Theorem drngunit 20650

Description: Elementhood in the set of units when 𝑅 is a division ring. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
isdrng.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
isdrng.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
isdrng.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngunit	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )))

Proof of Theorem drngunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isdrng.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		isdrng.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
3		isdrng.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	isdrng 20649	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing ↔ (𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 })))
5	4	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑈 = (𝐵 ∖ { 0 }))
6	5	eleq2d 2817	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 })))
7		eldifsn 4738	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐵 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
8	6, 7	bitrdi 287	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∖ cdif 3899  {csn 4576  ‘cfv 6481  Basecbs 17120  0_gc0g 17343  Ringcrg 20152  Unitcui 20274  DivRingcdr 20645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3905  df-un 3907  df-ss 3919  df-nul 4284  df-if 4476  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5092  df-iota 6437  df-fv 6489  df-drng 20647

This theorem is referenced by:  drngunz  20663  drnginvrcl  20669  drnginvrn0  20670  drnginvrl  20672  drnginvrr  20673  issubdrg  20696  sdrgunit  20712  abvdiv  20745  ornglmullt  20785  orngrmullt  20786  qsssubdrg  21364  redvr  21555  drnguc1p  26107  lgseisenlem3  27316  fxpsdrg  33142  isarchiofld  33166  sdrgdvcl  33263  sdrginvcl  33264  1arithufd  33511  ply1asclunit  33535  ply1dg1rt  33541  qqhval2lem  33992  qqhf  33997  matunitlindf  37664  fldhmf1  42129  lincreslvec3  48520  isldepslvec2  48523