Theorem matunitlindf 37956

Description: A matrix over a field is invertible iff the rows are linearly independent. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Jun-2021.)

Assertion

Ref	Expression
matunitlindf	⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))

Proof of Theorem matunitlindf

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvoveq1 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = ∅ → (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
2		mat0dimbas0 22444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
3	1, 2	sylan9eq 2792	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐼 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ Field) → (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) = {∅})
4	3	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ ((𝐼 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ Field) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀 ∈ {∅}))
5		elsni 4585	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ {∅} → 𝑀 = ∅)
6	4, 5	biimtrdi 253	. . . . 5 ⊢ ((𝐼 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ Field) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → 𝑀 = ∅))
7	6	imdistanda 571	. . . 4 ⊢ (𝐼 = ∅ → ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = ∅)))
8	7	impcom 407	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = ∅))
9		isfld 20711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Field ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑅 ∈ CRing))
10	9	simplbi 496	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ DivRing)
11		drngring 20707	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
12		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
13	12	mat0dimid 22446	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) = ∅)
14		0fi 8983	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ Fin
15	12	matring 22421	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (∅ Mat 𝑅) ∈ Ring)
16	14, 15	mpan 691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (∅ Mat 𝑅) ∈ Ring)
17		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) = (Unit‘(∅ Mat 𝑅))
18		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘(∅ Mat 𝑅)) = (1r‘(∅ Mat 𝑅))
19	17, 18	1unit 20348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∅ Mat 𝑅) ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
20	16, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (1r‘(∅ Mat 𝑅)) ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
21	13, 20	eqeltrrd 2838	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
22	10, 11, 21	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Field → ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
23		f0 6716	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅:∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅))
24		dm0 5870	. . . . . . . . . 10 ⊢ dom ∅ = ∅
25	24	feq2i 6655	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) ↔ ∅:∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)))
26	23, 25	mpbir 231	. . . . . . . 8 ⊢ ∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅))
27		rzal 4435	. . . . . . . . 9 ⊢ (dom ∅ = ∅ → ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥}))))
28	24, 27	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥})))
29		ovex 7394	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 freeLMod ∅) ∈ V
30		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) = (Base‘(𝑅 freeLMod ∅))
31		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅)) = ( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))
32		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅)) = (LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))
33		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)) = (Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))
34		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) = (Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))
35		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) = (0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))
36	30, 31, 32, 33, 34, 35	islindf 21805	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 freeLMod ∅) ∈ V ∧ ∅ ∈ Fin) → (∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅) ↔ (∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥}))))))
37	29, 14, 36	mp2an 693	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅) ↔ (∅:dom ∅⟶(Base‘(𝑅 freeLMod ∅)) ∧ ∀𝑥 ∈ dom ∅∀𝑦 ∈ ((Base‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅))) ∖ {(0g‘(Scalar‘(𝑅 freeLMod ∅)))}) ¬ (𝑦( ·𝑠 ‘(𝑅 freeLMod ∅))(∅‘𝑥)) ∈ ((LSpan‘(𝑅 freeLMod ∅))‘(∅ “ (dom ∅ ∖ {𝑥})))))
38	26, 28, 37	mpbir2an 712	. . . . . . 7 ⊢ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)
39	38	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Field → ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅))
40	22, 39	2thd 265	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)))
41		fvoveq1 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = ∅ → (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unit‘(∅ Mat 𝑅)))
42		eleq12 2827	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 = ∅ ∧ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unit‘(∅ Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅))))
43	41, 42	sylan2 594	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅))))
44		cureq 37934	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 = ∅ → curry 𝑀 = curry ∅)
45		df-cur 8211	. . . . . . . . . 10 ⊢ curry ∅ = (𝑥 ∈ dom dom ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧})
46	24	dmeqi 5854	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ dom dom ∅ = dom ∅
