Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orngrmullt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem orngrmullt 33069
Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change strict comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ornglmullt.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
ornglmullt.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
ornglmullt.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
ornglmullt.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ornglmullt.3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
ornglmullt.4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
ornglmullt.l < = (ltβ€˜π‘…)
ornglmullt.d (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
ornglmullt.5 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
ornglmullt.6 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑍)
Assertion
Ref Expression
orngrmullt (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) < (π‘Œ Β· 𝑍))
Proof of Theorem orngrmullt
StepHypRef Expression
1 ornglmullt.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 ornglmullt.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
3 ornglmullt.0 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
4 ornglmullt.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oRing)
5 ornglmullt.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6 ornglmullt.3 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
7 ornglmullt.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
8 eqid 2725 . . 3 (leβ€˜π‘…) = (leβ€˜π‘…)
9 ornglmullt.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
10 ornglmullt.l . . . . . 6 < = (ltβ€˜π‘…)
118, 10pltle 18322 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋(leβ€˜π‘…)π‘Œ))
1211imp 405 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋(leβ€˜π‘…)π‘Œ)
134, 5, 6, 9, 12syl31anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋(leβ€˜π‘…)π‘Œ)
14 orngring 33061 . . . . . 6 (𝑅 ∈ oRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
154, 14syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
16 ringgrp 20180 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
171, 3grpidcl 18924 . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐡)
1815, 16, 173syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
19 ornglmullt.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑍)
208, 10pltle 18322 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑍 β†’ 0 (leβ€˜π‘…)𝑍))
2120imp 405 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 0 < 𝑍) β†’ 0 (leβ€˜π‘…)𝑍)
224, 18, 7, 19, 21syl31anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 (leβ€˜π‘…)𝑍)
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 22orngrmulle 33067 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍)(leβ€˜π‘…)(π‘Œ Β· 𝑍))
24 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍))
2524oveq1d 7430 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = ((π‘Œ Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍))
26 ornglmullt.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
2710pltne 18323 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑍 β†’ 0 β‰  𝑍))
2827imp 405 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 0 < 𝑍) β†’ 0 β‰  𝑍)
294, 18, 7, 19, 28syl31anc 1370 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 β‰  𝑍)
3029necomd 2986 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  0 )
31 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
321, 31, 3drngunit 20631 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 β‰  0 )))
3332biimpar 476 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 β‰  0 )) β†’ 𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
3426, 7, 30, 33syl12anc 835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
35 eqid 2725 . . . . . . . 8 (/rβ€˜π‘…) = (/rβ€˜π‘…)
361, 31, 35, 2dvrcan3 20351 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = 𝑋)
3715, 5, 34, 36syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = 𝑋)
3837adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = 𝑋)
391, 31, 35, 2dvrcan3 20351 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Œ Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = π‘Œ)
4015, 6, 34, 39syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = π‘Œ)
4140adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ ((π‘Œ Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = π‘Œ)
4225, 38, 413eqtr3d 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
4310pltne 18323 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))
4443imp 405 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
454, 5, 6, 9, 44syl31anc 1370 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
4645adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
4746neneqd 2935 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ Β¬ 𝑋 = π‘Œ)
4842, 47pm2.65da 815 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍))
4948neqned 2937 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) β‰  (π‘Œ Β· 𝑍))
501, 2ringcl 20192 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
5115, 5, 7, 50syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
521, 2ringcl 20192 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
5315, 6, 7, 52syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
548, 10pltval 18321 . . 3 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) < (π‘Œ Β· 𝑍) ↔ ((𝑋 Β· 𝑍)(leβ€˜π‘…)(π‘Œ Β· 𝑍) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) β‰  (π‘Œ Β· 𝑍))))
554, 51, 53, 54syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) < (π‘Œ Β· 𝑍) ↔ ((𝑋 Β· 𝑍)(leβ€˜π‘…)(π‘Œ Β· 𝑍) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) β‰  (π‘Œ Β· 𝑍))))
5623, 49, 55mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) < (π‘Œ Β· 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  .rcmulr 17231  lecple 17237  0gc0g 17418  ltcplt 18297  Grpcgrp 18892  Ringcrg 20175  Unitcui 20296  /rcdvr 20341  DivRingcdr 20626  oRingcorng 33056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-0g 17420  df-plt 18319  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-dvr 20342  df-drng 20628  df-omnd 32822  df-ogrp 32823  df-orng 33058
This theorem is referenced by:  isarchiofld  33078
  Copyright terms: Public domain W3C validator