![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > divsclw | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Weak division closure law. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.) |
Ref | Expression |
---|---|
divsclw | โข (((๐ด โ No โง ๐ต โ No โง ๐ต โ 0s ) โง โ๐ฅ โ No (๐ต ยทs ๐ฅ) = 1s ) โ (๐ด /su ๐ต) โ No ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | divsval 28107 | . . 3 โข ((๐ด โ No โง ๐ต โ No โง ๐ต โ 0s ) โ (๐ด /su ๐ต) = (โฉ๐ฆ โ No (๐ต ยทs ๐ฆ) = ๐ด)) | |
2 | 1 | adantr 479 | . 2 โข (((๐ด โ No โง ๐ต โ No โง ๐ต โ 0s ) โง โ๐ฅ โ No (๐ต ยทs ๐ฅ) = 1s ) โ (๐ด /su ๐ต) = (โฉ๐ฆ โ No (๐ต ยทs ๐ฆ) = ๐ด)) |
3 | 3anrot 1097 | . . . 4 โข ((๐ด โ No โง ๐ต โ No โง ๐ต โ 0s ) โ (๐ต โ No โง ๐ต โ 0s โง ๐ด โ No )) | |
4 | noreceuw 28109 | . . . 4 โข (((๐ต โ No โง ๐ต โ 0s โง ๐ด โ No ) โง โ๐ฅ โ No (๐ต ยทs ๐ฅ) = 1s ) โ โ!๐ฆ โ No (๐ต ยทs ๐ฆ) = ๐ด) | |
5 | 3, 4 | sylanb 579 | . . 3 โข (((๐ด โ No โง ๐ต โ No โง ๐ต โ 0s ) โง โ๐ฅ โ No (๐ต ยทs ๐ฅ) = 1s ) โ โ!๐ฆ โ No (๐ต ยทs ๐ฆ) = ๐ด) |
6 | riotacl 7398 | . . 3 โข (โ!๐ฆ โ No (๐ต ยทs ๐ฆ) = ๐ด โ (โฉ๐ฆ โ No (๐ต ยทs ๐ฆ) = ๐ด) โ No ) | |
7 | 5, 6 | syl 17 | . 2 โข (((๐ด โ No โง ๐ต โ No โง ๐ต โ 0s ) โง โ๐ฅ โ No (๐ต ยทs ๐ฅ) = 1s ) โ (โฉ๐ฆ โ No (๐ต ยทs ๐ฆ) = ๐ด) โ No ) |
8 | 2, 7 | eqeltrd 2828 | 1 โข (((๐ด โ No โง ๐ต โ No โง ๐ต โ 0s ) โง โ๐ฅ โ No (๐ต ยทs ๐ฅ) = 1s ) โ (๐ด /su ๐ต) โ No ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 394 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2936 โwrex 3066 โ!wreu 3370 โฉcrio 7379 (class class class)co 7424 No csur 27591 0s c0s 27773 1s c1s 27774 ยทs cmuls 28024 /su cdivs 28105 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2698 ax-rep 5287 ax-sep 5301 ax-nul 5308 ax-pow 5367 ax-pr 5431 ax-un 7744 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2705 df-cleq 2719 df-clel 2805 df-nfc 2880 df-ne 2937 df-ral 3058 df-rex 3067 df-rmo 3372 df-reu 3373 df-rab 3429 df-v 3473 df-sbc 3777 df-csb 3893 df-dif 3950 df-un 3952 df-in 3954 df-ss 3964 df-pss 3966 df-nul 4325 df-if 4531 df-pw 4606 df-sn 4631 df-pr 4633 df-tp 4635 df-op 4637 df-ot 4639 df-uni 4911 df-int 4952 df-iun 5000 df-br 5151 df-opab 5213 df-mpt 5234 df-tr 5268 df-id 5578 df-eprel 5584 df-po 5592 df-so 5593 df-fr 5635 df-se 5636 df-we 5637 df-xp 5686 df-rel 5687 df-cnv 5688 df-co 5689 df-dm 5690 df-rn 5691 df-res 5692 df-ima 5693 df-pred 6308 df-ord 6375 df-on 6376 df-suc 6378 df-iota 6503 df-fun 6553 df-fn 6554 df-f 6555 df-f1 6556 df-fo 6557 df-f1o 6558 df-fv 6559 df-riota 7380 df-ov 7427 df-oprab 7428 df-mpo 7429 df-1st 7997 df-2nd 7998 df-frecs 8291 df-wrecs 8322 df-recs 8396 df-1o 8491 df-2o 8492 df-nadd 8691 df-no 27594 df-slt 27595 df-bday 27596 df-sle 27696 df-sslt 27732 df-scut 27734 df-0s 27775 df-1s 27776 df-made 27792 df-old 27793 df-left 27795 df-right 27796 df-norec 27873 df-norec2 27884 df-adds 27895 df-negs 27952 df-subs 27953 df-muls 28025 df-divs 28106 |
This theorem is referenced by: divsclwd 28113 divscl 28139 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |