Theorem qqhf 34017

Description: ℚHom as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqhf	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)

Proof of Theorem qqhf

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qqhval2.0	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		qqhval2.1	. . 3 ⊢ / = (/r‘𝑅)
3		qqhval2.2	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
4	1, 2, 3	qqhval2 34013	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))
5		drngring 20696	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ Ring)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ Ring)
8	3	zrhrhm 21472	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
9		zringbas 21414	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
10	9, 1	rhmf 20445	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
11	7, 8, 10	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
12		qnumcl 16759	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
14	11, 13	ffvelcdmd 7075	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(numer‘𝑞)) ∈ 𝐵)
15		simpll 766	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ DivRing)
16		qdencl 16760	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
18	17	nnzd 12615	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ∈ ℤ)
19	11, 18	ffvelcdmd 7075	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵)
20	17	nnne0d 12290	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ≠ 0)
21	20	neneqd 2937	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) = 0)
22		fvex 6889	. . . . . . . . . 10 ⊢ (denom‘𝑞) ∈ V
23	22	elsn 4616	. . . . . . . . 9 ⊢ ((denom‘𝑞) ∈ {0} ↔ (denom‘𝑞) = 0)
24	21, 23	sylnibr 329	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) ∈ {0})
25		eqid 2735	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26	1, 3, 25	zrhker 34006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0}))
27	26	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
28	5, 27	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
29	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
30	24, 29	neleqtrrd 2857	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}))
31		ffn 6706	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿:ℤ⟶𝐵 → 𝐿 Fn ℤ)
32	8, 10, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 Fn ℤ)
33		elpreima 7048	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → ((denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})))
34	5, 32, 33	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})))
35	34	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})) → (denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}))
36	35	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (denom‘𝑞) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)} → (denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
37	36	con3dimp 408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (denom‘𝑞) ∈ ℤ) ∧ ¬ (denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})
38	15, 18, 30, 37	syl21anc 837	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})
39		fvex 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ V
40	39	elsn 4616	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(denom‘𝑞)) = (0g‘𝑅))
41	38, 40	sylnib 328	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) = (0g‘𝑅))
42	41	neqned 2939	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g‘𝑅))
43		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
44	1, 43, 25	drngunit 20694	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g‘𝑅))))
45	44	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅))
46	15, 19, 42, 45	syl12anc 836	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅))
47	1, 43, 2	dvrcl 20364	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐿‘(numer‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) ∈ 𝐵)
48	7, 14, 46, 47	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) ∈ 𝐵)
49	4, 48	fmpt3d 7106	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  {csn 4601  ^◡ccnv 5653   “ cima 5657   Fn wfn 6526  ⟶wf 6527  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  0cc0 11129  ℕcn 12240  ℤcz 12588  ℚcq 12964  numercnumer 16752  denomcdenom 16753  Basecbs 17228  0_gc0g 17453  Ringcrg 20193  Unitcui 20315  /_rcdvr 20360   RingHom crh 20429  DivRingcdr 20689  ℤ_ringczring 21407  ℤRHomczrh 21460  chrcchr 21462  ℚHomcqqh 34001

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206  ax-pre-sup 11207  ax-addf 11208  ax-mulf 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-sup 9454  df-inf 9455  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11895  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-q 12965  df-rp 13009  df-fz 13525  df-fl 13809  df-mod 13887  df-seq 14020  df-exp 14080  df-cj 15118  df-re 15119  df-im 15120  df-sqrt 15254  df-abs 15255  df-dvds 16273  df-gcd 16514  df-numer 16754  df-denom 16755  df-gz 16950  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-starv 17286  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-unif 17294  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-mhm 18761  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-sbg 18921  df-mulg 19051  df-subg 19106  df-ghm 19196  df-od 19509  df-cmn 19763  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-ur 20142  df-ring 20195  df-cring 20196  df-oppr 20297  df-dvdsr 20317  df-unit 20318  df-invr 20348  df-dvr 20361  df-rhm 20432  df-subrng 20506  df-subrg 20530  df-drng 20691  df-cnfld 21316  df-zring 21408  df-zrh 21464  df-chr 21466  df-qqh 34002

This theorem is referenced by:  qqhghm  34019  qqhrhm  34020  qqhcn  34022  qqhucn  34023  qqhre  34051