Theorem zrhunitpreima 33981

Description: The preimage by ℤRHom of the units of a division ring is (ℤ ∖ {0}). (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhker.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
zrhker.1	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhker.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
zrhunitpreima	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))

Proof of Theorem zrhunitpreima

Step	Hyp	Ref	Expression
1		zrhker.0	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdrng 20643	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
5	4	simprbi 496	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (Unit‘𝑅) = (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)}))
6	5	imaeq2d 6004	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (◡𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
7	6	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (◡𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})))
8		drngring 20646	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
9		zrhker.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
10	9	zrhrhm 21443	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
11		zringbas 21385	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
12	11, 1	rhmf 20397	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
13		ffun 6649	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ⟶𝐵 → Fun 𝐿)
14	10, 12, 13	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → Fun 𝐿)
15		difpreima 6993	. . . 4 ⊢ (Fun 𝐿 → (◡𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((◡𝐿 “ 𝐵) ∖ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
16	8, 14, 15	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (◡𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((◡𝐿 “ 𝐵) ∖ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
17	16	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ (𝐵 ∖ {(0g‘𝑅)})) = ((◡𝐿 “ 𝐵) ∖ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
18		fimacnv 6668	. . . . 5 ⊢ (𝐿:ℤ⟶𝐵 → (◡𝐿 “ 𝐵) = ℤ)
19	8, 10, 12, 18	4syl 19	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (◡𝐿 “ 𝐵) = ℤ)
20	19	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ 𝐵) = ℤ)
21	1, 9, 3	zrhker 33980	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0}))
22	21	biimpa 476	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
23	8, 22	sylan 580	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
24	20, 23	difeq12d 4072	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ((◡𝐿 “ 𝐵) ∖ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) = (ℤ ∖ {0}))
25	7, 17, 24	3eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3894  {csn 4571  ^◡ccnv 5610   “ cima 5614  Fun wfun 6470  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  0cc0 11001  ℤcz 12463  Basecbs 17115  0_gc0g 17338  Ringcrg 20146  Unitcui 20268   RingHom crh 20382  DivRingcdr 20639  ℤ_ringczring 21378  ℤRHomczrh 21431  chrcchr 21433

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078  ax-pre-sup 11079  ax-addf 11080  ax-mulf 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8617  df-map 8747  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-fin 8868  df-sup 9321  df-inf 9322  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-div 11770  df-nn 12121  df-2 12183  df-3 12184  df-4 12185  df-5 12186  df-6 12187  df-7 12188  df-8 12189  df-9 12190  df-n0 12377  df-z 12464  df-dec 12584  df-uz 12728  df-rp 12886  df-fz 13403  df-fl 13691  df-mod 13769  df-seq 13904  df-exp 13964  df-cj 15001  df-re 15002  df-im 15003  df-sqrt 15137  df-abs 15138  df-dvds 16159  df-struct 17053  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-ress 17137  df-plusg 17169  df-mulr 17170  df-starv 17171  df-tset 17175  df-ple 17176  df-ds 17178  df-unif 17179  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-mhm 18686  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-sbg 18846  df-mulg 18976  df-subg 19031  df-ghm 19120  df-od 19435  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-cring 20149  df-rhm 20385  df-subrng 20456  df-subrg 20480  df-drng 20641  df-cnfld 21287  df-zring 21379  df-zrh 21435  df-chr 21437

This theorem is referenced by:  elzrhunit  33982  qqhval2  33987