Theorem zrhunitpreima 34234

Description: The preimage by ℤRHom of the units of a division ring is (ℤ ∖ {0}). (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhker.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
zrhker.1	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhker.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhunitpreima	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))

Proof of Theorem zrhunitpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhker.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdrng 20770	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
5	4	simprbi 501	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
6	5	imaeq2d 6045	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (◡𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
7	6	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (◡𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
8		drngring 20773	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
9		zrhker.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
10	9	zrhrhm 21551	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
11		zringbas 21493	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
12	11, 1	rhmf 20520	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
13		ffun 6689	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ⟶𝐵 → Fun 𝐿)
14	10, 12, 13	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → Fun 𝐿)
15		difpreima 7041	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐿 → (◡𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((◡𝐿 “ 𝐵) ∖ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
16	8, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (◡𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((◡𝐿 “ 𝐵) ∖ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
17	16	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((◡𝐿 “ 𝐵) ∖ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
18		fimacnv 6709	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ⟶𝐵 → (◡𝐿 “ 𝐵) = ℤ)
19	8, 10, 12, 18	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (◡𝐿 “ 𝐵) = ℤ)
20	19	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ 𝐵) = ℤ)
21	1, 9, 3	zrhker 34233	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0}))
22	21	biimpa 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
23	8, 22	sylan 589	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
24	20, 23	difeq12d 4079	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((◡𝐿 “ 𝐵) ∖ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) = (ℤ ∖ {0}))
25	7, 17, 24	3eqtrd 2800	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   ∖ cdif 3899  {csn 4579  ^◡ccnv 5642   “ cima 5646  Fun wfun 6510  ⟶wf 6512  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391  0cc0 11067  ℤcz 12562  Basecbs 17236  0_gc0g 17459  Ringcrg 20270  Unitcui 20391   RingHom crh 20505  DivRingcdr 20766  ℤ_ringczring 21486  ℤRHomczrh 21539  chrcchr 21541

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-pre-sup 11145  ax-addf 11146  ax-mulf 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9382  df-inf 9383  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-div 11839  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-rp 12988  df-fz 13507  df-fl 13796  df-mod 13874  df-seq 14009  df-exp 14069  df-cj 15117  df-re 15118  df-im 15119  df-sqrt 15253  df-abs 15254  df-dvds 16278  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-0g 17461  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-mulg 19101  df-subg 19156  df-ghm 19245  df-od 19559  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-ring 20272  df-cring 20273  df-rhm 20508  df-subrng 20583  df-subrg 20607  df-drng 20768  df-cnfld 21413  df-zring 21487  df-zrh 21543  df-chr 21545

This theorem is referenced by:  elzrhunit  34235  qqhval2  34240