Theorem sdrgunit 20683

Description: A unit of a sub-division-ring is a nonzero element of the subring. (Contributed by SN, 19-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdrgunit.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
sdrgunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
sdrgunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sdrgunit	⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 )))

Proof of Theorem sdrgunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdrgunit.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	sdrgdrng 20677	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ DivRing)
3		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		sdrgunit.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)
5		eqid 2728	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
6	3, 4, 5	drngunit 20628	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆))))
7	2, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆))))
8	1	sdrgbas 20681	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
9	8	eleq2d 2815	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝑆)))
10		sdrgsubrg 20678	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
11		sdrgunit.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	1, 11	subrg0 20517	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 0 = (0g‘𝑆))
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 0 = (0g‘𝑆))
14	13	neeq2d 2998	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑋 ≠ 0 ↔ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)))
15	9, 14	anbi12d 631	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆))))
16	7, 15	bitr4d 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2937  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420  Basecbs 17179   ↾_s cress 17208  0_gc0g 17420  Unitcui 20293  SubRingcsubrg 20505  DivRingcdr 20623  SubDRingcsdrg 20673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-2nd 7994  df-frecs 8286  df-wrecs 8317  df-recs 8391  df-rdg 8430  df-er 8724  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18892  df-subg 19077  df-ring 20174  df-subrg 20507  df-drng 20625  df-sdrg 20674

This theorem is referenced by:  imadrhmcl  20684