Theorem mhpvscacl 22041

Description: Homogeneous polynomials are closed under scalar multiplication. (Contributed by SN, 25-Sep-2023.) Remove closure hypotheses. (Revised by SN, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpvscacl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpvscacl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpvscacl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
mhpvscacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mhpvscacl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhpvscacl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
mhpvscacl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpvscacl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (𝐻‘𝑁))

Proof of Theorem mhpvscacl

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpvscacl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhpvscacl.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2729	. 2 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		eqid 2729	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2729	. 2 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		mhpvscacl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐻‘𝑁))
7	1, 6	mhprcl 22030	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
9		mhpvscacl.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
10		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
11		reldmmhp 22024	. . . . 5 ⊢ Rel dom mHomP
12	11, 1, 6	elfvov1 7429	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
13		mhpvscacl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	2, 12, 13	mpllmodd 21933	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
15		mhpvscacl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
16		mhpvscacl.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
17	15, 16	eleqtrdi 2838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
18	2, 12, 13	mplsca 21922	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
19	18	fveq2d 6862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
20	17, 19	eleqtrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
21	1, 2, 3, 6	mhpmpl 22031	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
22	3, 8, 9, 10, 14, 20, 21	lmodvscld 20785	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
23	2, 16, 3, 5, 22	mplelf 21907	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
24		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
25	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → 𝑋 ∈ 𝐾)
26	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
27		eldifi 4094	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) → 𝑘 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
28	27	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → 𝑘 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
29	2, 9, 16, 3, 24, 5, 25, 26, 28	mplvscaval 21925	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → ((𝑋 · 𝐹)‘𝑘) = (𝑋(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑘)))
30	2, 16, 3, 5, 21	mplelf 21907	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
31		ssidd 3970	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))
32		fvexd 6873	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
33	30, 31, 6, 32	suppssrg 8175	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑘) = (0g‘𝑅))
34	33	oveq2d 7403	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑋(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑘)) = (𝑋(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
35	16, 24, 4, 13, 15	ringrzd 20205	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
36	35	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑋(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
37	29, 34, 36	3eqtrd 2768	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → ((𝑋 · 𝐹)‘𝑘) = (0g‘𝑅))
38	23, 37	suppss 8173	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐹) supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))
39	1, 4, 5, 6	mhpdeg 22032	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
40	38, 39	sstrd 3957	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐹) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
41	1, 2, 3, 4, 5, 7, 22, 40	ismhp2 22028	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (𝐻‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {crab 3405  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911  ^◡ccnv 5637   “ cima 5641  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   supp csupp 8139   ↑_m cmap 8799  Fincfn 8918  ℕcn 12186  ℕ₀cn0 12442  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  0_gc0g 17402   Σ_g cgsu 17403  Ringcrg 20142  ℂ_fldccnfld 21264   mPoly cmpl 21815   mHomP cmhp 22016

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-supp 8140  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-map 8801  df-ixp 8871  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-fsupp 9313  df-sup 9393  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-hom 17244  df-cco 17245  df-0g 17404  df-prds 17410  df-pws 17412  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-subg 19055  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-lmod 20768  df-lss 20838  df-psr 21818  df-mpl 21820  df-mhp 22023

This theorem is referenced by:  mhplss  22042