MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgseisenlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgseisenlem3 25322
Description: Lemma for lgseisen 25324. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3 (𝜑𝑃𝑄)
lgseisen.4 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
lgseisen.5 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
lgseisen.6 𝑆 = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃)
lgseisen.7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgseisen.8 𝐺 = (mulGrp‘𝑌)
lgseisen.9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) = (1r𝑌))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐿   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑀   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑌   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐿(𝑦)   𝑀(𝑥)   𝑌(𝑦)

Proof of Theorem lgseisenlem3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 6803 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑥))
21fveq2d 6337 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (𝐿‘(2 · 𝑘)) = (𝐿‘(2 · 𝑥)))
32cbvmptv 4885 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))
43oveq2i 6806 . . . . . 6 (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘)))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))
5 lgseisen.8 . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑌)
6 eqid 2771 . . . . . . . 8 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
75, 6mgpbas 18702 . . . . . . 7 (Base‘𝑌) = (Base‘𝐺)
8 eqid 2771 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
9 lgseisen.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
109eldifad 3735 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
11 lgseisen.7 . . . . . . . . . . 11 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
1211znfld 20123 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
1310, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ Field)
14 isfld 18965 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ Field ↔ (𝑌 ∈ DivRing ∧ 𝑌 ∈ CRing))
1514simprbi 484 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ CRing)
1613, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
175crngmgp 18762 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
19 fzfid 12979 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin)
20 crngring 18765 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
22 lgseisen.9 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
2322zrhrhm 20074 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
25 zringbas 20038 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘ℤring)
2625, 6rhmf 18935 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
2724, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
28 2z 11615 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
29 elfzelz 12548 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑘 ∈ ℤ)
30 zmulcl 11632 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
3128, 29, 30sylancr 575 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
32 ffvelrn 6502 . . . . . . . . 9 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℤ) → (𝐿‘(2 · 𝑘)) ∈ (Base‘𝑌))
3327, 31, 32syl2an 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑘)) ∈ (Base‘𝑌))
34 eqid 2771 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) = (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘)))
3533, 34fmptd 6529 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))):(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(Base‘𝑌))
36 fvexd 6346 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑘)) ∈ V)
37 fvexd 6346 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ V)
3834, 19, 36, 37fsuppmptdm 8445 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) finSupp (0g𝐺))
39 lgseisen.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
40 lgseisen.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝑄)
41 lgseisen.4 . . . . . . . 8 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
42 lgseisen.5 . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
43 lgseisen.6 . . . . . . . 8 𝑆 = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃)
449, 39, 40, 41, 42, 43lgseisenlem2 25321 . . . . . . 7 (𝜑𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)))
457, 8, 18, 19, 35, 38, 44gsumf1o 18523 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘)))) = (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) ∘ 𝑀)))
464, 45syl5eqr 2819 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) = (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) ∘ 𝑀)))
479, 39, 40, 41, 42lgseisenlem1 25320 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
4842fmpt 6525 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
4947, 48sylibr 224 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
5042a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))
51 eqidd 2772 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) = (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))))
52 oveq2 6803 . . . . . . . 8 (𝑘 = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) → (2 · 𝑘) = (2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))
5352fveq2d 6337 . . . . . . 7 (𝑘 = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) → (𝐿‘(2 · 𝑘)) = (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))))
5449, 50, 51, 53fmptcof 6542 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) ∘ 𝑀) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))))
5554oveq2d 6811 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) ∘ 𝑀)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))))))
5639eldifad 3735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑄 ∈ ℙ)
5756adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℙ)
58 prmz 15595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℤ)
60 2nn 11391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℕ
61 elfznn 12576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ)
6261adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℕ)
63 nnmulcl 11248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
6460, 62, 63sylancr 575 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
6564nnzd 11687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
6659, 65zmulcld 11694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ)
6710adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℙ)
68 prmnn 15594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ)
7066, 69zmodcld 12898 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
7141, 70syl5eqel 2854 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℕ0)
7271nn0zd 11686 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℤ)
73 m1expcl 13089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℤ → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
7574, 72zmulcld 11694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ)
7675, 69zmodcld 12898 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
7776nn0cnd 11559 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℂ)
78 2cnd 11298 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℂ)
79 2ne0 11318 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
8079a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ≠ 0)
8177, 78, 80divcan2d 11008 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)) = (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃))
8281fveq2d 6337 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))) = (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃)))
8369nnrpd 12072 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
84 eqidd 2772 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) mod 𝑃) = ((-1↑𝑅) mod 𝑃))
8541oveq1i 6805 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 mod 𝑃) = (((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) mod 𝑃)
8666zred 11688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
87 modabs2 12911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → (((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
8886, 83, 87syl2anc 573 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
8985, 88syl5eq 2817 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
9074, 74, 72, 66, 83, 84, 89modmul12d 12931 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) mod 𝑃))
9175zred 11688 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℝ)
92 modabs2 12911 . . . . . . . . . . . . 13 ((((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃))
9391, 83, 92syl2anc 573 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃))
9474zcnd 11689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈ ℂ)
9559zcnd 11689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℂ)
9665zcnd 11689 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
9794, 95, 96mulassd 10268 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) = ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))))
9897oveq1d 6810 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) mod 𝑃))
9990, 93, 983eqtr4d 2815 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
10010, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
101100adantr 466 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ)
10276nn0zd 11686 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℤ)
10374, 59zmulcld 11694 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑄) ∈ ℤ)
104103, 65zmulcld 11694 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ)
105 moddvds 15199 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℤ ∧ (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ) → (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) − (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)))))
106101, 102, 104, 105syl3anc 1476 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) − (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)))))
10799, 106mpbid 222 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∥ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) − (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))))
10869nnnn0d 11557 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
10911, 22zndvds 20112 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℤ ∧ (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃)) = (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))) ↔ 𝑃 ∥ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) − (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)))))
110108, 102, 104, 109syl3anc 1476 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃)) = (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))) ↔ 𝑃 ∥ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) − (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)))))
111107, 110mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃)) = (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))))
11224adantr 466 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
113 zringmulr 20041 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘ℤring)
114 eqid 2771 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑌) = (.r𝑌)
11525, 113, 114rhmmul 18936 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ ((-1↑𝑅) · 𝑄) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℤ) → (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))) = ((𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))(.r𝑌)(𝐿‘(2 · 𝑥))))
116112, 103, 65, 115syl3anc 1476 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))) = ((𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))(.r𝑌)(𝐿‘(2 · 𝑥))))
11782, 111, 1163eqtrd 2809 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))) = ((𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))(.r𝑌)(𝐿‘(2 · 𝑥))))
118117mpteq2dva 4879 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))(.r𝑌)(𝐿‘(2 · 𝑥)))))
11927adantr 466 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
120119, 103ffvelrnd 6505 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)) ∈ (Base‘𝑌))
121119, 65ffvelrnd 6505 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌))
122 eqidd 2772 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))
123 eqidd 2772 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))
12419, 120, 121, 122, 123offval2 7064 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))(.r𝑌)(𝐿‘(2 · 𝑥)))))
125118, 124eqtr4d 2808 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))) = ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))))
126125oveq2d 6811 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))))) = (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))))
12746, 55, 1263eqtrd 2809 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) = (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))))
1285, 114mgpplusg 18700 . . . . 5 (.r𝑌) = (+g𝐺)
129 eqid 2771 . . . . 5 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))
130 eqid 2771 . . . . 5 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))
1317, 128, 18, 19, 120, 121, 129, 130gsummptfidmadd2 18532 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) ∘𝑓 (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))))
132127, 131eqtrd 2805 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))))
133132oveq1d 6810 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = (((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))))
134 eqid 2771 . . . . . 6 (Unit‘𝑌) = (Unit‘𝑌)
135134, 5unitsubm 18877 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → (Unit‘𝑌) ∈ (SubMnd‘𝐺))
13621, 135syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Unit‘𝑌) ∈ (SubMnd‘𝐺))
137 elfzle2 12551 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
138137adantl 467 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
13962nnred 11240 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
140 prmuz2 15614 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
141 uz2m1nn 11970 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
14267, 140, 1413syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
143142nnred 11240 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
144 2re 11295 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
145144a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℝ)
146 2pos 11317 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
147146a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 < 2)
148 lemuldiv2 11109 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
149139, 143, 145, 147, 148syl112anc 1480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
150138, 149mpbird 247 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))
151 prmz 15595 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
15267, 151syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℤ)
153 peano2zm 11626 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
154152, 153syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
155 fznn 12614 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 − 1) ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))))
156154, 155syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))))
15764, 150, 156mpbir2and 692 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
158 fzm1ndvds 15252 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))
15969, 157, 158syl2anc 573 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))
160 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (0g𝑌) = (0g𝑌)
16111, 22, 160zndvds0 20113 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(2 · 𝑥)) = (0g𝑌) ↔ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
162108, 65, 161syl2anc 573 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(2 · 𝑥)) = (0g𝑌) ↔ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
163162necon3abid 2979 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(2 · 𝑥)) ≠ (0g𝑌) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
164159, 163mpbird 247 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑥)) ≠ (0g𝑌))
16514simplbi 485 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ DivRing)
16613, 165syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ DivRing)
167166adantr 466 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑌 ∈ DivRing)
1686, 134, 160drngunit 18961 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ DivRing → ((𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Unit‘𝑌) ↔ ((𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝐿‘(2 · 𝑥)) ≠ (0g𝑌))))
169167, 168syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Unit‘𝑌) ↔ ((𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝐿‘(2 · 𝑥)) ≠ (0g𝑌))))
170121, 164, 169mpbir2and 692 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Unit‘𝑌))
171170, 130fmptd 6529 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))):(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(Unit‘𝑌))
172 fvexd 6346 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ V)
173130, 19, 172, 37fsuppmptdm 8445 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))) finSupp (0g𝐺))
1748, 18, 19, 136, 171, 173gsumsubmcl 18525 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) ∈ (Unit‘𝑌))
175 eqid 2771 . . . 4 (/r𝑌) = (/r𝑌)
176 eqid 2771 . . . 4 (1r𝑌) = (1r𝑌)
177134, 175, 176dvrid 18895 . . 3 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) ∈ (Unit‘𝑌)) → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = (1r𝑌))
17821, 174, 177syl2anc 573 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = (1r𝑌))
179120, 129fmptd 6529 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))):(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(Base‘𝑌))
180 fvexd 6346 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)) ∈ V)
181129, 19, 180, 37fsuppmptdm 8445 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) finSupp (0g𝐺))
1827, 8, 18, 19, 179, 181gsumcl 18522 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) ∈ (Base‘𝑌))
1836, 134, 175, 114dvrcan3 18899 . . 3 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) ∈ (Unit‘𝑌)) → (((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))))
18421, 182, 174, 183syl3anc 1476 . 2 (𝜑 → (((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))))
185133, 178, 1843eqtr3rd 2814 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) = (1r𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  wne 2943  wral 3061  Vcvv 3351  cdif 3720  {csn 4317   class class class wbr 4787  cmpt 4864  ccom 5254  wf 6026  cfv 6030  (class class class)co 6795  𝑓 cof 7045  Fincfn 8112  cr 10140  0cc0 10141  1c1 10142   · cmul 10146   < clt 10279  cle 10280  cmin 10471  -cneg 10472   / cdiv 10889  cn 11225  2c2 11275  0cn0 11498  cz 11583  cuz 11892  +crp 12034  ...cfz 12532   mod cmo 12875  cexp 13066  cdvds 15188  cprime 15591  Basecbs 16063  .rcmulr 16149  0gc0g 16307   Σg cgsu 16308  SubMndcsubmnd 17541  CMndccmn 18399  mulGrpcmgp 18696  1rcur 18708  Ringcrg 18754  CRingccrg 18755  Unitcui 18846  /rcdvr 18889   RingHom crh 18921  DivRingcdr 18956  Fieldcfield 18957  ringzring 20032  ℤRHomczrh 20062  ℤ/nczn 20065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4905  ax-sep 4916  ax-nul 4924  ax-pow 4975  ax-pr 5035  ax-un 7099  ax-inf2 8705  ax-cnex 10197  ax-resscn 10198  ax-1cn 10199  ax-icn 10200  ax-addcl 10201  ax-addrcl 10202  ax-mulcl 10203  ax-mulrcl 10204  ax-mulcom 10205  ax-addass 10206  ax-mulass 10207  ax-distr 10208  ax-i2m1 10209  ax-1ne0 10210  ax-1rid 10211  ax-rnegex 10212  ax-rrecex 10213  ax-cnre 10214  ax-pre-lttri 10215  ax-pre-lttrn 10216  ax-pre-ltadd 10217  ax-pre-mulgt0 10218  ax-pre-sup 10219  ax-addf 10220  ax-mulf 10221
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4227  df-pw 4300  df-sn 4318  df-pr 4320  df-tp 4322  df-op 4324  df-uni 4576  df-int 4613  df-iun 4657  df-br 4788  df-opab 4848  df-mpt 4865  df-tr 4888  df-id 5158  df-eprel 5163  df-po 5171  df-so 5172  df-fr 5209  df-se 5210  df-we 5211  df-xp 5256  df-rel 5257  df-cnv 5258  df-co 5259  df-dm 5260  df-rn 5261  df-res 5262  df-ima 5263  df-pred 5822  df-ord 5868  df-on 5869  df-lim 5870  df-suc 5871  df-iota 5993  df-fun 6032  df-fn 6033  df-f 6034  df-f1 6035  df-fo 6036  df-f1o 6037  df-fv 6038  df-isom 6039  df-riota 6756  df-ov 6798  df-oprab 6799  df-mpt2 6800  df-of 7047  df-om 7216  df-1st 7318  df-2nd 7319  df-supp 7450  df-tpos 7507  df-wrecs 7562  df-recs 7624  df-rdg 7662  df-1o 7716  df-2o 7717  df-oadd 7720  df-er 7899  df-ec 7901  df-qs 7905  df-map 8014  df-en 8113  df-dom 8114  df-sdom 8115  df-fin 8116  df-fsupp 8435  df-sup 8507  df-inf 8508  df-oi 8574  df-card 8968  df-cda 9195  df-pnf 10281  df-mnf 10282  df-xr 10283  df-ltxr 10284  df-le 10285  df-sub 10473  df-neg 10474  df-div 10890  df-nn 11226  df-2 11284  df-3 11285  df-4 11286  df-5 11287  df-6 11288  df-7 11289  df-8 11290  df-9 11291  df-n0 11499  df-xnn0 11570  df-z 11584  df-dec 11700  df-uz 11893  df-rp 12035  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-fl 12800  df-mod 12876  df-seq 13008  df-exp 13067  df-hash 13321  df-cj 14046  df-re 14047  df-im 14048  df-sqrt 14182  df-abs 14183  df-dvds 15189  df-gcd 15424  df-prm 15592  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-sets 16070  df-ress 16071  df-plusg 16161  df-mulr 16162  df-starv 16163  df-sca 16164  df-vsca 16165  df-ip 16166  df-tset 16167  df-ple 16168  df-ds 16171  df-unif 16172  df-0g 16309  df-gsum 16310  df-imas 16375  df-qus 16376  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-mhm 17542  df-submnd 17543  df-grp 17632  df-minusg 17633  df-sbg 17634  df-mulg 17748  df-subg 17798  df-nsg 17799  df-eqg 17800  df-ghm 17865  df-cntz 17956  df-cmn 18401  df-abl 18402  df-mgp 18697  df-ur 18709  df-ring 18756  df-cring 18757  df-oppr 18830  df-dvdsr 18848  df-unit 18849  df-invr 18879  df-dvr 18890  df-rnghom 18924  df-drng 18958  df-field 18959  df-subrg 18987  df-lmod 19074  df-lss 19142  df-lsp 19184  df-sra 19386  df-rgmod 19387  df-lidl 19388  df-rsp 19389  df-2idl 19446  df-nzr 19472  df-rlreg 19497  df-domn 19498  df-idom 19499  df-cnfld 19961  df-zring 20033  df-zrh 20066  df-zn 20069
This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  25323
  Copyright terms: Public domain W3C validator