Theorem mhprcl 22147

Description: Reverse closure for homogeneous polynomials, use elfvov1 7473 and elfvov2 7474 with reldmmhp 22141 for the reverse closure of 𝐼 and 𝑅. (Contributed by SN, 4-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhprcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhprcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhprcl	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem mhprcl

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhprcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
2		mhprcl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		reldmmhp 22141	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mHomP
8	7, 2, 1	elfvov1 7473	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
9	7, 2, 1	elfvov2 7474	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
10	2, 3, 4, 5, 6, 8, 9	mhpfval 22142	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑛}}))
11	10	fveq1d 6908	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑛}})‘𝑁))
12	1, 11	eleqtrd 2843	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑛}})‘𝑁))
13		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑛}}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑛}})
14	13	mptrcl 7025	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑛}})‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	12, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480   ⊆ wss 3951   ↦ cmpt 5225  ^◡ccnv 5684   “ cima 5688  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   supp csupp 8185   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  ℂ_fldccnfld 21364   mPoly cmpl 21926   mHomP cmhp 22133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-n0 12527  df-mhp 22140

This theorem is referenced by:  mhpmpl  22148  mhpdeg  22149  mhpmulcl  22153  mhppwdeg  22154  mhpaddcl  22155  mhpinvcl  22156  mhpvscacl  22158  mhpind  42604  mhphf  42607