MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpvscacl Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem mhpvscacl 21917
Description: Homogeneous polynomials are closed under scalar multiplication. (Contributed by SN, 25-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpvscacl.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpvscacl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpvscacl.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
mhpvscacl.k 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
mhpvscacl.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
mhpvscacl.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
mhpvscacl.n (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
mhpvscacl.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
mhpvscacl.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (π»β€˜π‘))
Assertion
Ref Expression
mhpvscacl (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝐹) ∈ (π»β€˜π‘))
Proof of Theorem mhpvscacl
Dummy variables 𝑔 β„Ž π‘˜ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpvscacl.h . 2 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2 mhpvscacl.p . 2 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 eqid 2731 . 2 (Baseβ€˜π‘ƒ) = (Baseβ€˜π‘ƒ)
4 eqid 2731 . 2 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
5 eqid 2731 . 2 {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} = {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
6 mhpvscacl.i . 2 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
7 mhpvscacl.r . 2 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
8 mhpvscacl.n . 2 (πœ‘ β†’ 𝑁 ∈ β„•0)
92mpllmod 21797 . . . 4 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ 𝑃 ∈ LMod)
106, 7, 9syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑃 ∈ LMod)
11 mhpvscacl.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
12 mhpvscacl.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π‘…)
1311, 12eleqtrdi 2842 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜π‘…))
142, 6, 7mplsca 21792 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ƒ))
1514fveq2d 6895 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
1613, 15eleqtrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)))
17 mhpvscacl.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (π»β€˜π‘))
181, 2, 3, 6, 7, 8, 17mhpmpl 21907 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
19 eqid 2731 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘ƒ) = (Scalarβ€˜π‘ƒ)
20 mhpvscacl.t . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘ƒ)
21 eqid 2731 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ))
223, 19, 20, 21lmodvscl 20633 . . 3 ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘ƒ)) ∧ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ)) β†’ (𝑋 Β· 𝐹) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
2310, 16, 18, 22syl3anc 1370 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝐹) ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
242, 12, 3, 5, 23mplelf 21777 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝐹):{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢𝐾)
25 eqid 2731 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
2611adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ 𝑋 ∈ 𝐾)
2718adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ 𝐹 ∈ (Baseβ€˜π‘ƒ))
28 eldifi 4126 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ ({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…))) β†’ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
2928adantl 481 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ π‘˜ ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin})
302, 20, 12, 3, 25, 5, 26, 27, 29mplvscaval 21795 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((𝑋 Β· 𝐹)β€˜π‘˜) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘˜)))
312, 12, 3, 5, 18mplelf 21777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:{β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin}⟢𝐾)
32 ssidd 4005 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)))
33 ovexd 7447 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β„•0 ↑m 𝐼) ∈ V)
345, 33rabexd 5333 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∈ V)
35 fvexd 6906 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
3631, 32, 34, 35suppssr 8185 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (πΉβ€˜π‘˜) = (0gβ€˜π‘…))
3736oveq2d 7428 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)(πΉβ€˜π‘˜)) = (𝑋(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)))
3812, 25, 4ringrz 20183 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋 ∈ 𝐾) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
397, 11, 38syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
4039adantr 480 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ (𝑋(.rβ€˜π‘…)(0gβ€˜π‘…)) = (0gβ€˜π‘…))
4130, 37, 403eqtrd 2775 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ ({β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} βˆ– (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)))) β†’ ((𝑋 Β· 𝐹)β€˜π‘˜) = (0gβ€˜π‘…))
4224, 41suppss 8183 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝐹) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)))
431, 4, 5, 6, 7, 8, 17mhpdeg 21908 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {𝑔 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = 𝑁})
4442, 43sstrd 3992 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝑋 Β· 𝐹) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† {𝑔 ∈ {β„Ž ∈ (β„•0 ↑m 𝐼) ∣ (β—‘β„Ž β€œ β„•) ∈ Fin} ∣ ((β„‚fld β†Ύs β„•0) Ξ£g 𝑔) = 𝑁})
451, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 23, 44ismhp2 21905 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 Β· 𝐹) ∈ (π»β€˜π‘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {crab 3431  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   supp csupp 8150   ↑m cmap 8824  Fincfn 8943  β„•cn 12217  β„•0cn0 12477  Basecbs 17149   β†Ύs cress 17178  .rcmulr 17203  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  0gc0g 17390   Ξ£g cgsu 17391  Ringcrg 20128  LModclmod 20615  β„‚fldccnfld 21145   mPoly cmpl 21679   mHomP cmhp 21892
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-sup 9441  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-hom 17226  df-cco 17227  df-0g 17392  df-prds 17398  df-pws 17400  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-subg 19040  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-lmod 20617  df-lss 20688  df-psr 21682  df-mpl 21684  df-mhp 21896
This theorem is referenced by:  mhplss  21918
  Copyright terms: Public domain W3C validator