Theorem drnginvrcl 20909

Description: Closure of the multiplicative inverse in a division ring. (reccl 11896 analog). (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
drnginvrcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
drnginvrcl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drnginvrcl.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drnginvrcl	⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem drnginvrcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drnginvrcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		drnginvrcl.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	drngunit 20884	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 )))
5		drngring 20886	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
6		drnginvrcl.i	. . . . . 6 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
7	2, 6, 1	ringinvcl 20522	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)
8	7	ex 418	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵))
9	5, 8	syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ (Unit‘𝑅) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵))
10	4, 9	sylbird 263	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵))
11	10	3impib 1134	1 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝐼‘𝑋) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ‘cfv 6540  Basecbs 17293  0_gc0g 17516  Ringcrg 20361  Unitcui 20485  inv_rcinvr 20517  DivRingcdr 20879

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7869  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-0g 17518  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-drng 20881

This theorem is used by:  drnginvrcld  20911  sdrgacs  20956  cntzsdrg  20957  abvrec  20983  abvdiv  20984  lvecvs0or  21284  lssvs0or  21286  lvecinv  21289  lspsnvs  21290  lspfixed  21304  lspexch  21305  lspsolv  21319  drngnidl  21429  sdrginvcl  33687  matunitlindflem1  38326  lfl1  39904  eqlkr3  39935  lkrlsp  39936  tendoinvcl  41938  dochkr1  42312  dochkr1OLDN  42313  lcfl7lem  42333  lclkrlem2m  42353  lclkrlem2o  42355  lclkrlem2p  42356  lcfrlem1  42376  lcfrlem2  42377  lcfrlem3  42378  lcfrlem29  42405  lcfrlem31  42407  lcfrlem33  42409  mapdpglem17N  42522  mapdpglem18  42523  mapdpglem19  42524  mapdpglem21  42526  mapdpglem22  42527  hdmapip1  42750  hgmapvvlem1  42757  hgmapvvlem2  42758  hgmapvvlem3  42759  prjspersym  43399  prjspnfv01  43416  prjspner01  43417