Theorem orngrmullt 20954

Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change strict comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ornglmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ornglmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ornglmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ornglmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ornglmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
ornglmullt.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
ornglmullt.d	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
ornglmullt.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
ornglmullt.6	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
orngrmullt	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) < (𝑌 · 𝑍))

Proof of Theorem orngrmullt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ornglmullt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ornglmullt.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		ornglmullt.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		ornglmullt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
5		ornglmullt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ornglmullt.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		ornglmullt.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
8		eqid 2763	. . 3 ⊢ (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
9		ornglmullt.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
10		ornglmullt.l	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝑅)
11	8, 10	pltle 18388	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝑅)𝑌))
12	11	imp 411	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋(le‘𝑅)𝑌)
13	4, 5, 6, 9, 12	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(le‘𝑅)𝑌)
14		orngring 20946	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
15	4, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16		ringgrp 20321	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
17	1, 3	grpidcl 19033	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
18	15, 16, 17	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
19		ornglmullt.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑍)
20	8, 10	pltle 18388	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑍 → 0 (le‘𝑅)𝑍))
21	20	imp 411	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑍) → 0 (le‘𝑅)𝑍)
22	4, 18, 7, 19, 21	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 (le‘𝑅)𝑍)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 22	orngrmulle 20952	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍)(le‘𝑅)(𝑌 · 𝑍))
24		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
25	24	oveq1d 7427	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → ((𝑋 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = ((𝑌 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍))
26		ornglmullt.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
27	10	pltne 18389	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑍 → 0 ≠ 𝑍))
28	27	imp 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑍) → 0 ≠ 𝑍)
29	4, 18, 7, 19, 28	syl31anc 1400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑍)
30	29	necomd 3013	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
31		eqid 2763	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
32	1, 31, 3	drngunit 20819	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑍 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ≠ 0 )))
33	32	biimpar 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ≠ 0 )) → 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅))
34	26, 7, 30, 33	syl12anc 849	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅))
35		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (/r‘𝑅) = (/r‘𝑅)
36	1, 31, 35, 2	dvrcan3 20493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑋 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)
37	15, 5, 34, 36	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)
38	37	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → ((𝑋 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)
39	1, 31, 35, 2	dvrcan3 20493	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑌 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑌)
40	15, 6, 34, 39	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑌)
41	40	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → ((𝑌 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑌)
42	25, 38, 41	3eqtr3d 2806	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → 𝑋 = 𝑌)
43	10	pltne 18389	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≠ 𝑌))
44	43	imp 411	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
45	4, 5, 6, 9, 44	syl31anc 1400	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
46	45	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
47	46	neneqd 2963	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → ¬ 𝑋 = 𝑌)
48	42, 47	pm2.65da 828	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
49	48	neqned 2965	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ≠ (𝑌 · 𝑍))
50	1, 2	ringcl 20333	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
51	15, 5, 7, 50	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
52	1, 2	ringcl 20333	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
53	15, 6, 7, 52	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
54	8, 10	pltval 18387	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑍) < (𝑌 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑍)(le‘𝑅)(𝑌 · 𝑍) ∧ (𝑋 · 𝑍) ≠ (𝑌 · 𝑍))))
55	4, 51, 53, 54	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) < (𝑌 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑍)(le‘𝑅)(𝑌 · 𝑍) ∧ (𝑋 · 𝑍) ≠ (𝑌 · 𝑍))))
56	23, 49, 55	mpbir2and 725	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) < (𝑌 · 𝑍))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5110  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  ._rcmulr 17312  lecple 17318  0_gc0g 17493  ltcplt 18365  Grpcgrp 19001  Ringcrg 20316  Unitcui 20438  /_rcdvr 20483  DivRingcdr 20814  oRingcorng 20941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17495  df-plt 18385  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-omnd 20192  df-ogrp 20193  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-dvr 20484  df-drng 20816  df-orng 20943

This theorem is referenced by:  isarchiofld  33500