Theorem qqhf 33948

Description: ℚHom as a function. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqhf	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)

Proof of Theorem qqhf

Dummy variable 𝑞 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qqhval2.0	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		qqhval2.1	. . 3 ⊢ / = (/r‘𝑅)
3		qqhval2.2	. . 3 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
4	1, 2, 3	qqhval2 33944	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))
5		drngring 20752	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
6	5	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ Ring)
7	6	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ Ring)
8	3	zrhrhm 21539	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
9		zringbas 21481	. . . . . 6 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
10	9, 1	rhmf 20501	. . . . 5 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
11	7, 8, 10	3syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
12		qnumcl 16773	. . . . 5 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
13	12	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
14	11, 13	ffvelcdmd 7104	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(numer‘𝑞)) ∈ 𝐵)
15		simpll 767	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → 𝑅 ∈ DivRing)
16		qdencl 16774	. . . . . . 7 ⊢ (𝑞 ∈ ℚ → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
17	16	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
18	17	nnzd 12637	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ∈ ℤ)
19	11, 18	ffvelcdmd 7104	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵)
20	17	nnne0d 12313	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (denom‘𝑞) ≠ 0)
21	20	neneqd 2942	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) = 0)
22		fvex 6919	. . . . . . . . . 10 ⊢ (denom‘𝑞) ∈ V
23	22	elsn 4645	. . . . . . . . 9 ⊢ ((denom‘𝑞) ∈ {0} ↔ (denom‘𝑞) = 0)
24	21, 23	sylnibr 329	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) ∈ {0})
25		eqid 2734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
26	1, 3, 25	zrhker 33937	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0}))
27	26	biimpa 476	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
28	5, 27	sylan 580	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
29	28	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
30	24, 29	neleqtrrd 2861	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}))
31		ffn 6736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐿:ℤ⟶𝐵 → 𝐿 Fn ℤ)
32	8, 10, 31	3syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 Fn ℤ)
33		elpreima 7077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → ((denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})))
34	5, 32, 33	3syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})))
35	34	biimpar 477	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((denom‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})) → (denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}))
36	35	expr 456	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (denom‘𝑞) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)} → (denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
37	36	con3dimp 408	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (denom‘𝑞) ∈ ℤ) ∧ ¬ (denom‘𝑞) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})
38	15, 18, 30, 37	syl21anc 838	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)})
39		fvex 6919	. . . . . . 7 ⊢ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ V
40	39	elsn 4645	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(denom‘𝑞)) = (0g‘𝑅))
41	38, 40	sylnib 328	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ¬ (𝐿‘(denom‘𝑞)) = (0g‘𝑅))
42	41	neqned 2944	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g‘𝑅))
43		eqid 2734	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
44	1, 43, 25	drngunit 20750	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g‘𝑅))))
45	44	biimpar 477	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ ((𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ≠ (0g‘𝑅))) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅))
46	15, 19, 42, 45	syl12anc 837	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅))
47	1, 43, 2	dvrcl 20420	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐿‘(numer‘𝑞)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(denom‘𝑞)) ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) ∈ 𝐵)
48	7, 14, 46, 47	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ 𝑞 ∈ ℚ) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) ∈ 𝐵)
49	4, 48	fmpt3d 7135	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅):ℚ⟶𝐵)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2937  {csn 4630  ^◡ccnv 5687   “ cima 5691   Fn wfn 6557  ⟶wf 6558  ‘cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  ℕcn 12263  ℤcz 12610  ℚcq 12987  numercnumer 16766  denomcdenom 16767  Basecbs 17244  0_gc0g 17485  Ringcrg 20250  Unitcui 20371  /_rcdvr 20416   RingHom crh 20485  DivRingcdr 20745  ℤ_ringczring 21474  ℤRHomczrh 21527  chrcchr 21529  ℚHomcqqh 33932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-numer 16768  df-denom 16769  df-gz 16963  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-od 19560  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531  df-chr 21533  df-qqh 33933

This theorem is referenced by:  qqhghm  33950  qqhrhm  33951  qqhcn  33953  qqhucn  33954  qqhre  33982