Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  zrhunitpreima Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem zrhunitpreima 31219
Description: The preimage by ℤRHom of the unit of a division ring is (ℤ ∖ {0}). (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhker.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
zrhker.1 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhker.2 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
zrhunitpreima ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))

Proof of Theorem zrhunitpreima
StepHypRef Expression
1 zrhker.0 . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2821 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3 eqid 2821 . . . . . 6 (0g𝑅) = (0g𝑅)
41, 2, 3isdrng 19505 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
54simprbi 499 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g𝑅)}))
65imaeq2d 5928 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
76adantr 483 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})))
8 drngring 19508 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
9 zrhker.1 . . . . . 6 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
109zrhrhm 20658 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
11 zringbas 20622 . . . . . 6 ℤ = (Base‘ℤring)
1211, 1rhmf 19477 . . . . 5 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
13 ffun 6516 . . . . 5 (𝐿:ℤ⟶𝐵 → Fun 𝐿)
1410, 12, 133syl 18 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → Fun 𝐿)
15 difpreima 6834 . . . 4 (Fun 𝐿 → (𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) = ((𝐿𝐵) ∖ (𝐿 “ {(0g𝑅)})))
168, 14, 153syl 18 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) = ((𝐿𝐵) ∖ (𝐿 “ {(0g𝑅)})))
1716adantr 483 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g𝑅)})) = ((𝐿𝐵) ∖ (𝐿 “ {(0g𝑅)})))
18 fimacnv 6838 . . . . 5 (𝐿:ℤ⟶𝐵 → (𝐿𝐵) = ℤ)
198, 10, 12, 184syl 19 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → (𝐿𝐵) = ℤ)
2019adantr 483 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿𝐵) = ℤ)
211, 9, 3zrhker 31218 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ (𝐿 “ {(0g𝑅)}) = {0}))
2221biimpa 479 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ {(0g𝑅)}) = {0})
238, 22sylan 582 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ {(0g𝑅)}) = {0})
2420, 23difeq12d 4099 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((𝐿𝐵) ∖ (𝐿 “ {(0g𝑅)})) = (ℤ ∖ {0}))
257, 17, 243eqtrd 2860 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1533  wcel 2110  cdif 3932  {csn 4566  ccnv 5553  cima 5557  Fun wfun 6348  wf 6350  cfv 6354  (class class class)co 7155  0cc0 10536  cz 11980  Basecbs 16482  0gc0g 16712  Ringcrg 19296  Unitcui 19388   RingHom crh 19463  DivRingcdr 19501  ringzring 20616  ℤRHomczrh 20646  chrcchr 20648
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-map 8407  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-rp 12389  df-fz 12892  df-fl 13161  df-mod 13237  df-seq 13369  df-exp 13429  df-cj 14457  df-re 14458  df-im 14459  df-sqrt 14593  df-abs 14594  df-dvds 15607  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-sets 16489  df-ress 16490  df-plusg 16577  df-mulr 16578  df-starv 16579  df-tset 16583  df-ple 16584  df-ds 16586  df-unif 16587  df-0g 16714  df-mgm 17851  df-sgrp 17900  df-mnd 17911  df-mhm 17955  df-grp 18105  df-minusg 18106  df-sbg 18107  df-mulg 18224  df-subg 18275  df-ghm 18355  df-od 18655  df-cmn 18907  df-mgp 19239  df-ur 19251  df-ring 19298  df-cring 19299  df-rnghom 19466  df-drng 19503  df-subrg 19532  df-cnfld 20545  df-zring 20617  df-zrh 20650  df-chr 20652
This theorem is referenced by:  elzrhunit  31220  qqhval2  31223
  Copyright terms: Public domain W3C validator