Theorem sdrginvcl 33382

Description: A sub-division-ring is closed under the ring inverse operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdrginvcl.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
sdrginvcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
sdrginvcl	⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem sdrginvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issdrg 20721	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
2	1	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
3	2	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
4	3	simp3d 1144	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing)
5		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝐴)
6	3	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
7		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
8	7	subrgbas 20514	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
9	6, 8	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
10	5, 9	eleqtrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
11		simp3 1138	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ 0 )
12		sdrginvcl.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
13	7, 12	subrg0 20512	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 0 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
14	6, 13	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 0 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
15	11, 14	neeqtrd 3001	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
16		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))
17		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴))
18		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (invr‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (invr‘(𝑅 ↾s 𝐴))
19	16, 17, 18	drnginvrcl 20686	. . 3 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → ((invr‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
20	4, 10, 15, 19	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((invr‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
21		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))
22	16, 21, 17	drngunit 20667	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing → (𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))))
23	22	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))) → 𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
24	4, 10, 15, 23	syl12anc 836	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
25		sdrginvcl.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
26	7, 25, 21, 18	subrginv 20521	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → (𝐼‘𝑋) = ((invr‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘𝑋))
27	6, 24, 26	syl2anc 584	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) = ((invr‘(𝑅 ↾s 𝐴))‘𝑋))
28	20, 27, 9	3eltr4d 2851	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  0_gc0g 17359  Unitcui 20291  inv_rcinvr 20323  SubRingcsubrg 20502  DivRingcdr 20662  SubDRingcsdrg 20719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19053  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-subrg 20503  df-drng 20664  df-sdrg 20720

This theorem is referenced by: (None)