Theorem isldepslvec2 45390

Description: Alternative definition of being a linearly dependent subset of a (left) vector space. In this case, the reverse implication of islindeps2 45388 holds, so that both definitions are equivalent (see theorem 1.6 in [Roman] p. 46 and the note in [Roman] p. 112: if a nontrivial linear combination of elements (where not all of the coefficients are 0) in an R-vector space is 0, then and only then each of the elements is a linear combination of the others. (Contributed by AV, 30-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindeps2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
islindeps2.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
islindeps2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
islindeps2.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
islindeps2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isldepslvec2	⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ 𝑆 linDepS 𝑀))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝐸,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Proof of Theorem isldepslvec2

Dummy variables 𝑔 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 20000	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LVec → 𝑀 ∈ LMod)
2	1	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑀 ∈ LMod)
3		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
4		islindeps2.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
5	4	lvecdrng 19999	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
6		drngnzr 20157	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LVec → 𝑅 ∈ NzRing)
8	7	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑅 ∈ NzRing)
9		islindeps2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
10		islindeps2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
11		islindeps2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
12		islindeps2.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	9, 10, 4, 11, 12	islindeps2 45388	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))
14	2, 3, 8, 13	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))
15	9, 10, 4, 11, 12	islindeps 45358	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
16		df-3an 1090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
17		r19.42v 3255	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
18	16, 17	bitr4i 281	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
19	18	rexbii 3162	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
20		rexcom 3260	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
21	19, 20	bitri 278	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
22		simplr 769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
23	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
24		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ 𝑆)
25	22, 23, 24	3jca 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
26	25	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
27		simplr 769	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
28		elmapi 8462	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝑔:𝑆⟶𝐸)
29		ffvelrn 6862	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔:𝑆⟶𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑔‘𝑠) ∈ 𝐸)
30	28, 24, 29	syl2anr 600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) → (𝑔‘𝑠) ∈ 𝐸)
31		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )
32	30, 31	anim12i 616	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → ((𝑔‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
33	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ DivRing)
34	33	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
35		eqid 2739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
36	11, 35, 12	drngunit 19629	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑔‘𝑠) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝑔‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → ((𝑔‘𝑠) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝑔‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
38	32, 37	mpbird 260	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑔‘𝑠) ∈ (Unit‘𝑅))
39		simpll 767	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → 𝑔 finSupp 0 )
40	39	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → 𝑔 finSupp 0 )
41		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
42		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
43		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
44		eqid 2739	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))
45	9, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 44	lincresunit2 45383	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝑔‘𝑠) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑔 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 )
46	26, 27, 38, 40, 45	syl13anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 )
47		simpll 767	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LVec)
48	22, 47, 24	3jca 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
49	48	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
50		simprr 773	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )
51		simplr 769	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
52	51	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
53		fveq2 6677	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑔‘𝑧) = (𝑔‘𝑦))
54	53	oveq2d 7189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)) = (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑦)))
55	54	cbvmptv 5134	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) = (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑦)))
56	9, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 55	lincreslvec3 45387	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ∧ 𝑔 finSupp 0 ) ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
57	49, 27, 50, 40, 52, 56	syl131anc 1384	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
58	9, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 44	lincresunit1 45382	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝑔‘𝑠) ∈ (Unit‘𝑅))) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠})))
59	26, 27, 38, 58	syl12anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠})))
60		breq1 5034	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) → (𝑓 finSupp 0 ↔ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 ))
61		oveq1 7180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) → (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
62	61	eqeq1d 2741	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) → ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠 ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠))
63	60, 62	anbi12d 634	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
64	63	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))) → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
65	59, 64	rspcedv 3520	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
66	46, 57, 65	mp2and 699	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠))
67	66	rexlimdva2 3198	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
68	67	reximdva 3185	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
69	21, 68	syl5bi 245	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
70	15, 69	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
71	14, 70	impbid 215	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ 𝑆 linDepS 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2935  ∃wrex 3055   ∖ cdif 3841  𝒫 cpw 4489  {csn 4517   class class class wbr 5031   ↦ cmpt 5111  ⟶wf 6336  ‘cfv 6340  (class class class)co 7173   ↑_m cmap 8440   finSupp cfsupp 8909  Basecbs 16589  ._rcmulr 16672  Scalarcsca 16674  0_gc0g 16819  inv_gcminusg 18223  Unitcui 19514  inv_rcinvr 19546  DivRingcdr 19624  LModclmod 19756  LVecclvec 19996  NzRingcnzr 20152   linC clinc 45309   linDepS clindeps 45346

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5233  ax-pr 5297  ax-un 7482  ax-cnex 10674  ax-resscn 10675  ax-1cn 10676  ax-icn 10677  ax-addcl 10678  ax-addrcl 10679  ax-mulcl 10680  ax-mulrcl 10681  ax-mulcom 10682  ax-addass 10683  ax-mulass 10684  ax-distr 10685  ax-i2m1 10686  ax-1ne0 10687  ax-1rid 10688  ax-rnegex 10689  ax-rrecex 10690  ax-cnre 10691  ax-pre-lttri 10692  ax-pre-lttrn 10693  ax-pre-ltadd 10694  ax-pre-mulgt0 10695

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rmo 3062  df-rab 3063  df-v 3401  df-sbc 3682  df-csb 3792  df-dif 3847  df-un 3849  df-in 3851  df-ss 3861  df-pss 3863  df-nul 4213  df-if 4416  df-pw 4491  df-sn 4518  df-pr 4520  df-tp 4522  df-op 4524  df-uni 4798  df-int 4838  df-iun 4884  df-iin 4885  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5484  df-se 5485  df-we 5486  df-xp 5532  df-rel 5533  df-cnv 5534  df-co 5535  df-dm 5536  df-rn 5537  df-res 5538  df-ima 5539  df-pred 6130  df-ord 6176  df-on 6177  df-lim 6178  df-suc 6179  df-iota 6298  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7130  df-ov 7176  df-oprab 7177  df-mpo 7178  df-of 7428  df-om 7603  df-1st 7717  df-2nd 7718  df-supp 7860  df-tpos 7924  df-wrecs 7979  df-recs 8040  df-rdg 8078  df-1o 8134  df-er 8323  df-map 8442  df-en 8559  df-dom 8560  df-sdom 8561  df-fin 8562  df-fsupp 8910  df-oi 9050  df-card 9444  df-pnf 10758  df-mnf 10759  df-xr 10760  df-ltxr 10761  df-le 10762  df-sub 10953  df-neg 10954  df-nn 11720  df-2 11782  df-3 11783  df-n0 11980  df-z 12066  df-uz 12328  df-fz 12985  df-fzo 13128  df-seq 13464  df-hash 13786  df-ndx 16592  df-slot 16593  df-base 16595  df-sets 16596  df-ress 16597  df-plusg 16684  df-mulr 16685  df-0g 16821  df-gsum 16822  df-mre 16963  df-mrc 16964  df-acs 16966  df-mgm 17971  df-sgrp 18020  df-mnd 18031  df-mhm 18075  df-submnd 18076  df-grp 18225  df-minusg 18226  df-mulg 18346  df-ghm 18477  df-cntz 18568  df-cmn 19029  df-abl 19030  df-mgp 19362  df-ur 19374  df-ring 19421  df-oppr 19498  df-dvdsr 19516  df-unit 19517  df-invr 19547  df-drng 19626  df-lmod 19758  df-lvec 19997  df-nzr 20153  df-linc 45311  df-lininds 45347  df-lindeps 45349

This theorem is referenced by:  ldepslinc  45414