Theorem zrhunitpreima 34489

Description: The preimage by ℤRHom of the units of a division ring is (ℤ ∖ {0}). (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhker.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
zrhker.1	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhker.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhunitpreima	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))

Proof of Theorem zrhunitpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhker.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdrng 20897	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
5	4	simprbi 503	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
6	5	imaeq2d 6056	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (◡𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
7	6	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (◡𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
8		drngring 20900	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
9		zrhker.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
10	9	zrhrhm 21727	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
11		zringbas 21669	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
12	11, 1	rhmf 20629	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
13		ffun 6706	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ⟶𝐵 → Fun 𝐿)
14	10, 12, 13	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → Fun 𝐿)
15		difpreima 7058	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐿 → (◡𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((◡𝐿 “ 𝐵) ∖ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
16	8, 14, 15	3syl 19	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (◡𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((◡𝐿 “ 𝐵) ∖ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
17	16	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((◡𝐿 “ 𝐵) ∖ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
18		fimacnv 6726	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ⟶𝐵 → (◡𝐿 “ 𝐵) = ℤ)
19	8, 10, 12, 18	4syl 20	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (◡𝐿 “ 𝐵) = ℤ)
20	19	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ 𝐵) = ℤ)
21	1, 9, 3	zrhker 34488	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0}))
22	21	biimpa 482	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
23	8, 22	sylan 592	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
24	20, 23	difeq12d 4075	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((◡𝐿 “ 𝐵) ∖ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) = (ℤ ∖ {0}))
25	7, 17, 24	3eqtrd 2799	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ∖ cdif 3896  {csn 4584  ^◡ccnv 5654   “ cima 5658  Fun wfun 6527  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  0cc0 11127  ℤcz 12618  Basecbs 17304  0_gc0g 17527  Ringcrg 20375  Unitcui 20499   RingHom crh 20613  DivRingcdr 20893  ℤ_ringczring 21662  ℤRHomczrh 21715  chrcchr 21717

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205  ax-addf 11206  ax-mulf 11207

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-sup 9415  df-inf 9416  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11470  df-neg 11471  df-div 11899  df-nn 12261  df-2 12330  df-3 12331  df-4 12332  df-5 12333  df-6 12334  df-7 12335  df-8 12336  df-9 12337  df-n0 12532  df-z 12619  df-dec 12740  df-uz 12891  df-rp 13046  df-fz 13565  df-fl 13856  df-mod 13934  df-seq 14069  df-exp 14129  df-cj 15189  df-re 15190  df-im 15191  df-sqrt 15325  df-abs 15326  df-dvds 16346  df-struct 17242  df-sets 17259  df-slot 17277  df-ndx 17289  df-base 17305  df-ress 17326  df-plusg 17358  df-mulr 17359  df-starv 17360  df-tset 17364  df-ple 17365  df-ds 17367  df-unif 17368  df-0g 17529  df-mgm 18733  df-sgrp 18824  df-mnd 18840  df-mhm 18894  df-grp 19063  df-minusg 19064  df-sbg 19065  df-mulg 19194  df-subg 19249  df-ghm 19344  df-od 19658  df-cmn 19912  df-abl 19913  df-mgp 20277  df-rng 20291  df-ur 20324  df-ring 20377  df-cring 20378  df-rhm 20616  df-subrng 20711  df-subrg 20735  df-drng 20895  df-cnfld 21589  df-zring 21663  df-zrh 21719  df-chr 21721

This theorem is used by:  elzrhunit  34490  qqhval2  34495