MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lgseisenlem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lgseisenlem3 27223
Description: Lemma for lgseisen 27225. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2015.) (Proof shortened by AV, 28-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lgseisen.1 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.2 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
lgseisen.3 (𝜑𝑃𝑄)
lgseisen.4 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
lgseisen.5 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
lgseisen.6 𝑆 = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃)
lgseisen.7 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
lgseisen.8 𝐺 = (mulGrp‘𝑌)
lgseisen.9 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
Assertion
Ref Expression
lgseisenlem3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) = (1r𝑌))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐺   𝑥,𝐿   𝑥,𝑦,𝑃   𝜑,𝑥,𝑦   𝑦,𝑀   𝑥,𝑄,𝑦   𝑥,𝑌   𝑥,𝑆
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)   𝑆(𝑦)   𝐺(𝑦)   𝐿(𝑦)   𝑀(𝑥)   𝑌(𝑦)

Proof of Theorem lgseisenlem3
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7420 . . . . . . . . 9 (𝑘 = 𝑥 → (2 · 𝑘) = (2 · 𝑥))
21fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (𝑘 = 𝑥 → (𝐿‘(2 · 𝑘)) = (𝐿‘(2 · 𝑥)))
32cbvmptv 5261 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))
43oveq2i 7423 . . . . . 6 (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘)))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))
5 lgseisen.8 . . . . . . . 8 𝐺 = (mulGrp‘𝑌)
6 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
75, 6mgpbas 20041 . . . . . . 7 (Base‘𝑌) = (Base‘𝐺)
8 eqid 2731 . . . . . . 7 (0g𝐺) = (0g𝐺)
9 lgseisen.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑃 ∈ (ℙ ∖ {2}))
109eldifad 3960 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑃 ∈ ℙ)
11 lgseisen.7 . . . . . . . . . . 11 𝑌 = (ℤ/nℤ‘𝑃)
1211znfld 21426 . . . . . . . . . 10 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑌 ∈ Field)
1310, 12syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 ∈ Field)
14 isfld 20594 . . . . . . . . . 10 (𝑌 ∈ Field ↔ (𝑌 ∈ DivRing ∧ 𝑌 ∈ CRing))
1514simprbi 496 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ CRing)
1613, 15syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ CRing)
175crngmgp 20142 . . . . . . . 8 (𝑌 ∈ CRing → 𝐺 ∈ CMnd)
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ CMnd)
19 fzfid 13945 . . . . . . 7 (𝜑 → (1...((𝑃 − 1) / 2)) ∈ Fin)
20 crngring 20146 . . . . . . . . . . . 12 (𝑌 ∈ CRing → 𝑌 ∈ Ring)
2116, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ Ring)
22 lgseisen.9 . . . . . . . . . . . 12 𝐿 = (ℤRHom‘𝑌)
2322zrhrhm 21371 . . . . . . . . . . 11 (𝑌 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
2421, 23syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
25 zringbas 21313 . . . . . . . . . . 11 ℤ = (Base‘ℤring)
2625, 6rhmf 20383 . . . . . . . . . 10 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
2724, 26syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
28 2z 12601 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℤ
29 elfzelz 13508 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑘 ∈ ℤ)
30 zmulcl 12618 . . . . . . . . . 10 ((2 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ ℤ) → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
3128, 29, 30sylancr 586 . . . . . . . . 9 (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → (2 · 𝑘) ∈ ℤ)
32 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . 9 ((𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌) ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℤ) → (𝐿‘(2 · 𝑘)) ∈ (Base‘𝑌))
3327, 31, 32syl2an 595 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑘)) ∈ (Base‘𝑌))
3433fmpttd 7116 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))):(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(Base‘𝑌))
35 eqid 2731 . . . . . . . 8 (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) = (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘)))
36 fvexd 6906 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑘)) ∈ V)
37 fvexd 6906 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0g𝐺) ∈ V)
3835, 19, 36, 37fsuppmptdm 9380 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) finSupp (0g𝐺))
39 lgseisen.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑄 ∈ (ℙ ∖ {2}))
40 lgseisen.3 . . . . . . . 8 (𝜑𝑃𝑄)
41 lgseisen.4 . . . . . . . 8 𝑅 = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃)
42 lgseisen.5 . . . . . . . 8 𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))
43 lgseisen.6 . . . . . . . 8 𝑆 = ((𝑄 · (2 · 𝑦)) mod 𝑃)
449, 39, 40, 41, 42, 43lgseisenlem2 27222 . . . . . . 7 (𝜑𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))–1-1-onto→(1...((𝑃 − 1) / 2)))
457, 8, 18, 19, 34, 38, 44gsumf1o 19832 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘)))) = (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) ∘ 𝑀)))
464, 45eqtr3id 2785 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) = (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) ∘ 𝑀)))
479, 39, 40, 41, 42lgseisenlem1 27221 . . . . . . . 8 (𝜑𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
4842fmpt 7111 . . . . . . . 8 (∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↔ 𝑀:(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(1...((𝑃 − 1) / 2)))
4947, 48sylibr 233 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)))
5042a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑀 = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))
