Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isldepslvec2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isldepslvec2 44468
Description: Alternative definition of being a linearly dependent subset of a (left) vector space. In this case, the reverse implication of islindeps2 44466 holds, so that both definitions are equivalent (see theorem 1.6 in [Roman] p. 46 and the note in [Roman] p. 112: if a nontrivial linear combination of elements (where not all of the coefficients are 0) in an R-vector space is 0, then and only then each of the elements is a linear combination of the others. (Contributed by AV, 30-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islindeps2.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
islindeps2.z 𝑍 = (0g𝑀)
islindeps2.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
islindeps2.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
islindeps2.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
isldepslvec2 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ 𝑆 linDepS 𝑀))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑓,𝑠   𝑓,𝐸,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Proof of Theorem isldepslvec2
Dummy variables 𝑔 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 19807 . . . 4 (𝑀 ∈ LVec → 𝑀 ∈ LMod)
21adantr 481 . . 3 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑀 ∈ LMod)
3 simpr 485 . . 3 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
4 islindeps2.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
54lvecdrng 19806 . . . . 5 (𝑀 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
6 drngnzr 19963 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ NzRing)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ LVec → 𝑅 ∈ NzRing)
87adantr 481 . . 3 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑅 ∈ NzRing)
9 islindeps2.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑀)
10 islindeps2.z . . . 4 𝑍 = (0g𝑀)
11 islindeps2.e . . . 4 𝐸 = (Base‘𝑅)
12 islindeps2.0 . . . 4 0 = (0g𝑅)
139, 10, 4, 11, 12islindeps2 44466 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑅 ∈ NzRing) → (∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))
142, 3, 8, 13syl3anc 1363 . 2 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → 𝑆 linDepS 𝑀))
159, 10, 4, 11, 12islindeps 44436 . . 3 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
16 df-3an 1081 . . . . . . 7 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
17 r19.42v 3347 . . . . . . 7 (∃𝑠𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
1816, 17bitr4i 279 . . . . . 6 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
1918rexbii 3244 . . . . 5 (∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)∃𝑠𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
20 rexcom 3352 . . . . 5 (∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)∃𝑠𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠𝑆𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
2119, 20bitri 276 . . . 4 (∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) ↔ ∃𝑠𝑆𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
22 simplr 765 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
231ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
24 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑠𝑆)
2522, 23, 243jca 1120 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑆))
2625ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑆))
27 simplr 765 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → 𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆))
28 elmapi 8417 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆) → 𝑔:𝑆𝐸)
29 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:𝑆𝐸𝑠𝑆) → (𝑔𝑠) ∈ 𝐸)
3028, 24, 29syl2anr 596 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)) → (𝑔𝑠) ∈ 𝐸)
31 simpr 485 . . . . . . . . . 10 (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) → (𝑔𝑠) ≠ 0 )
3230, 31anim12i 612 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → ((𝑔𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ))
335ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑅 ∈ DivRing)
3433ad2antrr 722 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
35 eqid 2818 . . . . . . . . . . 11 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3611, 35, 12drngunit 19436 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑔𝑠) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝑔𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
3734, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → ((𝑔𝑠) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝑔𝑠) ∈ 𝐸 ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )))
3832, 37mpbird 258 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → (𝑔𝑠) ∈ (Unit‘𝑅))
39 simpll 763 . . . . . . . . 9 (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) → 𝑔 finSupp 0 )
4039adantl 482 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → 𝑔 finSupp 0 )
41 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) = (invg𝑅)
42 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (invr𝑅) = (invr𝑅)
43 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
44 eqid 2818 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧)))
459, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 44lincresunit2 44461 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝑔𝑠) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ 𝑔 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) finSupp 0 )
4626, 27, 38, 40, 45syl13anc 1364 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) finSupp 0 )
47 simpll 763 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → 𝑀 ∈ LVec)
4822, 47, 243jca 1120 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠𝑆))
4948ad2antrr 722 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠𝑆))
50 simprr 769 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → (𝑔𝑠) ≠ 0 )
51 simplr 765 . . . . . . . . 9 (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) → (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
5251adantl 482 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
53 fveq2 6663 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 → (𝑔𝑧) = (𝑔𝑦))
5453oveq2d 7161 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 → (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧)) = (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑦)))
5554cbvmptv 5160 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) = (𝑦 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑦)))
569, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 55lincreslvec3 44465 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0𝑔 finSupp 0 ) ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
5749, 27, 50, 40, 52, 56syl131anc 1375 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)
589, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 44lincresunit1 44460 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝑔𝑠) ∈ (Unit‘𝑅))) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠})))
5926, 27, 38, 58syl12anc 832 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠})))
60 breq1 5060 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) → (𝑓 finSupp 0 ↔ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) finSupp 0 ))
61 oveq1 7152 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) → (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})))
6261eqeq1d 2820 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) → ((𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠 ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠))
6360, 62anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
6463adantl 482 . . . . . . . 8 ((((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧)))) → ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
6559, 64rspcedv 3613 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → (((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑠}) ↦ (((invr𝑅)‘((invg𝑅)‘(𝑔𝑠)))(.r𝑅)(𝑔𝑧)))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) → ∃𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
6646, 57, 65mp2and 695 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 )) → ∃𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠))
6766rexlimdva2 3284 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ 𝑠𝑆) → (∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
6867reximdva 3271 . . . 4 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠𝑆𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) ∧ (𝑔𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
6921, 68syl5bi 243 . . 3 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑔 ∈ (𝐸m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍 ∧ ∃𝑠𝑆 (𝑔𝑠) ≠ 0 ) → ∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
7015, 69sylbid 241 . 2 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝑆 linDepS 𝑀 → ∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠)))
7114, 70impbid 213 1 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (∃𝑠𝑆𝑓 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑠})) = 𝑠) ↔ 𝑆 linDepS 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wrex 3136  cdif 3930  𝒫 cpw 4535  {csn 4557   class class class wbr 5057  cmpt 5137  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  m cmap 8395   finSupp cfsupp 8821  Basecbs 16471  .rcmulr 16554  Scalarcsca 16556  0gc0g 16701  invgcminusg 18042  Unitcui 19318  invrcinvr 19350  DivRingcdr 19431  LModclmod 19563  LVecclvec 19803  NzRingcnzr 19958   linC clinc 44387   linDepS clindeps 44424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-hash 13679  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-gsum 16704  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-mhm 17944  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-mulg 18163  df-ghm 18294  df-cntz 18385  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lvec 19804  df-nzr 19959  df-linc 44389  df-lininds 44425  df-lindeps 44427
This theorem is referenced by:  ldepslinc  44492
  Copyright terms: Public domain W3C validator