Theorem mhphf2 43141

Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function; this is mhphf 43140 with simpler notation in the conclusion in exchange for a complex definition of ∙, which is based on frlmvscafval 21806 but without the finite support restriction (frlmpws 21790, frlmbas 21795) on the assignments 𝐴 from variables to values.

TODO?: Polynomials (df-mpl 21951) are defined to have a finite amount of terms (of finite degree). As such, any assignment may be replaced by an assignment with finite support (as only a finite amount of variables matter in a given polynomial, even if the set of variables is infinite). So the finite support restriction can be assumed without loss of generality. (Contributed by SN, 11-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphf2.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mhphf2.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
mhphf2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
mhphf2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf2.b	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
mhphf2.m	⊢ · = (.r‘𝑆)
mhphf2.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mhphf2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mhphf2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
mhphf2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhphf2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
mhphf2	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)
2		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
3		rlmvsca 21255	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑆))
4		mhphf2.b	. . . . 5 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆))
6		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
7		fvexd 6877	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑆) ∈ V)
8		reldmmhp 22190	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mHomP
9		mhphf2.h	. . . . . 6 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
10		mhphf2.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
11	8, 9, 10	elfvov1 7433	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
12		mhphf2.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
13		mhphf2.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
14	13	subrgss 20609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
15	12, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
16		mhphf2.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
17	15, 16	sseldd 3935	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐾)
18		mhphf2.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
19		rlmsca 21253	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
20	18, 19	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
21	20	fveq2d 6866	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
22	13, 21	eqtrid 2808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
23	17, 22	eleqtrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
24		mhphf2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
25	13	oveq1i 7401	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↑m 𝐼) = ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)
26	24, 25	eleqtrdi 2871	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))
27		rlmbas 21248	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(ringLMod‘𝑆))
28	1, 27	pwsbas 17507	. . . . . . 7 ⊢ (((ringLMod‘𝑆) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ V) → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
29	7, 11, 28	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
30	26, 29	eleqtrd 2863	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
31	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 11, 23, 30	pwsvscafval 17515	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∙ 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f (.r‘𝑆)𝐴))
32		mhphf2.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑆)
33	32	eqcomi 2770	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = ·
34		ofeq 7658	. . . . . 6 ⊢ ((.r‘𝑆) = · → ∘f (.r‘𝑆) = ∘f · )
35	33, 34	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∘f (.r‘𝑆) = ∘f · )
36	35	oveqd 7408	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐿}) ∘f (.r‘𝑆)𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
37	31, 36	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∙ 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
38	37	fveq2d 6866	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)))
39		mhphf2.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
40		mhphf2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
41		mhphf2.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
42	39, 9, 40, 13, 32, 41, 18, 12, 16, 10, 24	mhphf 43140	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))
43	38, 42	eqtrd 2796	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453   ⊆ wss 3902  {csn 4579   × cxp 5641  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ∘_f cof 7653   ↑_m cmap 8802  Basecbs 17236   ↾_s cress 17257  ._rcmulr 17278  Scalarcsca 17280   ·_𝑠 cvsca 17281   ↑_s cpws 17466  ._gcmg 19100  mulGrpcmgp 20177  CRingccrg 20271  SubRingcsubrg 20606  ringLModcrglmod 21227   evalSub ces 22113   mHomP cmhp 22186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144  ax-addf 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-isom 6525  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-of 7655  df-ofr 7656  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-2o 8432  df-er 8672  df-map 8804  df-pm 8805  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-sup 9382  df-oi 9452  df-card 9891  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-fzo 13654  df-seq 14009  df-hash 14338  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-starv 17292  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-unif 17300  df-hom 17301  df-cco 17302  df-0g 17461  df-gsum 17462  df-prds 17467  df-pws 17469  df-mre 17605  df-mrc 17606  df-acs 17608  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-submnd 18809  df-grp 18969  df-minusg 18970  df-sbg 18971  df-mulg 19101  df-subg 19156  df-ghm 19245  df-cntz 19348  df-cmn 19813  df-abl 19814  df-mgp 20178  df-rng 20190  df-ur 20219  df-srg 20224  df-ring 20272  df-cring 20273  df-rhm 20508  df-subrng 20583  df-subrg 20607  df-lmod 20917  df-lss 20987  df-lsp 21027  df-sra 21228  df-rgmod 21229  df-cnfld 21413  df-assa 21893  df-asp 21894  df-ascl 21895  df-psr 21949  df-mvr 21950  df-mpl 21951  df-evls 22115  df-mhp 22189

This theorem is referenced by: (None)