Theorem sdrgdvcl 32667

Description: A sub-division-ring is closed under the ring division operation. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Jan-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdrgdvcl.i	⊢ / = (/r‘𝑅)
sdrgdvcl.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
sdrgdvcl.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))
sdrgdvcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
sdrgdvcl.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
sdrgdvcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
sdrgdvcl	⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem sdrgdvcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdrgdvcl.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅))
2		issdrg 20547	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) ↔ (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
3	1, 2	sylib 217	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing))
4	3	simp3d 1142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing)
5	4	drngringd 20508	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring)
6		sdrgdvcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐴)
7	3	simp2d 1141	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
8		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 ↾s 𝐴)
9	8	subrgbas 20471	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
10	7, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
11	6, 10	eleqtrd 2833	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
12		sdrgdvcl.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐴)
13	12, 10	eleqtrd 2833	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
14		sdrgdvcl.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
15		sdrgdvcl.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
16	8, 15	subrg0 20469	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 0 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
17	7, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 0 = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
18	14, 17	neeqtrd 3008	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
19		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴))
20		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))
21		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴))
22	19, 20, 21	drngunit 20505	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing → (𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ↔ (𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))))
23	22	biimpar 476	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ DivRing ∧ (𝑌 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑌 ≠ (0g‘(𝑅 ↾s 𝐴)))) → 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
24	4, 13, 18, 23	syl12anc 833	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
25		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (/r‘(𝑅 ↾s 𝐴)) = (/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))
26	19, 20, 25	dvrcl 20295	. . 3 ⊢ (((𝑅 ↾s 𝐴) ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)) ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → (𝑋(/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
27	5, 11, 24, 26	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋(/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌) ∈ (Base‘(𝑅 ↾s 𝐴)))
28		sdrgdvcl.i	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
29	8, 28, 20, 25	subrgdv 20479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘(𝑅 ↾s 𝐴))) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌))
30	7, 6, 24, 29	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(/r‘(𝑅 ↾s 𝐴))𝑌))
31	27, 30, 10	3eltr4d 2846	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 / 𝑌) ∈ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  Basecbs 17148   ↾_s cress 17177  0_gc0g 17389  Ringcrg 20127  Unitcui 20246  /_rcdvr 20291  SubRingcsubrg 20457  DivRingcdr 20500  SubDRingcsdrg 20545

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-0g 17391  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-subg 19039  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-oppr 20225  df-dvdsr 20248  df-unit 20249  df-invr 20279  df-dvr 20292  df-subrg 20459  df-drng 20502  df-sdrg 20546

This theorem is referenced by:  1fldgenq  32682