Theorem mhpind 41163

Description: The homogeneous polynomials of degree 𝑁 are generated by the terms of degree 𝑁 and addition. (Contributed by SN, 28-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpind.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpind.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mhpind.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mhpind.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpind.a	⊢ + = (+g‘𝑃)
mhpind.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhpind.s	⊢ 𝑆 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
mhpind.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpind.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhpind.n	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
mhpind.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhpind.0	⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐺)
mhpind.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ 𝐺)
mhpind.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mhpind	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐺)

Distinct variable groups:   0 ,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥, 0 ,𝑦,𝑠   𝐵,𝑎,𝑏,𝑠   𝐷,𝑎,𝑏,𝑔,𝑠   𝑥,𝐷,𝑦,𝑔   𝐺,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥,𝐺,𝑦   𝐻,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥,𝐻,𝑦   ℎ,𝐼   𝑁,𝑎,𝑏,𝑔,𝑠   𝑥,𝑁,𝑦   𝑃,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥,𝑃,𝑦   𝑅,𝑠,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠   𝜑,𝑎,𝑏,𝑠   𝜑,𝑥,𝑦   𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑔,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑔,ℎ)   + (𝑥,𝑦,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑔,ℎ,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑔,ℎ,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑔,ℎ)   𝐻(𝑔,ℎ)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑔,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑁(ℎ)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   0 (𝑔,ℎ)

Proof of Theorem mhpind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpind.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mhpind.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		eqid 2732	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		mhpind.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		mhpind.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		ovexd 7440	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
7	5, 6	rabexd 5332	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
8		ssrab2 4076	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ⊆ 𝐷
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ⊆ 𝐷)
10		mhpind.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
11		mhpind.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
12		mhpind.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
13	10, 2, 5, 11, 4, 12	mhp0cl 21680	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (𝐻‘𝑁))
14		mhpind.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐺)
15	13, 14	elind 4193	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
16		mhpind.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
17	16	eleq2i 2825	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
18	17	biimpri 227	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑎 ∈ 𝑆)
19		mhpind.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
20		eqid 2732	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
21	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐼 ∈ 𝑉)
22	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑅 ∈ Grp)
23	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		simplrr 776	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐵)
25	1, 2	grpidcl 18846	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
26	4, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
27	26	ad2antrr 724	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → 0 ∈ 𝐵)
28	24, 27	ifcld 4573	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 ) ∈ 𝐵)
29	28	fmpttd 7111	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )):𝐷⟶𝐵)
30	1	fvexi 6902	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
32	31, 7	elmapd 8830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐵 ↑m 𝐷) ↔ (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )):𝐷⟶𝐵))
33	32	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐵 ↑m 𝐷) ↔ (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )):𝐷⟶𝐵))
34	29, 33	mpbird 256	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐵 ↑m 𝐷))
35		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
36		eqid 2732	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
37	35, 1, 5, 36, 11	psrbas 21488	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝐵 ↑m 𝐷))
38	37	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝐵 ↑m 𝐷))
39	34, 38	eleqtrrd 2836	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
40	2	fvexi 6902	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
42		eqid 2732	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 ))
43	7, 41, 42	sniffsupp 9391	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) finSupp 0 )
44	43	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) finSupp 0 )
45	19, 35, 36, 2, 20	mplelbas 21541	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘𝑃) ↔ ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) finSupp 0 ))
46	39, 44, 45	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘𝑃))
47		elneeldif 3961	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → 𝑎 ≠ 𝑠)
48	47	necomd 2996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → 𝑠 ≠ 𝑎)
49	48	adantll 712	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → 𝑠 ≠ 𝑎)
50	49	adantlrr 719	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → 𝑠 ≠ 𝑎)
51	50	neneqd 2945	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑠 = 𝑎)
52	51	iffalsed 4538	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 ) = 0 )
53	7	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐷 ∈ V)
54	52, 53	suppss2 8181	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) supp 0 ) ⊆ 𝑆)
55	54, 16	sseqtrdi 4031	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
56	10, 19, 20, 2, 5, 21, 22, 23, 46, 55	ismhp2 21676	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐻‘𝑁))
57		mhpind.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ 𝐺)
58	56, 57	elind 4193	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
59	18, 58	sylanr1 680	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
60		mhpind.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑃)
61	11	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝐼 ∈ 𝑉)
62	4	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑅 ∈ Grp)
63	12	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑁 ∈ ℕ0)
64		elinel1 4194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁))
65	64	ad2antrl 726	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁))
66	10, 19, 20, 61, 62, 63, 65	mhpmpl 21678	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
67		elinel1 4194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) → 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁))
68	67	ad2antll 727	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁))
69	10, 19, 20, 61, 62, 63, 68	mhpmpl 21678	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
70	19, 20, 3, 60, 66, 69	mpladd 21559	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
71	10, 19, 60, 61, 62, 63, 65, 68	mhpaddcl 21685	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁))
72		mhpind.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐺)
73	71, 72	elind 4193	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
74	70, 73	eqeltrrd 2834	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
75		mhpind.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
76	10, 19, 20, 11, 4, 12, 75	mhpmpl 21678	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
77	19, 1, 20, 5, 76	mplelf 21548	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐵)
78	19, 20, 2, 76, 4	mplelsfi 21545	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0 )
79	10, 2, 5, 11, 4, 12, 75	mhpdeg 21679	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
80	1, 2, 3, 4, 7, 9, 15, 59, 74, 77, 78, 79	fsuppssind 41162	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
81	80	elin2d 4198	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940  {crab 3432  Vcvv 3474   ∖ cdif 3944   ∩ cin 3946   ⊆ wss 3947  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   × cxp 5673  ^◡ccnv 5674   “ cima 5678  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘_f cof 7664   supp csupp 8142   ↑_m cmap 8816  Fincfn 8935   finSupp cfsupp 9357  ℕcn 12208  ℕ₀cn0 12468  Basecbs 17140   ↾_s cress 17169  +_gcplusg 17193  0_gc0g 17381   Σ_g cgsu 17382  Grpcgrp 18815  ℂ_fldccnfld 20936   mPwSer cmps 21448   mPoly cmpl 21450   mHomP cmhp 21663

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-oadd 8466  df-er 8699  df-map 8818  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-sup 9433  df-dju 9892  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-fz 13481  df-hash 14287  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-hom 17217  df-cco 17218  df-0g 17383  df-prds 17389  df-pws 17391  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-subg 18997  df-psr 21453  df-mpl 21455  df-mhp 21667

This theorem is referenced by: (None)