Theorem elfvov1 7458

Description: Utility theorem: reverse closure for any operation that results in a function. (Contributed by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfvov1.o	⊢ Rel dom 𝑂
elfvov1.s	⊢ 𝑆 = (𝐼𝑂𝑅)
elfvov1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
elfvov1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)

Proof of Theorem elfvov1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvov1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆‘𝑌))
2		n0i 4289	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑆‘𝑌) → ¬ (𝑆‘𝑌) = ∅)
3	1, 2	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑆‘𝑌) = ∅)
4		elfvov1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼𝑂𝑅)
5		elfvov1.o	. . . . . 6 ⊢ Rel dom 𝑂
6	5	ovprc1 7455	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼𝑂𝑅) = ∅)
7	4, 6	eqtrid 2809	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → 𝑆 = ∅)
8	7	fveq1d 6884	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝑆‘𝑌) = (∅‘𝑌))
9		0fv 6923	. . 3 ⊢ (∅‘𝑌) = ∅
10	8, 9	eqtrdi 2813	. 2 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝑆‘𝑌) = ∅)
11	3, 10	nsyl2 142	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ∅c0 4282  dom cdm 5659  Rel wrel 5664  ‘cfv 6537  (class class class)co 7416

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-rel 5666  df-dm 5669  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7419

This theorem is used by:  ismhp  22369  mhprcl  22372  mhpmulcl  22378  mhppwdeg  22379  mhpaddcl  22380  mhpinvcl  22381  mhpvscacl  22383  mhpind  43427  evlsmhpvvval  43428  mhphf2  43431  mhphf3  43432