![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > divsval | Structured version Visualization version GIF version |
Description: The value of surreal division. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.) |
Ref | Expression |
---|---|
divsval | โข ((๐ด โ No โง ๐ต โ No โง ๐ต โ 0s ) โ (๐ด /su ๐ต) = (โฉ๐ฅ โ No (๐ต ยทs ๐ฅ) = ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eldifsn 4795 | . . 3 โข (๐ต โ ( No โ { 0s }) โ (๐ต โ No โง ๐ต โ 0s )) | |
2 | eqeq2 2740 | . . . . 5 โข (๐ฆ = ๐ด โ ((๐ง ยทs ๐ฅ) = ๐ฆ โ (๐ง ยทs ๐ฅ) = ๐ด)) | |
3 | 2 | riotabidv 7384 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ด โ (โฉ๐ฅ โ No (๐ง ยทs ๐ฅ) = ๐ฆ) = (โฉ๐ฅ โ No (๐ง ยทs ๐ฅ) = ๐ด)) |
4 | oveq1 7433 | . . . . . 6 โข (๐ง = ๐ต โ (๐ง ยทs ๐ฅ) = (๐ต ยทs ๐ฅ)) | |
5 | 4 | eqeq1d 2730 | . . . . 5 โข (๐ง = ๐ต โ ((๐ง ยทs ๐ฅ) = ๐ด โ (๐ต ยทs ๐ฅ) = ๐ด)) |
6 | 5 | riotabidv 7384 | . . . 4 โข (๐ง = ๐ต โ (โฉ๐ฅ โ No (๐ง ยทs ๐ฅ) = ๐ด) = (โฉ๐ฅ โ No (๐ต ยทs ๐ฅ) = ๐ด)) |
7 | df-divs 28108 | . . . 4 โข /su = (๐ฆ โ No , ๐ง โ ( No โ { 0s }) โฆ (โฉ๐ฅ โ No (๐ง ยทs ๐ฅ) = ๐ฆ)) | |
8 | riotaex 7386 | . . . 4 โข (โฉ๐ฅ โ No (๐ต ยทs ๐ฅ) = ๐ด) โ V | |
9 | 3, 6, 7, 8 | ovmpo 7587 | . . 3 โข ((๐ด โ No โง ๐ต โ ( No โ { 0s })) โ (๐ด /su ๐ต) = (โฉ๐ฅ โ No (๐ต ยทs ๐ฅ) = ๐ด)) |
10 | 1, 9 | sylan2br 593 | . 2 โข ((๐ด โ No โง (๐ต โ No โง ๐ต โ 0s )) โ (๐ด /su ๐ต) = (โฉ๐ฅ โ No (๐ต ยทs ๐ฅ) = ๐ด)) |
11 | 10 | 3impb 1112 | 1 โข ((๐ด โ No โง ๐ต โ No โง ๐ต โ 0s ) โ (๐ด /su ๐ต) = (โฉ๐ฅ โ No (๐ต ยทs ๐ฅ) = ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2937 โ cdif 3946 {csn 4632 โฉcrio 7381 (class class class)co 7426 No csur 27593 0s c0s 27775 ยทs cmuls 28026 /su cdivs 28107 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pr 5433 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-nul 4327 df-if 4533 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-br 5153 df-opab 5215 df-id 5580 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-divs 28108 |
This theorem is referenced by: divsmulw 28112 divsclw 28114 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |