Theorem ismhp 22441

Description: Property of being a homogeneous polynomial. (Contributed by Steven Nguyen, 25-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismhp.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
ismhp.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ismhp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ismhp.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ismhp.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
ismhp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ismhp	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝐷,𝑔   𝑔,𝑁   𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔, ℎ)   𝐵(𝑔, ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑔, ℎ)   𝑅(𝑔, ℎ)   𝐻(𝑔, ℎ)   𝐼(𝑔)   𝑁(ℎ)   𝑋(𝑔, ℎ)   0 (𝑔, ℎ)

Proof of Theorem ismhp

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmmhp 22438	. . . . 5 ⊢ Rel dom mHomP
2		ismhp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3		id 23	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
4	1, 2, 3	elfvov1 7454	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) → 𝐼 ∈ V)
5	1, 2, 3	elfvov2 7455	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) → 𝑅 ∈ V)
6	4, 5	jca 521	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
7	6	anim2i 629	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁)) → (𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)))
8		reldmmpl 22275	. . . . 5 ⊢ Rel dom mPoly
9		ismhp.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
10		ismhp.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
11	8, 9, 10	elbasov 17374	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
12	11	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
13	12	anim2i 629	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})) → (𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)))
14		ismhp.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15		ismhp.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
16		simprl 783	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝐼 ∈ V)
17		simprr 785	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑅 ∈ V)
18		ismhp.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	18	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	2, 9, 10, 14, 15, 16, 17, 19	mhpval 22440	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐻‘𝑁) = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ (𝑓 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}})
21	20	eleq2d 2847	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ 𝑋 ∈ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ (𝑓 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}}))
22		oveq1 7419	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝑋 → (𝑓 supp 0 ) = (𝑋 supp 0 ))
23	22	sseq1d 3962	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝑋 → ((𝑓 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}))
24	23	elrab 3645	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ (𝑓 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}))
25	21, 24	bitrdi 290	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
26	7, 13, 25	pm5.21nd 814	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  {crab 3413  Vcvv 3451   ⊆ wss 3899  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412   supp csupp 8161   ↑_m cmap 8831  Fincfn 8957  ℕcn 12316  ℕ₀cn0 12587  Basecbs 17367   ↾_s cress 17388  0_gc0g 17590   Σ_g cgsu 17591  ℂ_fldccnfld 21658   mPoly cmpl 22194   mHomP cmhp 22434

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-1cn 11239  ax-addcl 11241

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-nn 12317  df-n0 12588  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-mpl 22199  df-mhp 22437

This theorem is used by:  ismhp2  22442  ismhp3  22443  mhpmpl  22445  mhpdeg  22446