Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matunitlindf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matunitlindf 36976
Description: A matrix over a field is invertible iff the rows are linearly independent. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
matunitlindf ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (𝑀 ∈ (Unitβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))

Proof of Theorem matunitlindf
Dummy variables π‘₯ 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 7424 . . . . . . . 8 (𝐼 = βˆ… β†’ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) = (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)))
2 mat0dimbas0 22290 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Field β†’ (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)) = {βˆ…})
31, 2sylan9eq 2784 . . . . . . 7 ((𝐼 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ Field) β†’ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) = {βˆ…})
43eleq2d 2811 . . . . . 6 ((𝐼 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ Field) β†’ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀 ∈ {βˆ…}))
5 elsni 4637 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {βˆ…} β†’ 𝑀 = βˆ…)
64, 5syl6bi 253 . . . . 5 ((𝐼 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ Field) β†’ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) β†’ 𝑀 = βˆ…))
76imdistanda 571 . . . 4 (𝐼 = βˆ… β†’ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = βˆ…)))
87impcom 407 . . 3 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 = βˆ…) β†’ (𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = βˆ…))
9 isfld 20588 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
109simplbi 497 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Field β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
11 drngring 20584 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
12 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (βˆ… Mat 𝑅) = (βˆ… Mat 𝑅)
1312mat0dimid 22292 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)) = βˆ…)
14 0fin 9167 . . . . . . . . . 10 βˆ… ∈ Fin
1512matring 22267 . . . . . . . . . 10 ((βˆ… ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (βˆ… Mat 𝑅) ∈ Ring)
1614, 15mpan 687 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring β†’ (βˆ… Mat 𝑅) ∈ Ring)
17 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (Unitβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)) = (Unitβ€˜(βˆ… Mat 𝑅))
18 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)) = (1rβ€˜(βˆ… Mat 𝑅))
1917, 181unit 20266 . . . . . . . . 9 ((βˆ… Mat 𝑅) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)) ∈ (Unitβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)))
2016, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)) ∈ (Unitβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)))
2113, 20eqeltrrd 2826 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring β†’ βˆ… ∈ (Unitβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)))
2210, 11, 213syl 18 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Field β†’ βˆ… ∈ (Unitβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)))
23 f0 6762 . . . . . . . . 9 βˆ…:βˆ…βŸΆ(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…))
24 dm0 5910 . . . . . . . . . 10 dom βˆ… = βˆ…
2524feq2i 6699 . . . . . . . . 9 (βˆ…:dom βˆ…βŸΆ(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…)) ↔ βˆ…:βˆ…βŸΆ(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…)))
2623, 25mpbir 230 . . . . . . . 8 βˆ…:dom βˆ…βŸΆ(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…))
27 rzal 4500 . . . . . . . . 9 (dom βˆ… = βˆ… β†’ βˆ€π‘₯ ∈ dom βˆ…βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…))) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…)))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod βˆ…))(βˆ…β€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…))β€˜(βˆ… β€œ (dom βˆ… βˆ– {π‘₯}))))
2824, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8 βˆ€π‘₯ ∈ dom βˆ…βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…))) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…)))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod βˆ…))(βˆ…β€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…))β€˜(βˆ… β€œ (dom βˆ… βˆ– {π‘₯})))
29 ovex 7434 . . . . . . . . 9 (𝑅 freeLMod βˆ…) ∈ V
30 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…))
31 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod βˆ…)) = ( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod βˆ…))
32 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…)) = (LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…))
33 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…)) = (Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…))
34 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…))) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…)))
35 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…))) = (0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…)))
3630, 31, 32, 33, 34, 35islindf 21675 . . . . . . . . 9 (((𝑅 freeLMod βˆ…) ∈ V ∧ βˆ… ∈ Fin) β†’ (βˆ… LIndF (𝑅 freeLMod βˆ…) ↔ (βˆ…:dom βˆ…βŸΆ(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom βˆ…βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…))) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…)))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod βˆ…))(βˆ…β€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…))β€˜(βˆ… β€œ (dom βˆ… βˆ– {π‘₯}))))))
3729, 14, 36mp2an 689 . . . . . . . 8 (βˆ… LIndF (𝑅 freeLMod βˆ…) ↔ (βˆ…:dom βˆ…βŸΆ(Baseβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…)) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ dom βˆ…βˆ€π‘¦ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…))) βˆ– {(0gβ€˜(Scalarβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…)))}) Β¬ (𝑦( ·𝑠 β€˜(𝑅 freeLMod βˆ…))(βˆ…β€˜π‘₯)) ∈ ((LSpanβ€˜(𝑅 freeLMod βˆ…))β€˜(βˆ… β€œ (dom βˆ… βˆ– {π‘₯})))))
3826, 28, 37mpbir2an 708 . . . . . . 7 βˆ… LIndF (𝑅 freeLMod βˆ…)
3938a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Field β†’ βˆ… LIndF (𝑅 freeLMod βˆ…))
4022, 392thd 265 . . . . 5 (𝑅 ∈ Field β†’ (βˆ… ∈ (Unitβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)) ↔ βˆ… LIndF (𝑅 freeLMod βˆ…)))
41 fvoveq1 7424 . . . . . . . 8 (𝐼 = βˆ… β†’ (Unitβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unitβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)))
42 eleq12 2815 . . . . . . . 8 ((𝑀 = βˆ… ∧ (Unitβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unitβ€˜(βˆ… Mat 𝑅))) β†’ (𝑀 ∈ (Unitβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ βˆ… ∈ (Unitβ€˜(βˆ… Mat 𝑅))))
4341, 42sylan2 592 . . . . . . 7 ((𝑀 = βˆ… ∧ 𝐼 = βˆ…) β†’ (𝑀 ∈ (Unitβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ βˆ… ∈ (Unitβ€˜(βˆ… Mat 𝑅))))
44 cureq 36954 . . . . . . . . 9 (𝑀 = βˆ… β†’ curry 𝑀 = curry βˆ…)
45 df-cur 8247 . . . . . . . . . 10 curry βˆ… = (π‘₯ ∈ dom dom βˆ… ↦ {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©βˆ…π‘§})
4624dmeqi 5894 . . . . . . . . . . . 12 dom dom βˆ… = dom βˆ…
4746, 24eqtri 2752 . . . . . . . . . . 11 dom dom βˆ… = βˆ…
48 mpteq1 5231 . . . . . . . . . . 11 (dom dom βˆ… = βˆ… β†’ (π‘₯ ∈ dom dom βˆ… ↦ {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©βˆ…π‘§}) = (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©βˆ…π‘§}))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ dom dom βˆ… ↦ {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©βˆ…π‘§}) = (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©βˆ…π‘§})
50 mpt0 6682 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ βˆ… ↦ {βŸ¨π‘¦, π‘§βŸ© ∣ ⟨π‘₯, π‘¦βŸ©βˆ…π‘§}) = βˆ…
5145, 49, 503eqtri 2756 . . . . . . . . 9 curry βˆ… = βˆ…
5244, 51eqtrdi 2780 . . . . . . . 8 (𝑀 = βˆ… β†’ curry 𝑀 = βˆ…)
53 oveq2 7409 . . . . . . . 8 (𝐼 = βˆ… β†’ (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod βˆ…))
5452, 53breqan12d 5154 . . . . . . 7 ((𝑀 = βˆ… ∧ 𝐼 = βˆ…) β†’ (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ βˆ… LIndF (𝑅 freeLMod βˆ…)))
5543, 54bibi12d 345 . . . . . 6 ((𝑀 = βˆ… ∧ 𝐼 = βˆ…) β†’ ((𝑀 ∈ (Unitβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ↔ (βˆ… ∈ (Unitβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)) ↔ βˆ… LIndF (𝑅 freeLMod βˆ…))))
5655biimparc 479 . . . . 5 (((βˆ… ∈ (Unitβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)) ↔ βˆ… LIndF (𝑅 freeLMod βˆ…)) ∧ (𝑀 = βˆ… ∧ 𝐼 = βˆ…)) β†’ (𝑀 ∈ (Unitβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
5740, 56sylan 579 . . . 4 ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀 = βˆ… ∧ 𝐼 = βˆ…)) β†’ (𝑀 ∈ (Unitβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
5857anassrs 467 . . 3 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = βˆ…) ∧ 𝐼 = βˆ…) β†’ (𝑀 ∈ (Unitβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
598, 58sylancom 587 . 2 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 = βˆ…) β†’ (𝑀 ∈ (Unitβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
609simprbi 496 . . . . 5 (𝑅 ∈ Field β†’ 𝑅 ∈ CRing)
61 eqid 2724 . . . . . 6 (𝐼 Mat 𝑅) = (𝐼 Mat 𝑅)
62 eqid 2724 . . . . . 6 (𝐼 maDet 𝑅) = (𝐼 maDet 𝑅)
63 eqid 2724 . . . . . 6 (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))
64 eqid 2724 . . . . . 6 (Unitβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unitβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))
65 eqid 2724 . . . . . 6 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
6661, 62, 63, 64, 65matunit 22502 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (𝑀 ∈ (Unitβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
6760, 66sylan 579 . . . 4 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (𝑀 ∈ (Unitβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
6867adantr 480 . . 3 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 ∈ (Unitβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
69 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
70 eqid 2724 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
7169, 65, 70drngunit 20582 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) β‰  (0gβ€˜π‘…))))
7210, 71syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Field β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) β‰  (0gβ€˜π‘…))))
7372adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) β‰  (0gβ€˜π‘…))))
7462, 61, 63, 69mdetcl 22420 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7560, 74sylan 579 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
7675biantrurd 532 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) β‰  (0gβ€˜π‘…) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) β‰  (0gβ€˜π‘…))))
7773, 76bitr4d 282 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
7877adantr 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) β‰  (0gβ€˜π‘…)))
7961, 63matrcl 22234 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) β†’ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
8079simpld 494 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) β†’ 𝐼 ∈ Fin)
8180pm4.71i 559 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin))
82 xpfi 9313 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin)
8382anidms 566 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin)
84 eqid 2724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼)) = (𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))
8584, 69frlmfibas 21625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
