Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mhphf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhphf2 41708
Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function; this is mhphf 41707 with simpler notation in the conclusion in exchange for a complex definition of βˆ™, which is based on frlmvscafval 21657 but without the finite support restriction (frlmpws 21641, frlmbas 21646) on the assignments 𝐴 from variables to values.

TODO?: Polynomials (df-mpl 21801) are defined to have a finite amount of terms (of finite degree). As such, any assignment may be replaced by an assignment with finite support (as only a finite amount of variables matter in a given polynomial, even if the set of variables is infinite). So the finite support restriction can be assumed without loss of generality. (Contributed by SN, 11-Nov-2024.)

Hypotheses
Ref Expression
mhphf2.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
mhphf2.h 𝐻 = (𝐼 mHomP π‘ˆ)
mhphf2.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
mhphf2.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
mhphf2.b βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜((ringLModβ€˜π‘†) ↑s 𝐼))
mhphf2.m Β· = (.rβ€˜π‘†)
mhphf2.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
mhphf2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mhphf2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
mhphf2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
mhphf2.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝑅)
mhphf2.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
mhphf2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π»β€˜π‘))
mhphf2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
mhphf2 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘‹)β€˜(𝐿 βˆ™ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) Β· ((π‘„β€˜π‘‹)β€˜π΄)))

Proof of Theorem mhphf2
StepHypRef Expression
1 eqid 2726 . . . . 5 ((ringLModβ€˜π‘†) ↑s 𝐼) = ((ringLModβ€˜π‘†) ↑s 𝐼)
2 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘†) ↑s 𝐼)) = (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘†) ↑s 𝐼))
3 rlmvsca 21054 . . . . 5 (.rβ€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜(ringLModβ€˜π‘†))
4 mhphf2.b . . . . 5 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜((ringLModβ€˜π‘†) ↑s 𝐼))
5 eqid 2726 . . . . 5 (Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘†)) = (Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘†))
6 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘†))) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘†)))
7 fvexd 6899 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ringLModβ€˜π‘†) ∈ V)
8 mhphf2.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
9 mhphf2.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
10 mhphf2.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
1110subrgss 20472 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
13 mhphf2.l . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝑅)
1412, 13sseldd 3978 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝐾)
15 mhphf2.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
16 rlmsca 21052 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ CRing β†’ 𝑆 = (Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘†)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘†)))
1817fveq2d 6888 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘†))))
1910, 18eqtrid 2778 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘†))))
2014, 19eleqtrd 2829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘†))))
21 mhphf2.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
2210oveq1i 7414 . . . . . . 7 (𝐾 ↑m 𝐼) = ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)
2321, 22eleqtrdi 2837 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))
24 rlmbas 21047 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜(ringLModβ€˜π‘†))
251, 24pwsbas 17440 . . . . . . 7 (((ringLModβ€˜π‘†) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘†) ↑s 𝐼)))
267, 8, 25syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘†) ↑s 𝐼)))
2723, 26eleqtrd 2829 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘†) ↑s 𝐼)))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 20, 27pwsvscafval 17447 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐿 βˆ™ 𝐴) = ((𝐼 Γ— {𝐿}) ∘f (.rβ€˜π‘†)𝐴))
29 mhphf2.m . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘†)
3029eqcomi 2735 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘†) = Β·
31 ofeq 7669 . . . . . 6 ((.rβ€˜π‘†) = Β· β†’ ∘f (.rβ€˜π‘†) = ∘f Β· )
3230, 31mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∘f (.rβ€˜π‘†) = ∘f Β· )
3332oveqd 7421 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐼 Γ— {𝐿}) ∘f (.rβ€˜π‘†)𝐴) = ((𝐼 Γ— {𝐿}) ∘f Β· 𝐴))
3428, 33eqtrd 2766 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐿 βˆ™ 𝐴) = ((𝐼 Γ— {𝐿}) ∘f Β· 𝐴))
3534fveq2d 6888 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘‹)β€˜(𝐿 βˆ™ 𝐴)) = ((π‘„β€˜π‘‹)β€˜((𝐼 Γ— {𝐿}) ∘f Β· 𝐴)))
36 mhphf2.q . . 3 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
37 mhphf2.h . . 3 𝐻 = (𝐼 mHomP π‘ˆ)
38 mhphf2.u . . 3 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
39 mhphf2.e . . 3 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
40 mhphf2.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
41 mhphf2.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π»β€˜π‘))
4236, 37, 38, 10, 29, 39, 8, 15, 9, 13, 40, 41, 21mhphf 41707 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘‹)β€˜((𝐼 Γ— {𝐿}) ∘f Β· 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) Β· ((π‘„β€˜π‘‹)β€˜π΄)))
4335, 42eqtrd 2766 1 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘‹)β€˜(𝐿 βˆ™ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) Β· ((π‘„β€˜π‘‹)β€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943  {csn 4623   Γ— cxp 5667  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘f cof 7664   ↑m cmap 8819  β„•0cn0 12473  Basecbs 17151   β†Ύs cress 17180  .rcmulr 17205  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208   ↑s cpws 17399  .gcmg 18993  mulGrpcmgp 20037  CRingccrg 20137  SubRingcsubrg 20467  ringLModcrglmod 21018   evalSub ces 21971   mHomP cmhp 22010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-addf 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-seq 13970  df-hash 14294  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-ip 17222  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-hom 17228  df-cco 17229  df-0g 17394  df-gsum 17395  df-prds 17400  df-pws 17402  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-mhm 18711  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-mulg 18994  df-subg 19048  df-ghm 19137  df-cntz 19231  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-srg 20090  df-ring 20138  df-cring 20139  df-rhm 20372  df-subrng 20444  df-subrg 20469  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-sra 21019  df-rgmod 21020  df-cnfld 21237  df-assa 21744  df-asp 21745  df-ascl 21746  df-psr 21799  df-mvr 21800  df-mpl 21801  df-evls 21973  df-mhp 22017
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator