Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ornglmullt Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem ornglmullt 33068
Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change strict comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
ornglmullt.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
ornglmullt.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
ornglmullt.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
ornglmullt.1 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
ornglmullt.3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
ornglmullt.4 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
ornglmullt.l < = (ltβ€˜π‘…)
ornglmullt.d (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
ornglmullt.5 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
ornglmullt.6 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑍)
Assertion
Ref Expression
ornglmullt (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· 𝑋) < (𝑍 Β· π‘Œ))
Proof of Theorem ornglmullt
StepHypRef Expression
1 ornglmullt.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2 ornglmullt.t . . 3 Β· = (.rβ€˜π‘…)
3 ornglmullt.0 . . 3 0 = (0gβ€˜π‘…)
4 ornglmullt.1 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ oRing)
5 ornglmullt.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6 ornglmullt.3 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
7 ornglmullt.4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
8 eqid 2725 . . 3 (leβ€˜π‘…) = (leβ€˜π‘…)
9 ornglmullt.5 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 < π‘Œ)
10 ornglmullt.l . . . . . 6 < = (ltβ€˜π‘…)
118, 10pltle 18322 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋(leβ€˜π‘…)π‘Œ))
1211imp 405 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋(leβ€˜π‘…)π‘Œ)
134, 5, 6, 9, 12syl31anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋(leβ€˜π‘…)π‘Œ)
14 orngring 33061 . . . . . 6 (𝑅 ∈ oRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
154, 14syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
16 ringgrp 20180 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
171, 3grpidcl 18924 . . . . 5 (𝑅 ∈ Grp β†’ 0 ∈ 𝐡)
1815, 16, 173syl 18 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝐡)
19 ornglmullt.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 < 𝑍)
208, 10pltle 18322 . . . . 5 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑍 β†’ 0 (leβ€˜π‘…)𝑍))
2120imp 405 . . . 4 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 0 < 𝑍) β†’ 0 (leβ€˜π‘…)𝑍)
224, 18, 7, 19, 21syl31anc 1370 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 (leβ€˜π‘…)𝑍)
231, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 22ornglmulle 33066 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· 𝑋)(leβ€˜π‘…)(𝑍 Β· π‘Œ))
24 simpr 483 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ (𝑍 Β· 𝑋) = (𝑍 Β· π‘Œ)) β†’ (𝑍 Β· 𝑋) = (𝑍 Β· π‘Œ))
2524oveq2d 7431 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑍 Β· 𝑋) = (𝑍 Β· π‘Œ)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· (𝑍 Β· 𝑋)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· (𝑍 Β· π‘Œ)))
26 ornglmullt.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
2710pltne 18323 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) β†’ ( 0 < 𝑍 β†’ 0 β‰  𝑍))
2827imp 405 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡) ∧ 0 < 𝑍) β†’ 0 β‰  𝑍)
294, 18, 7, 19, 28syl31anc 1370 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 0 β‰  𝑍)
3029necomd 2986 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑍 β‰  0 )
31 eqid 2725 . . . . . . . . . . . 12 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
321, 31, 3drngunit 20631 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 β‰  0 )))
3332biimpar 476 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 β‰  0 )) β†’ 𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
3426, 7, 30, 33syl12anc 835 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…))
35 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
36 eqid 2725 . . . . . . . . . 10 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
3731, 35, 2, 36unitlinv 20334 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· 𝑍) = (1rβ€˜π‘…))
3815, 34, 37syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· 𝑍) = (1rβ€˜π‘…))
3938oveq1d 7430 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· 𝑍) Β· 𝑋) = ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋))
4031, 35, 1ringinvcl 20333 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
4115, 34, 40syl2anc 582 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡)
421, 2ringass 20195 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· 𝑍) Β· 𝑋) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· (𝑍 Β· 𝑋)))
4315, 41, 7, 5, 42syl13anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· 𝑍) Β· 𝑋) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· (𝑍 Β· 𝑋)))
441, 2, 36ringlidm 20207 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋) = 𝑋)
4515, 5, 44syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋) = 𝑋)
4639, 43, 453eqtr3d 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· (𝑍 Β· 𝑋)) = 𝑋)
4746adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑍 Β· 𝑋) = (𝑍 Β· π‘Œ)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· (𝑍 Β· 𝑋)) = 𝑋)
4838oveq1d 7430 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· 𝑍) Β· π‘Œ) = ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ))
491, 2ringass 20195 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· 𝑍) Β· π‘Œ) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· (𝑍 Β· π‘Œ)))
5015, 41, 7, 6, 49syl13anc 1369 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· 𝑍) Β· π‘Œ) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· (𝑍 Β· π‘Œ)))
511, 2, 36ringlidm 20207 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
5215, 6, 51syl2anc 582 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
5348, 50, 523eqtr3d 2773 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· (𝑍 Β· π‘Œ)) = π‘Œ)
5453adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑍 Β· 𝑋) = (𝑍 Β· π‘Œ)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘) Β· (𝑍 Β· π‘Œ)) = π‘Œ)
5525, 47, 543eqtr3d 2773 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑍 Β· 𝑋) = (𝑍 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
5610pltne 18323 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 < π‘Œ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ))
5756imp 405 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑋 < π‘Œ) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
584, 5, 6, 9, 57syl31anc 1370 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
5958adantr 479 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ (𝑍 Β· 𝑋) = (𝑍 Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 β‰  π‘Œ)
6059neneqd 2935 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (𝑍 Β· 𝑋) = (𝑍 Β· π‘Œ)) β†’ Β¬ 𝑋 = π‘Œ)
6155, 60pm2.65da 815 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (𝑍 Β· 𝑋) = (𝑍 Β· π‘Œ))
6261neqned 2937 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· 𝑋) β‰  (𝑍 Β· π‘Œ))
631, 2ringcl 20192 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
6415, 7, 5, 63syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· 𝑋) ∈ 𝐡)
651, 2ringcl 20192 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑍 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
6615, 7, 6, 65syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡)
678, 10pltval 18321 . . 3 ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑍 Β· 𝑋) ∈ 𝐡 ∧ (𝑍 Β· π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) < (𝑍 Β· π‘Œ) ↔ ((𝑍 Β· 𝑋)(leβ€˜π‘…)(𝑍 Β· π‘Œ) ∧ (𝑍 Β· 𝑋) β‰  (𝑍 Β· π‘Œ))))
684, 64, 66, 67syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑍 Β· 𝑋) < (𝑍 Β· π‘Œ) ↔ ((𝑍 Β· 𝑋)(leβ€˜π‘…)(𝑍 Β· π‘Œ) ∧ (𝑍 Β· 𝑋) β‰  (𝑍 Β· π‘Œ))))
6923, 62, 68mpbir2and 711 1 (πœ‘ β†’ (𝑍 Β· 𝑋) < (𝑍 Β· π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Basecbs 17177  .rcmulr 17231  lecple 17237  0gc0g 17418  ltcplt 18297  Grpcgrp 18892  1rcur 20123  Ringcrg 20175  Unitcui 20296  invrcinvr 20328  DivRingcdr 20626  oRingcorng 33056
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-tpos 8228  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-er 8721  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-sets 17130  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-ress 17207  df-plusg 17243  df-mulr 17244  df-0g 17420  df-plt 18319  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-grp 18895  df-minusg 18896  df-sbg 18897  df-cmn 19739  df-abl 19740  df-mgp 20077  df-rng 20095  df-ur 20124  df-ring 20177  df-oppr 20275  df-dvdsr 20298  df-unit 20299  df-invr 20329  df-drng 20628  df-omnd 32822  df-ogrp 32823  df-orng 33058
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator