Theorem isldepslvec2 49293

Description: Alternative definition of being a linearly dependent subset of a (left) vector space. In this case, the reverse implication of islindeps2 49291 holds, so that both definitions are equivalent (see theorem 1.6 in [Roman] p. 46 and the note in [Roman] p. 112: if a nontrivial linear combination of elements (where not all of the coefficients are 0) in an R-vector space is 0, then and only then each of the elements is a linear combination of the others. (Contributed by AV, 30-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindeps2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
islindeps2.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
islindeps2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
islindeps2.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
islindeps2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isldepslvec2	⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ 𝑆 linDepS 𝑀))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝐸,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Proof of Theorem isldepslvec2

Dummy variables 𝑔 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21238	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LVec → 𝑀 ∈ LMod)
2	1	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑀 ∈ LMod)
3		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
4		islindeps2.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
5	4	lvecdrng 21237	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
6		drngnzr 20859	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LVec → 𝑅 ∈ NzRing)
8	7	adantr 485	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑅 ∈ NzRing)
9		islindeps2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
10		islindeps2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
11		islindeps2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
12		islindeps2.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	9, 10, 4, 11, 12	islindeps2 49291	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))
14	2, 3, 8, 13	syl3anc 1397	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))
15	9, 10, 4, 11, 12	islindeps 49261	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
16		df-3an 1104	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
17		r19.42v 3196	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
18	16, 17	bitr4i 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
19	18	rexbii 3111	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
20		rexcom 3293	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
21	19, 20	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
22		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
23	1	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
24		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ 𝑆)
25	22, 23, 24	3jca 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
26	25	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
27		simplr 780	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
28		elmapi 8844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝑔:𝑆⟶𝐸)
29		ffvelcdm 7076	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔:𝑆⟶𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑔‘𝑠) ∈ 𝐸)
30	28, 24, 29	syl2anr 608	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) → (𝑔‘𝑠) ∈ 𝐸)
31		simpr 489	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )
32	30, 31	anim12i 624	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → ((𝑔‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
33	5	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ DivRing)
34	33	ad2antrr 738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
35		eqid 2762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
36	11, 35, 12	drngunit 20843	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑔‘𝑠) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝑔‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
37	34, 36	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → ((𝑔‘𝑠) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝑔‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
38	32, 37	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑔‘𝑠) ∈ (Unit‘𝑅))
39		simpll 778	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → 𝑔 finSupp 0 )
40	39	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → 𝑔 finSupp 0 )
41		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
42		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
43		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
44		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))
45	9, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 44	lincresunit2 49286	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝑔‘𝑠) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑔 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 )
46	26, 27, 38, 40, 45	syl13anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 )
47		simpll 778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LVec)
48	22, 47, 24	3jca 1145	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
49	48	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
50		simprr 784	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )
51		simplr 780	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
52	51	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
53		fveq2 6881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑔‘𝑧) = (𝑔‘𝑦))
54	53	oveq2d 7428	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)) = (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑦)))
55	54	cbvmptv 5214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) = (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑦)))
56	9, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 55	lincreslvec3 49290	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ∧ 𝑔 finSupp 0 ) ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
57	49, 27, 50, 40, 52, 56	syl131anc 1409	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
58	9, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 44	lincresunit1 49285	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝑔‘𝑠) ∈ (Unit‘𝑅))) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠})))
59	26, 27, 38, 58	syl12anc 849	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠})))
60		breq1 5111	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) → (𝑓 finSupp 0 ↔ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 ))
61		oveq1 7419	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) → (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
62	61	eqeq1d 2764	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) → ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠 ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠))
63	60, 62	anbi12d 643	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
64	63	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))) → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
65	59, 64	rspcedv 3573	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
66	46, 57, 65	mp2and 711	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠))
67	66	rexlimdva2 3167	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
68	67	reximdva 3177	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
69	21, 68	biimtrid 245	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
70	15, 69	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
71	14, 70	impbid 215	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ 𝑆 linDepS 𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ∃wrex 3088   ∖ cdif 3901  𝒫 cpw 4561  {csn 4588   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412   ↑_m cmap 8822   finSupp cfsupp 9319  Basecbs 17275  ._rcmulr 17317  Scalarcsca 17319  0_gc0g 17498  inv_gcminusg 19007  Unitcui 20444  inv_rcinvr 20476  NzRingcnzr 20620  DivRingcdr 20838  LModclmod 20992  LVecclvec 21234   linC clinc 49212   linDepS clindeps 49249

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-int 4912  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-se 5614  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-supp 8155  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-2o 8452  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9320  df-oi 9470  df-card 9932  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-n0 12511  df-z 12598  df-uz 12869  df-fz 13542  df-fzo 13690  df-seq 14045  df-hash 14374  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-0g 17500  df-gsum 17501  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-submnd 18848  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-mulg 19140  df-ghm 19290  df-cntz 19393  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-nzr 20621  df-drng 20840  df-lmod 20994  df-lvec 21235  df-linc 49214  df-lininds 49250  df-lindeps 49252

This theorem is used by:  ldepslinc  49317