MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhprcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhprcl 22164
Description: Reverse closure for homogeneous polynomials, use elfvov1 7472 and elfvov2 7473 with reldmmhp 22158 for the reverse closure of 𝐼 and 𝑅. (Contributed by SN, 4-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mhprcl.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhprcl.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
Assertion
Ref Expression
mhprcl (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem mhprcl
Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhprcl.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
2 mhprcl.h . . . . 5 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3 eqid 2734 . . . . 5 (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
4 eqid 2734 . . . . 5 (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
5 eqid 2734 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
6 eqid 2734 . . . . 5 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
7 reldmmhp 22158 . . . . . 6 Rel dom mHomP
87, 2, 1elfvov1 7472 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ V)
97, 2, 1elfvov2 7473 . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ V)
102, 3, 4, 5, 6, 8, 9mhpfval 22159 . . . 4 (𝜑𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑛}}))
1110fveq1d 6908 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑁) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑛}})‘𝑁))
121, 11eleqtrd 2840 . 2 (𝜑𝑋 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑛}})‘𝑁))
13 eqid 2734 . . 3 (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑛}}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑛}})
1413mptrcl 7024 . 2 (𝑋 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑛}})‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
1512, 14syl 17 1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1536  wcel 2105  {crab 3432  Vcvv 3477  wss 3962  cmpt 5230  ccnv 5687  cima 5691  cfv 6562  (class class class)co 7430   supp csupp 8183  m cmap 8864  Fincfn 8983  cn 12263  0cn0 12523  Basecbs 17244  s cress 17273  0gc0g 17485   Σg cgsu 17486  fldccnfld 21381   mPoly cmpl 21943   mHomP cmhp 22150
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-1cn 11210  ax-addcl 11212
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-nn 12264  df-n0 12524  df-mhp 22157
This theorem is referenced by:  mhpmpl  22165  mhpdeg  22166  mhpmulcl  22170  mhppwdeg  22171  mhpaddcl  22172  mhpinvcl  22173  mhpvscacl  22175  mhpind  42580  mhphf  42583
  Copyright terms: Public domain W3C validator