MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  logcnlem5 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem logcnlem5 26535
Description: Lemma for logcn 26536. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
logcn.d 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
Assertion
Ref Expression
logcnlem5 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐷–cn→ℝ)
Distinct variable group:   π‘₯,𝐷

Proof of Theorem logcnlem5
Dummy variables 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 logcn.d . . 3 𝐷 = (β„‚ βˆ– (-∞(,]0))
2 difss 4126 . . 3 (β„‚ βˆ– (-∞(,]0)) βŠ† β„‚
31, 2eqsstri 4011 . 2 𝐷 βŠ† β„‚
4 ax-resscn 11169 . 2 ℝ βŠ† β„‚
5 eqid 2726 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))
61ellogdm 26528 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↔ (π‘₯ ∈ β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ+)))
76simplbi 497 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
81logdmn0 26529 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ π‘₯ β‰  0)
97, 8logcld 26459 . . . . 5 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (logβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
109imcld 15148 . . . 4 (π‘₯ ∈ 𝐷 β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) ∈ ℝ)
115, 10fmpti 7107 . . 3 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))):π·βŸΆβ„
12 eqid 2726 . . . 4 if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (absβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))) = if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (absβ€˜(β„‘β€˜π‘¦)))
13 eqid 2726 . . . 4 ((absβ€˜π‘¦) Β· (𝑧 / (1 + 𝑧))) = ((absβ€˜π‘¦) Β· (𝑧 / (1 + 𝑧)))
14 simpl 482 . . . 4 ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
15 simpr 484 . . . 4 ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ 𝑧 ∈ ℝ+)
161, 12, 13, 14, 15logcnlem2 26532 . . 3 ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (absβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))) ≀ ((absβ€˜π‘¦) Β· (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (absβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))), ((absβ€˜π‘¦) Β· (𝑧 / (1 + 𝑧)))) ∈ ℝ+)
17 simpll 764 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑀)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (absβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))) ≀ ((absβ€˜π‘¦) Β· (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (absβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))), ((absβ€˜π‘¦) Β· (𝑧 / (1 + 𝑧)))))) β†’ 𝑦 ∈ 𝐷)
18 simprl 768 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑀)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (absβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))) ≀ ((absβ€˜π‘¦) Β· (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (absβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))), ((absβ€˜π‘¦) Β· (𝑧 / (1 + 𝑧)))))) β†’ 𝑧 ∈ ℝ+)
19 simplr 766 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑀)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (absβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))) ≀ ((absβ€˜π‘¦) Β· (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (absβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))), ((absβ€˜π‘¦) Β· (𝑧 / (1 + 𝑧)))))) β†’ 𝑀 ∈ 𝐷)
20 simprr 770 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑀)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (absβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))) ≀ ((absβ€˜π‘¦) Β· (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (absβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))), ((absβ€˜π‘¦) Β· (𝑧 / (1 + 𝑧)))))) β†’ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑀)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (absβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))) ≀ ((absβ€˜π‘¦) Β· (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (absβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))), ((absβ€˜π‘¦) Β· (𝑧 / (1 + 𝑧)))))
211, 12, 13, 17, 18, 19, 20logcnlem4 26534 . . . . 5 (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑀)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (absβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))) ≀ ((absβ€˜π‘¦) Β· (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (absβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))), ((absβ€˜π‘¦) Β· (𝑧 / (1 + 𝑧)))))) β†’ (absβ€˜((β„‘β€˜(logβ€˜π‘¦)) βˆ’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘€)))) < 𝑧)
