MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpvscacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhpvscacl 21118
Description: Homogeneous polynomials are closed under scalar multiplication. (Contributed by SN, 25-Sep-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpvscacl.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpvscacl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpvscacl.t · = ( ·𝑠𝑃)
mhpvscacl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mhpvscacl.i (𝜑𝐼𝑉)
mhpvscacl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mhpvscacl.n (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
mhpvscacl.x (𝜑𝑋𝐾)
mhpvscacl.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐻𝑁))
Assertion
Ref Expression
mhpvscacl (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (𝐻𝑁))

Proof of Theorem mhpvscacl
Dummy variables 𝑔 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpvscacl.h . 2 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2 mhpvscacl.p . 2 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 eqid 2738 . 2 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4 eqid 2738 . 2 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5 eqid 2738 . 2 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
6 mhpvscacl.i . 2 (𝜑𝐼𝑉)
7 mhpvscacl.r . 2 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
8 mhpvscacl.n . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
92mpllmod 21003 . . . 4 ((𝐼𝑉𝑅 ∈ Ring) → 𝑃 ∈ LMod)
106, 7, 9syl2anc 587 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ LMod)
11 mhpvscacl.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐾)
12 mhpvscacl.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
1311, 12eleqtrdi 2849 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
142, 6, 7mplsca 20997 . . . . 5 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
1514fveq2d 6740 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
1613, 15eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
17 mhpvscacl.f . . . 4 (𝜑𝐹 ∈ (𝐻𝑁))
181, 2, 3, 6, 7, 8, 17mhpmpl 21108 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
19 eqid 2738 . . . 4 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
20 mhpvscacl.t . . . 4 · = ( ·𝑠𝑃)
21 eqid 2738 . . . 4 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
223, 19, 20, 21lmodvscl 19941 . . 3 ((𝑃 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)) ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝑃)) → (𝑋 · 𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
2310, 16, 18, 22syl3anc 1373 . 2 (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
242, 12, 3, 5, 23mplelf 20984 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 𝐹):{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
25 eqid 2738 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2611adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → 𝑋𝐾)
2718adantr 484 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
28 eldifi 4056 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅))) → 𝑘 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
2928adantl 485 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → 𝑘 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
302, 20, 12, 3, 25, 5, 26, 27, 29mplvscaval 21000 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → ((𝑋 · 𝐹)‘𝑘) = (𝑋(.r𝑅)(𝐹𝑘)))
312, 12, 3, 5, 18mplelf 20984 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
32 ssidd 3939 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐹 supp (0g𝑅)))
33 ovexd 7267 . . . . . . . 8 (𝜑 → (ℕ0m 𝐼) ∈ V)
345, 33rabexd 5241 . . . . . . 7 (𝜑 → { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∈ V)
35 fvexd 6751 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
3631, 32, 34, 35suppssr 7959 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → (𝐹𝑘) = (0g𝑅))
3736oveq2d 7248 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → (𝑋(.r𝑅)(𝐹𝑘)) = (𝑋(.r𝑅)(0g𝑅)))
3812, 25, 4ringrz 19631 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑋𝐾) → (𝑋(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
397, 11, 38syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
4039adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → (𝑋(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
4130, 37, 403eqtrd 2782 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → ((𝑋 · 𝐹)‘𝑘) = (0g𝑅))
4224, 41suppss 7957 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐹) supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐹 supp (0g𝑅)))
431, 4, 5, 6, 7, 8, 17mhpdeg 21109 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
4442, 43sstrd 3926 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐹) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
451, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 23, 44ismhp2 21106 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (𝐻𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2111  {crab 3066  Vcvv 3421  cdif 3878  ccnv 5565  cima 5569  cfv 6398  (class class class)co 7232   supp csupp 7924  m cmap 8529  Fincfn 8647  cn 11855  0cn0 12115  Basecbs 16785  s cress 16809  .rcmulr 16828  Scalarcsca 16830   ·𝑠 cvsca 16831  0gc0g 16969   Σg cgsu 16970  Ringcrg 19587  LModclmod 19924  fldccnfld 20388   mPoly cmpl 20889   mHomP cmhp 21093
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2709  ax-rep 5194  ax-sep 5207  ax-nul 5214  ax-pow 5273  ax-pr 5337  ax-un 7542  ax-cnex 10810  ax-resscn 10811  ax-1cn 10812  ax-icn 10813  ax-addcl 10814  ax-addrcl 10815  ax-mulcl 10816  ax-mulrcl 10817  ax-mulcom 10818  ax-addass 10819  ax-mulass 10820  ax-distr 10821  ax-i2m1 10822  ax-1ne0 10823  ax-1rid 10824  ax-rnegex 10825  ax-rrecex 10826  ax-cnre 10827  ax-pre-lttri 10828  ax-pre-lttrn 10829  ax-pre-ltadd 10830  ax-pre-mulgt0 10831
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2072  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3067  df-rex 3068  df-reu 3069  df-rmo 3070  df-rab 3071  df-v 3423  df-sbc 3710  df-csb 3827  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4253  df-if 4455  df-pw 4530  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4835  df-iun 4921  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5151  df-tr 5177  df-id 5470  df-eprel 5475  df-po 5483  df-so 5484  df-fr 5524  df-we 5526  df-xp 5572  df-rel 5573  df-cnv 5574  df-co 5575  df-dm 5576  df-rn 5577  df-res 5578  df-ima 5579  df-pred 6176  df-ord 6234  df-on 6235  df-lim 6236  df-suc 6237  df-iota 6356  df-fun 6400  df-fn 6401  df-f 6402  df-f1 6403  df-fo 6404  df-f1o 6405  df-fv 6406  df-riota 7189  df-ov 7235  df-oprab 7236  df-mpo 7237  df-of 7488  df-om 7664  df-1st 7780  df-2nd 7781  df-supp 7925  df-wrecs 8068  df-recs 8129  df-rdg 8167  df-1o 8223  df-er 8412  df-map 8531  df-en 8648  df-dom 8649  df-sdom 8650  df-fin 8651  df-fsupp 9011  df-pnf 10894  df-mnf 10895  df-xr 10896  df-ltxr 10897  df-le 10898  df-sub 11089  df-neg 11090  df-nn 11856  df-2 11918  df-3 11919  df-4 11920  df-5 11921  df-6 11922  df-7 11923  df-8 11924  df-9 11925  df-n0 12116  df-z 12202  df-uz 12464  df-fz 13121  df-struct 16725  df-sets 16742  df-slot 16760  df-ndx 16770  df-base 16786  df-ress 16810  df-plusg 16840  df-mulr 16841  df-sca 16843  df-vsca 16844  df-tset 16846  df-0g 16971  df-mgm 18139  df-sgrp 18188  df-mnd 18199  df-grp 18393  df-minusg 18394  df-sbg 18395  df-subg 18565  df-mgp 19530  df-ur 19542  df-ring 19589  df-lmod 19926  df-lss 19994  df-psr 20892  df-mpl 20894  df-mhp 21097
This theorem is referenced by:  mhplss  21119
  Copyright terms: Public domain W3C validator