Theorem mhprcl 22135

Description: Reverse closure for homogeneous polynomials, use elfvov1 7402 and elfvov2 7403 with reldmmhp 22129 for the reverse closure of 𝐼 and 𝑅. (Contributed by SN, 4-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhprcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhprcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhprcl	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem mhprcl

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhprcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
2		mhprcl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
5		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		reldmmhp 22129	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mHomP
8	7, 2, 1	elfvov1 7402	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
9	7, 2, 1	elfvov2 7403	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
10	2, 3, 4, 5, 6, 8, 9	mhpfval 22130	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑛}}))
11	10	fveq1d 6833	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑛}})‘𝑁))
12	1, 11	eleqtrd 2843	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑛}})‘𝑁))
13		eqid 2741	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑛}}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑛}})
14	13	mptrcl 6949	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑛}})‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	12, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  {crab 3393  Vcvv 3433   ⊆ wss 3885   ↦ cmpt 5156  ^◡ccnv 5620   “ cima 5624  ‘cfv 6489  (class class class)co 7360   supp csupp 8104   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  0_gc0g 17397   Σ_g cgsu 17398  ℂ_fldccnfld 21351   mPoly cmpl 21885   mHomP cmhp 22125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5202  ax-sep 5221  ax-nul 5231  ax-pr 5365  ax-un 7682  ax-cnex 11089  ax-1cn 11091  ax-addcl 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4265  df-if 4458  df-pw 4534  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4842  df-iun 4926  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5157  df-tr 5183  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-nn 12170  df-n0 12433  df-mhp 22128

This theorem is referenced by:  mhpmpl  22136  mhpdeg  22137  mhpmulcl  22141  mhppwdeg  22142  mhpaddcl  22143  mhpinvcl  22144  mhpvscacl  22146  mhpind  43059  mhphf  43062