MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgseisenlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgseisenlem3 26728
Description: Lemma for lgseisen 26730. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
lgseisen.2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
lgseisen.3 (πœ‘ β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
lgseisen.4 𝑅 = ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃)
lgseisen.5 𝑀 = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2))
lgseisen.6 𝑆 = ((𝑄 Β· (2 Β· 𝑦)) mod 𝑃)
lgseisen.7 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘ƒ)
lgseisen.8 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘Œ)
lgseisen.9 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))) = (1rβ€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑦,𝑃   πœ‘,π‘₯,𝑦   𝑦,𝑀   π‘₯,𝑄,𝑦   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝑆(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐿(𝑦)   𝑀(π‘₯)   π‘Œ(𝑦)

Proof of Theorem lgseisenlem3
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7366 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (2 Β· π‘˜) = (2 Β· π‘₯))
21fveq2d 6847 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜)) = (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))
32cbvmptv 5219 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))
43oveq2i 7369 . . . . . 6 (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜)))) = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))
5 lgseisen.8 . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘Œ)
6 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
75, 6mgpbas 19903 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜πΊ)
8 eqid 2737 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
9 lgseisen.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
109eldifad 3923 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
11 lgseisen.7 . . . . . . . . . . 11 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘ƒ)
1211znfld 20970 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ π‘Œ ∈ Field)
1310, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Field)
14 isfld 20197 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ ∈ Field ↔ (π‘Œ ∈ DivRing ∧ π‘Œ ∈ CRing))
1514simprbi 498 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ Field β†’ π‘Œ ∈ CRing)
1613, 15syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ CRing)
175crngmgp 19973 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ CRing β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
19 fzfid 13879 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ Fin)
20 crngring 19977 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ ∈ CRing β†’ π‘Œ ∈ Ring)
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Ring)
22 lgseisen.9 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
2322zrhrhm 20915 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
25 zringbas 20878 . . . . . . . . . . 11 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
2625, 6rhmf 20159 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
2724, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
28 2z 12536 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„€
29 elfzelz 13442 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
30 zmulcl 12553 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„€)
3128, 29, 30sylancr 588 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„€)
32 ffvelcdm 7033 . . . . . . . . 9 ((𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ) ∧ (2 Β· π‘˜) ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
3327, 31, 32syl2an 597 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
3433fmpttd 7064 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜))):(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
35 eqid 2737 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜)))
36 fvexd 6858 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜)) ∈ V)
37 fvexd 6858 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
3835, 19, 36, 37fsuppmptdm 9317 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜))) finSupp (0gβ€˜πΊ))
39 lgseisen.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
40 lgseisen.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
41 lgseisen.4 . . . . . . . 8 𝑅 = ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃)
42 lgseisen.5 . . . . . . . 8 𝑀 = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2))
43 lgseisen.6 . . . . . . . 8 𝑆 = ((𝑄 Β· (2 Β· 𝑦)) mod 𝑃)
449, 39, 40, 41, 42, 43lgseisenlem2 26727 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀:(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))–1-1-ontoβ†’(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
457, 8, 18, 19, 34, 38, 44gsumf1o 19694 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜)))) = (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜))) ∘ 𝑀)))
464, 45eqtr3id 2791 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))) = (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜))) ∘ 𝑀)))
479, 39, 40, 41, 42lgseisenlem1 26726 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀:(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))⟢(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
4842fmpt 7059 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↔ 𝑀:(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))⟢(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
4947, 48sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
5042a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2)))
51 eqidd 2738 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜))))
52 oveq2 7366 . . . . . . . 8 (π‘˜ = ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2) β†’ (2 Β· π‘˜) = (2 Β· ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2)))
5352fveq2d 6847 . . . . . . 7 (π‘˜ = ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2) β†’ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜)) = (πΏβ€˜(2 Β· ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2))))
5449, 50, 51, 53fmptcof 7077 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜))) ∘ 𝑀) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2)))))
5554oveq2d 7374 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜))) ∘ 𝑀)) = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2))))))
5639eldifad 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ β„™)
5756adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑄 ∈ β„™)
58 prmz 16552 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑄 ∈ β„™ β†’ 𝑄 ∈ β„€)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑄 ∈ β„€)
60 2nn 12227 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ β„•
61 elfznn 13471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
6261adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
63 nnmulcl 12178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„•)
6460, 62, 63sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„•)
6564nnzd 12527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„€)
6659, 65zmulcld 12614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) ∈ β„€)
6710adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
68 prmnn 16551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
7066, 69zmodcld 13798 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃) ∈ β„•0)
7141, 70eqeltrid 2842 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑅 ∈ β„•0)
7271nn0zd 12526 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑅 ∈ β„€)
73 m1expcl 13993 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ β„€ β†’ (-1↑𝑅) ∈ β„€)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (-1↑𝑅) ∈ β„€)
7574, 72zmulcld 12614 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((-1↑𝑅) Β· 𝑅) ∈ β„€)
7675, 69zmodcld 13798 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) ∈ β„•0)
7776nn0cnd 12476 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) ∈ β„‚)
78 2cnd 12232 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 2 ∈ β„‚)
79 2ne0 12258 . . . . . . . . . . . 12 2 β‰  0
8079a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 2 β‰  0)
8177, 78, 80divcan2d 11934 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (2 Β· ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2)) = (((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃))
8281fveq2d 6847 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(2 Β· ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2))) = (πΏβ€˜(((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃)))
8369nnrpd 12956 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
84 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((-1↑𝑅) mod 𝑃) = ((-1↑𝑅) mod 𝑃))
8541oveq1i 7368 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 mod 𝑃) = (((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃) mod 𝑃)
8666zred 12608 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
87 modabs2 13811 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) β†’ (((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃))
8886, 83, 87syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃))
8985, 88eqtrid 2789 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑅 mod 𝑃) = ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃))
9074, 74, 72, 66, 83, 84, 89modmul12d 13831 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) Β· (𝑄 Β· (2 Β· π‘₯))) mod 𝑃))
9175zred 12608 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((-1↑𝑅) Β· 𝑅) ∈ ℝ)
92 modabs2 13811 . . . . . . . . . . . . 13 ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) β†’ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃))
9391, 83, 92syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃))
9474zcnd 12609 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (-1↑𝑅) ∈ β„‚)
9559zcnd 12609 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑄 ∈ β„‚)
9665zcnd 12609 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
9794, 95, 96mulassd 11179 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)) = ((-1↑𝑅) Β· (𝑄 Β· (2 Β· π‘₯))))
9897oveq1d 7373 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) Β· (𝑄 Β· (2 Β· π‘₯))) mod 𝑃))
9990, 93, 983eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃))
10010, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
101100adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
10276nn0zd 12526 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) ∈ β„€)
10374, 59zmulcld 12614 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((-1↑𝑅) Β· 𝑄) ∈ β„€)
104103, 65zmulcld 12614 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)) ∈ β„€)
105 moddvds 16148 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„• ∧ (((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) ∈ β„€ ∧ (((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)) ∈ β„€) β†’ (((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) βˆ’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)))))
106101, 102, 104, 105syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) βˆ’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)))))
10799, 106mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑃 βˆ₯ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) βˆ’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯))))
10869nnnn0d 12474 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
10911, 22zndvds 20959 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„•0 ∧ (((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) ∈ β„€ ∧ (((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)) ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜(((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃)) = (πΏβ€˜(((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯))) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) βˆ’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)))))
110108, 102, 104, 109syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((πΏβ€˜(((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃)) = (πΏβ€˜(((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯))) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) βˆ’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)))))
111107, 110mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃)) = (πΏβ€˜(((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯))))
11224adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
113 zringmulr 20881 . . . . . . . . . . 11 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
114 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘Œ) = (.rβ€˜π‘Œ)
11525, 113, 114rhmmul 20160 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) ∧ ((-1↑𝑅) Β· 𝑄) ∈ β„€ ∧ (2 Β· π‘₯) ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯))) = ((πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))
116112, 103, 65, 115syl3anc 1372 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯))) = ((πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))
11782, 111, 1163eqtrd 2781 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(2 Β· ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2))) = ((πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))
118117mpteq2dva 5206 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2)))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ ((πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))))
11927adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
120119, 103ffvelcdmd 7037 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
121119, 65ffvelcdmd 7037 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
122 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))))
123 eqidd 2738 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))
12419, 120, 121, 122, 123offval2 7638 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) ∘f (.rβ€˜π‘Œ)(π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ ((πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))))
125118, 124eqtr4d 2780 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2)))) = ((π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) ∘f (.rβ€˜π‘Œ)(π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))))
126125oveq2d 7374 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2))))) = (𝐺 Ξ£g ((π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) ∘f (.rβ€˜π‘Œ)(π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))))
12746, 55, 1263eqtrd 2781 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))) = (𝐺 Ξ£g ((π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) ∘f (.rβ€˜π‘Œ)(π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))))
1285, 114mgpplusg 19901 . . . . 5 (.rβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜πΊ)
129 eqid 2737 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))
130 eqid 2737 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))
1317, 128, 18, 19, 120, 121, 129, 130gsummptfidmadd2 19704 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) ∘f (.rβ€˜π‘Œ)(π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))) = ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))))(.rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))))
132127, 131eqtrd 2777 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))) = ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))))(.rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))))
133132oveq1d 7373 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))(/rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))) = (((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))))(.rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))))(/rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))))
134 eqid 2737 . . . . . 6 (Unitβ€˜π‘Œ) = (Unitβ€˜π‘Œ)
135134, 5unitsubm 20100 . . . . 5 (π‘Œ ∈ Ring β†’ (Unitβ€˜π‘Œ) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
13621, 135syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Unitβ€˜π‘Œ) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
137 elfzle2 13446 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) β†’ π‘₯ ≀ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2))
138137adantl 483 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ π‘₯ ≀ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2))
13962nnred 12169 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
140 prmuz2 16573 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
141 uz2m1nn 12849 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•)
14267, 140, 1413syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•)
143142nnred 12169 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
144 2re 12228 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
145144a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 2 ∈ ℝ)
146 2pos 12257 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
147146a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 0 < 2)
148 lemuldiv2 12037 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((2 Β· π‘₯) ≀ (𝑃 βˆ’ 1) ↔ π‘₯ ≀ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
149139, 143, 145, 147, 148syl112anc 1375 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((2 Β· π‘₯) ≀ (𝑃 βˆ’ 1) ↔ π‘₯ ≀ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
150138, 149mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (2 Β· π‘₯) ≀ (𝑃 βˆ’ 1))
151 prmz 16552 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
15267, 151syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
153 peano2zm 12547 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ β„€ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„€)
154152, 153syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„€)
155 fznn 13510 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ ((2 Β· π‘₯) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ↔ ((2 Β· π‘₯) ∈ β„• ∧ (2 Β· π‘₯) ≀ (𝑃 βˆ’ 1))))
156154, 155syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((2 Β· π‘₯) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ↔ ((2 Β· π‘₯) ∈ β„• ∧ (2 Β· π‘₯) ≀ (𝑃 βˆ’ 1))))
15764, 150, 156mpbir2and 712 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))
158 fzm1ndvds 16205 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ β„• ∧ (2 Β· π‘₯) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ (2 Β· π‘₯))
15969, 157, 158syl2anc 585 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ (2 Β· π‘₯))
160 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
16111, 22, 160zndvds0 20960 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„•0 ∧ (2 Β· π‘₯) ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑃 βˆ₯ (2 Β· π‘₯)))
162108, 65, 161syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑃 βˆ₯ (2 Β· π‘₯)))
163162necon3abid 2981 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) β‰  (0gβ€˜π‘Œ) ↔ Β¬ 𝑃 βˆ₯ (2 Β· π‘₯)))
164159, 163mpbird 257 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) β‰  (0gβ€˜π‘Œ))
16514simplbi 499 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ Field β†’ π‘Œ ∈ DivRing)
16613, 165syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ DivRing)
167166adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ π‘Œ ∈ DivRing)
1686, 134, 160drngunit 20191 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ DivRing β†’ ((πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) ∈ (Unitβ€˜π‘Œ) ↔ ((πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) β‰  (0gβ€˜π‘Œ))))
169167, 168syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) ∈ (Unitβ€˜π‘Œ) ↔ ((πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) β‰  (0gβ€˜π‘Œ))))
170121, 164, 169mpbir2and 712 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) ∈ (Unitβ€˜π‘Œ))
171170fmpttd 7064 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))):(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))⟢(Unitβ€˜π‘Œ))
172 fvexd 6858 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) ∈ V)
173130, 19, 172, 37fsuppmptdm 9317 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))) finSupp (0gβ€˜πΊ))
1748, 18, 19, 136, 171, 173gsumsubmcl 19697 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))) ∈ (Unitβ€˜π‘Œ))
175 eqid 2737 . . . 4 (/rβ€˜π‘Œ) = (/rβ€˜π‘Œ)
176 eqid 2737 . . . 4 (1rβ€˜π‘Œ) = (1rβ€˜π‘Œ)
177134, 175, 176dvrid 20118 . . 3 ((π‘Œ ∈ Ring ∧ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))) ∈ (Unitβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))(/rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))) = (1rβ€˜π‘Œ))
17821, 174, 177syl2anc 585 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))(/rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))) = (1rβ€˜π‘Œ))
179120fmpttd 7064 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))):(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
180 fvexd 6858 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)) ∈ V)
181129, 19, 180, 37fsuppmptdm 9317 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) finSupp (0gβ€˜πΊ))
1827, 8, 18, 19, 179, 181gsumcl 19693 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
1836, 134, 175, 114dvrcan3 20122 . . 3 ((π‘Œ ∈ Ring ∧ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))) ∈ (Unitβ€˜π‘Œ)) β†’ (((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))))(.rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))))(/rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))) = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))))
18421, 182, 174, 183syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))))(.rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))))(/rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))) = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))))
185133, 178, 1843eqtr3rd 2786 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))) = (1rβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  Vcvv 3446   βˆ– cdif 3908  {csn 4587   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5189   ∘ ccom 5638  βŸΆwf 6493  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358   ∘f cof 7616  Fincfn 8884  β„cr 11051  0cc0 11052  1c1 11053   Β· cmul 11057   < clt 11190   ≀ cle 11191   βˆ’ cmin 11386  -cneg 11387   / cdiv 11813  β„•cn 12154  2c2 12209  β„•0cn0 12414  β„€cz 12500  β„€β‰₯cuz 12764  β„+crp 12916  ...cfz 13425   mod cmo 13775  β†‘cexp 13968   βˆ₯ cdvds 16137  β„™cprime 16548  Basecbs 17084  .rcmulr 17135  0gc0g 17322   Ξ£g cgsu 17323  SubMndcsubmnd 18601  CMndccmn 19563  mulGrpcmgp 19897  1rcur 19914  Ringcrg 19965  CRingccrg 19966  Unitcui 20069  /rcdvr 20112   RingHom crh 20144  DivRingcdr 20186  Fieldcfield 20187  β„€ringczring 20872  β„€RHomczrh 20903  β„€/nβ„€czn 20906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129  ax-pre-sup 11130  ax-addf 11131  ax-mulf 11132
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-int 4909  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-se 5590  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-isom 6506  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-supp 8094  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-2o 8414  df-oadd 8417  df-er 8649  df-ec 8651  df-qs 8655  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9307  df-sup 9379  df-inf 9380  df-oi 9447  df-dju 9838  df-card 9876  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-div 11814  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-7 12222  df-8 12223  df-9 12224  df-n0 12415  df-xnn0 12487  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12765  df-rp 12917  df-fz 13426  df-fzo 13569  df-fl 13698  df-mod 13776  df-seq 13908  df-exp 13969  df-hash 14232  df-cj 14985  df-re 14986  df-im 14987  df-sqrt 15121  df-abs 15122  df-dvds 16138  df-gcd 16376  df-prm 16549  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-ress 17114  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-starv 17149  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-ip 17152  df-tset 17153  df-ple 17154  df-ds 17156  df-unif 17157  df-0g 17324  df-gsum 17325  df-imas 17391  df-qus 17392  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-mhm 18602  df-submnd 18603  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-mulg 18874  df-subg 18926  df-nsg 18927  df-eqg 18928  df-ghm 19007  df-cntz 19098  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-cring 19968  df-oppr 20050  df-dvdsr 20071  df-unit 20072  df-invr 20102  df-dvr 20113  df-rnghom 20147  df-drng 20188  df-field 20189  df-subrg 20223  df-lmod 20327  df-lss 20396  df-lsp 20436  df-sra 20636  df-rgmod 20637  df-lidl 20638  df-rsp 20639  df-2idl 20705  df-nzr 20731  df-rlreg 20756  df-domn 20757  df-idom 20758  df-cnfld 20800  df-zring 20873  df-zrh 20907  df-zn 20910
This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  26729
  Copyright terms: Public domain W3C validator