Theorem abvdiv 20996

Description: The absolute value distributes under division. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvrec.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
abvdiv.p	⊢ / = (/r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvdiv	⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) / (𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem abvdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 781	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝐹 ∈ 𝐴)
2		simpr1 1213	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpll 779	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
4		simpr2 1214	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑌 ≠ 0 )
6		abvneg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		abvrec.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
9	6, 7, 8	drnginvrcl 20921	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	3, 4, 5, 9	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11		abv0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
12		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13	11, 6, 12	abvmul 20988	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑌))))
14	1, 2, 10, 13	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑌))))
15	11, 6, 7, 8	abvrec 20995	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (1 / (𝐹‘𝑌)))
16	15	3adantr1 1188	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (1 / (𝐹‘𝑌)))
17	16	oveq2d 7430	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹‘𝑋) · (1 / (𝐹‘𝑌))))
18	14, 17	eqtrd 2795	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹‘𝑋) · (1 / (𝐹‘𝑌))))
19		eqid 2760	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
20	6, 19, 7	drngunit 20896	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑌 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )))
21	3, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝑌 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )))
22	4, 5, 21	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅))
23		abvdiv.p	. . . . 5 ⊢ / = (/r‘𝑅)
24	6, 12, 19, 8, 23	dvrval 20545	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)))
25	2, 22, 24	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)))
26	25	fveq2d 6883	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌))))
27	11, 6	abvcl 20983	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
28	1, 2, 27	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11262	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
30	11, 6	abvcl 20983	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℝ)
31	1, 4, 30	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11262	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℂ)
33	11, 6, 7	abvne0 20986	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (𝐹‘𝑌) ≠ 0)
34	1, 4, 5, 33	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑌) ≠ 0)
35	29, 32, 34	divrecd 12019	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → ((𝐹‘𝑋) / (𝐹‘𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) · (1 / (𝐹‘𝑌))))
36	18, 26, 35	3eqtr4d 2805	1 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) / (𝐹‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955  ‘cfv 6533  (class class class)co 7414  ℝcr 11124  0cc0 11125  1c1 11126   · cmul 11130   / cdiv 11896  Basecbs 17302  ._rcmulr 17344  0_gc0g 17525  Unitcui 20497  inv_rcinvr 20529  /_rcdvr 20542  DivRingcdr 20891  AbsValcabv 20975

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-cnex 11181  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201  ax-pre-mulgt0 11202

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8361  df-rdg 8400  df-er 8697  df-map 8829  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-xr 11272  df-ltxr 11273  df-le 11274  df-sub 11468  df-neg 11469  df-div 11897  df-nn 12259  df-2 12328  df-3 12329  df-ico 13405  df-sets 17257  df-slot 17275  df-ndx 17287  df-base 17303  df-ress 17324  df-plusg 17356  df-mulr 17357  df-0g 17527  df-mgm 18731  df-sgrp 18822  df-mnd 18838  df-grp 19061  df-minusg 19062  df-cmn 19910  df-abl 19911  df-mgp 20275  df-rng 20289  df-ur 20322  df-ring 20375  df-oppr 20479  df-dvdsr 20499  df-unit 20500  df-invr 20530  df-dvr 20543  df-drng 20893  df-abv 20976

This theorem is used by:  ostthlem1  27864