Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zrhunitpreima Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem zrhunitpreima 33257
Description: The preimage by β„€RHom of the units of a division ring is (β„€ βˆ– {0}). (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhker.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
zrhker.1 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
zrhker.2 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
zrhunitpreima ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ (◑𝐿 β€œ (Unitβ€˜π‘…)) = (β„€ βˆ– {0}))
Proof of Theorem zrhunitpreima
StepHypRef Expression
1 zrhker.0 . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 eqid 2731 . . . . . 6 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
3 eqid 2731 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
41, 2, 3isdrng 20505 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
54simprbi 496 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (Unitβ€˜π‘…) = (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)}))
65imaeq2d 6059 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (◑𝐿 β€œ (Unitβ€˜π‘…)) = (◑𝐿 β€œ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
76adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ (◑𝐿 β€œ (Unitβ€˜π‘…)) = (◑𝐿 β€œ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})))
8 drngring 20508 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
9 zrhker.1 . . . . . 6 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
109zrhrhm 21281 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅))
11 zringbas 21225 . . . . . 6 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
1211, 1rhmf 20377 . . . . 5 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅) β†’ 𝐿:β„€βŸΆπ΅)
13 ffun 6720 . . . . 5 (𝐿:β„€βŸΆπ΅ β†’ Fun 𝐿)
1410, 12, 133syl 18 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ Fun 𝐿)
15 difpreima 7066 . . . 4 (Fun 𝐿 β†’ (◑𝐿 β€œ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) = ((◑𝐿 β€œ 𝐡) βˆ– (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)})))
168, 14, 153syl 18 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (◑𝐿 β€œ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) = ((◑𝐿 β€œ 𝐡) βˆ– (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)})))
1716adantr 480 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ (◑𝐿 β€œ (𝐡 βˆ– {(0gβ€˜π‘…)})) = ((◑𝐿 β€œ 𝐡) βˆ– (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)})))
18 fimacnv 6739 . . . . 5 (𝐿:β„€βŸΆπ΅ β†’ (◑𝐿 β€œ 𝐡) = β„€)
198, 10, 12, 184syl 19 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (◑𝐿 β€œ 𝐡) = β„€)
2019adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ (◑𝐿 β€œ 𝐡) = β„€)
211, 9, 3zrhker 33256 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((chrβ€˜π‘…) = 0 ↔ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) = {0}))
2221biimpa 476 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) = {0})
238, 22sylan 579 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) = {0})
2420, 23difeq12d 4123 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ ((◑𝐿 β€œ 𝐡) βˆ– (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)})) = (β„€ βˆ– {0}))
257, 17, 243eqtrd 2775 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ (◑𝐿 β€œ (Unitβ€˜π‘…)) = (β„€ βˆ– {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   βˆ– cdif 3945  {csn 4628  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  Fun wfun 6537  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  0cc0 11114  β„€cz 12563  Basecbs 17149  0gc0g 17390  Ringcrg 20128  Unitcui 20247   RingHom crh 20361  DivRingcdr 20501  β„€ringczring 21218  β„€RHomczrh 21269  chrcchr 21271
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-sup 9441  df-inf 9442  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-rp 12980  df-fz 13490  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-dvds 16203  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-od 19438  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-rhm 20364  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-drng 20503  df-cnfld 21146  df-zring 21219  df-zrh 21273  df-chr 21275
This theorem is referenced by:  elzrhunit  33258  qqhval2  33261
  Copyright terms: Public domain W3C validator