Theorem matunitlindf 22989

Description: A matrix over a field is invertible iff the rows are linearly independent. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
matunitlindf	⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))

Proof of Theorem matunitlindf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = ∅ → (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
2		mat0dimbas0 22774	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
3	1, 2	sylan9eq 2816	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ Field) → (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) = {∅})
4	3	eleq2d 2847	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ Field) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀 ∈ {∅}))
5		elsni 4601	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ {∅} → 𝑀 = ∅)
6	4, 5	biimtrdi 256	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ Field) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → 𝑀 = ∅))
7	6	imdistanda 582	. . . 4 ⊢ (𝐼 = ∅ → ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = ∅)))
8	7	impcom 413	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = ∅))
9		isfld 20986	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
10	9	simplbi 502	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ DivRing)
11		drngring 20980	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
12		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
13	12	mat0dimid 22776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) = ∅)
14		0fi 9063	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ Fin
15	12	matring 22751	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∅ Mat 𝑅) ∈ Ring)
16	14, 15	mpan 703	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ Mat 𝑅) ∈ Ring)
17		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) = (Unit‘(∅ Mat 𝑅))
18		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(∅ Mat 𝑅)) = (1r‘(∅ Mat 𝑅))
19	17, 18	1unit 20597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ Mat 𝑅) ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
20	16, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
21	13, 20	eqeltrrd 2862	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
22	10, 11, 21	3syl 19	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Field → ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
23		f0 6761	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅:∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅))
24		dm0 5902	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom ∅ = ∅
25	24	feq2i 6699	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) ↔ ∅:∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)))
26	23, 25	mpbir 234	. . . . . . . 8 ⊢ ∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅))
27		rzal 4450	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom ∅ = ∅ → ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥}))))
28	24, 27	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥})))
29		ovex 7451	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 freeLMod ∅) ∈ V
30		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) = (Base‘(𝑅 freeLMod ∅))
31		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))
32		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅)) = (LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))
33		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))
34		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))
35		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) = (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))
36	30, 31, 32, 33, 34, 35	islindf 22111	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 freeLMod ∅) ∈ V ∧ ∅ ∈ Fin) → (∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅) ↔ (∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥}))))))
37	29, 14, 36	mp2an 705	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅) ↔ (∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥})))))
38	26, 28, 37	mpbir2an 724	. . . . . . 7 ⊢ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Field → ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅))
40	22, 39	2thd 268	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)))
41		fvoveq1 7441	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = ∅ → (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
42		eleq12 2851	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = ∅ ∧ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unit‘(∅ Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅))))
43	41, 42	sylan2 605	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅))))
44		cureq 8882	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = ∅ → curry 𝑀 = curry ∅)
45		df-cur 8277	. . . . . . . . . 10 ⊢ curry ∅ = (𝑥 ∈ dom dom ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧})
46	24	dmeqi 5886	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom dom ∅ = dom ∅
47	46, 24	eqtri 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom dom ∅ = ∅
48		mpteq1 5194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom dom ∅ = ∅ → (𝑥 ∈ dom dom ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}))
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ dom dom ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧})
50		mpt0 6679	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}) = ∅
51	45, 49, 50	3eqtri 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ curry ∅ = ∅
52	44, 51	eqtrdi 2812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = ∅ → curry 𝑀 = ∅)
53		oveq2 7426	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = ∅ → (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod ∅))
54	52, 53	breqan12d 5119	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)))
55	43, 54	bibi12d 348	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅) → ((𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ↔ (∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅))))
56	55	biimparc 485	. . . . 5 ⊢ (((∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)) ∧ (𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅)) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
57	40, 56	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅)) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
58	57	anassrs 473	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = ∅) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
59	8, 58	sylancom 600	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
60	9	simprbi 503	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ CRing)
61		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 Mat 𝑅) = (𝐼 Mat 𝑅)
62		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 maDet 𝑅) = (𝐼 maDet 𝑅)
63		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))
64		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅))
65		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
66	61, 62, 63, 64, 65	matunit 22986	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
67	60, 66	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
68	67	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
69		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
70		eqid 2761	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
71	69, 65, 70	drngunit 20978	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅))))
72	10, 71	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅))))
73	72	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅))))
74	62, 61, 63, 69	mdetcl 22904	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
75	60, 74	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
76	75	biantrurd 542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅))))
77	73, 76	bitr4d 285	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅)))
78	77	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅)))
79	61, 63	matrcl 22720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
80	79	simpld 500	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → 𝐼 ∈ Fin)
81	80	pm4.71i 569	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin))
82		xpfi 9304	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin)
83	82	anidms 577	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin)
84		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) = (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))
85	84, 69	frlmfibas 22061	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
86	83, 85	sylan2 605	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
87	61, 84	matbas 22721	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Field) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)))
88	87	ancoms 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)))
89	86, 88	eqtrd 2796	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)))
90	89	eleq2d 2847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))))
91		fvex 6896	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
92		elmapg 8852	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin) → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
93	91, 83, 92	sylancr 599	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
94	93	adantl 487	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
95	90, 94	bitr3d 284	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
96	95	ex 418	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))))
97	96	pm5.32rd 589	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Field → ((𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ↔ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
98	81, 97	bitrid 286	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
99	98	biimpd 232	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
100	99	imdistani 579	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
101		anass 474	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ↔ (𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
102	100, 101	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin))
103		eldifsn 4748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅))
104		matunitlindflem1 22987	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g‘𝑅)))
105	104	necon1ad 2973	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
106	103, 105	sylan2br 607	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
107	106	anassrs 473	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
108	102, 107	sylan 592	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
109	78, 108	sylbid 243	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
110		matunitlindflem2 22988	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))
111	110	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
112	109, 111	impbid 215	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
113	68, 112	bitrd 282	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
114	59, 113	pm2.61dane 3043	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∀wral 3077  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896  ∅c0 4279  {csn 4584  ⟨cop 4590   class class class wbr 5103  {copab 5167   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  dom cdm 5651   “ cima 5654  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  curry ccur 8275   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8966  Basecbs 17380  Scalarcsca 17424   ·_𝑠 cvsca 17425  0_gc0g 17603  1_rcur 20400  Ringcrg 20452  CRingccrg 20453  Unitcui 20578  DivRingcdr 20973  Fieldcfield 20974  LSpanclspn 21239   freeLMod cfrlm 22045   LIndF clindf 22103   Mat cmat 22715   maDet cmdat 22892