2221expr 456 . . . 4 (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑀)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (absβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))) ≀ ((absβ€˜π‘¦) Β· (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (absβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))), ((absβ€˜π‘¦) Β· (𝑧 / (1 + 𝑧)))) β†’ (absβ€˜((β„‘β€˜(logβ€˜π‘¦)) βˆ’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘€)))) < 𝑧))
23 2fveq3 6890 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) = (β„‘β€˜(logβ€˜π‘¦)))
24 fvex 6898 . . . . . . . . 9 (β„‘β€˜(logβ€˜π‘¦)) ∈ V
2523, 5, 24fvmpt 6992 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝐷 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦) = (β„‘β€˜(logβ€˜π‘¦)))
2625ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦) = (β„‘β€˜(logβ€˜π‘¦)))
27 2fveq3 6890 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑀 β†’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)) = (β„‘β€˜(logβ€˜π‘€)))
28 fvex 6898 . . . . . . . . 9 (β„‘β€˜(logβ€˜π‘€)) ∈ V
2927, 5, 28fvmpt 6992 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ 𝐷 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))β€˜π‘€) = (β„‘β€˜(logβ€˜π‘€)))
3029ad2antlr 724 . . . . . . 7 (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))β€˜π‘€) = (β„‘β€˜(logβ€˜π‘€)))
3126, 30oveq12d 7423 . . . . . 6 (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ (((π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))β€˜π‘€)) = ((β„‘β€˜(logβ€˜π‘¦)) βˆ’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘€))))
3231fveq2d 6889 . . . . 5 (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))β€˜π‘€))) = (absβ€˜((β„‘β€˜(logβ€˜π‘¦)) βˆ’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘€)))))
3332breq1d 5151 . . . 4 (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ ((absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))β€˜π‘€))) < 𝑧 ↔ (absβ€˜((β„‘β€˜(logβ€˜π‘¦)) βˆ’ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘€)))) < 𝑧))
3422, 33sylibrd 259 . . 3 (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑀 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) β†’ ((absβ€˜(𝑦 βˆ’ 𝑀)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (absβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))) ≀ ((absβ€˜π‘¦) Β· (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (absβ€˜(β„‘β€˜π‘¦))), ((absβ€˜π‘¦) Β· (𝑧 / (1 + 𝑧)))) β†’ (absβ€˜(((π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))β€˜π‘¦) βˆ’ ((π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯)))β€˜π‘€))) < 𝑧))
3511, 16, 34elcncf1ii 24771 . 2 ((𝐷 βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐷–cn→ℝ))
363, 4, 35mp2an 689 1 (π‘₯ ∈ 𝐷 ↦ (β„‘β€˜(logβ€˜π‘₯))) ∈ (𝐷–cn→ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3940   βŠ† wss 3943  ifcif 4523   class class class wbr 5141   ↦ cmpt 5224  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   Β· cmul 11117  -∞cmnf 11250   < clt 11252   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448   / cdiv 11875  β„+crp 12980  (,]cioc 13331  β„‘cim 15051  abscabs 15187  β€“cnβ†’ccncf 24751  logclog 26443
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-2o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-xneg 13098  df-xadd 13099  df-xmul 13100  df-ioo 13334  df-ioc 13335  df-ico 13336  df-icc 13337  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15020  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15421  df-clim 15438  df-rlim 15439  df-sum 15639  df-ef 16017  df-sin 16019  df-cos 16020  df-tan 16021  df-pi 16022  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-rest 17377  df-topn 17378  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-topgen 17398  df-pt 17399  df-prds 17402  df-xrs 17457  df-qtop 17462  df-imas 17463  df-xps 17465  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-submnd 18714  df-mulg 18996  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-psmet 21232  df-xmet 21233  df-met 21234  df-bl 21235  df-mopn 21236  df-fbas 21237  df-fg 21238  df-cnfld 21241  df-top 22751  df-topon 22768  df-topsp 22790  df-bases 22804  df-cld 22878  df-ntr 22879  df-cls 22880  df-nei 22957  df-lp 22995  df-perf 22996  df-cn 23086  df-cnp 23087  df-haus 23174  df-tx 23421  df-hmeo 23614  df-fil 23705  df-fm 23797  df-flim 23798  df-flf 23799  df-xms 24181  df-ms 24182  df-tms 24183  df-cncf 24753  df-limc 25750  df-dv 25751  df-log 26445
This theorem is referenced by:  logcn  26536
  Copyright terms: Public domain W3C validator