Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchiofld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isarchiofld 32435
Description: Axiom of Archimedes : a characterization of the Archimedean property for ordered fields. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchiofld.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
isarchiofld.h 𝐻 = (β„€RHomβ€˜π‘Š)
isarchiofld.l < = (ltβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
isarchiofld (π‘Š ∈ oField β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐡   𝑛,π‘Š,π‘₯   π‘₯,𝐻   < ,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem isarchiofld
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isofld 32420 . . . 4 (π‘Š ∈ oField ↔ (π‘Š ∈ Field ∧ π‘Š ∈ oRing))
21simprbi 498 . . 3 (π‘Š ∈ oField β†’ π‘Š ∈ oRing)
3 orngogrp 32419 . . 3 (π‘Š ∈ oRing β†’ π‘Š ∈ oGrp)
4 isarchiofld.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
6 isarchiofld.l . . . 4 < = (ltβ€˜π‘Š)
7 eqid 2733 . . . 4 (.gβ€˜π‘Š) = (.gβ€˜π‘Š)
84, 5, 6, 7isarchi3 32333 . . 3 (π‘Š ∈ oGrp β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))))
92, 3, 83syl 18 . 2 (π‘Š ∈ oField β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))))
10 orngring 32418 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ oRing β†’ π‘Š ∈ Ring)
11 eqid 2733 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘Š) = (1rβ€˜π‘Š)
124, 11ringidcl 20083 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
132, 10, 123syl 18 . . . . . 6 (π‘Š ∈ oField β†’ (1rβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
14 breq2 5153 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (1rβ€˜π‘Š) β†’ ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 ↔ (0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š)))
15 oveq2 7417 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (1rβ€˜π‘Š) β†’ (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
1615breq2d 5161 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (1rβ€˜π‘Š) β†’ (π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦) ↔ π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
1716rexbidv 3179 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (1rβ€˜π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
1814, 17imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1rβ€˜π‘Š) β†’ (((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) ↔ ((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))))
1918ralbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑦 = (1rβ€˜π‘Š) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))))
2019rspcv 3609 . . . . . 6 ((1rβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))))
2113, 20syl 17 . . . . 5 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))))
225, 11, 6ofldlt1 32431 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ oField β†’ (0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š))
23 pm5.5 362 . . . . . . 7 ((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ (((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (π‘Š ∈ oField β†’ (((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
2524ralbidv 3178 . . . . 5 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
2621, 25sylibd 238 . . . 4 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
272, 10syl 17 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ oField β†’ π‘Š ∈ Ring)
28 nnz 12579 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„€)
29 isarchiofld.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (β„€RHomβ€˜π‘Š)
3029, 7, 11zrhmulg 21059 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π»β€˜π‘›) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
3127, 28, 30syl2an 597 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ oField ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘›) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
3231breq2d 5161 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ oField ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ < (π»β€˜π‘›) ↔ π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
3332rexbidva 3177 . . . . 5 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
3433ralbidv 3178 . . . 4 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
3526, 34sylibrd 259 . . 3 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)))
36 nfv 1918 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ π‘Š ∈ oField
37 nfra1 3282 . . . . . . . 8 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)
3836, 37nfan 1903 . . . . . . 7 β„²π‘₯(π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›))
39 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ 𝐡
4038, 39nfan 1903 . . . . . 6 β„²π‘₯((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)
4127ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ π‘Š ∈ Ring)
42 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
43 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
44 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦)
45 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ π‘Š ∈ oField)
46 ringgrp 20061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ Grp)
474, 5grpidcl 18850 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ Grp β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
4841, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
496pltne 18287 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ oField ∧ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ (0gβ€˜π‘Š) β‰  𝑦))
5045, 48, 43, 49syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ (0gβ€˜π‘Š) β‰  𝑦))
5144, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (0gβ€˜π‘Š) β‰  𝑦)
5251necomd 2997 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š))
531simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ oField β†’ π‘Š ∈ Field)
54 isfld 20368 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ Field ↔ (π‘Š ∈ DivRing ∧ π‘Š ∈ CRing))
5554simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ Field β†’ π‘Š ∈ DivRing)
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ oField β†’ π‘Š ∈ DivRing)
57 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (Unitβ€˜π‘Š) = (Unitβ€˜π‘Š)
584, 57, 5drngunit 20362 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ DivRing β†’ (𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š))))
5945, 56, 583syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š))))
6043, 52, 59mpbir2and 712 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š))
