Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  elcncf1di Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elcncf1di 23510
 Description: Membership in the set of continuous complex functions from 𝐴 to 𝐵. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)
Hypotheses
Ref Expression
elcncf1d.1 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
elcncf1d.2 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+))
elcncf1d.3 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
Assertion
Ref Expression
elcncf1di (𝜑 → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝐴   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦   𝑤,𝐹,𝑥,𝑦   𝜑,𝑤,𝑥,𝑦   𝑤,𝑍
Allowed substitution hints:   𝑍(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem elcncf1di
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elcncf1d.1 . . 3 (𝜑𝐹:𝐴𝐵)
2 elcncf1d.2 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑍 ∈ ℝ+))
32imp 410 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → 𝑍 ∈ ℝ+)
4 an32 645 . . . . . . . 8 (((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ↔ ((𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+) ∧ 𝑤𝐴))
54bianass 641 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝐴))
6 elcncf1d.3 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
76imp 410 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ ((𝑥𝐴𝑤𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+)) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
85, 7sylbir 238 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) ∧ 𝑤𝐴) → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
98ralrimiva 3149 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → ∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
10 breq2 5035 . . . . . 6 (𝑧 = 𝑍 → ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 ↔ (abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍))
1110rspceaimv 3576 . . . . 5 ((𝑍 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑍 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
123, 9, 11syl2anc 587 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+)) → ∃𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
1312ralrimivva 3156 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))
141, 13jca 515 . 2 (𝜑 → (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦)))
15 elcncf 23504 . 2 ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → (𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵) ↔ (𝐹:𝐴𝐵 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ+𝑤𝐴 ((abs‘(𝑥𝑤)) < 𝑧 → (abs‘((𝐹𝑥) − (𝐹𝑤))) < 𝑦))))
1614, 15syl5ibrcom 250 1 (𝜑 → ((𝐴 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ⊆ ℂ) → 𝐹 ∈ (𝐴cn𝐵)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ⊆ wss 3881   class class class wbr 5031  ⟶wf 6321  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  ℂcc 10527   < clt 10667   − cmin 10862  ℝ+crp 12380  abscabs 14588  –cn→ccncf 23491 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5032  df-opab 5094  df-id 5426  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-fv 6333  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-map 8394  df-cncf 23493 This theorem is referenced by:  elcncf1ii  23511
 Copyright terms: Public domain W3C validator