Theorem mhphf2 43363

Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function; this is mhphf 43362 with simpler notation in the conclusion in exchange for a complex definition of ∙, which is based on frlmvscafval 21945 but without the finite support restriction (frlmpws 21929, frlmbas 21934) on the assignments 𝐴 from variables to values.

TODO?: Polynomials (df-mpl 22090) are defined to have a finite amount of terms (of finite degree). As such, any assignment may be replaced by an assignment with finite support (as only a finite amount of variables matter in a given polynomial, even if the set of variables is infinite). So the finite support restriction can be assumed without loss of generality. (Contributed by SN, 11-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphf2.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mhphf2.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
mhphf2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
mhphf2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf2.b	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
mhphf2.m	⊢ · = (.r‘𝑆)
mhphf2.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mhphf2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mhphf2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
mhphf2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhphf2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
mhphf2	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ ((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)
2		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
3		rlmvsca 21350	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑆))
4		mhphf2.b	. . . . 5 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
5		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆))
6		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
7		fvexd 6900	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑆) ∈ V)
8		reldmmhp 22329	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mHomP
9		mhphf2.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
10		mhphf2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
11	8, 9, 10	elfvov1 7458	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
12		mhphf2.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
13		mhphf2.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
14	13	subrgss 20700	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
15	12, 14	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
16		mhphf2.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
17	15, 16	sseldd 3939	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐾)
18		mhphf2.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
19		rlmsca 21348	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
20	18, 19	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
21	20	fveq2d 6889	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
22	13, 21	eqtrid 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
23	17, 22	eleqtrd 2867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
24		mhphf2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
25	13	oveq1i 7426	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↑m 𝐼) = ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)
26	24, 25	eleqtrdi 2875	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))
27		rlmbas 21343	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(ringLMod‘𝑆))
28	1, 27	pwsbas 17557	. . . . . . 7 ⊢ (((ringLMod‘𝑆) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
29	7, 11, 28	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
30	26, 29	eleqtrd 2867	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 23, 30	pwsvscafval 17565	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∙ 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f (.r‘𝑆)𝐴))
32		mhphf2.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑆)
33	32	eqcomi 2774	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = ·
34		ofeq 7683	. . . . . 6 ⊢ ((.r‘𝑆) = · → ∘f (.r‘𝑆) = ∘f · )
35	33, 34	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∘f (.r‘𝑆) = ∘f · )
36	35	oveqd 7433	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐿}) ∘f (.r‘𝑆)𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
37	31, 36	eqtrd 2800	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∙ 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
38	37	fveq2d 6889	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)))
39		mhphf2.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
40		mhphf2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
41		mhphf2.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
42	39, 9, 40, 13, 32, 41, 18, 12, 16, 10, 24	mhphf 43362	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))
43	38, 42	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   ⊆ wss 3906  {csn 4591   × cxp 5661  ‘cfv 6540  (class class class)co 7416   ∘_f cof 7678   ↑_m cmap 8826  Basecbs 17286   ↾_s cress 17307  ._rcmulr 17328  Scalarcsca 17330   ·_𝑠 cvsca 17331   ↑_s cpws 17516  ._gcmg 19156  mulGrpcmgp 20239  CRingccrg 20339  SubRingcsubrg 20697  ringLModcrglmod 21322   evalSub ces 22252   mHomP cmhp 22325

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188  ax-addf 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7680  df-ofr 7681  df-om 7865  df-1st 7988  df-2nd 7989  df-supp 8159  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-1o 8455  df-2o 8456  df-er 8696  df-map 8828  df-pm 8829  df-ixp 8898  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-fsupp 9325  df-sup 9405  df-oi 9475  df-card 9937  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-3 12315  df-4 12316  df-5 12317  df-6 12318  df-7 12319  df-8 12320  df-9 12321  df-n0 12516  df-z 12603  df-dec 12723  df-uz 12874  df-fz 13547  df-fzo 13695  df-seq 14051  df-hash 14380  df-struct 17224  df-sets 17241  df-slot 17259  df-ndx 17271  df-base 17287  df-ress 17308  df-plusg 17340  df-mulr 17341  df-starv 17342  df-sca 17343  df-vsca 17344  df-ip 17345  df-tset 17346  df-ple 17347  df-ds 17349  df-unif 17350  df-hom 17351  df-cco 17352  df-0g 17511  df-gsum 17512  df-prds 17517  df-pws 17519  df-mre 17655  df-mrc 17656  df-acs 17658  df-mgm 18715  df-sgrp 18798  df-mnd 18814  df-mhm 18864  df-submnd 18865  df-grp 19026  df-minusg 19027  df-sbg 19028  df-mulg 19157  df-subg 19212  df-ghm 19307  df-cntz 19410  df-cmn 19875  df-abl 19876  df-mgp 20240  df-rng 20254  df-ur 20287  df-srg 20292  df-ring 20340  df-cring 20341  df-rhm 20579  df-subrng 20674  df-subrg 20698  df-lmod 21012  df-lss 21082  df-lsp 21122  df-sra 21323  df-rgmod 21324  df-cnfld 21552  df-assa 22032  df-asp 22033  df-ascl 22034  df-psr 22088  df-mvr 22089  df-mpl 22090  df-evls 22254  df-mhp 22328

This theorem is used by: (None)