Theorem sdrgdvcl 33908

Description: A sub-division-ring is closed under the ring division operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdrgdvcl.i	⊢ / = (/r‘𝑅)
sdrgdvcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
sdrgdvcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))
sdrgdvcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
sdrgdvcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
sdrgdvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
sdrgdvcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem sdrgdvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdrgdvcl.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))
2		issdrg 21051	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
3	1, 2	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
4	3	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing)
5	4	drngringd 20994	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
6		sdrgdvcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
7	3	simp2d 1161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
9	8	subrgbas 20839	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
10	7, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
11	6, 10	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
12		sdrgdvcl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
13	12, 10	eleqtrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
14		sdrgdvcl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
15		sdrgdvcl.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16	8, 15	subrg0 20837	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 0 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
17	7, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
18	14, 17	neeqtrd 3024	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
19		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))
20		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))
21		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴))
22	19, 20, 21	drngunit 20991	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing → (𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))))
23	22	biimpar 483	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing ∧ (𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))) → 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
24	4, 13, 18, 23	syl12anc 850	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
25		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (/r‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))
26	19, 20, 25	dvrcl 20640	. . 3 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → (𝑋(/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
27	5, 11, 24, 26	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
28		sdrgdvcl.i	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
29	8, 28, 20, 25	subrgdv 20847	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌))
30	7, 6, 24, 29	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌))
31	27, 30, 10	3eltr4d 2875	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  Basecbs 17393   ↾_s cress 17414  0_gc0g 17616  Ringcrg 20465  Unitcui 20591  /_rcdvr 20636  SubRingcsubrg 20827  DivRingcdr 20986  SubDRingcsdrg 21049

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-tpos 8247  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8721  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-minusg 19154  df-subg 19339  df-cmn 20002  df-abl 20003  df-mgp 20367  df-rng 20381  df-ur 20414  df-ring 20467  df-oppr 20573  df-dvdsr 20593  df-unit 20594  df-invr 20624  df-dvr 20637  df-subrg 20828  df-drng 20988  df-sdrg 21050

This theorem is used by:  1fldgenq  33931  constrelextdg2  34426