Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  matunitlindf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem matunitlindf 33720
Description: A matrix over a field is invertible iff the rows are linearly independent. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)
Assertion
Ref Expression
matunitlindf ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))

Proof of Theorem matunitlindf
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fvoveq1 6897 . . . . . . . 8 (𝐼 = ∅ → (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
2 mat0dimbas0 20483 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Field → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
31, 2sylan9eq 2860 . . . . . . 7 ((𝐼 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ Field) → (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) = {∅})
43eleq2d 2871 . . . . . 6 ((𝐼 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ Field) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀 ∈ {∅}))
5 elsni 4387 . . . . . 6 (𝑀 ∈ {∅} → 𝑀 = ∅)
64, 5syl6bi 244 . . . . 5 ((𝐼 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ Field) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → 𝑀 = ∅))
76imdistanda 563 . . . 4 (𝐼 = ∅ → ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = ∅)))
87impcom 396 . . 3 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = ∅))
9 isfld 18960 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
109simplbi 487 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ DivRing)
11 drngring 18958 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
12 eqid 2806 . . . . . . . . 9 (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
1312mat0dimid 20485 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) = ∅)
14 0fin 8427 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ Fin
1512matring 20459 . . . . . . . . . 10 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∅ Mat 𝑅) ∈ Ring)
1614, 15mpan 673 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Ring → (∅ Mat 𝑅) ∈ Ring)
17 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) = (Unit‘(∅ Mat 𝑅))
18 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 (1r‘(∅ Mat 𝑅)) = (1r‘(∅ Mat 𝑅))
1917, 181unit 18860 . . . . . . . . 9 ((∅ Mat 𝑅) ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
2016, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
2113, 20eqeltrrd 2886 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
2210, 11, 213syl 18 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Field → ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
23 f0 6301 . . . . . . . . 9 ∅:∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅))
24 dm0 5540 . . . . . . . . . 10 dom ∅ = ∅
2524feq2i 6248 . . . . . . . . 9 (∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) ↔ ∅:∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)))
2623, 25mpbir 222 . . . . . . . 8 ∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅))
27 rzal 4268 . . . . . . . . 9 (dom ∅ = ∅ → ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥}))))
2824, 27ax-mp 5 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥})))
29 ovex 6906 . . . . . . . . 9 (𝑅 freeLMod ∅) ∈ V
30 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 (Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) = (Base‘(𝑅 freeLMod ∅))
31 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))
32 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 (LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅)) = (LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))
33 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))
34 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))
35 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) = (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))
3630, 31, 32, 33, 34, 35islindf 20361 . . . . . . . . 9 (((𝑅 freeLMod ∅) ∈ V ∧ ∅ ∈ Fin) → (∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅) ↔ (∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥}))))))
3729, 14, 36mp2an 675 . . . . . . . 8 (∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅) ↔ (∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥})))))
3826, 28, 37mpbir2an 693 . . . . . . 7 ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)
3938a1i 11 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Field → ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅))
4022, 392thd 256 . . . . 5 (𝑅 ∈ Field → (∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)))
41 fvoveq1 6897 . . . . . . . 8 (𝐼 = ∅ → (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
42 eleq12 2875 . . . . . . . 8 ((𝑀 = ∅ ∧ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unit‘(∅ Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅))))
4341, 42sylan2 582 . . . . . . 7 ((𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅))))
44 cureq 33698 . . . . . . . . 9 (𝑀 = ∅ → curry 𝑀 = curry ∅)
45 df-cur 7628 . . . . . . . . . 10 curry ∅ = (𝑥 ∈ dom dom ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧})
4624dmeqi 5526 . . . . . . . . . . . 12 dom dom ∅ = dom ∅
4746, 24eqtri 2828 . . . . . . . . . . 11 dom dom ∅ = ∅
48 mpteq1 4931 . . . . . . . . . . 11 (dom dom ∅ = ∅ → (𝑥 ∈ dom dom ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}))
