MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsclw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsclw 28045
Description: Weak division closure law. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
divsclw (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ต โ‰  0s ) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฅ) = 1s ) โ†’ (๐ด /su ๐ต) โˆˆ No )
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ต
Allowed substitution hint:   ๐ด(๐‘ฅ)

Proof of Theorem divsclw
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divsval 28040 . . 3 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†’ (๐ด /su ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฆ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฆ) = ๐ด))
21adantr 480 . 2 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ต โ‰  0s ) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฅ) = 1s ) โ†’ (๐ด /su ๐ต) = (โ„ฉ๐‘ฆ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฆ) = ๐ด))
3 3anrot 1097 . . . 4 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ต โ‰  0s ) โ†” (๐ต โˆˆ No โˆง ๐ต โ‰  0s โˆง ๐ด โˆˆ No ))
4 noreceuw 28042 . . . 4 (((๐ต โˆˆ No โˆง ๐ต โ‰  0s โˆง ๐ด โˆˆ No ) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฅ) = 1s ) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฆ) = ๐ด)
53, 4sylanb 580 . . 3 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ต โ‰  0s ) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฅ) = 1s ) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฆ) = ๐ด)
6 riotacl 7378 . . 3 (โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฆ) = ๐ด โ†’ (โ„ฉ๐‘ฆ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฆ) = ๐ด) โˆˆ No )
75, 6syl 17 . 2 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ต โ‰  0s ) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฅ) = 1s ) โ†’ (โ„ฉ๐‘ฆ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฆ) = ๐ด) โˆˆ No )
82, 7eqeltrd 2827 1 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง ๐ต โ‰  0s ) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ต ยทs ๐‘ฅ) = 1s ) โ†’ (๐ด /su ๐ต) โˆˆ No )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆƒwrex 3064  โˆƒ!wreu 3368  โ„ฉcrio 7359  (class class class)co 7404   No csur 27524   0s c0s 27706   1s c1s 27707   ยทs cmuls 27957   /su cdivs 28038
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-1o 8464  df-2o 8465  df-nadd 8664  df-no 27527  df-slt 27528  df-bday 27529  df-sle 27629  df-sslt 27665  df-scut 27667  df-0s 27708  df-1s 27709  df-made 27725  df-old 27726  df-left 27728  df-right 27729  df-norec 27806  df-norec2 27817  df-adds 27828  df-negs 27885  df-subs 27886  df-muls 27958  df-divs 28039
This theorem is referenced by:  divsclwd  28046  divscl  28072
  Copyright terms: Public domain W3C validator