Theorem sdrgunit 20754

Description: A unit of a sub-division-ring is a nonzero element of the subring. (Contributed by SN, 19-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
sdrgunit.s	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
sdrgunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
sdrgunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)

Assertion

Ref	Expression
sdrgunit	⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 )))

Proof of Theorem sdrgunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sdrgunit.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
2	1	sdrgdrng 20748	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ DivRing)
3		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
4		sdrgunit.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑆)
5		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑆) = (0g‘𝑆)
6	3, 4, 5	drngunit 20692	. . 3 ⊢ (𝑆 ∈ DivRing → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆))))
7	2, 6	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆))))
8	1	sdrgbas 20752	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
9	8	eleq2d 2820	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑋 ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘𝑆)))
10		sdrgsubrg 20749	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅))
11		sdrgunit.0	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
12	1, 11	subrg0 20537	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 0 = (0g‘𝑆))
13	10, 12	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → 0 = (0g‘𝑆))
14	13	neeq2d 2992	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑋 ≠ 0 ↔ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆)))
15	9, 14	anbi12d 632	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → ((𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘𝑆) ∧ 𝑋 ≠ (0g‘𝑆))))
16	7, 15	bitr4d 282	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubDRing‘𝑅) → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ≠ 0 )))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403  Basecbs 17226   ↾_s cress 17249  0_gc0g 17451  Unitcui 20313  SubRingcsubrg 20527  DivRingcdr 20687  SubDRingcsdrg 20744

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-nn 12239  df-2 12301  df-sets 17181  df-slot 17199  df-ndx 17211  df-base 17227  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-0g 17453  df-mgm 18616  df-sgrp 18695  df-mnd 18711  df-grp 18917  df-subg 19104  df-ring 20193  df-subrg 20528  df-drng 20689  df-sdrg 20745

This theorem is referenced by:  imadrhmcl  20755