Theorem isldepslvec2 47068

Description: Alternative definition of being a linearly dependent subset of a (left) vector space. In this case, the reverse implication of islindeps2 47066 holds, so that both definitions are equivalent (see theorem 1.6 in [Roman] p. 46 and the note in [Roman] p. 112: if a nontrivial linear combination of elements (where not all of the coefficients are 0) in an R-vector space is 0, then and only then each of the elements is a linear combination of the others. (Contributed by AV, 30-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindeps2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
islindeps2.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
islindeps2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
islindeps2.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
islindeps2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isldepslvec2	⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ 𝑆 linDepS 𝑀))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝐸,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Proof of Theorem isldepslvec2

Dummy variables 𝑔 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 20705	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LVec → 𝑀 ∈ LMod)
2	1	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑀 ∈ LMod)
3		simpr 486	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
4		islindeps2.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
5	4	lvecdrng 20704	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
6		drngnzr 20323	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LVec → 𝑅 ∈ NzRing)
8	7	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑅 ∈ NzRing)
9		islindeps2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
10		islindeps2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
11		islindeps2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
12		islindeps2.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	9, 10, 4, 11, 12	islindeps2 47066	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))
14	2, 3, 8, 13	syl3anc 1372	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))
15	9, 10, 4, 11, 12	islindeps 47036	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
16		df-3an 1090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
17		r19.42v 3191	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
18	16, 17	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
19	18	rexbii 3095	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
20		rexcom 3288	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
21	19, 20	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
22		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
23	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
24		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ 𝑆)
25	22, 23, 24	3jca 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
26	25	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
27		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
28		elmapi 8839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝑔:𝑆⟶𝐸)
29		ffvelcdm 7079	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔:𝑆⟶𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑔‘𝑠) ∈ 𝐸)
30	28, 24, 29	syl2anr 598	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) → (𝑔‘𝑠) ∈ 𝐸)
31		simpr 486	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )
32	30, 31	anim12i 614	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → ((𝑔‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
33	5	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ DivRing)
34	33	ad2antrr 725	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
35		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
36	11, 35, 12	drngunit 20309	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑔‘𝑠) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝑔‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → ((𝑔‘𝑠) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝑔‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
38	32, 37	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑔‘𝑠) ∈ (Unit‘𝑅))
39		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → 𝑔 finSupp 0 )
40	39	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → 𝑔 finSupp 0 )
41		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
42		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
43		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
44		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))
45	9, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 44	lincresunit2 47061	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝑔‘𝑠) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑔 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 )
46	26, 27, 38, 40, 45	syl13anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 )
47		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LVec)
48	22, 47, 24	3jca 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
49	48	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
50		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )
51		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
52	51	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
53		fveq2 6888	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑔‘𝑧) = (𝑔‘𝑦))
54	53	oveq2d 7420	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)) = (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑦)))
55	54	cbvmptv 5260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) = (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑦)))
56	9, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 55	lincreslvec3 47065	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ∧ 𝑔 finSupp 0 ) ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
57	49, 27, 50, 40, 52, 56	syl131anc 1384	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
58	9, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 44	lincresunit1 47060	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝑔‘𝑠) ∈ (Unit‘𝑅))) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠})))
59	26, 27, 38, 58	syl12anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠})))
60		breq1 5150	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) → (𝑓 finSupp 0 ↔ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 ))
61		oveq1 7411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) → (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
62	61	eqeq1d 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) → ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠 ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠))
63	60, 62	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
64	63	adantl 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))) → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
65	59, 64	rspcedv 3605	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
66	46, 57, 65	mp2and 698	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠))
67	66	rexlimdva2 3158	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
68	67	reximdva 3169	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
69	21, 68	biimtrid 241	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
70	15, 69	sylbid 239	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
71	14, 70	impbid 211	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ 𝑆 linDepS 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∃wrex 3071   ∖ cdif 3944  𝒫 cpw 4601  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404   ↑_m cmap 8816   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17140  ._rcmulr 17194  Scalarcsca 17196  0_gc0g 17381  inv_gcminusg 18816  Unitcui 20158  inv_rcinvr 20190  NzRingcnzr 20280  DivRingcdr 20304  LModclmod 20459  LVecclvec 20701   linC clinc 46987   linDepS clindeps 47024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-seq 13963  df-hash 14287  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-submnd 18668  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-mulg 18945  df-ghm 19084  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-abl 19644  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-nzr 20281  df-drng 20306  df-lmod 20461  df-lvec 20702  df-linc 46989  df-lininds 47025  df-lindeps 47027

This theorem is referenced by:  ldepslinc  47092