Theorem ornglmullt 31506

Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change strict comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ornglmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ornglmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ornglmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ornglmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ornglmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
ornglmullt.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
ornglmullt.d	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
ornglmullt.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
ornglmullt.6	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ornglmullt	⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) < (𝑍 · 𝑌))

Proof of Theorem ornglmullt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ornglmullt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ornglmullt.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		ornglmullt.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		ornglmullt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
5		ornglmullt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ornglmullt.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		ornglmullt.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
8		eqid 2738	. . 3 ⊢ (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
9		ornglmullt.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
10		ornglmullt.l	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝑅)
11	8, 10	pltle 18051	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝑅)𝑌))
12	11	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋(le‘𝑅)𝑌)
13	4, 5, 6, 9, 12	syl31anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(le‘𝑅)𝑌)
14		orngring 31499	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
15	4, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16		ringgrp 19788	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
17	1, 3	grpidcl 18607	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
19		ornglmullt.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑍)
20	8, 10	pltle 18051	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑍 → 0 (le‘𝑅)𝑍))
21	20	imp 407	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑍) → 0 (le‘𝑅)𝑍)
22	4, 18, 7, 19, 21	syl31anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 (le‘𝑅)𝑍)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 22	ornglmulle 31504	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋)(le‘𝑅)(𝑍 · 𝑌))
24		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌))
25	24	oveq2d 7291	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
26		ornglmullt.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
27	10	pltne 18052	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑍 → 0 ≠ 𝑍))
28	27	imp 407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑍) → 0 ≠ 𝑍)
29	4, 18, 7, 19, 28	syl31anc 1372	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑍)
30	29	necomd 2999	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
31		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
32	1, 31, 3	drngunit 19996	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑍 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ≠ 0 )))
33	32	biimpar 478	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ≠ 0 )) → 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅))
34	26, 7, 30, 33	syl12anc 834	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅))
35		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
36		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
37	31, 35, 2, 36	unitlinv 19919	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) = (1r‘𝑅))
38	15, 34, 37	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) = (1r‘𝑅))
39	38	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
40	31, 35, 1	ringinvcl 19918	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
41	15, 34, 40	syl2anc 584	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
42	1, 2	ringass 19803	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)))
43	15, 41, 7, 5, 42	syl13anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)))
44	1, 2, 36	ringlidm 19810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
45	15, 5, 44	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
46	39, 43, 45	3eqtr3d 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = 𝑋)
47	46	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = 𝑋)
48	38	oveq1d 7290	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
49	1, 2	ringass 19803	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
50	15, 41, 7, 6, 49	syl13anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
51	1, 2, 36	ringlidm 19810	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
52	15, 6, 51	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
53	48, 50, 52	3eqtr3d 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)) = 𝑌)
54	53	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)) = 𝑌)
55	25, 47, 54	3eqtr3d 2786	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
56	10	pltne 18052	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≠ 𝑌))
57	56	imp 407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
58	4, 5, 6, 9, 57	syl31anc 1372	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
59	58	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
60	59	neneqd 2948	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → ¬ 𝑋 = 𝑌)
61	55, 60	pm2.65da 814	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌))
62	61	neqned 2950	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ≠ (𝑍 · 𝑌))
63	1, 2	ringcl 19800	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
64	15, 7, 5, 63	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
65	1, 2	ringcl 19800	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
66	15, 7, 6, 65	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
67	8, 10	pltval 18050	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑍 · 𝑋) < (𝑍 · 𝑌) ↔ ((𝑍 · 𝑋)(le‘𝑅)(𝑍 · 𝑌) ∧ (𝑍 · 𝑋) ≠ (𝑍 · 𝑌))))
68	4, 64, 66, 67	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 · 𝑋) < (𝑍 · 𝑌) ↔ ((𝑍 · 𝑋)(le‘𝑅)(𝑍 · 𝑌) ∧ (𝑍 · 𝑋) ≠ (𝑍 · 𝑌))))
69	23, 62, 68	mpbir2and 710	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) < (𝑍 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  lecple 16969  0_gc0g 17150  ltcplt 18026  Grpcgrp 18577  1_rcur 19737  Ringcrg 19783  Unitcui 19881  inv_rcinvr 19913  DivRingcdr 19991  oRingcorng 31494

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-plt 18048  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-drng 19993  df-omnd 31325  df-ogrp 31326  df-orng 31496

This theorem is referenced by: (None)