MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhpmulcl 22081
Description: A product of homogeneous polynomials is a homogeneous polynomial whose degree is the sum of the degrees of the factors. Compare mdegmulle2 26033 (which shows less-than-or-equal instead of equal). (Contributed by SN, 22-Jul-2024.) Remove sethood hypothesis. (Revised by SN, 18-May-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpmulcl.h ๐ป = (๐ผ mHomP ๐‘…)
mhpmulcl.y ๐‘Œ = (๐ผ mPoly ๐‘…)
mhpmulcl.t ยท = (.rโ€˜๐‘Œ)
mhpmulcl.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
mhpmulcl.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
mhpmulcl.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
mhpmulcl.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘€))
mhpmulcl.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘))
Assertion
Ref Expression
mhpmulcl (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ (๐ปโ€˜(๐‘€ + ๐‘)))

Proof of Theorem mhpmulcl
Dummy variables ๐‘ ๐‘‘ ๐‘’ ๐‘– ๐‘ฅ ๐‘ โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpmulcl.y . . . . . . . 8 ๐‘Œ = (๐ผ mPoly ๐‘…)
2 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘Œ) = (Baseโ€˜๐‘Œ)
3 eqid 2725 . . . . . . . 8 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
4 mhpmulcl.t . . . . . . . 8 ยท = (.rโ€˜๐‘Œ)
5 eqid 2725 . . . . . . . 8 {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} = {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
6 mhpmulcl.h . . . . . . . . 9 ๐ป = (๐ผ mHomP ๐‘…)
7 reldmmhp 22070 . . . . . . . . . 10 Rel dom mHomP
8 mhpmulcl.p . . . . . . . . . 10 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘€))
97, 6, 8elfvov1 7458 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ V)
10 mhpmulcl.r . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
11 mhpmulcl.m . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
126, 1, 2, 9, 10, 11, 8mhpmpl 22076 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
13 mhpmulcl.n . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
14 mhpmulcl.q . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘))
156, 1, 2, 9, 10, 13, 14mhpmpl 22076 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
161, 2, 3, 4, 5, 12, 15mplmul 21960 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) = (๐‘‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘‘} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)))))))
1716adantr 479 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) = (๐‘‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘‘} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)))))))
18 breq2 5147 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘‘ โ†” ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ))
1918rabbidv 3427 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ = ๐‘ฅ โ†’ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘‘} = {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ})
20 fvoveq1 7439 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘„โ€˜(๐‘‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = (๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)))
2120oveq2d 7432 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))
2219, 21mpteq12dv 5234 . . . . . . . 8 (๐‘‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘‘} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)))) = (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)))))
2322oveq2d 7432 . . . . . . 7 (๐‘‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘‘} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))))
2423adantl 480 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ๐‘‘ = ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘‘} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))))
25 simpr 483 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
26 ovexd 7451 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))) โˆˆ V)
2717, 24, 25, 26fvmptd 7007 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))))
2827neeq1d 2990 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„)โ€˜๐‘ฅ) โ‰  (0gโ€˜๐‘…) โ†” (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))) โ‰  (0gโ€˜๐‘…)))
29 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ๐œ‘)
30 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ = ๐‘’ โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’))
3130eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ = ๐‘’ โ†’ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘€ โ†” ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) = ๐‘€))
3231necon3bbid 2968 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ = ๐‘’ โ†’ (ยฌ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘€ โ†” ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€))
33 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ})
34 elrabi 3668 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†’ ๐‘’ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
3533, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ๐‘’ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
36 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€)
3732, 35, 36elrabd 3676 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ยฌ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘€})
38 notrab 4307 . . . . . . . . . . . . . 14 ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆ– {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘€}) = {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ยฌ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘€}
