MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elcncf1di Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcncf1di 23792
Description: Membership in the set of continuous complex functions from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
elcncf1d.1 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
elcncf1d.2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+))
elcncf1d.3 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
elcncf1di (𝜑 → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝐴   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elcncf1di
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elcncf1d.1 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2 elcncf1d.2 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+))
32imp 410 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑍 ∈ ℝ+)
4 an32 646 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ↔ ((𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤𝐴))
54bianass 642 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝐴))
6 elcncf1d.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
76imp 410 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
85, 7sylbir 238 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝐴) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
98ralrimiva 3105 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
10 breq2 5057 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑍 → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍))
1110rspceaimv 3542 . . . . 5 ((𝑍 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
123, 9, 11syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
1312ralrimivva 3112 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
141, 13jca 515 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
15 elcncf 23786 . 2 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))))
1614, 15syl5ibrcom 250 1 (𝜑 → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2110  wral 3061  wrex 3062  wss 3866   class class class wbr 5053  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  cc 10727   < clt 10867  cmin 11062  +crp 12586  abscabs 14797  cnccncf 23773
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ral 3066  df-rex 3067  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-opab 5116  df-id 5455  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-fv 6388  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-map 8510  df-cncf 23775
This theorem is referenced by:  elcncf1ii  23793
  Copyright terms: Public domain W3C validator