Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem abvdiv 19676
 Description: The absolute value distributes under division. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvrec.z 0 = (0g𝑅)
abvdiv.p / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
abvdiv (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = ((𝐹𝑋) / (𝐹𝑌)))

Proof of Theorem abvdiv
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝐹𝐴)
2 simpr1 1191 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑋𝐵)
3 simpll 766 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
4 simpr2 1192 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑌𝐵)
5 simpr3 1193 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑌0 )
6 abvneg.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
7 abvrec.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
8 eqid 2758 . . . . . 6 (invr𝑅) = (invr𝑅)
96, 7, 8drnginvrcl 19587 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑌𝐵𝑌0 ) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
103, 4, 5, 9syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11 abv0.a . . . . 5 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
12 eqid 2758 . . . . 5 (.r𝑅) = (.r𝑅)
1311, 6, 12abvmul 19668 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑋𝐵 ∧ ((invr𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹𝑋) · (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑌))))
141, 2, 10, 13syl3anc 1368 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹𝑋) · (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑌))))
1511, 6, 7, 8abvrec 19675 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑌)) = (1 / (𝐹𝑌)))
16153adantr1 1166 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑌)) = (1 / (𝐹𝑌)))
1716oveq2d 7166 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → ((𝐹𝑋) · (𝐹‘((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹𝑋) · (1 / (𝐹𝑌))))
1814, 17eqtrd 2793 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹𝑋) · (1 / (𝐹𝑌))))
19 eqid 2758 . . . . . . 7 (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
206, 19, 7drngunit 19575 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing → (𝑌 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌𝐵𝑌0 )))
213, 20syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝑌 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌𝐵𝑌0 )))
224, 5, 21mpbir2and 712 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅))
23 abvdiv.p . . . . 5 / = (/r𝑅)
246, 12, 19, 8, 23dvrval 19506 . . . 4 ((𝑋𝐵𝑌 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)))
252, 22, 24syl2anc 587 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌)))
2625fveq2d 6662 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋(.r𝑅)((invr𝑅)‘𝑌))))
2711, 6abvcl 19663 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑋𝐵) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
281, 2, 27syl2anc 587 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑋) ∈ ℝ)
2928recnd 10707 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑋) ∈ ℂ)
3011, 6abvcl 19663 . . . . 5 ((𝐹𝐴𝑌𝐵) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ)
311, 4, 30syl2anc 587 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑌) ∈ ℝ)
3231recnd 10707 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑌) ∈ ℂ)
3311, 6, 7abvne0 19666 . . . 4 ((𝐹𝐴𝑌𝐵𝑌0 ) → (𝐹𝑌) ≠ 0)
341, 4, 5, 33syl3anc 1368 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹𝑌) ≠ 0)
3529, 32, 34divrecd 11457 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → ((𝐹𝑋) / (𝐹𝑌)) = ((𝐹𝑋) · (1 / (𝐹𝑌))))
3618, 26, 353eqtr4d 2803 1 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹𝐴) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑌0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = ((𝐹𝑋) / (𝐹𝑌)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951  ‘cfv 6335  (class class class)co 7150  ℝcr 10574  0cc0 10575  1c1 10576   · cmul 10580   / cdiv 11335  Basecbs 16541  .rcmulr 16624  0gc0g 16771  Unitcui 19460  invrcinvr 19492  /rcdvr 19503  DivRingcdr 19570  AbsValcabv 19655 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5156  ax-sep 5169  ax-nul 5176  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7459  ax-cnex 10631  ax-resscn 10632  ax-1cn 10633  ax-icn 10634  ax-addcl 10635  ax-addrcl 10636  ax-mulcl 10637  ax-mulrcl 10638  ax-mulcom 10639  ax-addass 10640  ax-mulass 10641  ax-distr 10642  ax-i2m1 10643  ax-1ne0 10644  ax-1rid 10645  ax-rnegex 10646  ax-rrecex 10647  ax-cnre 10648  ax-pre-lttri 10649  ax-pre-lttrn 10650  ax-pre-ltadd 10651  ax-pre-mulgt0 10652 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3697  df-csb 3806  df-dif 3861  df-un 3863  df-in 3865  df-ss 3875  df-pss 3877  df-nul 4226  df-if 4421  df-pw 4496  df-sn 4523  df-pr 4525  df-tp 4527  df-op 4529  df-uni 4799  df-iun 4885  df-br 5033  df-opab 5095  df-mpt 5113  df-tr 5139  df-id 5430  df-eprel 5435  df-po 5443  df-so 5444  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5530  df-rel 5531  df-cnv 5532  df-co 5533  df-dm 5534  df-rn 5535  df-res 5536  df-ima 5537  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6294  df-fun 6337  df-fn 6338  df-f 6339  df-f1 6340  df-fo 6341  df-f1o 6342  df-fv 6343  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7580  df-1st 7693  df-2nd 7694  df-tpos 7902  df-wrecs 7957  df-recs 8018  df-rdg 8056  df-er 8299  df-map 8418  df-en 8528  df-dom 8529  df-sdom 8530  df-pnf 10715  df-mnf 10716  df-xr 10717  df-ltxr 10718  df-le 10719  df-sub 10910  df-neg 10911  df-div 11336  df-nn 11675  df-2 11737  df-3 11738  df-ico 12785  df-ndx 16544  df-slot 16545  df-base 16547  df-sets 16548  df-ress 16549  df-plusg 16636  df-mulr 16637  df-0g 16773  df-mgm 17918  df-sgrp 17967  df-mnd 17978  df-grp 18172  df-minusg 18173  df-mgp 19308  df-ur 19320  df-ring 19367  df-oppr 19444  df-dvdsr 19462  df-unit 19463  df-invr 19493  df-dvr 19504  df-drng 19572  df-abv 19656 This theorem is referenced by:  ostthlem1  26310
 Copyright terms: Public domain W3C validator