Theorem ply1asclunit 33292

Description: A non-zero scalar polynomial over a field 𝐹 is a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1asclunit.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
ply1asclunit.2	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1asclunit.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
ply1asclunit.4	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
ply1asclunit.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
ply1asclunit.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ply1asclunit.7	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
ply1asclunit	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) ∈ (Unit‘𝑃))

Proof of Theorem ply1asclunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1asclunit.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
2	1	fldcrngd 20644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)
3		ply1asclunit.1	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
4	3	ply1assa 22125	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
5		ply1asclunit.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
6		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
7	5, 6	asclrhm 21830	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
8	2, 4, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
9	3	ply1sca 22178	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 = (Scalar‘𝑃))
10	1, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝑃))
11	10	oveq1d 7441	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 RingHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
12	8, 11	eleqtrrd 2832	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹 RingHom 𝑃))
13	1	flddrngd 20643	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
14		ply1asclunit.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15		ply1asclunit.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
16		ply1asclunit.3	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
17		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝐹) = (Unit‘𝐹)
18		ply1asclunit.4	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
19	16, 17, 18	drngunit 20636	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (𝑌 ∈ (Unit‘𝐹) ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )))
20	19	biimpar 476	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ (Unit‘𝐹))
21	13, 14, 15, 20	syl12anc 835	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Unit‘𝐹))
22		elrhmunit 20456	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐹 RingHom 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘𝐹)) → (𝐴‘𝑌) ∈ (Unit‘𝑃))
23	12, 21, 22	syl2anc 582	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) ∈ (Unit‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2937  ‘cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  Scalarcsca 17243  0_gc0g 17428  CRingccrg 20181  Unitcui 20301   RingHom crh 20415  DivRingcdr 20631  Fieldcfield 20632  AssAlgcasa 21791  algSccascl 21793  Poly₁cpl1 22103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-isom 6562  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-ofr 7692  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-tpos 8238  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-oi 9541  df-card 9970  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-fzo 13668  df-seq 14007  df-hash 14330  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-gsum 17431  df-prds 17436  df-pws 17438  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-mhm 18747  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-mulg 19031  df-subg 19085  df-ghm 19175  df-cntz 19275  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-cring 20183  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-rhm 20418  df-subrng 20490  df-subrg 20515  df-drng 20633  df-field 20634  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-assa 21794  df-ascl 21796  df-psr 21849  df-mpl 21851  df-opsr 21853  df-psr1 22106  df-ply1 22108

This theorem is referenced by:  ply1unit  33293  minplyirredlem  33413