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270  ax-addf 11272  ax-mulf 11273

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-xor 1542  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-of 7691  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-tpos 8236  df-cur 8277  df-unc 8278  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-2o 8470  df-er 8710  df-map 8842  df-pm 8843  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-oi 9497  df-card 10013  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-div 11967  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-xnn0 12673  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-rp 13114  df-fz 13633  df-fzo 13782  df-seq 14138  df-exp 14198  df-hash 14468  df-word 14652  df-lsw 14701  df-concat 14709  df-s1 14736  df-substr 14782  df-pfx 14814  df-splice 14892  df-reverse 14901  df-s2 14992  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-starv 17436  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-unif 17444  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-gsum 17606  df-prds 17611  df-pws 17613  df-mre 17749  df-mrc 17750  df-mri 17751  df-acs 17752  df-mgm 18809  df-sgrp 18901  df-mnd 18917  df-mhm 18971  df-submnd 18972  df-efmnd 19058  df-grp 19140  df-minusg 19141  df-sbg 19142  df-mulg 19271  df-subg 19326  df-ghm 19421  df-gim 19466  df-cntz 19524  df-oppg 19553  df-symg 19577  df-pmtr 19649  df-psgn 19698  df-evpm 19699  df-cmn 19989  df-abl 19990  df-mgp 20354  df-rng 20368  df-ur 20401  df-srg 20406  df-ring 20454  df-cring 20455  df-oppr 20560  df-dvdsr 20580  df-unit 20581  df-invr 20611  df-dvr 20624  df-rhm 20695  df-nzr 20756  df-subrng 20791  df-subrg 20815  df-drng 20975  df-field 20976  df-lmod 21130  df-lss 21200  df-lsp 21240  df-lmhm 21290  df-lbs 21343  df-lvec 21371  df-sra 21441  df-rgmod 21442  df-cnfld 21672  df-zring 21746  df-zrh 21802  df-dsmm 22031  df-frlm 22046  df-uvc 22082  df-lindf 22105  df-linds 22106  df-assa 22154  df-mamu 22699  df-mat 22716  df-mdet 22893  df-madu 22942

This theorem is used by:  veroquaddetzerod  50955