Theorem elfvov1 7485

Description: Utility theorem: reverse closure for any operation that results in a function. (Contributed by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfvov1.o	⊢ Rel dom 𝑂
elfvov1.s	⊢ 𝑆 = (𝐼𝑂𝑅)
elfvov1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
elfvov1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)

Proof of Theorem elfvov1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvov1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆‘𝑌))
2		n0i 4289	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑆‘𝑌) → ¬ (𝑆‘𝑌) = ∅)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑆‘𝑌) = ∅)
4		elfvov1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼𝑂𝑅)
5		elfvov1.o	. . . . . 6 ⊢ Rel dom 𝑂
6	5	ovprc1 7482	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼𝑂𝑅) = ∅)
7	4, 6	eqtrid 2810	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → 𝑆 = ∅)
8	7	fveq1d 6910	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝑆‘𝑌) = (∅‘𝑌))
9		0fv 6949	. . 3 ⊢ (∅‘𝑌) = ∅
10	8, 9	eqtrdi 2814	. 2 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝑆‘𝑌) = ∅)
11	3, 10	nsyl2 142	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∅c0 4281  dom cdm 5655  Rel wrel 5660  ‘cfv 6558  (class class class)co 7443

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-xp 5661  df-rel 5662  df-dm 5665  df-iota 6512  df-fv 6566  df-ov 7446

This theorem is used by:  ismhp  22491  mhprcl  22494  mhpmulcl  22500  mhppwdeg  22501  mhpaddcl  22502  mhpinvcl  22503  mhpvscacl  22505  mhpind  43815  evlsmhpvvval  43816  mhphf2  43819  mhphf3  43820