3937, 38eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ๐‘’ โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆ– {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘€}))
40 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
411, 40, 2, 5, 12mplelf 21947 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ:{โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
42 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
436, 42, 5, 9, 10, 11, 8mhpdeg 22077 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ supp (0gโ€˜๐‘…)) โІ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘€})
44 ovex 7449 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆˆ V
4544rabex 5329 . . . . . . . . . . . . . . 15 {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆˆ V
4645a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆˆ V)
47 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
4841, 43, 46, 47suppssr 8199 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘’ โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆ– {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘€})) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘’) = (0gโ€˜๐‘…))
4929, 39, 48syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘’) = (0gโ€˜๐‘…))
5049oveq1d 7431 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))
5110ad4antr 730 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
5215ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
531, 40, 2, 5, 52mplelf 21947 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ๐‘„:{โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
54 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
55 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} = {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}
565, 55psrbagconcl 21871 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ})
5754, 33, 56syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ})
58 elrabi 3668 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
6053, 59ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ (๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
6140, 3, 42ringlz 20233 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = (0gโ€˜๐‘…))
6251, 60, 61syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = (0gโ€˜๐‘…))
6350, 62eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = (0gโ€˜๐‘…))
64 simp-4l 781 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ๐œ‘)
65 oveq2 7424 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)))
6665eqeq1d 2727 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โ†’ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘ โ†” ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = ๐‘))
6766necon3bbid 2968 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โ†’ (ยฌ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘ โ†” ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘))
68 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
69 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ})
7068, 69, 56syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ})
7170, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
72 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘)
7367, 71, 72elrabd 3676 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ยฌ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘})
74 notrab 4307 . . . . . . . . . . . . . 14 ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆ– {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘}) = {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ยฌ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘}
7573, 74eleqtrrdi 2836 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆ– {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘}))
761, 40, 2, 5, 15mplelf 21947 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„:{โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
776, 42, 5, 9, 10, 13, 14mhpdeg 22077 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ supp (0gโ€˜๐‘…)) โІ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘})
7876, 77, 46, 47suppssr 8199 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆ– {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘})) โ†’ (๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = (0gโ€˜๐‘…))
7964, 75, 78syl2anc 582 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ (๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = (0gโ€˜๐‘…))
8079oveq2d 7432 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(0gโ€˜๐‘…)))
8110ad4antr 730 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
8212ad4antr 730 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
831, 40, 2, 5, 82mplelf 21947 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ:{โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
8434adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘’ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
8584adantr 479 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ๐‘’ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
8683, 85ffvelcdmd 7090 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘’) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8740, 3, 42ringrz 20234 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ƒโ€˜๐‘’) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
8881, 86, 87syl2anc 582 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
8980, 88eqtrd 2765 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = (0gโ€˜๐‘…))
90 nn0subm 21359 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โ„•0 โˆˆ (SubMndโ€˜โ„‚fld)
91 eqid 2725 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โ„‚fld โ†พs โ„•0) = (โ„‚fld โ†พs โ„•0)
9291submbas 18770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โ„•0 โˆˆ (SubMndโ€˜โ„‚fld) โ†’ โ„•0 = (Baseโ€˜(โ„‚fld โ†พs โ„•0)))
9390, 92ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„•0 = (Baseโ€˜(โ„‚fld โ†พs โ„•0))
94 cnfld0 21324 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (0gโ€˜โ„‚fld)
9591, 94subm0 18771 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โ„•0 โˆˆ (SubMndโ€˜โ„‚fld) โ†’ 0 = (0gโ€˜(โ„‚fld โ†พs โ„•0)))
9690, 95ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (0gโ€˜(โ„‚fld โ†พs โ„•0))
97 nn0ex 12508 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โ„•0 โˆˆ V
98 cnfldadd 21289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 + = (+gโ€˜โ„‚fld)
9991, 98ressplusg 17270 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โ„•0 โˆˆ V โ†’ + = (+gโ€˜(โ„‚fld โ†พs โ„•0)))
10097, 99ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 + = (+gโ€˜(โ„‚fld โ†พs โ„•0))
101 cnring 21322 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 โ„‚fld โˆˆ Ring
102 ringcmn 20222 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โ„‚fld โˆˆ Ring โ†’ โ„‚fld โˆˆ CMnd)
103101, 102ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โ„‚fld โˆˆ CMnd
10491submcmn 19797 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โ„‚fld โˆˆ CMnd โˆง โ„•0 โˆˆ (SubMndโ€˜โ„‚fld)) โ†’ (โ„‚fld โ†พs โ„•0) โˆˆ CMnd)
105103, 90, 104mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โ„‚fld โ†พs โ„•0) โˆˆ CMnd
106105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (โ„‚fld โ†พs โ„•0) โˆˆ CMnd)
1079ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐ผ โˆˆ V)
1085psrbagf 21855 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘’ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โ†’ ๐‘’:๐ผโŸถโ„•0)
10984, 108syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘’:๐ผโŸถโ„•0)
110 simpllr 774 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
1115psrbagf 21855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โ†’ ๐‘ฅ:๐ผโŸถโ„•0)
112110, 111syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘ฅ:๐ผโŸถโ„•0)
113112ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘ฅ Fn ๐ผ)
114109ffnd 6718 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘’ Fn ๐ผ)
115 inidm 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ผ โˆฉ ๐ผ) = ๐ผ
116 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (๐‘ฅโ€˜๐‘–))
117 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘’โ€˜๐‘–) = (๐‘’โ€˜๐‘–))
118113, 114, 107, 107, 115, 116, 117offval 7691 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) = (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘ฅโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘’โ€˜๐‘–))))
119 simpl 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}))
120 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ})
121 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ = ๐‘’ โ†’ (๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐‘’ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ))
122121elrab 3674 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†” (๐‘’ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆง ๐‘’ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ))
123122simprbi 495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†’ ๐‘’ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ)
124120, 123syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘’ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ)
125 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐ผ)
126114, 113, 107, 107, 115, 117, 116ofrval 7694 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘’ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘’โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐‘ฅโ€˜๐‘–))
127119, 124, 125, 126syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘’โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐‘ฅโ€˜๐‘–))
128109ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘’โ€˜๐‘–) โˆˆ โ„•0)
129112ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„•0)
130 nn0sub 12552 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘’โ€˜๐‘–) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘’โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐‘ฅโ€˜๐‘–) โ†” ((๐‘ฅโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘’โ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„•0))
131128, 129, 130syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐‘’โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐‘ฅโ€˜๐‘–) โ†” ((๐‘ฅโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘’โ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„•0))
132127, 131mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐‘ฅโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘’โ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„•0)
133118, 132fmpt3d 7121 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’):๐ผโŸถโ„•0)
134109ffund 6721 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ Fun ๐‘’)
135 c0ex 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 โˆˆ V
136107, 135jctir 519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐ผ โˆˆ V โˆง 0 โˆˆ V))
137 fsuppeq 8178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ผ โˆˆ V โˆง 0 โˆˆ V) โ†’ (๐‘’:๐ผโŸถโ„•0 โ†’ (๐‘’ supp 0) = (โ—ก๐‘’ โ€œ (โ„•0 โˆ– {0}))))
138136, 109, 137sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘’ supp 0) = (โ—ก๐‘’ โ€œ (โ„•0 โˆ– {0})))
139 dfn2 12515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 โ„• = (โ„•0 โˆ– {0})
140139imaeq2i 6056 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โ—ก๐‘’ โ€œ โ„•) = (โ—ก๐‘’ โ€œ (โ„•0 โˆ– {0}))
141138, 140eqtr4di 2783 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘’ supp 0) = (โ—ก๐‘’ โ€œ โ„•))
1425psrbag 21854 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐ผ โˆˆ V โ†’ (๐‘’ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โ†” (๐‘’:๐ผโŸถโ„•0 โˆง (โ—ก๐‘’ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin)))
143107, 142syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘’ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โ†” (๐‘’:๐ผโŸถโ„•0 โˆง (โ—ก๐‘’ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin)))
14484, 143mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘’:๐ผโŸถโ„•0 โˆง (โ—ก๐‘’ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin))
145144simprd 494 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (โ—ก๐‘’ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin)
146141, 145eqeltrd 2825 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘’ supp 0) โˆˆ Fin)
14784elexd 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘’ โˆˆ V)
148 isfsupp 9389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘’ โˆˆ V โˆง 0 โˆˆ V) โ†’ (๐‘’ finSupp 0 โ†” (Fun ๐‘’ โˆง (๐‘’ supp 0) โˆˆ Fin)))
149147, 135, 148sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘’ finSupp 0 โ†” (Fun ๐‘’ โˆง (๐‘’ supp 0) โˆˆ Fin)))
150134, 146, 149mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘’ finSupp 0)
151113, 114, 107, 107offun 7696 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ Fun (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))
1525psrbagfsupp 21857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โ†’ ๐‘ฅ finSupp 0)
153110, 152syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘ฅ finSupp 0)
154153, 150fsuppunfi 9411 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ((๐‘ฅ supp 0) โˆช (๐‘’ supp 0)) โˆˆ Fin)
155 0nn0 12517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 โˆˆ โ„•0
156155a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
157 0m0e0 12362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 โˆ’ 0) = 0
158157a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (0 โˆ’ 0) = 0)
159107, 156, 112, 109, 158suppofssd 8207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) supp 0) โІ ((๐‘ฅ supp 0) โˆช (๐‘’ supp 0)))
160154, 159ssfid 9290 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) supp 0) โˆˆ Fin)
161 ovexd 7451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ V)
162 isfsupp 9389 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ V โˆง 0 โˆˆ V) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) finSupp 0 โ†” (Fun (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆง ((๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) supp 0) โˆˆ Fin)))
163161, 135, 162sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) finSupp 0 โ†” (Fun (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆง ((๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) supp 0) โˆˆ Fin)))
164151, 160, 163mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) finSupp 0)
16593, 96, 100, 106, 107, 109, 133, 150, 164gsumadd 19882 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘’ โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) + ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))
166109ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘’โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
167166nn0cnd 12564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘’โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
168112ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
169168nn0cnd 12564 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
170167, 169pncan3d 11604 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐‘’โ€˜๐‘) + ((๐‘ฅโ€˜๐‘) โˆ’ (๐‘’โ€˜๐‘))) = (๐‘ฅโ€˜๐‘))
171170mpteq2dva 5243 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘’โ€˜๐‘) + ((๐‘ฅโ€˜๐‘) โˆ’ (๐‘’โ€˜๐‘)))) = (๐‘ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘)))
172 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘’โ€˜๐‘) โˆˆ V)
173 ovexd 7451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐‘ฅโ€˜๐‘) โˆ’ (๐‘’โ€˜๐‘)) โˆˆ V)
174109feqmptd 6962 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘’ = (๐‘ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘’โ€˜๐‘)))
175112feqmptd 6962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘)))
176107, 168, 166, 175, 174offval2 7702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) = (๐‘ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘ฅโ€˜๐‘) โˆ’ (๐‘’โ€˜๐‘))))
177107, 172, 173, 174, 176offval2 7702 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘’ โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = (๐‘ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘’โ€˜๐‘) + ((๐‘ฅโ€˜๐‘) โˆ’ (๐‘’โ€˜๐‘)))))
178171, 177, 1753eqtr4d 2775 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘’ โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = ๐‘ฅ)
179178oveq2d 7432 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘’ โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ))
180165, 179eqtr3d 2767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) + ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ))
181 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘))
182180, 181eqnetrd 2998 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) + ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) โ‰  (๐‘€ + ๐‘))
183 oveq12 7425 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) = ๐‘€ โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = ๐‘) โ†’ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) + ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = (๐‘€ + ๐‘))
184183a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ((((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) = ๐‘€ โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = ๐‘) โ†’ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) + ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = (๐‘€ + ๐‘)))
185184necon3ad 2943 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ((((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) + ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) โ‰  (๐‘€ + ๐‘) โ†’ ยฌ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) = ๐‘€ โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = ๐‘)))
186182, 185mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ยฌ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) = ๐‘€ โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = ๐‘))
187 neorian 3027 . . . . . . . . . . 11 ((((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€ โˆจ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†” ยฌ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) = ๐‘€ โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = ๐‘))
188186, 187sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€ โˆจ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘))
18963, 89, 188mpjaodan 956 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = (0gโ€˜๐‘…))
190189mpteq2dva 5243 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โ†’ (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)))) = (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ (0gโ€˜๐‘…)))
191190oveq2d 7432 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ (0gโ€˜๐‘…))))
192 ringmnd 20187 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
19310, 192syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
194193ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
19545rabex 5329 . . . . . . . 8 {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โˆˆ V
19642gsumz 18792 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โˆˆ V) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ (0gโ€˜๐‘…))) = (0gโ€˜๐‘…))
197194, 195, 196sylancl 584 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ (0gโ€˜๐‘…))) = (0gโ€˜๐‘…))
198191, 197eqtrd 2765 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))) = (0gโ€˜๐‘…))
199198ex 411 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†’ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))) = (0gโ€˜๐‘…)))
200199necon1d 2952 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))) โ‰  (0gโ€˜๐‘…) โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) = (๐‘€ + ๐‘)))
20128, 200sylbid 239 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„)โ€˜๐‘ฅ) โ‰  (0gโ€˜๐‘…) โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) = (๐‘€ + ๐‘)))
202201ralrimiva 3136 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} (((๐‘ƒ ยท ๐‘„)โ€˜๐‘ฅ) โ‰  (0gโ€˜๐‘…) โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) = (๐‘€ + ๐‘)))
20311, 13nn0addcld 12566 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
2041mplring 21968 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ V โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
2059, 10, 204syl2anc 582 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
2062, 4ringcl 20194 . . . 4 ((๐‘Œ โˆˆ Ring โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
207205, 12, 15, 206syl3anc 1368 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
2086, 1, 2, 42, 5, 9, 10, 203, 207ismhp3 22075 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ (๐ปโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} (((๐‘ƒ ยท ๐‘„)โ€˜๐‘ฅ) โ‰  (0gโ€˜๐‘…) โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) = (๐‘€ + ๐‘))))
209202, 208mpbird 256 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ (๐ปโ€˜(๐‘€ + ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆจ wo 845   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2930  โˆ€wral 3051  {crab 3419  Vcvv 3463   โˆ– cdif 3936   โˆช cun 3937  {csn 4624   class class class wbr 5143   โ†ฆ cmpt 5226  โ—กccnv 5671   โ€œ cima 5675  Fun wfun 6537  โŸถwf 6539  โ€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   โˆ˜f cof 7680   โˆ˜r cofr 7681   supp csupp 8163   โ†‘m cmap 8843  Fincfn 8962   finSupp cfsupp 9385  0cc0 11138   + caddc 11141   โ‰ค cle 11279   โˆ’ cmin 11474  โ„•cn 12242  โ„•0cn0 12502  Basecbs 17179   โ†พs cress 17208  +gcplusg 17232  .rcmulr 17233  0gc0g 17420   ฮฃg cgsu 17421  Mndcmnd 18693  SubMndcsubmnd 18738  CMndccmn 19739  Ringcrg 20177  โ„‚fldccnfld 21283   mPoly cmpl 21843   mHomP cmhp 22062
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-sup 9465  df-oi 9533  df-card 9962  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-seq 13999  df-hash 14322  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-prds 17428  df-pws 17430  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18739  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-mulg 19028  df-subg 19082  df-ghm 19172  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-cring 20180  df-subrng 20487  df-subrg 20512  df-cnfld 21284  df-psr 21846  df-mpl 21848  df-mhp 22069
This theorem is referenced by:  mhppwdeg  22082
  Copyright terms: Public domain W3C validator