MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elcncf1ii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcncf1ii 24922
Description: Membership in the set of continuous complex functions from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
elcncf1i.1 𝐹:𝐴𝐵
elcncf1i.2 ((𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+)
elcncf1i.3 (((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
Assertion
Ref Expression
elcncf1ii ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝐴   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑤,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elcncf1ii
StepHypRef Expression
1 elcncf1i.1 . . . 4 𝐹:𝐴𝐵
21a1i 11 . . 3 (⊤ → 𝐹:𝐴𝐵)
3 elcncf1i.2 . . . 4 ((𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+)
43a1i 11 . . 3 (⊤ → ((𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+))
5 elcncf1i.3 . . . 4 (((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
65a1i 11 . . 3 (⊤ → (((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
72, 4, 6elcncf1di 24921 . 2 (⊤ → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)))
87mptru 1547 1 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wtru 1541  wcel 2108  wss 3951   class class class wbr 5143  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153   < clt 11295  cmin 11492  +crp 13034  abscabs 15273  cnccncf 24902
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-map 8868  df-cncf 24904
This theorem is referenced by:  logcnlem5  26688
  Copyright terms: Public domain W3C validator