Theorem drnguc1p 26399

Description: Over a division ring, all nonzero polynomials are unitic. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
drnguc1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
drnguc1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
drnguc1p.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
drnguc1p.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drnguc1p	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem drnguc1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐵)
2		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝐹 ≠ 0 )
3		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
4		drnguc1p.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		drnguc1p.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	3, 4, 5, 6	coe1f 22435	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
8	7	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
9		drngring 20896	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
10		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
11		drnguc1p.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
12	10, 5, 11, 4	deg1nn0cl 26313	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((deg1‘𝑅)‘𝐹) ∈ ℕ0)
13	9, 12	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((deg1‘𝑅)‘𝐹) ∈ ℕ0)
14	8, 13	ffvelcdmd 7081	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
15		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	10, 5, 11, 4, 15, 3	deg1ldg 26317	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
17	9, 16	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
18		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
19	6, 18, 15	drngunit 20894	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))))
20	19	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))))
21	14, 17, 20	mpbir2and 726	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅))
22		drnguc1p.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
23	5, 4, 11, 10, 22, 18	isuc1p 26366	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅)))
24	1, 2, 21, 23	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  ℕ₀cn0 12529  Basecbs 17303  0_gc0g 17526  Ringcrg 20371  Unitcui 20495  DivRingcdr 20889  Poly₁cpl1 22401  coe₁cco1 22402  deg₁cdg1 26279  Unic_1pcuc1p 26352

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7739  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202  ax-addf 11204

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7681  df-om 7866  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-supp 8162  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8458  df-er 8699  df-map 8831  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9335  df-sup 9415  df-oi 9485  df-card 9947  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-4 12330  df-5 12331  df-6 12332  df-7 12333  df-8 12334  df-9 12335  df-n0 12530  df-z 12617  df-dec 12738  df-uz 12889  df-fz 13562  df-fzo 13710  df-seq 14066  df-hash 14395  df-struct 17241  df-sets 17258  df-slot 17276  df-ndx 17288  df-base 17304  df-ress 17325  df-plusg 17357  df-mulr 17358  df-starv 17359  df-sca 17360  df-vsca 17361  df-ip 17362  df-tset 17363  df-ple 17364  df-ds 17366  df-unif 17367  df-hom 17368  df-cco 17369  df-0g 17528  df-gsum 17529  df-prds 17534  df-pws 17536  df-mgm 18732  df-sgrp 18821  df-mnd 18837  df-submnd 18891  df-grp 19059  df-minusg 19060  df-mulg 19190  df-subg 19245  df-cntz 19443  df-cmn 19908  df-abl 19909  df-mgp 20273  df-ur 20320  df-ring 20373  df-cring 20374  df-drng 20891  df-cnfld 21585  df-psr 22123  df-mpl 22125  df-opsr 22127  df-psr1 22404  df-ply1 22406  df-coe1 22407  df-mdeg 26280  df-deg1 26281  df-uc1p 26357

This theorem is used by:  ig1peu  26400  irngnzply1lem  34185  irredminply  34211  aks6d1c5lem3  42988