Theorem mhpind 42837

Description: The homogeneous polynomials of degree 𝑁 are generated by the terms of degree 𝑁 and addition. (Contributed by SN, 28-Jul-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpind.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpind.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
mhpind.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
mhpind.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpind.a	⊢ + = (+g‘𝑃)
mhpind.d	⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
mhpind.s	⊢ 𝑆 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
mhpind.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
mhpind.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
mhpind.0	⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐺)
mhpind.1	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ 𝐺)
mhpind.2	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mhpind	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐺)

Distinct variable groups:   0 ,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥, 0 ,𝑦,𝑠   𝐵,𝑎,𝑏,𝑠   𝐷,𝑎,𝑏,𝑔,𝑠   𝑥,𝐷,𝑦,𝑔   𝐺,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥,𝐺,𝑦   𝐻,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥,𝐻,𝑦   ℎ,𝐼   𝑁,𝑎,𝑏,𝑔,𝑠   𝑥,𝑁,𝑦   𝑃,𝑎,𝑏,𝑠   𝑥,𝑃,𝑦   𝑅,𝑠,𝑥,𝑦   𝑆,𝑠   𝜑,𝑎,𝑏,𝑠   𝜑,𝑥,𝑦   𝑔,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔,ℎ)   𝐵(𝑥,𝑦,𝑔,ℎ)   𝐷(ℎ)   𝑃(𝑔,ℎ)   + (𝑥,𝑦,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑅(𝑔,ℎ,𝑎,𝑏)   𝑆(𝑥,𝑦,𝑔,ℎ,𝑎,𝑏)   𝐺(𝑔,ℎ)   𝐻(𝑔,ℎ)   𝐼(𝑥,𝑦,𝑔,𝑠,𝑎,𝑏)   𝑁(ℎ)   𝑋(𝑥,𝑦,𝑔,ℎ,𝑠,𝑎,𝑏)   0 (𝑔,ℎ)

