Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orngrmullt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem orngrmullt 32929
Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change strict comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ornglmullt.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
ornglmullt.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
ornglmullt.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
ornglmullt.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ornglmullt.3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
ornglmullt.4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
ornglmullt.l < = (ltβ€˜π‘…)
ornglmullt.d (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
ornglmullt.5 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
ornglmullt.6 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑍)
Assertion
Ref Expression
orngrmullt (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) < (π‘Œ Β· 𝑍))

Proof of Theorem orngrmullt
StepHypRef Expression
1 ornglmullt.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 ornglmullt.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
3 ornglmullt.0 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
4 ornglmullt.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oRing)
5 ornglmullt.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6 ornglmullt.3 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
7 ornglmullt.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
8 eqid 2726 . . 3 (leβ€˜π‘…) = (leβ€˜π‘…)
9 ornglmullt.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
10 ornglmullt.l . . . . . 6 < = (ltβ€˜π‘…)
118, 10pltle 18298 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋(leβ€˜π‘…)π‘Œ))
1211imp 406 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋(leβ€˜π‘…)π‘Œ)
134, 5, 6, 9, 12syl31anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋(leβ€˜π‘…)π‘Œ)
14 orngring 32921 . . . . . 6 (𝑅 ∈ oRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
154, 14syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
16 ringgrp 20143 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
171, 3grpidcl 18895 . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐡)
1815, 16, 173syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
19 ornglmullt.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑍)
208, 10pltle 18298 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑍 β†’ 0 (leβ€˜π‘…)𝑍))
2120imp 406 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 0 < 𝑍) β†’ 0 (leβ€˜π‘…)𝑍)
224, 18, 7, 19, 21syl31anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 (leβ€˜π‘…)𝑍)
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 22orngrmulle 32927 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍)(leβ€˜π‘…)(π‘Œ Β· 𝑍))
24 simpr 484 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍))
2524oveq1d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = ((π‘Œ Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍))
26 ornglmullt.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
2710pltne 18299 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑍 β†’ 0 β‰  𝑍))
2827imp 406 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 0 < 𝑍) β†’ 0 β‰  𝑍)
294, 18, 7, 19, 28syl31anc 1370 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 β‰  𝑍)
3029necomd 2990 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  0 )
31 eqid 2726 . . . . . . . . . 10 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
321, 31, 3drngunit 20592 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 β‰  0 )))
3332biimpar 477 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 β‰  0 )) β†’ 𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
3426, 7, 30, 33syl12anc 834 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
35 eqid 2726 . . . . . . . 8 (/rβ€˜π‘…) = (/rβ€˜π‘…)
361, 31, 35, 2dvrcan3 20312 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = 𝑋)
3715, 5, 34, 36syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = 𝑋)
3837adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = 𝑋)
391, 31, 35, 2dvrcan3 20312 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Œ Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = π‘Œ)
4015, 6, 34, 39syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = π‘Œ)
4140adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ ((π‘Œ Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = π‘Œ)
4225, 38, 413eqtr3d 2774 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
4310pltne 18299 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))
4443imp 406 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
454, 5, 6, 9, 44syl31anc 1370 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
4645adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
4746neneqd 2939 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ Β¬ 𝑋 = π‘Œ)
4842, 47pm2.65da 814 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍))
4948neqned 2941 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) β‰  (π‘Œ Β· 𝑍))
501, 2ringcl 20155 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
5115, 5, 7, 50syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
521, 2ringcl 20155 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
5315, 6, 7, 52syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
548, 10pltval 18297 . . 3 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) < (π‘Œ Β· 𝑍) ↔ ((𝑋 Β· 𝑍)(leβ€˜π‘…)(π‘Œ Β· 𝑍) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) β‰  (π‘Œ Β· 𝑍))))
554, 51, 53, 54syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) < (π‘Œ Β· 𝑍) ↔ ((𝑋 Β· 𝑍)(leβ€˜π‘…)(π‘Œ Β· 𝑍) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) β‰  (π‘Œ Β· 𝑍))))
5623, 49, 55mpbir2and 710 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) < (π‘Œ Β· 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  lecple 17213  0gc0g 17394  ltcplt 18273  Grpcgrp 18863  Ringcrg 20138  Unitcui 20257  /rcdvr 20302  DivRingcdr 20587  oRingcorng 32916
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-0g 17396  df-plt 18295  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-drng 20589  df-omnd 32723  df-ogrp 32724  df-orng 32918
This theorem is referenced by:  isarchiofld  32938
  Copyright terms: Public domain W3C validator