Theorem sdrgunit 20647

Description: A unit of a sub-division-ring is a nonzero element of the subring. (Contributed by SN, 19-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdrgunit.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
sdrgunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
sdrgunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sdrgunit	⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 )))

Proof of Theorem sdrgunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdrgunit.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	sdrgdrng 20641	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ DivRing)
3		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		sdrgunit.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)
5		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
6	3, 4, 5	drngunit 20592	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆))))
7	2, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆))))
8	1	sdrgbas 20645	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
9	8	eleq2d 2813	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝑆)))
10		sdrgsubrg 20642	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
11		sdrgunit.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	1, 11	subrg0 20481	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 0 = (0g‘𝑆))
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 0 = (0g‘𝑆))
14	13	neeq2d 2995	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑋 ≠ 0 ↔ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)))
15	9, 14	anbi12d 630	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆))))
16	7, 15	bitr4d 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2934  ‘cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153   ↾_s cress 17182  0_gc0g 17394  Unitcui 20257  SubRingcsubrg 20469  DivRingcdr 20587  SubDRingcsdrg 20637

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-subg 19050  df-ring 20140  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-sdrg 20638

This theorem is referenced by:  imadrhmcl  20648