Theorem mhpvscacl 22181

Description: Homogeneous polynomials are closed under scalar multiplication. (Contributed by SN, 25-Sep-2023.) Remove closure hypotheses. (Revised by SN, 4-Sep-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mhpvscacl.h	⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpvscacl.p	⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpvscacl.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
mhpvscacl.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
mhpvscacl.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
mhpvscacl.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
mhpvscacl.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐻‘𝑁))

Assertion

Ref	Expression
mhpvscacl	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (𝐻‘𝑁))

Proof of Theorem mhpvscacl

Dummy variables 𝑔 ℎ 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mhpvscacl.h	. 2 ⊢ 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2		mhpvscacl.p	. 2 ⊢ 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3		eqid 2740	. 2 ⊢ (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4		eqid 2740	. 2 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
5		eqid 2740	. 2 ⊢ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} = {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}
6		reldmmhp 22164	. . 3 ⊢ Rel dom mHomP
7		mhpvscacl.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐻‘𝑁))
8	6, 1, 7	elfvov1 7490	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ V)
9		mhpvscacl.r	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
10	1, 7	mhprcl 22170	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ0)
11		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
12		mhpvscacl.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑃)
13		eqid 2740	. . 3 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
14	2, 8, 9	mpllmodd 22067	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑃 ∈ LMod)
15		mhpvscacl.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐾)
16		mhpvscacl.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝑅)
17	15, 16	eleqtrdi 2854	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
18	2, 8, 9	mplsca 22056	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (Scalar‘𝑃))
19	18	fveq2d 6924	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
20	17, 19	eleqtrd 2846	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
21	1, 2, 3, 7	mhpmpl 22171	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
22	3, 11, 12, 13, 14, 20, 21	lmodvscld 20899	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
23	2, 16, 3, 5, 22	mplelf 22041	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹):{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
24		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
25	15	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → 𝑋 ∈ 𝐾)
26	21	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
27		eldifi 4154	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅))) → 𝑘 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
28	27	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → 𝑘 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin})
29	2, 12, 16, 3, 24, 5, 25, 26, 28	mplvscaval 22059	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → ((𝑋 · 𝐹)‘𝑘) = (𝑋(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑘)))
30	2, 16, 3, 5, 21	mplelf 22041	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:{ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
31		ssidd 4032	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))
32		fvexd 6935	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝑅) ∈ V)
33	30, 31, 7, 32	suppssrg 8237	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → (𝐹‘𝑘) = (0g‘𝑅))
34	33	oveq2d 7464	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑋(.r‘𝑅)(𝐹‘𝑘)) = (𝑋(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)))
35	16, 24, 4, 9, 15	ringrzd 20319	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
36	35	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → (𝑋(.r‘𝑅)(0g‘𝑅)) = (0g‘𝑅))
37	29, 34, 36	3eqtrd 2784	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ ({ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))) → ((𝑋 · 𝐹)‘𝑘) = (0g‘𝑅))
38	23, 37	suppss 8235	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐹) supp (0g‘𝑅)) ⊆ (𝐹 supp (0g‘𝑅)))
39	1, 4, 5, 7	mhpdeg 22172	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
40	38, 39	sstrd 4019	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 · 𝐹) supp (0g‘𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ {ℎ ∈ (ℕ0 ↑m 𝐼) ∣ (◡ℎ “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂfld ↾s ℕ0) Σg 𝑔) = 𝑁})
41	1, 2, 3, 4, 5, 8, 9, 10, 22, 40	ismhp2 22168	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (𝐻‘𝑁))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  {crab 3443  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973  ^◡ccnv 5699   “ cima 5703  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   supp csupp 8201   ↑_m cmap 8884  Fincfn 9003  ℕcn 12293  ℕ₀cn0 12553  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499   Σ_g cgsu 17500  Ringcrg 20260  ℂ_fldccnfld 21387   mPoly cmpl 21949   mHomP cmhp 22156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-of 7714  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-supp 8202  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-map 8886  df-ixp 8956  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-fsupp 9432  df-sup 9511  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-ip 17329  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-hom 17335  df-cco 17336  df-0g 17501  df-prds 17507  df-pws 17509  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-psr 21952  df-mpl 21954  df-mhp 22163

This theorem is referenced by:  mhplss  22182