Theorem mhpvscacl 22484

Description: Homogeneous polynomials are closed under scalar multiplication. (Contributed by SN, 25-Sep-2023.) Remove closure hypotheses. (Revised by SN, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpvscacl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpvscacl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpvscacl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
mhpvscacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mhpvscacl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhpvscacl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
mhpvscacl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpvscacl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (𝐻‘𝑁))

Proof of Theorem mhpvscacl

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpvscacl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhpvscacl.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2760	. 2 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		eqid 2760	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2760	. 2 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		mhpvscacl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐻‘𝑁))
7	1, 6	mhprcl 22473	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
8		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
9		mhpvscacl.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
10		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
11		reldmmhp 22467	. . . . 5 ⊢ Rel dom mHomP
12	11, 1, 6	elfvov1 7466	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
13		mhpvscacl.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
14	2, 12, 13	mpllmodd 22341	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
15		mhpvscacl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
16		mhpvscacl.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
17	15, 16	eleqtrdi 2870	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
18	2, 12, 13	mplsca 22329	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
19	18	fveq2d 6894	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
20	17, 19	eleqtrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
21	1, 2, 3, 6	mhpmpl 22474	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
22	3, 8, 9, 10, 14, 20, 21	lmodvscld 21163	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
23	2, 16, 3, 5, 22	mplelf 22314	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
24		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
25	15	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → 𝑋 ∈ 𝐾)
26	21	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
27		eldifi 4066	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) → 𝑘 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
28	27	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → 𝑘 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
29	2, 9, 16, 3, 24, 5, 25, 26, 28	mplvscaval 22332	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → ((𝑋 · 𝐹)‘𝑘) = (𝑋(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑘)))
30	2, 16, 3, 5, 21	mplelf 22314	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
31		ssidd 3932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))
32		fvexd 6905	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
33	30, 31, 6, 32	suppssrg 8221	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑘) = (0g‘𝑅))
34	33	oveq2d 7440	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑋(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑘)) = (𝑋(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
35	16, 24, 4, 13, 15	ringrzd 20536	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
36	35	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑋(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
37	29, 34, 36	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → ((𝑋 · 𝐹)‘𝑘) = (0g‘𝑅))
38	23, 37	suppss 8219	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐹) supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))
39	1, 4, 5, 6	mhpdeg 22475	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
40	38, 39	sstrd 3919	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐹) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
41	1, 2, 3, 4, 5, 7, 22, 40	ismhp2 22471	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (𝐻‘𝑁))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {crab 3412  Vcvv 3450   ∖ cdif 4044  ^◡ccnv 5650   “ cima 5654  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424   supp csupp 8184   ↑_m cmap 8855  Fincfn 8981  ℕcn 12342  ℕ₀cn0 12613  Basecbs 17396   ↾_s cress 17417  ._rcmulr 17438  Scalarcsca 17440   ·_𝑠 cvsca 17441  0_gc0g 17619   Σ_g cgsu 17620  Ringcrg 20468  ℂ_fldccnfld 21687   mPoly cmpl 22223   mHomP cmhp 22463

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-cnex 11263  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283  ax-pre-mulgt0 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7697  df-om 7882  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-supp 8185  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-1o 8484  df-er 8725  df-map 8857  df-ixp 8934  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-fin 8985  df-fsupp 9362  df-sup 9441  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-sub 11550  df-neg 11551  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-4 12414  df-5 12415  df-6 12416  df-7 12417  df-8 12418  df-9 12419  df-n0 12614  df-z 12701  df-dec 12822  df-uz 12973  df-fz 13647  df-struct 17334  df-sets 17351  df-slot 17369  df-ndx 17381  df-base 17397  df-ress 17418  df-plusg 17450  df-mulr 17451  df-sca 17453  df-vsca 17454  df-ip 17455  df-tset 17456  df-ple 17457  df-ds 17459  df-hom 17461  df-cco 17462  df-0g 17621  df-prds 17627  df-pws 17629  df-mgm 18825  df-sgrp 18917  df-mnd 18933  df-grp 19156  df-minusg 19157  df-sbg 19158  df-subg 19342  df-cmn 20005  df-abl 20006  df-mgp 20370  df-rng 20384  df-ur 20417  df-ring 20470  df-lmod 21146  df-lss 21216  df-psr 22226  df-mpl 22228  df-mhp 22466

This theorem is used by:  mhplss  22485