MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismhp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismhp 22145
Description: Property of being a homogeneous polynomial. (Contributed by Steven Nguyen, 25-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ismhp.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
ismhp.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ismhp.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ismhp.0 0 = (0g𝑅)
ismhp.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
ismhp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
ismhp (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
Distinct variable groups:   ,𝐼   𝐷,𝑔   𝑔,𝑁   𝑔,
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,)   𝐵(𝑔,)   𝐷()   𝑃(𝑔,)   𝑅(𝑔,)   𝐻(𝑔,)   𝐼(𝑔)   𝑁()   𝑋(𝑔,)   0 (𝑔,)

Proof of Theorem ismhp
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldmmhp 22142 . . . . 5 Rel dom mHomP
2 ismhp.h . . . . 5 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3 id 22 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) → 𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
41, 2, 3elfvov1 7474 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) → 𝐼 ∈ V)
51, 2, 3elfvov2 7475 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) → 𝑅 ∈ V)
64, 5jca 511 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
76anim2i 617 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁)) → (𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)))
8 reldmmpl 22009 . . . . 5 Rel dom mPoly
9 ismhp.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
10 ismhp.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
118, 9, 10elbasov 17255 . . . 4 (𝑋𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
1211adantr 480 . . 3 ((𝑋𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
1312anim2i 617 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})) → (𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)))
14 ismhp.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
15 ismhp.d . . . . 5 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
16 simprl 770 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝐼 ∈ V)
17 simprr 772 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑅 ∈ V)
18 ismhp.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1918adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
202, 9, 10, 14, 15, 16, 17, 19mhpval 22144 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐻𝑁) = {𝑓𝐵 ∣ (𝑓 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}})
2120eleq2d 2826 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) ↔ 𝑋 ∈ {𝑓𝐵 ∣ (𝑓 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}}))
22 oveq1 7439 . . . . 5 (𝑓 = 𝑋 → (𝑓 supp 0 ) = (𝑋 supp 0 ))
2322sseq1d 4014 . . . 4 (𝑓 = 𝑋 → ((𝑓 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}))
2423elrab 3691 . . 3 (𝑋 ∈ {𝑓𝐵 ∣ (𝑓 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}} ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}))
2521, 24bitrdi 287 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
267, 13, 25pm5.21nd 801 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1539  wcel 2107  {crab 3435  Vcvv 3479  wss 3950  ccnv 5683  cima 5687  cfv 6560  (class class class)co 7432   supp csupp 8186  m cmap 8867  Fincfn 8986  cn 12267  0cn0 12528  Basecbs 17248  s cress 17275  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  fldccnfld 21365   mPoly cmpl 21927   mHomP cmhp 22134
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-1cn 11214  ax-addcl 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-nn 12268  df-n0 12529  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-mpl 21932  df-mhp 22141
This theorem is referenced by:  ismhp2  22146  ismhp3  22147  mhpmpl  22149  mhpdeg  22150
  Copyright terms: Public domain W3C validator