Theorem isarchiofld 33154

Description: Axiom of Archimedes : a characterization of the Archimedean property for ordered fields. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
isarchiofld.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
isarchiofld.h	⊢ 𝐻 = (ℤRHom‘𝑊)
isarchiofld.l	⊢ < = (lt‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
isarchiofld	⊢ (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑊,𝑥   𝑥,𝐻   < ,𝑛,𝑥

Allowed substitution hint:   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem isarchiofld

Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isofld 20767	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oField ↔ (𝑊 ∈ Field ∧ 𝑊 ∈ oRing))
2	1	simprbi 496	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ oRing)
3		orngogrp 20766	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oRing → 𝑊 ∈ oGrp)
4		isarchiofld.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
5		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
6		isarchiofld.l	. . . 4 ⊢ < = (lt‘𝑊)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (.g‘𝑊) = (.g‘𝑊)
8	4, 5, 6, 7	isarchi3 33142	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oGrp → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))))
9	2, 3, 8	3syl 18	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))))
10		orngring 20765	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oRing → 𝑊 ∈ Ring)
11		eqid 2729	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
12	4, 11	ringidcl 20168	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
13	2, 10, 12	3syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
14		breq2 5099	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → ((0g‘𝑊) < 𝑦 ↔ (0g‘𝑊) < (1r‘𝑊)))
15		oveq2 7361	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → (𝑛(.g‘𝑊)𝑦) = (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))
16	15	breq2d 5107	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → (𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦) ↔ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
17	16	rexbidv 3153	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
18	14, 17	imbi12d 344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → (((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) ↔ ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
19	18	ralbidv 3152	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = (1r‘𝑊) → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
20	19	rspcv 3575	. . . . . 6 ⊢ ((1r‘𝑊) ∈ 𝐵 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
21	13, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))))
22	5, 11, 6	ofldlt1 20778	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (0g‘𝑊) < (1r‘𝑊))
23		pm5.5 361	. . . . . . 7 ⊢ ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → (((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
24	22, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
25	24	ralbidv 3152	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < (1r‘𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
26	21, 25	sylibd 239	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
27	2, 10	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ Ring)
28		nnz 12510	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
29		isarchiofld.h	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐻 = (ℤRHom‘𝑊)
30	29, 7, 11	zrhmulg 21434	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐻‘𝑛) = (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))
31	27, 28, 30	syl2an 596	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻‘𝑛) = (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))
32	31	breq2d 5107	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
33	32	rexbidva 3151	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
34	33	ralbidv 3152	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))))
35	26, 34	sylibrd 259	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)))
36		nfv 1914	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑊 ∈ oField
37		nfra1 3253	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)
38	36, 37	nfan 1899	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛))
39		nfv 1914	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑦 ∈ 𝐵
40	38, 39	nfan 1899	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)
41	27	ad3antrrr 730	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑊 ∈ Ring)
42		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑥 ∈ 𝐵)
43		simplrl 776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐵)
44		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (0g‘𝑊) < 𝑦)
45		simplll 774	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑊 ∈ oField)
46		ringgrp 20141	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Grp)
47	4, 5	grpidcl 18862	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑊 ∈ Grp → (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
48	41, 46, 47	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
49	6	pltne 18256	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ (0g‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((0g‘𝑊) < 𝑦 → (0g‘𝑊) ≠ 𝑦))
50	45, 48, 43, 49	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → ((0g‘𝑊) < 𝑦 → (0g‘𝑊) ≠ 𝑦))
51	44, 50	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (0g‘𝑊) ≠ 𝑦)
52	51	necomd 2980	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
53	1	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ Field)
54		isfld 20643	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑊 ∈ Field ↔ (𝑊 ∈ DivRing ∧ 𝑊 ∈ CRing))
55	54	simplbi 497	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑊 ∈ Field → 𝑊 ∈ DivRing)
56	53, 55	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ DivRing)
57		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (Unit‘𝑊) = (Unit‘𝑊)
58	4, 57, 5	drngunit 20637	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑊 ∈ DivRing → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))))
59	45, 56, 58	3syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))))
60	43, 52, 59	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊))
61		eqid 2729	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (/r‘𝑊) = (/r‘𝑊)
62	4, 57, 61	dvrcl 20307	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊)) → (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
63	41, 42, 60, 62	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
64		simpr 484	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛))
65		breq1 5098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ 𝑧 < (𝐻‘𝑛)))
66	65	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛)))
67	66	cbvralvw 3207	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛) ↔ ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛))
68	64, 67	sylib 218	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛))
69	68	ad2antrr 726	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → ∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛))
70		breq1 5098	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 = (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) → (𝑧 < (𝐻‘𝑛) ↔ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)))
