Theorem drnginvrn0 20828

Description: The multiplicative inverse in a division ring is nonzero. (recne0 11873 analog). (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
drnginvrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drnginvrcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drnginvrcl.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drnginvrn0	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ≠ 0 )

Proof of Theorem drnginvrn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20811	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2765	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		drnginvrcl.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
4	2, 3	unitinvcl 20463	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅))
5	4	ex 417	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) → (𝐼‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
6	1, 5	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) → (𝐼‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
7		drnginvrcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		drnginvrcl.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	7, 2, 8	drngunit 20809	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )))
10	7, 2, 8	drngunit 20809	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑋) ≠ 0 )))
11	6, 9, 10	3imtr3d 296	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑋) ≠ 0 )))
12	11	3impib 1132	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑋) ≠ 0 ))
13	12	simprd 500	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ‘cfv 6525  Basecbs 17259  0_gc0g 17482  Ringcrg 20306  Unitcui 20428  inv_rcinvr 20460  DivRingcdr 20804

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-ress 17281  df-plusg 17313  df-mulr 17314  df-0g 17484  df-mgm 18688  df-sgrp 18767  df-mnd 18783  df-grp 18993  df-minusg 18994  df-cmn 19843  df-abl 19844  df-mgp 20208  df-rng 20222  df-ur 20255  df-ring 20308  df-oppr 20410  df-dvdsr 20430  df-unit 20431  df-invr 20461  df-drng 20806

This theorem is referenced by:  lspfixed  21221  extdg1id  33973  tendoinvcl  41740  dochkr1  42114  lcfrlem31  42209  mapdpglem18  42325  mapdpglem22  42329  hgmapvvlem2  42560  drnginvrn0d  43154  prjspner01  43219