Theorem qqhf 34283

Description: ℚHom as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqhf	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)

Proof of Theorem qqhf

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qqhval2.0	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		qqhval2.1	. . 3 ⊢ / = (/r‘𝑅)
3		qqhval2.2	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
4	1, 2, 3	qqhval2 34279	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))
5		drngring 20786	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ Ring)
7	6	adantr 484	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ Ring)
8	3	zrhrhm 21563	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
9		zringbas 21505	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
10	9, 1	rhmf 20533	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
11	7, 8, 10	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
12		qnumcl 16775	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
13	12	adantl 485	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
14	11, 13	ffvelcdmd 7066	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(numer‘𝑞)) ∈ 𝐵)
15		simpll 776	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ DivRing)
16		qdencl 16776	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
17	16	adantl 485	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
18	17	nnzd 12594	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ∈ ℤ)
19	11, 18	ffvelcdmd 7066	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵)
20	17	nnne0d 12263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ≠ 0)
21	20	neneqd 2962	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) = 0)
22		fvex 6880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (denom‘𝑞) ∈ V
23	22	elsn 4597	. . . . . . . . 9 ⊢ ((denom‘𝑞) ∈ {0} ↔ (denom‘𝑞) = 0)
24	21, 23	sylnibr 331	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) ∈ {0})
25		eqid 2762	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26	1, 3, 25	zrhker 34272	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0}))
27	26	biimpa 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
28	5, 27	sylan 589	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
29	28	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
30	24, 29	neleqtrrd 2885	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}))
31		ffn 6691	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿:ℤ⟶𝐵 → 𝐿 Fn ℤ)
32	8, 10, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 Fn ℤ)
33		elpreima 7039	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → ((denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})))
34	5, 32, 33	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})))
35	34	biimpar 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})) → (denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}))
36	35	expr 460	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (denom‘𝑞) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)} → (denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
37	36	con3dimp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (denom‘𝑞) ∈ ℤ) ∧ ¬ (denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})
38	15, 18, 30, 37	syl21anc 848	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})
39		fvex 6880	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ V
40	39	elsn 4597	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(denom‘𝑞)) = (0g‘𝑅))
41	38, 40	sylnib 330	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) = (0g‘𝑅))
42	41	neqned 2964	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g‘𝑅))
43		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
44	1, 43, 25	drngunit 20784	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g‘𝑅))))
45	44	biimpar 481	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅))
46	15, 19, 42, 45	syl12anc 847	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅))
47	1, 43, 2	dvrcl 20453	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐿‘(numer‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) ∈ 𝐵)
48	7, 14, 46, 47	syl3anc 1390	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) ∈ 𝐵)
49	4, 48	fmpt3d 7097	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  {csn 4582  ^◡ccnv 5646   “ cima 5650   Fn wfn 6516  ⟶wf 6517  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  0cc0 11073  ℕcn 12210  ℤcz 12568  ℚcq 12949  numercnumer 16768  denomcdenom 16769  Basecbs 17245  0_gc0g 17468  Ringcrg 20283  Unitcui 20404  /_rcdvr 20449   RingHom crh 20518  DivRingcdr 20779  ℤ_ringczring 21498  ℤRHomczrh 21551  chrcchr 21553  ℚHomcqqh 34267

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150  ax-pre-sup 11151  ax-addf 11152  ax-mulf 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8678  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-fin 8931  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-div 11845  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12482  df-z 12569  df-dec 12689  df-uz 12840  df-q 12950  df-rp 12994  df-fz 13513  df-fl 13802  df-mod 13880  df-seq 14015  df-exp 14075  df-cj 15126  df-re 15127  df-im 15128  df-sqrt 15262  df-abs 15263  df-dvds 16287  df-gcd 16529  df-numer 16770  df-denom 16771  df-gz 16966  df-struct 17183  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-starv 17301  df-tset 17305  df-ple 17306  df-ds 17308  df-unif 17309  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-mhm 18817  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-mulg 19110  df-subg 19165  df-ghm 19254  df-od 19568  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-cring 20286  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437  df-dvr 20450  df-rhm 20521  df-subrng 20596  df-subrg 20620  df-drng 20781  df-cnfld 21425  df-zring 21499  df-zrh 21555  df-chr 21557  df-qqh 34268

This theorem is referenced by:  qqhghm  34285  qqhrhm  34286  qqhcn  34288  qqhucn  34289  qqhre  34317