Theorem logcnlem5 26626

Description: Lemma for logcn 26627. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logcnlem5	⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem logcnlem5

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcn.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
2		difss 4077	. . 3 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
3	1, 2	eqsstri 3969	. 2 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
4		ax-resscn 11084	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))
6	1	ellogdm 26619	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
7	6	simplbi 496	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
8	1	logdmn0 26620	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
9	7, 8	logcld 26550	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
10	9	imcld 15146	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
11	5, 10	fmpti 7056	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))):𝐷⟶ℝ
12		eqid 2737	. . . 4 ⊢ if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) = if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦)))
13		eqid 2737	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))) = ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))
14		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ 𝐷)
15		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ ℝ+)
16	1, 12, 13, 14, 15	logcnlem2 26623	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))) ∈ ℝ+)
17		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))))) → 𝑦 ∈ 𝐷)
18		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))))) → 𝑧 ∈ ℝ+)
19		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))))) → 𝑤 ∈ 𝐷)
20		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))))) → (abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))))
21	1, 12, 13, 17, 18, 19, 20	logcnlem4 26625	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))))) → (abs‘((ℑ‘(log‘𝑦)) − (ℑ‘(log‘𝑤)))) < 𝑧)
22	21	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))) → (abs‘((ℑ‘(log‘𝑦)) − (ℑ‘(log‘𝑤)))) < 𝑧))
23		2fveq3 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (ℑ‘(log‘𝑥)) = (ℑ‘(log‘𝑦)))
24		fvex 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ‘(log‘𝑦)) ∈ V
25	23, 5, 24	fvmpt 6939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑦) = (ℑ‘(log‘𝑦)))
26	25	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑦) = (ℑ‘(log‘𝑦)))
27		2fveq3 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (ℑ‘(log‘𝑥)) = (ℑ‘(log‘𝑤)))
28		fvex 6845	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ‘(log‘𝑤)) ∈ V
29	27, 5, 28	fvmpt 6939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐷 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑤) = (ℑ‘(log‘𝑤)))
30	29	ad2antlr 728	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑤) = (ℑ‘(log‘𝑤)))
31	26, 30	oveq12d 7376	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑤)) = ((ℑ‘(log‘𝑦)) − (ℑ‘(log‘𝑤))))
32	31	fveq2d 6836	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑤))) = (abs‘((ℑ‘(log‘𝑦)) − (ℑ‘(log‘𝑤)))))
33	32	breq1d 5096	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((abs‘(((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑤))) < 𝑧 ↔ (abs‘((ℑ‘(log‘𝑦)) − (ℑ‘(log‘𝑤)))) < 𝑧))
34	22, 33	sylibrd 259	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑤))) < 𝑧))
35	11, 16, 34	elcncf1ii 24872	. 2 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℝ))
36	3, 4, 35	mp2an 693	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3887   ⊆ wss 3890  ifcif 4467   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6490  (class class class)co 7358  ℂcc 11025  ℝcr 11026  0cc0 11027  1c1 11028   + caddc 11030   · cmul 11032  -∞cmnf 11166   < clt 11168   ≤ cle 11169   − cmin 11366   / cdiv 11796  ℝ⁺crp 12931  (,]cioc 13288  ℑcim 15049  abscabs 15185  –cn→ccncf 24852  logclog 26534

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680  ax-inf2 9551  ax-cnex 11083  ax-resscn 11084  ax-1cn 11085  ax-icn 11086  ax-addcl 11087  ax-addrcl 11088  ax-mulcl 11089  ax-mulrcl 11090  ax-mulcom 11091  ax-addass 11092  ax-mulass 11093  ax-distr 11094  ax-i2m1 11095  ax-1ne0 11096  ax-1rid 11097  ax-rnegex 11098  ax-rrecex 11099  ax-cnre 11100  ax-pre-lttri 11101  ax-pre-lttrn 11102  ax-pre-ltadd 11103  ax-pre-mulgt0 11104  ax-pre-sup 11105  ax-addf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-iin 4937  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-isom 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8102  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-2o 8397  df-er 8634  df-map 8766  df-pm 8767  df-ixp 8837  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-fsupp 9266  df-fi 9315  df-sup 9346  df-inf 9347  df-oi 9416  df-card 9852  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-div 11797  df-nn 12164  df-2 12233  df-3 12234  df-4 12235  df-5 12236  df-6 12237  df-7 12238  df-8 12239  df-9 12240  df-n0 12427  df-z 12514  df-dec 12634  df-uz 12778  df-q 12888  df-rp 12932  df-xneg 13052  df-xadd 13053  df-xmul 13054  df-ioo 13291  df-ioc 13292  df-ico 13293  df-icc 13294  df-fz 13451  df-fzo 13598  df-fl 13740  df-mod 13818  df-seq 13953  df-exp 14013  df-fac 14225  df-bc 14254  df-hash 14282  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15638  df-ef 16021  df-sin 16023  df-cos 16024  df-tan 16025  df-pi 16026  df-struct 17106  df-sets 17123  df-slot 17141  df-ndx 17153  df-base 17169  df-ress 17190  df-plusg 17222  df-mulr 17223  df-starv 17224  df-sca 17225  df-vsca 17226  df-ip 17227  df-tset 17228  df-ple 17229  df-ds 17231  df-unif 17232  df-hom 17233  df-cco 17234  df-rest 17374  df-topn 17375  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-topgen 17395  df-pt 17396  df-prds 17399  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18741  df-mulg 19033  df-cntz 19281  df-cmn 19746  df-psmet 21334  df-xmet 21335  df-met 21336  df-bl 21337  df-mopn 21338  df-fbas 21339  df-fg 21340  df-cnfld 21343  df-top 22868  df-topon 22885  df-topsp 22907  df-bases 22920  df-cld 22993  df-ntr 22994  df-cls 22995  df-nei 23072  df-lp 23110  df-perf 23111  df-cn 23201  df-cnp 23202  df-haus 23289  df-tx 23536  df-hmeo 23729  df-fil 23820  df-fm 23912  df-flim 23913  df-flf 23914  df-xms 24294  df-ms 24295  df-tms 24296  df-cncf 24854  df-limc 25842  df-dv 25843  df-log 26536

This theorem is referenced by:  logcn  26627