MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgseisenlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgseisenlem3 26887
Description: Lemma for lgseisen 26889. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
lgseisen.2 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
lgseisen.3 (πœ‘ β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
lgseisen.4 𝑅 = ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃)
lgseisen.5 𝑀 = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2))
lgseisen.6 𝑆 = ((𝑄 Β· (2 Β· 𝑦)) mod 𝑃)
lgseisen.7 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘ƒ)
lgseisen.8 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘Œ)
lgseisen.9 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))) = (1rβ€˜π‘Œ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝐿   π‘₯,𝑦,𝑃   πœ‘,π‘₯,𝑦   𝑦,𝑀   π‘₯,𝑄,𝑦   π‘₯,π‘Œ   π‘₯,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯,𝑦)   𝑆(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐿(𝑦)   𝑀(π‘₯)   π‘Œ(𝑦)

Proof of Theorem lgseisenlem3
Dummy variable π‘˜ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (2 Β· π‘˜) = (2 Β· π‘₯))
21fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (π‘˜ = π‘₯ β†’ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜)) = (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))
32cbvmptv 5261 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))
43oveq2i 7422 . . . . . 6 (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜)))) = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))
5 lgseisen.8 . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrpβ€˜π‘Œ)
6 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜π‘Œ)
75, 6mgpbas 19995 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘Œ) = (Baseβ€˜πΊ)
8 eqid 2732 . . . . . . 7 (0gβ€˜πΊ) = (0gβ€˜πΊ)
9 lgseisen.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
109eldifad 3960 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„™)
11 lgseisen.7 . . . . . . . . . . 11 π‘Œ = (β„€/nβ„€β€˜π‘ƒ)
1211znfld 21122 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ β„™ β†’ π‘Œ ∈ Field)
1310, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Field)
14 isfld 20372 . . . . . . . . . 10 (π‘Œ ∈ Field ↔ (π‘Œ ∈ DivRing ∧ π‘Œ ∈ CRing))
1514simprbi 497 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ Field β†’ π‘Œ ∈ CRing)
1613, 15syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ CRing)
175crngmgp 20066 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ CRing β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ CMnd)
19 fzfid 13940 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ∈ Fin)
20 crngring 20070 . . . . . . . . . . . 12 (π‘Œ ∈ CRing β†’ π‘Œ ∈ Ring)
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ Ring)
22 lgseisen.9 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘Œ)
2322zrhrhm 21067 . . . . . . . . . . 11 (π‘Œ ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
25 zringbas 21029 . . . . . . . . . . 11 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
2625, 6rhmf 20267 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
2724, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
28 2z 12596 . . . . . . . . . 10 2 ∈ β„€
29 elfzelz 13503 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) β†’ π‘˜ ∈ β„€)
30 zmulcl 12613 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ β„€ ∧ π‘˜ ∈ β„€) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„€)
3128, 29, 30sylancr 587 . . . . . . . . 9 (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) β†’ (2 Β· π‘˜) ∈ β„€)
32 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . 9 ((𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ) ∧ (2 Β· π‘˜) ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
3327, 31, 32syl2an 596 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
3433fmpttd 7116 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜))):(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
35 eqid 2732 . . . . . . . 8 (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜)))
36 fvexd 6906 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜)) ∈ V)
37 fvexd 6906 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜πΊ) ∈ V)
3835, 19, 36, 37fsuppmptdm 9376 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜))) finSupp (0gβ€˜πΊ))
39 lgseisen.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ (β„™ βˆ– {2}))
40 lgseisen.3 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
41 lgseisen.4 . . . . . . . 8 𝑅 = ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃)
42 lgseisen.5 . . . . . . . 8 𝑀 = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2))
43 lgseisen.6 . . . . . . . 8 𝑆 = ((𝑄 Β· (2 Β· 𝑦)) mod 𝑃)
449, 39, 40, 41, 42, 43lgseisenlem2 26886 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀:(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))–1-1-ontoβ†’(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
457, 8, 18, 19, 34, 38, 44gsumf1o 19786 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜)))) = (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜))) ∘ 𝑀)))
464, 45eqtr3id 2786 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))) = (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜))) ∘ 𝑀)))
479, 39, 40, 41, 42lgseisenlem1 26885 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑀:(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))⟢(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
4842fmpt 7111 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↔ 𝑀:(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))⟢(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
4947, 48sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
5042a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑀 = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2)))
51 eqidd 2733 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜))) = (π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜))))
52 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (π‘˜ = ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2) β†’ (2 Β· π‘˜) = (2 Β· ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2)))
5352fveq2d 6895 . . . . . . 7 (π‘˜ = ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2) β†’ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜)) = (πΏβ€˜(2 Β· ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2))))
5449, 50, 51, 53fmptcof 7130 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜))) ∘ 𝑀) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2)))))
5554oveq2d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘˜ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘˜))) ∘ 𝑀)) = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2))))))
5639eldifad 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (πœ‘ β†’ 𝑄 ∈ β„™)
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑄 ∈ β„™)
58 prmz 16614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑄 ∈ β„™ β†’ 𝑄 ∈ β„€)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑄 ∈ β„€)
60 2nn 12287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ β„•
61 elfznn 13532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
6261adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ π‘₯ ∈ β„•)
63 nnmulcl 12238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ β„• ∧ π‘₯ ∈ β„•) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„•)
6460, 62, 63sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„•)
6564nnzd 12587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„€)
6659, 65zmulcld 12674 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) ∈ β„€)
6710adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑃 ∈ β„™)
68 prmnn 16613 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
7066, 69zmodcld 13859 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃) ∈ β„•0)
7141, 70eqeltrid 2837 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑅 ∈ β„•0)
7271nn0zd 12586 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑅 ∈ β„€)
73 m1expcl 14054 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ β„€ β†’ (-1↑𝑅) ∈ β„€)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (-1↑𝑅) ∈ β„€)
7574, 72zmulcld 12674 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((-1↑𝑅) Β· 𝑅) ∈ β„€)
7675, 69zmodcld 13859 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) ∈ β„•0)
7776nn0cnd 12536 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) ∈ β„‚)
78 2cnd 12292 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 2 ∈ β„‚)
79 2ne0 12318 . . . . . . . . . . . 12 2 β‰  0
8079a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 2 β‰  0)
8177, 78, 80divcan2d 11994 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (2 Β· ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2)) = (((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃))
8281fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(2 Β· ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2))) = (πΏβ€˜(((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃)))
8369nnrpd 13016 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑃 ∈ ℝ+)
84 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((-1↑𝑅) mod 𝑃) = ((-1↑𝑅) mod 𝑃))
8541oveq1i 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 mod 𝑃) = (((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃) mod 𝑃)
8666zred 12668 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) ∈ ℝ)
87 modabs2 13872 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) β†’ (((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃))
8886, 83, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃))
8985, 88eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑅 mod 𝑃) = ((𝑄 Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃))
9074, 74, 72, 66, 83, 84, 89modmul12d 13892 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) Β· (𝑄 Β· (2 Β· π‘₯))) mod 𝑃))
9175zred 12668 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((-1↑𝑅) Β· 𝑅) ∈ ℝ)
92 modabs2 13872 . . . . . . . . . . . . 13 ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) β†’ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃))
9391, 83, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃))
9474zcnd 12669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (-1↑𝑅) ∈ β„‚)
9559zcnd 12669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑄 ∈ β„‚)
9665zcnd 12669 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
9794, 95, 96mulassd 11239 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)) = ((-1↑𝑅) Β· (𝑄 Β· (2 Β· π‘₯))))
9897oveq1d 7426 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) Β· (𝑄 Β· (2 Β· π‘₯))) mod 𝑃))
9990, 93, 983eqtr4d 2782 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃))
10010, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ β„•)
101100adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑃 ∈ β„•)
10276nn0zd 12586 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) ∈ β„€)
10374, 59zmulcld 12674 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((-1↑𝑅) Β· 𝑄) ∈ β„€)
104103, 65zmulcld 12674 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)) ∈ β„€)
105 moddvds 16210 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ β„• ∧ (((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) ∈ β„€ ∧ (((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)) ∈ β„€) β†’ (((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) βˆ’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)))))
106101, 102, 104, 105syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) βˆ’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)))))
10799, 106mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑃 βˆ₯ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) βˆ’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯))))
10869nnnn0d 12534 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑃 ∈ β„•0)
10911, 22zndvds 21111 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ β„•0 ∧ (((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) ∈ β„€ ∧ (((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)) ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜(((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃)) = (πΏβ€˜(((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯))) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) βˆ’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)))))
110108, 102, 104, 109syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((πΏβ€˜(((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃)) = (πΏβ€˜(((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯))) ↔ 𝑃 βˆ₯ ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) βˆ’ (((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯)))))
111107, 110mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃)) = (πΏβ€˜(((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯))))
11224adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ))
113 zringmulr 21033 . . . . . . . . . . 11 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
114 eqid 2732 . . . . . . . . . . 11 (.rβ€˜π‘Œ) = (.rβ€˜π‘Œ)
11525, 113, 114rhmmul 20268 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ (β„€ring RingHom π‘Œ) ∧ ((-1↑𝑅) Β· 𝑄) ∈ β„€ ∧ (2 Β· π‘₯) ∈ β„€) β†’ (πΏβ€˜(((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯))) = ((πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))
116112, 103, 65, 115syl3anc 1371 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(((-1↑𝑅) Β· 𝑄) Β· (2 Β· π‘₯))) = ((πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))
11782, 111, 1163eqtrd 2776 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(2 Β· ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2))) = ((πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))
118117mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2)))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ ((πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))))
11927adantr 481 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝐿:β„€βŸΆ(Baseβ€˜π‘Œ))
120119, 103ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
121119, 65ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
122 eqidd 2733 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))))
123 eqidd 2733 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))
12419, 120, 121, 122, 123offval2 7692 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) ∘f (.rβ€˜π‘Œ)(π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ ((πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))(.rβ€˜π‘Œ)(πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))))
125118, 124eqtr4d 2775 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2)))) = ((π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) ∘f (.rβ€˜π‘Œ)(π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))))
126125oveq2d 7427 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· ((((-1↑𝑅) Β· 𝑅) mod 𝑃) / 2))))) = (𝐺 Ξ£g ((π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) ∘f (.rβ€˜π‘Œ)(π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))))
12746, 55, 1263eqtrd 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))) = (𝐺 Ξ£g ((π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) ∘f (.rβ€˜π‘Œ)(π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))))
1285, 114mgpplusg 19993 . . . . 5 (.rβ€˜π‘Œ) = (+gβ€˜πΊ)
129 eqid 2732 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))
130 eqid 2732 . . . . 5 (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))
1317, 128, 18, 19, 120, 121, 129, 130gsummptfidmadd2 19796 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g ((π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) ∘f (.rβ€˜π‘Œ)(π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))) = ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))))(.rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))))
132127, 131eqtrd 2772 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))) = ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))))(.rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))))
133132oveq1d 7426 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))(/rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))) = (((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))))(.rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))))(/rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))))
134 eqid 2732 . . . . . 6 (Unitβ€˜π‘Œ) = (Unitβ€˜π‘Œ)
135134, 5unitsubm 20204 . . . . 5 (π‘Œ ∈ Ring β†’ (Unitβ€˜π‘Œ) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
13621, 135syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Unitβ€˜π‘Œ) ∈ (SubMndβ€˜πΊ))
137 elfzle2 13507 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) β†’ π‘₯ ≀ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2))
138137adantl 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ π‘₯ ≀ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2))
13962nnred 12229 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
140 prmuz2 16635 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2))
141 uz2m1nn 12909 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (β„€β‰₯β€˜2) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•)
14267, 140, 1413syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„•)
143142nnred 12229 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ ℝ)
144 2re 12288 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
145144a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 2 ∈ ℝ)
146 2pos 12317 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
147146a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 0 < 2)
148 lemuldiv2 12097 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) β†’ ((2 Β· π‘₯) ≀ (𝑃 βˆ’ 1) ↔ π‘₯ ≀ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
149139, 143, 145, 147, 148syl112anc 1374 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((2 Β· π‘₯) ≀ (𝑃 βˆ’ 1) ↔ π‘₯ ≀ ((𝑃 βˆ’ 1) / 2)))
150138, 149mpbird 256 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (2 Β· π‘₯) ≀ (𝑃 βˆ’ 1))
151 prmz 16614 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ β„™ β†’ 𝑃 ∈ β„€)
15267, 151syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ 𝑃 ∈ β„€)
153 peano2zm 12607 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ β„€ β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„€)
154152, 153syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„€)
155 fznn 13571 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 βˆ’ 1) ∈ β„€ β†’ ((2 Β· π‘₯) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ↔ ((2 Β· π‘₯) ∈ β„• ∧ (2 Β· π‘₯) ≀ (𝑃 βˆ’ 1))))
