Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpinvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhpinvcl 20022
 Description: Homogeneous polynomials are closed under taking the opposite. (Contributed by SN, 12-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpinvcl.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpinvcl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpinvcl.m 𝑀 = (invg𝑃)
mhpinvcl.i (𝜑𝐼𝑉)
mhpinvcl.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
mhpinvcl.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
mhpinvcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
Assertion
Ref Expression
mhpinvcl (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (𝐻𝑁))

Proof of Theorem mhpinvcl
Dummy variables 𝑔 𝑗 𝑓 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpinvcl.i . . . 4 (𝜑𝐼𝑉)
2 mhpinvcl.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
3 mhpinvcl.p . . . . 5 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
43mplgrp 19918 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
51, 2, 4syl2anc 584 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ Grp)
6 mhpinvcl.h . . . 4 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
7 eqid 2794 . . . 4 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
8 mhpinvcl.n . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
9 mhpinvcl.x . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
106, 3, 7, 1, 2, 8, 9mhpmpl 20018 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
11 mhpinvcl.m . . . 4 𝑀 = (invg𝑃)
127, 11grpinvcl 17908 . . 3 ((𝑃 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑀𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
135, 10, 12syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
14 eqid 2794 . . . . . . . 8 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
15 eqid 2794 . . . . . . . . . 10 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
16 eqid 2794 . . . . . . . . . 10 (0g𝑅) = (0g𝑅)
173, 14, 15, 16, 7mplbas 19897 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑃) = {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g𝑅)}
1817eqcomi 2803 . . . . . . . 8 {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g𝑅)} = (Base‘𝑃)
1914, 3, 18, 1, 2mplsubg 19905 . . . . . . 7 (𝜑 → {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g𝑅)} ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
2010, 17syl6eleq 2892 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g𝑅)})
21 eqid 2794 . . . . . . . . 9 {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g𝑅)} = {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g𝑅)}
223, 14, 15, 16, 21mplval 19896 . . . . . . . 8 𝑃 = ((𝐼 mPwSer 𝑅) ↾s {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g𝑅)})
23 eqid 2794 . . . . . . . 8 (invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
2422, 23, 11subginv 18040 . . . . . . 7 (({𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g𝑅)} ∈ (SubGrp‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑋 ∈ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∣ 𝑓 finSupp (0g𝑅)}) → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = (𝑀𝑋))
2519, 20, 24syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = (𝑀𝑋))
26 eqid 2794 . . . . . . 7 {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} = {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}
27 eqid 2794 . . . . . . 7 (invg𝑅) = (invg𝑅)
283, 14, 15, 16, 7mplelbas 19898 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ (Base‘𝑃) ↔ (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑋 finSupp (0g𝑅)))
2910, 28sylib 219 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ 𝑋 finSupp (0g𝑅)))
3029simpld 495 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
3114, 1, 2, 26, 27, 15, 23, 30psrneg 19868 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg‘(𝐼 mPwSer 𝑅))‘𝑋) = ((invg𝑅) ∘ 𝑋))
3225, 31eqtr3d 2832 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀𝑋) = ((invg𝑅) ∘ 𝑋))
3332oveq1d 7034 . . . 4 (𝜑 → ((𝑀𝑋) supp (0g𝑅)) = (((invg𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g𝑅)))
34 fvexd 6556 . . . . 5 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
35 eqid 2794 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3635, 27grpinvf 17907 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ Grp → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
372, 36syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (invg𝑅):(Base‘𝑅)⟶(Base‘𝑅))
3837ffnd 6386 . . . . 5 (𝜑 → (invg𝑅) Fn (Base‘𝑅))
39 fvexd 6556 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘𝑅) ∈ V)
403, 35, 7, 26, 10mplelf 19901 . . . . . 6 (𝜑𝑋:{𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
4140ffnd 6386 . . . . 5 (𝜑𝑋 Fn {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin})
42 ovexd 7053 . . . . . 6 (𝜑 → (ℕ0𝑚 𝐼) ∈ V)
4326, 42rabexd 5130 . . . . 5 (𝜑 → {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
4434, 38, 39, 41, 43suppcofnd 7725 . . . 4 (𝜑 → (((invg𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g𝑅)) = {𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((invg𝑅)‘(𝑋𝑥)) ≠ (0g𝑅))})
45 suppvalfn 7691 . . . . . 6 ((𝑋 Fn {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∧ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V ∧ (0g𝑅) ∈ V) → (𝑋 supp (0g𝑅)) = {𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ (𝑋𝑥) ≠ (0g𝑅)})
4641, 43, 34, 45syl3anc 1364 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋 supp (0g𝑅)) = {𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ (𝑋𝑥) ≠ (0g𝑅)})
472adantr 481 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → 𝑅 ∈ Grp)
4840ffvelrnda 6719 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅))
4935, 16grpidcl 17889 . . . . . . . . . . 11 (𝑅 ∈ Grp → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5047, 49syl 17 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
51 eqid 2794 . . . . . . . . . . 11 (+g𝑅) = (+g𝑅)
5235, 51, 16, 27grpinvid1 17911 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (0g𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → (((invg𝑅)‘(𝑋𝑥)) = (0g𝑅) ↔ ((𝑋𝑥)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅)))
5347, 48, 50, 52syl3anc 1364 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((invg𝑅)‘(𝑋𝑥)) = (0g𝑅) ↔ ((𝑋𝑥)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅)))
5435, 51, 16grprid 17892 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝑋𝑥)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (𝑋𝑥))
5547, 48, 54syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑋𝑥)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (𝑋𝑥))
5655eqeq1d 2796 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((𝑋𝑥)(+g𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅) ↔ (𝑋𝑥) = (0g𝑅)))
5753, 56bitr2d 281 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑋𝑥) = (0g𝑅) ↔ ((invg𝑅)‘(𝑋𝑥)) = (0g𝑅)))
5857necon3bid 3027 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑋𝑥) ≠ (0g𝑅) ↔ ((invg𝑅)‘(𝑋𝑥)) ≠ (0g𝑅)))
5948biantrurd 533 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → (((invg𝑅)‘(𝑋𝑥)) ≠ (0g𝑅) ↔ ((𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((invg𝑅)‘(𝑋𝑥)) ≠ (0g𝑅))))
6058, 59bitrd 280 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin}) → ((𝑋𝑥) ≠ (0g𝑅) ↔ ((𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((invg𝑅)‘(𝑋𝑥)) ≠ (0g𝑅))))
6160rabbidva 3423 . . . . 5 (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ (𝑋𝑥) ≠ (0g𝑅)} = {𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((invg𝑅)‘(𝑋𝑥)) ≠ (0g𝑅))})
6246, 61eqtr2d 2831 . . . 4 (𝜑 → {𝑥 ∈ {𝑓 ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ (𝑓 “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((𝑋𝑥) ∈ (Base‘𝑅) ∧ ((invg𝑅)‘(𝑋𝑥)) ≠ (0g𝑅))} = (𝑋 supp (0g𝑅)))
6333, 44, 623eqtrd 2834 . . 3 (𝜑 → ((𝑀𝑋) supp (0g𝑅)) = (𝑋 supp (0g𝑅)))
64 eqid 2794 . . . 4 { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
656, 16, 64, 1, 2, 8, 9mhpdeg 20019 . . 3 (𝜑 → (𝑋 supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔𝑗) = 𝑁})
6663, 65eqsstrd 3928 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔𝑗) = 𝑁})
676, 3, 7, 16, 64, 1, 2, 8ismhp 20017 . 2 (𝜑 → ((𝑀𝑋) ∈ (𝐻𝑁) ↔ ((𝑀𝑋) ∈ (Base‘𝑃) ∧ ((𝑀𝑋) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0𝑚 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ Σ𝑗 ∈ ℕ0 (𝑔𝑗) = 𝑁})))
6813, 66, 67mpbir2and 709 1 (𝜑 → (𝑀𝑋) ∈ (𝐻𝑁))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1522   ∈ wcel 2080   ≠ wne 2983  {crab 3108  Vcvv 3436   ⊆ wss 3861   class class class wbr 4964  ◡ccnv 5445   “ cima 5449   ∘ ccom 5450   Fn wfn 6223  ⟶wf 6224  ‘cfv 6228  (class class class)co 7019   supp csupp 7684   ↑𝑚 cmap 8259  Fincfn 8360   finSupp cfsupp 8682  ℕcn 11488  ℕ0cn0 11747  Σcsu 14876  Basecbs 16312  +gcplusg 16394  0gc0g 16542  Grpcgrp 17861  invgcminusg 17862  SubGrpcsubg 18027   mPwSer cmps 19819   mPoly cmpl 19821   mHomP cmhp 20005 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1778  ax-4 1792  ax-5 1889  ax-6 1948  ax-7 1993  ax-8 2082  ax-9 2090  ax-10 2111  ax-11 2125  ax-12 2140  ax-13 2343  ax-ext 2768  ax-rep 5084  ax-sep 5097  ax-nul 5104  ax-pow 5160  ax-pr 5224  ax-un 7322  ax-cnex 10442  ax-resscn 10443  ax-1cn 10444  ax-icn 10445  ax-addcl 10446  ax-addrcl 10447  ax-mulcl 10448  ax-mulrcl 10449  ax-mulcom 10450  ax-addass 10451  ax-mulass 10452  ax-distr 10453  ax-i2m1 10454  ax-1ne0 10455  ax-1rid 10456  ax-rnegex 10457  ax-rrecex 10458  ax-cnre 10459  ax-pre-lttri 10460  ax-pre-lttrn 10461  ax-pre-ltadd 10462  ax-pre-mulgt0 10463 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1763  df-nf 1767  df-sb 2042  df-mo 2575  df-eu 2611  df-clab 2775  df-cleq 2787  df-clel 2862  df-nfc 2934  df-ne 2984  df-nel 3090  df-ral 3109  df-rex 3110  df-reu 3111  df-rmo 3112  df-rab 3113  df-v 3438  df-sbc 3708  df-csb 3814  df-dif 3864  df-un 3866  df-in 3868  df-ss 3876  df-pss 3878  df-nul 4214  df-if 4384  df-pw 4457  df-sn 4475  df-pr 4477  df-tp 4479  df-op 4481  df-uni 4748  df-int 4785  df-iun 4829  df-br 4965  df-opab 5027  df-mpt 5044  df-tr 5067  df-id 5351  df-eprel 5356  df-po 5365  df-so 5366  df-fr 5405  df-we 5407  df-xp 5452  df-rel 5453  df-cnv 5454  df-co 5455  df-dm 5456  df-rn 5457  df-res 5458  df-ima 5459  df-pred 6026  df-ord 6072  df-on 6073  df-lim 6074  df-suc 6075  df-iota 6192  df-fun 6230  df-fn 6231  df-f 6232  df-f1 6233  df-fo 6234  df-f1o 6235  df-fv 6236  df-riota 6980  df-ov 7022  df-oprab 7023  df-mpo 7024  df-of 7270  df-om 7440  df-1st 7548  df-2nd 7549  df-supp 7685  df-wrecs 7801  df-recs 7863  df-rdg 7901  df-1o 7956  df-oadd 7960  df-er 8142  df-map 8261  df-en 8361  df-dom 8362  df-sdom 8363  df-fin 8364  df-fsupp 8683  df-pnf 10526  df-mnf 10527  df-xr 10528  df-ltxr 10529  df-le 10530  df-sub 10721  df-neg 10722  df-nn 11489  df-2 11550  df-3 11551  df-4 11552  df-5 11553  df-6 11554  df-7 11555  df-8 11556  df-9 11557  df-n0 11748  df-z 11832  df-uz 12094  df-fz 12743  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-tset 16413  df-0g 16544  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-grp 17864  df-minusg 17865  df-subg 18030  df-psr 19824  df-mpl 19826  df-mhp 20009 This theorem is referenced by:  mhpsubg  20023
 Copyright terms: Public domain W3C validator