Theorem redvr 21596

Description: The division operation of the field of reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Nov-2017.)

Assertion

Ref	Expression
redvr	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴(/r‘ℝfld)𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Proof of Theorem redvr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resubdrg 21587	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ ℝfld ∈ DivRing)
2	1	simpli 485	. . 3 ⊢ ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld)
3		simp1 1143	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐴 ∈ ℝ)
4		3simpc 1157	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
5	1	simpri 487	. . . . 5 ⊢ ℝfld ∈ DivRing
6		rebase 21585	. . . . . 6 ⊢ ℝ = (Base‘ℝfld)
7		eqid 2741	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘ℝfld) = (Unit‘ℝfld)
8		re0g 21591	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℝfld)
9	6, 7, 8	drngunit 20710	. . . . 5 ⊢ (ℝfld ∈ DivRing → (𝐵 ∈ (Unit‘ℝfld) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)))
10	5, 9	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ (Unit‘ℝfld) ↔ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
11	4, 10	sylibr 236	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → 𝐵 ∈ (Unit‘ℝfld))
12		df-refld 21584	. . . 4 ⊢ ℝfld = (ℂfld ↾s ℝ)
13		cnflddiv 21381	. . . 4 ⊢ / = (/r‘ℂfld)
14		eqid 2741	. . . 4 ⊢ (/r‘ℝfld) = (/r‘ℝfld)
15	12, 13, 7, 14	subrgdv 20565	. . 3 ⊢ ((ℝ ∈ (SubRing‘ℂfld) ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ (Unit‘ℝfld)) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r‘ℝfld)𝐵))
16	2, 3, 11, 15	mp3an2i 1475	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) = (𝐴(/r‘ℝfld)𝐵))
17	16	eqcomd 2747	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴(/r‘ℝfld)𝐵) = (𝐴 / 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360  ℝcr 11032  0cc0 11033   / cdiv 11802  Unitcui 20330  /_rcdvr 20375  SubRingcsubrg 20545  DivRingcdr 20705  ℂ_fldccnfld 21351  ℝ_fldcrefld 21583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pow 5297  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-resscn 11090  ax-1cn 11091  ax-icn 11092  ax-addcl 11093  ax-addrcl 11094  ax-mulcl 11095  ax-mulrcl 11096  ax-mulcom 11097  ax-addass 11098  ax-mulass 11099  ax-distr 11100  ax-i2m1 11101  ax-1ne0 11102  ax-1rid 11103  ax-rnegex 11104  ax-rrecex 11105  ax-cnre 11106  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108  ax-pre-ltadd 11109  ax-pre-mulgt0 11110  ax-addf 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8170  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-xr 11178  df-ltxr 11179  df-le 11180  df-sub 11374  df-neg 11375  df-div 11803  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-starv 17230  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-unif 17238  df-0g 17399  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-subg 19094  df-cmn 19752  df-abl 19753  df-mgp 20117  df-rng 20129  df-ur 20158  df-ring 20211  df-cring 20212  df-oppr 20312  df-dvdsr 20332  df-unit 20333  df-invr 20363  df-dvr 20376  df-subrng 20522  df-subrg 20546  df-drng 20707  df-cnfld 21352  df-refld 21584

This theorem is referenced by:  qqhre  34216