Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mhphf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhphf2 42608
Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function; this is mhphf 42607 with simpler notation in the conclusion in exchange for a complex definition of , which is based on frlmvscafval 21786 but without the finite support restriction (frlmpws 21770, frlmbas 21775) on the assignments 𝐴 from variables to values.

TODO?: Polynomials (df-mpl 21931) are defined to have a finite amount of terms (of finite degree). As such, any assignment may be replaced by an assignment with finite support (as only a finite amount of variables matter in a given polynomial, even if the set of variables is infinite). So the finite support restriction can be assumed without loss of generality. (Contributed by SN, 11-Nov-2024.)

Hypotheses
Ref Expression
mhphf2.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mhphf2.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
mhphf2.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
mhphf2.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf2.b = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
mhphf2.m · = (.r𝑆)
mhphf2.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf2.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
mhphf2.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mhphf2.l (𝜑𝐿𝑅)
mhphf2.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
mhphf2.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
mhphf2 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘(𝐿 𝐴)) = ((𝑁 𝐿) · ((𝑄𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf2
StepHypRef Expression
1 eqid 2737 . . . . 5 ((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)
2 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
3 rlmvsca 21207 . . . . 5 (.r𝑆) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑆))
4 mhphf2.b . . . . 5 = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
5 eqid 2737 . . . . 5 (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆))
6 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
7 fvexd 6921 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑆) ∈ V)
8 reldmmhp 22141 . . . . . 6 Rel dom mHomP
9 mhphf2.h . . . . . 6 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
10 mhphf2.x . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
118, 9, 10elfvov1 7473 . . . . 5 (𝜑𝐼 ∈ V)
12 mhphf2.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
13 mhphf2.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝑆)
1413subrgss 20572 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐾)
1512, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝐾)
16 mhphf2.l . . . . . . 7 (𝜑𝐿𝑅)
1715, 16sseldd 3984 . . . . . 6 (𝜑𝐿𝐾)
18 mhphf2.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
19 rlmsca 21205 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
2018, 19syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
2120fveq2d 6910 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
2213, 21eqtrid 2789 . . . . . 6 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
2317, 22eleqtrd 2843 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
24 mhphf2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
2513oveq1i 7441 . . . . . . 7 (𝐾m 𝐼) = ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)
2624, 25eleqtrdi 2851 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))
27 rlmbas 21200 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = (Base‘(ringLMod‘𝑆))
281, 27pwsbas 17532 . . . . . . 7 (((ringLMod‘𝑆) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
297, 11, 28syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
3026, 29eleqtrd 2843 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
311, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 23, 30pwsvscafval 17539 . . . 4 (𝜑 → (𝐿 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f (.r𝑆)𝐴))
32 mhphf2.m . . . . . . 7 · = (.r𝑆)
3332eqcomi 2746 . . . . . 6 (.r𝑆) = ·
34 ofeq 7700 . . . . . 6 ((.r𝑆) = · → ∘f (.r𝑆) = ∘f · )
3533, 34mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ∘f (.r𝑆) = ∘f · )
3635oveqd 7448 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼 × {𝐿}) ∘f (.r𝑆)𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
3731, 36eqtrd 2777 . . 3 (𝜑 → (𝐿 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
3837fveq2d 6910 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘(𝐿 𝐴)) = ((𝑄𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)))
39 mhphf2.q . . 3 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
40 mhphf2.u . . 3 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
41 mhphf2.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
4239, 9, 40, 13, 32, 41, 18, 12, 16, 10, 24mhphf 42607 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 𝐿) · ((𝑄𝑋)‘𝐴)))
4338, 42eqtrd 2777 1 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘(𝐿 𝐴)) = ((𝑁 𝐿) · ((𝑄𝑋)‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  wss 3951  {csn 4626   × cxp 5683  cfv 6561  (class class class)co 7431  f cof 7695  m cmap 8866  Basecbs 17247  s cress 17274  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  s cpws 17491  .gcmg 19085  mulGrpcmgp 20137  CRingccrg 20231  SubRingcsubrg 20569  ringLModcrglmod 21171   evalSub ces 22096   mHomP cmhp 22133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-addf 11234
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-ofr 7698  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-seq 14043  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-mhm 18796  df-submnd 18797  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-mulg 19086  df-subg 19141  df-ghm 19231  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-srg 20184  df-ring 20232  df-cring 20233  df-rhm 20472  df-subrng 20546  df-subrg 20570  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-lsp 20970  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-cnfld 21365  df-assa 21873  df-asp 21874  df-ascl 21875  df-psr 21929  df-mvr 21930  df-mpl 21931  df-evls 22098  df-mhp 22140
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator