MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpvscacl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhpvscacl 22176
Description: Homogeneous polynomials are closed under scalar multiplication. (Contributed by SN, 25-Sep-2023.) Remove closure hypotheses. (Revised by SN, 4-Sep-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpvscacl.h 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
mhpvscacl.p 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
mhpvscacl.t · = ( ·𝑠𝑃)
mhpvscacl.k 𝐾 = (Base‘𝑅)
mhpvscacl.r (𝜑𝑅 ∈ Ring)
mhpvscacl.x (𝜑𝑋𝐾)
mhpvscacl.f (𝜑𝐹 ∈ (𝐻𝑁))
Assertion
Ref Expression
mhpvscacl (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (𝐻𝑁))

Proof of Theorem mhpvscacl
Dummy variables 𝑔 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpvscacl.h . 2 𝐻 = (𝐼 mHomP 𝑅)
2 mhpvscacl.p . 2 𝑃 = (𝐼 mPoly 𝑅)
3 eqid 2735 . 2 (Base‘𝑃) = (Base‘𝑃)
4 eqid 2735 . 2 (0g𝑅) = (0g𝑅)
5 eqid 2735 . 2 { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} = { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}
6 mhpvscacl.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (𝐻𝑁))
71, 6mhprcl 22165 . 2 (𝜑𝑁 ∈ ℕ0)
8 eqid 2735 . . 3 (Scalar‘𝑃) = (Scalar‘𝑃)
9 mhpvscacl.t . . 3 · = ( ·𝑠𝑃)
10 eqid 2735 . . 3 (Base‘(Scalar‘𝑃)) = (Base‘(Scalar‘𝑃))
11 reldmmhp 22159 . . . . 5 Rel dom mHomP
1211, 1, 6elfvov1 7473 . . . 4 (𝜑𝐼 ∈ V)
13 mhpvscacl.r . . . 4 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
142, 12, 13mpllmodd 22062 . . 3 (𝜑𝑃 ∈ LMod)
15 mhpvscacl.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐾)
16 mhpvscacl.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝑅)
1715, 16eleqtrdi 2849 . . . 4 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘𝑅))
182, 12, 13mplsca 22051 . . . . 5 (𝜑𝑅 = (Scalar‘𝑃))
1918fveq2d 6911 . . . 4 (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑃)))
2017, 19eleqtrd 2841 . . 3 (𝜑𝑋 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑃)))
211, 2, 3, 6mhpmpl 22166 . . 3 (𝜑𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
223, 8, 9, 10, 14, 20, 21lmodvscld 20894 . 2 (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (Base‘𝑃))
232, 16, 3, 5, 22mplelf 22036 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 · 𝐹):{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
24 eqid 2735 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2515adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → 𝑋𝐾)
2621adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → 𝐹 ∈ (Base‘𝑃))
27 eldifi 4141 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅))) → 𝑘 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
2827adantl 481 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → 𝑘 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin})
292, 9, 16, 3, 24, 5, 25, 26, 28mplvscaval 22054 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → ((𝑋 · 𝐹)‘𝑘) = (𝑋(.r𝑅)(𝐹𝑘)))
302, 16, 3, 5, 21mplelf 22036 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:{ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin}⟶𝐾)
31 ssidd 4019 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐹 supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐹 supp (0g𝑅)))
32 fvexd 6922 . . . . . . 7 (𝜑 → (0g𝑅) ∈ V)
3330, 31, 6, 32suppssrg 8220 . . . . . 6 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → (𝐹𝑘) = (0g𝑅))
3433oveq2d 7447 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → (𝑋(.r𝑅)(𝐹𝑘)) = (𝑋(.r𝑅)(0g𝑅)))
3516, 24, 4, 13, 15ringrzd 20310 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
3635adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → (𝑋(.r𝑅)(0g𝑅)) = (0g𝑅))
3729, 34, 363eqtrd 2779 . . . 4 ((𝜑𝑘 ∈ ({ ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∖ (𝐹 supp (0g𝑅)))) → ((𝑋 · 𝐹)‘𝑘) = (0g𝑅))
3823, 37suppss 8218 . . 3 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐹) supp (0g𝑅)) ⊆ (𝐹 supp (0g𝑅)))
391, 4, 5, 6mhpdeg 22167 . . 3 (𝜑 → (𝐹 supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
4038, 39sstrd 4006 . 2 (𝜑 → ((𝑋 · 𝐹) supp (0g𝑅)) ⊆ {𝑔 ∈ { ∈ (ℕ0m 𝐼) ∣ ( “ ℕ) ∈ Fin} ∣ ((ℂflds0) Σg 𝑔) = 𝑁})
411, 2, 3, 4, 5, 7, 22, 40ismhp2 22163 1 (𝜑 → (𝑋 · 𝐹) ∈ (𝐻𝑁))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  {crab 3433  Vcvv 3478  cdif 3960  ccnv 5688  cima 5692  cfv 6563  (class class class)co 7431   supp csupp 8184  m cmap 8865  Fincfn 8984  cn 12264  0cn0 12524  Basecbs 17245  s cress 17274  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Ringcrg 20251  fldccnfld 21382   mPoly cmpl 21944   mHomP cmhp 22151
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-psr 21947  df-mpl 21949  df-mhp 22158
This theorem is referenced by:  mhplss  22177
  Copyright terms: Public domain W3C validator