Theorem orngrmullt 21042

Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change strict comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ornglmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ornglmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ornglmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ornglmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ornglmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
ornglmullt.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
ornglmullt.d	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
ornglmullt.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
ornglmullt.6	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
orngrmullt	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) < (𝑌 · 𝑍))

Proof of Theorem orngrmullt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ornglmullt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ornglmullt.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		ornglmullt.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		ornglmullt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
5		ornglmullt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ornglmullt.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		ornglmullt.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
8		eqid 2762	. . 3 ⊢ (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
9		ornglmullt.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
10		ornglmullt.l	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝑅)
11	8, 10	pltle 18425	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝑅)𝑌))
12	11	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋(le‘𝑅)𝑌)
13	4, 5, 6, 9, 12	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(le‘𝑅)𝑌)
14		orngring 21034	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
15	4, 14	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16		ringgrp 20383	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
17	1, 3	grpidcl 19095	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
18	15, 16, 17	3syl 19	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
19		ornglmullt.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑍)
20	8, 10	pltle 18425	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑍 → 0 (le‘𝑅)𝑍))
21	20	imp 412	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑍) → 0 (le‘𝑅)𝑍)
22	4, 18, 7, 19, 21	syl31anc 1400	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 (le‘𝑅)𝑍)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 22	orngrmulle 21040	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍)(le‘𝑅)(𝑌 · 𝑍))
24		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
25	24	oveq1d 7432	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → ((𝑋 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = ((𝑌 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍))
26		ornglmullt.d	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
27	10	pltne 18426	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑍 → 0 ≠ 𝑍))
28	27	imp 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑍) → 0 ≠ 𝑍)
29	4, 18, 7, 19, 28	syl31anc 1400	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑍)
30	29	necomd 3012	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
31		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
32	1, 31, 3	drngunit 20901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑍 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ≠ 0 )))
33	32	biimpar 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ≠ 0 )) → 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅))
34	26, 7, 30, 33	syl12anc 850	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅))
35		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (/r‘𝑅) = (/r‘𝑅)
36	1, 31, 35, 2	dvrcan3 20557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑋 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)
37	15, 5, 34, 36	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)
38	37	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → ((𝑋 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑋)
39	1, 31, 35, 2	dvrcan3 20557	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((𝑌 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑌)
40	15, 6, 34, 39	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑌)
41	40	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → ((𝑌 · 𝑍)(/r‘𝑅)𝑍) = 𝑌)
42	25, 38, 41	3eqtr3d 2805	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → 𝑋 = 𝑌)
43	10	pltne 18426	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≠ 𝑌))
44	43	imp 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
45	4, 5, 6, 9, 44	syl31anc 1400	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
46	45	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
47	46	neneqd 2962	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍)) → ¬ 𝑋 = 𝑌)
48	42, 47	pm2.65da 829	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑋 · 𝑍) = (𝑌 · 𝑍))
49	48	neqned 2964	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ≠ (𝑌 · 𝑍))
50	1, 2	ringcl 20395	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
51	15, 5, 7, 50	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵)
52	1, 2	ringcl 20395	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
53	15, 6, 7, 52	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵)
54	8, 10	pltval 18424	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋 · 𝑍) ∈ 𝐵 ∧ (𝑌 · 𝑍) ∈ 𝐵) → ((𝑋 · 𝑍) < (𝑌 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑍)(le‘𝑅)(𝑌 · 𝑍) ∧ (𝑋 · 𝑍) ≠ (𝑌 · 𝑍))))
55	4, 51, 53, 54	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝑍) < (𝑌 · 𝑍) ↔ ((𝑋 · 𝑍)(le‘𝑅)(𝑌 · 𝑍) ∧ (𝑋 · 𝑍) ≠ (𝑌 · 𝑍))))
56	23, 49, 55	mpbir2and 726	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑍) < (𝑌 · 𝑍))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  ._rcmulr 17349  lecple 17355  0_gc0g 17530  ltcplt 18402  Grpcgrp 19063  Ringcrg 20378  Unitcui 20502  /_rcdvr 20547  DivRingcdr 20896  oRingcorng 21029

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8228  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-0g 17532  df-plt 18422  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-minusg 19067  df-sbg 19068  df-cmn 19915  df-abl 19916  df-omnd 20254  df-ogrp 20255  df-mgp 20280  df-rng 20294  df-ur 20327  df-ring 20380  df-oppr 20484  df-dvdsr 20504  df-unit 20505  df-invr 20535  df-dvr 20548  df-drng 20898  df-orng 21031

This theorem is used by:  isarchiofld  33647