Theorem isldepslvec2 48478

Description: Alternative definition of being a linearly dependent subset of a (left) vector space. In this case, the reverse implication of islindeps2 48476 holds, so that both definitions are equivalent (see theorem 1.6 in [Roman] p. 46 and the note in [Roman] p. 112: if a nontrivial linear combination of elements (where not all of the coefficients are 0) in an R-vector space is 0, then and only then each of the elements is a linear combination of the others. (Contributed by AV, 30-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
islindeps2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
islindeps2.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
islindeps2.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
islindeps2.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
islindeps2.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
isldepslvec2	⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ 𝑆 linDepS 𝑀))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝐸,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Proof of Theorem isldepslvec2

Dummy variables 𝑔 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21020	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LVec → 𝑀 ∈ LMod)
2	1	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑀 ∈ LMod)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
4		islindeps2.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
5	4	lvecdrng 21019	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
6		drngnzr 20664	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LVec → 𝑅 ∈ NzRing)
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑅 ∈ NzRing)
9		islindeps2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
10		islindeps2.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
11		islindeps2.e	. . . 4 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
12		islindeps2.0	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	9, 10, 4, 11, 12	islindeps2 48476	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))
14	2, 3, 8, 13	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))
15	9, 10, 4, 11, 12	islindeps 48446	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
16		df-3an 1088	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
17		r19.42v 3170	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
18	16, 17	bitr4i 278	. . . . . 6 ⊢ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
19	18	rexbii 3077	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
20		rexcom 3267	. . . . 5 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)∃𝑠 ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
21	19, 20	bitri 275	. . . 4 ⊢ (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
22		simplr 768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
23	1	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
24		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑠 ∈ 𝑆)
25	22, 23, 24	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
26	25	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
27		simplr 768	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
28		elmapi 8825	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝑔:𝑆⟶𝐸)
29		ffvelcdm 7056	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑔:𝑆⟶𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑔‘𝑠) ∈ 𝐸)
30	28, 24, 29	syl2anr 597	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) → (𝑔‘𝑠) ∈ 𝐸)
31		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )
32	30, 31	anim12i 613	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → ((𝑔‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ))
33	5	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ DivRing)
34	33	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
35		eqid 2730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
36	11, 35, 12	drngunit 20650	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑔‘𝑠) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝑔‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
37	34, 36	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → ((𝑔‘𝑠) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝑔‘𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )))
38	32, 37	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑔‘𝑠) ∈ (Unit‘𝑅))
39		simpll 766	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → 𝑔 finSupp 0 )
40	39	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → 𝑔 finSupp 0 )
41		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
42		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
43		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
44		eqid 2730	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))
45	9, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 44	lincresunit2 48471	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝑔‘𝑠) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑔 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 )
46	26, 27, 38, 40, 45	syl13anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 )
47		simpll 766	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LVec)
48	22, 47, 24	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
49	48	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
50		simprr 772	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )
51		simplr 768	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
52	51	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
53		fveq2 6861	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (𝑔‘𝑧) = (𝑔‘𝑦))
54	53	oveq2d 7406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = 𝑦 → (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)) = (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑦)))
55	54	cbvmptv 5214	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) = (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑦)))
56	9, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 55	lincreslvec3 48475	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ∧ 𝑔 finSupp 0 ) ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
57	49, 27, 50, 40, 52, 56	syl131anc 1385	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
58	9, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 44	lincresunit1 48470	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝑔‘𝑠) ∈ (Unit‘𝑅))) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠})))
59	26, 27, 38, 58	syl12anc 836	. . . . . . . 8 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠})))
60		breq1 5113	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) → (𝑓 finSupp 0 ↔ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 ))
61		oveq1 7397	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) → (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
62	61	eqeq1d 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) → ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠 ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠))
63	60, 62	anbi12d 632	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
64	63	adantl 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))) → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
65	59, 64	rspcedv 3584	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → (((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr‘𝑅)‘((invg‘𝑅)‘(𝑔‘𝑠)))(.r‘𝑅)(𝑔‘𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
66	46, 57, 65	mp2and 699	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 )) → ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠))
67	66	rexlimdva2 3137	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) → (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
68	67	reximdva 3147	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
69	21, 68	biimtrid 242	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠 ∈ 𝑆 (𝑔‘𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
70	15, 69	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 → ∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
71	14, 70	impbid 212	1 ⊢ ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠 ∈ 𝑆 ∃𝑓 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ 𝑆 linDepS 𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2926  ∃wrex 3054   ∖ cdif 3914  𝒫 cpw 4566  {csn 4592   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5191  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ↑_m cmap 8802   finSupp cfsupp 9319  Basecbs 17186  ._rcmulr 17228  Scalarcsca 17230  0_gc0g 17409  inv_gcminusg 18873  Unitcui 20271  inv_rcinvr 20303  NzRingcnzr 20428  DivRingcdr 20645  LModclmod 20773  LVecclvec 21016   linC clinc 48397   linDepS clindeps 48434

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-tpos 8208  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-mulg 19007  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-nzr 20429  df-drng 20647  df-lmod 20775  df-lvec 21017  df-linc 48399  df-lininds 48435  df-lindeps 48437

This theorem is referenced by:  ldepslinc  48502