Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqhf 32903
Description: ℚHom as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1 / = (/r𝑅)
qqhval2.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
qqhf ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)

Proof of Theorem qqhf
Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 qqhval2.0 . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 qqhval2.1 . . 3 / = (/r𝑅)
3 qqhval2.2 . . 3 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
41, 2, 3qqhval2 32899 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))
5 drngring 20310 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
65adantr 482 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ Ring)
76adantr 482 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ Ring)
83zrhrhm 21044 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
9 zringbas 21007 . . . . . 6 ℤ = (Base‘ℤring)
109, 1rhmf 20251 . . . . 5 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
117, 8, 103syl 18 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
12 qnumcl 16671 . . . . 5 (𝑞 ∈ ℚ → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
1312adantl 483 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
1411, 13ffvelcdmd 7082 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(numer‘𝑞)) ∈ 𝐵)
15 simpll 766 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ DivRing)
16 qdencl 16672 . . . . . . 7 (𝑞 ∈ ℚ → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
1716adantl 483 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
1817nnzd 12580 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ∈ ℤ)
1911, 18ffvelcdmd 7082 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵)
2017nnne0d 12257 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ≠ 0)
2120neneqd 2946 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) = 0)
22 fvex 6900 . . . . . . . . . 10 (denom‘𝑞) ∈ V
2322elsn 4641 . . . . . . . . 9 ((denom‘𝑞) ∈ {0} ↔ (denom‘𝑞) = 0)
2421, 23sylnibr 329 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) ∈ {0})
25 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (0g𝑅) = (0g𝑅)
261, 3, 25zrhker 32894 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ (𝐿 “ {(0g𝑅)}) = {0}))
2726biimpa 478 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ {(0g𝑅)}) = {0})
285, 27sylan 581 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ {(0g𝑅)}) = {0})
2928adantr 482 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿 “ {(0g𝑅)}) = {0})
3024, 29neleqtrrd 2857 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) ∈ (𝐿 “ {(0g𝑅)}))
31 ffn 6713 . . . . . . . . . . . 12 (𝐿:ℤ⟶𝐵𝐿 Fn ℤ)
328, 10, 313syl 18 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 Fn ℤ)
33 elpreima 7054 . . . . . . . . . . 11 (𝐿 Fn ℤ → ((denom‘𝑞) ∈ (𝐿 “ {(0g𝑅)}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)})))
345, 32, 333syl 18 . . . . . . . . . 10 (𝑅 ∈ DivRing → ((denom‘𝑞) ∈ (𝐿 “ {(0g𝑅)}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)})))
3534biimpar 479 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)})) → (denom‘𝑞) ∈ (𝐿 “ {(0g𝑅)}))
3635expr 458 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (denom‘𝑞) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)} → (denom‘𝑞) ∈ (𝐿 “ {(0g𝑅)})))
3736con3dimp 410 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (denom‘𝑞) ∈ ℤ) ∧ ¬ (denom‘𝑞) ∈ (𝐿 “ {(0g𝑅)})) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)})
3815, 18, 30, 37syl21anc 837 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)})
39 fvex 6900 . . . . . . 7 (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ V
4039elsn 4641 . . . . . 6 ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g𝑅)} ↔ (𝐿‘(denom‘𝑞)) = (0g𝑅))
4138, 40sylnib 328 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) = (0g𝑅))
4241neqned 2948 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g𝑅))
43 eqid 2733 . . . . . 6 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
441, 43, 25drngunit 20308 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g𝑅))))
4544biimpar 479 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g𝑅))) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅))
4615, 19, 42, 45syl12anc 836 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅))
471, 43, 2dvrcl 20206 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐿‘(numer‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) ∈ 𝐵)
487, 14, 46, 47syl3anc 1372 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) ∈ 𝐵)
494, 48fmpt3d 7110 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  {csn 4626  ccnv 5673  cima 5677   Fn wfn 6534  wf 6535  cfv 6539  (class class class)co 7403  0cc0 11105  cn 12207  cz 12553  cq 12927  numercnumer 16664  denomcdenom 16665  Basecbs 17139  0gc0g 17380  Ringcrg 20046  Unitcui 20157  /rcdvr 20202   RingHom crh 20236  DivRingcdr 20303  ringczring 21001  ℤRHomczrh 21032  chrcchr 21034  ℚHomcqqh 32889
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5283  ax-sep 5297  ax-nul 5304  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7719  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183  ax-addf 11184  ax-mulf 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-pss 3965  df-nul 4321  df-if 4527  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4907  df-iun 4997  df-br 5147  df-opab 5209  df-mpt 5230  df-tr 5264  df-id 5572  df-eprel 5578  df-po 5586  df-so 5587  df-fr 5629  df-we 5631  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-pred 6296  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6491  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7359  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7850  df-1st 7969  df-2nd 7970  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8365  df-rdg 8404  df-1o 8460  df-er 8698  df-map 8817  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-fin 8938  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11441  df-neg 11442  df-div 11867  df-nn 12208  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-9 12277  df-n0 12468  df-z 12554  df-dec 12673  df-uz 12818  df-q 12928  df-rp 12970  df-fz 13480  df-fl 13752  df-mod 13830  df-seq 13962  df-exp 14023  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-dvds 16193  df-gcd 16431  df-numer 16666  df-denom 16667  df-gz 16858  df-struct 17075  df-sets 17092  df-slot 17110  df-ndx 17122  df-base 17140  df-ress 17169  df-plusg 17205  df-mulr 17206  df-starv 17207  df-tset 17211  df-ple 17212  df-ds 17214  df-unif 17215  df-0g 17382  df-mgm 18556  df-sgrp 18605  df-mnd 18621  df-mhm 18666  df-grp 18817  df-minusg 18818  df-sbg 18819  df-mulg 18944  df-subg 18996  df-ghm 19083  df-od 19388  df-cmn 19642  df-mgp 19979  df-ur 19996  df-ring 20048  df-cring 20049  df-oppr 20138  df-dvdsr 20159  df-unit 20160  df-invr 20190  df-dvr 20203  df-rnghom 20239  df-drng 20305  df-subrg 20348  df-cnfld 20929  df-zring 21002  df-zrh 21036  df-chr 21038  df-qqh 32890
This theorem is referenced by:  qqhghm  32905  qqhrhm  32906  qqhcn  32908  qqhucn  32909  qqhre  32937
  Copyright terms: Public domain W3C validator