Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchiofld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isarchiofld 32166
Description: Axiom of Archimedes : a characterization of the Archimedean property for ordered fields. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchiofld.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
isarchiofld.h 𝐻 = (β„€RHomβ€˜π‘Š)
isarchiofld.l < = (ltβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
isarchiofld (π‘Š ∈ oField β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐡   𝑛,π‘Š,π‘₯   π‘₯,𝐻   < ,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem isarchiofld
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isofld 32151 . . . 4 (π‘Š ∈ oField ↔ (π‘Š ∈ Field ∧ π‘Š ∈ oRing))
21simprbi 498 . . 3 (π‘Š ∈ oField β†’ π‘Š ∈ oRing)
3 orngogrp 32150 . . 3 (π‘Š ∈ oRing β†’ π‘Š ∈ oGrp)
4 isarchiofld.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
6 isarchiofld.l . . . 4 < = (ltβ€˜π‘Š)
7 eqid 2733 . . . 4 (.gβ€˜π‘Š) = (.gβ€˜π‘Š)
84, 5, 6, 7isarchi3 32079 . . 3 (π‘Š ∈ oGrp β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))))
92, 3, 83syl 18 . 2 (π‘Š ∈ oField β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))))
10 orngring 32149 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ oRing β†’ π‘Š ∈ Ring)
11 eqid 2733 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘Š) = (1rβ€˜π‘Š)
124, 11ringidcl 19997 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
132, 10, 123syl 18 . . . . . 6 (π‘Š ∈ oField β†’ (1rβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
14 breq2 5113 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (1rβ€˜π‘Š) β†’ ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 ↔ (0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š)))
15 oveq2 7369 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (1rβ€˜π‘Š) β†’ (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
1615breq2d 5121 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (1rβ€˜π‘Š) β†’ (π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦) ↔ π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
1716rexbidv 3172 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (1rβ€˜π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
1814, 17imbi12d 345 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1rβ€˜π‘Š) β†’ (((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) ↔ ((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))))
1918ralbidv 3171 . . . . . . 7 (𝑦 = (1rβ€˜π‘Š) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))))
2019rspcv 3579 . . . . . 6 ((1rβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))))
2113, 20syl 17 . . . . 5 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))))
225, 11, 6ofldlt1 32162 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ oField β†’ (0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š))
23 pm5.5 362 . . . . . . 7 ((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ (((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (π‘Š ∈ oField β†’ (((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
2524ralbidv 3171 . . . . 5 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
2621, 25sylibd 238 . . . 4 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
272, 10syl 17 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ oField β†’ π‘Š ∈ Ring)
28 nnz 12528 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„€)
29 isarchiofld.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (β„€RHomβ€˜π‘Š)
3029, 7, 11zrhmulg 20933 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π»β€˜π‘›) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
3127, 28, 30syl2an 597 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ oField ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘›) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
3231breq2d 5121 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ oField ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ < (π»β€˜π‘›) ↔ π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
3332rexbidva 3170 . . . . 5 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
3433ralbidv 3171 . . . 4 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
3526, 34sylibrd 259 . . 3 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)))
36 nfv 1918 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ π‘Š ∈ oField
37 nfra1 3266 . . . . . . . 8 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)
3836, 37nfan 1903 . . . . . . 7 β„²π‘₯(π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›))
39 nfv 1918 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ 𝐡
4038, 39nfan 1903 . . . . . 6 β„²π‘₯((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)
4127ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ π‘Š ∈ Ring)
42 simplrr 777 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
43 simplrl 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
44 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦)
45 simplll 774 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ π‘Š ∈ oField)
46 ringgrp 19977 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ Grp)
474, 5grpidcl 18786 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ Grp β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
4841, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
496pltne 18231 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ oField ∧ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ (0gβ€˜π‘Š) β‰  𝑦))
5045, 48, 43, 49syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ (0gβ€˜π‘Š) β‰  𝑦))
5144, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (0gβ€˜π‘Š) β‰  𝑦)
5251necomd 2996 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š))
531simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ oField β†’ π‘Š ∈ Field)
54 isfld 20230 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ Field ↔ (π‘Š ∈ DivRing ∧ π‘Š ∈ CRing))
5554simplbi 499 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ Field β†’ π‘Š ∈ DivRing)
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ oField β†’ π‘Š ∈ DivRing)
57 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (Unitβ€˜π‘Š) = (Unitβ€˜π‘Š)
584, 57, 5drngunit 20224 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ DivRing β†’ (𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š))))
5945, 56, 583syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š))))
6043, 52, 59mpbir2and 712 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š))
61 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 (/rβ€˜π‘Š) = (/rβ€˜π‘Š)
624, 57, 61dvrcl 20123 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝐡)
6341, 42, 60, 62syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝐡)
64 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›))
65 breq1 5112 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ < (π»β€˜π‘›) ↔ 𝑧 < (π»β€˜π‘›)))
6665rexbidv 3172 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑧 < (π»β€˜π‘›)))
6766cbvralvw 3224 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑧 < (π»β€˜π‘›))
6864, 67sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑧 < (π»β€˜π‘›))
6968ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑧 < (π»β€˜π‘›))
70 breq1 5112 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) β†’ (𝑧 < (π»β€˜π‘›) ↔ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)))
7170rexbidv 3172 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑧 < (π»β€˜π‘›) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)))
7271rspcv 3579 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑧 < (π»β€˜π‘›) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)))
7363, 69, 72sylc 65 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›))
74 eqid 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 (.rβ€˜π‘Š) = (.rβ€˜π‘Š)
75 simp-4l 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘Š ∈ oField)
7675, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘Š ∈ oRing)
7775, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘Š ∈ Ring)
78 simp-4r 783 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
7978simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
8078simpld 496 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
81 simpllr 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦)
8277, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
8375, 82, 80, 49syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ (0gβ€˜π‘Š) β‰  𝑦))
8481, 83mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (0gβ€˜π‘Š) β‰  𝑦)
8584necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š))
8675, 56, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š))))
8780, 85, 86mpbir2and 712 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š))
8877, 79, 87, 62syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝐡)
89 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
9075, 89, 31syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (π»β€˜π‘›) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
9177, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘Š ∈ Grp)
9289, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
9377, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (1rβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
944, 7mulgcl 18901 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ (1rβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)) ∈ 𝐡)
9591, 92, 93, 94syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)) ∈ 𝐡)
9690, 95eqeltrd 2834 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (π»β€˜π‘›) ∈ 𝐡)
9775, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘Š ∈ DivRing)
98 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›))
994, 74, 5, 76, 88, 96, 80, 6, 97, 98, 81orngrmullt 32157 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) < ((π»β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Š)𝑦))
1004, 57, 61, 74dvrcan1 20128 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = π‘₯)
10177, 79, 87, 100syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = π‘₯)
10290oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((π»β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = ((𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))(.rβ€˜π‘Š)𝑦))
1034, 7, 74mulgass2 20033 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Ring ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ (1rβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)((1rβ€˜π‘Š)(.rβ€˜π‘Š)𝑦)))
10477, 92, 93, 80, 103syl13anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)((1rβ€˜π‘Š)(.rβ€˜π‘Š)𝑦)))
1054, 74, 11ringlidm 20000 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘Š)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = 𝑦)
10677, 80, 105syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((1rβ€˜π‘Š)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = 𝑦)
107106oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (𝑛(.gβ€˜π‘Š)((1rβ€˜π‘Š)(.rβ€˜π‘Š)𝑦)) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))
108102, 104, 1073eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((π»β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))
10999, 101, 1083brtr3d 5140 . . . . . . . . . . . 12 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))
110109ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›) β†’ π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)))
111110reximdva 3162 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)))
112111adantllr 718 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)))
11373, 112mpd 15 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))
114113ex 414 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)))
115114expr 458 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))))
11640, 115ralrimi 3239 . . . . 5 (((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)))
117116ralrimiva 3140 . . . 4 ((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)))
118117ex 414 . . 3 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))))
11935, 118impbid 211 . 2 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)))
1209, 119bitrd 279 1 (π‘Š ∈ oField β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5109  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„•cn 12161  β„€cz 12507  Basecbs 17091  .rcmulr 17142  0gc0g 17329  ltcplt 18205  Grpcgrp 18756  .gcmg 18880  1rcur 19921  Ringcrg 19972  CRingccrg 19973  Unitcui 20076  /rcdvr 20119  DivRingcdr 20219  Fieldcfield 20220  β„€RHomczrh 20923  oGrpcogrp 31962  Archicarchi 32069  oRingcorng 32144  oFieldcofld 32145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-seq 13916  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-0g 17331  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-toset 18314  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-mhm 18609  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-mulg 18881  df-subg 18933  df-ghm 19014  df-cmn 19572  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-cring 19975  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-rnghom 20156  df-drng 20221  df-field 20222  df-subrg 20262  df-cnfld 20820  df-zring 20893  df-zrh 20927  df-omnd 31963  df-ogrp 31964  df-inftm 32070  df-archi 32071  df-orng 32146  df-ofld 32147
This theorem is referenced by:  rearchi  32192
  Copyright terms: Public domain W3C validator