Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  isarchiofld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem isarchiofld 33327
Description: Axiom of Archimedes : a characterization of the Archimedean property for ordered fields. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
isarchiofld.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
isarchiofld.h 𝐻 = (ℤRHom‘𝑊)
isarchiofld.l < = (lt‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
isarchiofld (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑛,𝐵   𝑛,𝑊,𝑥   𝑥,𝐻   < ,𝑛,𝑥
Allowed substitution hint:   𝐻(𝑛)

Proof of Theorem isarchiofld
Dummy variables 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isofld 33312 . . . 4 (𝑊 ∈ oField ↔ (𝑊 ∈ Field ∧ 𝑊 ∈ oRing))
21simprbi 496 . . 3 (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ oRing)
3 orngogrp 33311 . . 3 (𝑊 ∈ oRing → 𝑊 ∈ oGrp)
4 isarchiofld.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝑊)
5 eqid 2735 . . . 4 (0g𝑊) = (0g𝑊)
6 isarchiofld.l . . . 4 < = (lt‘𝑊)
7 eqid 2735 . . . 4 (.g𝑊) = (.g𝑊)
84, 5, 6, 7isarchi3 33177 . . 3 (𝑊 ∈ oGrp → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦))))
92, 3, 83syl 18 . 2 (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦))))
10 orngring 33310 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ oRing → 𝑊 ∈ Ring)
11 eqid 2735 . . . . . . . 8 (1r𝑊) = (1r𝑊)
124, 11ringidcl 20280 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ Ring → (1r𝑊) ∈ 𝐵)
132, 10, 123syl 18 . . . . . 6 (𝑊 ∈ oField → (1r𝑊) ∈ 𝐵)
14 breq2 5152 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (1r𝑊) → ((0g𝑊) < 𝑦 ↔ (0g𝑊) < (1r𝑊)))
15 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (1r𝑊) → (𝑛(.g𝑊)𝑦) = (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))
1615breq2d 5160 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (1r𝑊) → (𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦) ↔ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
1716rexbidv 3177 . . . . . . . . 9 (𝑦 = (1r𝑊) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
1814, 17imbi12d 344 . . . . . . . 8 (𝑦 = (1r𝑊) → (((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) ↔ ((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))))
1918ralbidv 3176 . . . . . . 7 (𝑦 = (1r𝑊) → (∀𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐵 ((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))))
2019rspcv 3618 . . . . . 6 ((1r𝑊) ∈ 𝐵 → (∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) → ∀𝑥𝐵 ((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))))
2113, 20syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) → ∀𝑥𝐵 ((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))))
225, 11, 6ofldlt1 33323 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ oField → (0g𝑊) < (1r𝑊))
23 pm5.5 361 . . . . . . 7 ((0g𝑊) < (1r𝑊) → (((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
2422, 23syl 17 . . . . . 6 (𝑊 ∈ oField → (((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
2524ralbidv 3176 . . . . 5 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥𝐵 ((0g𝑊) < (1r𝑊) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))) ↔ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
2621, 25sylibd 239 . . . 4 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) → ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
272, 10syl 17 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ Ring)
28 nnz 12632 . . . . . . . 8 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℤ)
29 isarchiofld.h . . . . . . . . 9 𝐻 = (ℤRHom‘𝑊)
3029, 7, 11zrhmulg 21538 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑛 ∈ ℤ) → (𝐻𝑛) = (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))
3127, 28, 30syl2an 596 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ oField ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝐻𝑛) = (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))
3231breq2d 5160 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ oField ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (𝑥 < (𝐻𝑛) ↔ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
3332rexbidva 3175 . . . . 5 (𝑊 ∈ oField → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
3433ralbidv 3176 . . . 4 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛) ↔ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))))
3526, 34sylibrd 259 . . 3 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) → ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)))
36 nfv 1912 . . . . . . . 8 𝑥 𝑊 ∈ oField
37 nfra1 3282 . . . . . . . 8 𝑥𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)
3836, 37nfan 1897 . . . . . . 7 𝑥(𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛))
39 nfv 1912 . . . . . . 7 𝑥 𝑦𝐵
4038, 39nfan 1897 . . . . . 6 𝑥((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ 𝑦𝐵)
4127ad3antrrr 730 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → 𝑊 ∈ Ring)
42 simplrr 778 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → 𝑥𝐵)
43 simplrl 777 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → 𝑦𝐵)
44 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (0g𝑊) < 𝑦)
45 simplll 775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → 𝑊 ∈ oField)
46 ringgrp 20256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ Ring → 𝑊 ∈ Grp)
474, 5grpidcl 18996 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑊 ∈ Grp → (0g𝑊) ∈ 𝐵)
4841, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (0g𝑊) ∈ 𝐵)
496pltne 18392 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ oField ∧ (0g𝑊) ∈ 𝐵𝑦𝐵) → ((0g𝑊) < 𝑦 → (0g𝑊) ≠ 𝑦))
5045, 48, 43, 49syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → ((0g𝑊) < 𝑦 → (0g𝑊) ≠ 𝑦))
5144, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (0g𝑊) ≠ 𝑦)
5251necomd 2994 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → 𝑦 ≠ (0g𝑊))
531simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ Field)
54 isfld 20757 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑊 ∈ Field ↔ (𝑊 ∈ DivRing ∧ 𝑊 ∈ CRing))
5554simplbi 497 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑊 ∈ Field → 𝑊 ∈ DivRing)
5653, 55syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ oField → 𝑊 ∈ DivRing)
57 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (Unit‘𝑊) = (Unit‘𝑊)
584, 57, 5drngunit 20751 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑊 ∈ DivRing → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑊))))
5945, 56, 583syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑊))))
6043, 52, 59mpbir2and 713 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊))
61 eqid 2735 . . . . . . . . . . . 12 (/r𝑊) = (/r𝑊)
624, 57, 61dvrcl 20421 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦 ∈ (Unit‘𝑊)) → (𝑥(/r𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
6341, 42, 60, 62syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (𝑥(/r𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
64 simpr 484 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) → ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛))
65 breq1 5151 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥 < (𝐻𝑛) ↔ 𝑧 < (𝐻𝑛)))
6665rexbidv 3177 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑧 → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻𝑛)))
6766cbvralvw 3235 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛) ↔ ∀𝑧𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻𝑛))
6864, 67sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) → ∀𝑧𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻𝑛))
6968ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → ∀𝑧𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻𝑛))
70 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑥(/r𝑊)𝑦) → (𝑧 < (𝐻𝑛) ↔ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)))
7170rexbidv 3177 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = (𝑥(/r𝑊)𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻𝑛) ↔ ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)))
7271rspcv 3618 . . . . . . . . . 10 ((𝑥(/r𝑊)𝑦) ∈ 𝐵 → (∀𝑧𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑧 < (𝐻𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)))
7363, 69, 72sylc 65 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛))
74 eqid 2735 . . . . . . . . . . . . . 14 (.r𝑊) = (.r𝑊)
75 simp-4l 783 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑊 ∈ oField)
7675, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑊 ∈ oRing)
7775, 27syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑊 ∈ Ring)
78 simp-4r 784 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝑦𝐵𝑥𝐵))
7978simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑥𝐵)
8078simpld 494 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑦𝐵)
81 simpllr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (0g𝑊) < 𝑦)
8277, 46, 473syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (0g𝑊) ∈ 𝐵)
8375, 82, 80, 49syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((0g𝑊) < 𝑦 → (0g𝑊) ≠ 𝑦))
8481, 83mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (0g𝑊) ≠ 𝑦)
8584necomd 2994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑦 ≠ (0g𝑊))
8675, 56, 583syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝑦 ∈ (Unit‘𝑊) ↔ (𝑦𝐵𝑦 ≠ (0g𝑊))))
8780, 85, 86mpbir2and 713 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑦 ∈ (Unit‘𝑊))
8877, 79, 87, 62syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝑥(/r𝑊)𝑦) ∈ 𝐵)
89 simplr 769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑛 ∈ ℕ)
9075, 89, 31syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝐻𝑛) = (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)))
