Theorem mhpind 42604

Description: The homogeneous polynomials of degree 𝑁 are generated by the terms of degree 𝑁 and addition. (Contributed by SN, 28-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpind.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpind.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mhpind.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mhpind.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpind.a	⊢ + = (+g‘𝑃)
mhpind.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhpind.s	⊢ 𝑆 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
mhpind.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhpind.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhpind.0	⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐺)
mhpind.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ 𝐺)
mhpind.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mhpind	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐺)

Distinct variable groups:   0 ,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥, 0 ,𝑦,𝑠   𝐵,𝑎,𝑏,𝑠   𝐷,𝑎,𝑏,𝑔,𝑠   𝑥,𝐷,𝑦,𝑔   𝐺,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥,𝐺,𝑦   𝐻,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥,𝐻,𝑦   ℎ,𝐼   𝑁,𝑎,𝑏,𝑔,𝑠   𝑥,𝑁,𝑦   𝑃,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥,𝑃,𝑦   𝑅,𝑠,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠   𝜑,𝑎,𝑏,𝑠   𝜑,𝑥,𝑦   𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑔,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑔,ℎ)   + (𝑥,𝑦,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑔,ℎ,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑔,ℎ,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑔,ℎ)   𝐻(𝑔,ℎ)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑔,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑁(ℎ)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   0 (𝑔,ℎ)

Proof of Theorem mhpind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpind.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mhpind.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		mhpind.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		mhpind.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		ovexd 7466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
7	5, 6	rabexd 5340	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
8		ssrab2 4080	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ⊆ 𝐷
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ⊆ 𝐷)
10		mhpind.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
11		reldmmhp 22141	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mHomP
12		mhpind.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
13	11, 10, 12	elfvov1 7473	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
14	10, 12	mhprcl 22147	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	10, 2, 5, 13, 4, 14	mhp0cl 22150	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (𝐻‘𝑁))
16		mhpind.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐺)
17	15, 16	elind 4200	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
18		mhpind.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
19	18	eleq2i 2833	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
20	19	biimpri 228	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑎 ∈ 𝑆)
21		mhpind.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
22		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
23	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		simplrr 778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐵)
25	1, 2	grpidcl 18983	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
26	4, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
27	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → 0 ∈ 𝐵)
28	24, 27	ifcld 4572	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 ) ∈ 𝐵)
29	28	fmpttd 7135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )):𝐷⟶𝐵)
30	1	fvexi 6920	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
32	31, 7	elmapd 8880	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐵 ↑m 𝐷) ↔ (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )):𝐷⟶𝐵))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐵 ↑m 𝐷) ↔ (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )):𝐷⟶𝐵))
34	29, 33	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐵 ↑m 𝐷))
35		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
36		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
37	35, 1, 5, 36, 13	psrbas 21953	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝐵 ↑m 𝐷))
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝐵 ↑m 𝐷))
39	34, 38	eleqtrrd 2844	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
40	2	fvexi 6920	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
42		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 ))
43	7, 41, 42	sniffsupp 9440	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) finSupp 0 )
44	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) finSupp 0 )
45	21, 35, 36, 2, 22	mplelbas 22011	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘𝑃) ↔ ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) finSupp 0 ))
46	39, 44, 45	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘𝑃))
47		elneeldif 3965	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → 𝑎 ≠ 𝑠)
48	47	necomd 2996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → 𝑠 ≠ 𝑎)
49	48	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → 𝑠 ≠ 𝑎)
50	49	adantlrr 721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → 𝑠 ≠ 𝑎)
51	50	neneqd 2945	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑠 = 𝑎)
52	51	iffalsed 4536	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 ) = 0 )
53	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐷 ∈ V)
54	52, 53	suppss2 8225	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) supp 0 ) ⊆ 𝑆)
55	54, 18	sseqtrdi 4024	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
56	10, 21, 22, 2, 5, 23, 46, 55	ismhp2 22145	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐻‘𝑁))
57		mhpind.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ 𝐺)
58	56, 57	elind 4200	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
59	20, 58	sylanr1 682	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
60		mhpind.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑃)
61		elinel1 4201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁))
62	61	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁))
63	10, 21, 22, 62	mhpmpl 22148	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
64		elinel1 4201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) → 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁))
65	64	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁))
66	10, 21, 22, 65	mhpmpl 22148	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
67	21, 22, 3, 60, 63, 66	mpladd 22029	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
68	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑅 ∈ Grp)
69	10, 21, 60, 68, 62, 65	mhpaddcl 22155	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁))
70		mhpind.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐺)
71	69, 70	elind 4200	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
72	67, 71	eqeltrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
73	10, 21, 22, 12	mhpmpl 22148	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
74	21, 1, 22, 5, 73	mplelf 22018	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐵)
75	21, 22, 2, 73	mplelsfi 22015	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0 )
76	10, 2, 5, 12	mhpdeg 22149	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
77	1, 2, 3, 4, 7, 9, 17, 59, 72, 74, 75, 76	fsuppssind 42603	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
78	77	elin2d 4205	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  {crab 3436  Vcvv 3480   ∖ cdif 3948   ∩ cin 3950   ⊆ wss 3951  ifcif 4525  {csn 4626   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5225   × cxp 5683  ^◡ccnv 5684   “ cima 5688  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695   supp csupp 8185   ↑_m cmap 8866  Fincfn 8985   finSupp cfsupp 9401  ℕcn 12266  ℕ₀cn0 12526  Basecbs 17247   ↾_s cress 17274  +_gcplusg 17297  0_gc0g 17484   Σ_g cgsu 17485  Grpcgrp 18951  ℂ_fldccnfld 21364   mPwSer cmps 21924   mPoly cmpl 21926   mHomP cmhp 22133

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-oadd 8510  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-dju 9941  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-hash 14370  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-subg 19141  df-psr 21929  df-mpl 21931  df-mhp 22140

This theorem is referenced by: (None)