51 eqidd 2732 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) = (𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))))
52 oveq2 7420 . . . . . . . 8 (𝑘 = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) → (2 · 𝑘) = (2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))
5352fveq2d 6895 . . . . . . 7 (𝑘 = ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2) → (𝐿‘(2 · 𝑘)) = (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))))
5449, 50, 51, 53fmptcof 7130 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) ∘ 𝑀) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))))
5554oveq2d 7428 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑘 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑘))) ∘ 𝑀)) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))))))
5639eldifad 3960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝜑𝑄 ∈ ℙ)
5756adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℙ)
58 prmz 16619 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑄 ∈ ℙ → 𝑄 ∈ ℤ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℤ)
60 2nn 12292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 ∈ ℕ
61 elfznn 13537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ∈ ℕ)
6261adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℕ)
63 nnmulcl 12243 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑥 ∈ ℕ) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
6460, 62, 63sylancr 586 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℕ)
6564nnzd 12592 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℤ)
6659, 65zmulcld 12679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ)
6710adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℙ)
68 prmnn 16618 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℕ)
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ)
7066, 69zmodcld 13864 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
7141, 70eqeltrid 2836 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℕ0)
7271nn0zd 12591 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑅 ∈ ℤ)
73 m1expcl 14059 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑅 ∈ ℤ → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
7472, 73syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈ ℤ)
7574, 72zmulcld 12679 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℤ)
7675, 69zmodcld 13864 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℕ0)
7776nn0cnd 12541 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℂ)
78 2cnd 12297 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℂ)
79 2ne0 12323 . . . . . . . . . . . 12 2 ≠ 0
8079a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ≠ 0)
8177, 78, 80divcan2d 11999 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)) = (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃))
8281fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))) = (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃)))
8369nnrpd 13021 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℝ+)
84 eqidd 2732 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) mod 𝑃) = ((-1↑𝑅) mod 𝑃))
8541oveq1i 7422 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅 mod 𝑃) = (((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) mod 𝑃)
8666zred 12673 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ)
87 modabs2 13877 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑄 · (2 · 𝑥)) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → (((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
8886, 83, 87syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
8985, 88eqtrid 2783 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑅 mod 𝑃) = ((𝑄 · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
9074, 74, 72, 66, 83, 84, 89modmul12d 13897 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) mod 𝑃))
9175zred 12673 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℝ)
92 modabs2 13877 . . . . . . . . . . . . 13 ((((-1↑𝑅) · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝑃 ∈ ℝ+) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃))
9391, 83, 92syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃))
9474zcnd 12674 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (-1↑𝑅) ∈ ℂ)
9559zcnd 12674 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑄 ∈ ℂ)
9665zcnd 12674 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ ℂ)
9794, 95, 96mulassd 11244 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) = ((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))))
9897oveq1d 7427 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) = (((-1↑𝑅) · (𝑄 · (2 · 𝑥))) mod 𝑃))
9990, 93, 983eqtr4d 2781 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) mod 𝑃))
10010, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑃 ∈ ℕ)
101100adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ)
10276nn0zd 12591 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℤ)
10374, 59zmulcld 12679 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((-1↑𝑅) · 𝑄) ∈ ℤ)
104103, 65zmulcld 12679 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ)
105 moddvds 16215 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℤ ∧ (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ) → (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) − (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)))))
106101, 102, 104, 105syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) mod 𝑃) = ((((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) mod 𝑃) ↔ 𝑃 ∥ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) − (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)))))
