MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpinvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhpinvcl 20946
Description: Homogeneous polynomials are closed under taking the opposite. (Contributed by SN, 12-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpinvcl.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpinvcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpinvcl.m 𝑀 = (invg𝑃)
mhpinvcl.i (𝜑𝐼𝑉)
mhpinvcl.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
mhpinvcl.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
mhpinvcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
Assertion
Ref Expression
mhpinvcl (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (𝐻𝑁))

Proof of Theorem mhpinvcl
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpinvcl.h . 2 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2 mhpinvcl.p . 2 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 eqid 2738 . 2 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4 eqid 2738 . 2 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5 eqid 2738 . 2 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
6 mhpinvcl.i . 2 (𝜑𝐼𝑉)
7 mhpinvcl.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
8 mhpinvcl.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
92mplgrp 20832 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
106, 7, 9syl2anc 587 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
11 mhpinvcl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
121, 2, 3, 6, 7, 8, 11mhpmpl 20938 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
13 mhpinvcl.m . . . 4 𝑀 = (invg𝑃)
143, 13grpinvcl 18269 . . 3 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑀𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
1510, 12, 14syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
16 eqid 2738 . . . . . 6 (invg𝑅) = (invg𝑅)
172, 3, 16, 13, 6, 7, 12mplneg 20824 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑋) = ((invg𝑅) ∘ 𝑋))
1817oveq1d 7185 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝑋) supp (0g𝑅)) = (((invg𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g𝑅)))
19 eqid 2738 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2019, 16grpinvfn 18263 . . . . . 6 (invg𝑅) Fn (Base‘𝑅)
2120a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (invg𝑅) Fn (Base‘𝑅))
222, 19, 3, 5, 12mplelf 20814 . . . . 5 (𝜑𝑋:{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
23 ovex 7203 . . . . . . 7 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
2423rabex 5200 . . . . . 6 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
26 fvexd 6689 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
274, 16grpinvid 18278 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Grp → ((invg𝑅)‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))
287, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝑅)‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))
2921, 22, 25, 26, 28suppcoss 7902 . . . 4 (𝜑 → (((invg𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅)))
3018, 29eqsstrd 3915 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑋) supp (0g𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅)))
311, 4, 5, 6, 7, 8, 11mhpdeg 20939 . . 3 (𝜑 → (𝑋 supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
3230, 31sstrd 3887 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
331, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 32ismhp2 20936 1 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (𝐻𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2114  {crab 3057  Vcvv 3398  ccnv 5524  cima 5528  ccom 5529   Fn wfn 6334  cfv 6339  (class class class)co 7170   supp csupp 7856  m cmap 8437  Fincfn 8555  cn 11716  0cn0 11976  Basecbs 16586  s cress 16587  0gc0g 16816   Σg cgsu 16817  Grpcgrp 18219  invgcminusg 18220  fldccnfld 20217   mPoly cmpl 20719   mHomP cmhp 20923
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2710  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7479  ax-cnex 10671  ax-resscn 10672  ax-1cn 10673  ax-icn 10674  ax-addcl 10675  ax-addrcl 10676  ax-mulcl 10677  ax-mulrcl 10678  ax-mulcom 10679  ax-addass 10680  ax-mulass 10681  ax-distr 10682  ax-i2m1 10683  ax-1ne0 10684  ax-1rid 10685  ax-rnegex 10686  ax-rrecex 10687  ax-cnre 10688  ax-pre-lttri 10689  ax-pre-lttrn 10690  ax-pre-ltadd 10691  ax-pre-mulgt0 10692
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2730  df-clel 2811  df-nfc 2881  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3058  df-rex 3059  df-reu 3060  df-rmo 3061  df-rab 3062  df-v 3400  df-sbc 3681  df-csb 3791  df-dif 3846  df-un 3848  df-in 3850  df-ss 3860  df-pss 3862  df-nul 4212  df-if 4415  df-pw 4490  df-sn 4517  df-pr 4519  df-tp 4521  df-op 4523  df-uni 4797  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5429  df-eprel 5434  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5483  df-we 5485  df-xp 5531  df-rel 5532  df-cnv 5533  df-co 5534  df-dm 5535  df-rn 5536  df-res 5537  df-ima 5538  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6297  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7127  df-ov 7173  df-oprab 7174  df-mpo 7175  df-of 7425  df-om 7600  df-1st 7714  df-2nd 7715  df-supp 7857  df-wrecs 7976  df-recs 8037  df-rdg 8075  df-1o 8131  df-er 8320  df-map 8439  df-en 8556  df-dom 8557  df-sdom 8558  df-fin 8559  df-fsupp 8907  df-pnf 10755  df-mnf 10756  df-xr 10757  df-ltxr 10758  df-le 10759  df-sub 10950  df-neg 10951  df-nn 11717  df-2 11779  df-3 11780  df-4 11781  df-5 11782  df-6 11783  df-7 11784  df-8 11785  df-9 11786  df-n0 11977  df-z 12063  df-uz 12325  df-fz 12982  df-struct 16588  df-ndx 16589  df-slot 16590  df-base 16592  df-sets 16593  df-ress 16594  df-plusg 16681  df-mulr 16682  df-sca 16684  df-vsca 16685  df-tset 16687  df-0g 16818  df-mgm 17968  df-sgrp 18017  df-mnd 18028  df-grp 18222  df-minusg 18223  df-subg 18394  df-psr 20722  df-mpl 20724  df-mhp 20927
This theorem is referenced by:  mhpsubg  20947
  Copyright terms: Public domain W3C validator