MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ismhp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ismhp 22162
Description: Property of being a homogeneous polynomial. (Contributed by Steven Nguyen, 25-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
ismhp.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
ismhp.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ismhp.b 𝐵 = (Base‘𝑃)
ismhp.0 0 = (0g𝑅)
ismhp.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
ismhp.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Assertion
Ref Expression
ismhp (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
Distinct variable groups:   ,𝐼   𝐷,𝑔   𝑔,𝑁   𝑔,
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,)   𝐵(𝑔,)   𝐷()   𝑃(𝑔,)   𝑅(𝑔,)   𝐻(𝑔,)   𝐼(𝑔)   𝑁()   𝑋(𝑔,)   0 (𝑔,)

Proof of Theorem ismhp
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reldmmhp 22159 . . . . 5 Rel dom mHomP
2 ismhp.h . . . . 5 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3 id 22 . . . . 5 (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) → 𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
41, 2, 3elfvov1 7473 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) → 𝐼 ∈ V)
51, 2, 3elfvov2 7474 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) → 𝑅 ∈ V)
64, 5jca 511 . . 3 (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
76anim2i 617 . 2 ((𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁)) → (𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)))
8 reldmmpl 22026 . . . . 5 Rel dom mPoly
9 ismhp.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
10 ismhp.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑃)
118, 9, 10elbasov 17252 . . . 4 (𝑋𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
1211adantr 480 . . 3 ((𝑋𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
1312anim2i 617 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})) → (𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)))
14 ismhp.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
15 ismhp.d . . . . 5 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
16 simprl 771 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝐼 ∈ V)
17 simprr 773 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑅 ∈ V)
18 ismhp.n . . . . . 6 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1918adantr 480 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
202, 9, 10, 14, 15, 16, 17, 19mhpval 22161 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐻𝑁) = {𝑓𝐵 ∣ (𝑓 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}})
2120eleq2d 2825 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) ↔ 𝑋 ∈ {𝑓𝐵 ∣ (𝑓 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}}))
22 oveq1 7438 . . . . 5 (𝑓 = 𝑋 → (𝑓 supp 0 ) = (𝑋 supp 0 ))
2322sseq1d 4027 . . . 4 (𝑓 = 𝑋 → ((𝑓 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}))
2423elrab 3695 . . 3 (𝑋 ∈ {𝑓𝐵 ∣ (𝑓 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}} ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}))
2521, 24bitrdi 287 . 2 ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
267, 13, 25pm5.21nd 802 1 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻𝑁) ↔ (𝑋𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  wss 3963  ccnv 5688  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431   supp csupp 8184  m cmap 8865  Fincfn 8984  cn 12264  0cn0 12524  Basecbs 17245  s cress 17274  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  fldccnfld 21382   mPoly cmpl 21944   mHomP cmhp 22151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-1cn 11211  ax-addcl 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-nn 12265  df-n0 12525  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-mpl 21949  df-mhp 22158
This theorem is referenced by:  ismhp2  22163  ismhp3  22164  mhpmpl  22166  mhpdeg  22167
  Copyright terms: Public domain W3C validator