Theorem mhpinvcl 22095

Description: Homogeneous polynomials are closed under taking the opposite. (Contributed by SN, 12-Sep-2023.) Remove closure hypotheses. (Revised by SN, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpinvcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpinvcl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpinvcl.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑃)
mhpinvcl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhpinvcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpinvcl	⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (𝐻‘𝑁))

Proof of Theorem mhpinvcl

Dummy variables 𝑔 ℎ are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpinvcl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhpinvcl.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2736	. 2 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		eqid 2736	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2736	. 2 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		mhpinvcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
7	1, 6	mhprcl 22086	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		mhpinvcl.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑃)
9		reldmmhp 22080	. . . . 5 ⊢ Rel dom mHomP
10	9, 1, 6	elfvov1 7400	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
11		mhpinvcl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
12	2	mplgrp 21972	. . . 4 ⊢ ((𝐼 ∈ V ∧ 𝑅 ∈ Grp) → 𝑃 ∈ Grp)
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ Grp)
14	1, 2, 3, 6	mhpmpl 22087	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
15	3, 8, 13, 14	grpinvcld 18918	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (Base‘𝑃))
16		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
17	2, 3, 16, 8, 10, 11, 14	mplneg 21965	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) = ((invg‘𝑅) ∘ 𝑋))
18	17	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) = (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g‘𝑅)))
19		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20	19, 16	grpinvfn 18911	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑅) Fn (Base‘𝑅)
21	20	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (invg‘𝑅) Fn (Base‘𝑅))
22	2, 19, 3, 5, 14	mplelf 21953	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶(Base‘𝑅))
23		ovex 7391	. . . . . . 7 ⊢ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V
24	23	rabex 5284	. . . . . 6 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
26		fvexd 6849	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
27	4, 16	grpinvid 18929	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
28	11, 27	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
29	21, 22, 25, 26, 28	suppcoss 8149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((invg‘𝑅) ∘ 𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
30	18, 29	eqsstrd 3968	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝑋 supp (0g‘𝑅)))
31	1, 4, 5, 6	mhpdeg 22088	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
32	30, 31	sstrd 3944	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘𝑋) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
33	1, 2, 3, 4, 5, 7, 15, 32	ismhp2 22084	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘𝑋) ∈ (𝐻‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  {crab 3399  Vcvv 3440  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627   ∘ ccom 5628   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   supp csupp 8102   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  0_gc0g 17359   Σ_g cgsu 17360  Grpcgrp 18863  inv_gcminusg 18864  ℂ_fldccnfld 21309   mPoly cmpl 21862   mHomP cmhp 22072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19053  df-psr 21865  df-mpl 21867  df-mhp 22079

This theorem is referenced by:  mhpsubg  22096