Theorem elfvov1 7402

Description: Utility theorem: reverse closure for any operation that results in a function. (Contributed by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
elfvov1.o	⊢ Rel dom 𝑂
elfvov1.s	⊢ 𝑆 = (𝐼𝑂𝑅)
elfvov1.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆‘𝑌))

Assertion

Ref	Expression
elfvov1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)

Proof of Theorem elfvov1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elfvov1.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑆‘𝑌))
2		n0i 4271	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑆‘𝑌) → ¬ (𝑆‘𝑌) = ∅)
3	1, 2	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑆‘𝑌) = ∅)
4		elfvov1.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝐼𝑂𝑅)
5		elfvov1.o	. . . . . 6 ⊢ Rel dom 𝑂
6	5	ovprc1 7399	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝐼𝑂𝑅) = ∅)
7	4, 6	eqtrid 2788	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → 𝑆 = ∅)
8	7	fveq1d 6833	. . 3 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝑆‘𝑌) = (∅‘𝑌))
9		0fv 6872	. . 3 ⊢ (∅‘𝑌) = ∅
10	8, 9	eqtrdi 2792	. 2 ⊢ (¬ 𝐼 ∈ V → (𝑆‘𝑌) = ∅)
11	3, 10	nsyl2 141	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433  ∅c0 4264  dom cdm 5621  Rel wrel 5626  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-ext 2713  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rab 3394  df-v 3435  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-nul 4265  df-if 4458  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-xp 5627  df-rel 5628  df-dm 5631  df-iota 6445  df-fv 6497  df-ov 7363

This theorem is referenced by:  ismhp  22132  mhprcl  22135  mhpmulcl  22141  mhppwdeg  22142  mhpaddcl  22143  mhpinvcl  22144  mhpvscacl  22146  mhpind  43059  evlsmhpvvval  43060  mhphf2  43063  mhphf3  43064