Theorem mhpinvcl 22528

Description: Homogeneous polynomials are closed under taking the opposite. (Contributed by SN, 12-Sep-2023.) Remove closure hypotheses. (Revised by SN, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpinvcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpinvcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpinvcl.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑃)
mhpinvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhpinvcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpinvcl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (𝐻‘𝑁))

Proof of Theorem mhpinvcl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpinvcl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhpinvcl.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2763	. 2 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		eqid 2763	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2763	. 2 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		mhpinvcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
7	1, 6	mhprcl 22519	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		mhpinvcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑃)
9		reldmmhp 22513	. . . . 5 ⊢ Rel dom mHomP
10	9, 1, 6	elfvov1 7493	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
11		mhpinvcl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
12	2	mplgrp 22379	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
13	10, 11, 12	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
14	1, 2, 3, 6	mhpmpl 22520	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
15	3, 8, 13, 14	grpinvcld 19249	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
16		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
17	2, 3, 16, 8, 10, 11, 14	mplneg 22372	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝑋))
18	17	oveq1d 7466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) = (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g‘𝑅)))
19		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20	19, 16	grpinvfn 19242	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) Fn (Base‘𝑅)
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑅) Fn (Base‘𝑅))
22	2, 19, 3, 5, 14	mplelf 22360	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
23		ovex 7484	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
24	23	rabex 5307	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
26		fvexd 6931	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
27	4, 16	grpinvid 19260	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
28	11, 27	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
29	21, 22, 25, 26, 28	suppcoss 8262	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
30	18, 29	eqsstrd 3947	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
31	1, 4, 5, 6	mhpdeg 22521	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
32	30, 31	sstrd 3923	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
33	1, 2, 3, 4, 5, 7, 15, 32	ismhp2 22517	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (𝐻‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  {crab 3416  Vcvv 3454  ^◡ccnv 5657   “ cima 5661   ∘ ccom 5662   Fn wfn 6561  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451   supp csupp 8214   ↑_m cmap 8885  Fincfn 9011  ℕcn 12375  ℕ₀cn0 12646  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  0_gc0g 17660   Σ_g cgsu 17661  Grpcgrp 19194  inv_gcminusg 19195  ℂ_fldccnfld 21729   mPoly cmpl 22269   mHomP cmhp 22509

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-er 8755  df-map 8887  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-sup 9471  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-fz 13680  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-hom 17497  df-cco 17498  df-0g 17662  df-prds 17668  df-pws 17670  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-subg 19383  df-psr 22272  df-mpl 22274  df-mhp 22512

This theorem is used by:  mhpsubg  22529