Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchiofld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isarchiofld 33347
Description: Axiom of Archimedes : a characterization of the Archimedean property for ordered fields. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchiofld.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
isarchiofld.h 𝐻 = (ℤRHom‘𝑊)
isarchiofld.l < = (lt‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
isarchiofld (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑊,𝑥   𝑥,𝐻   < ,𝑛,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem isarchiofld
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isofld 33332 . . . 4 (𝑊 ∈ oField ↔ (𝑊 ∈ Field ∧ 𝑊 ∈ oRing))
21simprbi 496 . . 3 (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ oRing)
3 orngogrp 33331 . . 3 (𝑊 ∈ oRing → 𝑊 ∈ oGrp)
4 isarchiofld.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
5 eqid 2737 . . . 4 (0g𝑊) = (0g𝑊)
6 isarchiofld.l . . . 4 < = (lt‘𝑊)
7 eqid 2737 . . . 4 (.g𝑊) = (.g𝑊)
84, 5, 6, 7isarchi3 33194 . . 3 (𝑊 ∈ oGrp → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦))))
92, 3, 83syl 18 . 2 (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦))))
10 orngring 33330 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ oRing → 𝑊 ∈ Ring)
11 eqid 2737 . . . . . . . 8 (1r𝑊) = (1r𝑊)
124, 11ringidcl 20262 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Ring → (1r𝑊) ∈ 𝐵)
132, 10, 123syl 18 . . . . . 6 (𝑊 ∈ oField → (1r𝑊) ∈ 𝐵)
14 breq2 5147 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (1r𝑊) → ((0g𝑊) < 𝑦 ↔ (0g𝑊) < (1r𝑊)))
15 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (1r𝑊) → (𝑛(.g𝑊)𝑦) = (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))
1615breq2d 5155 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (1r𝑊) → (𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦) ↔ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
1716rexbidv 3179 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (1r𝑊) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
1814, 17imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1r𝑊) → (((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) ↔ ((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))))
1918ralbidv 3178 . . . . . . 7 (𝑦 = (1r𝑊) → (∀𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐵 ((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))))
2019rspcv 3618 . . . . . 6 ((1r𝑊) ∈ 𝐵 → (∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) → ∀𝑥𝐵 ((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))))
2113, 20syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) → ∀𝑥𝐵 ((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))))
225, 11, 6ofldlt1 33343 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ oField → (0g𝑊) < (1r𝑊))
23 pm5.5 361 . . . . . . 7 ((0g𝑊) < (1r𝑊) → (((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ oField → (((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
2524ralbidv 3178 . . . . 5 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥𝐵 ((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))) ↔ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
2621, 25sylibd 239 . . . 4 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) → ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
272, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ Ring)
28 nnz 12634 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
29 isarchiofld.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (ℤRHom‘𝑊)
3029, 7, 11zrhmulg 21520 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐻𝑛) = (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))
3127, 28, 30syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ oField ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻𝑛) = (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))
3231breq2d 5155 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ oField ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐻𝑛) ↔ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
3332rexbidva 3177 . . . . 5 (𝑊 ∈ oField → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
3433ralbidv 3178 . . . 4 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛) ↔ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
3526, 34sylibrd 259 . . 3 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) → ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)))
36 nfv 1914 . . . . . . . 8 𝑥 𝑊 ∈ oField
37 nfra1 3284 . . . . . . . 8 𝑥𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)
3836, 37nfan 1899 . . . . . . 7 𝑥(𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛))
39 nfv 1914 . . . . . . 7 𝑥 𝑦𝐵
4038, 39nfan 1899 . . . . . 6 𝑥((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ 𝑦𝐵)
4127ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → 𝑊 ∈ Ring)
42 simplrr 778 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → 𝑥𝐵)
43 simplrl 777 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → 𝑦𝐵)
44 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (0g𝑊) < 𝑦)
45 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → 𝑊 ∈ oField)
46 ringgrp 20235 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Grp)
474, 5grpidcl 18983 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ Grp → (0g𝑊) ∈ 𝐵)
4841, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (0g𝑊) ∈ 𝐵)
496pltne 18379 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ oField ∧ (0g𝑊) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → ((0g𝑊) < 𝑦 → (0g𝑊) ≠ 𝑦))
5045, 48, 43, 49syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → ((0g𝑊) < 𝑦 → (0g𝑊) ≠ 𝑦))
5144, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (0g𝑊) ≠ 𝑦)
5251necomd 2996 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → 𝑦 ≠ (0g𝑊))
531simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ Field)
54 isfld 20740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ Field ↔ (𝑊 ∈ DivRing ∧ 𝑊 ∈ CRing))
5554simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Field → 𝑊 ∈ DivRing)
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ DivRing)
57 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (Unit‘𝑊) = (Unit‘𝑊)
584, 57, 5drngunit 20734 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ DivRing → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑊))))
5945, 56, 583syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑊))))
6043, 52, 59mpbir2and 713 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊))
61 eqid 2737 . . . . . . . . . . . 12 (/r𝑊) = (/r𝑊)
624, 57, 61dvrcl 20404 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦 ∈ (Unit‘𝑊)) → (𝑥(/r𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
6341, 42, 60, 62syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (𝑥(/r𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
64 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) → ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛))
65 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < (𝐻𝑛) ↔ 𝑧 < (𝐻𝑛)))
6665rexbidv 3179 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻𝑛)))
6766cbvralvw 3237 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛) ↔ ∀𝑧𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻𝑛))
6864, 67sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) → ∀𝑧𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻𝑛))
6968ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → ∀𝑧𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻𝑛))
70 breq1 5146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑥(/r𝑊)𝑦) → (𝑧 < (𝐻𝑛) ↔ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)))
7170rexbidv 3179 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑥(/r𝑊)𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)))
7271rspcv 3618 . . . . . . . . . 10 ((𝑥(/r𝑊)𝑦) ∈ 𝐵 → (∀𝑧𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)))
7363, 69, 72sylc 65 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛))
74 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑊) = (.r𝑊)
75 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑊 ∈ oField)
7675, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑊 ∈ oRing)
7775, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑊 ∈ Ring)
78 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝑦𝐵𝑥𝐵))
7978simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑥𝐵)
8078simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑦𝐵)
81 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (0g𝑊) < 𝑦)
8277, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (0g𝑊) ∈ 𝐵)
8375, 82, 80, 49syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((0g𝑊) < 𝑦 → (0g𝑊) ≠ 𝑦))
8481, 83mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (0g𝑊) ≠ 𝑦)
8584necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑦 ≠ (0g𝑊))
8675, 56, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑊))))
8780, 85, 86mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊))
8877, 79, 87, 62syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝑥(/r𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
89 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
9075, 89, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝐻𝑛) = (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))
9177, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑊 ∈ Grp)
9289, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
9377, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (1r𝑊) ∈ 𝐵)
944, 7mulgcl 19109 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (1r𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)) ∈ 𝐵)
9591, 92, 93, 94syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)) ∈ 𝐵)
9690, 95eqeltrd 2841 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝐻𝑛) ∈ 𝐵)
9775, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑊 ∈ DivRing)
98 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛))
994, 74, 5, 76, 88, 96, 80, 6, 97, 98, 81orngrmullt 33338 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((𝑥(/r𝑊)𝑦)(.r𝑊)𝑦) < ((𝐻𝑛)(.r𝑊)𝑦))
1004, 57, 61, 74dvrcan1 20409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦 ∈ (Unit‘𝑊)) → ((𝑥(/r𝑊)𝑦)(.r𝑊)𝑦) = 𝑥)
10177, 79, 87, 100syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((𝑥(/r𝑊)𝑦)(.r𝑊)𝑦) = 𝑥)
10290oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((𝐻𝑛)(.r𝑊)𝑦) = ((𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))(.r𝑊)𝑦))
1034, 7, 74mulgass2 20306 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Ring ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (1r𝑊) ∈ 𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))(.r𝑊)𝑦) = (𝑛(.g𝑊)((1r𝑊)(.r𝑊)𝑦)))
10477, 92, 93, 80, 103syl13anc 1374 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))(.r𝑊)𝑦) = (𝑛(.g𝑊)((1r𝑊)(.r𝑊)𝑦)))
1054, 74, 11ringlidm 20266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → ((1r𝑊)(.r𝑊)𝑦) = 𝑦)
10677, 80, 105syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((1r𝑊)(.r𝑊)𝑦) = 𝑦)
107106oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝑛(.g𝑊)((1r𝑊)(.r𝑊)𝑦)) = (𝑛(.g𝑊)𝑦))
108102, 104, 1073eqtrd 2781 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((𝐻𝑛)(.r𝑊)𝑦) = (𝑛(.g𝑊)𝑦))
10999, 101, 1083brtr3d 5174 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦))
110109ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛) → 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)))
111110reximdva 3168 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)))
112111adantllr 719 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)))
11373, 112mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦))
114113ex 412 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)))
115114expr 456 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥𝐵 → ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦))))
11640, 115ralrimi 3257 . . . . 5 (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ 𝑦𝐵) → ∀𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)))
117116ralrimiva 3146 . . . 4 ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) → ∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)))
118117ex 412 . . 3 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛) → ∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦))))
11935, 118impbid 212 . 2 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)))
1209, 119bitrd 279 1 (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940  wral 3061  wrex 3070   class class class wbr 5143  cfv 6561  (class class class)co 7431  cn 12266  cz 12613  Basecbs 17247  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  ltcplt 18354  Grpcgrp 18951  .gcmg 19085  1rcur 20178  Ringcrg 20230  CRingccrg 20231  Unitcui 20355  /rcdvr 20400  DivRingcdr 20729  Fieldcfield 20730  ℤRHomczrh 21510  oGrpcogrp 33075  Archicarchi 33184  oRingcorng 33325  oFieldcofld 33326
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-seq 14043  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17486  df-proset 18340  df-poset 18359  df-plt 18375  df-toset 18462  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-cring 20233  df-oppr 20334  df-dvdsr 20357  df-unit 20358  df-invr 20388  df-dvr 20401  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-drng 20731  df-field 20732  df-cnfld 21365  df-zring 21458  df-zrh 21514  df-omnd 33076  df-ogrp 33077  df-inftm 33185  df-archi 33186  df-orng 33327  df-ofld 33328
This theorem is referenced by:  rearchi  33374
  Copyright terms: Public domain W3C validator