Theorem mhpinvcl 22090

Description: Homogeneous polynomials are closed under taking the opposite. (Contributed by SN, 12-Sep-2023.) Remove closure hypotheses. (Revised by SN, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpinvcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpinvcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpinvcl.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑃)
mhpinvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhpinvcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpinvcl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (𝐻‘𝑁))

Proof of Theorem mhpinvcl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpinvcl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhpinvcl.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2735	. 2 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		eqid 2735	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2735	. 2 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		mhpinvcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
7	1, 6	mhprcl 22081	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		mhpinvcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑃)
9		reldmmhp 22075	. . . . 5 ⊢ Rel dom mHomP
10	9, 1, 6	elfvov1 7447	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
11		mhpinvcl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
12	2	mplgrp 21977	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
14	1, 2, 3, 6	mhpmpl 22082	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
15	3, 8, 13, 14	grpinvcld 18971	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
16		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
17	2, 3, 16, 8, 10, 11, 14	mplneg 21970	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝑋))
18	17	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) = (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g‘𝑅)))
19		eqid 2735	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20	19, 16	grpinvfn 18964	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) Fn (Base‘𝑅)
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑅) Fn (Base‘𝑅))
22	2, 19, 3, 5, 14	mplelf 21958	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
23		ovex 7438	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
24	23	rabex 5309	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
26		fvexd 6891	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
27	4, 16	grpinvid 18982	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
28	11, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
29	21, 22, 25, 26, 28	suppcoss 8206	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
30	18, 29	eqsstrd 3993	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
31	1, 4, 5, 6	mhpdeg 22083	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
32	30, 31	sstrd 3969	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
33	1, 2, 3, 4, 5, 7, 15, 32	ismhp2 22079	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (𝐻‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3415  Vcvv 3459  ^◡ccnv 5653   “ cima 5657   ∘ ccom 5658   Fn wfn 6526  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405   supp csupp 8159   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8959  ℕcn 12240  ℕ₀cn0 12501  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  0_gc0g 17453   Σ_g cgsu 17454  Grpcgrp 18916  inv_gcminusg 18917  ℂ_fldccnfld 21315   mPoly cmpl 21866   mHomP cmhp 22067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-tp 4606  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7671  df-om 7862  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8719  df-map 8842  df-ixp 8912  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-fin 8963  df-fsupp 9374  df-sup 9454  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-9 12310  df-n0 12502  df-z 12589  df-dec 12709  df-uz 12853  df-fz 13525  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-tset 17290  df-ple 17291  df-ds 17293  df-hom 17295  df-cco 17296  df-0g 17455  df-prds 17461  df-pws 17463  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-minusg 18920  df-subg 19106  df-psr 21869  df-mpl 21871  df-mhp 22074

This theorem is referenced by:  mhpsubg  22091