MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvdiv 19531
Description: The absolute value distributes under division. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvrec.z 0 = (0g𝑅)
abvdiv.p / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvdiv (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = ((𝐹𝑋) / (𝐹𝑌)))

Proof of Theorem abvdiv
StepHypRef Expression
1 simplr 765 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝐹𝐴)
2 simpr1 1188 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑋𝐵)
3 simpll 763 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
4 simpr2 1189 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑌𝐵)
5 simpr3 1190 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑌0 )
6 abvneg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 abvrec.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
8 eqid 2825 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
96, 7, 8drnginvrcl 19442 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑌𝐵𝑌0 ) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
103, 4, 5, 9syl3anc 1365 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11 abv0.a . . . . 5 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
12 eqid 2825 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1311, 6, 12abvmul 19523 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹𝑋) · (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑌))))
141, 2, 10, 13syl3anc 1365 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹𝑋) · (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑌))))
1511, 6, 7, 8abvrec 19530 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑌)) = (1 / (𝐹𝑌)))
16153adantr1 1163 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑌)) = (1 / (𝐹𝑌)))
1716oveq2d 7167 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → ((𝐹𝑋) · (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹𝑋) · (1 / (𝐹𝑌))))
1814, 17eqtrd 2860 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹𝑋) · (1 / (𝐹𝑌))))
19 eqid 2825 . . . . . . 7 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
206, 19, 7drngunit 19430 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑌 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌𝐵𝑌0 )))
213, 20syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝑌 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌𝐵𝑌0 )))
224, 5, 21mpbir2and 709 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅))
23 abvdiv.p . . . . 5 / = (/r𝑅)
246, 12, 19, 8, 23dvrval 19358 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)))
252, 22, 24syl2anc 584 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)))
2625fveq2d 6670 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌))))
2711, 6abvcl 19518 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
281, 2, 27syl2anc 584 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
2928recnd 10661 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
3011, 6abvcl 19518 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑌𝐵) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ)
311, 4, 30syl2anc 584 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ)
3231recnd 10661 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑌) ∈ ℂ)
3311, 6, 7abvne0 19521 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑌𝐵𝑌0 ) → (𝐹𝑌) ≠ 0)
341, 4, 5, 33syl3anc 1365 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑌) ≠ 0)
3529, 32, 34divrecd 11411 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → ((𝐹𝑋) / (𝐹𝑌)) = ((𝐹𝑋) · (1 / (𝐹𝑌))))
3618, 26, 353eqtr4d 2870 1 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = ((𝐹𝑋) / (𝐹𝑌)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020  cfv 6351  (class class class)co 7151  cr 10528  0cc0 10529  1c1 10530   · cmul 10534   / cdiv 11289  Basecbs 16476  .rcmulr 16559  0gc0g 16706  Unitcui 19312  invrcinvr 19344  /rcdvr 19355  DivRingcdr 19425  AbsValcabv 19510
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-rep 5186  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4837  df-iun 4918  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-tr 5169  df-id 5458  df-eprel 5463  df-po 5472  df-so 5473  df-fr 5512  df-we 5514  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-pred 6145  df-ord 6191  df-on 6192  df-lim 6193  df-suc 6194  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7572  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-er 8282  df-map 8401  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-div 11290  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-ico 12737  df-ndx 16479  df-slot 16480  df-base 16482  df-sets 16483  df-ress 16484  df-plusg 16571  df-mulr 16572  df-0g 16708  df-mgm 17845  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18039  df-minusg 18040  df-mgp 19163  df-ur 19175  df-ring 19222  df-oppr 19296  df-dvdsr 19314  df-unit 19315  df-invr 19345  df-dvr 19356  df-drng 19427  df-abv 19511
This theorem is referenced by:  ostthlem1  26120
  Copyright terms: Public domain W3C validator