4947, 48ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ dom dom ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧})
50 mpt0 6232 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}) = ∅
5145, 49, 503eqtri 2832 . . . . . . . . 9 curry ∅ = ∅
5244, 51syl6eq 2856 . . . . . . . 8 (𝑀 = ∅ → curry 𝑀 = ∅)
53 oveq2 6882 . . . . . . . 8 (𝐼 = ∅ → (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod ∅))
5452, 53breqan12d 4860 . . . . . . 7 ((𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)))
5543, 54bibi12d 336 . . . . . 6 ((𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅) → ((𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ↔ (∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅))))
5655biimparc 467 . . . . 5 (((∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)) ∧ (𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅)) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
5740, 56sylan 571 . . . 4 ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅)) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
5857anassrs 455 . . 3 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = ∅) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
598, 58sylancom 578 . 2 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
609simprbi 486 . . . . 5 (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ CRing)
61 eqid 2806 . . . . . 6 (𝐼 Mat 𝑅) = (𝐼 Mat 𝑅)
62 eqid 2806 . . . . . 6 (𝐼 maDet 𝑅) = (𝐼 maDet 𝑅)
63 eqid 2806 . . . . . 6 (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))
64 eqid 2806 . . . . . 6 (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅))
65 eqid 2806 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
6661, 62, 63, 64, 65matunit 20696 . . . . 5 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
6760, 66sylan 571 . . . 4 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
6867adantr 468 . . 3 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
69 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
70 eqid 2806 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) = (0g𝑅)
7169, 65, 70drngunit 18956 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ DivRing → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅))))
7210, 71syl 17 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Field → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅))))
7372adantr 468 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅))))
7462, 61, 63, 69mdetcl 20613 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
7560, 74sylan 571 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
7675biantrurd 524 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅))))
7773, 76bitr4d 273 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅)))
7877adantr 468 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅)))
7961, 63matrcl 20428 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
8079simpld 484 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → 𝐼 ∈ Fin)
8180pm4.71i 551 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin))
82 xpfi 8470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin)
8382anidms 558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝐼 ∈ Fin → (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin)
84 eqid 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) = (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))
8584, 69frlmfibas 20315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝐼 × 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
8683, 85sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝐼 × 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
8761, 84matbas 20429 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Field) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)))
8887ancoms 448 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)))
8986, 88eqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝐼 × 𝐼)) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)))
9089eleq2d 2871 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))))
91 fvex 6421 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Base‘𝑅) ∈ V
92 elmapg 8105 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin) → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
9391, 83, 92sylancr 577 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
9493adantl 469 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
9590, 94bitr3d 272 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
9695ex 399 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Field → (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))))
9796pm5.32rd 569 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ Field → ((𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ↔ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
9881, 97syl5bb 274 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ Field → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
9998biimpd 220 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Field → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
10099imdistani 560 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
101 anass 456 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ↔ (𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
102100, 101sylibr 225 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin))
103 eldifsn 4508 . . . . . . . 8 (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅))
104 matunitlindflem1 33718 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g𝑅)))
105104necon1ad 2995 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
106103, 105sylan2br 584 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
107106anassrs 455 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
108102, 107sylan 571 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
10978, 108sylbid 231 . . . 4 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
110 matunitlindflem2 33719 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))
111110ex 399 . . . 4 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
112109, 111impbid 203 . . 3 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
11368, 112bitrd 270 . 2 (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
11459, 113pm2.61dane 3065 1 ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1637  wcel 2156  wne 2978  wral 3096  Vcvv 3391  cdif 3766  c0 4116  {csn 4370  cop 4376   class class class wbr 4844  {copab 4906  cmpt 4923   × cxp 5309  dom cdm 5311  cima 5314  wf 6097  cfv 6101  (class class class)co 6874  curry ccur 7626  𝑚 cmap 8092  Fincfn 8192  Basecbs 16068  Scalarcsca 16156   ·𝑠 cvsca 16157  0gc0g 16305  1rcur 18703  Ringcrg 18749  CRingccrg 18750  Unitcui 18841  DivRingcdr 18951  Fieldcfield 18952  LSpanclspn 19178   freeLMod cfrlm 20300   LIndF clindf 20353   Mat cmat 20423   maDet cmdat 20601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2068  ax-7 2104  ax-8 2158  ax-9 2165  ax-10 2185  ax-11 2201  ax-12 2214  ax-13 2420  ax-ext 2784  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5096  ax-un 7179  ax-inf2 8785  ax-cnex 10277  ax-resscn 10278  ax-1cn 10279  ax-icn 10280  ax-addcl 10281  ax-addrcl 10282  ax-mulcl 10283  ax-mulrcl 10284  ax-mulcom 10285  ax-addass 10286  ax-mulass 10287  ax-distr 10288  ax-i2m1 10289  ax-1ne0 10290  ax-1rid 10291  ax-rnegex 10292  ax-rrecex 10293  ax-cnre 10294  ax-pre-lttri 10295  ax-pre-lttrn 10296  ax-pre-ltadd 10297  ax-pre-mulgt0 10298  ax-addf 10300  ax-mulf 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-xor 1619  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2061  df-eu 2634  df-mo 2635  df-clab 2793  df-cleq 2799  df-clel 2802  df-nfc 2937  df-ne 2979  df-nel 3082  df-ral 3101  df-rex 3102  df-reu 3103  df-rmo 3104  df-rab 3105  df-v 3393  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4117  df-if 4280  df-pw 4353  df-sn 4371  df-pr 4373  df-tp 4375  df-op 4377  df-ot 4379  df-uni 4631  df-int 4670  df-iun 4714  df-iin 4715  df-br 4845  df-opab 4907  df-mpt 4924  df-tr 4947  df-id 5219  df-eprel 5224  df-po 5232  df-so 5233  df-fr 5270  df-se 5271  df-we 5272  df-xp 5317  df-rel 5318  df-cnv 5319  df-co 5320  df-dm 5321  df-rn 5322  df-res 5323  df-ima 5324  df-pred 5893  df-ord 5939  df-on 5940  df-lim 5941  df-suc 5942  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6835  df-ov 6877  df-oprab 6878  df-mpt2 6879  df-of 7127  df-om 7296  df-1st 7398  df-2nd 7399  df-supp 7530  df-tpos 7587  df-cur 7628  df-unc 7629  df-wrecs 7642  df-recs 7704  df-rdg 7742  df-1o 7796  df-2o 7797  df-oadd 7800  df-er 7979  df-map 8094  df-pm 8095  df-ixp 8146  df-en 8193  df-dom 8194  df-sdom 8195  df-fin 8196  df-fsupp 8515  df-sup 8587  df-oi 8654  df-card 9048  df-pnf 10361  df-mnf 10362  df-xr 10363  df-ltxr 10364  df-le 10365  df-sub 10553  df-neg 10554  df-div 10970  df-nn 11306  df-2 11364  df-3 11365  df-4 11366  df-5 11367  df-6 11368  df-7 11369  df-8 11370  df-9 11371  df-n0 11560  df-xnn0 11630  df-z 11644  df-dec 11760  df-uz 11905  df-rp 12047  df-fz 12550  df-fzo 12690  df-seq 13025  df-exp 13084  df-hash 13338  df-word 13510  df-lsw 13511  df-concat 13512  df-s1 13513  df-substr 13514  df-splice 13515  df-reverse 13516  df-s2 13817  df-struct 16070  df-ndx 16071  df-slot 16072  df-base 16074  df-sets 16075  df-ress 16076  df-plusg 16166  df-mulr 16167  df-starv 16168  df-sca 16169  df-vsca 16170  df-ip 16171  df-tset 16172  df-ple 16173  df-ds 16175  df-unif 16176  df-hom 16177  df-cco 16178  df-0g 16307  df-gsum 16308  df-prds 16313  df-pws 16315  df-mre 16451  df-mrc 16452  df-mri 16453  df-acs 16454  df-mgm 17447  df-sgrp 17489  df-mnd 17500  df-mhm 17540  df-submnd 17541  df-grp 17630  df-minusg 17631  df-sbg 17632  df-mulg 17746  df-subg 17793  df-ghm 17860  df-gim 17903  df-cntz 17951  df-oppg 17977  df-symg 17999  df-pmtr 18063  df-psgn 18112  df-evpm 18113  df-cmn 18396  df-abl 18397  df-mgp 18692  df-ur 18704  df-srg 18708  df-ring 18751  df-cring 18752  df-oppr 18825  df-dvdsr 18843  df-unit 18844  df-invr 18874  df-dvr 18885  df-rnghom 18919  df-drng 18953  df-field 18954  df-subrg 18982  df-lmod 19069  df-lss 19137  df-lsp 19179  df-lmhm 19229  df-lbs 19282  df-lvec 19310  df-sra 19381  df-rgmod 19382  df-nzr 19467  df-assa 19521  df-cnfld 19955  df-zring 20027  df-zrh 20060  df-dsmm 20286  df-frlm 20301  df-uvc 20332  df-lindf 20355  df-linds 20356  df-mamu 20400  df-mat 20424  df-mdet 20602  df-madu 20651
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator