Theorem mhpinvcl 22084

Description: Homogeneous polynomials are closed under taking the opposite. (Contributed by SN, 12-Sep-2023.) Remove sethood hypothesis. (Revised by SN, 18-May-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpinvcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpinvcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpinvcl.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑃)
mhpinvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhpinvcl.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhpinvcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpinvcl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (𝐻‘𝑁))

Proof of Theorem mhpinvcl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpinvcl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhpinvcl.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2725	. 2 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		eqid 2725	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2725	. 2 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		reldmmhp 22070	. . 3 ⊢ Rel dom mHomP
7		mhpinvcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
8	6, 1, 7	elfvov1 7458	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
9		mhpinvcl.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
10		mhpinvcl.n	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11	2	mplgrp 21966	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
12	8, 9, 11	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
13	1, 2, 3, 8, 9, 10, 7	mhpmpl 22076	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
14		mhpinvcl.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑃)
15	3, 14	grpinvcl 18948	. . 3 ⊢ ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑀‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
16	12, 13, 15	syl2anc 582	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
17		eqid 2725	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
18	2, 3, 17, 14, 8, 9, 13	mplneg 21959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝑋))
19	18	oveq1d 7431	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) = (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g‘𝑅)))
20		eqid 2725	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
21	20, 17	grpinvfn 18942	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) Fn (Base‘𝑅)
22	21	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑅) Fn (Base‘𝑅))
23	2, 20, 3, 5, 13	mplelf 21947	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
24		ovex 7449	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
25	24	rabex 5329	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
26	25	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
27		fvexd 6907	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
28	4, 17	grpinvid 18960	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
29	9, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
30	22, 23, 26, 27, 29	suppcoss 8211	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
31	19, 30	eqsstrd 4011	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
32	1, 4, 5, 8, 9, 10, 7	mhpdeg 22077	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
33	31, 32	sstrd 3983	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
34	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 33	ismhp2 22074	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (𝐻‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {crab 3419  Vcvv 3463  ^◡ccnv 5671   “ cima 5675   ∘ ccom 5676   Fn wfn 6538  ‘cfv 6543  (class class class)co 7416   supp csupp 8163   ↑_m cmap 8843  Fincfn 8962  ℕcn 12242  ℕ₀cn0 12502  Basecbs 17179   ↾_s cress 17208  0_gc0g 17420   Σ_g cgsu 17421  Grpcgrp 18894  inv_gcminusg 18895  ℂ_fldccnfld 21283   mPoly cmpl 21843   mHomP cmhp 22062

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-subg 19082  df-psr 21846  df-mpl 21848  df-mhp 22069

This theorem is referenced by:  mhpsubg  22085