Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mhpind Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhpind 40755
Description: The homogeneous polynomials of degree 𝑁 are generated by the terms of degree 𝑁 and addition. (Contributed by SN, 28-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpind.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpind.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
mhpind.z 0 = (0g𝑅)
mhpind.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpind.a + = (+g𝑃)
mhpind.d 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
mhpind.s 𝑆 = {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}
mhpind.i (𝜑𝐼𝑉)
mhpind.r (𝜑𝑅 ∈ Grp)
mhpind.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
mhpind.x (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
mhpind.0 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐺)
mhpind.1 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) → (𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ 𝐺)
mhpind.2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐺)
Assertion
Ref Expression
mhpind (𝜑𝑋𝐺)
Distinct variable groups:   0 ,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥, 0 ,𝑦,𝑠   𝐵,𝑎,𝑏,𝑠   𝐷,𝑎,𝑏,𝑔,𝑠   𝑥,𝐷,𝑦,𝑔   𝐺,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥,𝐺,𝑦   𝐻,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥,𝐻,𝑦   ,𝐼   𝑁,𝑎,𝑏,𝑔,𝑠   𝑥,𝑁,𝑦   𝑃,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥,𝑃,𝑦   𝑅,𝑠,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠   𝜑,𝑎,𝑏,𝑠   𝜑,𝑥,𝑦   𝑔,
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑔,)   𝐷()   𝑃(𝑔,)   + (𝑥,𝑦,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑔,,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑔,,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑔,)   𝐻(𝑔,)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑔,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑁()   𝑉(𝑥,𝑦,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑔,,𝑠,𝑎,𝑏)   0 (𝑔,)

Proof of Theorem mhpind
StepHypRef Expression
1 mhpind.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑅)
2 mhpind.z . . 3 0 = (0g𝑅)
3 eqid 2736 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
4 mhpind.r . . 3 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
5 mhpind.d . . . 4 𝐷 = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
6 ovexd 7392 . . . 4 (𝜑 → (ℕ0m 𝐼) ∈ V)
75, 6rabexd 5290 . . 3 (𝜑𝐷 ∈ V)
8 ssrab2 4037 . . . 4 {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ⊆ 𝐷
98a1i 11 . . 3 (𝜑 → {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ⊆ 𝐷)
10 mhpind.h . . . . 5 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
11 mhpind.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
12 mhpind.n . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
1310, 2, 5, 11, 4, 12mhp0cl 21536 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (𝐻𝑁))
14 mhpind.0 . . . 4 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐺)
1513, 14elind 4154 . . 3 (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺))
16 mhpind.s . . . . . 6 𝑆 = {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁}
1716eleq2i 2829 . . . . 5 (𝑎𝑆𝑎 ∈ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
1817biimpri 227 . . . 4 (𝑎 ∈ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑎𝑆)
19 mhpind.p . . . . . 6 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
20 eqid 2736 . . . . . 6 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
2111adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) → 𝐼𝑉)
224adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
2312adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24 simplrr 776 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) ∧ 𝑠𝐷) → 𝑏𝐵)
251, 2grpidcl 18778 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑅 ∈ Grp → 0𝐵)
264, 25syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑0𝐵)
2726ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) ∧ 𝑠𝐷) → 0𝐵)
2824, 27ifcld 4532 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) ∧ 𝑠𝐷) → if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 ) ∈ 𝐵)
2928fmpttd 7063 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) → (𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )):𝐷𝐵)
301fvexi 6856 . . . . . . . . . . . 12 𝐵 ∈ V
3130a1i 11 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ V)
3231, 7elmapd 8779 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐵m 𝐷) ↔ (𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )):𝐷𝐵))
3332adantr 481 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) → ((𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐵m 𝐷) ↔ (𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )):𝐷𝐵))
3429, 33mpbird 256 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) → (𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐵m 𝐷))
35 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
36 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
3735, 1, 5, 36, 11psrbas 21346 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝐵m 𝐷))
3837adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝐵m 𝐷))
