 5030  ◡ccnv 5518  ran crn 5520   “ cima 5522  Fun wfun 6318  ⟶wf 6320  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  ωcom 7562   ↑m cmap 8391   ≼ cdom 8492  sigAlgebracsiga 31489  sigaGencsigagen 31519  MblFnMcmbfm 31630 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-inf2 9090  ax-ac2 9876 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-se 5479  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-isom 6333  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-1o 8087  df-2o 8088  df-oadd 8091  df-er 8274  df-map 8393  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-fin 8498  df-oi 8960  df-dju 9316  df-card 9354  df-acn 9357  df-ac 9529  df-siga 31490  df-sigagen 31520  df-mbfm 31631 This theorem is referenced by:  cnmbfm  31643  mbfmco2  31645
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