Theorem mhpinvcl 22174

Description: Homogeneous polynomials are closed under taking the opposite. (Contributed by SN, 12-Sep-2023.) Remove closure hypotheses. (Revised by SN, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpinvcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpinvcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpinvcl.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑃)
mhpinvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhpinvcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpinvcl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (𝐻‘𝑁))

Proof of Theorem mhpinvcl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpinvcl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhpinvcl.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2735	. 2 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		eqid 2735	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2735	. 2 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		mhpinvcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
7	1, 6	mhprcl 22165	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		mhpinvcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑃)
9		reldmmhp 22159	. . . . 5 ⊢ Rel dom mHomP
10	9, 1, 6	elfvov1 7473	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
11		mhpinvcl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
12	2	mplgrp 22055	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
14	1, 2, 3, 6	mhpmpl 22166	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
15	3, 8, 13, 14	grpinvcld 19019	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
16		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
17	2, 3, 16, 8, 10, 11, 14	mplneg 22048	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝑋))
18	17	oveq1d 7446	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) = (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g‘𝑅)))
19		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20	19, 16	grpinvfn 19012	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) Fn (Base‘𝑅)
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑅) Fn (Base‘𝑅))
22	2, 19, 3, 5, 14	mplelf 22036	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
23		ovex 7464	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
24	23	rabex 5345	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
26		fvexd 6922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
27	4, 16	grpinvid 19030	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
28	11, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
29	21, 22, 25, 26, 28	suppcoss 8231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
30	18, 29	eqsstrd 4034	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
31	1, 4, 5, 6	mhpdeg 22167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
32	30, 31	sstrd 4006	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
33	1, 2, 3, 4, 5, 7, 15, 32	ismhp2 22163	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (𝐻‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692   ∘ ccom 5693   Fn wfn 6558  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   supp csupp 8184   ↑_m cmap 8865  Fincfn 8984  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  0_gc0g 17486   Σ_g cgsu 17487  Grpcgrp 18964  inv_gcminusg 18965  ℂ_fldccnfld 21382   mPoly cmpl 21944   mHomP cmhp 22151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-psr 21947  df-mpl 21949  df-mhp 22158

This theorem is referenced by:  mhpsubg  22175