Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sdrginvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdrginvcl 31901
Description: A sub-division-ring is closed under the ring inverse operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
sdrginvcl.i 𝐼 = (invr𝑅)
sdrginvcl.0 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
sdrginvcl ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem sdrginvcl
StepHypRef Expression
1 issdrg 20214 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝐴) ∈ DivRing))
21biimpi 215 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝐴) ∈ DivRing))
323ad2ant1 1134 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝐴) ∈ DivRing))
43simp3d 1145 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → (𝑅s 𝐴) ∈ DivRing)
5 simp2 1138 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → 𝑋𝐴)
63simp2d 1144 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
7 eqid 2738 . . . . . 6 (𝑅s 𝐴) = (𝑅s 𝐴)
87subrgbas 20184 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘(𝑅s 𝐴)))
96, 8syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → 𝐴 = (Base‘(𝑅s 𝐴)))
105, 9eleqtrd 2841 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)))
11 simp3 1139 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → 𝑋0 )
12 sdrginvcl.0 . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
137, 12subrg0 20182 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 0 = (0g‘(𝑅s 𝐴)))
146, 13syl 17 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → 0 = (0g‘(𝑅s 𝐴)))
1511, 14neeqtrd 3012 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅s 𝐴)))
16 eqid 2738 . . . 4 (Base‘(𝑅s 𝐴)) = (Base‘(𝑅s 𝐴))
17 eqid 2738 . . . 4 (0g‘(𝑅s 𝐴)) = (0g‘(𝑅s 𝐴))
18 eqid 2738 . . . 4 (invr‘(𝑅s 𝐴)) = (invr‘(𝑅s 𝐴))
1916, 17, 18drnginvrcl 20158 . . 3 (((𝑅s 𝐴) ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅s 𝐴))) → ((invr‘(𝑅s 𝐴))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)))
204, 10, 15, 19syl3anc 1372 . 2 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → ((invr‘(𝑅s 𝐴))‘𝑋) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)))
21 eqid 2738 . . . . . 6 (Unit‘(𝑅s 𝐴)) = (Unit‘(𝑅s 𝐴))
2216, 21, 17drngunit 20143 . . . . 5 ((𝑅s 𝐴) ∈ DivRing → (𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅s 𝐴)) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅s 𝐴)))))
2322biimpar 479 . . . 4 (((𝑅s 𝐴) ∈ DivRing ∧ (𝑋 ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘(𝑅s 𝐴)))) → 𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅s 𝐴)))
244, 10, 15, 23syl12anc 836 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → 𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅s 𝐴)))
25 sdrginvcl.i . . . 4 𝐼 = (invr𝑅)
267, 25, 21, 18subrginv 20191 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘(𝑅s 𝐴))) → (𝐼𝑋) = ((invr‘(𝑅s 𝐴))‘𝑋))
276, 24, 26syl2anc 585 . 2 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → (𝐼𝑋) = ((invr‘(𝑅s 𝐴))‘𝑋))
2820, 27, 93eltr4d 2854 1 ((𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑋0 ) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  cfv 6494  (class class class)co 7352  Basecbs 17043  s cress 17072  0gc0g 17281  Unitcui 20021  invrcinvr 20053  DivRingcdr 20138  SubRingcsubrg 20171  SubDRingcsdrg 20212
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-2nd 7915  df-tpos 8150  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-ress 17073  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-0g 17283  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-grp 18711  df-minusg 18712  df-subg 18884  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-oppr 20002  df-dvdsr 20023  df-unit 20024  df-invr 20054  df-drng 20140  df-subrg 20173  df-sdrg 20213
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator