Theorem ply1asclunit 33622

Description: A nonzero scalar polynomial over a field 𝐹 is a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ply1asclunit.1	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
ply1asclunit.2	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
ply1asclunit.3	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
ply1asclunit.4	⊢ 0 = (0g‘𝐹)
ply1asclunit.5	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
ply1asclunit.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ply1asclunit.7	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
ply1asclunit	⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) ∈ (Unit‘𝑃))

Proof of Theorem ply1asclunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ply1asclunit.5	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Field)
2	1	fldcrngd 20708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ CRing)
3		ply1asclunit.1	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝐹)
4	3	ply1assa 22151	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ CRing → 𝑃 ∈ AssAlg)
5		ply1asclunit.2	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑃)
6		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
7	5, 6	asclrhm 21859	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ AssAlg → 𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
8	2, 4, 7	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
9	3	ply1sca 22204	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ Field → 𝐹 = (Scalar‘𝑃))
10	1, 9	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (Scalar‘𝑃))
11	10	oveq1d 7371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 RingHom 𝑃) = ((Scalar‘𝑃) RingHom 𝑃))
12	8, 11	eleqtrrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐹 RingHom 𝑃))
13	1	flddrngd 20707	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ DivRing)
14		ply1asclunit.6	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
15		ply1asclunit.7	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 0 )
16		ply1asclunit.3	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐹)
17		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝐹) = (Unit‘𝐹)
18		ply1asclunit.4	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝐹)
19	16, 17, 18	drngunit 20700	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ DivRing → (𝑌 ∈ (Unit‘𝐹) ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )))
20	19	biimpar 477	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ DivRing ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ (Unit‘𝐹))
21	13, 14, 15, 20	syl12anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (Unit‘𝐹))
22		elrhmunit 20476	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (𝐹 RingHom 𝑃) ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘𝐹)) → (𝐴‘𝑌) ∈ (Unit‘𝑃))
23	12, 21, 22	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘𝑌) ∈ (Unit‘𝑃))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2930  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356  Basecbs 17168  Scalarcsca 17212  0_gc0g 17391  CRingccrg 20204  Unitcui 20324   RingHom crh 20438  DivRingcdr 20695  Fieldcfield 20696  AssAlgcasa 21819  algSccascl 21821  Poly₁cpl1 22129

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3060  df-rmo 3340  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6254  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-isom 6496  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-ofr 7621  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8100  df-tpos 8165  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-2o 8395  df-er 8632  df-map 8764  df-pm 8765  df-ixp 8835  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-fsupp 9264  df-sup 9344  df-oi 9414  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-seq 13953  df-hash 14282  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-hom 17233  df-cco 17234  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-prds 17399  df-pws 17401  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-mulg 19033  df-subg 19088  df-ghm 19177  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-abl 19747  df-mgp 20111  df-rng 20123  df-ur 20152  df-ring 20205  df-cring 20206  df-oppr 20306  df-dvdsr 20326  df-unit 20327  df-rhm 20441  df-subrng 20512  df-subrg 20536  df-drng 20697  df-field 20698  df-lmod 20846  df-lss 20916  df-assa 21822  df-ascl 21824  df-psr 21878  df-mpl 21880  df-opsr 21882  df-psr1 22132  df-ply1 22134

This theorem is referenced by:  ply1unit  33623  minplyirredlem  33842