MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elcncf1di Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcncf1di 24843
Description: Membership in the set of continuous complex functions from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
elcncf1d.1 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
elcncf1d.2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+))
elcncf1d.3 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
elcncf1di (𝜑 → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝐴   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elcncf1di
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elcncf1d.1 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2 elcncf1d.2 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+))
32imp 405 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑍 ∈ ℝ+)
4 an32 644 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ↔ ((𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤𝐴))
54bianass 640 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝐴))
6 elcncf1d.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
76imp 405 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
85, 7sylbir 234 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝐴) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
98ralrimiva 3143 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
10 breq2 5156 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑍 → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍))
1110rspceaimv 3617 . . . . 5 ((𝑍 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
123, 9, 11syl2anc 582 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
1312ralrimivva 3198 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
141, 13jca 510 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
15 elcncf 24837 . 2 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))))
1614, 15syl5ibrcom 246 1 (𝜑 → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394  wcel 2098  wral 3058  wrex 3067  wss 3949   class class class wbr 5152  wf 6549  cfv 6553  (class class class)co 7426  cc 11146   < clt 11288  cmin 11484  +crp 13016  abscabs 15223  cnccncf 24824
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7748  ax-cnex 11204
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-br 5153  df-opab 5215  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-fv 6561  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-map 8855  df-cncf 24826
This theorem is referenced by:  elcncf1ii  24844
  Copyright terms: Public domain W3C validator