Theorem redvr 21169

Description: The division operation of the field of reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
redvr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴(/r‘ℝfld)𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem redvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubdrg 21160	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
2	1	simpli 484	. . 3 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
3		simp1 1136	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		3simpc 1150	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
5	1	simpri 486	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
6		rebase 21158	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
7		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘ℝfld) = (Unit‘ℝfld)
8		re0g 21164	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℝfld)
9	6, 7, 8	drngunit 20361	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → (𝐵 ∈ (Unit‘ℝfld) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)))
10	5, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (Unit‘ℝfld) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
11	4, 10	sylibr 233	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ (Unit‘ℝfld))
12		df-refld 21157	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
13		cnflddiv 20974	. . . 4 ⊢ / = (/r‘ℂfld)
14		eqid 2732	. . . 4 ⊢ (/r‘ℝfld) = (/r‘ℝfld)
15	12, 13, 7, 14	subrgdv 20335	. . 3 ⊢ ((ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (Unit‘ℝfld)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r‘ℝfld)𝐵))
16	2, 3, 11, 15	mp3an2i 1466	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r‘ℝfld)𝐵))
17	16	eqcomd 2738	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴(/r‘ℝfld)𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  ‘cfv 6543  (class class class)co 7408  ℝcr 11108  0cc0 11109   / cdiv 11870  Unitcui 20168  /_rcdvr 20213  SubRingcsubrg 20314  DivRingcdr 20356  ℂ_fldccnfld 20943  ℝ_fldcrefld 21156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188  ax-mulf 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12472  df-z 12558  df-dec 12677  df-uz 12822  df-fz 13484  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-starv 17211  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-unif 17219  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-subg 19002  df-cmn 19649  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-cring 20058  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-dvr 20214  df-subrg 20316  df-drng 20358  df-cnfld 20944  df-refld 21157

This theorem is referenced by:  qqhre  32995