Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mhphf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhphf2 42585
Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function; this is mhphf 42584 with simpler notation in the conclusion in exchange for a complex definition of , which is based on frlmvscafval 21804 but without the finite support restriction (frlmpws 21788, frlmbas 21793) on the assignments 𝐴 from variables to values.

TODO?: Polynomials (df-mpl 21949) are defined to have a finite amount of terms (of finite degree). As such, any assignment may be replaced by an assignment with finite support (as only a finite amount of variables matter in a given polynomial, even if the set of variables is infinite). So the finite support restriction can be assumed without loss of generality. (Contributed by SN, 11-Nov-2024.)

Hypotheses
Ref Expression
mhphf2.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mhphf2.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
mhphf2.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
mhphf2.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf2.b = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
mhphf2.m · = (.r𝑆)
mhphf2.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf2.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
mhphf2.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mhphf2.l (𝜑𝐿𝑅)
mhphf2.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
mhphf2.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
mhphf2 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘(𝐿 𝐴)) = ((𝑁 𝐿) · ((𝑄𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf2
StepHypRef Expression
1 eqid 2735 . . . . 5 ((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)
2 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
3 rlmvsca 21225 . . . . 5 (.r𝑆) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑆))
4 mhphf2.b . . . . 5 = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
5 eqid 2735 . . . . 5 (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆))
6 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
7 fvexd 6922 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑆) ∈ V)
8 reldmmhp 22159 . . . . . 6 Rel dom mHomP
9 mhphf2.h . . . . . 6 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
10 mhphf2.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
118, 9, 10elfvov1 7473 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ V)
12 mhphf2.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
13 mhphf2.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝑆)
1413subrgss 20589 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐾)
1512, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝐾)
16 mhphf2.l . . . . . . 7 (𝜑𝐿𝑅)
1715, 16sseldd 3996 . . . . . 6 (𝜑𝐿𝐾)
18 mhphf2.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
19 rlmsca 21223 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
2120fveq2d 6911 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
2213, 21eqtrid 2787 . . . . . 6 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
2317, 22eleqtrd 2841 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
24 mhphf2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
2513oveq1i 7441 . . . . . . 7 (𝐾m 𝐼) = ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)
2624, 25eleqtrdi 2849 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))
27 rlmbas 21218 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = (Base‘(ringLMod‘𝑆))
281, 27pwsbas 17534 . . . . . . 7 (((ringLMod‘𝑆) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
297, 11, 28syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
3026, 29eleqtrd 2841 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 23, 30pwsvscafval 17541 . . . 4 (𝜑 → (𝐿 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f (.r𝑆)𝐴))
32 mhphf2.m . . . . . . 7 · = (.r𝑆)
3332eqcomi 2744 . . . . . 6 (.r𝑆) = ·
34 ofeq 7700 . . . . . 6 ((.r𝑆) = · → ∘f (.r𝑆) = ∘f · )
3533, 34mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ∘f (.r𝑆) = ∘f · )
3635oveqd 7448 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼 × {𝐿}) ∘f (.r𝑆)𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
3731, 36eqtrd 2775 . . 3 (𝜑 → (𝐿 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
3837fveq2d 6911 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘(𝐿 𝐴)) = ((𝑄𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)))
39 mhphf2.q . . 3 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
40 mhphf2.u . . 3 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
41 mhphf2.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
4239, 9, 40, 13, 32, 41, 18, 12, 16, 10, 24mhphf 42584 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 𝐿) · ((𝑄𝑋)‘𝐴)))
4338, 42eqtrd 2775 1 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘(𝐿 𝐴)) = ((𝑁 𝐿) · ((𝑄𝑋)‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  wss 3963  {csn 4631   × cxp 5687  cfv 6563  (class class class)co 7431  f cof 7695  m cmap 8865  Basecbs 17245  s cress 17274  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  s cpws 17493  .gcmg 19098  mulGrpcmgp 20152  CRingccrg 20252  SubRingcsubrg 20586  ringLModcrglmod 21189   evalSub ces 22114   mHomP cmhp 22151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-addf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-2o 8506  df-er 8744  df-map 8867  df-pm 8868  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mre 17631  df-mrc 17632  df-acs 17634  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-mulg 19099  df-subg 19154  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-srg 20205  df-ring 20253  df-cring 20254  df-rhm 20489  df-subrng 20563  df-subrg 20587  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-cnfld 21383  df-assa 21891  df-asp 21892  df-ascl 21893  df-psr 21947  df-mvr 21948  df-mpl 21949  df-evls 22116  df-mhp 22158
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator