Theorem sdrginvcl 33261

Description: A sub-division-ring is closed under the ring inverse operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdrginvcl.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
sdrginvcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sdrginvcl	⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem sdrginvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20701	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
2	1	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
3	2	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
4	3	simp3d 1144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing)
5		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐴)
6	3	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
7		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
8	7	subrgbas 20494	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
10	5, 9	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
11		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ 0 )
12		sdrginvcl.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	7, 12	subrg0 20492	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 0 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
14	6, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 0 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
15	11, 14	neeqtrd 2997	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
16		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))
17		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴))
18		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (invr‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (invr‘(𝑅 ↾s 𝐴))
19	16, 17, 18	drnginvrcl 20666	. . 3 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → ((invr‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
20	4, 10, 15, 19	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((invr‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
21		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))
22	16, 21, 17	drngunit 20647	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing → (𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))))
23	22	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))) → 𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
24	4, 10, 15, 23	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
25		sdrginvcl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
26	7, 25, 21, 18	subrginv 20501	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → (𝐼‘𝑋) = ((invr‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘𝑋))
27	6, 24, 26	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) = ((invr‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘𝑋))
28	20, 27, 9	3eltr4d 2846	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117   ↾_s cress 17138  0_gc0g 17340  Unitcui 20271  inv_rcinvr 20303  SubRingcsubrg 20482  DivRingcdr 20642  SubDRingcsdrg 20699

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-0g 17342  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-subg 19033  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-subrg 20483  df-drng 20644  df-sdrg 20700

This theorem is referenced by: (None)