71	70	rexbidv 3153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 = (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)))
72	71	rspcv 3575	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥(/r‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵 → (∀𝑧 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻‘𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)))
73	63, 69, 72	sylc 65	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛))
74		eqid 2729	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (.r‘𝑊) = (.r‘𝑊)
75		simp-4l 782	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑊 ∈ oField)
76	75, 2	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑊 ∈ oRing)
77	75, 27	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑊 ∈ Ring)
78		simp-4r 783	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵))
79	78	simprd 495	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑥 ∈ 𝐵)
80	78	simpld 494	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑦 ∈ 𝐵)
81		simpllr 775	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (0g‘𝑊) < 𝑦)
82	77, 46, 47	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (0g‘𝑊) ∈ 𝐵)
83	75, 82, 80, 49	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((0g‘𝑊) < 𝑦 → (0g‘𝑊) ≠ 𝑦))
84	81, 83	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (0g‘𝑊) ≠ 𝑦)
85	84	necomd 2980	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))
86	75, 56, 58	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ≠ (0g‘𝑊))))
87	80, 85, 86	mpbir2and 713	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊))
88	77, 79, 87, 62	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
89		simplr 768	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
90	75, 89, 31	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝐻‘𝑛) = (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)))
91	77, 46	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑊 ∈ Grp)
92	89, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
93	77, 12	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (1r‘𝑊) ∈ 𝐵)
94	4, 7	mulgcl 18988	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
95	91, 92, 93, 94	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊)) ∈ 𝐵)
96	90, 95	eqeltrd 2828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝐻‘𝑛) ∈ 𝐵)
97	75, 56	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑊 ∈ DivRing)
98		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛))
99	4, 74, 5, 76, 88, 96, 80, 6, 97, 98, 81	orngrmullt 20773	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((𝑥(/r‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑦) < ((𝐻‘𝑛)(.r‘𝑊)𝑦))
100	4, 57, 61, 74	dvrcan1 20312	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊)) → ((𝑥(/r‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑦) = 𝑥)
101	77, 79, 87, 100	syl3anc 1373	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((𝑥(/r‘𝑊)𝑦)(.r‘𝑊)𝑦) = 𝑥)
102	90	oveq1d 7368	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑛)(.r‘𝑊)𝑦) = ((𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))(.r‘𝑊)𝑦))
103	4, 7, 74	mulgass2 20212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (1r‘𝑊) ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)) → ((𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑛(.g‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)𝑦)))
104	77, 92, 93, 80, 103	syl13anc 1374	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((𝑛(.g‘𝑊)(1r‘𝑊))(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑛(.g‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)𝑦)))
105	4, 74, 11	ringlidm 20172	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)𝑦) = 𝑦)
106	77, 80, 105	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)𝑦) = 𝑦)
107	106	oveq2d 7369	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → (𝑛(.g‘𝑊)((1r‘𝑊)(.r‘𝑊)𝑦)) = (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))
108	102, 104, 107	3eqtrd 2768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → ((𝐻‘𝑛)(.r‘𝑊)𝑦) = (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))
109	99, 101, 108	3brtr3d 5126	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛)) → 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))
110	109	ex 412	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛) → 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
111	110	reximdva 3142	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
112	111	adantllr 719	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r‘𝑊)𝑦) < (𝐻‘𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
113	73, 112	mpd 15	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) ∧ (0g‘𝑊) < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))
114	113	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐵)) → ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
115	114	expr 456	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → (𝑥 ∈ 𝐵 → ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))))
116	40, 115	ralrimi 3227	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
117	116	ralrimiva 3121	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)))
118	117	ex 412	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛) → ∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦))))
119	35, 118	impbid 212	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑥 ∈ 𝐵 ((0g‘𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g‘𝑊)𝑦)) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)))
120	9, 119	bitrd 279	1 ⊢ (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻‘𝑛)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  ∃wrex 3053   class class class wbr 5095  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℕcn 12146  ℤcz 12489  Basecbs 17138  ._rcmulr 17180  0_gc0g 17361  ltcplt 18232  Grpcgrp 18830  ._gcmg 18964  oGrpcogrp 20017  1_rcur 20084  Ringcrg 20136  CRingccrg 20137  Unitcui 20258  /_rcdvr 20303  DivRingcdr 20632  Fieldcfield 20633  oRingcorng 20760  oFieldcofld 20761  ℤRHomczrh 21424  Archicarchi 33132

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-addf 11107  ax-mulf 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8632  df-map 8762  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-9 12216  df-n0 12403  df-z 12490  df-dec 12610  df-uz 12754  df-fz 13429  df-seq 13927  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-ress 17160  df-plusg 17192  df-mulr 17193  df-starv 17194  df-tset 17198  df-ple 17199  df-ds 17201  df-unif 17202  df-0g 17363  df-proset 18218  df-poset 18237  df-plt 18252  df-toset 18339  df-mgm 18532  df-sgrp 18611  df-mnd 18627  df-mhm 18675  df-grp 18833  df-minusg 18834  df-sbg 18835  df-mulg 18965  df-subg 19020  df-ghm 19110  df-cmn 19679  df-abl 19680  df-omnd 20018  df-ogrp 20019  df-mgp 20044  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-oppr 20240  df-dvdsr 20260  df-unit 20261  df-invr 20291  df-dvr 20304  df-rhm 20375  df-subrng 20449  df-subrg 20473  df-drng 20634  df-field 20635  df-orng 20762  df-ofld 20763  df-cnfld 21280  df-zring 21372  df-zrh 21428  df-inftm 33133  df-archi 33134

This theorem is referenced by:  rearchi  33296