47	46, 24	eqtri 2760	. . . . . . . . . . 11 ⊢ dom dom ∅ = ∅
48		mpteq1 5175	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (dom dom ∅ = ∅ → (𝑥 ∈ dom dom ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}))
49	47, 48	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ dom dom ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}) = (𝑥 ∈ ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧})
50		mpt0 6635	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ∅ ↦ {⟨𝑦, 𝑧⟩ ∣ ⟨𝑥, 𝑦⟩∅𝑧}) = ∅
51	45, 49, 50	3eqtri 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ curry ∅ = ∅
52	44, 51	eqtrdi 2788	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 = ∅ → curry 𝑀 = ∅)
53		oveq2 7369	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 = ∅ → (𝑅 freeLMod 𝐼) = (𝑅 freeLMod ∅))
54	52, 53	breqan12d 5102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)))
55	43, 54	bibi12d 345	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅) → ((𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) ↔ (∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅))))
56	55	biimparc 479	. . . . 5 ⊢ (((∅ ∈ (Unit‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ ∅ LIndF (𝑅 freeLMod ∅)) ∧ (𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅)) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
57	40, 56	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀 = ∅ ∧ 𝐼 = ∅)) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
58	57	anassrs 467	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 = ∅) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
59	8, 58	sylancom 589	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 = ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
60	9	simprbi 497	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Field → 𝑅 ∈ CRing)
61		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 Mat 𝑅) = (𝐼 Mat 𝑅)
62		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝐼 maDet 𝑅) = (𝐼 maDet 𝑅)
63		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))
64		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) = (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅))
65		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
66	61, 62, 63, 64, 65	matunit 22656	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
67	60, 66	sylan 581	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
68	67	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
69		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
70		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
71	69, 65, 70	drngunit 20705	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅))))
72	10, 71	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅))))
73	72	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅))))
74	62, 61, 63, 69	mdetcl 22574	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ CRing ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
75	60, 74	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅))
76	75	biantrurd 532	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅) ↔ (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅))))
77	73, 76	bitr4d 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅)))
78	77	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅)))
79	61, 63	matrcl 22390	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
80	79	simpld 494	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → 𝐼 ∈ Fin)
81	80	pm4.71i 559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin))
82		xpfi 9224	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin)
83	82	anidms 566	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin)
84		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼)) = (𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))
85	84, 69	frlmfibas 21755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
86	83, 85	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) = (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))))
87	61, 84	matbas 22391	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐼 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ Field) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)))
88	87	ancoms 458	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (Base‘(𝑅 freeLMod (𝐼 × 𝐼))) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)))
89	86, 88	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) = (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)))
90	89	eleq2d 2823	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))))
91		fvex 6848	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
92		elmapg 8780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((Base‘𝑅) ∈ V ∧ (𝐼 × 𝐼) ∈ Fin) → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
93	91, 83, 92	sylancr 588	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
94	93	adantl 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑀 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝐼 × 𝐼)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
95	90, 94	bitr3d 281	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝐼 ∈ Fin) → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)))
96	95	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (𝐼 ∈ Fin → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅))))
97	96	pm5.32rd 578	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ Field → ((𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ↔ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
98	81, 97	bitrid 283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
