Theorem sdrgdvcl 33390

Description: A sub-division-ring is closed under the ring division operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdrgdvcl.i	⊢ / = (/r‘𝑅)
sdrgdvcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
sdrgdvcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))
sdrgdvcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
sdrgdvcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
sdrgdvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
sdrgdvcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem sdrgdvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdrgdvcl.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))
2		issdrg 20767	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
3	1, 2	sylib 219	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
4	3	simp3d 1150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing)
5	4	drngringd 20716	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
6		sdrgdvcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
7	3	simp2d 1149	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
8		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
9	8	subrgbas 20560	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
11	6, 10	eleqtrd 2842	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
12		sdrgdvcl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
13	12, 10	eleqtrd 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
14		sdrgdvcl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
15		sdrgdvcl.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16	8, 15	subrg0 20558	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 0 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
17	7, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
18	14, 17	neeqtrd 3004	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
19		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))
20		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))
21		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴))
22	19, 20, 21	drngunit 20713	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing → (𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))))
23	22	biimpar 478	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing ∧ (𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))) → 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
24	4, 13, 18, 23	syl12anc 842	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
25		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (/r‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))
26	19, 20, 25	dvrcl 20382	. . 3 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → (𝑋(/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
27	5, 11, 24, 26	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
28		sdrgdvcl.i	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
29	8, 28, 20, 25	subrgdv 20568	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌))
30	7, 6, 24, 29	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌))
31	27, 30, 10	3eltr4d 2855	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2935  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177   ↾_s cress 17198  0_gc0g 17400  Ringcrg 20212  Unitcui 20333  /_rcdvr 20378  SubRingcsubrg 20548  DivRingcdr 20708  SubDRingcsdrg 20765

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-0g 17402  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-subg 19097  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-dvr 20379  df-subrg 20549  df-drng 20710  df-sdrg 20766

This theorem is referenced by:  1fldgenq  33413  constrelextdg2  33938