MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  divsmulw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem divsmulw 28120
Description: Relationship between surreal division and multiplication. Weak version that does not assume reciprocals. Later, when we prove precsex 28144, we can eliminate the existence hypothesis (see divsmul 28147). (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.)
Assertion
Ref Expression
divsmulw (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง (๐ถ โˆˆ No โˆง ๐ถ โ‰  0s )) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ถ ยทs ๐‘ฅ) = 1s ) โ†’ ((๐ด /su ๐ถ) = ๐ต โ†” (๐ถ ยทs ๐ต) = ๐ด))
Distinct variable group:   ๐‘ฅ,๐ถ
Allowed substitution hints:   ๐ด(๐‘ฅ)   ๐ต(๐‘ฅ)

Proof of Theorem divsmulw
Dummy variable ๐‘ฆ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 divsval 28117 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No โˆง ๐ถ โ‰  0s ) โ†’ (๐ด /su ๐ถ) = (โ„ฉ๐‘ฆ โˆˆ No (๐ถ ยทs ๐‘ฆ) = ๐ด))
21eqeq1d 2730 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ถ โˆˆ No โˆง ๐ถ โ‰  0s ) โ†’ ((๐ด /su ๐ถ) = ๐ต โ†” (โ„ฉ๐‘ฆ โˆˆ No (๐ถ ยทs ๐‘ฆ) = ๐ด) = ๐ต))
323expb 1117 . . . 4 ((๐ด โˆˆ No โˆง (๐ถ โˆˆ No โˆง ๐ถ โ‰  0s )) โ†’ ((๐ด /su ๐ถ) = ๐ต โ†” (โ„ฉ๐‘ฆ โˆˆ No (๐ถ ยทs ๐‘ฆ) = ๐ด) = ๐ต))
433adant2 1128 . . 3 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง (๐ถ โˆˆ No โˆง ๐ถ โ‰  0s )) โ†’ ((๐ด /su ๐ถ) = ๐ต โ†” (โ„ฉ๐‘ฆ โˆˆ No (๐ถ ยทs ๐‘ฆ) = ๐ด) = ๐ต))
54adantr 479 . 2 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง (๐ถ โˆˆ No โˆง ๐ถ โ‰  0s )) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ถ ยทs ๐‘ฅ) = 1s ) โ†’ ((๐ด /su ๐ถ) = ๐ต โ†” (โ„ฉ๐‘ฆ โˆˆ No (๐ถ ยทs ๐‘ฆ) = ๐ด) = ๐ต))
6 simpl2 1189 . . 3 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง (๐ถ โˆˆ No โˆง ๐ถ โ‰  0s )) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ถ ยทs ๐‘ฅ) = 1s ) โ†’ ๐ต โˆˆ No )
7 simp3l 1198 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง (๐ถ โˆˆ No โˆง ๐ถ โ‰  0s )) โ†’ ๐ถ โˆˆ No )
8 simp3r 1199 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง (๐ถ โˆˆ No โˆง ๐ถ โ‰  0s )) โ†’ ๐ถ โ‰  0s )
9 simp1 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง (๐ถ โˆˆ No โˆง ๐ถ โ‰  0s )) โ†’ ๐ด โˆˆ No )
107, 8, 93jca 1125 . . . 4 ((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง (๐ถ โˆˆ No โˆง ๐ถ โ‰  0s )) โ†’ (๐ถ โˆˆ No โˆง ๐ถ โ‰  0s โˆง ๐ด โˆˆ No ))
11 noreceuw 28119 . . . 4 (((๐ถ โˆˆ No โˆง ๐ถ โ‰  0s โˆง ๐ด โˆˆ No ) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ถ ยทs ๐‘ฅ) = 1s ) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ No (๐ถ ยทs ๐‘ฆ) = ๐ด)
1210, 11sylan 578 . . 3 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง (๐ถ โˆˆ No โˆง ๐ถ โ‰  0s )) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ถ ยทs ๐‘ฅ) = 1s ) โ†’ โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ No (๐ถ ยทs ๐‘ฆ) = ๐ด)
13 oveq2 7434 . . . . 5 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ (๐ถ ยทs ๐‘ฆ) = (๐ถ ยทs ๐ต))
1413eqeq1d 2730 . . . 4 (๐‘ฆ = ๐ต โ†’ ((๐ถ ยทs ๐‘ฆ) = ๐ด โ†” (๐ถ ยทs ๐ต) = ๐ด))
1514riota2 7408 . . 3 ((๐ต โˆˆ No โˆง โˆƒ!๐‘ฆ โˆˆ No (๐ถ ยทs ๐‘ฆ) = ๐ด) โ†’ ((๐ถ ยทs ๐ต) = ๐ด โ†” (โ„ฉ๐‘ฆ โˆˆ No (๐ถ ยทs ๐‘ฆ) = ๐ด) = ๐ต))
166, 12, 15syl2anc 582 . 2 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง (๐ถ โˆˆ No โˆง ๐ถ โ‰  0s )) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ถ ยทs ๐‘ฅ) = 1s ) โ†’ ((๐ถ ยทs ๐ต) = ๐ด โ†” (โ„ฉ๐‘ฆ โˆˆ No (๐ถ ยทs ๐‘ฆ) = ๐ด) = ๐ต))
175, 16bitr4d 281 1 (((๐ด โˆˆ No โˆง ๐ต โˆˆ No โˆง (๐ถ โˆˆ No โˆง ๐ถ โ‰  0s )) โˆง โˆƒ๐‘ฅ โˆˆ No (๐ถ ยทs ๐‘ฅ) = 1s ) โ†’ ((๐ด /su ๐ถ) = ๐ต โ†” (๐ถ ยทs ๐ต) = ๐ด))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2937  โˆƒwrex 3067  โˆƒ!wreu 3372  โ„ฉcrio 7381  (class class class)co 7426   No csur 27601   0s c0s 27783   1s c1s 27784   ยทs cmuls 28034   /su cdivs 28115
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8295  df-wrecs 8326  df-recs 8400  df-1o 8495  df-2o 8496  df-nadd 8695  df-no 27604  df-slt 27605  df-bday 27606  df-sle 27706  df-sslt 27742  df-scut 27744  df-0s 27785  df-1s 27786  df-made 27802  df-old 27803  df-left 27805  df-right 27806  df-norec 27883  df-norec2 27894  df-adds 27905  df-negs 27962  df-subs 27963  df-muls 28035  df-divs 28116
This theorem is referenced by:  divsmulwd  28121  divs1  28131  divsmul  28147
  Copyright terms: Public domain W3C validator