Theorem ornglmullt 20837

Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change strict comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ornglmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ornglmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ornglmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ornglmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ornglmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
ornglmullt.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
ornglmullt.d	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
ornglmullt.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
ornglmullt.6	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ornglmullt	⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) < (𝑍 · 𝑌))

Proof of Theorem ornglmullt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ornglmullt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ornglmullt.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		ornglmullt.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		ornglmullt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
5		ornglmullt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ornglmullt.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		ornglmullt.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
8		eqid 2737	. . 3 ⊢ (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
9		ornglmullt.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
10		ornglmullt.l	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝑅)
11	8, 10	pltle 18288	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝑅)𝑌))
12	11	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋(le‘𝑅)𝑌)
13	4, 5, 6, 9, 12	syl31anc 1376	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(le‘𝑅)𝑌)
14		orngring 20830	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
15	4, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16		ringgrp 20210	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
17	1, 3	grpidcl 18932	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
19		ornglmullt.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑍)
20	8, 10	pltle 18288	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑍 → 0 (le‘𝑅)𝑍))
21	20	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑍) → 0 (le‘𝑅)𝑍)
22	4, 18, 7, 19, 21	syl31anc 1376	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 (le‘𝑅)𝑍)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 22	ornglmulle 20835	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋)(le‘𝑅)(𝑍 · 𝑌))
24		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌))
25	24	oveq2d 7376	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
26		ornglmullt.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
27	10	pltne 18289	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑍 → 0 ≠ 𝑍))
28	27	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑍) → 0 ≠ 𝑍)
29	4, 18, 7, 19, 28	syl31anc 1376	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑍)
30	29	necomd 2988	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
31		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
32	1, 31, 3	drngunit 20702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑍 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ≠ 0 )))
33	32	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ≠ 0 )) → 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅))
34	26, 7, 30, 33	syl12anc 837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅))
35		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
36		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
37	31, 35, 2, 36	unitlinv 20364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) = (1r‘𝑅))
38	15, 34, 37	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) = (1r‘𝑅))
39	38	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
40	31, 35, 1	ringinvcl 20363	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
41	15, 34, 40	syl2anc 585	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
42	1, 2	ringass 20225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)))
43	15, 41, 7, 5, 42	syl13anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)))
44	1, 2, 36	ringlidm 20241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
45	15, 5, 44	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
46	39, 43, 45	3eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = 𝑋)
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = 𝑋)
48	38	oveq1d 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
49	1, 2	ringass 20225	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
50	15, 41, 7, 6, 49	syl13anc 1375	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
51	1, 2, 36	ringlidm 20241	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
52	15, 6, 51	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
53	48, 50, 52	3eqtr3d 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)) = 𝑌)
54	53	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)) = 𝑌)
55	25, 47, 54	3eqtr3d 2780	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
56	10	pltne 18289	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≠ 𝑌))
57	56	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
58	4, 5, 6, 9, 57	syl31anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
59	58	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
60	59	neneqd 2938	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → ¬ 𝑋 = 𝑌)
61	55, 60	pm2.65da 817	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌))
62	61	neqned 2940	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ≠ (𝑍 · 𝑌))
63	1, 2	ringcl 20222	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
64	15, 7, 5, 63	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
65	1, 2	ringcl 20222	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
66	15, 7, 6, 65	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
67	8, 10	pltval 18287	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑍 · 𝑋) < (𝑍 · 𝑌) ↔ ((𝑍 · 𝑋)(le‘𝑅)(𝑍 · 𝑌) ∧ (𝑍 · 𝑋) ≠ (𝑍 · 𝑌))))
68	4, 64, 66, 67	syl3anc 1374	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 · 𝑋) < (𝑍 · 𝑌) ↔ ((𝑍 · 𝑋)(le‘𝑅)(𝑍 · 𝑌) ∧ (𝑍 · 𝑋) ≠ (𝑍 · 𝑌))))
69	23, 62, 68	mpbir2and 714	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) < (𝑍 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  lecple 17218  0_gc0g 17393  ltcplt 18265  Grpcgrp 18900  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  Unitcui 20326  inv_rcinvr 20358  DivRingcdr 20697  oRingcorng 20825

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-er 8636  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-plt 18285  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-omnd 20087  df-ogrp 20088  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-drng 20699  df-orng 20827

This theorem is referenced by: (None)