MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpvscacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhpvscacl 22158
Description: Homogeneous polynomials are closed under scalar multiplication. (Contributed by SN, 25-Sep-2023.) Remove closure hypotheses. (Revised by SN, 4-Sep-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpvscacl.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpvscacl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpvscacl.t · = ( ·𝑠𝑃)
mhpvscacl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mhpvscacl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mhpvscacl.x (𝜑𝑋𝐾)
mhpvscacl.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐻𝑁))
Assertion
Ref Expression
mhpvscacl (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (𝐻𝑁))

Proof of Theorem mhpvscacl
Dummy variables 𝑔 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpvscacl.h . 2 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2 mhpvscacl.p . 2 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 eqid 2737 . 2 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4 eqid 2737 . 2 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5 eqid 2737 . 2 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
6 mhpvscacl.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐻𝑁))
71, 6mhprcl 22147 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
8 eqid 2737 . . 3 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
9 mhpvscacl.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑃)
10 eqid 2737 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
11 reldmmhp 22141 . . . . 5 Rel dom mHomP
1211, 1, 6elfvov1 7473 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
13 mhpvscacl.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
142, 12, 13mpllmodd 22044 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ LMod)
15 mhpvscacl.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐾)
16 mhpvscacl.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
1715, 16eleqtrdi 2851 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
182, 12, 13mplsca 22033 . . . . 5 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
1918fveq2d 6910 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
2017, 19eleqtrd 2843 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
211, 2, 3, 6mhpmpl 22148 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
223, 8, 9, 10, 14, 20, 21lmodvscld 20877 . 2 (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
232, 16, 3, 5, 22mplelf 22018 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 𝐹):{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
24 eqid 2737 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2515adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → 𝑋𝐾)
2621adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
27 eldifi 4131 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅))) → 𝑘 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
2827adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → 𝑘 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
292, 9, 16, 3, 24, 5, 25, 26, 28mplvscaval 22036 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → ((𝑋 · 𝐹)‘𝑘) = (𝑋(.r𝑅)(𝐹𝑘)))
302, 16, 3, 5, 21mplelf 22018 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
31 ssidd 4007 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐹 supp (0g𝑅)))
32 fvexd 6921 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
3330, 31, 6, 32suppssrg 8221 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → (𝐹𝑘) = (0g𝑅))
3433oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → (𝑋(.r𝑅)(𝐹𝑘)) = (𝑋(.r𝑅)(0g𝑅)))
3516, 24, 4, 13, 15ringrzd 20293 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
3635adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → (𝑋(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
3729, 34, 363eqtrd 2781 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → ((𝑋 · 𝐹)‘𝑘) = (0g𝑅))
3823, 37suppss 8219 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐹) supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐹 supp (0g𝑅)))
391, 4, 5, 6mhpdeg 22149 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
4038, 39sstrd 3994 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐹) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
411, 2, 3, 4, 5, 7, 22, 40ismhp2 22145 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (𝐻𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  {crab 3436  Vcvv 3480  cdif 3948  ccnv 5684  cima 5688  cfv 6561  (class class class)co 7431   supp csupp 8185  m cmap 8866  Fincfn 8985  cn 12266  0cn0 12526  Basecbs 17247  s cress 17274  .rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·𝑠 cvsca 17301  0gc0g 17484   Σg cgsu 17485  Ringcrg 20230  fldccnfld 21364   mPoly cmpl 21926   mHomP cmhp 22133
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-sup 9482  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-hom 17321  df-cco 17322  df-0g 17486  df-prds 17492  df-pws 17494  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-subg 19141  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-lmod 20860  df-lss 20930  df-psr 21929  df-mpl 21931  df-mhp 22140
This theorem is referenced by:  mhplss  22159
  Copyright terms: Public domain W3C validator