Theorem ornglmullt 31408

Description: In an ordered ring, multiplication with a positive does not change strict comparison. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Apr-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
ornglmullt.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
ornglmullt.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
ornglmullt.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ornglmullt.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
ornglmullt.2	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
ornglmullt.3	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
ornglmullt.4	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
ornglmullt.l	⊢ < = (lt‘𝑅)
ornglmullt.d	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
ornglmullt.5	⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
ornglmullt.6	⊢ (𝜑 → 0 < 𝑍)

Assertion

Ref	Expression
ornglmullt	⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) < (𝑍 · 𝑌))

Proof of Theorem ornglmullt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ornglmullt.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		ornglmullt.t	. . 3 ⊢ · = (.r‘𝑅)
3		ornglmullt.0	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4		ornglmullt.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ oRing)
5		ornglmullt.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
6		ornglmullt.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
7		ornglmullt.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
8		eqid 2738	. . 3 ⊢ (le‘𝑅) = (le‘𝑅)
9		ornglmullt.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 < 𝑌)
10		ornglmullt.l	. . . . . 6 ⊢ < = (lt‘𝑅)
11	8, 10	pltle 17966	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋(le‘𝑅)𝑌))
12	11	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋(le‘𝑅)𝑌)
13	4, 5, 6, 9, 12	syl31anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋(le‘𝑅)𝑌)
14		orngring 31401	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ oRing → 𝑅 ∈ Ring)
15	4, 14	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
16		ringgrp 19703	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
17	1, 3	grpidcl 18522	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
18	15, 16, 17	3syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
19		ornglmullt.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 < 𝑍)
20	8, 10	pltle 17966	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑍 → 0 (le‘𝑅)𝑍))
21	20	imp 406	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑍) → 0 (le‘𝑅)𝑍)
22	4, 18, 7, 19, 21	syl31anc 1371	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 (le‘𝑅)𝑍)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 13, 22	ornglmulle 31406	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋)(le‘𝑅)(𝑍 · 𝑌))
24		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌))
25	24	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
26		ornglmullt.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ DivRing)
27	10	pltne 17967	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) → ( 0 < 𝑍 → 0 ≠ 𝑍))
28	27	imp 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 0 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵) ∧ 0 < 𝑍) → 0 ≠ 𝑍)
29	4, 18, 7, 19, 28	syl31anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 0 ≠ 𝑍)
30	29	necomd 2998	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ≠ 0 )
31		eqid 2738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
32	1, 31, 3	drngunit 19911	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑍 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ≠ 0 )))
33	32	biimpar 477	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ≠ 0 )) → 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅))
34	26, 7, 30, 33	syl12anc 833	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅))
35		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
36		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
37	31, 35, 2, 36	unitlinv 19834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅)) → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) = (1r‘𝑅))
38	15, 34, 37	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) = (1r‘𝑅))
39	38	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑋))
40	31, 35, 1	ringinvcl 19833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ (Unit‘𝑅)) → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
41	15, 34, 40	syl2anc 583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵)
42	1, 2	ringass 19718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)))
43	15, 41, 7, 5, 42	syl13anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)))
44	1, 2, 36	ringlidm 19725	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
45	15, 5, 44	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
46	39, 43, 45	3eqtr3d 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = 𝑋)
47	46	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑋)) = 𝑋)
48	38	oveq1d 7270	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
49	1, 2	ringass 19718	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (((invr‘𝑅)‘𝑍) ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
50	15, 41, 7, 6, 49	syl13anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((invr‘𝑅)‘𝑍) · 𝑍) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)))
51	1, 2, 36	ringlidm 19725	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
52	15, 6, 51	syl2anc 583	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
53	48, 50, 52	3eqtr3d 2786	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)) = 𝑌)
54	53	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘𝑍) · (𝑍 · 𝑌)) = 𝑌)
55	25, 47, 54	3eqtr3d 2786	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
56	10	pltne 17967	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 < 𝑌 → 𝑋 ≠ 𝑌))
57	56	imp 406	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ oRing ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝑋 < 𝑌) → 𝑋 ≠ 𝑌)
58	4, 5, 6, 9, 57	syl31anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑌)
59	58	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → 𝑋 ≠ 𝑌)
60	59	neneqd 2947	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌)) → ¬ 𝑋 = 𝑌)
61	55, 60	pm2.65da 813	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑍 · 𝑋) = (𝑍 · 𝑌))
62	61	neqned 2949	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ≠ (𝑍 · 𝑌))
63	1, 2	ringcl 19715	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
64	15, 7, 5, 63	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵)
65	1, 2	ringcl 19715	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑍 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
66	15, 7, 6, 65	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵)
67	8, 10	pltval 17965	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ oRing ∧ (𝑍 · 𝑋) ∈ 𝐵 ∧ (𝑍 · 𝑌) ∈ 𝐵) → ((𝑍 · 𝑋) < (𝑍 · 𝑌) ↔ ((𝑍 · 𝑋)(le‘𝑅)(𝑍 · 𝑌) ∧ (𝑍 · 𝑋) ≠ (𝑍 · 𝑌))))
68	4, 64, 66, 67	syl3anc 1369	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑍 · 𝑋) < (𝑍 · 𝑌) ↔ ((𝑍 · 𝑋)(le‘𝑅)(𝑍 · 𝑌) ∧ (𝑍 · 𝑋) ≠ (𝑍 · 𝑌))))
69	23, 62, 68	mpbir2and 709	1 ⊢ (𝜑 → (𝑍 · 𝑋) < (𝑍 · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  ._rcmulr 16889  lecple 16895  0_gc0g 17067  ltcplt 17941  Grpcgrp 18492  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  Unitcui 19796  inv_rcinvr 19828  DivRingcdr 19906  oRingcorng 31396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-0g 17069  df-plt 17963  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-drng 19908  df-omnd 31227  df-ogrp 31228  df-orng 31398

This theorem is referenced by: (None)