Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchiofld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isarchiofld 32476
Description: Axiom of Archimedes : a characterization of the Archimedean property for ordered fields. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchiofld.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
isarchiofld.h 𝐻 = (β„€RHomβ€˜π‘Š)
isarchiofld.l < = (ltβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
isarchiofld (π‘Š ∈ oField β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑛,𝐡   𝑛,π‘Š,π‘₯   π‘₯,𝐻   < ,𝑛,π‘₯
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem isarchiofld
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isofld 32461 . . . 4 (π‘Š ∈ oField ↔ (π‘Š ∈ Field ∧ π‘Š ∈ oRing))
21simprbi 497 . . 3 (π‘Š ∈ oField β†’ π‘Š ∈ oRing)
3 orngogrp 32460 . . 3 (π‘Š ∈ oRing β†’ π‘Š ∈ oGrp)
4 isarchiofld.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
5 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜π‘Š) = (0gβ€˜π‘Š)
6 isarchiofld.l . . . 4 < = (ltβ€˜π‘Š)
7 eqid 2732 . . . 4 (.gβ€˜π‘Š) = (.gβ€˜π‘Š)
84, 5, 6, 7isarchi3 32374 . . 3 (π‘Š ∈ oGrp β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))))
92, 3, 83syl 18 . 2 (π‘Š ∈ oField β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))))
10 orngring 32459 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ oRing β†’ π‘Š ∈ Ring)
11 eqid 2732 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘Š) = (1rβ€˜π‘Š)
124, 11ringidcl 20085 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
132, 10, 123syl 18 . . . . . 6 (π‘Š ∈ oField β†’ (1rβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
14 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (1rβ€˜π‘Š) β†’ ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 ↔ (0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š)))
15 oveq2 7419 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (1rβ€˜π‘Š) β†’ (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
1615breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (1rβ€˜π‘Š) β†’ (π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦) ↔ π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
1716rexbidv 3178 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (1rβ€˜π‘Š) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
1814, 17imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1rβ€˜π‘Š) β†’ (((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) ↔ ((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))))
1918ralbidv 3177 . . . . . . 7 (𝑦 = (1rβ€˜π‘Š) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))))
2019rspcv 3608 . . . . . 6 ((1rβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))))
2113, 20syl 17 . . . . 5 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))))
225, 11, 6ofldlt1 32472 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ oField β†’ (0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š))
23 pm5.5 361 . . . . . . 7 ((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ (((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (π‘Š ∈ oField β†’ (((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
2524ralbidv 3177 . . . . 5 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < (1rβ€˜π‘Š) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
2621, 25sylibd 238 . . . 4 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
272, 10syl 17 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ oField β†’ π‘Š ∈ Ring)
28 nnz 12581 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„€)
29 isarchiofld.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (β„€RHomβ€˜π‘Š)
3029, 7, 11zrhmulg 21065 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ β„€) β†’ (π»β€˜π‘›) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
3127, 28, 30syl2an 596 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ oField ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π»β€˜π‘›) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
3231breq2d 5160 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ oField ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘₯ < (π»β€˜π‘›) ↔ π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
3332rexbidva 3176 . . . . 5 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
3433ralbidv 3177 . . . 4 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))))
3526, 34sylibrd 258 . . 3 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)))
36 nfv 1917 . . . . . . . 8 β„²π‘₯ π‘Š ∈ oField
37 nfra1 3281 . . . . . . . 8 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)
3836, 37nfan 1902 . . . . . . 7 β„²π‘₯(π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›))
39 nfv 1917 . . . . . . 7 β„²π‘₯ 𝑦 ∈ 𝐡
4038, 39nfan 1902 . . . . . 6 β„²π‘₯((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)
4127ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ π‘Š ∈ Ring)
42 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
43 simplrl 775 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
44 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦)
45 simplll 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ π‘Š ∈ oField)
46 ringgrp 20063 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ Ring β†’ π‘Š ∈ Grp)
474, 5grpidcl 18852 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘Š ∈ Grp β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
4841, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
496pltne 18289 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ oField ∧ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ (0gβ€˜π‘Š) β‰  𝑦))
5045, 48, 43, 49syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ (0gβ€˜π‘Š) β‰  𝑦))
5144, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (0gβ€˜π‘Š) β‰  𝑦)
5251necomd 2996 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š))
531simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ oField β†’ π‘Š ∈ Field)
54 isfld 20372 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘Š ∈ Field ↔ (π‘Š ∈ DivRing ∧ π‘Š ∈ CRing))
5554simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘Š ∈ Field β†’ π‘Š ∈ DivRing)
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ oField β†’ π‘Š ∈ DivRing)
57 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (Unitβ€˜π‘Š) = (Unitβ€˜π‘Š)
584, 57, 5drngunit 20366 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Š ∈ DivRing β†’ (𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š))))
5945, 56, 583syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š))))
6043, 52, 59mpbir2and 711 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š))
61 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (/rβ€˜π‘Š) = (/rβ€˜π‘Š)
624, 57, 61dvrcl 20222 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š)) β†’ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝐡)
6341, 42, 60, 62syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝐡)
64 simpr 485 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›))
65 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (π‘₯ < (π»β€˜π‘›) ↔ 𝑧 < (π»β€˜π‘›)))
6665rexbidv 3178 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = 𝑧 β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑧 < (π»β€˜π‘›)))
6766cbvralvw 3234 . . . . . . . . . . . 12 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑧 < (π»β€˜π‘›))
6864, 67sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑧 < (π»β€˜π‘›))
