Theorem ismhp 22116

Description: Property of being a homogeneous polynomial. (Contributed by Steven Nguyen, 25-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
ismhp.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
ismhp.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
ismhp.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
ismhp.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
ismhp.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
ismhp.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Assertion

Ref	Expression
ismhp	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))

Distinct variable groups:   ℎ,𝐼   𝐷,𝑔   𝑔,𝑁   𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐵(𝑔,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑔,ℎ)   𝑅(𝑔,ℎ)   𝐻(𝑔,ℎ)   𝐼(𝑔)   𝑁(ℎ)   𝑋(𝑔,ℎ)   0 (𝑔,ℎ)

Proof of Theorem ismhp

Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldmmhp 22113	. . . . 5 ⊢ Rel dom mHomP
2		ismhp.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3		id 22	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
4	1, 2, 3	elfvov1 7402	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) → 𝐼 ∈ V)
5	1, 2, 3	elfvov2 7403	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) → 𝑅 ∈ V)
6	4, 5	jca 511	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
7	6	anim2i 618	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁)) → (𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)))
8		reldmmpl 21976	. . . . 5 ⊢ Rel dom mPoly
9		ismhp.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
10		ismhp.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑃)
11	8, 9, 10	elbasov 17177	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
12	11	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}) → (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V))
13	12	anim2i 618	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})) → (𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)))
14		ismhp.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
15		ismhp.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
16		simprl 771	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝐼 ∈ V)
17		simprr 773	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑅 ∈ V)
18		ismhp.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
19	18	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
20	2, 9, 10, 14, 15, 16, 17, 19	mhpval 22115	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝐻‘𝑁) = {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ (𝑓 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}})
21	20	eleq2d 2823	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ 𝑋 ∈ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ (𝑓 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}}))
22		oveq1 7367	. . . . 5 ⊢ (𝑓 = 𝑋 → (𝑓 supp 0 ) = (𝑋 supp 0 ))
23	22	sseq1d 3954	. . . 4 ⊢ (𝑓 = 𝑋 → ((𝑓 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ↔ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}))
24	23	elrab 3635	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ {𝑓 ∈ 𝐵 ∣ (𝑓 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}} ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}))
25	21, 24	bitrdi 287	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ V)) → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))
26	7, 13, 25	pm5.21nd 802	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   supp csupp 8103   ↑_m cmap 8766  Fincfn 8886  ℕcn 12165  ℕ₀cn0 12428  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  ℂ_fldccnfld 21344   mPoly cmpl 21896   mHomP cmhp 22105

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-1cn 11087  ax-addcl 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-nn 12166  df-n0 12429  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-mpl 21901  df-mhp 22112

This theorem is referenced by:  ismhp2  22117  ismhp3  22118  mhpmpl  22120  mhpdeg  22121