MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpinvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhpinvcl 20022
Description: Homogeneous polynomials are closed under taking the opposite. (Contributed by SN, 12-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpinvcl.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpinvcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpinvcl.m 𝑀 = (invg𝑃)
mhpinvcl.i (𝜑𝐼𝑉)
mhpinvcl.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
mhpinvcl.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
mhpinvcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
Assertion
Ref Expression
mhpinvcl (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (𝐻𝑁))

Proof of Theorem mhpinvcl
Dummy variables 𝑔 𝑗 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpinvcl.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
2 mhpinvcl.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
3 mhpinvcl.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
43mplgrp 19918 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
51, 2, 4syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
6 mhpinvcl.h . . . 4 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
7 eqid 2794 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
8 mhpinvcl.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
9 mhpinvcl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
106, 3, 7, 1, 2, 8, 9mhpmpl 20018 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
11 mhpinvcl.m . . . 4 𝑀 = (invg𝑃)
127, 11grpinvcl 17908 . . 3 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑀𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
135, 10, 12syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
14 eqid 2794 . . . . . . . 8 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
15 eqid 2794 . . . . . . . . . 10 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
16 eqid 2794 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) = (0g𝑅)
173, 14, 15, 16, 7mplbas 19897 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑃) = {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g𝑅)}
1817eqcomi 2803 . . . . . . . 8 {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g𝑅)} = (Base‘𝑃)
1914, 3, 18, 1, 2mplsubg 19905 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g𝑅)} ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
2010, 17syl6eleq 2892 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g𝑅)})
21 eqid 2794 . . . . . . . . 9 {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g𝑅)} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g𝑅)}
223, 14, 15, 16, 21mplval 19896 . . . . . . . 8 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g𝑅)})
23 eqid 2794 . . . . . . . 8 (invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2422, 23, 11subginv 18040 . . . . . . 7 (({𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g𝑅)} ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g𝑅)}) → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = (𝑀𝑋))
2519, 20, 24syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = (𝑀𝑋))
26 eqid 2794 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
27 eqid 2794 . . . . . . 7 (invg𝑅) = (invg𝑅)
283, 14, 15, 16, 7mplelbas 19898 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑋 finSupp (0g𝑅)))
2910, 28sylib 219 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑋 finSupp (0g𝑅)))
3029simpld 495 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
3114, 1, 2, 26, 27, 15, 23, 30psrneg 19868 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = ((invg𝑅) ∘ 𝑋))
3225, 31eqtr3d 2832 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑋) = ((invg𝑅) ∘ 𝑋))
3332oveq1d 7034 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝑋) supp (0g𝑅)) = (((invg𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g𝑅)))
34 fvexd 6556 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
35 eqid 2794 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3635, 27grpinvf 17907 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
372, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
3837ffnd 6386 . . . . 5 (𝜑 → (invg𝑅) Fn (Base‘𝑅))
39 fvexd 6556 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
403, 35, 7, 26, 10mplelf 19901 . . . . . 6 (𝜑𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
4140ffnd 6386 . . . . 5 (𝜑𝑋 Fn {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
42 ovexd 7053 . . . . . 6 (𝜑 → (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V)
4326, 42rabexd 5130 . . . . 5 (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
4434, 38, 39, 41, 43suppcofnd 7725 . . . 4 (𝜑 → (((invg𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g𝑅)) = {𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((invg𝑅)‘(𝑋𝑥)) ≠ (0g𝑅))})
45 suppvalfn 7691 . . . . . 6 ((𝑋 Fn {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V ∧ (0g𝑅) ∈ V) → (𝑋 supp (0g𝑅)) = {𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ (𝑋𝑥) ≠ (0g𝑅)})
4641, 43, 34, 45syl3anc 1364 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 supp (0g𝑅)) = {𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ (𝑋𝑥) ≠ (0g𝑅)})
472adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ Grp)
4840ffvelrnda 6719 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
4935, 16grpidcl 17889 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Grp → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5047, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
51 eqid 2794 . . . . . . . . . . 11 (+g𝑅) = (+g𝑅)
5235, 51, 16, 27grpinvid1 17911 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (((invg𝑅)‘(𝑋𝑥)) = (0g𝑅) ↔ ((𝑋𝑥)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅)))
5347, 48, 50, 52syl3anc 1364 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((invg𝑅)‘(𝑋𝑥)) = (0g𝑅) ↔ ((𝑋𝑥)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅)))
5435, 51, 16grprid 17892 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (𝑋𝑥))
5547, 48, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑋𝑥)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (𝑋𝑥))
5655eqeq1d 2796 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑋𝑥)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅) ↔ (𝑋𝑥) = (0g𝑅)))
5753, 56bitr2d 281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑋𝑥) = (0g𝑅) ↔ ((invg𝑅)‘(𝑋𝑥)) = (0g𝑅)))
5857necon3bid 3027 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑋𝑥) ≠ (0g𝑅) ↔ ((invg𝑅)‘(𝑋𝑥)) ≠ (0g𝑅)))
5948biantrurd 533 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((invg𝑅)‘(𝑋𝑥)) ≠ (0g𝑅) ↔ ((𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((invg𝑅)‘(𝑋𝑥)) ≠ (0g𝑅))))
6058, 59bitrd 280 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑋𝑥) ≠ (0g𝑅) ↔ ((𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((invg𝑅)‘(𝑋𝑥)) ≠ (0g𝑅))))
6160rabbidva 3423 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ (𝑋𝑥) ≠ (0g𝑅)} = {𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((invg𝑅)‘(𝑋𝑥)) ≠ (0g𝑅))})
6246, 61eqtr2d 2831 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((invg𝑅)‘(𝑋𝑥)) ≠ (0g𝑅))} = (𝑋 supp (0g𝑅)))
6333, 44, 623eqtrd 2834 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑋) supp (0g𝑅)) = (𝑋 supp (0g𝑅)))
64 eqid 2794 . . . 4 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
656, 16, 64, 1, 2, 8, 9mhpdeg 20019 . . 3 (𝜑 → (𝑋 supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔𝑗) = 𝑁})
6663, 65eqsstrd 3928 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔𝑗) = 𝑁})
676, 3, 7, 16, 64, 1, 2, 8ismhp 20017 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ∈ (𝐻𝑁) ↔ ((𝑀𝑋) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔𝑗) = 𝑁})))
6813, 66, 67mpbir2and 709 1 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (𝐻𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1522  wcel 2080  wne 2983  {crab 3108  Vcvv 3436  wss 3861   class class class wbr 4964  ccnv 5445  cima 5449  ccom 5450   Fn wfn 6223  wf 6224  cfv 6228  (class class class)co 7019   supp csupp 7684  𝑚 cmap 8259  Fincfn 8360   finSupp cfsupp 8682  cn 11488  0cn0 11747  Σcsu 14876  Basecbs 16312  +gcplusg 16394  0gc0g 16542  Grpcgrp 17861  invgcminusg 17862  SubGrpcsubg 18027   mPwSer cmps 19819   mPoly cmpl 19821   mHomP cmhp 20005
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-of 7270  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-supp 7685  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-oadd 7960  df-er 8142  df-map 8261  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-fsupp 8683  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-tset 16413  df-0g 16544  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-subg 18030  df-psr 19824  df-mpl 19826  df-mhp 20009
This theorem is referenced by:  mhpsubg  20023
  Copyright terms: Public domain W3C validator