Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isldepslvec2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isldepslvec2 47354
Description: Alternative definition of being a linearly dependent subset of a (left) vector space. In this case, the reverse implication of islindeps2 47352 holds, so that both definitions are equivalent (see theorem 1.6 in [Roman] p. 46 and the note in [Roman] p. 112: if a nontrivial linear combination of elements (where not all of the coefficients are 0) in an R-vector space is 0, then and only then each of the elements is a linear combination of the others. (Contributed by AV, 30-Apr-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
islindeps2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
islindeps2.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
islindeps2.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
islindeps2.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
islindeps2.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
isldepslvec2 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) ↔ 𝑆 linDepS 𝑀))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑓,𝑠   𝑓,𝐸,𝑠   𝑓,𝑀,𝑠   𝑅,𝑓,𝑠   𝑆,𝑓,𝑠   𝑓,𝑍,𝑠   0 ,𝑓,𝑠

Proof of Theorem isldepslvec2
Dummy variables 𝑔 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 20944 . . . 4 (𝑀 ∈ LVec β†’ 𝑀 ∈ LMod)
21adantr 480 . . 3 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
3 simpr 484 . . 3 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡)
4 islindeps2.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
54lvecdrng 20943 . . . . 5 (𝑀 ∈ LVec β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
6 drngnzr 20597 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝑀 ∈ LVec β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
87adantr 480 . . 3 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ NzRing)
9 islindeps2.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
10 islindeps2.z . . . 4 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
11 islindeps2.e . . . 4 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
12 islindeps2.0 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
139, 10, 4, 11, 12islindeps2 47352 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑅 ∈ NzRing) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) β†’ 𝑆 linDepS 𝑀))
142, 3, 8, 13syl3anc 1368 . 2 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) β†’ 𝑆 linDepS 𝑀))
159, 10, 4, 11, 12islindeps 47322 . . 3 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑆 linDepS 𝑀 ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )))
16 df-3an 1086 . . . . . . 7 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
17 r19.42v 3182 . . . . . . 7 (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
1816, 17bitr4i 278 . . . . . 6 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
1918rexbii 3086 . . . . 5 (βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
20 rexcom 3279 . . . . 5 (βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
2119, 20bitri 275 . . . 4 (βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) ↔ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
22 simplr 766 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡)
231ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
24 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
2522, 23, 243jca 1125 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
2625ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
27 simplr 766 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )) β†’ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
28 elmapi 8839 . . . . . . . . . . 11 (𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) β†’ 𝑔:π‘†βŸΆπΈ)
29 ffvelcdm 7073 . . . . . . . . . . 11 ((𝑔:π‘†βŸΆπΈ ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (π‘”β€˜π‘ ) ∈ 𝐸)
3028, 24, 29syl2anr 596 . . . . . . . . . 10 ((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ (π‘”β€˜π‘ ) ∈ 𝐸)
31 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) β†’ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )
3230, 31anim12i 612 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )) β†’ ((π‘”β€˜π‘ ) ∈ 𝐸 ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ))
335ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
3433ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
35 eqid 2724 . . . . . . . . . . 11 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
3611, 35, 12drngunit 20582 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((π‘”β€˜π‘ ) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ ((π‘”β€˜π‘ ) ∈ 𝐸 ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )))
3734, 36syl 17 . . . . . . . . 9 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )) β†’ ((π‘”β€˜π‘ ) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ ((π‘”β€˜π‘ ) ∈ 𝐸 ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )))
3832, 37mpbird 257 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )) β†’ (π‘”β€˜π‘ ) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
39 simpll 764 . . . . . . . . 9 (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) β†’ 𝑔 finSupp 0 )
4039adantl 481 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )) β†’ 𝑔 finSupp 0 )
41 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
42 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
43 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
44 eqid 2724 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§))) = (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§)))
459, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 44lincresunit2 47347 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ 𝑔 finSupp 0 )) β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 )
4626, 27, 38, 40, 45syl13anc 1369 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )) β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 )
47 simpll 764 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ LVec)
4822, 47, 243jca 1125 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
4948ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝑆))
50 simprr 770 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )) β†’ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )
51 simplr 766 . . . . . . . . 9 (((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) β†’ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)
5251adantl 481 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )) β†’ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍)
53 fveq2 6881 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = 𝑦 β†’ (π‘”β€˜π‘§) = (π‘”β€˜π‘¦))
5453oveq2d 7417 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = 𝑦 β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘¦)))
5554cbvmptv 5251 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§))) = (𝑦 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘¦)))
569, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 55lincreslvec3 47351 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ∧ 𝑔 finSupp 0 ) ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ ((𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)
5749, 27, 50, 40, 52, 56syl131anc 1380 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )) β†’ ((𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)
589, 4, 11, 35, 12, 10, 41, 42, 43, 44lincresunit1 47346 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ (𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§))) ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})))
5926, 27, 38, 58syl12anc 834 . . . . . . . 8 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )) β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§))) ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠})))
60 breq1 5141 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§))) β†’ (𝑓 finSupp 0 ↔ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 ))
61 oveq1 7408 . . . . . . . . . . 11 (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§))) β†’ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = ((𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})))
6261eqeq1d 2726 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§))) β†’ ((𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠 ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠))
6360, 62anbi12d 630 . . . . . . . . 9 (𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§))) β†’ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)))
6463adantl 481 . . . . . . . 8 ((((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )) ∧ 𝑓 = (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§)))) β†’ ((𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) ↔ ((𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)))
6559, 64rspcedv 3597 . . . . . . 7 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )) β†’ (((𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§))) finSupp 0 ∧ ((𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑠}) ↦ (((invrβ€˜π‘…)β€˜((invgβ€˜π‘…)β€˜(π‘”β€˜π‘ )))(.rβ€˜π‘…)(π‘”β€˜π‘§)))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)))
6646, 57, 65mp2and 696 . . . . . 6 (((((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) ∧ 𝑔 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) ∧ ((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 )) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠))
6766rexlimdva2 3149 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)))
6867reximdva 3160 . . . 4 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)((𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)))
6921, 68biimtrid 241 . . 3 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘” ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)(𝑔 finSupp 0 ∧ (𝑔( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ∧ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 (π‘”β€˜π‘ ) β‰  0 ) β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)))
7015, 69sylbid 239 . 2 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝑆 linDepS 𝑀 β†’ βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠)))
7114, 70impbid 211 1 ((𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (βˆƒπ‘  ∈ 𝑆 βˆƒπ‘“ ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑠}))(𝑓 finSupp 0 ∧ (𝑓( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑠})) = 𝑠) ↔ 𝑆 linDepS 𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2932  βˆƒwrex 3062   βˆ– cdif 3937  π’« cpw 4594  {csn 4620   class class class wbr 5138   ↦ cmpt 5221  βŸΆwf 6529  β€˜cfv 6533  (class class class)co 7401   ↑m cmap 8816   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17143  .rcmulr 17197  Scalarcsca 17199  0gc0g 17384  invgcminusg 18854  Unitcui 20247  invrcinvr 20279  NzRingcnzr 20404  DivRingcdr 20577  LModclmod 20696  LVecclvec 20940   linC clinc 47273   linDepS clindeps 47310
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-int 4941  df-iun 4989  df-iin 4990  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-se 5622  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-isom 6542  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-n0 12470  df-z 12556  df-uz 12820  df-fz 13482  df-fzo 13625  df-seq 13964  df-hash 14288  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-gsum 17387  df-mre 17529  df-mrc 17530  df-acs 17532  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-mhm 18703  df-submnd 18704  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-mulg 18986  df-ghm 19129  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-nzr 20405  df-drng 20579  df-lmod 20698  df-lvec 20941  df-linc 47275  df-lininds 47311  df-lindeps 47313
This theorem is referenced by:  ldepslinc  47378
  Copyright terms: Public domain W3C validator