Theorem sdrginvcl 33273

Description: A sub-division-ring is closed under the ring inverse operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdrginvcl.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
sdrginvcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sdrginvcl	⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem sdrginvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20705	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
2	1	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
3	2	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
4	3	simp3d 1144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing)
5		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐴)
6	3	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
7		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
8	7	subrgbas 20498	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
10	5, 9	eleqtrd 2835	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
11		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ 0 )
12		sdrginvcl.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	7, 12	subrg0 20496	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 0 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
14	6, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 0 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
15	11, 14	neeqtrd 2998	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
16		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))
17		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴))
18		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (invr‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (invr‘(𝑅 ↾s 𝐴))
19	16, 17, 18	drnginvrcl 20670	. . 3 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → ((invr‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
20	4, 10, 15, 19	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((invr‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
21		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))
22	16, 21, 17	drngunit 20651	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing → (𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))))
23	22	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))) → 𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
24	4, 10, 15, 23	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
25		sdrginvcl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
26	7, 25, 21, 18	subrginv 20505	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → (𝐼‘𝑋) = ((invr‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘𝑋))
27	6, 24, 26	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) = ((invr‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘𝑋))
28	20, 27, 9	3eltr4d 2848	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122   ↾_s cress 17143  0_gc0g 17345  Unitcui 20275  inv_rcinvr 20307  SubRingcsubrg 20486  DivRingcdr 20646  SubDRingcsdrg 20703

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-0g 17347  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-subg 19038  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-subrg 20487  df-drng 20648  df-sdrg 20704

This theorem is referenced by: (None)