Theorem qqhf 31648

Description: ℚHom as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqhf	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)

Proof of Theorem qqhf

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qqhval2.0	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		qqhval2.1	. . 3 ⊢ / = (/r‘𝑅)
3		qqhval2.2	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
4	1, 2, 3	qqhval2 31644	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))
5		drngring 19774	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ Ring)
7	6	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ Ring)
8	3	zrhrhm 20478	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
9		zringbas 20441	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
10	9, 1	rhmf 19746	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
11	7, 8, 10	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
12		qnumcl 16296	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
13	12	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
14	11, 13	ffvelrnd 6905	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(numer‘𝑞)) ∈ 𝐵)
15		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ DivRing)
16		qdencl 16297	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
17	16	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
18	17	nnzd 12281	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ∈ ℤ)
19	11, 18	ffvelrnd 6905	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵)
20	17	nnne0d 11880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ≠ 0)
21	20	neneqd 2945	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) = 0)
22		fvex 6730	. . . . . . . . . 10 ⊢ (denom‘𝑞) ∈ V
23	22	elsn 4556	. . . . . . . . 9 ⊢ ((denom‘𝑞) ∈ {0} ↔ (denom‘𝑞) = 0)
24	21, 23	sylnibr 332	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) ∈ {0})
25		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26	1, 3, 25	zrhker 31639	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0}))
27	26	biimpa 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
28	5, 27	sylan 583	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
29	28	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
30	24, 29	neleqtrrd 2860	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}))
31		ffn 6545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿:ℤ⟶𝐵 → 𝐿 Fn ℤ)
32	8, 10, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 Fn ℤ)
33		elpreima 6878	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → ((denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})))
34	5, 32, 33	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})))
35	34	biimpar 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})) → (denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}))
36	35	expr 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (denom‘𝑞) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)} → (denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
37	36	con3dimp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (denom‘𝑞) ∈ ℤ) ∧ ¬ (denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})
38	15, 18, 30, 37	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})
39		fvex 6730	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ V
40	39	elsn 4556	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(denom‘𝑞)) = (0g‘𝑅))
41	38, 40	sylnib 331	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) = (0g‘𝑅))
42	41	neqned 2947	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g‘𝑅))
43		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
44	1, 43, 25	drngunit 19772	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g‘𝑅))))
45	44	biimpar 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅))
46	15, 19, 42, 45	syl12anc 837	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅))
47	1, 43, 2	dvrcl 19704	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐿‘(numer‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) ∈ 𝐵)
48	7, 14, 46, 47	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) ∈ 𝐵)
49	4, 48	fmpt3d 6933	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  {csn 4541  ^◡ccnv 5550   “ cima 5554   Fn wfn 6375  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  0cc0 10729  ℕcn 11830  ℤcz 12176  ℚcq 12544  numercnumer 16289  denomcdenom 16290  Basecbs 16760  0_gc0g 16944  Ringcrg 19562  Unitcui 19657  /_rcdvr 19700   RingHom crh 19732  DivRingcdr 19767  ℤ_ringzring 20435  ℤRHomczrh 20466  chrcchr 20468  ℚHomcqqh 31634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-dvds 15816  df-gcd 16054  df-numer 16291  df-denom 16292  df-gz 16483  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-od 18920  df-cmn 19172  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-cring 19565  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-dvr 19701  df-rnghom 19735  df-drng 19769  df-subrg 19798  df-cnfld 20364  df-zring 20436  df-zrh 20470  df-chr 20472  df-qqh 31635

This theorem is referenced by:  qqhghm  31650  qqhrhm  31651  qqhcn  31653  qqhucn  31654  qqhre  31682