9177, 46syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑊 ∈ Grp)
9289, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑛 ∈ ℤ)
9377, 12syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (1r𝑊) ∈ 𝐵)
944, 7mulgcl 19122 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ (1r𝑊) ∈ 𝐵) → (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)) ∈ 𝐵)
9591, 92, 93, 94syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝑛(.g𝑊)(1r𝑊)) ∈ 𝐵)
9690, 95eqeltrd 2839 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝐻𝑛) ∈ 𝐵)
9775, 56syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑊 ∈ DivRing)
98 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛))
994, 74, 5, 76, 88, 96, 80, 6, 97, 98, 81orngrmullt 33318 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((𝑥(/r𝑊)𝑦)(.r𝑊)𝑦) < ((𝐻𝑛)(.r𝑊)𝑦))
1004, 57, 61, 74dvrcan1 20426 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑥𝐵𝑦 ∈ (Unit‘𝑊)) → ((𝑥(/r𝑊)𝑦)(.r𝑊)𝑦) = 𝑥)
10177, 79, 87, 100syl3anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((𝑥(/r𝑊)𝑦)(.r𝑊)𝑦) = 𝑥)
10290oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((𝐻𝑛)(.r𝑊)𝑦) = ((𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))(.r𝑊)𝑦))
1034, 7, 74mulgass2 20323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ Ring ∧ (𝑛 ∈ ℤ ∧ (1r𝑊) ∈ 𝐵𝑦𝐵)) → ((𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))(.r𝑊)𝑦) = (𝑛(.g𝑊)((1r𝑊)(.r𝑊)𝑦)))
10477, 92, 93, 80, 103syl13anc 1371 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((𝑛(.g𝑊)(1r𝑊))(.r𝑊)𝑦) = (𝑛(.g𝑊)((1r𝑊)(.r𝑊)𝑦)))
1054, 74, 11ringlidm 20283 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑊 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → ((1r𝑊)(.r𝑊)𝑦) = 𝑦)
10677, 80, 105syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((1r𝑊)(.r𝑊)𝑦) = 𝑦)
107106oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → (𝑛(.g𝑊)((1r𝑊)(.r𝑊)𝑦)) = (𝑛(.g𝑊)𝑦))
108102, 104, 1073eqtrd 2779 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → ((𝐻𝑛)(.r𝑊)𝑦) = (𝑛(.g𝑊)𝑦))
10999, 101, 1083brtr3d 5179 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) ∧ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛)) → 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦))
110109ex 412 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → ((𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛) → 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)))
111110reximdva 3166 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ oField ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)))
112111adantllr 719 . . . . . . . . 9 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → (∃𝑛 ∈ ℕ (𝑥(/r𝑊)𝑦) < (𝐻𝑛) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)))
11373, 112mpd 15 . . . . . . . 8 ((((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) ∧ (0g𝑊) < 𝑦) → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦))
114113ex 412 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ (𝑦𝐵𝑥𝐵)) → ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)))
115114expr 456 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑥𝐵 → ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦))))
11640, 115ralrimi 3255 . . . . 5 (((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) ∧ 𝑦𝐵) → ∀𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)))
117116ralrimiva 3144 . . . 4 ((𝑊 ∈ oField ∧ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)) → ∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)))
118117ex 412 . . 3 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛) → ∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦))))
11935, 118impbid 212 . 2 (𝑊 ∈ oField → (∀𝑦𝐵𝑥𝐵 ((0g𝑊) < 𝑦 → ∃𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝑛(.g𝑊)𝑦)) ↔ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)))
1209, 119bitrd 279 1 (𝑊 ∈ oField → (𝑊 ∈ Archi ↔ ∀𝑥𝐵𝑛 ∈ ℕ 𝑥 < (𝐻𝑛)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cn 12264  cz 12611  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  0gc0g 17486  ltcplt 18366  Grpcgrp 18964  .gcmg 19098  1rcur 20199  Ringcrg 20251  CRingccrg 20252  Unitcui 20372  /rcdvr 20417  DivRingcdr 20746  Fieldcfield 20747  ℤRHomczrh 21528  oGrpcogrp 33058  Archicarchi 33167  oRingcorng 33305  oFieldcofld 33306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-seq 14040  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-toset 18475  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-dvr 20418  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-drng 20748  df-field 20749  df-cnfld 21383  df-zring 21476  df-zrh 21532  df-omnd 33059  df-ogrp 33060  df-inftm 33168  df-archi 33169  df-orng 33307  df-ofld 33308
This theorem is referenced by:  rearchi  33354
  Copyright terms: Public domain W3C validator