Theorem elcncf1ii 25226

Description: Membership in the set of continuous complex functions from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
elcncf1i.1	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵
elcncf1i.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+)
elcncf1i.3	⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
elcncf1ii	⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝐴   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑤,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑍(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem elcncf1ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcncf1i.1	. . . 4 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3		elcncf1i.2	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+))
5		elcncf1i.3	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦)))
7	2, 4, 6	elcncf1di 25225	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵)))
8	7	mptru 1576	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3896   class class class wbr 5102  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  ℂcc 11205   < clt 11350   − cmin 11548  ℝ⁺crp 13127  abscabs 15410  –cn→ccncf 25206

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-map 8856  df-cncf 25208

This theorem is used by:  logcnlem5  26983