Theorem isarchiofld 31624

Description: Axiom of Archimedes : a characterization of the Archimedean property for ordered fields. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
isarchiofld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
isarchiofld.h	⊢ 𝐻 = (ℤRHom‘𝑊)
isarchiofld.l	⊢ < = (lt‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
isarchiofld	⊢ (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑊,𝑥   𝑥,𝐻   < ,𝑛,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem isarchiofld

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isofld 31609	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oField ↔ (𝑊 ∈ Field ∧ 𝑊 ∈ oRing))
2	1	simprbi 497	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ oRing)
3		orngogrp 31608	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oRing → 𝑊 ∈ oGrp)
4		isarchiofld.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
6		isarchiofld.l	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝑊)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.g‘𝑊) = (.g‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	isarchi3 31549	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))))
9	2, 3, 8	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))))
10		orngring 31607	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oRing → 𝑊 ∈ Ring)
11		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
12	4, 11	ringidcl 19874	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
13	2, 10, 12	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
14		breq2 5089	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → ((0g‘𝑊) < 𝑦 ↔ (0g‘𝑊) < (1r‘𝑊)))
15		oveq2 7321	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → (𝑛(.g‘𝑊)𝑦) = (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))
16	15	breq2d 5097	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → (𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦) ↔ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
17	16	rexbidv 3172	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
18	14, 17	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → (((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) ↔ ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
19	18	ralbidv 3171	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
20	19	rspcv 3566	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘𝑊) ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
21	13, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
22	5, 11, 6	ofldlt1 31620	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (0g‘𝑊) < (1r‘𝑊))
23		pm5.5 361	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → (((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
25	24	ralbidv 3171	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
26	21, 25	sylibd 238	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
27	2, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ Ring)
28		nnz 12412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
29		isarchiofld.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (ℤRHom‘𝑊)
30	29, 7, 11	zrhmulg 20782	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐻‘𝑛) = (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))
31	27, 28, 30	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑛) = (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))
32	31	breq2d 5097	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
33	32	rexbidva 3170	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
34	33	ralbidv 3171	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
35	26, 34	sylibrd 258	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)))
36		nfv 1916	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑊 ∈ oField
37		nfra1 3264	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)
38	36, 37	nfan 1901	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛))
39		nfv 1916	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐵
40	38, 39	nfan 1901	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)
41	27	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑊 ∈ Ring)
42		simplrr 775	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐵)
43		simplrl 774	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
44		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (0g‘𝑊) < 𝑦)
45		simplll 772	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑊 ∈ oField)
46		ringgrp 19855	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Grp)
47	4, 5	grpidcl 18674	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
48	41, 46, 47	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
49	6	pltne 18119	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑊) < 𝑦 → (0g‘𝑊) ≠ 𝑦))
50	45, 48, 43, 49	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → ((0g‘𝑊) < 𝑦 → (0g‘𝑊) ≠ 𝑦))
51	44, 50	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (0g‘𝑊) ≠ 𝑦)
52	51	necomd 2997	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
53	1	simplbi 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ Field)
54		isfld 20071	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Field ↔ (𝑊 ∈ DivRing ∧ 𝑊 ∈ CRing))
55	54	simplbi 498	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Field → 𝑊 ∈ DivRing)
56	53, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ DivRing)
57		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Unit‘𝑊) = (Unit‘𝑊)
58	4, 57, 5	drngunit 20067	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ DivRing → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))))
59	45, 56, 58	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))))
60	43, 52, 59	mpbir2and 710	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊))
61		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (/r‘𝑊) = (/r‘𝑊)
62	4, 57, 61	dvrcl 19995	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊)) → (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
63	41, 42, 60, 62	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
64		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛))
65		breq1 5088	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ 𝑧 < (𝐻‘𝑛)))
66	65	rexbidv 3172	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛)))
67	66	cbvralvw 3222	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛))
68	64, 67	sylib 217	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛))
69	68	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛))
70		breq1 5088	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) → (𝑧 < (𝐻‘𝑛) ↔ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)))
71	70	rexbidv 3172	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)))
72	71	rspcv 3566	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥(/r‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵 → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)))
73	63, 69, 72	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛))
74		eqid 2737	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
75		simp-4l 780	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑊 ∈ oField)
76	75, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑊 ∈ oRing)
77	75, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑊 ∈ Ring)
78		simp-4r 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
79	78	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
80	78	simpld 495	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
81		simpllr 773	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (0g‘𝑊) < 𝑦)
82	77, 46, 47	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
83	75, 82, 80, 49	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((0g‘𝑊) < 𝑦 → (0g‘𝑊) ≠ 𝑦))
84	81, 83	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (0g‘𝑊) ≠ 𝑦)
85	84	necomd 2997	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
86	75, 56, 58	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))))
87	80, 85, 86	mpbir2and 710	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊))
88	77, 79, 87, 62	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
89		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
90	75, 89, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝐻‘𝑛) = (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))
91	77, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑊 ∈ Grp)
92	89, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
93	77, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
94	4, 7	mulgcl 18788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
95	91, 92, 93, 94	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
96	90, 95	eqeltrd 2838	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝐻‘𝑛) ∈ 𝐵)
97	75, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑊 ∈ DivRing)
98		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛))
99	4, 74, 5, 76, 88, 96, 80, 6, 97, 98, 81	orngrmullt 31615	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((𝑥(/r‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑦) < ((𝐻‘𝑛)(.r‘𝑊)𝑦))
100	4, 57, 61, 74	dvrcan1 20000	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊)) → ((𝑥(/r‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑦) = 𝑥)
101	77, 79, 87, 100	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((𝑥(/r‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑦) = 𝑥)
102	90	oveq1d 7328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑛)(.r‘𝑊)𝑦) = ((𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))(.r‘𝑊)𝑦))
103	4, 7, 74	mulgass2 19907	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑛(.g‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)𝑦)))
104	77, 92, 93, 80, 103	syl13anc 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑛(.g‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)𝑦)))
105	4, 74, 11	ringlidm 19877	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)𝑦) = 𝑦)
106	77, 80, 105	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)𝑦) = 𝑦)
107	106	oveq2d 7329	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑛(.g‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)𝑦)) = (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))
108	102, 104, 107	3eqtrd 2781	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑛)(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))
109	99, 101, 108	3brtr3d 5116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))
110	109	ex 413	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛) → 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
111	110	reximdva 3162	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
112	111	adantllr 716	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
113	73, 112	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))
114	113	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
115	114	expr 457	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 → ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))))
116	40, 115	ralrimi 3237	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
117	116	ralrimiva 3140	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
118	117	ex 413	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))))
119	35, 118	impbid 211	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)))
120	9, 119	bitrd 278	1 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   class class class wbr 5085  ‘cfv 6463  (class class class)co 7313  ℕcn 12043  ℤcz 12389  Basecbs 16979  ._rcmulr 17030  0_gc0g 17217  ltcplt 18093  Grpcgrp 18644  ._gcmg 18767  1_rcur 19804  Ringcrg 19850  CRingccrg 19851  Unitcui 19948  /_rcdvr 19991  DivRingcdr 20062  Fieldcfield 20063  ℤRHomczrh 20772  oGrpcogrp 31432  Archicarchi 31539  oRingcorng 31602  oFieldcofld 31603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018  ax-addf 11020  ax-mulf 11021

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4849  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-1st 7874  df-2nd 7875  df-tpos 8087  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-1o 8342  df-er 8544  df-map 8663  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-fin 8783  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-2 12106  df-3 12107  df-4 12108  df-5 12109  df-6 12110  df-7 12111  df-8 12112  df-9 12113  df-n0 12304  df-z 12390  df-dec 12508  df-uz 12653  df-fz 13310  df-seq 13792  df-struct 16915  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-ress 17009  df-plusg 17042  df-mulr 17043  df-starv 17044  df-tset 17048  df-ple 17049  df-ds 17051  df-unif 17052  df-0g 17219  df-proset 18080  df-poset 18098  df-plt 18115  df-toset 18202  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-mhm 18497  df-grp 18647  df-minusg 18648  df-sbg 18649  df-mulg 18768  df-subg 18819  df-ghm 18899  df-cmn 19455  df-mgp 19788  df-ur 19805  df-ring 19852  df-cring 19853  df-oppr 19929  df-dvdsr 19950  df-unit 19951  df-invr 19981  df-dvr 19992  df-rnghom 20026  df-drng 20064  df-field 20065  df-subrg 20093  df-cnfld 20669  df-zring 20742  df-zrh 20776  df-omnd 31433  df-ogrp 31434  df-inftm 31540  df-archi 31541  df-orng 31604  df-ofld 31605

This theorem is referenced by:  rearchi  31650