Theorem logcnlem5 26495

Description: Lemma for logcn 26496. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Feb-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
logcn.d	⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))

Assertion

Ref	Expression
logcnlem5	⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℝ)

Distinct variable group:   𝑥,𝐷

Proof of Theorem logcnlem5

Dummy variables 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		logcn.d	. . 3 ⊢ 𝐷 = (ℂ ∖ (-∞(,]0))
2		difss 4131	. . 3 ⊢ (ℂ ∖ (-∞(,]0)) ⊆ ℂ
3	1, 2	eqsstri 4016	. 2 ⊢ 𝐷 ⊆ ℂ
4		ax-resscn 11173	. 2 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
5		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) = (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))
6	1	ellogdm 26488	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↔ (𝑥 ∈ ℂ ∧ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ+)))
7	6	simplbi 497	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ∈ ℂ)
8	1	logdmn0 26489	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → 𝑥 ≠ 0)
9	7, 8	logcld 26420	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (log‘𝑥) ∈ ℂ)
10	9	imcld 15149	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 → (ℑ‘(log‘𝑥)) ∈ ℝ)
11	5, 10	fmpti 7113	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))):𝐷⟶ℝ
12		eqid 2731	. . . 4 ⊢ if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) = if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦)))
13		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))) = ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))
14		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ 𝐷)
15		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → 𝑧 ∈ ℝ+)
16	1, 12, 13, 14, 15	logcnlem2 26492	. . 3 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))) ∈ ℝ+)
17		simpll 764	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))))) → 𝑦 ∈ 𝐷)
18		simprl 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))))) → 𝑧 ∈ ℝ+)
19		simplr 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))))) → 𝑤 ∈ 𝐷)
20		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))))) → (abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))))
21	1, 12, 13, 17, 18, 19, 20	logcnlem4 26494	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ (𝑧 ∈ ℝ+ ∧ (abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))))) → (abs‘((ℑ‘(log‘𝑦)) − (ℑ‘(log‘𝑤)))) < 𝑧)
22	21	expr 456	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))) → (abs‘((ℑ‘(log‘𝑦)) − (ℑ‘(log‘𝑤)))) < 𝑧))
23		2fveq3 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (ℑ‘(log‘𝑥)) = (ℑ‘(log‘𝑦)))
24		fvex 6904	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ‘(log‘𝑦)) ∈ V
25	23, 5, 24	fvmpt 6998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐷 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑦) = (ℑ‘(log‘𝑦)))
26	25	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑦) = (ℑ‘(log‘𝑦)))
27		2fveq3 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑤 → (ℑ‘(log‘𝑥)) = (ℑ‘(log‘𝑤)))
28		fvex 6904	. . . . . . . . 9 ⊢ (ℑ‘(log‘𝑤)) ∈ V
29	27, 5, 28	fvmpt 6998	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑤 ∈ 𝐷 → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑤) = (ℑ‘(log‘𝑤)))
30	29	ad2antlr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑤) = (ℑ‘(log‘𝑤)))
31	26, 30	oveq12d 7430	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑤)) = ((ℑ‘(log‘𝑦)) − (ℑ‘(log‘𝑤))))
32	31	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑤))) = (abs‘((ℑ‘(log‘𝑦)) − (ℑ‘(log‘𝑤)))))
33	32	breq1d 5158	. . . 4 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((abs‘(((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑤))) < 𝑧 ↔ (abs‘((ℑ‘(log‘𝑦)) − (ℑ‘(log‘𝑤)))) < 𝑧))
34	22, 33	sylibrd 259	. . 3 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝐷 ∧ 𝑤 ∈ 𝐷) ∧ 𝑧 ∈ ℝ+) → ((abs‘(𝑦 − 𝑤)) < if(if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))) ≤ ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧))), if(𝑦 ∈ ℝ+, 𝑦, (abs‘(ℑ‘𝑦))), ((abs‘𝑦) · (𝑧 / (1 + 𝑧)))) → (abs‘(((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑦) − ((𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥)))‘𝑤))) < 𝑧))
35	11, 16, 34	elcncf1ii 24737	. 2 ⊢ ((𝐷 ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℝ))
36	3, 4, 35	mp2an 689	1 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐷 ↦ (ℑ‘(log‘𝑥))) ∈ (𝐷–cn→ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3945   ⊆ wss 3948  ifcif 4528   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  ℝcr 11115  0cc0 11116  1c1 11117   + caddc 11119   · cmul 11121  -∞cmnf 11253   < clt 11255   ≤ cle 11256   − cmin 11451   / cdiv 11878  ℝ⁺crp 12981  (,]cioc 13332  ℑcim 15052  abscabs 15188  –cn→ccncf 24717  logclog 26404

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8152  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-2o 8473  df-er 8709  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9368  df-fi 9412  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-q 12940  df-rp 12982  df-xneg 13099  df-xadd 13100  df-xmul 13101  df-ioo 13335  df-ioc 13336  df-ico 13337  df-icc 13338  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-mod 13842  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-sin 16020  df-cos 16021  df-tan 16022  df-pi 16023  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-rest 17375  df-topn 17376  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-topgen 17396  df-pt 17397  df-prds 17400  df-xrs 17455  df-qtop 17460  df-imas 17461  df-xps 17463  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-mulg 18994  df-cntz 19229  df-cmn 19698  df-psmet 21226  df-xmet 21227  df-met 21228  df-bl 21229  df-mopn 21230  df-fbas 21231  df-fg 21232  df-cnfld 21235  df-top 22717  df-topon 22734  df-topsp 22756  df-bases 22770  df-cld 22844  df-ntr 22845  df-cls 22846  df-nei 22923  df-lp 22961  df-perf 22962  df-cn 23052  df-cnp 23053  df-haus 23140  df-tx 23387  df-hmeo 23580  df-fil 23671  df-fm 23763  df-flim 23764  df-flf 23765  df-xms 24147  df-ms 24148  df-tms 24149  df-cncf 24719  df-limc 25716  df-dv 25717  df-log 26406

This theorem is referenced by:  logcn  26496