MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpinvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhpinvcl 22084
Description: Homogeneous polynomials are closed under taking the opposite. (Contributed by SN, 12-Sep-2023.) Remove sethood hypothesis. (Revised by SN, 18-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpinvcl.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpinvcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpinvcl.m 𝑀 = (invg𝑃)
mhpinvcl.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
mhpinvcl.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
mhpinvcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
Assertion
Ref Expression
mhpinvcl (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (𝐻𝑁))

Proof of Theorem mhpinvcl
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpinvcl.h . 2 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2 mhpinvcl.p . 2 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 eqid 2725 . 2 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4 eqid 2725 . 2 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5 eqid 2725 . 2 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
6 reldmmhp 22070 . . 3 Rel dom mHomP
7 mhpinvcl.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
86, 1, 7elfvov1 7458 . 2 (𝜑𝐼 ∈ V)
9 mhpinvcl.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
10 mhpinvcl.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
112mplgrp 21966 . . . 4 ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
128, 9, 11syl2anc 582 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
131, 2, 3, 8, 9, 10, 7mhpmpl 22076 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
14 mhpinvcl.m . . . 4 𝑀 = (invg𝑃)
153, 14grpinvcl 18948 . . 3 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑀𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
1612, 13, 15syl2anc 582 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
17 eqid 2725 . . . . . 6 (invg𝑅) = (invg𝑅)
182, 3, 17, 14, 8, 9, 13mplneg 21959 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑋) = ((invg𝑅) ∘ 𝑋))
1918oveq1d 7431 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝑋) supp (0g𝑅)) = (((invg𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g𝑅)))
20 eqid 2725 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2120, 17grpinvfn 18942 . . . . . 6 (invg𝑅) Fn (Base‘𝑅)
2221a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (invg𝑅) Fn (Base‘𝑅))
232, 20, 3, 5, 13mplelf 21947 . . . . 5 (𝜑𝑋:{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
24 ovex 7449 . . . . . . 7 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
2524rabex 5329 . . . . . 6 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
2625a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
27 fvexd 6907 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
284, 17grpinvid 18960 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Grp → ((invg𝑅)‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))
299, 28syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝑅)‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))
3022, 23, 26, 27, 29suppcoss 8211 . . . 4 (𝜑 → (((invg𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅)))
3119, 30eqsstrd 4011 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑋) supp (0g𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅)))
321, 4, 5, 8, 9, 10, 7mhpdeg 22077 . . 3 (𝜑 → (𝑋 supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
3331, 32sstrd 3983 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
341, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 33ismhp2 22074 1 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (𝐻𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463  ccnv 5671  cima 5675  ccom 5676   Fn wfn 6538  cfv 6543  (class class class)co 7416   supp csupp 8163  m cmap 8843  Fincfn 8962  cn 12242  0cn0 12502  Basecbs 17179  s cress 17208  0gc0g 17420   Σg cgsu 17421  Grpcgrp 18894  invgcminusg 18895  fldccnfld 21283   mPoly cmpl 21843   mHomP cmhp 22062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-subg 19082  df-psr 21846  df-mpl 21848  df-mhp 22069
This theorem is referenced by:  mhpsubg  22085
  Copyright terms: Public domain W3C validator