Theorem drnguc1p 25418

Description: Over a division ring, all nonzero polynomials are unitic. (Contributed by Stefan O'Rear, 29-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
drnguc1p.p	⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
drnguc1p.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
drnguc1p.z	⊢ 0 = (0g‘𝑃)
drnguc1p.c	⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drnguc1p	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐶)

Proof of Theorem drnguc1p

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp2 1136	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐵)
2		simp3 1137	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝐹 ≠ 0 )
3		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (coe1‘𝐹) = (coe1‘𝐹)
4		drnguc1p.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
5		drnguc1p.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (Poly1‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7	3, 4, 5, 6	coe1f 21465	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐵 → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
8	7	3ad2ant2 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (coe1‘𝐹):ℕ0⟶(Base‘𝑅))
9		drngring 20077	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
10		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ ( deg1 ‘𝑅) = ( deg1 ‘𝑅)
11		drnguc1p.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑃)
12	10, 5, 11, 4	deg1nn0cl 25336	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝐹) ∈ ℕ0)
13	9, 12	syl3an1 1162	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (( deg1 ‘𝑅)‘𝐹) ∈ ℕ0)
14	8, 13	ffvelcdmd 7002	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅))
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
16	10, 5, 11, 4, 15, 3	deg1ldg 25340	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
17	9, 16	syl3an1 1162	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))
18		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
19	6, 18, 15	drngunit 20075	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))))
20	19	3ad2ant1 1132	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → (((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ≠ (0g‘𝑅))))
21	14, 17, 20	mpbir2and 710	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → ((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅))
22		drnguc1p.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Unic1p‘𝑅)
23	5, 4, 11, 10, 22, 18	isuc1p 25388	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝐶 ↔ (𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ∧ ((coe1‘𝐹)‘(( deg1 ‘𝑅)‘𝐹)) ∈ (Unit‘𝑅)))
24	1, 2, 21, 23	syl3anbrc 1342	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐵 ∧ 𝐹 ≠ 0 ) → 𝐹 ∈ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  ⟶wf 6462  ‘cfv 6466  ℕ₀cn0 12313  Basecbs 16989  0_gc0g 17227  Ringcrg 19858  Unitcui 19956  DivRingcdr 20070  Poly₁cpl1 21431  coe₁cco1 21432   deg₁ cdg1 25299  Unic_1pcuc1p 25374

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028  ax-addf 11030  ax-mulf 11031

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-tp 4576  df-op 4578  df-uni 4851  df-int 4893  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-se 5564  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-isom 6475  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-of 7575  df-om 7760  df-1st 7878  df-2nd 7879  df-supp 8027  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-1o 8346  df-er 8548  df-map 8667  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-fin 8787  df-fsupp 9206  df-sup 9278  df-oi 9346  df-card 9775  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-4 12118  df-5 12119  df-6 12120  df-7 12121  df-8 12122  df-9 12123  df-n0 12314  df-z 12400  df-dec 12518  df-uz 12663  df-fz 13320  df-fzo 13463  df-seq 13802  df-hash 14125  df-struct 16925  df-sets 16942  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-ress 17019  df-plusg 17052  df-mulr 17053  df-starv 17054  df-sca 17055  df-vsca 17056  df-tset 17058  df-ple 17059  df-ds 17061  df-unif 17062  df-0g 17229  df-gsum 17230  df-mgm 18403  df-sgrp 18452  df-mnd 18463  df-submnd 18508  df-grp 18656  df-minusg 18657  df-mulg 18777  df-subg 18828  df-cntz 18999  df-cmn 19463  df-abl 19464  df-mgp 19796  df-ur 19813  df-ring 19860  df-cring 19861  df-drng 20072  df-cnfld 20681  df-psr 21195  df-mpl 21197  df-opsr 21199  df-psr1 21434  df-ply1 21436  df-coe1 21437  df-mdeg 25300  df-deg1 25301  df-uc1p 25379

This theorem is referenced by:  ig1peu  25419