![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > divsmulw | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Relationship between surreal division and multiplication. Weak version that does not assume reciprocals. Later, when we prove precsex 28144, we can eliminate the existence hypothesis (see divsmul 28147). (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.) |
Ref | Expression |
---|---|
divsmulw | โข (((๐ด โ No โง ๐ต โ No โง (๐ถ โ No โง ๐ถ โ 0s )) โง โ๐ฅ โ No (๐ถ ยทs ๐ฅ) = 1s ) โ ((๐ด /su ๐ถ) = ๐ต โ (๐ถ ยทs ๐ต) = ๐ด)) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | divsval 28117 | . . . . . 6 โข ((๐ด โ No โง ๐ถ โ No โง ๐ถ โ 0s ) โ (๐ด /su ๐ถ) = (โฉ๐ฆ โ No (๐ถ ยทs ๐ฆ) = ๐ด)) | |
2 | 1 | eqeq1d 2730 | . . . . 5 โข ((๐ด โ No โง ๐ถ โ No โง ๐ถ โ 0s ) โ ((๐ด /su ๐ถ) = ๐ต โ (โฉ๐ฆ โ No (๐ถ ยทs ๐ฆ) = ๐ด) = ๐ต)) |
3 | 2 | 3expb 1117 | . . . 4 โข ((๐ด โ No โง (๐ถ โ No โง ๐ถ โ 0s )) โ ((๐ด /su ๐ถ) = ๐ต โ (โฉ๐ฆ โ No (๐ถ ยทs ๐ฆ) = ๐ด) = ๐ต)) |
4 | 3 | 3adant2 1128 | . . 3 โข ((๐ด โ No โง ๐ต โ No โง (๐ถ โ No โง ๐ถ โ 0s )) โ ((๐ด /su ๐ถ) = ๐ต โ (โฉ๐ฆ โ No (๐ถ ยทs ๐ฆ) = ๐ด) = ๐ต)) |
5 | 4 | adantr 479 | . 2 โข (((๐ด โ No โง ๐ต โ No โง (๐ถ โ No โง ๐ถ โ 0s )) โง โ๐ฅ โ No (๐ถ ยทs ๐ฅ) = 1s ) โ ((๐ด /su ๐ถ) = ๐ต โ (โฉ๐ฆ โ No (๐ถ ยทs ๐ฆ) = ๐ด) = ๐ต)) |
6 | simpl2 1189 | . . 3 โข (((๐ด โ No โง ๐ต โ No โง (๐ถ โ No โง ๐ถ โ 0s )) โง โ๐ฅ โ No (๐ถ ยทs ๐ฅ) = 1s ) โ ๐ต โ No ) | |
7 | simp3l 1198 | . . . . 5 โข ((๐ด โ No โง ๐ต โ No โง (๐ถ โ No โง ๐ถ โ 0s )) โ ๐ถ โ No ) | |
8 | simp3r 1199 | . . . . 5 โข ((๐ด โ No โง ๐ต โ No โง (๐ถ โ No โง ๐ถ โ 0s )) โ ๐ถ โ 0s ) | |
9 | simp1 1133 | . . . . 5 โข ((๐ด โ No โง ๐ต โ No โง (๐ถ โ No โง ๐ถ โ 0s )) โ ๐ด โ No ) | |
10 | 7, 8, 9 | 3jca 1125 | . . . 4 โข ((๐ด โ No โง ๐ต โ No โง (๐ถ โ No โง ๐ถ โ 0s )) โ (๐ถ โ No โง ๐ถ โ 0s โง ๐ด โ No )) |
11 | noreceuw 28119 | . . . 4 โข (((๐ถ โ No โง ๐ถ โ 0s โง ๐ด โ No ) โง โ๐ฅ โ No (๐ถ ยทs ๐ฅ) = 1s ) โ โ!๐ฆ โ No (๐ถ ยทs ๐ฆ) = ๐ด) | |
12 | 10, 11 | sylan 578 | . . 3 โข (((๐ด โ No โง ๐ต โ No โง (๐ถ โ No โง ๐ถ โ 0s )) โง โ๐ฅ โ No (๐ถ ยทs ๐ฅ) = 1s ) โ โ!๐ฆ โ No (๐ถ ยทs ๐ฆ) = ๐ด) |
13 | oveq2 7434 | . . . . 5 โข (๐ฆ = ๐ต โ (๐ถ ยทs ๐ฆ) = (๐ถ ยทs ๐ต)) | |
14 | 13 | eqeq1d 2730 | . . . 4 โข (๐ฆ = ๐ต โ ((๐ถ ยทs ๐ฆ) = ๐ด โ (๐ถ ยทs ๐ต) = ๐ด)) |
15 | 14 | riota2 7408 | . . 3 โข ((๐ต โ No โง โ!๐ฆ โ No (๐ถ ยทs ๐ฆ) = ๐ด) โ ((๐ถ ยทs ๐ต) = ๐ด โ (โฉ๐ฆ โ No (๐ถ ยทs ๐ฆ) = ๐ด) = ๐ต)) |
16 | 6, 12, 15 | syl2anc 582 | . 2 โข (((๐ด โ No โง ๐ต โ No โง (๐ถ โ No โง ๐ถ โ 0s )) โง โ๐ฅ โ No (๐ถ ยทs ๐ฅ) = 1s ) โ ((๐ถ ยทs ๐ต) = ๐ด โ (โฉ๐ฆ โ No (๐ถ ยทs ๐ฆ) = ๐ด) = ๐ต)) |
17 | 5, 16 | bitr4d 281 | 1 โข (((๐ด โ No โง ๐ต โ No โง (๐ถ โ No โง ๐ถ โ 0s )) โง โ๐ฅ โ No (๐ถ ยทs ๐ฅ) = 1s ) โ ((๐ด /su ๐ถ) = ๐ต โ (๐ถ ยทs ๐ต) = ๐ด)) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โ wb 205 โง wa 394 โง w3a 1084 = wceq 1533 โ wcel 2098 โ wne 2937 โwrex 3067 โ!wreu 3372 โฉcrio 7381 (class class class)co 7426 No csur 27601 0s c0s 27783 1s c1s 27784 ยทs cmuls 28034 /su cdivs 28115 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-rep 5289 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7748 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-ral 3059 df-rex 3068 df-rmo 3374 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-tp 4637 df-op 4639 df-ot 4641 df-uni 4913 df-int 4954 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-se 5638 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-1st 8001 df-2nd 8002 df-frecs 8295 df-wrecs 8326 df-recs 8400 df-1o 8495 df-2o 8496 df-nadd 8695 df-no 27604 df-slt 27605 df-bday 27606 df-sle 27706 df-sslt 27742 df-scut 27744 df-0s 27785 df-1s 27786 df-made 27802 df-old 27803 df-left 27805 df-right 27806 df-norec 27883 df-norec2 27894 df-adds 27905 df-negs 27962 df-subs 27963 df-muls 28035 df-divs 28116 |
This theorem is referenced by: divsmulwd 28121 divs1 28131 divsmul 28147 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |