Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgseisenlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgseisenlem3 25940
 Description: Lemma for lgseisen 25942. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3 (𝜑𝑃𝑄)
lgseisen.4 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
lgseisen.5 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
lgseisen.6 𝑆 = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃)
lgseisen.7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgseisen.8 𝐺 = (mulGrp‘𝑌)
lgseisen.9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) = (1r𝑌))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐿   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑀   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑌   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐿(𝑦)   𝑀(𝑥)   𝑌(𝑦)

Proof of Theorem lgseisenlem3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7141 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑥))
21fveq2d 6650 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (𝐿‘(2 · 𝑘)) = (𝐿‘(2 · 𝑥)))
32cbvmptv 5145 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))
43oveq2i 7144 . . . . . 6 (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘)))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))
5 lgseisen.8 . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑌)
6 eqid 2820 . . . . . . . 8 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
75, 6mgpbas 19224 . . . . . . 7 (Base‘𝑌) = (Base‘𝐺)
8 eqid 2820 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
9 lgseisen.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
109eldifad 3925 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
11 lgseisen.7 . . . . . . . . . . 11 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
1211znfld 20683 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
1310, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ Field)
14 isfld 19487 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ Field ↔ (𝑌 ∈ DivRing ∧ 𝑌 ∈ CRing))
1514simprbi 499 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ CRing)
1613, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
175crngmgp 19284 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
19 fzfid 13325 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin)
20 crngring 19287 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
22 lgseisen.9 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
2322zrhrhm 20635 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
25 zringbas 20599 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘ℤring)
2625, 6rhmf 19457 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
2724, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
28 2z 11993 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
29 elfzelz 12892 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑘 ∈ ℤ)
30 zmulcl 12010 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
3128, 29, 30sylancr 589 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
32 ffvelrn 6825 . . . . . . . . 9 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℤ) → (𝐿‘(2 · 𝑘)) ∈ (Base‘𝑌))
3327, 31, 32syl2an 597 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑘)) ∈ (Base‘𝑌))
3433fmpttd 6855 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))):(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(Base‘𝑌))
35 eqid 2820 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) = (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘)))
36 fvexd 6661 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑘)) ∈ V)
37 fvexd 6661 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ V)
3835, 19, 36, 37fsuppmptdm 8822 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) finSupp (0g𝐺))
39 lgseisen.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
40 lgseisen.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝑄)
41 lgseisen.4 . . . . . . . 8 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
42 lgseisen.5 . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
43 lgseisen.6 . . . . . . . 8 𝑆 = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃)
449, 39, 40, 41, 42, 43lgseisenlem2 25939 . . . . . . 7 (𝜑𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)))
457, 8, 18, 19, 34, 38, 44gsumf1o 19015 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘)))) = (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) ∘ 𝑀)))
464, 45syl5eqr 2869 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) = (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) ∘ 𝑀)))
479, 39, 40, 41, 42lgseisenlem1 25938 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
4842fmpt 6850 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
4947, 48sylibr 236 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
5042a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))
51 eqidd 2821 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) = (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))))
52 oveq2 7141 . . . . . . . 8 (𝑘 = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) → (2 · 𝑘) = (2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))
5352fveq2d 6650 . . . . . . 7 (𝑘 = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) → (𝐿‘(2 · 𝑘)) = (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))))
5449, 50, 51, 53fmptcof 6868 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) ∘ 𝑀) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))))
5554oveq2d 7149 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) ∘ 𝑀)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))))))
5639eldifad 3925 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑄 ∈ ℙ)
5756adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℙ)
58 prmz 15997 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℤ)
60 2nn 11689 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℕ
61 elfznn 12920 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ)
6261adantl 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℕ)
63 nnmulcl 11640 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
6460, 62, 63sylancr 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
6564nnzd 12065 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
6659, 65zmulcld 12072 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ)
6710adantr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℙ)
68 prmnn 15996 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ)
7066, 69zmodcld 13244 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
7141, 70eqeltrid 2915 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℕ0)
7271nn0zd 12064 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℤ)
73 m1expcl 13437 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℤ → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
7574, 72zmulcld 12072 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ)
7675, 69zmodcld 13244 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
7776nn0cnd 11936 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℂ)
78 2cnd 11694 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℂ)
79 2ne0 11720 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
8079a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ≠ 0)
8177, 78, 80divcan2d 11396 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)) = (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃))
8281fveq2d 6650 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))) = (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃)))
8369nnrpd 12408 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
84 eqidd 2821 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) mod 𝑃) = ((-1↑𝑅) mod 𝑃))
8541oveq1i 7143 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 mod 𝑃) = (((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) mod 𝑃)
8666zred 12066 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
87 modabs2 13257 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → (((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
8886, 83, 87syl2anc 586 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
8985, 88syl5eq 2867 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
9074, 74, 72, 66, 83, 84, 89modmul12d 13277 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) mod 𝑃))
9175zred 12066 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℝ)
92 modabs2 13257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃))
9391, 83, 92syl2anc 586 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃))
9474zcnd 12067 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈ ℂ)
9559zcnd 12067 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℂ)
9665zcnd 12067 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
9794, 95, 96mulassd 10642 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) = ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))))
9897oveq1d 7148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) mod 𝑃))
9990, 93, 983eqtr4d 2865 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
10010, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
101100adantr 483 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ)
10276nn0zd 12064 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℤ)
10374, 59zmulcld 12072 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑄) ∈ ℤ)
104103, 65zmulcld 12072 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ)
105 moddvds 15598 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℤ ∧ (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ) → (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) − (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)))))
106101, 102, 104, 105syl3anc 1367 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) − (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)))))
10799, 106mpbid 234 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∥ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) − (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))))
10869nnnn0d 11934 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
10911, 22zndvds 20672 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℤ ∧ (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃)) = (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))) ↔ 𝑃 ∥ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) − (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)))))
110108, 102, 104, 109syl3anc 1367 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃)) = (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))) ↔ 𝑃 ∥ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) − (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)))))
111107, 110mpbird 259 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃)) = (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))))
11224adantr 483 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
113 zringmulr 20602 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘ℤring)
114 eqid 2820 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑌) = (.r𝑌)
11525, 113, 114rhmmul 19458 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ ((-1↑𝑅) · 𝑄) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℤ) → (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))) = ((𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))(.r𝑌)(𝐿‘(2 · 𝑥))))
116112, 103, 65, 115syl3anc 1367 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))) = ((𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))(.r𝑌)(𝐿‘(2 · 𝑥))))
11782, 111, 1163eqtrd 2859 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))) = ((𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))(.r𝑌)(𝐿‘(2 · 𝑥))))
118117mpteq2dva 5137 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))(.r𝑌)(𝐿‘(2 · 𝑥)))))
11927adantr 483 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
120119, 103ffvelrnd 6828 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)) ∈ (Base‘𝑌))
121119, 65ffvelrnd 6828 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌))
122 eqidd 2821 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))
123 eqidd 2821 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))
12419, 120, 121, 122, 123offval2 7404 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) ∘f (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))(.r𝑌)(𝐿‘(2 · 𝑥)))))
125118, 124eqtr4d 2858 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))) = ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) ∘f (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))))
126125oveq2d 7149 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))))) = (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) ∘f (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))))
12746, 55, 1263eqtrd 2859 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) = (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) ∘f (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))))
1285, 114mgpplusg 19222 . . . . 5 (.r𝑌) = (+g𝐺)
129 eqid 2820 . . . . 5 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))
130 eqid 2820 . . . . 5 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))
1317, 128, 18, 19, 120, 121, 129, 130gsummptfidmadd2 19025 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) ∘f (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))))
132127, 131eqtrd 2855 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))))
133132oveq1d 7148 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = (((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))))
134 eqid 2820 . . . . . 6 (Unit‘𝑌) = (Unit‘𝑌)
135134, 5unitsubm 19399 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → (Unit‘𝑌) ∈ (SubMnd‘𝐺))
13621, 135syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Unit‘𝑌) ∈ (SubMnd‘𝐺))
137 elfzle2 12895 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
138137adantl 484 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
13962nnred 11631 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
140 prmuz2 16018 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
141 uz2m1nn 12302 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
14267, 140, 1413syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
143142nnred 11631 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
144 2re 11690 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
145144a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℝ)
146 2pos 11719 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
147146a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 < 2)
148 lemuldiv2 11499 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
149139, 143, 145, 147, 148syl112anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
150138, 149mpbird 259 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))
151 prmz 15997 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
15267, 151syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℤ)
153 peano2zm 12004 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
154152, 153syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
155 fznn 12959 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 − 1) ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))))
156154, 155syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))))
15764, 150, 156mpbir2and 711 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
158 fzm1ndvds 15652 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))
15969, 157, 158syl2anc 586 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))
160 eqid 2820 . . . . . . . . . 10 (0g𝑌) = (0g𝑌)
16111, 22, 160zndvds0 20673 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(2 · 𝑥)) = (0g𝑌) ↔ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
162108, 65, 161syl2anc 586 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(2 · 𝑥)) = (0g𝑌) ↔ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
163162necon3abid 3042 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(2 · 𝑥)) ≠ (0g𝑌) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
164159, 163mpbird 259 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑥)) ≠ (0g𝑌))
16514simplbi 500 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ DivRing)
16613, 165syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ DivRing)
167166adantr 483 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑌 ∈ DivRing)
1686, 134, 160drngunit 19483 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ DivRing → ((𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Unit‘𝑌) ↔ ((𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝐿‘(2 · 𝑥)) ≠ (0g𝑌))))
169167, 168syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Unit‘𝑌) ↔ ((𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝐿‘(2 · 𝑥)) ≠ (0g𝑌))))
170121, 164, 169mpbir2and 711 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Unit‘𝑌))
