Theorem matunitlindf 36076

Description: A matrix over a field is invertible iff the rows are linearly independent. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
matunitlindf	⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))

Proof of Theorem matunitlindf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = ∅ → (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
2		mat0dimbas0 21815	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
3	1, 2	sylan9eq 2796	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ Field) → (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) = {∅})
4	3	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ Field) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀 ∈ {∅}))
5		elsni 4603	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ {∅} → 𝑀 = ∅)
6	4, 5	syl6bi 252	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ Field) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → 𝑀 = ∅))
7	6	imdistanda 572	. . . 4 ⊢ (𝐼 = ∅ → ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = ∅)))
8	7	impcom 408	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = ∅))
9		isfld 20196	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
10	9	simplbi 498	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ DivRing)
11		drngring 20192	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
12		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
13	12	mat0dimid 21817	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) = ∅)
14		0fin 9115	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ Fin
15	12	matring 21792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∅ Mat 𝑅) ∈ Ring)
16	14, 15	mpan 688	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ Mat 𝑅) ∈ Ring)
17		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) = (Unit‘(∅ Mat 𝑅))
18		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(∅ Mat 𝑅)) = (1r‘(∅ Mat 𝑅))
19	17, 18	1unit 20087	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ Mat 𝑅) ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
20	16, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
21	13, 20	eqeltrrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
22	10, 11, 21	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Field → ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
23		f0 6723	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅:∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅))
24		dm0 5876	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom ∅ = ∅
25	24	feq2i 6660	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) ↔ ∅:∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)))
26	23, 25	mpbir 230	. . . . . . . 8 ⊢ ∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅))
27		rzal 4466	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom ∅ = ∅ → ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥}))))
28	24, 27	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥})))
29		ovex 7390	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 freeLMod ∅) ∈ V
30		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) = (Base‘(𝑅 freeLMod ∅))
31		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))
32		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅)) = (LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))
33		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))
34		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))
35		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) = (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))
36	30, 31, 32, 33, 34, 35	islindf 21218	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 freeLMod ∅) ∈ V ∧ ∅ ∈ Fin) → (∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅) ↔ (∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥}))))))
37	29, 14, 36	mp2an 690	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅) ↔ (∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥})))))
38	26, 28, 37	mpbir2an 709	. . . . . . 7 ⊢ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Field → ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅))
40	22, 39	2thd 264	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)))
41		fvoveq1 7380	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = ∅ → (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
42		eleq12 2827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = ∅ ∧ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unit‘(∅ Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅))))
43	41, 42	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅))))
44		cureq 36054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = ∅ → curry 𝑀 = curry ∅)
45		df-cur 8198	. . . . . . . . . 10 ⊢ curry ∅ = (𝑥 ∈ dom dom ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧})
46	24	dmeqi 5860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom dom ∅ = dom ∅
47	46, 24	eqtri 2764	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom dom ∅ = ∅
48		mpteq1 5198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom dom ∅ = ∅ → (𝑥 ∈ dom dom ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}))
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ dom dom ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧})
50		mpt0 6643	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}) = ∅
51	45, 49, 50	3eqtri 2768	. . . . . . . . 9 ⊢ curry ∅ = ∅
52	44, 51	eqtrdi 2792	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = ∅ → curry 𝑀 = ∅)
53		oveq2 7365	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = ∅ → (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod ∅))
54	52, 53	breqan12d 5121	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)))
55	43, 54	bibi12d 345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅) → ((𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ↔ (∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅))))
56	55	biimparc 480	. . . . 5 ⊢ (((∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)) ∧ (𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅)) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
57	40, 56	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅)) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
58	57	anassrs 468	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = ∅) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
59	8, 58	sylancom 588	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
60	9	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ CRing)
61		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 Mat 𝑅) = (𝐼 Mat 𝑅)
62		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 maDet 𝑅) = (𝐼 maDet 𝑅)
63		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))
64		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅))
65		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
66	61, 62, 63, 64, 65	matunit 22027	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
67	60, 66	sylan 580	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
68	67	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
69		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
70		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
71	69, 65, 70	drngunit 20190	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅))))
72	10, 71	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅))))
73	72	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅))))
74	62, 61, 63, 69	mdetcl 21945	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
75	60, 74	sylan 580	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
76	75	biantrurd 533	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅))))
77	73, 76	bitr4d 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅)))
78	77	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅)))
79	61, 63	matrcl 21759	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
80	79	simpld 495	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → 𝐼 ∈ Fin)
81	80	pm4.71i 560	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin))
82		xpfi 9261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin)
83	82	anidms 567	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin)
84		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) = (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))
85	84, 69	frlmfibas 21168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
86	83, 85	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
87	61, 84	matbas 21760	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Field) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)))
88	87	ancoms 459	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)))
89	86, 88	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)))
90	89	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))))
91		fvex 6855	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
92		elmapg 8778	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin) → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
93	91, 83, 92	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
94	93	adantl 482	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
95	90, 94	bitr3d 280	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
96	95	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))))
97	96	pm5.32rd 578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Field → ((𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ↔ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
98	81, 97	bitrid 282	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
99	98	biimpd 228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
100	99	imdistani 569	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
101		anass 469	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ↔ (𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
102	100, 101	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin))
103		eldifsn 4747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅))
104		matunitlindflem1 36074	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g‘𝑅)))
105	104	necon1ad 2960	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
106	103, 105	sylan2br 595	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
107	106	anassrs 468	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
108	102, 107	sylan 580	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
109	78, 108	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
110		matunitlindflem2 36075	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))
111	110	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
112	109, 111	impbid 211	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
113	68, 112	bitrd 278	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
114	59, 113	pm2.61dane 3032	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  Vcvv 3445   ∖ cdif 3907  ∅c0 4282  {csn 4586  ⟨cop 4592   class class class wbr 5105  {copab 5167   ↦ cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633   “ cima 5636  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  curry ccur 8196   ↑_m cmap 8765  Fincfn 8883  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136   ·_𝑠 cvsca 17137  0_gc0g 17321  1_rcur 19913  Ringcrg 19964  CRingccrg 19965  Unitcui 20068  DivRingcdr 20185  Fieldcfield 20186  LSpanclspn 20432   freeLMod cfrlm 21152   LIndF clindf 21210   Mat cmat 21754   maDet cmdat 21933

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1510  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-cur 8198  df-unc 8199  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-xnn0 12486  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-rp 12916  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-word 14403  df-lsw 14451  df-concat 14459  df-s1 14484  df-substr 14529  df-pfx 14559  df-splice 14638  df-reverse 14647  df-s2 14737  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-mri 17468  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-efmnd 18679  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-gim 19049  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-symg 19149  df-pmtr 19224  df-psgn 19273  df-evpm 19274  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-rnghom 20146  df-drng 20187  df-field 20188  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lmhm 20483  df-lbs 20536  df-lvec 20564  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-nzr 20728  df-cnfld 20797  df-zring 20870  df-zrh 20904  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-uvc 21189  df-lindf 21212  df-linds 21213  df-assa 21259  df-mamu 21733  df-mat 21755  df-mdet 21934  df-madu 21983

This theorem is referenced by: (None)