MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  drngunz Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem drngunz 20156
Description: A division ring's unity is different from its zero. (Contributed by NM, 8-Sep-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
drngunz.z 0 = (0g𝑅)
drngunz.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
drngunz (𝑅 ∈ DivRing → 10 )

Proof of Theorem drngunz
StepHypRef Expression
1 drngring 20145 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2 eqid 2738 . . . . 5 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3 drngunz.u . . . . 5 1 = (1r𝑅)
42, 31unit 20040 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Unit‘𝑅))
51, 4syl 17 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → 1 ∈ (Unit‘𝑅))
6 eqid 2738 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7 drngunz.z . . . 4 0 = (0g𝑅)
86, 2, 7drngunit 20143 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → ( 1 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 10 )))
95, 8mpbid 231 . 2 (𝑅 ∈ DivRing → ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 10 ))
109simprd 497 1 (𝑅 ∈ DivRing → 10 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2942  cfv 6494  Basecbs 17043  0gc0g 17281  1rcur 19872  Ringcrg 19918  Unitcui 20021  DivRingcdr 20138
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7665  ax-cnex 11066  ax-resscn 11067  ax-1cn 11068  ax-icn 11069  ax-addcl 11070  ax-addrcl 11071  ax-mulcl 11072  ax-mulrcl 11073  ax-mulcom 11074  ax-addass 11075  ax-mulass 11076  ax-distr 11077  ax-i2m1 11078  ax-1ne0 11079  ax-1rid 11080  ax-rnegex 11081  ax-rrecex 11082  ax-cnre 11083  ax-pre-lttri 11084  ax-pre-lttrn 11085  ax-pre-ltadd 11086  ax-pre-mulgt0 11087
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6252  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7796  df-2nd 7915  df-tpos 8150  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8310  df-rdg 8349  df-er 8607  df-en 8843  df-dom 8844  df-sdom 8845  df-pnf 11150  df-mnf 11151  df-xr 11152  df-ltxr 11153  df-le 11154  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12113  df-2 12175  df-3 12176  df-sets 16996  df-slot 17014  df-ndx 17026  df-base 17044  df-plusg 17106  df-mulr 17107  df-0g 17283  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-grp 18711  df-mgp 19856  df-ur 19873  df-ring 19920  df-oppr 20002  df-dvdsr 20023  df-unit 20024  df-drng 20140
This theorem is referenced by:  abv1  20245  lspsneq  20536  islbs2  20568  islbs3  20569  drngnzr  20685  obsne0  21084  cphsubrglem  24493  ofldlt1  31932  0nellinds  31983  rgmoddim  32121  drngdimgt0  32129  lkrshp  37499  lcfl7lem  39894  fldhmf1  40479
  Copyright terms: Public domain W3C validator