Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  orngrmullt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem orngrmullt 32414
Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change strict comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ornglmullt.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
ornglmullt.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
ornglmullt.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
ornglmullt.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ornglmullt.3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
ornglmullt.4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
ornglmullt.l < = (ltβ€˜π‘…)
ornglmullt.d (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
ornglmullt.5 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
ornglmullt.6 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑍)
Assertion
Ref Expression
orngrmullt (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) < (π‘Œ Β· 𝑍))
Proof of Theorem orngrmullt
StepHypRef Expression
1 ornglmullt.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 ornglmullt.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
3 ornglmullt.0 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
4 ornglmullt.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oRing)
5 ornglmullt.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6 ornglmullt.3 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
7 ornglmullt.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
8 eqid 2732 . . 3 (leβ€˜π‘…) = (leβ€˜π‘…)
9 ornglmullt.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
10 ornglmullt.l . . . . . 6 < = (ltβ€˜π‘…)
118, 10pltle 18282 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋(leβ€˜π‘…)π‘Œ))
1211imp 407 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋(leβ€˜π‘…)π‘Œ)
134, 5, 6, 9, 12syl31anc 1373 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋(leβ€˜π‘…)π‘Œ)
14 orngring 32406 . . . . . 6 (𝑅 ∈ oRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
154, 14syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
16 ringgrp 20054 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
171, 3grpidcl 18846 . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐡)
1815, 16, 173syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
19 ornglmullt.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑍)
208, 10pltle 18282 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑍 β†’ 0 (leβ€˜π‘…)𝑍))
2120imp 407 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 0 < 𝑍) β†’ 0 (leβ€˜π‘…)𝑍)
224, 18, 7, 19, 21syl31anc 1373 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 (leβ€˜π‘…)𝑍)
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 22orngrmulle 32412 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍)(leβ€˜π‘…)(π‘Œ Β· 𝑍))
24 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍))
2524oveq1d 7420 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = ((π‘Œ Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍))
26 ornglmullt.d . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
2710pltne 18283 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑍 β†’ 0 β‰  𝑍))
2827imp 407 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 0 < 𝑍) β†’ 0 β‰  𝑍)
294, 18, 7, 19, 28syl31anc 1373 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 0 β‰  𝑍)
3029necomd 2996 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  0 )
31 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
321, 31, 3drngunit 20312 . . . . . . . . 9 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 β‰  0 )))
3332biimpar 478 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 β‰  0 )) β†’ 𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
3426, 7, 30, 33syl12anc 835 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
35 eqid 2732 . . . . . . . 8 (/rβ€˜π‘…) = (/rβ€˜π‘…)
361, 31, 35, 2dvrcan3 20216 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = 𝑋)
3715, 5, 34, 36syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = 𝑋)
3837adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = 𝑋)
391, 31, 35, 2dvrcan3 20216 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((π‘Œ Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = π‘Œ)
4015, 6, 34, 39syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = π‘Œ)
4140adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ ((π‘Œ Β· 𝑍)(/rβ€˜π‘…)𝑍) = π‘Œ)
4225, 38, 413eqtr3d 2780 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
4310pltne 18283 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))
4443imp 407 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
454, 5, 6, 9, 44syl31anc 1373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
4645adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
4746neneqd 2945 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍)) β†’ Β¬ 𝑋 = π‘Œ)
4842, 47pm2.65da 815 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑋 Β· 𝑍) = (π‘Œ Β· 𝑍))
4948neqned 2947 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) β‰  (π‘Œ Β· 𝑍))
501, 2ringcl 20066 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
5115, 5, 7, 50syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
521, 2ringcl 20066 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
5315, 6, 7, 52syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝐡)
548, 10pltval 18281 . . 3 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑋 Β· 𝑍) ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ Β· 𝑍) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) < (π‘Œ Β· 𝑍) ↔ ((𝑋 Β· 𝑍)(leβ€˜π‘…)(π‘Œ Β· 𝑍) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) β‰  (π‘Œ Β· 𝑍))))
554, 51, 53, 54syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝑍) < (π‘Œ Β· 𝑍) ↔ ((𝑋 Β· 𝑍)(leβ€˜π‘…)(π‘Œ Β· 𝑍) ∧ (𝑋 Β· 𝑍) β‰  (π‘Œ Β· 𝑍))))
5623, 49, 55mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝑍) < (π‘Œ Β· 𝑍))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  lecple 17200  0gc0g 17381  ltcplt 18257  Grpcgrp 18815  Ringcrg 20049  Unitcui 20161  /rcdvr 20206  DivRingcdr 20307  oRingcorng 32401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-plt 18279  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-drng 20309  df-omnd 32204  df-ogrp 32205  df-orng 32403
This theorem is referenced by:  isarchiofld  32423
  Copyright terms: Public domain W3C validator