Theorem zrhunitpreima 33966

Description: The preimage by ℤRHom of the units of a division ring is (ℤ ∖ {0}). (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhker.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
zrhker.1	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhker.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhunitpreima	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))

Proof of Theorem zrhunitpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhker.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdrng 20642	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
5	4	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
6	5	imaeq2d 6031	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (◡𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (◡𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
8		drngring 20645	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
9		zrhker.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
10	9	zrhrhm 21421	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
11		zringbas 21363	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
12	11, 1	rhmf 20394	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
13		ffun 6691	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ⟶𝐵 → Fun 𝐿)
14	10, 12, 13	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → Fun 𝐿)
15		difpreima 7037	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐿 → (◡𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((◡𝐿 “ 𝐵) ∖ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
16	8, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (◡𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((◡𝐿 “ 𝐵) ∖ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
17	16	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((◡𝐿 “ 𝐵) ∖ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
18		fimacnv 6710	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ⟶𝐵 → (◡𝐿 “ 𝐵) = ℤ)
19	8, 10, 12, 18	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (◡𝐿 “ 𝐵) = ℤ)
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ 𝐵) = ℤ)
21	1, 9, 3	zrhker 33965	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0}))
22	21	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
23	8, 22	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
24	20, 23	difeq12d 4090	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((◡𝐿 “ 𝐵) ∖ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) = (ℤ ∖ {0}))
25	7, 17, 24	3eqtrd 2768	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3911  {csn 4589  ^◡ccnv 5637   “ cima 5641  Fun wfun 6505  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  ℤcz 12529  Basecbs 17179  0_gc0g 17402  Ringcrg 20142  Unitcui 20264   RingHom crh 20378  DivRingcdr 20638  ℤ_ringczring 21356  ℤRHomczrh 21409  chrcchr 21411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146  ax-addf 11147  ax-mulf 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-rp 12952  df-fz 13469  df-fl 13754  df-mod 13832  df-seq 13967  df-exp 14027  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-dvds 16223  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-starv 17235  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-unif 17243  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18710  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-mulg 19000  df-subg 19055  df-ghm 19145  df-od 19458  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-cring 20145  df-rhm 20381  df-subrng 20455  df-subrg 20479  df-drng 20640  df-cnfld 21265  df-zring 21357  df-zrh 21413  df-chr 21415

This theorem is referenced by:  elzrhunit  33967  qqhval2  33972