Theorem ply1asclunit 33636

Description: A nonzero scalar polynomial over a field 𝐹 is a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1asclunit.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
ply1asclunit.2	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1asclunit.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
ply1asclunit.4	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
ply1asclunit.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
ply1asclunit.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ply1asclunit.7	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
ply1asclunit	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) ∈ (Unit‘𝑃))

Proof of Theorem ply1asclunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1asclunit.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
2	1	fldcrngd 20721	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)
3		ply1asclunit.1	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
4	3	ply1assa 22165	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
5		ply1asclunit.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
7	5, 6	asclrhm 21872	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
8	2, 4, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
9	3	ply1sca 22218	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 = (Scalar‘𝑃))
10	1, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝑃))
11	10	oveq1d 7384	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 RingHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
12	8, 11	eleqtrrd 2840	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹 RingHom 𝑃))
13	1	flddrngd 20720	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
14		ply1asclunit.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15		ply1asclunit.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
16		ply1asclunit.3	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
17		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝐹) = (Unit‘𝐹)
18		ply1asclunit.4	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
19	16, 17, 18	drngunit 20713	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (𝑌 ∈ (Unit‘𝐹) ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )))
20	19	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ (Unit‘𝐹))
21	13, 14, 15, 20	syl12anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Unit‘𝐹))
22		elrhmunit 20489	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐹 RingHom 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘𝐹)) → (𝐴‘𝑌) ∈ (Unit‘𝑃))
23	12, 21, 22	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) ∈ (Unit‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6500  (class class class)co 7369  Basecbs 17181  Scalarcsca 17225  0_gc0g 17404  CRingccrg 20217  Unitcui 20337   RingHom crh 20451  DivRingcdr 20708  Fieldcfield 20709  AssAlgcasa 21832  algSccascl 21834  Poly₁cpl1 22142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5308  ax-pr 5376  ax-un 7691  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-1cn 11098  ax-icn 11099  ax-addcl 11100  ax-addrcl 11101  ax-mulcl 11102  ax-mulrcl 11103  ax-mulcom 11104  ax-addass 11105  ax-mulass 11106  ax-distr 11107  ax-i2m1 11108  ax-1ne0 11109  ax-1rid 11110  ax-rnegex 11111  ax-rrecex 11112  ax-cnre 11113  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115  ax-pre-ltadd 11116  ax-pre-mulgt0 11117

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-se 5586  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-ofr 7634  df-om 7820  df-1st 7944  df-2nd 7945  df-supp 8113  df-tpos 8178  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-pm 8778  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-oi 9427  df-card 9865  df-pnf 11183  df-mnf 11184  df-xr 11185  df-ltxr 11186  df-le 11187  df-sub 11381  df-neg 11382  df-nn 12177  df-2 12246  df-3 12247  df-4 12248  df-5 12249  df-6 12250  df-7 12251  df-8 12252  df-9 12253  df-n0 12440  df-z 12527  df-dec 12647  df-uz 12791  df-fz 13464  df-fzo 13611  df-seq 13966  df-hash 14295  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17182  df-ress 17203  df-plusg 17235  df-mulr 17236  df-sca 17238  df-vsca 17239  df-ip 17240  df-tset 17241  df-ple 17242  df-ds 17244  df-hom 17246  df-cco 17247  df-0g 17406  df-gsum 17407  df-prds 17412  df-pws 17414  df-mre 17550  df-mrc 17551  df-acs 17553  df-mgm 18610  df-sgrp 18689  df-mnd 18705  df-mhm 18753  df-submnd 18754  df-grp 18914  df-minusg 18915  df-sbg 18916  df-mulg 19046  df-subg 19101  df-ghm 19190  df-cntz 19294  df-cmn 19759  df-abl 19760  df-mgp 20124  df-rng 20136  df-ur 20165  df-ring 20218  df-cring 20219  df-oppr 20319  df-dvdsr 20339  df-unit 20340  df-rhm 20454  df-subrng 20525  df-subrg 20549  df-drng 20710  df-field 20711  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-assa 21835  df-ascl 21837  df-psr 21891  df-mpl 21893  df-opsr 21895  df-psr1 22145  df-ply1 22147

This theorem is referenced by:  ply1unit  33637  minplyirredlem  33856