Theorem mhpinvcl 20022

Description: Homogeneous polynomials are closed under taking the opposite. (Contributed by SN, 12-Sep-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpinvcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpinvcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpinvcl.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑃)
mhpinvcl.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpinvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhpinvcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhpinvcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpinvcl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (𝐻‘𝑁))

Proof of Theorem mhpinvcl

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑗 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpinvcl.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
2		mhpinvcl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
3		mhpinvcl.p	. . . . 5 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
4	3	mplgrp 19918	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
5	1, 2, 4	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
6		mhpinvcl.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
7		eqid 2794	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
8		mhpinvcl.n	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
9		mhpinvcl.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
10	6, 3, 7, 1, 2, 8, 9	mhpmpl 20018	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
11		mhpinvcl.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑃)
12	7, 11	grpinvcl 17908	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑀‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
13	5, 10, 12	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
14		eqid 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
15		eqid 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
16		eqid 2794	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
17	3, 14, 15, 16, 7	mplbas 19897	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑃) = {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}
18	17	eqcomi 2803	. . . . . . . 8 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)} = (Base‘𝑃)
19	14, 3, 18, 1, 2	mplsubg 19905	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)} ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
20	10, 17	syl6eleq 2892	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)})
21		eqid 2794	. . . . . . . . 9 ⊢ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}
22	3, 14, 15, 16, 21	mplval 19896	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)})
23		eqid 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
24	22, 23, 11	subginv 18040	. . . . . . 7 ⊢ (({𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)} ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g‘𝑅)}) → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = (𝑀‘𝑋))
25	19, 20, 24	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = (𝑀‘𝑋))
26		eqid 2794	. . . . . . 7 ⊢ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
27		eqid 2794	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
28	3, 14, 15, 16, 7	mplelbas 19898	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑋 finSupp (0g‘𝑅)))
29	10, 28	sylib 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑋 finSupp (0g‘𝑅)))
30	29	simpld 495	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
31	14, 1, 2, 26, 27, 15, 23, 30	psrneg 19868	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝑋))
32	25, 31	eqtr3d 2832	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝑋))
33	32	oveq1d 7034	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) = (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g‘𝑅)))
34		fvexd 6556	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
35		eqid 2794	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
36	35, 27	grpinvf 17907	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (invg‘𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
37	2, 36	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
38	37	ffnd 6386	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑅) Fn (Base‘𝑅))
39		fvexd 6556	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
40	3, 35, 7, 26, 10	mplelf 19901	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
41	40	ffnd 6386	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 Fn {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
42		ovexd 7053	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∈ V)
43	26, 42	rabexd 5130	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
44	34, 38, 39, 41, 43	suppcofnd 7725	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g‘𝑅)) = {𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑥)) ≠ (0g‘𝑅))})
45		suppvalfn 7691	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 Fn {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V ∧ (0g‘𝑅) ∈ V) → (𝑋 supp (0g‘𝑅)) = {𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ (𝑋‘𝑥) ≠ (0g‘𝑅)})
46	41, 43, 34, 45	syl3anc 1364	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp (0g‘𝑅)) = {𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ (𝑋‘𝑥) ≠ (0g‘𝑅)})
47	2	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ Grp)
48	40	ffvelrnda 6719	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
49	35, 16	grpidcl 17889	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
50	47, 49	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
51		eqid 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
52	35, 51, 16, 27	grpinvid1 17911	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (0g‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑥)) = (0g‘𝑅) ↔ ((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
53	47, 48, 50, 52	syl3anc 1364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑥)) = (0g‘𝑅) ↔ ((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅)))
54	35, 51, 16	grprid 17892	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (𝑋‘𝑥))
55	47, 48, 54	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (𝑋‘𝑥))
56	55	eqeq1d 2796	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑋‘𝑥)(+g‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅) ↔ (𝑋‘𝑥) = (0g‘𝑅)))
57	53, 56	bitr2d 281	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑋‘𝑥) = (0g‘𝑅) ↔ ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑥)) = (0g‘𝑅)))
58	57	necon3bid 3027	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑋‘𝑥) ≠ (0g‘𝑅) ↔ ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑥)) ≠ (0g‘𝑅)))
59	48	biantrurd 533	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑥)) ≠ (0g‘𝑅) ↔ ((𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑥)) ≠ (0g‘𝑅))))
60	58, 59	bitrd 280	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑋‘𝑥) ≠ (0g‘𝑅) ↔ ((𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑥)) ≠ (0g‘𝑅))))
61	60	rabbidva 3423	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ (𝑋‘𝑥) ≠ (0g‘𝑅)} = {𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑥)) ≠ (0g‘𝑅))})
62	46, 61	eqtr2d 2831	. . . 4 ⊢ (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((𝑋‘𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((invg‘𝑅)‘(𝑋‘𝑥)) ≠ (0g‘𝑅))} = (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
63	33, 44, 62	3eqtrd 2834	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) = (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
64		eqid 2794	. . . 4 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
65	6, 16, 64, 1, 2, 8, 9	mhpdeg 20019	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔‘𝑗) = 𝑁})
66	63, 65	eqsstrd 3928	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔‘𝑗) = 𝑁})
67	6, 3, 7, 16, 64, 1, 2, 8	ismhp 20017	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) ∈ (𝐻‘𝑁) ↔ ((𝑀‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((𝑀‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑𝑚 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔‘𝑗) = 𝑁})))
68	13, 66, 67	mpbir2and 709	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (𝐻‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2080   ≠ wne 2983  {crab 3108  Vcvv 3436   ⊆ wss 3861   class class class wbr 4964  ^◡ccnv 5445   “ cima 5449   ∘ ccom 5450   Fn wfn 6223  ⟶wf 6224  ‘cfv 6228  (class class class)co 7019   supp csupp 7684   ↑_𝑚 cmap 8259  Fincfn 8360   finSupp cfsupp 8682  ℕcn 11488  ℕ₀cn0 11747  Σcsu 14876  Basecbs 16312  +_gcplusg 16394  0_gc0g 16542  Grpcgrp 17861  inv_gcminusg 17862  SubGrpcsubg 18027   mPwSer cmps 19819   mPoly cmpl 19821   mHomP cmhp 20005

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-of 7270  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-supp 7685  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-oadd 7960  df-er 8142  df-map 8261  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-fsupp 8683  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-tset 16413  df-0g 16544  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-subg 18030  df-psr 19824  df-mpl 19826  df-mhp 20009

This theorem is referenced by:  mhpsubg  20023