Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mhphf2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhphf2 41831
Description: A homogeneous polynomial defines a homogeneous function; this is mhphf 41830 with simpler notation in the conclusion in exchange for a complex definition of βˆ™, which is based on frlmvscafval 21700 but without the finite support restriction (frlmpws 21684, frlmbas 21689) on the assignments 𝐴 from variables to values.

TODO?: Polynomials (df-mpl 21844) are defined to have a finite amount of terms (of finite degree). As such, any assignment may be replaced by an assignment with finite support (as only a finite amount of variables matter in a given polynomial, even if the set of variables is infinite). So the finite support restriction can be assumed without loss of generality. (Contributed by SN, 11-Nov-2024.)

Hypotheses
Ref Expression
mhphf2.q 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
mhphf2.h 𝐻 = (𝐼 mHomP π‘ˆ)
mhphf2.u π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
mhphf2.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
mhphf2.b βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜((ringLModβ€˜π‘†) ↑s 𝐼))
mhphf2.m Β· = (.rβ€˜π‘†)
mhphf2.e ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
mhphf2.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mhphf2.s (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
mhphf2.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
mhphf2.l (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝑅)
mhphf2.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
mhphf2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π»β€˜π‘))
mhphf2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
Assertion
Ref Expression
mhphf2 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘‹)β€˜(𝐿 βˆ™ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) Β· ((π‘„β€˜π‘‹)β€˜π΄)))

Proof of Theorem mhphf2
StepHypRef Expression
1 eqid 2728 . . . . 5 ((ringLModβ€˜π‘†) ↑s 𝐼) = ((ringLModβ€˜π‘†) ↑s 𝐼)
2 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘†) ↑s 𝐼)) = (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘†) ↑s 𝐼))
3 rlmvsca 21093 . . . . 5 (.rβ€˜π‘†) = ( ·𝑠 β€˜(ringLModβ€˜π‘†))
4 mhphf2.b . . . . 5 βˆ™ = ( ·𝑠 β€˜((ringLModβ€˜π‘†) ↑s 𝐼))
5 eqid 2728 . . . . 5 (Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘†)) = (Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘†))
6 eqid 2728 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘†))) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘†)))
7 fvexd 6912 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (ringLModβ€˜π‘†) ∈ V)
8 mhphf2.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
9 mhphf2.r . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†))
10 mhphf2.k . . . . . . . . 9 𝐾 = (Baseβ€˜π‘†)
1110subrgss 20511 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ (SubRingβ€˜π‘†) β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
129, 11syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 βŠ† 𝐾)
13 mhphf2.l . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝑅)
1412, 13sseldd 3981 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ 𝐾)
15 mhphf2.s . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ CRing)
16 rlmsca 21091 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ CRing β†’ 𝑆 = (Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘†)))
1715, 16syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘†)))
1817fveq2d 6901 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘†))))
1910, 18eqtrid 2780 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘†))))
2014, 19eleqtrd 2831 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐿 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜(ringLModβ€˜π‘†))))
21 mhphf2.a . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (𝐾 ↑m 𝐼))
2210oveq1i 7430 . . . . . . 7 (𝐾 ↑m 𝐼) = ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼)
2321, 22eleqtrdi 2839 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼))
24 rlmbas 21086 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜(ringLModβ€˜π‘†))
251, 24pwsbas 17469 . . . . . . 7 (((ringLModβ€˜π‘†) ∈ V ∧ 𝐼 ∈ 𝑉) β†’ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘†) ↑s 𝐼)))
267, 8, 25syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((Baseβ€˜π‘†) ↑m 𝐼) = (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘†) ↑s 𝐼)))
2723, 26eleqtrd 2831 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ (Baseβ€˜((ringLModβ€˜π‘†) ↑s 𝐼)))
281, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 20, 27pwsvscafval 17476 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐿 βˆ™ 𝐴) = ((𝐼 Γ— {𝐿}) ∘f (.rβ€˜π‘†)𝐴))
29 mhphf2.m . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘†)
3029eqcomi 2737 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘†) = Β·
31 ofeq 7688 . . . . . 6 ((.rβ€˜π‘†) = Β· β†’ ∘f (.rβ€˜π‘†) = ∘f Β· )
3230, 31mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ∘f (.rβ€˜π‘†) = ∘f Β· )
3332oveqd 7437 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐼 Γ— {𝐿}) ∘f (.rβ€˜π‘†)𝐴) = ((𝐼 Γ— {𝐿}) ∘f Β· 𝐴))
3428, 33eqtrd 2768 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐿 βˆ™ 𝐴) = ((𝐼 Γ— {𝐿}) ∘f Β· 𝐴))
3534fveq2d 6901 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘‹)β€˜(𝐿 βˆ™ 𝐴)) = ((π‘„β€˜π‘‹)β€˜((𝐼 Γ— {𝐿}) ∘f Β· 𝐴)))
36 mhphf2.q . . 3 𝑄 = ((𝐼 evalSub 𝑆)β€˜π‘…)
37 mhphf2.h . . 3 𝐻 = (𝐼 mHomP π‘ˆ)
38 mhphf2.u . . 3 π‘ˆ = (𝑆 β†Ύs 𝑅)
39 mhphf2.e . . 3 ↑ = (.gβ€˜(mulGrpβ€˜π‘†))
40 mhphf2.n . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
41 mhphf2.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (π»β€˜π‘))
4236, 37, 38, 10, 29, 39, 8, 15, 9, 13, 40, 41, 21mhphf 41830 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘‹)β€˜((𝐼 Γ— {𝐿}) ∘f Β· 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) Β· ((π‘„β€˜π‘‹)β€˜π΄)))
4335, 42eqtrd 2768 1 (πœ‘ β†’ ((π‘„β€˜π‘‹)β€˜(𝐿 βˆ™ 𝐴)) = ((𝑁 ↑ 𝐿) Β· ((π‘„β€˜π‘‹)β€˜π΄)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947  {csn 4629   Γ— cxp 5676  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∘f cof 7683   ↑m cmap 8845  β„•0cn0 12503  Basecbs 17180   β†Ύs cress 17209  .rcmulr 17234  Scalarcsca 17236   ·𝑠 cvsca 17237   ↑s cpws 17428  .gcmg 19023  mulGrpcmgp 20074  CRingccrg 20174  SubRingcsubrg 20506  ringLModcrglmod 21057   evalSub ces 22016   mHomP cmhp 22055
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-sup 9466  df-oi 9534  df-card 9963  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-seq 14000  df-hash 14323  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-prds 17429  df-pws 17431  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-mhm 18740  df-submnd 18741  df-grp 18893  df-minusg 18894  df-sbg 18895  df-mulg 19024  df-subg 19078  df-ghm 19168  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-abl 19738  df-mgp 20075  df-rng 20093  df-ur 20122  df-srg 20127  df-ring 20175  df-cring 20176  df-rhm 20411  df-subrng 20483  df-subrg 20508  df-lmod 20745  df-lss 20816  df-lsp 20856  df-sra 21058  df-rgmod 21059  df-cnfld 21280  df-assa 21787  df-asp 21788  df-ascl 21789  df-psr 21842  df-mvr 21843  df-mpl 21844  df-evls 22018  df-mhp 22062
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator