Theorem ornglmullt 20782

Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change strict comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ornglmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ornglmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ornglmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ornglmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ornglmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
ornglmullt.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
ornglmullt.d	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
ornglmullt.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
ornglmullt.6	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ornglmullt	⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) < (𝑍 · 𝑌))

Proof of Theorem ornglmullt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ornglmullt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ornglmullt.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		ornglmullt.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		ornglmullt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
5		ornglmullt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ornglmullt.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		ornglmullt.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
8		eqid 2731	. . 3 ⊢ (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
9		ornglmullt.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
10		ornglmullt.l	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝑅)
11	8, 10	pltle 18234	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝑅)𝑌))
12	11	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋(le‘𝑅)𝑌)
13	4, 5, 6, 9, 12	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(le‘𝑅)𝑌)
14		orngring 20775	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
15	4, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16		ringgrp 20154	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
17	1, 3	grpidcl 18875	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
19		ornglmullt.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑍)
20	8, 10	pltle 18234	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑍 → 0 (le‘𝑅)𝑍))
21	20	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑍) → 0 (le‘𝑅)𝑍)
22	4, 18, 7, 19, 21	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 (le‘𝑅)𝑍)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 22	ornglmulle 20780	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋)(le‘𝑅)(𝑍 · 𝑌))
24		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌))
25	24	oveq2d 7362	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
26		ornglmullt.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
27	10	pltne 18235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑍 → 0 ≠ 𝑍))
28	27	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑍) → 0 ≠ 𝑍)
29	4, 18, 7, 19, 28	syl31anc 1375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑍)
30	29	necomd 2983	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
31		eqid 2731	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
32	1, 31, 3	drngunit 20647	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑍 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ≠ 0 )))
33	32	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ≠ 0 )) → 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅))
34	26, 7, 30, 33	syl12anc 836	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅))
35		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
36		eqid 2731	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
37	31, 35, 2, 36	unitlinv 20309	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) = (1r‘𝑅))
38	15, 34, 37	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) = (1r‘𝑅))
39	38	oveq1d 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
40	31, 35, 1	ringinvcl 20308	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
41	15, 34, 40	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
42	1, 2	ringass 20169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)))
43	15, 41, 7, 5, 42	syl13anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)))
44	1, 2, 36	ringlidm 20185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
45	15, 5, 44	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
46	39, 43, 45	3eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = 𝑋)
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = 𝑋)
48	38	oveq1d 7361	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
49	1, 2	ringass 20169	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
50	15, 41, 7, 6, 49	syl13anc 1374	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
51	1, 2, 36	ringlidm 20185	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
52	15, 6, 51	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
53	48, 50, 52	3eqtr3d 2774	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)) = 𝑌)
54	53	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)) = 𝑌)
55	25, 47, 54	3eqtr3d 2774	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
56	10	pltne 18235	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≠ 𝑌))
57	56	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
58	4, 5, 6, 9, 57	syl31anc 1375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
59	58	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
60	59	neneqd 2933	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → ¬ 𝑋 = 𝑌)
61	55, 60	pm2.65da 816	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌))
62	61	neqned 2935	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ≠ (𝑍 · 𝑌))
63	1, 2	ringcl 20166	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
64	15, 7, 5, 63	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
65	1, 2	ringcl 20166	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
66	15, 7, 6, 65	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
67	8, 10	pltval 18233	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑍 · 𝑋) < (𝑍 · 𝑌) ↔ ((𝑍 · 𝑋)(le‘𝑅)(𝑍 · 𝑌) ∧ (𝑍 · 𝑋) ≠ (𝑍 · 𝑌))))
68	4, 64, 66, 67	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 · 𝑋) < (𝑍 · 𝑌) ↔ ((𝑍 · 𝑋)(le‘𝑅)(𝑍 · 𝑌) ∧ (𝑍 · 𝑋) ≠ (𝑍 · 𝑌))))
69	23, 62, 68	mpbir2and 713	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) < (𝑍 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5091  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17117  ._rcmulr 17159  lecple 17165  0_gc0g 17340  ltcplt 18211  Grpcgrp 18843  1_rcur 20097  Ringcrg 20149  Unitcui 20271  inv_rcinvr 20303  DivRingcdr 20642  oRingcorng 20770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11059  ax-resscn 11060  ax-1cn 11061  ax-icn 11062  ax-addcl 11063  ax-addrcl 11064  ax-mulcl 11065  ax-mulrcl 11066  ax-mulcom 11067  ax-addass 11068  ax-mulass 11069  ax-distr 11070  ax-i2m1 11071  ax-1ne0 11072  ax-1rid 11073  ax-rnegex 11074  ax-rrecex 11075  ax-cnre 11076  ax-pre-lttri 11077  ax-pre-lttrn 11078  ax-pre-ltadd 11079  ax-pre-mulgt0 11080

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11145  df-mnf 11146  df-xr 11147  df-ltxr 11148  df-le 11149  df-sub 11343  df-neg 11344  df-nn 12123  df-2 12185  df-3 12186  df-sets 17072  df-slot 17090  df-ndx 17102  df-base 17118  df-ress 17139  df-plusg 17171  df-mulr 17172  df-0g 17342  df-plt 18231  df-mgm 18545  df-sgrp 18624  df-mnd 18640  df-grp 18846  df-minusg 18847  df-sbg 18848  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-omnd 20031  df-ogrp 20032  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-ring 20151  df-oppr 20253  df-dvdsr 20273  df-unit 20274  df-invr 20304  df-drng 20644  df-orng 20772

This theorem is referenced by: (None)