Theorem elcncf1ii 25124

Description: Membership in the set of continuous complex functions from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
elcncf1i.1	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵
elcncf1i.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+)
elcncf1i.3	⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
elcncf1ii	⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝐴   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑤,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑍(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem elcncf1ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcncf1i.1	. . . 4 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3		elcncf1i.2	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+))
5		elcncf1i.3	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦)))
7	2, 4, 6	elcncf1di 25123	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵)))
8	7	mptru 1577	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899   class class class wbr 5103  ⟶wf 6529  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  ℂcc 11122   < clt 11267   − cmin 11465  ℝ⁺crp 13042  abscabs 15321  –cn→ccncf 25104

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-cnex 11180

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-fv 6541  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-map 8828  df-cncf 25106

This theorem is used by:  logcnlem5  26883