Theorem abvdiv 20097

Description: The absolute value distributes under division. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
abv0.a	⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
abvneg.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
abvrec.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
abvdiv.p	⊢ / = (/r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
abvdiv	⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) / (𝐹‘𝑌)))

Proof of Theorem abvdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simplr 766	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝐹 ∈ 𝐴)
2		simpr1 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simpll 764	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑅 ∈ DivRing)
4		simpr2 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ 𝐵)
5		simpr3 1195	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑌 ≠ 0 )
6		abvneg.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7		abvrec.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
8		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
9	6, 7, 8	drnginvrcl 20008	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
10	3, 4, 5, 9	syl3anc 1370	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵)
11		abv0.a	. . . . 5 ⊢ 𝐴 = (AbsVal‘𝑅)
12		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13	11, 6, 12	abvmul 20089	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ ((invr‘𝑅)‘𝑌) ∈ 𝐵) → (𝐹‘(𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑌))))
14	1, 2, 10, 13	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑌))))
15	11, 6, 7, 8	abvrec 20096	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (1 / (𝐹‘𝑌)))
16	15	3adantr1 1168	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑌)) = (1 / (𝐹‘𝑌)))
17	16	oveq2d 7291	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → ((𝐹‘𝑋) · (𝐹‘((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹‘𝑋) · (1 / (𝐹‘𝑌))))
18	14, 17	eqtrd 2778	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌))) = ((𝐹‘𝑋) · (1 / (𝐹‘𝑌))))
19		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
20	6, 19, 7	drngunit 19996	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → (𝑌 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )))
21	3, 20	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝑌 ∈ (Unit‘𝑅) ↔ (𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )))
22	4, 5, 21	mpbir2and 710	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅))
23		abvdiv.p	. . . . 5 ⊢ / = (/r‘𝑅)
24	6, 12, 19, 8, 23	dvrval 19927	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)))
25	2, 22, 24	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝑋 / 𝑌) = (𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌)))
26	25	fveq2d 6778	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝐹‘(𝑋(.r‘𝑅)((invr‘𝑅)‘𝑌))))
27	11, 6	abvcl 20084	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
28	1, 2, 27	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℝ)
29	28	recnd 11003	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑋) ∈ ℂ)
30	11, 6	abvcl 20084	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℝ)
31	1, 4, 30	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℝ)
32	31	recnd 11003	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑌) ∈ ℂ)
33	11, 6, 7	abvne0 20087	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 ) → (𝐹‘𝑌) ≠ 0)
34	1, 4, 5, 33	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘𝑌) ≠ 0)
35	29, 32, 34	divrecd 11754	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → ((𝐹‘𝑋) / (𝐹‘𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) · (1 / (𝐹‘𝑌))))
36	18, 26, 35	3eqtr4d 2788	1 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ 𝐹 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ≠ 0 )) → (𝐹‘(𝑋 / 𝑌)) = ((𝐹‘𝑋) / (𝐹‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   / cdiv 11632  Basecbs 16912  ._rcmulr 16963  0_gc0g 17150  Unitcui 19881  inv_rcinvr 19913  /_rcdvr 19924  DivRingcdr 19991  AbsValcabv 20076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-tpos 8042  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-ico 13085  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-oppr 19862  df-dvdsr 19883  df-unit 19884  df-invr 19914  df-dvr 19925  df-drng 19993  df-abv 20077

This theorem is referenced by:  ostthlem1  26775