3934, 38eleqtrrd 2841 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) → (𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
402fvexi 6856 . . . . . . . . . 10 0 ∈ V
4140a1i 11 . . . . . . . . 9 (𝜑0 ∈ V)
42 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) = (𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 ))
437, 41, 42sniffsupp 9336 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) finSupp 0 )
4443adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) → (𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) finSupp 0 )
4519, 35, 36, 2, 20mplelbas 21399 . . . . . . 7 ((𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘𝑃) ↔ ((𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) finSupp 0 ))
4639, 44, 45sylanbrc 583 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) → (𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘𝑃))
47 elneeldif 3924 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑎𝑆𝑠 ∈ (𝐷𝑆)) → 𝑎𝑠)
4847necomd 2999 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑎𝑆𝑠 ∈ (𝐷𝑆)) → 𝑠𝑎)
4948adantll 712 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑎𝑆) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷𝑆)) → 𝑠𝑎)
5049adantlrr 719 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷𝑆)) → 𝑠𝑎)
5150neneqd 2948 . . . . . . . . 9 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷𝑆)) → ¬ 𝑠 = 𝑎)
5251iffalsed 4497 . . . . . . . 8 (((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷𝑆)) → if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 ) = 0 )
537adantr 481 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) → 𝐷 ∈ V)
5452, 53suppss2 8131 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) → ((𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) supp 0 ) ⊆ 𝑆)
5554, 16sseqtrdi 3994 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) → ((𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
5610, 19, 20, 2, 5, 21, 22, 23, 46, 55ismhp2 21532 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) → (𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐻𝑁))
57 mhpind.1 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) → (𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ 𝐺)
5856, 57elind 4154 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑎𝑆𝑏𝐵)) → (𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺))
5918, 58sylanr1 680 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁} ∧ 𝑏𝐵)) → (𝑠𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺))
60 mhpind.a . . . . 5 + = (+g𝑃)
6111adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝐼𝑉)
624adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑅 ∈ Grp)
6312adantr 481 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
64 elinel1 4155 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐻𝑁))
6564ad2antrl 726 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑥 ∈ (𝐻𝑁))
6610, 19, 20, 61, 62, 63, 65mhpmpl 21534 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
67 elinel1 4155 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺) → 𝑦 ∈ (𝐻𝑁))
6867ad2antll 727 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑦 ∈ (𝐻𝑁))
6910, 19, 20, 61, 62, 63, 68mhpmpl 21534 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
7019, 20, 3, 60, 66, 69mpladd 21413 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥f (+g𝑅)𝑦))
7110, 19, 60, 61, 62, 63, 65, 68mhpaddcl 21541 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐻𝑁))
72 mhpind.2 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐺)
7371, 72elind 4154 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺))
7470, 73eqeltrrd 2839 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥f (+g𝑅)𝑦) ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺))
75 mhpind.x . . . . 5 (𝜑𝑋 ∈ (𝐻𝑁))
7610, 19, 20, 11, 4, 12, 75mhpmpl 21534 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
7719, 1, 20, 5, 76mplelf 21404 . . 3 (𝜑𝑋:𝐷𝐵)
7819, 20, 2, 76, 4mplelsfi 21401 . . 3 (𝜑𝑋 finSupp 0 )
7910, 2, 5, 11, 4, 12, 75mhpdeg 21535 . . 3 (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔𝐷 ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
801, 2, 3, 4, 7, 9, 15, 59, 74, 77, 78, 79fsuppssind 40754 . 2 (𝜑𝑋 ∈ ((𝐻𝑁) ∩ 𝐺))
8180elin2d 4159 1 (𝜑𝑋𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  {crab 3407  Vcvv 3445  cdif 3907  cin 3909  wss 3910  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  ccnv 5632  cima 5636  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  f cof 7615   supp csupp 8092  m cmap 8765  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9305  cn 12153  0cn0 12413  Basecbs 17083  s cress 17112  +gcplusg 17133  0gc0g 17321   Σg cgsu 17322  Grpcgrp 18748  fldccnfld 20796   mPwSer cmps 21306   mPoly cmpl 21308   mHomP cmhp 21519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-oadd 8416  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-hash 14231  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-prds 17329  df-pws 17331  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-subg 18925  df-psr 21311  df-mpl 21313  df-mhp 21523
This theorem is referenced by:  mhphf  40757
  Copyright terms: Public domain W3C validator