Theorem mhphf2 41831

Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function; this is mhphf 41830 with simpler notation in the conclusion in exchange for a complex definition of ∙, which is based on frlmvscafval 21700 but without the finite support restriction (frlmpws 21684, frlmbas 21689) on the assignments 𝐴 from variables to values.

TODO?: Polynomials (df-mpl 21844) are defined to have a finite amount of terms (of finite degree). As such, any assignment may be replaced by an assignment with finite support (as only a finite amount of variables matter in a given polynomial, even if the set of variables is infinite). So the finite support restriction can be assumed without loss of generality. (Contributed by SN, 11-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhphf2.q	⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
mhphf2.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
mhphf2.u	⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
mhphf2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
mhphf2.b	⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
mhphf2.m	⊢ · = (.r‘𝑆)
mhphf2.e	⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
mhphf2.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhphf2.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
mhphf2.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
mhphf2.l	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
mhphf2.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhphf2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhphf2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))

Assertion

Ref	Expression
mhphf2	⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Proof of Theorem mhphf2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ ((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼) = ((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)
2		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
3		rlmvsca 21093	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = ( ·𝑠 ‘(ringLMod‘𝑆))
4		mhphf2.b	. . . . 5 ⊢ ∙ = ( ·𝑠 ‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼))
5		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)) = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆))
6		eqid 2728	. . . . 5 ⊢ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
7		fvexd 6912	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (ringLMod‘𝑆) ∈ V)
8		mhphf2.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
9		mhphf2.r	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆))
10		mhphf2.k	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑆)
11	10	subrgss 20511	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ (SubRing‘𝑆) → 𝑅 ⊆ 𝐾)
12	9, 11	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐾)
13		mhphf2.l	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝑅)
14	12, 13	sseldd 3981	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ 𝐾)
15		mhphf2.s	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ CRing)
16		rlmsca 21091	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ CRing → 𝑆 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
17	15, 16	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (Scalar‘(ringLMod‘𝑆)))
18	17	fveq2d 6901	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑆) = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
19	10, 18	eqtrid 2780	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
20	14, 19	eleqtrd 2831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ (Base‘(Scalar‘(ringLMod‘𝑆))))
21		mhphf2.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
22	10	oveq1i 7430	. . . . . . 7 ⊢ (𝐾 ↑m 𝐼) = ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼)
23	21, 22	eleqtrdi 2839	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼))
24		rlmbas 21086	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘(ringLMod‘𝑆))
25	1, 24	pwsbas 17469	. . . . . . 7 ⊢ (((ringLMod‘𝑆) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
26	7, 8, 25	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((Base‘𝑆) ↑m 𝐼) = (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
27	23, 26	eleqtrd 2831	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ (Base‘((ringLMod‘𝑆) ↑s 𝐼)))
28	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 20, 27	pwsvscafval 17476	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∙ 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f (.r‘𝑆)𝐴))
29		mhphf2.m	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑆)
30	29	eqcomi 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑆) = ·
31		ofeq 7688	. . . . . 6 ⊢ ((.r‘𝑆) = · → ∘f (.r‘𝑆) = ∘f · )
32	30, 31	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∘f (.r‘𝑆) = ∘f · )
33	32	oveqd 7437	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐼 × {𝐿}) ∘f (.r‘𝑆)𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
34	28, 33	eqtrd 2768	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐿 ∙ 𝐴) = ((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴))
35	34	fveq2d 6901	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)))
36		mhphf2.q	. . 3 ⊢ 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)‘𝑅)
37		mhphf2.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑈)
38		mhphf2.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = (𝑆 ↾s 𝑅)
39		mhphf2.e	. . 3 ⊢ ↑ = (.g‘(mulGrp‘𝑆))
40		mhphf2.n	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
41		mhphf2.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
42	36, 37, 38, 10, 29, 39, 8, 15, 9, 13, 40, 41, 21	mhphf 41830	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘((𝐼 × {𝐿}) ∘f · 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))
43	35, 42	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑄‘𝑋)‘(𝐿 ∙ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) · ((𝑄‘𝑋)‘𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   ⊆ wss 3947  {csn 4629   × cxp 5676  ‘cfv 6548  (class class class)co 7420   ∘_f cof 7683   ↑_m cmap 8845  ℕ₀cn0 12503  Basecbs 17180   ↾_s cress 17209  ._rcmulr 17234  Scalarcsca 17236   ·_𝑠 cvsca 17237   ↑_s cpws 17428  ._gcmg 19023  mulGrpcmgp 20074  CRingccrg 20174  SubRingcsubrg 20506  ringLModcrglmod 21057   evalSub ces 22016   mHomP cmhp 22055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-addf 11218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-srg 20127  df-ring 20175  df-cring 20176  df-rhm 20411  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-cnfld 21280  df-assa 21787  df-asp 21788  df-ascl 21789  df-psr 21842  df-mvr 21843  df-mpl 21844  df-evls 22018  df-mhp 22062

This theorem is referenced by: (None)