Theorem orngrmullt 30378

Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change strict comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ornglmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ornglmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ornglmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ornglmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ornglmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
ornglmullt.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
ornglmullt.d	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
ornglmullt.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
ornglmullt.6	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
orngrmullt	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) < (𝑌 · 𝑍))

Proof of Theorem orngrmullt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ornglmullt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ornglmullt.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		ornglmullt.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		ornglmullt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
5		ornglmullt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ornglmullt.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		ornglmullt.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
8		eqid 2778	. . 3 ⊢ (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
9		ornglmullt.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
10		ornglmullt.l	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝑅)
11	8, 10	pltle 17358	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝑅)𝑌))
12	11	imp 397	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋(le‘𝑅)𝑌)
13	4, 5, 6, 9, 12	syl31anc 1441	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(le‘𝑅)𝑌)
14		orngring 30370	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
15	4, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16		ringgrp 18950	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
17	1, 3	grpidcl 17848	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
19		ornglmullt.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑍)
20	8, 10	pltle 17358	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑍 → 0 (le‘𝑅)𝑍))
21	20	imp 397	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑍) → 0 (le‘𝑅)𝑍)
22	4, 18, 7, 19, 21	syl31anc 1441	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 (le‘𝑅)𝑍)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 22	orngrmulle 30376	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍)(le‘𝑅)(𝑌 · 𝑍))
24		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
25	24	oveq1d 6939	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → ((𝑋 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = ((𝑌 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍))
26		ornglmullt.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
27	10	pltne 17359	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑍 → 0 ≠ 𝑍))
28	27	imp 397	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑍) → 0 ≠ 𝑍)
29	4, 18, 7, 19, 28	syl31anc 1441	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑍)
30	29	necomd 3024	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
31		eqid 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
32	1, 31, 3	drngunit 19155	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑍 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ≠ 0 )))
33	32	biimpar 471	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ≠ 0 )) → 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅))
34	26, 7, 30, 33	syl12anc 827	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅))
35		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (/r‘𝑅) = (/r‘𝑅)
36	1, 31, 35, 2	dvrcan3 19090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑋 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)
37	15, 5, 34, 36	syl3anc 1439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)
38	37	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → ((𝑋 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)
39	1, 31, 35, 2	dvrcan3 19090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑌 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑌)
40	15, 6, 34, 39	syl3anc 1439	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑌)
41	40	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → ((𝑌 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑌)
42	25, 38, 41	3eqtr3d 2822	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → 𝑋 = 𝑌)
43	10	pltne 17359	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≠ 𝑌))
44	43	imp 397	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
45	4, 5, 6, 9, 44	syl31anc 1441	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
46	45	adantr 474	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
47	46	neneqd 2974	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → ¬ 𝑋 = 𝑌)
48	42, 47	pm2.65da 807	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
49	48	neqned 2976	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ≠ (𝑌 · 𝑍))
50	1, 2	ringcl 18959	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
51	15, 5, 7, 50	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
52	1, 2	ringcl 18959	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
53	15, 6, 7, 52	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
54	8, 10	pltval 17357	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑍) < (𝑌 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑍)(le‘𝑅)(𝑌 · 𝑍) ∧ (𝑋 · 𝑍) ≠ (𝑌 · 𝑍))))
55	4, 51, 53, 54	syl3anc 1439	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) < (𝑌 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑍)(le‘𝑅)(𝑌 · 𝑍) ∧ (𝑋 · 𝑍) ≠ (𝑌 · 𝑍))))
56	23, 49, 55	mpbir2and 703	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) < (𝑌 · 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2969   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  (class class class)co 6924  Basecbs 16266  ._rcmulr 16350  lecple 16356  0_gc0g 16497  ltcplt 17338  Grpcgrp 17820  Ringcrg 18945  Unitcui 19037  /_rcdvr 19080  DivRingcdr 19150  oRingcorng 30365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228  ax-cnex 10330  ax-resscn 10331  ax-1cn 10332  ax-icn 10333  ax-addcl 10334  ax-addrcl 10335  ax-mulcl 10336  ax-mulrcl 10337  ax-mulcom 10338  ax-addass 10339  ax-mulass 10340  ax-distr 10341  ax-i2m1 10342  ax-1ne0 10343  ax-1rid 10344  ax-rnegex 10345  ax-rrecex 10346  ax-cnre 10347  ax-pre-lttri 10348  ax-pre-lttrn 10349  ax-pre-ltadd 10350  ax-pre-mulgt0 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-pred 5935  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-om 7346  df-1st 7447  df-2nd 7448  df-tpos 7636  df-wrecs 7691  df-recs 7753  df-rdg 7791  df-er 8028  df-en 8244  df-dom 8245  df-sdom 8246  df-pnf 10415  df-mnf 10416  df-xr 10417  df-ltxr 10418  df-le 10419  df-sub 10610  df-neg 10611  df-nn 11380  df-2 11443  df-3 11444  df-ndx 16269  df-slot 16270  df-base 16272  df-sets 16273  df-ress 16274  df-plusg 16362  df-mulr 16363  df-0g 16499  df-plt 17355  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-grp 17823  df-minusg 17824  df-sbg 17825  df-mgp 18888  df-ur 18900  df-ring 18947  df-oppr 19021  df-dvdsr 19039  df-unit 19040  df-invr 19070  df-dvr 19081  df-drng 19152  df-omnd 30269  df-ogrp 30270  df-orng 30367

This theorem is referenced by:  isarchiofld  30387