MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsval 28109
Description: The value of surreal division. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
divsval ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ (๐ด /su ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฅ) = ๐ด))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต

Proof of Theorem divsval
Dummy variables ๐‘ฆ ๐‘ง are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eldifsn 4795 . . 3 (๐ต โˆˆ ( No โˆ– { 0s }) โ†” (๐ต โˆˆ No โˆง ๐ต โ‰  0s ))
2 eqeq2 2740 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ ((๐‘ง ยทs ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ โ†” (๐‘ง ยทs ๐‘ฅ) = ๐ด))
32riotabidv 7384 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ด โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ No (๐‘ง ยทs ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ No (๐‘ง ยทs ๐‘ฅ) = ๐ด))
4 oveq1 7433 . . . . . 6 (๐‘ง = ๐ต โ†’ (๐‘ง ยทs ๐‘ฅ) = (๐ต ยทs ๐‘ฅ))
54eqeq1d 2730 . . . . 5 (๐‘ง = ๐ต โ†’ ((๐‘ง ยทs ๐‘ฅ) = ๐ด โ†” (๐ต ยทs ๐‘ฅ) = ๐ด))
65riotabidv 7384 . . . 4 (๐‘ง = ๐ต โ†’ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ No (๐‘ง ยทs ๐‘ฅ) = ๐ด) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฅ) = ๐ด))
7 df-divs 28108 . . . 4 /su = (๐‘ฆ โˆˆ No , ๐‘ง โˆˆ ( No โˆ– { 0s }) โ†ฆ (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ No (๐‘ง ยทs ๐‘ฅ) = ๐‘ฆ))
8 riotaex 7386 . . . 4 (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฅ) = ๐ด) โˆˆ V
93, 6, 7, 8ovmpo 7587 . . 3 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ ( No โˆ– { 0s })) โ†’ (๐ด /su ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฅ) = ๐ด))
101, 9sylan2br 593 . 2 ((๐ด โˆˆ No โˆง (๐ต โˆˆ No โˆง ๐ต โ‰  0s )) โ†’ (๐ด /su ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฅ) = ๐ด))
11103impb 1112 1 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ (๐ด /su ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฅ) = ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937   โˆ– cdif 3946  {csn 4632  โ„ฉcrio 7381  (class class class)co 7426   No csur 27593   0s c0s 27775   ยทs cmuls 28026   /su cdivs 28107
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pr 5433
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-divs 28108
This theorem is referenced by:  divsmulw  28112  divsclw  28114
  Copyright terms: Public domain W3C validator