10799, 106mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∥ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) − (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))))
10869nnnn0d 12539 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℕ0)
10911, 22zndvds 21415 . . . . . . . . . . 11 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) ∈ ℤ ∧ (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃)) = (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))) ↔ 𝑃 ∥ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) − (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)))))
110108, 102, 104, 109syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃)) = (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))) ↔ 𝑃 ∥ ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) − (((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥)))))
111107, 110mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃)) = (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))))
11224adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌))
113 zringmulr 21317 . . . . . . . . . . 11 · = (.r‘ℤring)
114 eqid 2731 . . . . . . . . . . 11 (.r𝑌) = (.r𝑌)
11525, 113, 114rhmmul 20384 . . . . . . . . . 10 ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑌) ∧ ((-1↑𝑅) · 𝑄) ∈ ℤ ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℤ) → (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))) = ((𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))(.r𝑌)(𝐿‘(2 · 𝑥))))
116112, 103, 65, 115syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(((-1↑𝑅) · 𝑄) · (2 · 𝑥))) = ((𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))(.r𝑌)(𝐿‘(2 · 𝑥))))
11782, 111, 1163eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))) = ((𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))(.r𝑌)(𝐿‘(2 · 𝑥))))
118117mpteq2dva 5248 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))(.r𝑌)(𝐿‘(2 · 𝑥)))))
11927adantr 480 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝐿:ℤ⟶(Base‘𝑌))
120119, 103ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)) ∈ (Base‘𝑌))
121119, 65ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌))
122 eqidd 2732 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))
123 eqidd 2732 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))
12419, 120, 121, 122, 123offval2 7694 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) ∘f (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ ((𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))(.r𝑌)(𝐿‘(2 · 𝑥)))))
125118, 124eqtr4d 2774 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2)))) = ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) ∘f (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))))
126125oveq2d 7428 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · ((((-1↑𝑅) · 𝑅) mod 𝑃) / 2))))) = (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) ∘f (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))))
12746, 55, 1263eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) = (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) ∘f (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))))
1285, 114mgpplusg 20039 . . . . 5 (.r𝑌) = (+g𝐺)
129 eqid 2731 . . . . 5 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))
130 eqid 2731 . . . . 5 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))) = (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))
1317, 128, 18, 19, 120, 121, 129, 130gsummptfidmadd2 19842 . . . 4 (𝜑 → (𝐺 Σg ((𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) ∘f (.r𝑌)(𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))))
132127, 131eqtrd 2771 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) = ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))))
133132oveq1d 7427 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = (((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))))
134 eqid 2731 . . . . . 6 (Unit‘𝑌) = (Unit‘𝑌)
135134, 5unitsubm 20284 . . . . 5 (𝑌 ∈ Ring → (Unit‘𝑌) ∈ (SubMnd‘𝐺))
13621, 135syl 17 . . . 4 (𝜑 → (Unit‘𝑌) ∈ (SubMnd‘𝐺))
137 elfzle2 13512 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
138137adantl 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2))
13962nnred 12234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑥 ∈ ℝ)
140 prmuz2 16640 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ (ℤ‘2))
141 uz2m1nn 12914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑃 ∈ (ℤ‘2) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
14267, 140, 1413syl 18 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℕ)
143142nnred 12234 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℝ)
144 2re 12293 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
145144a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 2 ∈ ℝ)
146 2pos 12322 . . . . . . . . . . . 12 0 < 2
147146a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 0 < 2)
148 lemuldiv2 12102 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑃 − 1) ∈ ℝ ∧ (2 ∈ ℝ ∧ 0 < 2)) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
149139, 143, 145, 147, 148syl112anc 1373 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1) ↔ 𝑥 ≤ ((𝑃 − 1) / 2)))
150138, 149mpbird 257 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))
151 prmz 16619 . . . . . . . . . . . 12 (𝑃 ∈ ℙ → 𝑃 ∈ ℤ)
15267, 151syl 17 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑃 ∈ ℤ)
153 peano2zm 12612 . . . . . . . . . . 11 (𝑃 ∈ ℤ → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
154152, 153syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝑃 − 1) ∈ ℤ)
155 fznn 13576 . . . . . . . . . 10 ((𝑃 − 1) ∈ ℤ → ((2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))))
156154, 155syl 17 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)) ↔ ((2 · 𝑥) ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ≤ (𝑃 − 1))))
15764, 150, 156mpbir2and 710 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1)))
158 fzm1ndvds 16272 . . . . . . . 8 ((𝑃 ∈ ℕ ∧ (2 · 𝑥) ∈ (1...(𝑃 − 1))) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))
15969, 157, 158syl2anc 583 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥))
160 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (0g𝑌) = (0g𝑌)
16111, 22, 160zndvds0 21416 . . . . . . . . 9 ((𝑃 ∈ ℕ0 ∧ (2 · 𝑥) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(2 · 𝑥)) = (0g𝑌) ↔ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
162108, 65, 161syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(2 · 𝑥)) = (0g𝑌) ↔ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
163162necon3abid 2976 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(2 · 𝑥)) ≠ (0g𝑌) ↔ ¬ 𝑃 ∥ (2 · 𝑥)))
164159, 163mpbird 257 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑥)) ≠ (0g𝑌))
16514simplbi 497 . . . . . . . . 9 (𝑌 ∈ Field → 𝑌 ∈ DivRing)
16613, 165syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌 ∈ DivRing)
167166adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → 𝑌 ∈ DivRing)
1686, 134, 160drngunit 20588 . . . . . . 7 (𝑌 ∈ DivRing → ((𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Unit‘𝑌) ↔ ((𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝐿‘(2 · 𝑥)) ≠ (0g𝑌))))
169167, 168syl 17 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → ((𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Unit‘𝑌) ↔ ((𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝐿‘(2 · 𝑥)) ≠ (0g𝑌))))
170121, 164, 169mpbir2and 710 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ (Unit‘𝑌))
171170fmpttd 7116 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))):(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(Unit‘𝑌))
172 fvexd 6906 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘(2 · 𝑥)) ∈ V)
173130, 19, 172, 37fsuppmptdm 9380 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))) finSupp (0g𝐺))
1748, 18, 19, 136, 171, 173gsumsubmcl 19835 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) ∈ (Unit‘𝑌))
175 eqid 2731 . . . 4 (/r𝑌) = (/r𝑌)
176 eqid 2731 . . . 4 (1r𝑌) = (1r𝑌)
177134, 175, 176dvrid 20304 . . 3 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) ∈ (Unit‘𝑌)) → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = (1r𝑌))
17821, 174, 177syl2anc 583 . 2 (𝜑 → ((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = (1r𝑌))
179120fmpttd 7116 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))):(1...((𝑃 − 1) / 2))⟶(Base‘𝑌))
180 fvexd 6906 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2))) → (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)) ∈ V)
181129, 19, 180, 37fsuppmptdm 9380 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))) finSupp (0g𝐺))
1827, 8, 18, 19, 179, 181gsumcl 19831 . . 3 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) ∈ (Base‘𝑌))
1836, 134, 175, 114dvrcan3 20308 . . 3 ((𝑌 ∈ Ring ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) ∈ (Base‘𝑌) ∧ (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))) ∈ (Unit‘𝑌)) → (((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))))
18421, 182, 174, 183syl3anc 1370 . 2 (𝜑 → (((𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄))))(.r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥)))))(/r𝑌)(𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘(2 · 𝑥))))) = (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))))
185133, 178, 1843eqtr3rd 2780 1 (𝜑 → (𝐺 Σg (𝑥 ∈ (1...((𝑃 − 1) / 2)) ↦ (𝐿‘((-1↑𝑅) · 𝑄)))) = (1r𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  wral 3060  Vcvv 3473  cdif 3945  {csn 4628   class class class wbr 5148  cmpt 5231  ccom 5680  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  f cof 7672  Fincfn 8945  cr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   · cmul 11121   < clt 11255  cle 11256  cmin 11451  -cneg 11452   / cdiv 11878  cn 12219  2c2 12274  0cn0 12479  cz 12565  cuz 12829  +crp 12981  ...cfz 13491   mod cmo 13841  cexp 14034  cdvds 16204  cprime 16615  Basecbs 17151  .rcmulr 17205  0gc0g 17392   Σg cgsu 17393  SubMndcsubmnd 18710  CMndccmn 19696  mulGrpcmgp 20035  1rcur 20082  Ringcrg 20134  CRingccrg 20135  Unitcui 20253  /rcdvr 20298   RingHom crh 20367  DivRingcdr 20583  Fieldcfield 20584  ringczring 21306  ℤRHomczrh 21359  ℤ/nczn 21362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-oadd 8476  df-er 8709  df-ec 8711  df-qs 8715  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-dju 9902  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-xnn0 12552  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-hash 14298  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-prm 16616  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-imas 17461  df-qus 17462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19046  df-nsg 19047  df-eqg 19048  df-ghm 19135  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-dvr 20299  df-rhm 20370  df-nzr 20411  df-subrng 20442  df-subrg 20467  df-drng 20585  df-field 20586  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-lidl 21021  df-rsp 21022  df-2idl 21095  df-rlreg 21188  df-domn 21189  df-idom 21190  df-cnfld 21234  df-zring 21307  df-zrh 21363  df-zn 21366
This theorem is referenced by:  lgseisenlem4  27224
  Copyright terms: Public domain W3C validator