Theorem mhpind 42581

Description: The homogeneous polynomials of degree 𝑁 are generated by the terms of degree 𝑁 and addition. (Contributed by SN, 28-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpind.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpind.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mhpind.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mhpind.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpind.a	⊢ + = (+g‘𝑃)
mhpind.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhpind.s	⊢ 𝑆 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
mhpind.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhpind.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhpind.0	⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐺)
mhpind.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ 𝐺)
mhpind.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mhpind	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐺)

Distinct variable groups:   0 ,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥, 0 ,𝑦,𝑠   𝐵,𝑎,𝑏,𝑠   𝐷,𝑎,𝑏,𝑔,𝑠   𝑥,𝐷,𝑦,𝑔   𝐺,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥,𝐺,𝑦   𝐻,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥,𝐻,𝑦   ℎ,𝐼   𝑁,𝑎,𝑏,𝑔,𝑠   𝑥,𝑁,𝑦   𝑃,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥,𝑃,𝑦   𝑅,𝑠,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠   𝜑,𝑎,𝑏,𝑠   𝜑,𝑥,𝑦   𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑔,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑔,ℎ)   + (𝑥,𝑦,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑔,ℎ,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑔,ℎ,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑔,ℎ)   𝐻(𝑔,ℎ)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑔,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑁(ℎ)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   0 (𝑔,ℎ)

Proof of Theorem mhpind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpind.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mhpind.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		mhpind.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		mhpind.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		ovexd 7466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
7	5, 6	rabexd 5346	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
8		ssrab2 4090	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ⊆ 𝐷
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ⊆ 𝐷)
10		mhpind.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
11		reldmmhp 22159	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mHomP
12		mhpind.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
13	11, 10, 12	elfvov1 7473	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
14	10, 12	mhprcl 22165	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	10, 2, 5, 13, 4, 14	mhp0cl 22168	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (𝐻‘𝑁))
16		mhpind.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐺)
17	15, 16	elind 4210	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
18		mhpind.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
19	18	eleq2i 2831	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
20	19	biimpri 228	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑎 ∈ 𝑆)
21		mhpind.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
22		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
23	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		simplrr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐵)
25	1, 2	grpidcl 18996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
26	4, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
27	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → 0 ∈ 𝐵)
28	24, 27	ifcld 4577	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 ) ∈ 𝐵)
29	28	fmpttd 7135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )):𝐷⟶𝐵)
30	1	fvexi 6921	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
32	31, 7	elmapd 8879	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐵 ↑m 𝐷) ↔ (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )):𝐷⟶𝐵))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐵 ↑m 𝐷) ↔ (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )):𝐷⟶𝐵))
34	29, 33	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐵 ↑m 𝐷))
35		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
36		eqid 2735	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
37	35, 1, 5, 36, 13	psrbas 21971	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝐵 ↑m 𝐷))
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝐵 ↑m 𝐷))
39	34, 38	eleqtrrd 2842	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
40	2	fvexi 6921	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
42		eqid 2735	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 ))
43	7, 41, 42	sniffsupp 9438	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) finSupp 0 )
44	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) finSupp 0 )
45	21, 35, 36, 2, 22	mplelbas 22029	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘𝑃) ↔ ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) finSupp 0 ))
46	39, 44, 45	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘𝑃))
47		elneeldif 3977	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → 𝑎 ≠ 𝑠)
48	47	necomd 2994	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → 𝑠 ≠ 𝑎)
49	48	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → 𝑠 ≠ 𝑎)
50	49	adantlrr 721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → 𝑠 ≠ 𝑎)
51	50	neneqd 2943	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑠 = 𝑎)
52	51	iffalsed 4542	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 ) = 0 )
53	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐷 ∈ V)
54	52, 53	suppss2 8224	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) supp 0 ) ⊆ 𝑆)
55	54, 18	sseqtrdi 4046	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
56	10, 21, 22, 2, 5, 23, 46, 55	ismhp2 22163	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐻‘𝑁))
57		mhpind.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ 𝐺)
58	56, 57	elind 4210	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
59	20, 58	sylanr1 682	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
60		mhpind.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑃)
61		elinel1 4211	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁))
62	61	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁))
63	10, 21, 22, 62	mhpmpl 22166	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
64		elinel1 4211	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) → 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁))
65	64	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁))
66	10, 21, 22, 65	mhpmpl 22166	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
67	21, 22, 3, 60, 63, 66	mpladd 22047	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
68	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑅 ∈ Grp)
69	10, 21, 60, 68, 62, 65	mhpaddcl 22173	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁))
70		mhpind.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐺)
71	69, 70	elind 4210	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
72	67, 71	eqeltrrd 2840	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
73	10, 21, 22, 12	mhpmpl 22166	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
74	21, 1, 22, 5, 73	mplelf 22036	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐵)
75	21, 22, 2, 73	mplelsfi 22033	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0 )
76	10, 2, 5, 12	mhpdeg 22167	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
77	1, 2, 3, 4, 7, 9, 17, 59, 72, 74, 75, 76	fsuppssind 42580	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
78	77	elin2d 4215	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938  {crab 3433  Vcvv 3478   ∖ cdif 3960   ∩ cin 3962   ⊆ wss 3963  ifcif 4531  {csn 4631   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   × cxp 5687  ^◡ccnv 5688   “ cima 5692  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   supp csupp 8184   ↑_m cmap 8865  Fincfn 8984   finSupp cfsupp 9399  ℕcn 12264  ℕ₀cn0 12524  Basecbs 17245   ↾_s cress 17274  +_gcplusg 17298  0_gc0g 17486   Σ_g cgsu 17487  Grpcgrp 18964  ℂ_fldccnfld 21382   mPwSer cmps 21942   mPoly cmpl 21944   mHomP cmhp 22151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-oadd 8509  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-dju 9939  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-hash 14367  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-psr 21947  df-mpl 21949  df-mhp 22158

This theorem is referenced by: (None)