MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drnginvrcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drnginvrcl 19515
Description: Closure of the multiplicative inverse in a division ring. (reccl 11298 analog.) (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
invrcl.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
invrcl.z 0 = (0g𝑅)
invrcl.i 𝐼 = (invr𝑅)
Assertion
Ref Expression
drnginvrcl ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem drnginvrcl
StepHypRef Expression
1 invrcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 eqid 2801 . . . 4 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3 invrcl.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
41, 2, 3drngunit 19503 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑋𝐵𝑋0 )))
5 drngring 19505 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
6 invrcl.i . . . . . 6 𝐼 = (invr𝑅)
72, 6, 1ringinvcl 19425 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
87ex 416 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵))
95, 8syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵))
104, 9sylbird 263 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵))
11103impib 1113 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋𝐵𝑋0 ) → (𝐼𝑋) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wne 2990  cfv 6328  Basecbs 16478  0gc0g 16708  Ringcrg 19293  Unitcui 19388  invrcinvr 19420  DivRingcdr 19498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-tpos 7879  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-sets 16485  df-ress 16486  df-plusg 16573  df-mulr 16574  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-grp 18101  df-minusg 18102  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-drng 19500
This theorem is referenced by:  drngmul0or  19519  sdrgacs  19576  cntzsdrg  19577  abvrec  19603  abvdiv  19604  lvecvs0or  19876  lssvs0or  19878  lvecinv  19881  lspsnvs  19882  lspfixed  19896  lspexch  19897  lspsolv  19911  drngnidl  19998  matunitlindflem1  35046  lfl1  36359  eqlkr3  36390  lkrlsp  36391  tendoinvcl  38393  dochkr1  38767  dochkr1OLDN  38768  lcfl7lem  38788  lclkrlem2m  38808  lclkrlem2o  38810  lclkrlem2p  38811  lcfrlem1  38831  lcfrlem2  38832  lcfrlem3  38833  lcfrlem29  38860  lcfrlem31  38862  lcfrlem33  38864  mapdpglem17N  38977  mapdpglem18  38978  mapdpglem19  38979  mapdpglem21  38981  mapdpglem22  38982  hdmapip1  39205  hgmapvvlem1  39212  hgmapvvlem2  39213  hgmapvvlem3  39214  prjspersym  39588
  Copyright terms: Public domain W3C validator