6968ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑧 < (π»β€˜π‘›))
70 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) β†’ (𝑧 < (π»β€˜π‘›) ↔ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)))
7170rexbidv 3178 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑧 < (π»β€˜π‘›) ↔ βˆƒπ‘› ∈ β„• (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)))
7271rspcv 3608 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝐡 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• 𝑧 < (π»β€˜π‘›) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)))
7363, 69, 72sylc 65 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›))
74 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (.rβ€˜π‘Š) = (.rβ€˜π‘Š)
75 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘Š ∈ oField)
7675, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘Š ∈ oRing)
7775, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘Š ∈ Ring)
78 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡))
7978simprd 496 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐡)
8078simpld 495 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ 𝑦 ∈ 𝐡)
81 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦)
8277, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (0gβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
8375, 82, 80, 49syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ (0gβ€˜π‘Š) β‰  𝑦))
8481, 83mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (0gβ€˜π‘Š) β‰  𝑦)
8584necomd 2996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š))
8675, 56, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š) ↔ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 β‰  (0gβ€˜π‘Š))))
8780, 85, 86mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š))
8877, 79, 87, 62syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) ∈ 𝐡)
89 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 ∈ β„•)
9075, 89, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (π»β€˜π‘›) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)))
9177, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘Š ∈ Grp)
9289, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ 𝑛 ∈ β„€)
9377, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (1rβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡)
944, 7mulgcl 18973 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ β„€ ∧ (1rβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡) β†’ (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)) ∈ 𝐡)
9591, 92, 93, 94syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š)) ∈ 𝐡)
9690, 95eqeltrd 2833 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (π»β€˜π‘›) ∈ 𝐡)
9775, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘Š ∈ DivRing)
98 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›))
994, 74, 5, 76, 88, 96, 80, 6, 97, 98, 81orngrmullt 32467 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) < ((π»β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Š)𝑦))
1004, 57, 61, 74dvrcan1 20227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ (Unitβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = π‘₯)
10177, 79, 87, 100syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = π‘₯)
10290oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((π»β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = ((𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))(.rβ€˜π‘Š)𝑦))
1034, 7, 74mulgass2 20125 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ Ring ∧ (𝑛 ∈ β„€ ∧ (1rβ€˜π‘Š) ∈ 𝐡 ∧ 𝑦 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)((1rβ€˜π‘Š)(.rβ€˜π‘Š)𝑦)))
10477, 92, 93, 80, 103syl13anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((𝑛(.gβ€˜π‘Š)(1rβ€˜π‘Š))(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)((1rβ€˜π‘Š)(.rβ€˜π‘Š)𝑦)))
1054, 74, 11ringlidm 20088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘Š ∈ Ring ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘Š)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = 𝑦)
10677, 80, 105syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((1rβ€˜π‘Š)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = 𝑦)
107106oveq2d 7427 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ (𝑛(.gβ€˜π‘Š)((1rβ€˜π‘Š)(.rβ€˜π‘Š)𝑦)) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))
108102, 104, 1073eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . 13 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ ((π»β€˜π‘›)(.rβ€˜π‘Š)𝑦) = (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))
10999, 101, 1083brtr3d 5179 . . . . . . . . . . . 12 (((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›)) β†’ π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))
110109ex 413 . . . . . . . . . . 11 ((((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›) β†’ π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)))
111110reximdva 3168 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ oField ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)))
112111adantllr 717 . . . . . . . . 9 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ (βˆƒπ‘› ∈ β„• (π‘₯(/rβ€˜π‘Š)𝑦) < (π»β€˜π‘›) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)))
11373, 112mpd 15 . . . . . . . 8 ((((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) ∧ (0gβ€˜π‘Š) < 𝑦) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))
114113ex 413 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐡 ∧ π‘₯ ∈ 𝐡)) β†’ ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)))
115114expr 457 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))))
11640, 115ralrimi 3254 . . . . 5 (((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐡) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)))
117116ralrimiva 3146 . . . 4 ((π‘Š ∈ oField ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)))
118117ex 413 . . 3 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦))))
11935, 118impbid 211 . 2 (π‘Š ∈ oField β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐡 βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 ((0gβ€˜π‘Š) < 𝑦 β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (𝑛(.gβ€˜π‘Š)𝑦)) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)))
1209, 119bitrd 278 1 (π‘Š ∈ oField β†’ (π‘Š ∈ Archi ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐡 βˆƒπ‘› ∈ β„• π‘₯ < (π»β€˜π‘›)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  β„•cn 12214  β„€cz 12560  Basecbs 17146  .rcmulr 17200  0gc0g 17387  ltcplt 18263  Grpcgrp 18821  .gcmg 18952  1rcur 20006  Ringcrg 20058  CRingccrg 20059  Unitcui 20173  /rcdvr 20218  DivRingcdr 20361  Fieldcfield 20362  β„€RHomczrh 21055  oGrpcogrp 32257  Archicarchi 32364  oRingcorng 32454  oFieldcofld 32455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-fz 13487  df-seq 13969  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-0g 17389  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-toset 18372  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-cmn 19652  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-rnghom 20255  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-field 20364  df-cnfld 20951  df-zring 21024  df-zrh 21059  df-omnd 32258  df-ogrp 32259  df-inftm 32365  df-archi 32366  df-orng 32456  df-ofld 32457
This theorem is referenced by:  rearchi  32502
  Copyright terms: Public domain W3C validator