Theorem logcnlem5 25801

Description: Lemma for logcn 25802. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logcnlem5	⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem logcnlem5

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcn.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
2		difss 4066	. . 3 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
3	1, 2	eqsstri 3955	. 2 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
4		ax-resscn 10928	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))
6	1	ellogdm 25794	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
7	6	simplbi 498	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
8	1	logdmn0 25795	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
9	7, 8	logcld 25726	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
10	9	imcld 14906	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
11	5, 10	fmpti 6986	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))):𝐷⟶ℝ
12		eqid 2738	. . . 4 ⊢ if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) = if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦)))
13		eqid 2738	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))) = ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))
14		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ 𝐷)
15		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ ℝ+)
16	1, 12, 13, 14, 15	logcnlem2 25798	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))) ∈ ℝ+)
17		simpll 764	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))))) → 𝑦 ∈ 𝐷)
18		simprl 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))))) → 𝑧 ∈ ℝ+)
19		simplr 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))))) → 𝑤 ∈ 𝐷)
20		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))))) → (abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))))
21	1, 12, 13, 17, 18, 19, 20	logcnlem4 25800	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))))) → (abs‘((ℑ‘(log‘𝑦)) − (ℑ‘(log‘𝑤)))) < 𝑧)
22	21	expr 457	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))) → (abs‘((ℑ‘(log‘𝑦)) − (ℑ‘(log‘𝑤)))) < 𝑧))
23		2fveq3 6779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (ℑ‘(log‘𝑥)) = (ℑ‘(log‘𝑦)))
24		fvex 6787	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ‘(log‘𝑦)) ∈ V
25	23, 5, 24	fvmpt 6875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑦) = (ℑ‘(log‘𝑦)))
26	25	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑦) = (ℑ‘(log‘𝑦)))
27		2fveq3 6779	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (ℑ‘(log‘𝑥)) = (ℑ‘(log‘𝑤)))
28		fvex 6787	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ‘(log‘𝑤)) ∈ V
29	27, 5, 28	fvmpt 6875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐷 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑤) = (ℑ‘(log‘𝑤)))
30	29	ad2antlr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑤) = (ℑ‘(log‘𝑤)))
31	26, 30	oveq12d 7293	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑤)) = ((ℑ‘(log‘𝑦)) − (ℑ‘(log‘𝑤))))
32	31	fveq2d 6778	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑤))) = (abs‘((ℑ‘(log‘𝑦)) − (ℑ‘(log‘𝑤)))))
33	32	breq1d 5084	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((abs‘(((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑤))) < 𝑧 ↔ (abs‘((ℑ‘(log‘𝑦)) − (ℑ‘(log‘𝑤)))) < 𝑧))
34	22, 33	sylibrd 258	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑤))) < 𝑧))
35	11, 16, 34	elcncf1ii 24059	. 2 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℝ))
36	3, 4, 35	mp2an 689	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3884   ⊆ wss 3887  ifcif 4459   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℂcc 10869  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   + caddc 10874   · cmul 10876  -∞cmnf 11007   < clt 11009   ≤ cle 11010   − cmin 11205   / cdiv 11632  ℝ⁺crp 12730  (,]cioc 13080  ℑcim 14809  abscabs 14945  –cn→ccncf 24039  logclog 25710

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-inf2 9399  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949  ax-addf 10950  ax-mulf 10951

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-tp 4566  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-iin 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-se 5545  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-isom 6442  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-of 7533  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-supp 7978  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-2o 8298  df-er 8498  df-map 8617  df-pm 8618  df-ixp 8686  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-fsupp 9129  df-fi 9170  df-sup 9201  df-inf 9202  df-oi 9269  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12438  df-uz 12583  df-q 12689  df-rp 12731  df-xneg 12848  df-xadd 12849  df-xmul 12850  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-ico 13085  df-icc 13086  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-fl 13512  df-mod 13590  df-seq 13722  df-exp 13783  df-fac 13988  df-bc 14017  df-hash 14045  df-shft 14778  df-cj 14810  df-re 14811  df-im 14812  df-sqrt 14946  df-abs 14947  df-limsup 15180  df-clim 15197  df-rlim 15198  df-sum 15398  df-ef 15777  df-sin 15779  df-cos 15780  df-tan 15781  df-pi 15782  df-struct 16848  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-ress 16942  df-plusg 16975  df-mulr 16976  df-starv 16977  df-sca 16978  df-vsca 16979  df-ip 16980  df-tset 16981  df-ple 16982  df-ds 16984  df-unif 16985  df-hom 16986  df-cco 16987  df-rest 17133  df-topn 17134  df-0g 17152  df-gsum 17153  df-topgen 17154  df-pt 17155  df-prds 17158  df-xrs 17213  df-qtop 17218  df-imas 17219  df-xps 17221  df-mre 17295  df-mrc 17296  df-acs 17298  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-mulg 18701  df-cntz 18923  df-cmn 19388  df-psmet 20589  df-xmet 20590  df-met 20591  df-bl 20592  df-mopn 20593  df-fbas 20594  df-fg 20595  df-cnfld 20598  df-top 22043  df-topon 22060  df-topsp 22082  df-bases 22096  df-cld 22170  df-ntr 22171  df-cls 22172  df-nei 22249  df-lp 22287  df-perf 22288  df-cn 22378  df-cnp 22379  df-haus 22466  df-tx 22713  df-hmeo 22906  df-fil 22997  df-fm 23089  df-flim 23090  df-flf 23091  df-xms 23473  df-ms 23474  df-tms 23475  df-cncf 24041  df-limc 25030  df-dv 25031  df-log 25712

This theorem is referenced by:  logcn  25802