99	98	biimpd 229	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Field → (𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅)) → (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
100	99	imdistani 568	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
101		anass 468	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ↔ (𝑅 ∈ Field ∧ (𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝐼 ∈ Fin)))
102	100, 101	sylibr 234	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin))
103		eldifsn 4730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅}) ↔ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅))
104		matunitlindflem1 37954	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (¬ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) = (0g‘𝑅)))
105	104	necon1ad 2950	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ (Fin ∖ {∅})) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
106	103, 105	sylan2br 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ (𝐼 ∈ Fin ∧ 𝐼 ≠ ∅)) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
107	106	anassrs 467	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀:(𝐼 × 𝐼)⟶(Base‘𝑅)) ∧ 𝐼 ∈ Fin) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
108	102, 107	sylan 581	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ≠ (0g‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
109	78, 108	sylbid 240	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) → curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
110		matunitlindflem2 37955	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) ∧ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))
111	110	ex 412	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼) → ((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅)))
112	109, 111	impbid 212	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (((𝐼 maDet 𝑅)‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
113	68, 112	bitrd 279	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) ∧ 𝐼 ≠ ∅) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))
114	59, 113	pm2.61dane 3020	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Field ∧ 𝑀 ∈ (Base‘(𝐼 Mat 𝑅))) → (𝑀 ∈ (Unit‘(𝐼 Mat 𝑅)) ↔ curry 𝑀 LIndF (𝑅 freeLMod 𝐼)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∀wral 3052  Vcvv 3430   ∖ cdif 3887  ∅c0 4274  {csn 4568  ⟨cop 4574   class class class wbr 5086  {copab 5148   ↦ cmpt 5167   × cxp 5623  dom cdm 5625   “ cima 5628  ⟶wf 6489  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  curry ccur 8209   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887  Basecbs 17173  Scalarcsca 17217   ·_𝑠 cvsca 17218  0_gc0g 17396  1_rcur 20156  Ringcrg 20208  CRingccrg 20209  Unitcui 20329  DivRingcdr 20700  Fieldcfield 20701  LSpanclspn 20960   freeLMod cfrlm 21739   LIndF clindf 21797   Mat cmat 22385   maDet cmdat 22562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-1cn 11090  ax-icn 11091  ax-addcl 11092  ax-addrcl 11093  ax-mulcl 11094  ax-mulrcl 11095  ax-mulcom 11096  ax-addass 11097  ax-mulass 11098  ax-distr 11099  ax-i2m1 11100  ax-1ne0 11101  ax-1rid 11102  ax-rnegex 11103  ax-rrecex 11104  ax-cnre 11105  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107  ax-pre-ltadd 11108  ax-pre-mulgt0 11109  ax-addf 11111  ax-mulf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-xor 1514  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-isom 6502  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7625  df-om 7812  df-1st 7936  df-2nd 7937  df-supp 8105  df-tpos 8170  df-cur 8211  df-unc 8212  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-2o 8400  df-er 8637  df-map 8769  df-pm 8770  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-fsupp 9269  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9857  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179  df-sub 11373  df-neg 11374  df-div 11802  df-nn 12169  df-2 12238  df-3 12239  df-4 12240  df-5 12241  df-6 12242  df-7 12243  df-8 12244  df-9 12245  df-n0 12432  df-xnn0 12505  df-z 12519  df-dec 12639  df-uz 12783  df-rp 12937  df-fz 13456  df-fzo 13603  df-seq 13958  df-exp 14018  df-hash 14287  df-word 14470  df-lsw 14519  df-concat 14527  df-s1 14553  df-substr 14598  df-pfx 14628  df-splice 14706  df-reverse 14715  df-s2 14804  df-struct 17111  df-sets 17128  df-slot 17146  df-ndx 17158  df-base 17174  df-ress 17195  df-plusg 17227  df-mulr 17228  df-starv 17229  df-sca 17230  df-vsca 17231  df-ip 17232  df-tset 17233  df-ple 17234  df-ds 17236  df-unif 17237  df-hom 17238  df-cco 17239  df-0g 17398  df-gsum 17399  df-prds 17404  df-pws 17406  df-mre 17542  df-mrc 17543  df-mri 17544  df-acs 17545  df-mgm 18602  df-sgrp 18681  df-mnd 18697  df-mhm 18745  df-submnd 18746  df-efmnd 18831  df-grp 18906  df-minusg 18907  df-sbg 18908  df-mulg 19038  df-subg 19093  df-ghm 19182  df-gim 19228  df-cntz 19286  df-oppg 19315  df-symg 19339  df-pmtr 19411  df-psgn 19460  df-evpm 19461  df-cmn 19751  df-abl 19752  df-mgp 20116  df-rng 20128  df-ur 20157  df-srg 20162  df-ring 20210  df-cring 20211  df-oppr 20311  df-dvdsr 20331  df-unit 20332  df-invr 20362  df-dvr 20375  df-rhm 20446  df-nzr 20484  df-subrng 20517  df-subrg 20541  df-drng 20702  df-field 20703  df-lmod 20851  df-lss 20921  df-lsp 20961  df-lmhm 21012  df-lbs 21065  df-lvec 21093  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-cnfld 21348  df-zring 21440  df-zrh 21496  df-dsmm 21725  df-frlm 21740  df-uvc 21776  df-lindf 21799  df-linds 21800  df-assa 21846  df-mamu 22369  df-mat 22386  df-mdet 22563  df-madu 22612

This theorem is referenced by: (None)