Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ply1asclunit Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ply1asclunit 33312
Description: A non-zero scalar polynomial over a field 𝐹 is a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
ply1asclunit.1 𝑃 = (Poly1β€˜πΉ)
ply1asclunit.2 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
ply1asclunit.3 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
ply1asclunit.4 0 = (0gβ€˜πΉ)
ply1asclunit.5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Field)
ply1asclunit.6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
ply1asclunit.7 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
ply1asclunit (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ))
Proof of Theorem ply1asclunit
StepHypRef Expression
1 ply1asclunit.5 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Field)
21fldcrngd 20636 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ CRing)
3 ply1asclunit.1 . . . . 5 𝑃 = (Poly1β€˜πΉ)
43ply1assa 22122 . . . 4 (𝐹 ∈ CRing β†’ 𝑃 ∈ AssAlg)
5 ply1asclunit.2 . . . . 5 𝐴 = (algScβ€˜π‘ƒ)
6 eqid 2725 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
75, 6asclrhm 21822 . . . 4 (𝑃 ∈ AssAlg β†’ 𝐴 ∈ ((Scalarβ€˜π‘ƒ) RingHom 𝑃))
82, 4, 73syl 18 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((Scalarβ€˜π‘ƒ) RingHom 𝑃))
93ply1sca 22175 . . . . 5 (𝐹 ∈ Field β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
101, 9syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
1110oveq1d 7428 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 RingHom 𝑃) = ((Scalarβ€˜π‘ƒ) RingHom 𝑃))
128, 11eleqtrrd 2828 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐹 RingHom 𝑃))
131flddrngd 20635 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ DivRing)
14 ply1asclunit.6 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
15 ply1asclunit.7 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  0 )
16 ply1asclunit.3 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΉ)
17 eqid 2725 . . . . 5 (Unitβ€˜πΉ) = (Unitβ€˜πΉ)
18 ply1asclunit.4 . . . . 5 0 = (0gβ€˜πΉ)
1916, 17, 18drngunit 20628 . . . 4 (𝐹 ∈ DivRing β†’ (π‘Œ ∈ (Unitβ€˜πΉ) ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )))
2019biimpar 476 . . 3 ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ π‘Œ ∈ (Unitβ€˜πΉ))
2113, 14, 15, 20syl12anc 835 . 2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (Unitβ€˜πΉ))
22 elrhmunit 20448 . 2 ((𝐴 ∈ (𝐹 RingHom 𝑃) ∧ π‘Œ ∈ (Unitβ€˜πΉ)) β†’ (π΄β€˜π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ))
2312, 21, 22syl2anc 582 1 (πœ‘ β†’ (π΄β€˜π‘Œ) ∈ (Unitβ€˜π‘ƒ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  Scalarcsca 17230  0gc0g 17415  CRingccrg 20173  Unitcui 20293   RingHom crh 20407  DivRingcdr 20623  Fieldcfield 20624  AssAlgcasa 21783  algSccascl 21785  Poly1cpl1 22099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-pm 8841  df-ixp 8910  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-sup 9460  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-9 12307  df-n0 12498  df-z 12584  df-dec 12703  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-prds 17423  df-pws 17425  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-mulg 19023  df-subg 19077  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-cring 20175  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-rhm 20410  df-subrng 20482  df-subrg 20507  df-drng 20625  df-field 20626  df-lmod 20744  df-lss 20815  df-assa 21786  df-ascl 21788  df-psr 21841  df-mpl 21843  df-opsr 21845  df-psr1 22102  df-ply1 22104
This theorem is referenced by:  ply1unit  33313  minplyirredlem  33433
  Copyright terms: Public domain W3C validator