MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  abvdiv Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem abvdiv 20445
Description: The absolute value distributes under division. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
abv0.a 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
abvneg.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
abvrec.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
abvdiv.p / = (/rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
abvdiv (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) / (πΉβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem abvdiv
StepHypRef Expression
1 simplr 768 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ 𝐹 ∈ 𝐴)
2 simpr1 1195 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 simpll 766 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
4 simpr2 1196 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
5 simpr3 1197 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ π‘Œ β‰  0 )
6 abvneg.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
7 abvrec.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
8 eqid 2733 . . . . . 6 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
96, 7, 8drnginvrcl 20379 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
103, 4, 5, 9syl3anc 1372 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡)
11 abv0.a . . . . 5 𝐴 = (AbsValβ€˜π‘…)
12 eqid 2733 . . . . 5 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
1311, 6, 12abvmul 20437 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ ((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜(𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))) = ((πΉβ€˜π‘‹) Β· (πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
141, 2, 10, 13syl3anc 1372 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))) = ((πΉβ€˜π‘‹) Β· (πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
1511, 6, 7, 8abvrec 20444 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (1 / (πΉβ€˜π‘Œ)))
16153adantr1 1170 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)) = (1 / (πΉβ€˜π‘Œ)))
1716oveq2d 7425 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) Β· (πΉβ€˜((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))) = ((πΉβ€˜π‘‹) Β· (1 / (πΉβ€˜π‘Œ))))
1814, 17eqtrd 2773 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))) = ((πΉβ€˜π‘‹) Β· (1 / (πΉβ€˜π‘Œ))))
19 eqid 2733 . . . . . . 7 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
206, 19, 7drngunit 20362 . . . . . 6 (𝑅 ∈ DivRing β†’ (π‘Œ ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )))
213, 20syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (π‘Œ ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ (π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )))
224, 5, 21mpbir2and 712 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ π‘Œ ∈ (Unitβ€˜π‘…))
23 abvdiv.p . . . . 5 / = (/rβ€˜π‘…)
246, 12, 19, 8, 23dvrval 20217 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
252, 22, 24syl2anc 585 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (𝑋 / π‘Œ) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ)))
2625fveq2d 6896 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = (πΉβ€˜(𝑋(.rβ€˜π‘…)((invrβ€˜π‘…)β€˜π‘Œ))))
2711, 6abvcl 20432 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
281, 2, 27syl2anc 585 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
2928recnd 11242 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
3011, 6abvcl 20432 . . . . 5 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
311, 4, 30syl2anc 585 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ ℝ)
3231recnd 11242 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) ∈ β„‚)
3311, 6, 7abvne0 20435 . . . 4 ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 ) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) β‰  0)
341, 4, 5, 33syl3anc 1372 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘Œ) β‰  0)
3529, 32, 34divrecd 11993 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹) / (πΉβ€˜π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) Β· (1 / (πΉβ€˜π‘Œ))))
3618, 26, 353eqtr4d 2783 1 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ β‰  0 )) β†’ (πΉβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = ((πΉβ€˜π‘‹) / (πΉβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   Β· cmul 11115   / cdiv 11871  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  0gc0g 17385  Unitcui 20169  invrcinvr 20201  /rcdvr 20214  DivRingcdr 20357  AbsValcabv 20424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-ico 13330  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-drng 20359  df-abv 20425
This theorem is referenced by:  ostthlem1  27130
  Copyright terms: Public domain W3C validator