Theorem orngrmullt 33303

Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change strict comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ornglmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ornglmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ornglmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ornglmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ornglmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
ornglmullt.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
ornglmullt.d	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
ornglmullt.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
ornglmullt.6	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
orngrmullt	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) < (𝑌 · 𝑍))

Proof of Theorem orngrmullt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ornglmullt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ornglmullt.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		ornglmullt.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		ornglmullt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
5		ornglmullt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ornglmullt.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		ornglmullt.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
8		eqid 2740	. . 3 ⊢ (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
9		ornglmullt.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
10		ornglmullt.l	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝑅)
11	8, 10	pltle 18403	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝑅)𝑌))
12	11	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋(le‘𝑅)𝑌)
13	4, 5, 6, 9, 12	syl31anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(le‘𝑅)𝑌)
14		orngring 33295	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
15	4, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16		ringgrp 20265	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
17	1, 3	grpidcl 19005	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
19		ornglmullt.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑍)
20	8, 10	pltle 18403	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑍 → 0 (le‘𝑅)𝑍))
21	20	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑍) → 0 (le‘𝑅)𝑍)
22	4, 18, 7, 19, 21	syl31anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 (le‘𝑅)𝑍)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 22	orngrmulle 33301	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍)(le‘𝑅)(𝑌 · 𝑍))
24		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
25	24	oveq1d 7463	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → ((𝑋 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = ((𝑌 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍))
26		ornglmullt.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
27	10	pltne 18404	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑍 → 0 ≠ 𝑍))
28	27	imp 406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑍) → 0 ≠ 𝑍)
29	4, 18, 7, 19, 28	syl31anc 1373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑍)
30	29	necomd 3002	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
31		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
32	1, 31, 3	drngunit 20756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑍 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ≠ 0 )))
33	32	biimpar 477	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ≠ 0 )) → 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅))
34	26, 7, 30, 33	syl12anc 836	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅))
35		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (/r‘𝑅) = (/r‘𝑅)
36	1, 31, 35, 2	dvrcan3 20436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑋 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)
37	15, 5, 34, 36	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)
38	37	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → ((𝑋 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)
39	1, 31, 35, 2	dvrcan3 20436	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑌 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑌)
40	15, 6, 34, 39	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑌)
41	40	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → ((𝑌 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑌)
42	25, 38, 41	3eqtr3d 2788	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → 𝑋 = 𝑌)
43	10	pltne 18404	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≠ 𝑌))
44	43	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
45	4, 5, 6, 9, 44	syl31anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
46	45	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
47	46	neneqd 2951	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → ¬ 𝑋 = 𝑌)
48	42, 47	pm2.65da 816	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
49	48	neqned 2953	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ≠ (𝑌 · 𝑍))
50	1, 2	ringcl 20277	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
51	15, 5, 7, 50	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
52	1, 2	ringcl 20277	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
53	15, 6, 7, 52	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
54	8, 10	pltval 18402	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑍) < (𝑌 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑍)(le‘𝑅)(𝑌 · 𝑍) ∧ (𝑋 · 𝑍) ≠ (𝑌 · 𝑍))))
55	4, 51, 53, 54	syl3anc 1371	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) < (𝑌 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑍)(le‘𝑅)(𝑌 · 𝑍) ∧ (𝑋 · 𝑍) ≠ (𝑌 · 𝑍))))
56	23, 49, 55	mpbir2and 712	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) < (𝑌 · 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  ._rcmulr 17312  lecple 17318  0_gc0g 17499  ltcplt 18378  Grpcgrp 18973  Ringcrg 20260  Unitcui 20381  /_rcdvr 20426  DivRingcdr 20751  oRingcorng 33290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-plt 18400  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-dvr 20427  df-drng 20753  df-omnd 33049  df-ogrp 33050  df-orng 33292

This theorem is referenced by:  isarchiofld  33312