Theorem drnguc1p 26340

Description: Over a division ring, all nonzero polynomials are unitic. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
drnguc1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
drnguc1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
drnguc1p.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
drnguc1p.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drnguc1p	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem drnguc1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1155	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐵)
2		simp3 1156	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝐹 ≠ 0 )
3		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
4		drnguc1p.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		drnguc1p.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	3, 4, 5, 6	coe1f 22380	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
8	7	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
9		drngring 20843	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
10		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (deg1‘𝑅) = (deg1‘𝑅)
11		drnguc1p.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
12	10, 5, 11, 4	deg1nn0cl 26254	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((deg1‘𝑅)‘𝐹) ∈ ℕ0)
13	9, 12	syl3an1 1181	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((deg1‘𝑅)‘𝐹) ∈ ℕ0)
14	8, 13	ffvelcdmd 7080	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
15		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	10, 5, 11, 4, 15, 3	deg1ldg 26258	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
17	9, 16	syl3an1 1181	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
18		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
19	6, 18, 15	drngunit 20841	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))))
20	19	3ad2ant1 1151	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))))
21	14, 17, 20	mpbir2and 725	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅))
22		drnguc1p.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
23	5, 4, 11, 10, 22, 18	isuc1p 26307	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘((deg1‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅)))
24	1, 2, 21, 23	syl3anbrc 1362	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  ℕ₀cn0 12508  Basecbs 17273  0_gc0g 17496  Ringcrg 20319  Unitcui 20442  DivRingcdr 20836  Poly₁cpl1 22346  coe₁cco1 22347  deg₁cdg1 26220  Unic_1pcuc1p 26293

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11160  ax-resscn 11161  ax-1cn 11162  ax-icn 11163  ax-addcl 11164  ax-addrcl 11165  ax-mulcl 11166  ax-mulrcl 11167  ax-mulcom 11168  ax-addass 11169  ax-mulass 11170  ax-distr 11171  ax-i2m1 11172  ax-1ne0 11173  ax-1rid 11174  ax-rnegex 11175  ax-rrecex 11176  ax-cnre 11177  ax-pre-lttri 11178  ax-pre-lttrn 11179  ax-pre-ltadd 11180  ax-pre-mulgt0 11181  ax-addf 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-se 5615  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7674  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-oi 9468  df-card 9930  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12238  df-2 12307  df-3 12308  df-4 12309  df-5 12310  df-6 12311  df-7 12312  df-8 12313  df-9 12314  df-n0 12509  df-z 12596  df-dec 12716  df-uz 12867  df-fz 13540  df-fzo 13688  df-seq 14043  df-hash 14372  df-struct 17211  df-sets 17228  df-slot 17246  df-ndx 17258  df-base 17274  df-ress 17295  df-plusg 17327  df-mulr 17328  df-starv 17329  df-sca 17330  df-vsca 17331  df-ip 17332  df-tset 17333  df-ple 17334  df-ds 17336  df-unif 17337  df-hom 17338  df-cco 17339  df-0g 17498  df-gsum 17499  df-prds 17504  df-pws 17506  df-mgm 18702  df-sgrp 18781  df-mnd 18797  df-submnd 18846  df-grp 19007  df-minusg 19008  df-mulg 19138  df-subg 19193  df-cntz 19391  df-cmn 19856  df-abl 19857  df-mgp 20221  df-ur 20268  df-ring 20321  df-cring 20322  df-drng 20838  df-cnfld 21532  df-psr 22068  df-mpl 22070  df-opsr 22072  df-psr1 22349  df-ply1 22351  df-coe1 22352  df-mdeg 26221  df-deg1 26222  df-uc1p 26298

This theorem is used by:  ig1peu  26341  irngnzply1lem  34089  irredminply  34115  aks6d1c5lem3  42932