156154, 155syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((2 Β· π‘₯) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)) ↔ ((2 Β· π‘₯) ∈ β„• ∧ (2 Β· π‘₯) ≀ (𝑃 βˆ’ 1))))
15764, 150, 156mpbir2and 711 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (2 Β· π‘₯) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1)))
158 fzm1ndvds 16267 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ β„• ∧ (2 Β· π‘₯) ∈ (1...(𝑃 βˆ’ 1))) β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ (2 Β· π‘₯))
15969, 157, 158syl2anc 584 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ Β¬ 𝑃 βˆ₯ (2 Β· π‘₯))
160 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (0gβ€˜π‘Œ) = (0gβ€˜π‘Œ)
16111, 22, 160zndvds0 21112 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ β„•0 ∧ (2 Β· π‘₯) ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑃 βˆ₯ (2 Β· π‘₯)))
162108, 65, 161syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) = (0gβ€˜π‘Œ) ↔ 𝑃 βˆ₯ (2 Β· π‘₯)))
163162necon3abid 2977 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) β‰  (0gβ€˜π‘Œ) ↔ Β¬ 𝑃 βˆ₯ (2 Β· π‘₯)))
164159, 163mpbird 256 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) β‰  (0gβ€˜π‘Œ))
16514simplbi 498 . . . . . . . . 9 (π‘Œ ∈ Field β†’ π‘Œ ∈ DivRing)
16613, 165syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ DivRing)
167166adantr 481 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ π‘Œ ∈ DivRing)
1686, 134, 160drngunit 20366 . . . . . . 7 (π‘Œ ∈ DivRing β†’ ((πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) ∈ (Unitβ€˜π‘Œ) ↔ ((πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) β‰  (0gβ€˜π‘Œ))))
169167, 168syl 17 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ ((πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) ∈ (Unitβ€˜π‘Œ) ↔ ((πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) β‰  (0gβ€˜π‘Œ))))
170121, 164, 169mpbir2and 711 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) ∈ (Unitβ€˜π‘Œ))
171170fmpttd 7116 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))):(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))⟢(Unitβ€˜π‘Œ))
172 fvexd 6906 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)) ∈ V)
173130, 19, 172, 37fsuppmptdm 9376 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))) finSupp (0gβ€˜πΊ))
1748, 18, 19, 136, 171, 173gsumsubmcl 19789 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))) ∈ (Unitβ€˜π‘Œ))
175 eqid 2732 . . . 4 (/rβ€˜π‘Œ) = (/rβ€˜π‘Œ)
176 eqid 2732 . . . 4 (1rβ€˜π‘Œ) = (1rβ€˜π‘Œ)
177134, 175, 176dvrid 20224 . . 3 ((π‘Œ ∈ Ring ∧ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))) ∈ (Unitβ€˜π‘Œ)) β†’ ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))(/rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))) = (1rβ€˜π‘Œ))
17821, 174, 177syl2anc 584 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))(/rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))) = (1rβ€˜π‘Œ))
179120fmpttd 7116 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))):(1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))⟢(Baseβ€˜π‘Œ))
180 fvexd 6906 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2))) β†’ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)) ∈ V)
181129, 19, 180, 37fsuppmptdm 9376 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))) finSupp (0gβ€˜πΊ))
1827, 8, 18, 19, 179, 181gsumcl 19785 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ))
1836, 134, 175, 114dvrcan3 20228 . . 3 ((π‘Œ ∈ Ring ∧ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))) ∈ (Baseβ€˜π‘Œ) ∧ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))) ∈ (Unitβ€˜π‘Œ)) β†’ (((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))))(.rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))))(/rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))) = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))))
18421, 182, 174, 183syl3anc 1371 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄))))(.rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯)))))(/rβ€˜π‘Œ)(𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜(2 Β· π‘₯))))) = (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))))
185133, 178, 1843eqtr3rd 2781 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 Ξ£g (π‘₯ ∈ (1...((𝑃 βˆ’ 1) / 2)) ↦ (πΏβ€˜((-1↑𝑅) Β· 𝑄)))) = (1rβ€˜π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   ∘ ccom 5680  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670  Fincfn 8941  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117   < clt 11250   ≀ cle 11251   βˆ’ cmin 11446  -cneg 11447   / cdiv 11873  β„•cn 12214  2c2 12269  β„•0cn0 12474  β„€cz 12560  β„€β‰₯cuz 12824  β„+crp 12976  ...cfz 13486   mod cmo 13836  β†‘cexp 14029   βˆ₯ cdvds 16199  β„™cprime 16610  Basecbs 17146  .rcmulr 17200  0gc0g 17387   Ξ£g cgsu 17388  SubMndcsubmnd 18672  CMndccmn 19650  mulGrpcmgp 19989  1rcur 20006  Ringcrg 20058  CRingccrg 20059  Unitcui 20173  /rcdvr 20218   RingHom crh 20252  DivRingcdr 20361  Fieldcfield 20362  β„€ringczring 21023  β„€RHomczrh 21055  β„€/nβ„€czn 21058
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-tpos 8213  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-er 8705  df-ec 8707  df-qs 8711  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-xnn0 12547  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fzo 13630  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-hash 14293  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16200  df-gcd 16438  df-prm 16611  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-ip 17217  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-imas 17456  df-qus 17457  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-nsg 19006  df-eqg 19007  df-ghm 19092  df-cntz 19183  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-rnghom 20255  df-nzr 20296  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-field 20364  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lsp 20588  df-sra 20791  df-rgmod 20792  df-lidl 20793  df-rsp 20794  df-2idl 20863  df-rlreg 20905  df-domn 20906  df-idom 20907  df-cnfld 20951  df-zring 21024  df-zrh 21059  df-zn 21062
This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  26888
  Copyright terms: Public domain W3C validator