Theorem drnginvrn0 20722

Description: The multiplicative inverse in a division ring is nonzero. (recne0 11813 analog). (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
drnginvrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drnginvrcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drnginvrcl.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drnginvrn0	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ≠ 0 )

Proof of Theorem drnginvrn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20704	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2737	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		drnginvrcl.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
4	2, 3	unitinvcl 20361	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅))
5	4	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) → (𝐼‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
6	1, 5	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) → (𝐼‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)))
7		drnginvrcl.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
8		drnginvrcl.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
9	7, 2, 8	drngunit 20702	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )))
10	7, 2, 8	drngunit 20702	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐼‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑋) ≠ 0 )))
11	6, 9, 10	3imtr3d 293	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑋) ≠ 0 )))
12	11	3impib 1117	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → ((𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝐼‘𝑋) ≠ 0 ))
13	12	simprd 495	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ‘cfv 6492  Basecbs 17170  0_gc0g 17393  Ringcrg 20205  Unitcui 20326  inv_rcinvr 20358  DivRingcdr 20697

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-drng 20699

This theorem is referenced by:  lspfixed  21118  extdg1id  33826  tendoinvcl  41564  dochkr1  41938  lcfrlem31  42033  mapdpglem18  42149  mapdpglem22  42153  hgmapvvlem2  42384  drnginvrn0d  42983  prjspner01  43072