Theorem lincreslvec3 48973

Description: Property 3 of a specially modified restriction of a linear combination in a vector space. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincresunit.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincresunit.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincresunit.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
lincresunit.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lincresunit.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))

Assertion

Ref	Expression
lincreslvec3	⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) = 𝑋)

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   · ,𝑠   0 ,𝑠   𝐺,𝑠   𝑅,𝑠   𝑍,𝑠

Proof of Theorem lincreslvec3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21096	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ LVec → 𝑀 ∈ LMod)
2	1	3anim2i 1159	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
3	2	3ad2ant1 1139	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
4		simp21 1213	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
5		elmapi 8786	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶𝐸)
6	5	3ad2ant1 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹:𝑆⟶𝐸)
7		simp3 1144	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ 𝑆)
8		ffvelcdm 7022	. . . . 5 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸)
9	6, 7, 8	syl2anr 603	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸)
10		simpr2 1202	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹‘𝑋) ≠ 0 )
11		lincresunit.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
12	11	lvecdrng 21095	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ LVec → 𝑅 ∈ DivRing)
13	12	3ad2ant2 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ DivRing)
14	13	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
15		lincresunit.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
16		lincresunit.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
17		lincresunit.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18	15, 16, 17	drngunit 20706	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 )))
19	14, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ↔ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸 ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 )))
20	9, 10, 19	mpbir2and 719	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
21	20	3adant3 1138	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
22		simp3 1144	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 finSupp 0 )
23	22	3ad2ant2 1140	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → 𝐹 finSupp 0 )
24		simp3 1144	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍)
25		lincresunit.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
26		lincresunit.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
27		lincresunit.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
28		lincresunit.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
29		lincresunit.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
30		lincresunit.g	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))
31	25, 11, 15, 16, 17, 26, 27, 28, 29, 30	lincresunit3 48972	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) = 𝑋)
32	3, 4, 21, 23, 24, 31	syl131anc 1391	1 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LVec ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ≠ 0 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC ‘𝑀)𝑆) = 𝑍) → (𝐺( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   ∖ cdif 3880  𝒫 cpw 4529  {csn 4555   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8763   finSupp cfsupp 9264  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  Scalarcsca 17214  0_gc0g 17393  inv_gcminusg 18901  Unitcui 20326  inv_rcinvr 20358  DivRingcdr 20701  LModclmod 20850  LVecclvec 21092   linC clinc 48895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-2o 8396  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-submnd 18743  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-mulg 19035  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-drng 20703  df-lmod 20852  df-lvec 21093  df-linc 48897

This theorem is referenced by:  isldepslvec2  48976