Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sdrgdvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sdrgdvcl 32366
Description: A sub-division-ring is closed under the ring division operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
sdrgdvcl.i / = (/r𝑅)
sdrgdvcl.0 0 = (0g𝑅)
sdrgdvcl.a (𝜑𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))
sdrgdvcl.x (𝜑𝑋𝐴)
sdrgdvcl.y (𝜑𝑌𝐴)
sdrgdvcl.1 (𝜑𝑌0 )
Assertion
Ref Expression
sdrgdvcl (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem sdrgdvcl
StepHypRef Expression
1 sdrgdvcl.a . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))
2 issdrg 20392 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝐴) ∈ DivRing))
31, 2sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅s 𝐴) ∈ DivRing))
43simp3d 1145 . . . 4 (𝜑 → (𝑅s 𝐴) ∈ DivRing)
54drngringd 20312 . . 3 (𝜑 → (𝑅s 𝐴) ∈ Ring)
6 sdrgdvcl.x . . . 4 (𝜑𝑋𝐴)
73simp2d 1144 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
8 eqid 2733 . . . . . 6 (𝑅s 𝐴) = (𝑅s 𝐴)
98subrgbas 20360 . . . . 5 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘(𝑅s 𝐴)))
107, 9syl 17 . . . 4 (𝜑𝐴 = (Base‘(𝑅s 𝐴)))
116, 10eleqtrd 2836 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)))
12 sdrgdvcl.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐴)
1312, 10eleqtrd 2836 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)))
14 sdrgdvcl.1 . . . . 5 (𝜑𝑌0 )
15 sdrgdvcl.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
168, 15subrg0 20358 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 0 = (0g‘(𝑅s 𝐴)))
177, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑0 = (0g‘(𝑅s 𝐴)))
1814, 17neeqtrd 3011 . . . 4 (𝜑𝑌 ≠ (0g‘(𝑅s 𝐴)))
19 eqid 2733 . . . . . 6 (Base‘(𝑅s 𝐴)) = (Base‘(𝑅s 𝐴))
20 eqid 2733 . . . . . 6 (Unit‘(𝑅s 𝐴)) = (Unit‘(𝑅s 𝐴))
21 eqid 2733 . . . . . 6 (0g‘(𝑅s 𝐴)) = (0g‘(𝑅s 𝐴))
2219, 20, 21drngunit 20309 . . . . 5 ((𝑅s 𝐴) ∈ DivRing → (𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅s 𝐴)) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘(𝑅s 𝐴)))))
2322biimpar 479 . . . 4 (((𝑅s 𝐴) ∈ DivRing ∧ (𝑌 ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘(𝑅s 𝐴)))) → 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅s 𝐴)))
244, 13, 18, 23syl12anc 836 . . 3 (𝜑𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅s 𝐴)))
25 eqid 2733 . . . 4 (/r‘(𝑅s 𝐴)) = (/r‘(𝑅s 𝐴))
2619, 20, 25dvrcl 20207 . . 3 (((𝑅s 𝐴) ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)) ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅s 𝐴))) → (𝑋(/r‘(𝑅s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)))
275, 11, 24, 26syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → (𝑋(/r‘(𝑅s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅s 𝐴)))
28 sdrgdvcl.i . . . 4 / = (/r𝑅)
298, 28, 20, 25subrgdv 20368 . . 3 ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋𝐴𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅s 𝐴))) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(/r‘(𝑅s 𝐴))𝑌))
307, 6, 24, 29syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(/r‘(𝑅s 𝐴))𝑌))
3127, 30, 103eltr4d 2849 1 (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  s cress 17169  0gc0g 17381  Ringcrg 20047  Unitcui 20158  /rcdvr 20203  DivRingcdr 20304  SubRingcsubrg 20347  SubDRingcsdrg 20390
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-dvr 20204  df-drng 20306  df-subrg 20349  df-sdrg 20391
This theorem is referenced by:  1fldgenq  32381
  Copyright terms: Public domain W3C validator