Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orngrmullt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orngrmullt 30939
 Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change strict comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ornglmullt.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t · = (.r𝑅)
ornglmullt.0 0 = (0g𝑅)
ornglmullt.1 (𝜑𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2 (𝜑𝑋𝐵)
ornglmullt.3 (𝜑𝑌𝐵)
ornglmullt.4 (𝜑𝑍𝐵)
ornglmullt.l < = (lt‘𝑅)
ornglmullt.d (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
ornglmullt.5 (𝜑𝑋 < 𝑌)
ornglmullt.6 (𝜑0 < 𝑍)
Assertion
Ref Expression
orngrmullt (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) < (𝑌 · 𝑍))

Proof of Theorem orngrmullt
StepHypRef Expression
1 ornglmullt.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 ornglmullt.t . . 3 · = (.r𝑅)
3 ornglmullt.0 . . 3 0 = (0g𝑅)
4 ornglmullt.1 . . 3 (𝜑𝑅 ∈ oRing)
5 ornglmullt.2 . . 3 (𝜑𝑋𝐵)
6 ornglmullt.3 . . 3 (𝜑𝑌𝐵)
7 ornglmullt.4 . . 3 (𝜑𝑍𝐵)
8 eqid 2798 . . 3 (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
9 ornglmullt.5 . . . 4 (𝜑𝑋 < 𝑌)
10 ornglmullt.l . . . . . 6 < = (lt‘𝑅)
118, 10pltle 17565 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌𝑋(le‘𝑅)𝑌))
1211imp 410 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋(le‘𝑅)𝑌)
134, 5, 6, 9, 12syl31anc 1370 . . 3 (𝜑𝑋(le‘𝑅)𝑌)
14 orngring 30931 . . . . . 6 (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
154, 14syl 17 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
16 ringgrp 19298 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
171, 3grpidcl 18126 . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
1815, 16, 173syl 18 . . . 4 (𝜑0𝐵)
19 ornglmullt.6 . . . 4 (𝜑0 < 𝑍)
208, 10pltle 17565 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0𝐵𝑍𝐵) → ( 0 < 𝑍0 (le‘𝑅)𝑍))
2120imp 410 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0𝐵𝑍𝐵) ∧ 0 < 𝑍) → 0 (le‘𝑅)𝑍)
224, 18, 7, 19, 21syl31anc 1370 . . 3 (𝜑0 (le‘𝑅)𝑍)
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 22orngrmulle 30937 . 2 (𝜑 → (𝑋 · 𝑍)(le‘𝑅)(𝑌 · 𝑍))
24 simpr 488 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
2524oveq1d 7150 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → ((𝑋 · 𝑍)(/r𝑅)𝑍) = ((𝑌 · 𝑍)(/r𝑅)𝑍))
26 ornglmullt.d . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ DivRing)
2710pltne 17566 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0𝐵𝑍𝐵) → ( 0 < 𝑍0𝑍))
2827imp 410 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0𝐵𝑍𝐵) ∧ 0 < 𝑍) → 0𝑍)
294, 18, 7, 19, 28syl31anc 1370 . . . . . . . . 9 (𝜑0𝑍)
3029necomd 3042 . . . . . . . 8 (𝜑𝑍0 )
31 eqid 2798 . . . . . . . . . 10 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
321, 31, 3drngunit 19503 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑍 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑍𝐵𝑍0 )))
3332biimpar 481 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍𝐵𝑍0 )) → 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅))
3426, 7, 30, 33syl12anc 835 . . . . . . 7 (𝜑𝑍 ∈ (Unit‘𝑅))
35 eqid 2798 . . . . . . . 8 (/r𝑅) = (/r𝑅)
361, 31, 35, 2dvrcan3 19441 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑍 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑋 · 𝑍)(/r𝑅)𝑍) = 𝑋)
3715, 5, 34, 36syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍)(/r𝑅)𝑍) = 𝑋)
3837adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → ((𝑋 · 𝑍)(/r𝑅)𝑍) = 𝑋)
391, 31, 35, 2dvrcan3 19441 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑍 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑌 · 𝑍)(/r𝑅)𝑍) = 𝑌)
4015, 6, 34, 39syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍)(/r𝑅)𝑍) = 𝑌)
4140adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → ((𝑌 · 𝑍)(/r𝑅)𝑍) = 𝑌)
4225, 38, 413eqtr3d 2841 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → 𝑋 = 𝑌)
4310pltne 17566 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 < 𝑌𝑋𝑌))
4443imp 410 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋𝑌)
454, 5, 6, 9, 44syl31anc 1370 . . . . . 6 (𝜑𝑋𝑌)
4645adantr 484 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → 𝑋𝑌)
4746neneqd 2992 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → ¬ 𝑋 = 𝑌)
4842, 47pm2.65da 816 . . 3 (𝜑 → ¬ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
4948neqned 2994 . 2 (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ≠ (𝑌 · 𝑍))
501, 2ringcl 19310 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐵𝑍𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
5115, 5, 7, 50syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
521, 2ringcl 19310 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
5315, 6, 7, 52syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
548, 10pltval 17564 . . 3 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑍) < (𝑌 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑍)(le‘𝑅)(𝑌 · 𝑍) ∧ (𝑋 · 𝑍) ≠ (𝑌 · 𝑍))))
554, 51, 53, 54syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) < (𝑌 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑍)(le‘𝑅)(𝑌 · 𝑍) ∧ (𝑋 · 𝑍) ≠ (𝑌 · 𝑍))))
5623, 49, 55mpbir2and 712 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) < (𝑌 · 𝑍))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16477  .rcmulr 16560  lecple 16566  0gc0g 16707  ltcplt 17545  Grpcgrp 18097  Ringcrg 19293  Unitcui 19388  /rcdvr 19431  DivRingcdr 19498  oRingcorng 30926 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7443  ax-cnex 10584  ax-resscn 10585  ax-1cn 10586  ax-icn 10587  ax-addcl 10588  ax-addrcl 10589  ax-mulcl 10590  ax-mulrcl 10591  ax-mulcom 10592  ax-addass 10593  ax-mulass 10594  ax-distr 10595  ax-i2m1 10596  ax-1ne0 10597  ax-1rid 10598  ax-rnegex 10599  ax-rrecex 10600  ax-cnre 10601  ax-pre-lttri 10602  ax-pre-lttrn 10603  ax-pre-ltadd 10604  ax-pre-mulgt0 10605 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7563  df-1st 7673  df-2nd 7674  df-tpos 7877  df-wrecs 7932  df-recs 7993  df-rdg 8031  df-er 8274  df-en 8495  df-dom 8496  df-sdom 8497  df-pnf 10668  df-mnf 10669  df-xr 10670  df-ltxr 10671  df-le 10672  df-sub 10863  df-neg 10864  df-nn 11628  df-2 11690  df-3 11691  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-0g 16709  df-plt 17562  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mgp 19236  df-ur 19248  df-ring 19295  df-oppr 19372  df-dvdsr 19390  df-unit 19391  df-invr 19421  df-dvr 19432  df-drng 19500  df-omnd 30757  df-ogrp 30758  df-orng 30928 This theorem is referenced by:  isarchiofld  30948
 Copyright terms: Public domain W3C validator