Theorem sdrgdvcl 33248

Description: A sub-division-ring is closed under the ring division operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdrgdvcl.i	⊢ / = (/r‘𝑅)
sdrgdvcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
sdrgdvcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))
sdrgdvcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
sdrgdvcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
sdrgdvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
sdrgdvcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem sdrgdvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdrgdvcl.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))
2		issdrg 20691	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
3	1, 2	sylib 218	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
4	3	simp3d 1144	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing)
5	4	drngringd 20640	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
6		sdrgdvcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
7	3	simp2d 1143	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
8		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
9	8	subrgbas 20484	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
11	6, 10	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
12		sdrgdvcl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
13	12, 10	eleqtrd 2830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
14		sdrgdvcl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
15		sdrgdvcl.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16	8, 15	subrg0 20482	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 0 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
17	7, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
18	14, 17	neeqtrd 2994	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
19		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))
20		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))
21		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴))
22	19, 20, 21	drngunit 20637	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing → (𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))))
23	22	biimpar 477	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing ∧ (𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))) → 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
24	4, 13, 18, 23	syl12anc 836	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
25		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (/r‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))
26	19, 20, 25	dvrcl 20307	. . 3 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → (𝑋(/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
27	5, 11, 24, 26	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
28		sdrgdvcl.i	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
29	8, 28, 20, 25	subrgdv 20492	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌))
30	7, 6, 24, 29	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌))
31	27, 30, 10	3eltr4d 2843	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138   ↾_s cress 17159  0_gc0g 17361  Ringcrg 20136  Unitcui 20258  /_rcdvr 20303  SubRingcsubrg 20472  DivRingcdr 20632  SubDRingcsdrg 20689

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-0g 17363  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-subg 19020  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-dvr 20304  df-subrg 20473  df-drng 20634  df-sdrg 20690

This theorem is referenced by:  1fldgenq  33271  constrelextdg2  33713