Theorem drngunz 20793

Description: A division ring's unity is different from its zero. (Contributed by NM, 8-Sep-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
drngunz.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
drngunz.u	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
drngunz	⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 ≠ 0 )

Proof of Theorem drngunz

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20782	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
3		drngunz.u	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
4	2, 3	1unit 20419	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 1 ∈ (Unit‘𝑅))
5	1, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 ∈ (Unit‘𝑅))
6		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
7		drngunz.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8	6, 2, 7	drngunit 20780	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ( 1 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ≠ 0 )))
9	5, 8	mpbid 234	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ( 1 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 1 ≠ 0 ))
10	9	simprd 499	1 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 1 ≠ 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  ‘cfv 6521  Basecbs 17245  0_gc0g 17468  1_rcur 20227  Ringcrg 20279  Unitcui 20400  DivRingcdr 20775

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20228  df-ring 20281  df-oppr 20382  df-dvdsr 20402  df-unit 20403  df-drng 20777

This theorem is referenced by:  drngnzr  20794  abv1  20871  ofldlt1  20921  lspsneq  21189  islbs2  21221  islbs3  21222  obsne0  21774  cphsubrglem  25236  0nellinds  33553  rlmdim  33904  drngdimgt0  33912  lkrshp  39726  lcfl7lem  42120  fldhmf1  42704  aks6d1c5lem2  42752  ricdrng1  43143