61 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (/rβ€˜π‘Š) = (/rβ€˜π‘Š)
624, 57, 61dvrcl 20218 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝐡)
6341, 42, 60, 62syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝐡)
64 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›))
65 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ < (π»β€˜π‘›) ↔ 𝑧 < (π»β€˜π‘›)))
6665rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑧 < (π»β€˜π‘›)))
6766cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑧 < (π»β€˜π‘›))
6864, 67sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑧 < (π»β€˜π‘›))
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑧 < (π»β€˜π‘›))
70 breq1 5152 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) β†’ (𝑧 < (π»β€˜π‘›) ↔ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)))
7170rexbidv 3179 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑧 < (π»β€˜π‘›) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)))
7271rspcv 3609 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑧 < (π»β€˜π‘›) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)))
7363, 69, 72sylc 65 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›))
74 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (.rβ€˜π‘Š) = (.rβ€˜π‘Š)
75 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘Š ∈ oField)
7675, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘Š ∈ oRing)
7775, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘Š ∈ Ring)
78 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
7978simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
8078simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
81 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦)
8277, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
8375, 82, 80, 49syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ (0gβ€˜π‘Š) β‰  𝑦))
8481, 83mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (0gβ€˜π‘Š) β‰  𝑦)
8584necomd 2997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š))
8675, 56, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š))))
8780, 85, 86mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š))
8877, 79, 87, 62syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝐡)
89 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
9075, 89, 31syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (π»β€˜π‘›) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
9177, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘Š ∈ Grp)
9289, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
9377, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (1rβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
944, 7mulgcl 18971 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ (1rβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)) ∈ 𝐡)
9591, 92, 93, 94syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)) ∈ 𝐡)
9690, 95eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (π»β€˜π‘›) ∈ 𝐡)
9775, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘Š ∈ DivRing)
98 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›))
994, 74, 5, 76, 88, 96, 80, 6, 97, 98, 81orngrmullt 32426 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) < ((π»β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Š)𝑦))
1004, 57, 61, 74dvrcan1 20223 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = π‘₯)
10177, 79, 87, 100syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = π‘₯)
10290oveq1d 7424 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((π»β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = ((𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))(.rβ€˜π‘Š)𝑦))
1034, 7, 74mulgass2 20121 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Ring ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ (1rβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)((1rβ€˜π‘Š)(.rβ€˜π‘Š)𝑦)))
10477, 92, 93, 80, 103syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)((1rβ€˜π‘Š)(.rβ€˜π‘Š)𝑦)))
1054, 74, 11ringlidm 20086 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘Š)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = 𝑦)
10677, 80, 105syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((1rβ€˜π‘Š)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = 𝑦)
107106oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (𝑛(.gβ€˜π‘Š)((1rβ€˜π‘Š)(.rβ€˜π‘Š)𝑦)) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))
108102, 104, 1073eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((π»β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))
10999, 101, 1083brtr3d 5180 . . . . . . . . . . . 12 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))
110109ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›) β†’ π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)))
111110reximdva 3169 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)))
112111adantllr 718 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)))
11373, 112mpd 15 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))
114113ex 414 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)))
115114expr 458 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))))
11640, 115ralrimi 3255 . . . . 5 (((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)))
117116ralrimiva 3147 . . . 4 ((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)))
118117ex 414 . . 3 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))))
11935, 118impbid 211 . 2 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)))
1209, 119bitrd 279 1 (π‘Š ∈ oField β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071   class class class wbr 5149  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„•cn 12212  β„€cz 12558  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  ltcplt 18261  Grpcgrp 18819  .gcmg 18950  1rcur 20004  Ringcrg 20056  CRingccrg 20057  Unitcui 20169  /rcdvr 20214  DivRingcdr 20357  Fieldcfield 20358  β„€RHomczrh 21049  oGrpcogrp 32216  Archicarchi 32323  oRingcorng 32413  oFieldcofld 32414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-addf 11189  ax-mulf 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-seq 13967  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-toset 18370  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-field 20360  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-omnd 32217  df-ogrp 32218  df-inftm 32324  df-archi 32325  df-orng 32415  df-ofld 32416
This theorem is referenced by:  rearchi  32461
  Copyright terms: Public domain W3C validator