Theorem sdrgdvcl 33651

Description: A sub-division-ring is closed under the ring division operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdrgdvcl.i	⊢ / = (/r‘𝑅)
sdrgdvcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
sdrgdvcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))
sdrgdvcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
sdrgdvcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
sdrgdvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
sdrgdvcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem sdrgdvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdrgdvcl.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))
2		issdrg 20928	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
3	1, 2	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
4	3	simp3d 1162	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing)
5	4	drngringd 20872	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
6		sdrgdvcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
7	3	simp2d 1161	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
8		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
9	8	subrgbas 20717	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
10	7, 9	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
11	6, 10	eleqtrd 2868	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
12		sdrgdvcl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
13	12, 10	eleqtrd 2868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
14		sdrgdvcl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
15		sdrgdvcl.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16	8, 15	subrg0 20715	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 0 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
17	7, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
18	14, 17	neeqtrd 3030	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
19		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))
20		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))
21		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴))
22	19, 20, 21	drngunit 20869	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing → (𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))))
23	22	biimpar 483	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing ∧ (𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))) → 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
24	4, 13, 18, 23	syl12anc 850	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
25		eqid 2766	. . . 4 ⊢ (/r‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))
26	19, 20, 25	dvrcl 20519	. . 3 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → (𝑋(/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
27	5, 11, 24, 26	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
28		sdrgdvcl.i	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
29	8, 28, 20, 25	subrgdv 20725	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌))
30	7, 6, 24, 29	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌))
31	27, 30, 10	3eltr4d 2881	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294   ↾_s cress 17315  0_gc0g 17517  Ringcrg 20346  Unitcui 20470  /_rcdvr 20515  SubRingcsubrg 20705  DivRingcdr 20864  SubDRingcsdrg 20926

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-cnex 11174  ax-resscn 11175  ax-1cn 11176  ax-icn 11177  ax-addcl 11178  ax-addrcl 11179  ax-mulcl 11180  ax-mulrcl 11181  ax-mulcom 11182  ax-addass 11183  ax-mulass 11184  ax-distr 11185  ax-i2m1 11186  ax-1ne0 11187  ax-1rid 11188  ax-rnegex 11189  ax-rrecex 11190  ax-cnre 11191  ax-pre-lttri 11192  ax-pre-lttrn 11193  ax-pre-ltadd 11194  ax-pre-mulgt0 11195

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-nel 3068  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-tpos 8231  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8703  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11263  df-mnf 11264  df-xr 11265  df-ltxr 11266  df-le 11267  df-sub 11461  df-neg 11462  df-nn 12252  df-2 12321  df-3 12322  df-sets 17249  df-slot 17267  df-ndx 17279  df-base 17295  df-ress 17316  df-plusg 17348  df-mulr 17349  df-0g 17519  df-mgm 18723  df-sgrp 18806  df-mnd 18822  df-grp 19034  df-minusg 19035  df-subg 19220  df-cmn 19883  df-abl 19884  df-mgp 20248  df-rng 20262  df-ur 20295  df-ring 20348  df-oppr 20452  df-dvdsr 20472  df-unit 20473  df-invr 20503  df-dvr 20516  df-subrg 20706  df-drng 20866  df-sdrg 20927

This theorem is used by:  1fldgenq  33674  constrelextdg2  34168