Theorem abvdiv 20910

Description: The absolute value distributes under division. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvrec.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
abvdiv.p	⊢ / = (/r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvdiv	⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) / (𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem abvdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 780	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝐹 ∈ 𝐴)
2		simpr1 1211	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpll 778	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
4		simpr2 1212	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		simpr3 1213	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑌 ≠ 0 )
6		abvneg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		abvrec.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
9	6, 7, 8	drnginvrcl 20836	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	3, 4, 5, 9	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11		abv0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
12		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13	11, 6, 12	abvmul 20902	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑌))))
14	1, 2, 10, 13	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑌))))
15	11, 6, 7, 8	abvrec 20909	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (1 / (𝐹‘𝑌)))
16	15	3adantr1 1186	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (1 / (𝐹‘𝑌)))
17	16	oveq2d 7427	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹‘𝑋) · (1 / (𝐹‘𝑌))))
18	14, 17	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹‘𝑋) · (1 / (𝐹‘𝑌))))
19		eqid 2769	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
20	6, 19, 7	drngunit 20818	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑌 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )))
21	3, 20	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝑌 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )))
22	4, 5, 21	mpbir2and 725	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅))
23		abvdiv.p	. . . . 5 ⊢ / = (/r‘𝑅)
24	6, 12, 19, 8, 23	dvrval 20485	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)))
25	2, 22, 24	syl2anc 595	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)))
26	25	fveq2d 6886	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌))))
27	11, 6	abvcl 20897	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
28	1, 2, 27	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11237	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
30	11, 6	abvcl 20897	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℝ)
31	1, 4, 30	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11237	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℂ)
33	11, 6, 7	abvne0 20900	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (𝐹‘𝑌) ≠ 0)
34	1, 4, 5, 33	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑌) ≠ 0)
35	29, 32, 34	divrecd 11994	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → ((𝐹‘𝑋) / (𝐹‘𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) · (1 / (𝐹‘𝑌))))
36	18, 26, 35	3eqtr4d 2814	1 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) / (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  ℝcr 11099  0cc0 11100  1c1 11101   · cmul 11105   / cdiv 11871  Basecbs 17269  ._rcmulr 17311  0_gc0g 17492  Unitcui 20437  inv_rcinvr 20469  /_rcdvr 20482  DivRingcdr 20813  AbsValcabv 20889

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5242  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-cnex 11156  ax-resscn 11157  ax-1cn 11158  ax-icn 11159  ax-addcl 11160  ax-addrcl 11161  ax-mulcl 11162  ax-mulrcl 11163  ax-mulcom 11164  ax-addass 11165  ax-mulass 11166  ax-distr 11167  ax-i2m1 11168  ax-1ne0 11169  ax-1rid 11170  ax-rnegex 11171  ax-rrecex 11172  ax-cnre 11173  ax-pre-lttri 11174  ax-pre-lttrn 11175  ax-pre-ltadd 11176  ax-pre-mulgt0 11177

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-tr 5223  df-id 5557  df-eprel 5562  df-po 5570  df-so 5571  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7863  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-tpos 8222  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8358  df-rdg 8397  df-er 8694  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11245  df-mnf 11246  df-xr 11247  df-ltxr 11248  df-le 11249  df-sub 11443  df-neg 11444  df-div 11872  df-nn 12234  df-2 12303  df-3 12304  df-ico 13378  df-sets 17224  df-slot 17242  df-ndx 17254  df-base 17270  df-ress 17291  df-plusg 17323  df-mulr 17324  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-cmn 19852  df-abl 19853  df-mgp 20217  df-rng 20231  df-ur 20264  df-ring 20317  df-oppr 20419  df-dvdsr 20439  df-unit 20440  df-invr 20470  df-dvr 20483  df-drng 20815  df-abv 20890

This theorem is referenced by:  ostthlem1  27757