Proof of Theorem mhpind

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpind.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
2		mhpind.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
4		mhpind.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
5		mhpind.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		ovexd 7393	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (ℕ0 ↑m 𝐼) ∈ V)
7	5, 6	rabexd 5285	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ V)
8		ssrab2 4032	. . . 4 ⊢ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ⊆ 𝐷
9	8	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ⊆ 𝐷)
10		mhpind.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
11		reldmmhp 22080	. . . . . 6 ⊢ Rel dom mHomP
12		mhpind.x	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝐻‘𝑁))
13	11, 10, 12	elfvov1 7400	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
14	10, 12	mhprcl 22086	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
15	10, 2, 5, 13, 4, 14	mhp0cl 22089	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ (𝐻‘𝑁))
16		mhpind.0	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ 𝐺)
17	15, 16	elind 4152	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 × { 0 }) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
18		mhpind.s	. . . . . 6 ⊢ 𝑆 = {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁}
19	18	eleq2i 2828	. . . . 5 ⊢ (𝑎 ∈ 𝑆 ↔ 𝑎 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
20	19	biimpri 228	. . . 4 ⊢ (𝑎 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} → 𝑎 ∈ 𝑆)
21		mhpind.p	. . . . . 6 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
22		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
23	14	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝑁 ∈ ℕ0)
24		simplrr 777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → 𝑏 ∈ 𝐵)
25	1, 2	grpidcl 18895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑅 ∈ Grp → 0 ∈ 𝐵)
26	4, 25	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝐵)
27	26	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → 0 ∈ 𝐵)
28	24, 27	ifcld 4526	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ 𝐷) → if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 ) ∈ 𝐵)
29	28	fmpttd 7060	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )):𝐷⟶𝐵)
30	1	fvexi 6848	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝐵 ∈ V
31	30	a1i 11	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ V)
32	31, 7	elmapd 8777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐵 ↑m 𝐷) ↔ (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )):𝐷⟶𝐵))
33	32	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐵 ↑m 𝐷) ↔ (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )):𝐷⟶𝐵))
34	29, 33	mpbird 257	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐵 ↑m 𝐷))
35		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐼 mPwSer 𝑅) = (𝐼 mPwSer 𝑅)
36		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅))
37	35, 1, 5, 36, 13	psrbas 21889	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝐵 ↑m 𝐷))
38	37	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) = (𝐵 ↑m 𝐷))
39	34, 38	eleqtrrd 2839	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)))
40	2	fvexi 6848	. . . . . . . . . 10 ⊢ 0 ∈ V
41	40	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
42		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) = (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 ))
43	7, 41, 42	sniffsupp 9303	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) finSupp 0 )
44	43	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) finSupp 0 )
45	21, 35, 36, 2, 22	mplelbas 21946	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘𝑃) ↔ ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘(𝐼 mPwSer 𝑅)) ∧ (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) finSupp 0 ))
46	39, 44, 45	sylanbrc 583	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (Base‘𝑃))
47		elneeldif 3915	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → 𝑎 ≠ 𝑠)
48	47	necomd 2987	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → 𝑠 ≠ 𝑎)
49	48	adantll 714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ 𝑆) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → 𝑠 ≠ 𝑎)
50	49	adantlrr 721	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → 𝑠 ≠ 𝑎)
51	50	neneqd 2937	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → ¬ 𝑠 = 𝑎)
52	51	iffalsed 4490	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) ∧ 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ 𝑆)) → if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 ) = 0 )
53	7	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → 𝐷 ∈ V)
54	52, 53	suppss2 8142	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) supp 0 ) ⊆ 𝑆)
55	54, 18	sseqtrdi 3974	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → ((𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
56	10, 21, 22, 2, 5, 23, 46, 55	ismhp2 22084	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ (𝐻‘𝑁))
57		mhpind.1	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ 𝐺)
58	56, 57	elind 4152	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ 𝑆 ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
59	20, 58	sylanr1 682	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑎 ∈ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁} ∧ 𝑏 ∈ 𝐵)) → (𝑠 ∈ 𝐷 ↦ if(𝑠 = 𝑎, 𝑏, 0 )) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
60		mhpind.a	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑃)
61		elinel1 4153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) → 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁))
62	61	ad2antrl 728	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑥 ∈ (𝐻‘𝑁))
63	10, 21, 22, 62	mhpmpl 22087	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑃))
64		elinel1 4153	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) → 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁))
65	64	ad2antll 729	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑦 ∈ (𝐻‘𝑁))
66	10, 21, 22, 65	mhpmpl 22087	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑃))
67	21, 22, 3, 60, 63, 66	mpladd 21964	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦))
68	4	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → 𝑅 ∈ Grp)
69	10, 21, 60, 68, 62, 65	mhpaddcl 22094	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (𝐻‘𝑁))
70		mhpind.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐺)
71	69, 70	elind 4152	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
72	67, 71	eqeltrrd 2837	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))) → (𝑥 ∘f (+g‘𝑅)𝑦) ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
73	10, 21, 22, 12	mhpmpl 22087	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑃))
74	21, 1, 22, 5, 73	mplelf 21953	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋:𝐷⟶𝐵)
75	21, 22, 2, 73	mplelsfi 21950	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 finSupp 0 )
76	10, 2, 5, 12	mhpdeg 22088	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 supp 0 ) ⊆ {𝑔 ∈ 𝐷 ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
77	1, 2, 3, 4, 7, 9, 17, 59, 72, 74, 75, 76	fsuppssind 42836	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ((𝐻‘𝑁) ∩ 𝐺))
78	77	elin2d 4157	1 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  {crab 3399  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898   ∩ cin 3900   ⊆ wss 3901  ifcif 4479  {csn 4580   class class class wbr 5098   ↦ cmpt 5179   × cxp 5622  ^◡ccnv 5623   “ cima 5627  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620   supp csupp 8102   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  ℕcn 12145  ℕ₀cn0 12401  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  +_gcplusg 17177  0_gc0g 17359   Σ_g cgsu 17360  Grpcgrp 18863  ℂ_fldccnfld 21309   mPwSer cmps 21860   mPoly cmpl 21862   mHomP cmhp 22072

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-oadd 8401  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-dju 9813  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-hash 14254  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-prds 17367  df-pws 17369  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19053  df-psr 21865  df-mpl 21867  df-mhp 22079

This theorem is referenced by: (None)