Theorem lincreslvec3 48211

Description: Property 3 of a specially modified restriction of a linear combination in a vector space. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincresunit.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincresunit.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincresunit.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
lincresunit.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lincresunit.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))

Assertion

Ref	Expression
lincreslvec3	⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   · ,𝑠   0 ,𝑠   𝐺,𝑠   𝑅,𝑠   𝑍,𝑠

Proof of Theorem lincreslvec3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21128	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LVec → 𝑀 ∈ LMod)
2	1	3anim2i 1153	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
3	2	3ad2ant1 1133	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
4		simp21 1206	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
5		elmapi 8907	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶𝐸)
6	5	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹:𝑆⟶𝐸)
7		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
8		ffvelcdm 7115	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸)
9	6, 7, 8	syl2anr 596	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸)
10		simpr2 1195	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹‘𝑋) ≠ 0 )
11		lincresunit.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
12	11	lvecdrng 21127	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
13	12	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ DivRing)
14	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
15		lincresunit.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
16		lincresunit.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
17		lincresunit.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18	15, 16, 17	drngunit 20756	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 )))
19	14, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 )))
20	9, 10, 19	mpbir2and 712	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
21	20	3adant3 1132	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
22		simp3 1138	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )
23	22	3ad2ant2 1134	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → 𝐹 finSupp 0 )
24		simp3 1138	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
25		lincresunit.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
26		lincresunit.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
27		lincresunit.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
28		lincresunit.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
29		lincresunit.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
30		lincresunit.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))
31	25, 11, 15, 16, 17, 26, 27, 28, 29, 30	lincresunit3 48210	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) = 𝑋)
32	3, 4, 21, 23, 24, 31	syl131anc 1383	1 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ∖ cdif 3973  𝒫 cpw 4622  {csn 4648   class class class wbr 5166   ↦ cmpt 5249  ⟶wf 6569  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ↑_m cmap 8884   finSupp cfsupp 9431  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314  0_gc0g 17499  inv_gcminusg 18974  Unitcui 20381  inv_rcinvr 20413  DivRingcdr 20751  LModclmod 20880  LVecclvec 21124   linC clinc 48133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-oi 9579  df-card 10008  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-seq 14053  df-hash 14380  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-gsum 17502  df-mre 17644  df-mrc 17645  df-acs 17647  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-mhm 18818  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-mulg 19108  df-ghm 19253  df-cntz 19357  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lvec 21125  df-linc 48135

This theorem is referenced by:  isldepslvec2  48214