Theorem mhpind 42952

Description: The homogeneous polynomials of degree 𝑁 are generated by the terms of degree 𝑁 and addition. (Contributed by SN, 28-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpind.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpind.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mhpind.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mhpind.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpind.a	⊢ + = (+g‘𝑃)
mhpind.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhpind.s	⊢ 𝑆 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
mhpind.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhpind.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhpind.0	⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐺)
mhpind.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ 𝐺)
mhpind.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mhpind	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐺)

Distinct variable groups:   0 ,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥, 0 ,𝑦,𝑠   𝐵,𝑎,𝑏,𝑠   𝐷,𝑎,𝑏,𝑔,𝑠   𝑥,𝐷,𝑦,𝑔   𝐺,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥,𝐺,𝑦   𝐻,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥,𝐻,𝑦   ℎ,𝐼   𝑁,𝑎,𝑏,𝑔,𝑠   𝑥,𝑁,𝑦   𝑃,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥,𝑃,𝑦   𝑅,𝑠,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠   𝜑,𝑎,𝑏,𝑠   𝜑,𝑥,𝑦   𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑔,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑔,ℎ)   + (𝑥,𝑦,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑔,ℎ,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑔,ℎ,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑔,ℎ)   𝐻(𝑔,ℎ)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑔,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑁(ℎ)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   0 (𝑔,ℎ)

Proof of Theorem mhpind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpind.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mhpind.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		mhpind.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		mhpind.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		ovexd 7403	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
7	5, 6	rabexd 5287	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
8		ssrab2 4034	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ⊆ 𝐷
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ⊆ 𝐷)
10		mhpind.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
11		reldmmhp 22092	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mHomP
12		mhpind.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
13	11, 10, 12	elfvov1 7410	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
14	10, 12	mhprcl 22098	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	10, 2, 5, 13, 4, 14	mhp0cl 22101	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (𝐻‘𝑁))
16		mhpind.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐺)
17	15, 16	elind 4154	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
18		mhpind.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
19	18	eleq2i 2829	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
20	19	biimpri 228	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑎 ∈ 𝑆)
21		mhpind.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
22		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
23	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		simplrr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐵)
25	1, 2	grpidcl 18907	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
26	4, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
27	26	ad2antrr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → 0 ∈ 𝐵)
28	24, 27	ifcld 4528	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 ) ∈ 𝐵)
29	28	fmpttd 7069	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )):𝐷⟶𝐵)
30	1	fvexi 6856	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
32	31, 7	elmapd 8789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐵 ↑m 𝐷) ↔ (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )):𝐷⟶𝐵))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐵 ↑m 𝐷) ↔ (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )):𝐷⟶𝐵))
34	29, 33	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐵 ↑m 𝐷))
35		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
36		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
37	35, 1, 5, 36, 13	psrbas 21901	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝐵 ↑m 𝐷))
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝐵 ↑m 𝐷))
39	34, 38	eleqtrrd 2840	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
40	2	fvexi 6856	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
42		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 ))
43	7, 41, 42	sniffsupp 9315	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) finSupp 0 )
44	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) finSupp 0 )
45	21, 35, 36, 2, 22	mplelbas 21958	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘𝑃) ↔ ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) finSupp 0 ))
46	39, 44, 45	sylanbrc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘𝑃))
47		elneeldif 3917	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → 𝑎 ≠ 𝑠)
48	47	necomd 2988	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → 𝑠 ≠ 𝑎)
49	48	adantll 715	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → 𝑠 ≠ 𝑎)
50	49	adantlrr 722	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → 𝑠 ≠ 𝑎)
51	50	neneqd 2938	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑠 = 𝑎)
52	51	iffalsed 4492	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 ) = 0 )
53	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐷 ∈ V)
54	52, 53	suppss2 8152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) supp 0 ) ⊆ 𝑆)
55	54, 18	sseqtrdi 3976	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
56	10, 21, 22, 2, 5, 23, 46, 55	ismhp2 22096	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐻‘𝑁))
57		mhpind.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ 𝐺)
58	56, 57	elind 4154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
59	20, 58	sylanr1 683	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
60		mhpind.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑃)
61		elinel1 4155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁))
62	61	ad2antrl 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁))
63	10, 21, 22, 62	mhpmpl 22099	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
64		elinel1 4155	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) → 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁))
65	64	ad2antll 730	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁))
66	10, 21, 22, 65	mhpmpl 22099	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
67	21, 22, 3, 60, 63, 66	mpladd 21976	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
68	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑅 ∈ Grp)
69	10, 21, 60, 68, 62, 65	mhpaddcl 22106	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁))
70		mhpind.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐺)
71	69, 70	elind 4154	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
72	67, 71	eqeltrrd 2838	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
73	10, 21, 22, 12	mhpmpl 22099	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
74	21, 1, 22, 5, 73	mplelf 21965	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐵)
75	21, 22, 2, 73	mplelsfi 21962	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0 )
76	10, 2, 5, 12	mhpdeg 22100	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
77	1, 2, 3, 4, 7, 9, 17, 59, 72, 74, 75, 76	fsuppssind 42951	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
78	77	elin2d 4159	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  {crab 3401  Vcvv 3442   ∖ cdif 3900   ∩ cin 3902   ⊆ wss 3903  ifcif 4481  {csn 4582   class class class wbr 5100   ↦ cmpt 5181   × cxp 5630  ^◡ccnv 5631   “ cima 5635  ⟶wf 6496  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368   ∘_f cof 7630   supp csupp 8112   ↑_m cmap 8775  Fincfn 8895   finSupp cfsupp 9276  ℕcn 12157  ℕ₀cn0 12413  Basecbs 17148   ↾_s cress 17169  +_gcplusg 17189  0_gc0g 17371   Σ_g cgsu 17372  Grpcgrp 18875  ℂ_fldccnfld 21321   mPwSer cmps 21872   mPoly cmpl 21874   mHomP cmhp 22084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-supp 8113  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-oadd 8411  df-er 8645  df-map 8777  df-ixp 8848  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-fsupp 9277  df-sup 9357  df-dju 9825  df-card 9863  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-7 12225  df-8 12226  df-9 12227  df-n0 12414  df-z 12501  df-dec 12620  df-uz 12764  df-fz 13436  df-hash 14266  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-ip 17207  df-tset 17208  df-ple 17209  df-ds 17211  df-hom 17213  df-cco 17214  df-0g 17373  df-prds 17379  df-pws 17381  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-subg 19065  df-psr 21877  df-mpl 21879  df-mhp 22091

This theorem is referenced by: (None)