Theorem sdrginvcl 33946

Description: A sub-division-ring is closed under the ring inverse operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdrginvcl.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
sdrginvcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sdrginvcl	⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem sdrginvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 21078	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
2	1	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
3	2	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
4	3	simp3d 1162	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing)
5		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐴)
6	3	simp2d 1161	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
7		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
8	7	subrgbas 20866	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
9	6, 8	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
10	5, 9	eleqtrd 2866	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
11		simp3 1156	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ 0 )
12		sdrginvcl.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	7, 12	subrg0 20864	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 0 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
14	6, 13	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 0 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
15	11, 14	neeqtrd 3028	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))
17		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴))
18		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (invr‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (invr‘(𝑅 ↾s 𝐴))
19	16, 17, 18	drnginvrcl 21044	. . 3 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → ((invr‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
20	4, 10, 15, 19	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((invr‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
21		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))
22	16, 21, 17	drngunit 21018	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing → (𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))))
23	22	biimpar 483	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))) → 𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
24	4, 10, 15, 23	syl12anc 850	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
25		sdrginvcl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
26	7, 25, 21, 18	subrginv 20873	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → (𝐼‘𝑋) = ((invr‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘𝑋))
27	6, 24, 26	syl2anc 596	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) = ((invr‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘𝑋))
28	20, 27, 9	3eltr4d 2879	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419   ↾_s cress 17440  0_gc0g 17642  Unitcui 20618  inv_rcinvr 20650  SubRingcsubrg 20854  DivRingcdr 21013  SubDRingcsdrg 21076

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-tpos 8274  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-minusg 19180  df-subg 19365  df-cmn 20029  df-abl 20030  df-mgp 20394  df-rng 20408  df-ur 20441  df-ring 20494  df-oppr 20600  df-dvdsr 20620  df-unit 20621  df-invr 20651  df-subrg 20855  df-drng 21015  df-sdrg 21077

This theorem is used by: (None)