Theorem isarchiofld 33347

Description: Axiom of Archimedes : a characterization of the Archimedean property for ordered fields. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
isarchiofld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
isarchiofld.h	⊢ 𝐻 = (ℤRHom‘𝑊)
isarchiofld.l	⊢ < = (lt‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
isarchiofld	⊢ (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑊,𝑥   𝑥,𝐻   < ,𝑛,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem isarchiofld

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isofld 33332	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oField ↔ (𝑊 ∈ Field ∧ 𝑊 ∈ oRing))
2	1	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ oRing)
3		orngogrp 33331	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oRing → 𝑊 ∈ oGrp)
4		isarchiofld.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
6		isarchiofld.l	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝑊)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.g‘𝑊) = (.g‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	isarchi3 33194	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))))
9	2, 3, 8	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))))
10		orngring 33330	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oRing → 𝑊 ∈ Ring)
11		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
12	4, 11	ringidcl 20262	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
13	2, 10, 12	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
14		breq2 5147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → ((0g‘𝑊) < 𝑦 ↔ (0g‘𝑊) < (1r‘𝑊)))
15		oveq2 7439	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → (𝑛(.g‘𝑊)𝑦) = (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))
16	15	breq2d 5155	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → (𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦) ↔ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
17	16	rexbidv 3179	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
18	14, 17	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → (((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) ↔ ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
19	18	ralbidv 3178	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
20	19	rspcv 3618	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘𝑊) ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
21	13, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
22	5, 11, 6	ofldlt1 33343	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (0g‘𝑊) < (1r‘𝑊))
23		pm5.5 361	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → (((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
25	24	ralbidv 3178	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
26	21, 25	sylibd 239	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
27	2, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ Ring)
28		nnz 12634	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
29		isarchiofld.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (ℤRHom‘𝑊)
30	29, 7, 11	zrhmulg 21520	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐻‘𝑛) = (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))
31	27, 28, 30	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑛) = (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))
32	31	breq2d 5155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
33	32	rexbidva 3177	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
34	33	ralbidv 3178	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
35	26, 34	sylibrd 259	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)))
36		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑊 ∈ oField
37		nfra1 3284	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)
38	36, 37	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛))
39		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐵
40	38, 39	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)
41	27	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑊 ∈ Ring)
42		simplrr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐵)
43		simplrl 777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
44		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (0g‘𝑊) < 𝑦)
45		simplll 775	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑊 ∈ oField)
46		ringgrp 20235	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Grp)
47	4, 5	grpidcl 18983	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
48	41, 46, 47	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
49	6	pltne 18379	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑊) < 𝑦 → (0g‘𝑊) ≠ 𝑦))
50	45, 48, 43, 49	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → ((0g‘𝑊) < 𝑦 → (0g‘𝑊) ≠ 𝑦))
51	44, 50	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (0g‘𝑊) ≠ 𝑦)
52	51	necomd 2996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
53	1	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ Field)
54		isfld 20740	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Field ↔ (𝑊 ∈ DivRing ∧ 𝑊 ∈ CRing))
55	54	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Field → 𝑊 ∈ DivRing)
56	53, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ DivRing)
57		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Unit‘𝑊) = (Unit‘𝑊)
58	4, 57, 5	drngunit 20734	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ DivRing → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))))
59	45, 56, 58	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))))
60	43, 52, 59	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊))
61		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (/r‘𝑊) = (/r‘𝑊)
62	4, 57, 61	dvrcl 20404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊)) → (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
63	41, 42, 60, 62	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
64		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛))
65		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ 𝑧 < (𝐻‘𝑛)))
66	65	rexbidv 3179	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛)))
67	66	cbvralvw 3237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛))
68	64, 67	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛))
69	68	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛))
70		breq1 5146	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) → (𝑧 < (𝐻‘𝑛) ↔ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)))
71	70	rexbidv 3179	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)))
72	71	rspcv 3618	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥(/r‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵 → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)))
73	63, 69, 72	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛))
74		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
75		simp-4l 783	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑊 ∈ oField)
76	75, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑊 ∈ oRing)
77	75, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑊 ∈ Ring)
78		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
79	78	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
80	78	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
81		simpllr 776	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (0g‘𝑊) < 𝑦)
82	77, 46, 47	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
83	75, 82, 80, 49	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((0g‘𝑊) < 𝑦 → (0g‘𝑊) ≠ 𝑦))
84	81, 83	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (0g‘𝑊) ≠ 𝑦)
85	84	necomd 2996	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
86	75, 56, 58	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))))
87	80, 85, 86	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊))
88	77, 79, 87, 62	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
89		simplr 769	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
90	75, 89, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝐻‘𝑛) = (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))
91	77, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑊 ∈ Grp)
92	89, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
93	77, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
94	4, 7	mulgcl 19109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
95	91, 92, 93, 94	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
96	90, 95	eqeltrd 2841	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝐻‘𝑛) ∈ 𝐵)
97	75, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑊 ∈ DivRing)
98		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛))
99	4, 74, 5, 76, 88, 96, 80, 6, 97, 98, 81	orngrmullt 33338	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((𝑥(/r‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑦) < ((𝐻‘𝑛)(.r‘𝑊)𝑦))
100	4, 57, 61, 74	dvrcan1 20409	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊)) → ((𝑥(/r‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑦) = 𝑥)
101	77, 79, 87, 100	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((𝑥(/r‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑦) = 𝑥)
102	90	oveq1d 7446	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑛)(.r‘𝑊)𝑦) = ((𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))(.r‘𝑊)𝑦))
103	4, 7, 74	mulgass2 20306	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑛(.g‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)𝑦)))
104	77, 92, 93, 80, 103	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑛(.g‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)𝑦)))
105	4, 74, 11	ringlidm 20266	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)𝑦) = 𝑦)
106	77, 80, 105	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)𝑦) = 𝑦)
107	106	oveq2d 7447	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑛(.g‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)𝑦)) = (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))
108	102, 104, 107	3eqtrd 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑛)(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))
109	99, 101, 108	3brtr3d 5174	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))
110	109	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛) → 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
111	110	reximdva 3168	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
112	111	adantllr 719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
113	73, 112	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))
114	113	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
115	114	expr 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 → ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))))
116	40, 115	ralrimi 3257	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
117	116	ralrimiva 3146	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
118	117	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))))
119	35, 118	impbid 212	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)))
120	9, 119	bitrd 279	1 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  ℕcn 12266  ℤcz 12613  Basecbs 17247  ._rcmulr 17298  0_gc0g 17484  ltcplt 18354  Grpcgrp 18951  ._gcmg 19085  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  Unitcui 20355  /_rcdvr 20400  DivRingcdr 20729  Fieldcfield 20730  ℤRHomczrh 21510  oGrpcogrp 33075  Archicarchi 33184  oRingcorng 33325  oFieldcofld 33326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-toset 18462  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-field 20732  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-omnd 33076  df-ogrp 33077  df-inftm 33185  df-archi 33186  df-orng 33327  df-ofld 33328

This theorem is referenced by:  rearchi  33374