MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsclw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsclw 28235
Description: Weak division closure law. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
divsclw (((𝐴 No 𝐵 No 𝐵 ≠ 0s ) ∧ ∃𝑥 No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s ) → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )
Distinct variable group:   𝑥,𝐵
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem divsclw
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divsval 28230 . . 3 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐵 ≠ 0s ) → (𝐴 /su 𝐵) = (𝑦 No (𝐵 ·s 𝑦) = 𝐴))
21adantr 480 . 2 (((𝐴 No 𝐵 No 𝐵 ≠ 0s ) ∧ ∃𝑥 No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s ) → (𝐴 /su 𝐵) = (𝑦 No (𝐵 ·s 𝑦) = 𝐴))
3 3anrot 1099 . . . 4 ((𝐴 No 𝐵 No 𝐵 ≠ 0s ) ↔ (𝐵 No 𝐵 ≠ 0s𝐴 No ))
4 noreceuw 28232 . . . 4 (((𝐵 No 𝐵 ≠ 0s𝐴 No ) ∧ ∃𝑥 No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s ) → ∃!𝑦 No (𝐵 ·s 𝑦) = 𝐴)
53, 4sylanb 581 . . 3 (((𝐴 No 𝐵 No 𝐵 ≠ 0s ) ∧ ∃𝑥 No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s ) → ∃!𝑦 No (𝐵 ·s 𝑦) = 𝐴)
6 riotacl 7405 . . 3 (∃!𝑦 No (𝐵 ·s 𝑦) = 𝐴 → (𝑦 No (𝐵 ·s 𝑦) = 𝐴) ∈ No )
75, 6syl 17 . 2 (((𝐴 No 𝐵 No 𝐵 ≠ 0s ) ∧ ∃𝑥 No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s ) → (𝑦 No (𝐵 ·s 𝑦) = 𝐴) ∈ No )
82, 7eqeltrd 2839 1 (((𝐴 No 𝐵 No 𝐵 ≠ 0s ) ∧ ∃𝑥 No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s ) → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wrex 3068  ∃!wreu 3376  crio 7387  (class class class)co 7431   No csur 27699   0s c0s 27882   1s c1s 27883   ·s cmuls 28147   /su cdivs 28228
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-1o 8505  df-2o 8506  df-nadd 8703  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704  df-sle 27805  df-sslt 27841  df-scut 27843  df-0s 27884  df-1s 27885  df-made 27901  df-old 27902  df-left 27904  df-right 27905  df-norec 27986  df-norec2 27997  df-adds 28008  df-negs 28068  df-subs 28069  df-muls 28148  df-divs 28229
This theorem is referenced by:  divsclwd  28236  divscl  28262
  Copyright terms: Public domain W3C validator