171170fmpttd 6855 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))):(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(Unit‘𝑌))
172 fvexd 6661 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ V)
173130, 19, 172, 37fsuppmptdm 8822 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))) finSupp (0g𝐺))
1748, 18, 19, 136, 171, 173gsumsubmcl 19018 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) ∈ (Unit‘𝑌))
175 eqid 2820 . . . 4 (/r𝑌) = (/r𝑌)
176 eqid 2820 . . . 4 (1r𝑌) = (1r𝑌)
177134, 175, 176dvrid 19417 . . 3 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) ∈ (Unit‘𝑌)) → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = (1r𝑌))
17821, 174, 177syl2anc 586 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = (1r𝑌))
179120fmpttd 6855 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))):(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(Base‘𝑌))
180 fvexd 6661 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)) ∈ V)
181129, 19, 180, 37fsuppmptdm 8822 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) finSupp (0g𝐺))
1827, 8, 18, 19, 179, 181gsumcl 19014 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) ∈ (Base‘𝑌))
1836, 134, 175, 114dvrcan3 19421 . . 3 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) ∈ (Unit‘𝑌)) → (((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))))
18421, 182, 174, 183syl3anc 1367 . 2 (𝜑 → (((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))))
185133, 178, 1843eqtr3rd 2864 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) = (1r𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3006  ∀wral 3125  Vcvv 3473   ∖ cdif 3910  {csn 4543   class class class wbr 5042   ↦ cmpt 5122   ∘ ccom 5535  ⟶wf 6327  ‘cfv 6331  (class class class)co 7133   ∘f cof 7385  Fincfn 8487  ℝcr 10514  0cc0 10515  1c1 10516   · cmul 10520   < clt 10653   ≤ cle 10654   − cmin 10848  -cneg 10849   / cdiv 11275  ℕcn 11616  2c2 11671  ℕ0cn0 11876  ℤcz 11960  ℤ≥cuz 12222  ℝ+crp 12368  ...cfz 12876   mod cmo 13221  ↑cexp 13414   ∥ cdvds 15587  ℙcprime 15993  Basecbs 16462  .rcmulr 16545  0gc0g 16692   Σg cgsu 16693  SubMndcsubmnd 17934  CMndccmn 18885  mulGrpcmgp 19218  1rcur 19230  Ringcrg 19276  CRingccrg 19277  Unitcui 19368  /rcdvr 19411   RingHom crh 19443  DivRingcdr 19478  Fieldcfield 19479  ℤringzring 20593  ℤRHomczrh 20623  ℤ/nℤczn 20626 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7439  ax-cnex 10571  ax-resscn 10572  ax-1cn 10573  ax-icn 10574  ax-addcl 10575  ax-addrcl 10576  ax-mulcl 10577  ax-mulrcl 10578  ax-mulcom 10579  ax-addass 10580  ax-mulass 10581  ax-distr 10582  ax-i2m1 10583  ax-1ne0 10584  ax-1rid 10585  ax-rnegex 10586  ax-rrecex 10587  ax-cnre 10588  ax-pre-lttri 10589  ax-pre-lttrn 10590  ax-pre-ltadd 10591  ax-pre-mulgt0 10592  ax-pre-sup 10593  ax-addf 10594  ax-mulf 10595 This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-nel 3111  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rmo 3133  df-rab 3134  df-v 3475  df-sbc 3753  df-csb 3861  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3932  df-nul 4270  df-if 4444  df-pw 4517  df-sn 4544  df-pr 4546  df-tp 4548  df-op 4550  df-uni 4815  df-int 4853  df-iun 4897  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5436  df-eprel 5441  df-po 5450  df-so 5451  df-fr 5490  df-se 5491  df-we 5492  df-xp 5537  df-rel 5538  df-cnv 5539  df-co 5540  df-dm 5541  df-rn 5542  df-res 5543  df-ima 5544  df-pred 6124  df-ord 6170  df-on 6171  df-lim 6172  df-suc 6173  df-iota 6290  df-fun 6333  df-fn 6334  df-f 6335  df-f1 6336  df-fo 6337  df-f1o 6338  df-fv 6339  df-isom 6340  df-riota 7091  df-ov 7136  df-oprab 7137  df-mpo 7138  df-of 7387  df-om 7559  df-1st 7667  df-2nd 7668  df-supp 7809  df-tpos 7870  df-wrecs 7925  df-recs 7986  df-rdg 8024  df-1o 8080  df-2o 8081  df-oadd 8084  df-er 8267  df-ec 8269  df-qs 8273  df-map 8386  df-en 8488  df-dom 8489  df-sdom 8490  df-fin 8491  df-fsupp 8812  df-sup 8884  df-inf 8885  df-oi 8952  df-dju 9308  df-card 9346  df-pnf 10655  df-mnf 10656  df-xr 10657  df-ltxr 10658  df-le 10659  df-sub 10850  df-neg 10851  df-div 11276  df-nn 11617  df-2 11679  df-3 11680  df-4 11681  df-5 11682  df-6 11683  df-7 11684  df-8 11685  df-9 11686  df-n0 11877  df-xnn0 11947  df-z 11961  df-dec 12078  df-uz 12223  df-rp 12369  df-fz 12877  df-fzo 13018  df-fl 13146  df-mod 13222  df-seq 13354  df-exp 13415  df-hash 13676  df-cj 14438  df-re 14439  df-im 14440  df-sqrt 14574  df-abs 14575  df-dvds 15588  df-gcd 15822  df-prm 15994  df-struct 16464  df-ndx 16465  df-slot 16466  df-base 16468  df-sets 16469  df-ress 16470  df-plusg 16557  df-mulr 16558  df-starv 16559  df-sca 16560  df-vsca 16561  df-ip 16562  df-tset 16563  df-ple 16564  df-ds 16566  df-unif 16567  df-0g 16694  df-gsum 16695  df-imas 16760  df-qus 16761  df-mgm 17831  df-sgrp 17880  df-mnd 17891  df-mhm 17935  df-submnd 17936  df-grp 18085  df-minusg 18086  df-sbg 18087  df-mulg 18204  df-subg 18255  df-nsg 18256  df-eqg 18257  df-ghm 18335  df-cntz 18426  df-cmn 18887  df-abl 18888  df-mgp 19219  df-ur 19231  df-ring 19278  df-cring 19279  df-oppr 19352  df-dvdsr 19370  df-unit 19371  df-invr 19401  df-dvr 19412  df-rnghom 19446  df-drng 19480  df-field 19481  df-subrg 19509  df-lmod 19612  df-lss 19680  df-lsp 19720  df-sra 19920  df-rgmod 19921  df-lidl 19922  df-rsp 19923  df-2idl 19981  df-nzr 20007  df-rlreg 20032  df-domn 20033  df-idom 20034  df-cnfld 20522  df-zring 20594  df-zrh 20627  df-zn 20630 This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  25941
 Copyright terms: Public domain W3C validator