Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sdrginvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdrginvcl 33282
Description: A sub-division-ring is closed under the ring inverse operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
sdrginvcl.i 𝐼 = (invr𝑅)
sdrginvcl.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
sdrginvcl ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem sdrginvcl
StepHypRef Expression
1 issdrg 20806 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝐴) ∈ DivRing))
21biimpi 216 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝐴) ∈ DivRing))
323ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝐴) ∈ DivRing))
43simp3d 1143 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → (𝑅s 𝐴) ∈ DivRing)
5 simp2 1136 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → 𝑋𝐴)
63simp2d 1142 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
7 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑅s 𝐴) = (𝑅s 𝐴)
87subrgbas 20598 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘(𝑅s 𝐴)))
96, 8syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → 𝐴 = (Base‘(𝑅s 𝐴)))
105, 9eleqtrd 2841 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)))
11 simp3 1137 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → 𝑋0 )
12 sdrginvcl.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
137, 12subrg0 20596 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 0 = (0g‘(𝑅s 𝐴)))
146, 13syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → 0 = (0g‘(𝑅s 𝐴)))
1511, 14neeqtrd 3008 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅s 𝐴)))
16 eqid 2735 . . . 4 (Base‘(𝑅s 𝐴)) = (Base‘(𝑅s 𝐴))
17 eqid 2735 . . . 4 (0g‘(𝑅s 𝐴)) = (0g‘(𝑅s 𝐴))
18 eqid 2735 . . . 4 (invr‘(𝑅s 𝐴)) = (invr‘(𝑅s 𝐴))
1916, 17, 18drnginvrcl 20770 . . 3 (((𝑅s 𝐴) ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅s 𝐴))) → ((invr‘(𝑅s 𝐴))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)))
204, 10, 15, 19syl3anc 1370 . 2 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → ((invr‘(𝑅s 𝐴))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)))
21 eqid 2735 . . . . . 6 (Unit‘(𝑅s 𝐴)) = (Unit‘(𝑅s 𝐴))
2216, 21, 17drngunit 20751 . . . . 5 ((𝑅s 𝐴) ∈ DivRing → (𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅s 𝐴)) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅s 𝐴)))))
2322biimpar 477 . . . 4 (((𝑅s 𝐴) ∈ DivRing ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅s 𝐴)))) → 𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅s 𝐴)))
244, 10, 15, 23syl12anc 837 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → 𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅s 𝐴)))
25 sdrginvcl.i . . . 4 𝐼 = (invr𝑅)
267, 25, 21, 18subrginv 20605 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅s 𝐴))) → (𝐼𝑋) = ((invr‘(𝑅s 𝐴))‘𝑋))
276, 24, 26syl2anc 584 . 2 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → (𝐼𝑋) = ((invr‘(𝑅s 𝐴))‘𝑋))
2820, 27, 93eltr4d 2854 1 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  s cress 17274  0gc0g 17486  Unitcui 20372  invrcinvr 20404  SubRingcsubrg 20586  DivRingcdr 20746  SubDRingcsdrg 20804
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-sdrg 20805
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator