MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpinvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhpinvcl 22003
Description: Homogeneous polynomials are closed under taking the opposite. (Contributed by SN, 12-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpinvcl.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpinvcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpinvcl.m 𝑀 = (invg𝑃)
mhpinvcl.i (𝜑𝐼𝑉)
mhpinvcl.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
mhpinvcl.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
mhpinvcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
Assertion
Ref Expression
mhpinvcl (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (𝐻𝑁))

Proof of Theorem mhpinvcl
Dummy variables 𝑔 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpinvcl.h . 2 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2 mhpinvcl.p . 2 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 eqid 2724 . 2 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4 eqid 2724 . 2 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5 eqid 2724 . 2 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
6 mhpinvcl.i . 2 (𝜑𝐼𝑉)
7 mhpinvcl.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
8 mhpinvcl.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
92mplgrp 21886 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
106, 7, 9syl2anc 583 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
11 mhpinvcl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
121, 2, 3, 6, 7, 8, 11mhpmpl 21995 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
13 mhpinvcl.m . . . 4 𝑀 = (invg𝑃)
143, 13grpinvcl 18907 . . 3 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑀𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
1510, 12, 14syl2anc 583 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
16 eqid 2724 . . . . . 6 (invg𝑅) = (invg𝑅)
172, 3, 16, 13, 6, 7, 12mplneg 21879 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑋) = ((invg𝑅) ∘ 𝑋))
1817oveq1d 7416 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝑋) supp (0g𝑅)) = (((invg𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g𝑅)))
19 eqid 2724 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2019, 16grpinvfn 18901 . . . . . 6 (invg𝑅) Fn (Base‘𝑅)
2120a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → (invg𝑅) Fn (Base‘𝑅))
222, 19, 3, 5, 12mplelf 21867 . . . . 5 (𝜑𝑋:{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
23 ovex 7434 . . . . . . 7 (ℕ0m 𝐼) ∈ V
2423rabex 5322 . . . . . 6 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
2524a1i 11 . . . . 5 (𝜑 → { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
26 fvexd 6896 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
274, 16grpinvid 18919 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Grp → ((invg𝑅)‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))
287, 27syl 17 . . . . 5 (𝜑 → ((invg𝑅)‘(0g𝑅)) = (0g𝑅))
2921, 22, 25, 26, 28suppcoss 8187 . . . 4 (𝜑 → (((invg𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅)))
3018, 29eqsstrd 4012 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑋) supp (0g𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g𝑅)))
311, 4, 5, 6, 7, 8, 11mhpdeg 21996 . . 3 (𝜑 → (𝑋 supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
3230, 31sstrd 3984 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
331, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 15, 32ismhp2 21993 1 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (𝐻𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1533  wcel 2098  {crab 3424  Vcvv 3466  ccnv 5665  cima 5669  ccom 5670   Fn wfn 6528  cfv 6533  (class class class)co 7401   supp csupp 8140  m cmap 8816  Fincfn 8935  cn 12209  0cn0 12469  Basecbs 17143  s cress 17172  0gc0g 17384   Σg cgsu 17385  Grpcgrp 18853  invgcminusg 18854  fldccnfld 21228   mPoly cmpl 21768   mHomP cmhp 21982
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5275  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-tp 4625  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-of 7663  df-om 7849  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8141  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-nn 12210  df-2 12272  df-3 12273  df-4 12274  df-5 12275  df-6 12276  df-7 12277  df-8 12278  df-9 12279  df-n0 12470  df-z 12556  df-dec 12675  df-uz 12820  df-fz 13482  df-struct 17079  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-sca 17212  df-vsca 17213  df-ip 17214  df-tset 17215  df-ple 17216  df-ds 17218  df-hom 17220  df-cco 17221  df-0g 17386  df-prds 17392  df-pws 17394  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18856  df-minusg 18857  df-subg 19040  df-psr 21771  df-mpl 21773  df-mhp 21989
This theorem is referenced by:  mhpsubg  22004
  Copyright terms: Public domain W3C validator