Theorem mhphf2 42593

Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function; this is mhphf 42592 with simpler notation in the conclusion in exchange for a complex definition of ∙, which is based on frlmvscafval 21682 but without the finite support restriction (frlmpws 21666, frlmbas 21671) on the assignments 𝐴 from variables to values.

TODO?: Polynomials (df-mpl 21827) are defined to have a finite amount of terms (of finite degree). As such, any assignment may be replaced by an assignment with finite support (as only a finite amount of variables matter in a given polynomial, even if the set of variables is infinite). So the finite support restriction can be assumed without loss of generality. (Contributed by SN, 11-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphf2.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mhphf2.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
mhphf2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
mhphf2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf2.b	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
mhphf2.m	⊢ · = (.r‘𝑆)
mhphf2.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mhphf2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mhphf2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
mhphf2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhphf2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
mhphf2	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)
2		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
3		rlmvsca 21114	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑆))
4		mhphf2.b	. . . . 5 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
5		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆))
6		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
7		fvexd 6876	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑆) ∈ V)
8		reldmmhp 22031	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mHomP
9		mhphf2.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
10		mhphf2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
11	8, 9, 10	elfvov1 7432	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
12		mhphf2.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
13		mhphf2.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
14	13	subrgss 20488	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
15	12, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
16		mhphf2.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
17	15, 16	sseldd 3950	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐾)
18		mhphf2.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
19		rlmsca 21112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
21	20	fveq2d 6865	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
22	13, 21	eqtrid 2777	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
23	17, 22	eleqtrd 2831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
24		mhphf2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
25	13	oveq1i 7400	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↑m 𝐼) = ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)
26	24, 25	eleqtrdi 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))
27		rlmbas 21107	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(ringLMod‘𝑆))
28	1, 27	pwsbas 17457	. . . . . . 7 ⊢ (((ringLMod‘𝑆) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
29	7, 11, 28	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
30	26, 29	eleqtrd 2831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 23, 30	pwsvscafval 17464	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∙ 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f (.r‘𝑆)𝐴))
32		mhphf2.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑆)
33	32	eqcomi 2739	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = ·
34		ofeq 7659	. . . . . 6 ⊢ ((.r‘𝑆) = · → ∘f (.r‘𝑆) = ∘f · )
35	33, 34	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∘f (.r‘𝑆) = ∘f · )
36	35	oveqd 7407	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐿}) ∘f (.r‘𝑆)𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
37	31, 36	eqtrd 2765	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∙ 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
38	37	fveq2d 6865	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)))
39		mhphf2.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
40		mhphf2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
41		mhphf2.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
42	39, 9, 40, 13, 32, 41, 18, 12, 16, 10, 24	mhphf 42592	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))
43	38, 42	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3450   ⊆ wss 3917  {csn 4592   × cxp 5639  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654   ↑_m cmap 8802  Basecbs 17186   ↾_s cress 17207  ._rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·_𝑠 cvsca 17231   ↑_s cpws 17416  ._gcmg 19006  mulGrpcmgp 20056  CRingccrg 20150  SubRingcsubrg 20485  ringLModcrglmod 21086   evalSub ces 21986   mHomP cmhp 22023

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-addf 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9320  df-sup 9400  df-oi 9470  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-7 12261  df-8 12262  df-9 12263  df-n0 12450  df-z 12537  df-dec 12657  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-seq 13974  df-hash 14303  df-struct 17124  df-sets 17141  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-ress 17208  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-starv 17242  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-tset 17246  df-ple 17247  df-ds 17249  df-unif 17250  df-hom 17251  df-cco 17252  df-0g 17411  df-gsum 17412  df-prds 17417  df-pws 17419  df-mre 17554  df-mrc 17555  df-acs 17557  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-mhm 18717  df-submnd 18718  df-grp 18875  df-minusg 18876  df-sbg 18877  df-mulg 19007  df-subg 19062  df-ghm 19152  df-cntz 19256  df-cmn 19719  df-abl 19720  df-mgp 20057  df-rng 20069  df-ur 20098  df-srg 20103  df-ring 20151  df-cring 20152  df-rhm 20388  df-subrng 20462  df-subrg 20486  df-lmod 20775  df-lss 20845  df-lsp 20885  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-cnfld 21272  df-assa 21769  df-asp 21770  df-ascl 21771  df-psr 21825  df-mvr 21826  df-mpl 21827  df-evls 21988  df-mhp 22030

This theorem is referenced by: (None)