Theorem divsclw 27631

Description: Weak division closure law. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
divsclw	⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐵 ≠ 0s ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s ) → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )

Distinct variable group:   𝑥,𝐵

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑥)

Proof of Theorem divsclw

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divsval 27626	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐵 ≠ 0s ) → (𝐴 /su 𝐵) = (℩𝑦 ∈ No (𝐵 ·s 𝑦) = 𝐴))
2	1	adantr 481	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐵 ≠ 0s ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s ) → (𝐴 /su 𝐵) = (℩𝑦 ∈ No (𝐵 ·s 𝑦) = 𝐴))
3		3anrot 1100	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐵 ≠ 0s ) ↔ (𝐵 ∈ No ∧ 𝐵 ≠ 0s ∧ 𝐴 ∈ No ))
4		noreceuw 27628	. . . 4 ⊢ (((𝐵 ∈ No ∧ 𝐵 ≠ 0s ∧ 𝐴 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s ) → ∃!𝑦 ∈ No (𝐵 ·s 𝑦) = 𝐴)
5	3, 4	sylanb 581	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐵 ≠ 0s ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s ) → ∃!𝑦 ∈ No (𝐵 ·s 𝑦) = 𝐴)
6		riotacl 7379	. . 3 ⊢ (∃!𝑦 ∈ No (𝐵 ·s 𝑦) = 𝐴 → (℩𝑦 ∈ No (𝐵 ·s 𝑦) = 𝐴) ∈ No )
7	5, 6	syl 17	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐵 ≠ 0s ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s ) → (℩𝑦 ∈ No (𝐵 ·s 𝑦) = 𝐴) ∈ No )
8	2, 7	eqeltrd 2833	1 ⊢ (((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ∧ 𝐵 ≠ 0s ) ∧ ∃𝑥 ∈ No (𝐵 ·s 𝑥) = 1s ) → (𝐴 /su 𝐵) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ∃wrex 3070  ∃!wreu 3374  ℩crio 7360  (class class class)co 7405   No csur 27132   0_s c0s 27312   1_s c1s 27313   ·_s cmuls 27551   /_su cdivs 27624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-1o 8462  df-2o 8463  df-nadd 8661  df-no 27135  df-slt 27136  df-bday 27137  df-sle 27237  df-sslt 27272  df-scut 27274  df-0s 27314  df-1s 27315  df-made 27331  df-old 27332  df-left 27334  df-right 27335  df-norec 27411  df-norec2 27422  df-adds 27433  df-negs 27485  df-subs 27486  df-muls 27552  df-divs 27625

This theorem is referenced by:  divsclwd  27632  divscl  27658