Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ornglmullt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ornglmullt 32413
Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change strict comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ornglmullt.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
ornglmullt.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
ornglmullt.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
ornglmullt.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ornglmullt.3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
ornglmullt.4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
ornglmullt.l < = (ltβ€˜π‘…)
ornglmullt.d (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
ornglmullt.5 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
ornglmullt.6 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑍)
Assertion
Ref Expression
ornglmullt (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· 𝑋) < (𝑍 Β· π‘Œ))
Proof of Theorem ornglmullt
StepHypRef Expression
1 ornglmullt.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 ornglmullt.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
3 ornglmullt.0 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
4 ornglmullt.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oRing)
5 ornglmullt.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6 ornglmullt.3 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
7 ornglmullt.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
8 eqid 2732 . . 3 (leβ€˜π‘…) = (leβ€˜π‘…)
9 ornglmullt.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
10 ornglmullt.l . . . . . 6 < = (ltβ€˜π‘…)
118, 10pltle 18282 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋(leβ€˜π‘…)π‘Œ))
1211imp 407 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋(leβ€˜π‘…)π‘Œ)
134, 5, 6, 9, 12syl31anc 1373 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋(leβ€˜π‘…)π‘Œ)
14 orngring 32406 . . . . . 6 (𝑅 ∈ oRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
154, 14syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
16 ringgrp 20054 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
171, 3grpidcl 18846 . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐡)
1815, 16, 173syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
19 ornglmullt.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑍)
208, 10pltle 18282 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑍 β†’ 0 (leβ€˜π‘…)𝑍))
2120imp 407 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 0 < 𝑍) β†’ 0 (leβ€˜π‘…)𝑍)
224, 18, 7, 19, 21syl31anc 1373 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 (leβ€˜π‘…)𝑍)
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 22ornglmulle 32411 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· 𝑋)(leβ€˜π‘…)(𝑍 Β· π‘Œ))
24 simpr 485 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑍 Β· 𝑋) = (𝑍 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑍 Β· 𝑋) = (𝑍 Β· π‘Œ))
2524oveq2d 7421 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑍 Β· 𝑋) = (𝑍 Β· π‘Œ)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· (𝑍 Β· 𝑋)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· (𝑍 Β· π‘Œ)))
26 ornglmullt.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
2710pltne 18283 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑍 β†’ 0 β‰  𝑍))
2827imp 407 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 0 < 𝑍) β†’ 0 β‰  𝑍)
294, 18, 7, 19, 28syl31anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 β‰  𝑍)
3029necomd 2996 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  0 )
31 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
321, 31, 3drngunit 20312 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 β‰  0 )))
3332biimpar 478 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 β‰  0 )) β†’ 𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
3426, 7, 30, 33syl12anc 835 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
35 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
36 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
3731, 35, 2, 36unitlinv 20199 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· 𝑍) = (1rβ€˜π‘…))
3815, 34, 37syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· 𝑍) = (1rβ€˜π‘…))
3938oveq1d 7420 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· 𝑍) Β· 𝑋) = ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋))
4031, 35, 1ringinvcl 20198 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
4115, 34, 40syl2anc 584 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
421, 2ringass 20069 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· 𝑍) Β· 𝑋) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· (𝑍 Β· 𝑋)))
4315, 41, 7, 5, 42syl13anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· 𝑍) Β· 𝑋) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· (𝑍 Β· 𝑋)))
441, 2, 36ringlidm 20079 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋) = 𝑋)
4515, 5, 44syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋) = 𝑋)
4639, 43, 453eqtr3d 2780 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· (𝑍 Β· 𝑋)) = 𝑋)
4746adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑍 Β· 𝑋) = (𝑍 Β· π‘Œ)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· (𝑍 Β· 𝑋)) = 𝑋)
4838oveq1d 7420 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· 𝑍) Β· π‘Œ) = ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ))
491, 2ringass 20069 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· 𝑍) Β· π‘Œ) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· (𝑍 Β· π‘Œ)))
5015, 41, 7, 6, 49syl13anc 1372 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· 𝑍) Β· π‘Œ) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· (𝑍 Β· π‘Œ)))
511, 2, 36ringlidm 20079 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
5215, 6, 51syl2anc 584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
5348, 50, 523eqtr3d 2780 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· (𝑍 Β· π‘Œ)) = π‘Œ)
5453adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑍 Β· 𝑋) = (𝑍 Β· π‘Œ)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· (𝑍 Β· π‘Œ)) = π‘Œ)
5525, 47, 543eqtr3d 2780 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑍 Β· 𝑋) = (𝑍 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
5610pltne 18283 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))
5756imp 407 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
584, 5, 6, 9, 57syl31anc 1373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
5958adantr 481 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑍 Β· 𝑋) = (𝑍 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
6059neneqd 2945 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑍 Β· 𝑋) = (𝑍 Β· π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑋 = π‘Œ)
6155, 60pm2.65da 815 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑍 Β· 𝑋) = (𝑍 Β· π‘Œ))
6261neqned 2947 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· 𝑋) β‰  (𝑍 Β· π‘Œ))
631, 2ringcl 20066 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
6415, 7, 5, 63syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
651, 2ringcl 20066 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
6615, 7, 6, 65syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
678, 10pltval 18281 . . 3 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑍 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) < (𝑍 Β· π‘Œ) ↔ ((𝑍 Β· 𝑋)(leβ€˜π‘…)(𝑍 Β· π‘Œ) ∧ (𝑍 Β· 𝑋) β‰  (𝑍 Β· π‘Œ))))
684, 64, 66, 67syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) < (𝑍 Β· π‘Œ) ↔ ((𝑍 Β· 𝑋)(leβ€˜π‘…)(𝑍 Β· π‘Œ) ∧ (𝑍 Β· 𝑋) β‰  (𝑍 Β· π‘Œ))))
6923, 62, 68mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· 𝑋) < (𝑍 Β· π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  lecple 17200  0gc0g 17381  ltcplt 18257  Grpcgrp 18815  1rcur 19998  Ringcrg 20049  Unitcui 20161  invrcinvr 20193  DivRingcdr 20307  oRingcorng 32401
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-plt 18279  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-omnd 32204  df-ogrp 32205  df-orng 32403
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator