Theorem matunitlindf 36475

Description: A matrix over a field is invertible iff the rows are linearly independent. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
matunitlindf	⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))

Proof of Theorem matunitlindf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = ∅ → (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
2		mat0dimbas0 21960	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
3	1, 2	sylan9eq 2793	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ Field) → (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) = {∅})
4	3	eleq2d 2820	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ Field) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀 ∈ {∅}))
5		elsni 4645	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ {∅} → 𝑀 = ∅)
6	4, 5	syl6bi 253	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ Field) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → 𝑀 = ∅))
7	6	imdistanda 573	. . . 4 ⊢ (𝐼 = ∅ → ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = ∅)))
8	7	impcom 409	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = ∅))
9		isfld 20319	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
10	9	simplbi 499	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ DivRing)
11		drngring 20315	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
12		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
13	12	mat0dimid 21962	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) = ∅)
14		0fin 9168	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ Fin
15	12	matring 21937	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∅ Mat 𝑅) ∈ Ring)
16	14, 15	mpan 689	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ Mat 𝑅) ∈ Ring)
17		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) = (Unit‘(∅ Mat 𝑅))
18		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(∅ Mat 𝑅)) = (1r‘(∅ Mat 𝑅))
19	17, 18	1unit 20181	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ Mat 𝑅) ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
20	16, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
21	13, 20	eqeltrrd 2835	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
22	10, 11, 21	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Field → ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
23		f0 6770	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅:∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅))
24		dm0 5919	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom ∅ = ∅
25	24	feq2i 6707	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) ↔ ∅:∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)))
26	23, 25	mpbir 230	. . . . . . . 8 ⊢ ∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅))
27		rzal 4508	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom ∅ = ∅ → ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥}))))
28	24, 27	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥})))
29		ovex 7439	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 freeLMod ∅) ∈ V
30		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) = (Base‘(𝑅 freeLMod ∅))
31		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))
32		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅)) = (LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))
33		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))
34		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))
35		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) = (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))
36	30, 31, 32, 33, 34, 35	islindf 21359	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 freeLMod ∅) ∈ V ∧ ∅ ∈ Fin) → (∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅) ↔ (∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥}))))))
37	29, 14, 36	mp2an 691	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅) ↔ (∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥})))))
38	26, 28, 37	mpbir2an 710	. . . . . . 7 ⊢ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Field → ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅))
40	22, 39	2thd 265	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)))
41		fvoveq1 7429	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = ∅ → (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
42		eleq12 2824	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = ∅ ∧ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unit‘(∅ Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅))))
43	41, 42	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅))))
44		cureq 36453	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = ∅ → curry 𝑀 = curry ∅)
45		df-cur 8249	. . . . . . . . . 10 ⊢ curry ∅ = (𝑥 ∈ dom dom ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧})
46	24	dmeqi 5903	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom dom ∅ = dom ∅
47	46, 24	eqtri 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom dom ∅ = ∅
48		mpteq1 5241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom dom ∅ = ∅ → (𝑥 ∈ dom dom ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}))
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ dom dom ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧})
50		mpt0 6690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}) = ∅
51	45, 49, 50	3eqtri 2765	. . . . . . . . 9 ⊢ curry ∅ = ∅
52	44, 51	eqtrdi 2789	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = ∅ → curry 𝑀 = ∅)
53		oveq2 7414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = ∅ → (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod ∅))
54	52, 53	breqan12d 5164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)))
55	43, 54	bibi12d 346	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅) → ((𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ↔ (∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅))))
56	55	biimparc 481	. . . . 5 ⊢ (((∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)) ∧ (𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅)) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
57	40, 56	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅)) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
58	57	anassrs 469	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = ∅) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
59	8, 58	sylancom 589	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
60	9	simprbi 498	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ CRing)
61		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 Mat 𝑅) = (𝐼 Mat 𝑅)
62		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 maDet 𝑅) = (𝐼 maDet 𝑅)
63		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))
64		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅))
65		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
66	61, 62, 63, 64, 65	matunit 22172	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
67	60, 66	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
68	67	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
69		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
70		eqid 2733	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
71	69, 65, 70	drngunit 20313	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅))))
72	10, 71	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅))))
73	72	adantr 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅))))
74	62, 61, 63, 69	mdetcl 22090	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
75	60, 74	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
76	75	biantrurd 534	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅))))
77	73, 76	bitr4d 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅)))
78	77	adantr 482	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅)))
79	61, 63	matrcl 21904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
80	79	simpld 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → 𝐼 ∈ Fin)
81	80	pm4.71i 561	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin))
82		xpfi 9314	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin)
83	82	anidms 568	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin)
84		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) = (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))
85	84, 69	frlmfibas 21309	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
86	83, 85	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
87	61, 84	matbas 21905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Field) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)))
88	87	ancoms 460	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)))
89	86, 88	eqtrd 2773	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)))
90	89	eleq2d 2820	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))))
91		fvex 6902	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
92		elmapg 8830	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin) → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
93	91, 83, 92	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
94	93	adantl 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
95	90, 94	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
96	95	ex 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))))
97	96	pm5.32rd 579	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Field → ((𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ↔ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
98	81, 97	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
99	98	biimpd 228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
100	99	imdistani 570	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
101		anass 470	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ↔ (𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
102	100, 101	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin))
103		eldifsn 4790	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅))
104		matunitlindflem1 36473	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g‘𝑅)))
105	104	necon1ad 2958	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
106	103, 105	sylan2br 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
107	106	anassrs 469	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
108	102, 107	sylan 581	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
109	78, 108	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
110		matunitlindflem2 36474	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))
111	110	ex 414	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
112	109, 111	impbid 211	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
113	68, 112	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
114	59, 113	pm2.61dane 3030	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  Vcvv 3475   ∖ cdif 3945  ∅c0 4322  {csn 4628  ⟨cop 4634   class class class wbr 5148  {copab 5210   ↦ cmpt 5231   × cxp 5674  dom cdm 5676   “ cima 5679  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7406  curry ccur 8247   ↑_m cmap 8817  Fincfn 8936  Basecbs 17141  Scalarcsca 17197   ·_𝑠 cvsca 17198  0_gc0g 17382  1_rcur 19999  Ringcrg 20050  CRingccrg 20051  Unitcui 20162  DivRingcdr 20308  Fieldcfield 20309  LSpanclspn 20575   freeLMod cfrlm 21293   LIndF clindf 21351   Mat cmat 21899   maDet cmdat 22078

