Theorem mhphf2 42588

Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function; this is mhphf 42587 with simpler notation in the conclusion in exchange for a complex definition of ∙, which is based on frlmvscafval 21731 but without the finite support restriction (frlmpws 21715, frlmbas 21720) on the assignments 𝐴 from variables to values.

TODO?: Polynomials (df-mpl 21876) are defined to have a finite amount of terms (of finite degree). As such, any assignment may be replaced by an assignment with finite support (as only a finite amount of variables matter in a given polynomial, even if the set of variables is infinite). So the finite support restriction can be assumed without loss of generality. (Contributed by SN, 11-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphf2.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mhphf2.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
mhphf2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
mhphf2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf2.b	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
mhphf2.m	⊢ · = (.r‘𝑆)
mhphf2.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mhphf2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mhphf2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
mhphf2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhphf2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
mhphf2	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ ((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)
2		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
3		rlmvsca 21163	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑆))
4		mhphf2.b	. . . . 5 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
5		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆))
6		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
7		fvexd 6896	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑆) ∈ V)
8		reldmmhp 22080	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mHomP
9		mhphf2.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
10		mhphf2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
11	8, 9, 10	elfvov1 7452	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
12		mhphf2.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
13		mhphf2.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
14	13	subrgss 20537	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
15	12, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
16		mhphf2.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
17	15, 16	sseldd 3964	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐾)
18		mhphf2.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
19		rlmsca 21161	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
21	20	fveq2d 6885	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
22	13, 21	eqtrid 2783	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
23	17, 22	eleqtrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
24		mhphf2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
25	13	oveq1i 7420	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↑m 𝐼) = ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)
26	24, 25	eleqtrdi 2845	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))
27		rlmbas 21156	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(ringLMod‘𝑆))
28	1, 27	pwsbas 17506	. . . . . . 7 ⊢ (((ringLMod‘𝑆) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
29	7, 11, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
30	26, 29	eleqtrd 2837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 23, 30	pwsvscafval 17513	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∙ 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f (.r‘𝑆)𝐴))
32		mhphf2.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑆)
33	32	eqcomi 2745	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = ·
34		ofeq 7679	. . . . . 6 ⊢ ((.r‘𝑆) = · → ∘f (.r‘𝑆) = ∘f · )
35	33, 34	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∘f (.r‘𝑆) = ∘f · )
36	35	oveqd 7427	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐿}) ∘f (.r‘𝑆)𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
37	31, 36	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∙ 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
38	37	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)))
39		mhphf2.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
40		mhphf2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
41		mhphf2.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
42	39, 9, 40, 13, 32, 41, 18, 12, 16, 10, 24	mhphf 42587	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))
43	38, 42	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464   ⊆ wss 3931  {csn 4606   × cxp 5657  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410   ∘_f cof 7674   ↑_m cmap 8845  Basecbs 17233   ↾_s cress 17256  ._rcmulr 17277  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280   ↑_s cpws 17465  ._gcmg 19055  mulGrpcmgp 20105  CRingccrg 20199  SubRingcsubrg 20534  ringLModcrglmod 21135   evalSub ces 22035   mHomP cmhp 22072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211  ax-addf 11213

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-iin 4975  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-of 7676  df-ofr 7677  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-er 8724  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-oi 9529  df-card 9958  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-fzo 13677  df-seq 14025  df-hash 14354  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-starv 17291  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-unif 17299  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-gsum 17461  df-prds 17466  df-pws 17468  df-mre 17603  df-mrc 17604  df-acs 17606  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-mhm 18766  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-mulg 19056  df-subg 19111  df-ghm 19201  df-cntz 19305  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-srg 20152  df-ring 20200  df-cring 20201  df-rhm 20437  df-subrng 20511  df-subrg 20535  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-sra 21136  df-rgmod 21137  df-cnfld 21321  df-assa 21818  df-asp 21819  df-ascl 21820  df-psr 21874  df-mvr 21875  df-mpl 21876  df-evls 22037  df-mhp 22079

This theorem is referenced by: (None)