Theorem ismhp 22034

Description: Property of being a homogeneous polynomial. (Contributed by Steven Nguyen, 25-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismhp.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
ismhp.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ismhp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ismhp.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ismhp.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
ismhp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ismhp	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝐷,𝑔   𝑔,𝑁   𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐵(𝑔,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑔,ℎ)   𝑅(𝑔,ℎ)   𝐻(𝑔,ℎ)   𝐼(𝑔)   𝑁(ℎ)   𝑋(𝑔,ℎ)   0 (𝑔,ℎ)

Proof of Theorem ismhp

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmmhp 22031	. . . . 5 ⊢ Rel dom mHomP
2		ismhp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
4	1, 2, 3	elfvov1 7432	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) → 𝐼 ∈ V)
5	1, 2, 3	elfvov2 7433	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) → 𝑅 ∈ V)
6	4, 5	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
7	6	anim2i 617	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁)) → (𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)))
8		reldmmpl 21904	. . . . 5 ⊢ Rel dom mPoly
9		ismhp.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
10		ismhp.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
11	8, 9, 10	elbasov 17193	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
13	12	anim2i 617	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})) → (𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)))
14		ismhp.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15		ismhp.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
16		simprl 770	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝐼 ∈ V)
17		simprr 772	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑅 ∈ V)
18		ismhp.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	2, 9, 10, 14, 15, 16, 17, 19	mhpval 22033	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐻‘𝑁) = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ (𝑓 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}})
21	20	eleq2d 2815	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ 𝑋 ∈ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ (𝑓 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}}))
22		oveq1 7397	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝑋 → (𝑓 supp 0 ) = (𝑋 supp 0 ))
23	22	sseq1d 3981	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝑋 → ((𝑓 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}))
24	23	elrab 3662	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ (𝑓 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}))
25	21, 24	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
26	7, 13, 25	pm5.21nd 801	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3408  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  ^◡ccnv 5640   “ cima 5644  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   supp csupp 8142   ↑_m cmap 8802  Fincfn 8921  ℕcn 12193  ℕ₀cn0 12449  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  0_gc0g 17409   Σ_g cgsu 17410  ℂ_fldccnfld 21271   mPoly cmpl 21822   mHomP cmhp 22023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-1cn 11133  ax-addcl 11135

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-nn 12194  df-n0 12450  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-mpl 21827  df-mhp 22030

This theorem is referenced by:  ismhp2  22035  ismhp3  22036  mhpmpl  22038  mhpdeg  22039