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-addf 11186  ax-mulf 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-xor 1511  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-ot 4637  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6298  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-supp 8144  df-tpos 8208  df-cur 8249  df-unc 8250  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8368  df-rdg 8407  df-1o 8463  df-2o 8464  df-er 8700  df-map 8819  df-pm 8820  df-ixp 8889  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-fin 8940  df-fsupp 9359  df-sup 9434  df-oi 9502  df-card 9931  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11869  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-xnn0 12542  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-rp 12972  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-exp 14025  df-hash 14288  df-word 14462  df-lsw 14510  df-concat 14518  df-s1 14543  df-substr 14588  df-pfx 14618  df-splice 14697  df-reverse 14706  df-s2 14796  df-struct 17077  df-sets 17094  df-slot 17112  df-ndx 17124  df-base 17142  df-ress 17171  df-plusg 17207  df-mulr 17208  df-starv 17209  df-sca 17210  df-vsca 17211  df-ip 17212  df-tset 17213  df-ple 17214  df-ds 17216  df-unif 17217  df-hom 17218  df-cco 17219  df-0g 17384  df-gsum 17385  df-prds 17390  df-pws 17392  df-mre 17527  df-mrc 17528  df-mri 17529  df-acs 17530  df-mgm 18558  df-sgrp 18607  df-mnd 18623  df-mhm 18668  df-submnd 18669  df-efmnd 18747  df-grp 18819  df-minusg 18820  df-sbg 18821  df-mulg 18946  df-subg 18998  df-ghm 19085  df-gim 19128  df-cntz 19176  df-oppg 19205  df-symg 19230  df-pmtr 19305  df-psgn 19354  df-evpm 19355  df-cmn 19645  df-abl 19646  df-mgp 19983  df-ur 20000  df-srg 20004  df-ring 20052  df-cring 20053  df-oppr 20143  df-dvdsr 20164  df-unit 20165  df-invr 20195  df-dvr 20208  df-rnghom 20244  df-nzr 20285  df-drng 20310  df-field 20311  df-subrg 20354  df-lmod 20466  df-lss 20536  df-lsp 20576  df-lmhm 20626  df-lbs 20679  df-lvec 20707  df-sra 20778  df-rgmod 20779  df-cnfld 20938  df-zring 21011  df-zrh 21045  df-dsmm 21279  df-frlm 21294  df-uvc 21330  df-lindf 21353  df-linds 21354  df-assa 21400  df-mamu 21878  df-mat 21900  df-mdet 22079  df-madu 22128

This theorem is referenced by: (None)