Theorem sdrgunit 20404

Description: A unit of a sub-division-ring is a nonzero element of the subring. (Contributed by SN, 19-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdrgunit.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
sdrgunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
sdrgunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sdrgunit	⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 )))

Proof of Theorem sdrgunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdrgunit.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	sdrgdrng 20398	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ DivRing)
3		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		sdrgunit.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)
5		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
6	3, 4, 5	drngunit 20312	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆))))
7	2, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆))))
8	1	sdrgbas 20402	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
9	8	eleq2d 2819	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝑆)))
10		sdrgsubrg 20399	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
11		sdrgunit.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	1, 11	subrg0 20362	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 0 = (0g‘𝑆))
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 0 = (0g‘𝑆))
14	13	neeq2d 3001	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑋 ≠ 0 ↔ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)))
15	9, 14	anbi12d 631	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆))))
16	7, 15	bitr4d 281	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  0_gc0g 17381  Unitcui 20161  DivRingcdr 20307  SubRingcsubrg 20351  SubDRingcsdrg 20394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-subg 18997  df-ring 20051  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-sdrg 20395

This theorem is referenced by:  imadrhmcl  20405