Theorem elcncf1ii 24059

Description: Membership in the set of continuous complex functions from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
elcncf1i.1	⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵
elcncf1i.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+)
elcncf1i.3	⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
elcncf1ii	⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝐴   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝑤,𝑍

Allowed substitution hints:   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elcncf1ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elcncf1i.1	. . . 4 ⊢ 𝐹:𝐴⟶𝐵
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
3		elcncf1i.2	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+)
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+))
5		elcncf1i.3	. . . 4 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦))
6	5	a1i 11	. . 3 ⊢ (⊤ → (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑤 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥 − 𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹‘𝑥) − (𝐹‘𝑤))) < 𝑦)))
7	2, 4, 6	elcncf1di 24058	. 2 ⊢ (⊤ → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵)))
8	7	mptru 1546	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396  ⊤wtru 1540   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887   class class class wbr 5074  ⟶wf 6429  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869   < clt 11009   − cmin 11205  ℝ⁺crp 12730  abscabs 14945  –cn→ccncf 24039

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-fv 6441  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-map 8617  df-cncf 24041

This theorem is referenced by:  logcnlem5  25801