Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mhphf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhphf2 40758
Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function; this is mhphf 40757 with simpler notation in the conclusion in exchange for a complex definition of , which is based on frlmvscafval 21172 but without the finite support restriction (frlmpws 21156, frlmbas 21161) on the assignments 𝐴 from variables to values.

TODO?: Polynomials (df-mpl 21313) are defined to have a finite amount of terms (of finite degree). As such, any assignment may be replaced by an assignment with finite support (as only a finite amount of variables matter in a given polynomial, even if the set of variables is infinite). So the finite support restriction can be assumed without loss of generality. (Contributed by SN, 11-Nov-2024.)

Hypotheses
Ref Expression
mhphf2.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mhphf2.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
mhphf2.u 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
mhphf2.k 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf2.b = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
mhphf2.m · = (.r𝑆)
mhphf2.e = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf2.i (𝜑𝐼𝑉)
mhphf2.s (𝜑𝑆 ∈ CRing)
mhphf2.r (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mhphf2.l (𝜑𝐿𝑅)
mhphf2.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
mhphf2.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
mhphf2.a (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
mhphf2 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘(𝐿 𝐴)) = ((𝑁 𝐿) · ((𝑄𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf2
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . . . 5 ((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)
2 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
3 rlmvsca 20671 . . . . 5 (.r𝑆) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑆))
4 mhphf2.b . . . . 5 = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
5 eqid 2736 . . . . 5 (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆))
6 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
7 fvexd 6857 . . . . 5 (𝜑 → (ringLMod‘𝑆) ∈ V)
8 mhphf2.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
9 mhphf2.r . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
10 mhphf2.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Base‘𝑆)
1110subrgss 20223 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅𝐾)
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅𝐾)
13 mhphf2.l . . . . . . 7 (𝜑𝐿𝑅)
1412, 13sseldd 3945 . . . . . 6 (𝜑𝐿𝐾)
15 mhphf2.s . . . . . . . . 9 (𝜑𝑆 ∈ CRing)
16 rlmsca 20669 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑆 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
1817fveq2d 6846 . . . . . . 7 (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
1910, 18eqtrid 2788 . . . . . 6 (𝜑𝐾 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
2014, 19eleqtrd 2840 . . . . 5 (𝜑𝐿 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
21 mhphf2.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ (𝐾m 𝐼))
2210oveq1i 7367 . . . . . . 7 (𝐾m 𝐼) = ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)
2321, 22eleqtrdi 2848 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))
24 rlmbas 20664 . . . . . . . 8 (Base‘𝑆) = (Base‘(ringLMod‘𝑆))
251, 24pwsbas 17369 . . . . . . 7 (((ringLMod‘𝑆) ∈ V ∧ 𝐼𝑉) → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
267, 8, 25syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
2723, 26eleqtrd 2840 . . . . 5 (𝜑𝐴 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 20, 27pwsvscafval 17376 . . . 4 (𝜑 → (𝐿 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f (.r𝑆)𝐴))
29 mhphf2.m . . . . . . 7 · = (.r𝑆)
3029eqcomi 2745 . . . . . 6 (.r𝑆) = ·
31 ofeq 7620 . . . . . 6 ((.r𝑆) = · → ∘f (.r𝑆) = ∘f · )
3230, 31mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ∘f (.r𝑆) = ∘f · )
3332oveqd 7374 . . . 4 (𝜑 → ((𝐼 × {𝐿}) ∘f (.r𝑆)𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
3428, 33eqtrd 2776 . . 3 (𝜑 → (𝐿 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
3534fveq2d 6846 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘(𝐿 𝐴)) = ((𝑄𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)))
36 mhphf2.q . . 3 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
37 mhphf2.h . . 3 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
38 mhphf2.u . . 3 𝑈 = (𝑆s 𝑅)
39 mhphf2.e . . 3 = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
40 mhphf2.n . . 3 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
41 mhphf2.x . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
4236, 37, 38, 10, 29, 39, 8, 15, 9, 13, 40, 41, 21mhphf 40757 . 2 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 𝐿) · ((𝑄𝑋)‘𝐴)))
4335, 42eqtrd 2776 1 (𝜑 → ((𝑄𝑋)‘(𝐿 𝐴)) = ((𝑁 𝐿) · ((𝑄𝑋)‘𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  Vcvv 3445  wss 3910  {csn 4586   × cxp 5631  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615  m cmap 8765  0cn0 12413  Basecbs 17083  s cress 17112  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  s cpws 17328  .gcmg 18872  mulGrpcmgp 19896  CRingccrg 19965  SubRingcsubrg 20218  ringLModcrglmod 20630   evalSub ces 21480   mHomP cmhp 21519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-mulg 18873  df-subg 18925  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-srg 19918  df-ring 19966  df-cring 19967  df-rnghom 20146  df-subrg 20220  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-cnfld 20797  df-assa 21259  df-asp 21260  df-ascl 21261  df-psr 21311  df-mvr 21312  df-mpl 21313  df-evls 21482  df-mhp 21523
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator