Theorem mhprcl 22123

Description: Reverse closure for homogeneous polynomials, use elfvov1 7404 and elfvov2 7405 with reldmmhp 22117 for the reverse closure of 𝐼 and 𝑅. (Contributed by SN, 4-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhprcl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhprcl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhprcl	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Proof of Theorem mhprcl

Dummy variables 𝑓 𝑔 ℎ 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhprcl.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
2		mhprcl.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
3		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝐼 mPoly 𝑅) = (𝐼 mPoly 𝑅)
4		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅))
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
6		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
7		reldmmhp 22117	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mHomP
8	7, 2, 1	elfvov1 7404	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
9	7, 2, 1	elfvov2 7405	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
10	2, 3, 4, 5, 6, 8, 9	mhpfval 22118	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑛}}))
11	10	fveq1d 6838	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑁) = ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑛}})‘𝑁))
12	1, 11	eleqtrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑛}})‘𝑁))
13		eqid 2737	. . 3 ⊢ (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑛}}) = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑛}})
14	13	mptrcl 6953	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ((𝑛 ∈ ℕ0 ↦ {𝑓 ∈ (Base‘(𝐼 mPoly 𝑅)) ∣ (𝑓 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑛}})‘𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	12, 14	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {crab 3390  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890   ↦ cmpt 5167  ^◡ccnv 5625   “ cima 5629  ‘cfv 6494  (class class class)co 7362   supp csupp 8105   ↑_m cmap 8768  Fincfn 8888  ℕcn 12169  ℕ₀cn0 12432  Basecbs 17174   ↾_s cress 17195  0_gc0g 17397   Σ_g cgsu 17398  ℂ_fldccnfld 21348   mPoly cmpl 21900   mHomP cmhp 22109

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-cnex 11089  ax-1cn 11091  ax-addcl 11093

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5521  df-eprel 5526  df-po 5534  df-so 5535  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-pred 6261  df-ord 6322  df-on 6323  df-lim 6324  df-suc 6325  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7813  df-2nd 7938  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-nn 12170  df-n0 12433  df-mhp 22116

This theorem is referenced by:  mhpmpl  22124  mhpdeg  22125  mhpmulcl  22129  mhppwdeg  22130  mhpaddcl  22131  mhpinvcl  22132  mhpvscacl  22134  mhpind  43045  mhphf  43048