Theorem drnginvrcl 20008

Description: Closure of the multiplicative inverse in a division ring. (reccl 11640 analog). (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
invrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
invrcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
invrcl.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drnginvrcl	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem drnginvrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		invrcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		invrcl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	drngunit 19996	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )))
5		drngring 19998	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
6		invrcl.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
7	2, 6, 1	ringinvcl 19918	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
8	7	ex 413	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵))
9	5, 8	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵))
10	4, 9	sylbird 259	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵))
11	10	3impib 1115	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ‘cfv 6433  Basecbs 16912  0_gc0g 17150  Ringcrg 19783  Unitcui 19881  inv_rcinvr 19913  DivRingcdr 19991

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993

This theorem is referenced by:  drngmul0or  20012  sdrgacs  20069  cntzsdrg  20070  abvrec  20096  abvdiv  20097  lvecvs0or  20370  lssvs0or  20372  lvecinv  20375  lspsnvs  20376  lspfixed  20390  lspexch  20391  lspsolv  20405  drngnidl  20500  matunitlindflem1  35773  lfl1  37084  eqlkr3  37115  lkrlsp  37116  tendoinvcl  39118  dochkr1  39492  dochkr1OLDN  39493  lcfl7lem  39513  lclkrlem2m  39533  lclkrlem2o  39535  lclkrlem2p  39536  lcfrlem1  39556  lcfrlem2  39557  lcfrlem3  39558  lcfrlem29  39585  lcfrlem31  39587  lcfrlem33  39589  mapdpglem17N  39702  mapdpglem18  39703  mapdpglem19  39704  mapdpglem21  39706  mapdpglem22  39707  hdmapip1  39930  hgmapvvlem1  39937  hgmapvvlem2  39938  hgmapvvlem3  39939  drnginvrcld  40248  prjspersym  40446  prjspnfv01  40461  prjspner01  40462