8683, 85sylan2 592 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))))
8761, 84matbas 22235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Field) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
8887ancoms 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (Baseβ€˜(𝑅 freeLMod (𝐼 Γ— 𝐼))) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
8986, 88eqtrd 2764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) = (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)))
9089eleq2d 2811 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))))
91 fvex 6894 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
92 elmapg 8829 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Baseβ€˜π‘…) ∈ V ∧ (𝐼 Γ— 𝐼) ∈ Fin) β†’ (𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
9391, 83, 92sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
9493adantl 481 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑀 ∈ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m (𝐼 Γ— 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
9590, 94bitr3d 281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) β†’ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)))
9695ex 412 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Field β†’ (𝐼 ∈ Fin β†’ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…))))
9796pm5.32rd 577 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Field β†’ ((𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ↔ (𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
9881, 97bitrid 283 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Field β†’ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ (𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
9998biimpd 228 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Field β†’ (𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) β†’ (𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
10099imdistani 568 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
101 anass 468 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ↔ (𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
102100, 101sylibr 233 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin))
103 eldifsn 4782 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 β‰  βˆ…))
104 matunitlindflem1 36974 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (Β¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘…)))
105104necon1ad 2949 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin βˆ– {βˆ…})) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
106103, 105sylan2br 594 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 β‰  βˆ…)) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
107106anassrs 467 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 Γ— 𝐼)⟢(Baseβ€˜π‘…)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
108102, 107sylan 579 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) β‰  (0gβ€˜π‘…) β†’ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
10978, 108sylbid 239 . . . 4 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
110 matunitlindflem2 36975 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
111110ex 412 . . . 4 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) β†’ ((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…)))
112109, 111impbid 211 . . 3 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (((𝐼 maDet 𝑅)β€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
11368, 112bitrd 279 . 2 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 β‰  βˆ…) β†’ (𝑀 ∈ (Unitβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
11459, 113pm2.61dane 3021 1 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Baseβ€˜(𝐼 Mat 𝑅))) β†’ (𝑀 ∈ (Unitβ€˜(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆ€wral 3053  Vcvv 3466   βˆ– cdif 3937  βˆ…c0 4314  {csn 4620  βŸ¨cop 4626   class class class wbr 5138  {copab 5200   ↦ cmpt 5221   Γ— cxp 5664  dom cdm 5666   β€œ cima 5669  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  curry ccur 8245   ↑m cmap 8816  Fincfn 8935  Basecbs 17143  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384  1rcur 20076  Ringcrg 20128  CRingccrg 20129  Unitcui 20247  DivRingcdr 20577  Fieldcfield 20578  LSpanclspn 20808   freeLMod cfrlm 21609   LIndF clindf 21667   Mat cmat 22229   maDet cmdat 22408
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-xor 1505  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-ot 4629  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-cur 8247  df-unc 8248  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-word 14462  df-lsw 14510  df-concat 14518  df-s1 14543  df-substr 14588  df-pfx 14618  df-splice 14697  df-reverse 14706  df-s2 14796  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-mri 17531  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-efmnd 18784  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-sbg 18858  df-mulg 18986  df-subg 19040  df-ghm 19129  df-gim 19174  df-cntz 19223  df-oppg 19252  df-symg 19277  df-pmtr 19352  df-psgn 19401  df-evpm 19402  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-srg 20082  df-ring 20130  df-cring 20131  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-dvr 20293  df-rhm 20364  df-nzr 20405  df-subrng 20436  df-subrg 20461  df-drng 20579  df-field 20580  df-lmod 20698  df-lss 20769  df-lsp 20809  df-lmhm 20860  df-lbs 20913  df-lvec 20941  df-sra 21011  df-rgmod 21012  df-cnfld 21229  df-zring 21302  df-zrh 21358  df-dsmm 21595  df-frlm 21610  df-uvc 21646  df-lindf 21669  df-linds 21670  df-assa 21716  df-mamu 22208  df-mat 22230  df-mdet 22409  df-madu 22458
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator