MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mhpmulcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mhpmulcl 22032
Description: A product of homogeneous polynomials is a homogeneous polynomial whose degree is the sum of the degrees of the factors. Compare mdegmulle2 25970 (which shows less-than-or-equal instead of equal). (Contributed by SN, 22-Jul-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
mhpmulcl.h ๐ป = (๐ผ mHomP ๐‘…)
mhpmulcl.y ๐‘Œ = (๐ผ mPoly ๐‘…)
mhpmulcl.t ยท = (.rโ€˜๐‘Œ)
mhpmulcl.i (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘‰)
mhpmulcl.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
mhpmulcl.m (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
mhpmulcl.n (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
mhpmulcl.p (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘€))
mhpmulcl.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘))
Assertion
Ref Expression
mhpmulcl (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ (๐ปโ€˜(๐‘€ + ๐‘)))

Proof of Theorem mhpmulcl
Dummy variables ๐‘ ๐‘‘ ๐‘’ ๐‘– ๐‘ฅ ๐‘ โ„Ž are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mhpmulcl.y . . . . . . . 8 ๐‘Œ = (๐ผ mPoly ๐‘…)
2 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseโ€˜๐‘Œ) = (Baseโ€˜๐‘Œ)
3 eqid 2726 . . . . . . . 8 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
4 mhpmulcl.t . . . . . . . 8 ยท = (.rโ€˜๐‘Œ)
5 eqid 2726 . . . . . . . 8 {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} = {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}
6 mhpmulcl.h . . . . . . . . 9 ๐ป = (๐ผ mHomP ๐‘…)
7 mhpmulcl.i . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘‰)
8 mhpmulcl.r . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
9 mhpmulcl.m . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘€ โˆˆ โ„•0)
10 mhpmulcl.p . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘€))
116, 1, 2, 7, 8, 9, 10mhpmpl 22027 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
12 mhpmulcl.n . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•0)
13 mhpmulcl.q . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (๐ปโ€˜๐‘))
146, 1, 2, 7, 8, 12, 13mhpmpl 22027 . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
151, 2, 3, 4, 5, 11, 14mplmul 21912 . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) = (๐‘‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘‘} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)))))))
1615adantr 480 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) = (๐‘‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘‘} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)))))))
17 breq2 5145 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘‘ โ†” ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ))
1817rabbidv 3434 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ = ๐‘ฅ โ†’ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘‘} = {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ})
19 fvoveq1 7428 . . . . . . . . . 10 (๐‘‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘„โ€˜(๐‘‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = (๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)))
2019oveq2d 7421 . . . . . . . . 9 (๐‘‘ = ๐‘ฅ โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))
2118, 20mpteq12dv 5232 . . . . . . . 8 (๐‘‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘‘} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)))) = (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)))))
2221oveq2d 7421 . . . . . . 7 (๐‘‘ = ๐‘ฅ โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘‘} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))))
2322adantl 481 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ๐‘‘ = ๐‘ฅ) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘‘} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘‘ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))))
24 simpr 484 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
25 ovexd 7440 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))) โˆˆ V)
2616, 23, 24, 25fvmptd 6999 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„)โ€˜๐‘ฅ) = (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))))
2726neeq1d 2994 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„)โ€˜๐‘ฅ) โ‰  (0gโ€˜๐‘…) โ†” (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))) โ‰  (0gโ€˜๐‘…)))
28 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ๐œ‘)
29 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ = ๐‘’ โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’))
3029eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ = ๐‘’ โ†’ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘€ โ†” ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) = ๐‘€))
3130necon3bbid 2972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ = ๐‘’ โ†’ (ยฌ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘€ โ†” ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€))
32 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ})
33 elrabi 3672 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†’ ๐‘’ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
3432, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ๐‘’ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
35 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€)
3631, 34, 35elrabd 3680 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ยฌ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘€})
37 notrab 4306 . . . . . . . . . . . . . 14 ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆ– {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘€}) = {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ยฌ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘€}
3836, 37eleqtrrdi 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ๐‘’ โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆ– {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘€}))
39 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
401, 39, 2, 5, 11mplelf 21899 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘ƒ:{โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
41 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (0gโ€˜๐‘…) = (0gโ€˜๐‘…)
426, 41, 5, 7, 8, 9, 10mhpdeg 22028 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ supp (0gโ€˜๐‘…)) โІ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘€})
43 ovex 7438 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆˆ V
4443rabex 5325 . . . . . . . . . . . . . . 15 {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆˆ V
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆˆ V)
46 fvexd 6900 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (0gโ€˜๐‘…) โˆˆ V)
4740, 42, 45, 46suppssr 8181 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง ๐‘’ โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆ– {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘€})) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘’) = (0gโ€˜๐‘…))
4828, 38, 47syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘’) = (0gโ€˜๐‘…))
4948oveq1d 7420 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))
508ad4antr 729 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
5114ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
521, 39, 2, 5, 51mplelf 21899 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ๐‘„:{โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
53 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
54 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . 16 {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} = {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}
555, 54psrbagconcl 21828 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ})
5653, 32, 55syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ})
57 elrabi 3672 . . . . . . . . . . . . . 14 ((๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
5952, 58ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ (๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
6039, 3, 41ringlz 20192 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = (0gโ€˜๐‘…))
6150, 59, 60syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ((0gโ€˜๐‘…)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = (0gโ€˜๐‘…))
6249, 61eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = (0gโ€˜๐‘…))
63 simp-4l 780 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ๐œ‘)
64 oveq2 7413 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)))
6564eqeq1d 2728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โ†’ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘ โ†” ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = ๐‘))
6665necon3bbid 2972 . . . . . . . . . . . . . . 15 (๐‘ = (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โ†’ (ยฌ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘ โ†” ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘))
67 simp-4r 781 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
68 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ})
6967, 68, 55syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ})
7069, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
71 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘)
7266, 70, 71elrabd 3680 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ยฌ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘})
73 notrab 4306 . . . . . . . . . . . . . 14 ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆ– {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘}) = {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ยฌ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘}
7472, 73eleqtrrdi 2838 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆ– {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘}))
751, 39, 2, 5, 14mplelf 21899 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„:{โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
766, 41, 5, 7, 8, 12, 13mhpdeg 22028 . . . . . . . . . . . . . 14 (๐œ‘ โ†’ (๐‘„ supp (0gโ€˜๐‘…)) โІ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘})
7775, 76, 45, 46suppssr 8181 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ ({โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆ– {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘) = ๐‘})) โ†’ (๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = (0gโ€˜๐‘…))
7863, 74, 77syl2anc 583 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ (๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = (0gโ€˜๐‘…))
7978oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(0gโ€˜๐‘…)))
808ad4antr 729 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ๐‘… โˆˆ Ring)
8111ad4antr 729 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
821, 39, 2, 5, 81mplelf 21899 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ๐‘ƒ:{โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}โŸถ(Baseโ€˜๐‘…))
8333adantl 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘’ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
8483adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ๐‘’ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
8582, 84ffvelcdmd 7081 . . . . . . . . . . . 12 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ (๐‘ƒโ€˜๐‘’) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…))
8639, 3, 41ringrz 20193 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘… โˆˆ Ring โˆง (๐‘ƒโ€˜๐‘’) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘…)) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
8780, 85, 86syl2anc 583 . . . . . . . . . . 11 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(0gโ€˜๐‘…)) = (0gโ€˜๐‘…))
8879, 87eqtrd 2766 . . . . . . . . . 10 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = (0gโ€˜๐‘…))
89 nn0subm 21316 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โ„•0 โˆˆ (SubMndโ€˜โ„‚fld)
90 eqid 2726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (โ„‚fld โ†พs โ„•0) = (โ„‚fld โ†พs โ„•0)
9190submbas 18739 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โ„•0 โˆˆ (SubMndโ€˜โ„‚fld) โ†’ โ„•0 = (Baseโ€˜(โ„‚fld โ†พs โ„•0)))
9289, 91ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 โ„•0 = (Baseโ€˜(โ„‚fld โ†พs โ„•0))
93 cnfld0 21281 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 = (0gโ€˜โ„‚fld)
9490, 93subm0 18740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โ„•0 โˆˆ (SubMndโ€˜โ„‚fld) โ†’ 0 = (0gโ€˜(โ„‚fld โ†พs โ„•0)))
9589, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 = (0gโ€˜(โ„‚fld โ†พs โ„•0))
96 nn0ex 12482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 โ„•0 โˆˆ V
97 cnfldadd 21246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 + = (+gโ€˜โ„‚fld)
9890, 97ressplusg 17244 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โ„•0 โˆˆ V โ†’ + = (+gโ€˜(โ„‚fld โ†พs โ„•0)))
9996, 98ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 + = (+gโ€˜(โ„‚fld โ†พs โ„•0))
100 cnring 21279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 โ„‚fld โˆˆ Ring
101 ringcmn 20181 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โ„‚fld โˆˆ Ring โ†’ โ„‚fld โˆˆ CMnd)
102100, 101ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 โ„‚fld โˆˆ CMnd
10390submcmn 19758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((โ„‚fld โˆˆ CMnd โˆง โ„•0 โˆˆ (SubMndโ€˜โ„‚fld)) โ†’ (โ„‚fld โ†พs โ„•0) โˆˆ CMnd)
104102, 89, 103mp2an 689 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (โ„‚fld โ†พs โ„•0) โˆˆ CMnd
105104a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (โ„‚fld โ†พs โ„•0) โˆˆ CMnd)
1067ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐ผ โˆˆ ๐‘‰)
1075psrbagf 21812 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (๐‘’ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โ†’ ๐‘’:๐ผโŸถโ„•0)
10883, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘’:๐ผโŸถโ„•0)
109 simpllr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin})
1105psrbagf 21812 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โ†’ ๐‘ฅ:๐ผโŸถโ„•0)
111109, 110syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘ฅ:๐ผโŸถโ„•0)
112111ffnd 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘ฅ Fn ๐ผ)
113108ffnd 6712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘’ Fn ๐ผ)
114 inidm 4213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (๐ผ โˆฉ ๐ผ) = ๐ผ
115 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–) = (๐‘ฅโ€˜๐‘–))
116 eqidd 2727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘’โ€˜๐‘–) = (๐‘’โ€˜๐‘–))
117112, 113, 106, 106, 114, 115, 116offval 7676 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) = (๐‘– โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘ฅโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘’โ€˜๐‘–))))
118 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}))
119 simplr 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ})
120 breq1 5144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (๐‘ = ๐‘’ โ†’ (๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ โ†” ๐‘’ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ))
121120elrab 3678 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†” (๐‘’ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆง ๐‘’ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ))
122121simprbi 496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†’ ๐‘’ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ)
123119, 122syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘’ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ)
124 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ ๐‘– โˆˆ ๐ผ)
125113, 112, 106, 106, 114, 116, 115ofrval 7679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘’ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘’โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐‘ฅโ€˜๐‘–))
126118, 123, 124, 125syl3anc 1368 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘’โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐‘ฅโ€˜๐‘–))
127108ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘’โ€˜๐‘–) โˆˆ โ„•0)
128111ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„•0)
129 nn0sub 12526 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((๐‘’โ€˜๐‘–) โˆˆ โ„•0 โˆง (๐‘ฅโ€˜๐‘–) โˆˆ โ„•0) โ†’ ((๐‘’โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐‘ฅโ€˜๐‘–) โ†” ((๐‘ฅโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘’โ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„•0))
130127, 128, 129syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐‘’โ€˜๐‘–) โ‰ค (๐‘ฅโ€˜๐‘–) โ†” ((๐‘ฅโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘’โ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„•0))
131126, 130mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘– โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐‘ฅโ€˜๐‘–) โˆ’ (๐‘’โ€˜๐‘–)) โˆˆ โ„•0)
132117, 131fmpt3d 7111 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’):๐ผโŸถโ„•0)
133108ffund 6715 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ Fun ๐‘’)
134 c0ex 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 0 โˆˆ V
135106, 134jctir 520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง 0 โˆˆ V))
136 fsuppeq 8160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง 0 โˆˆ V) โ†’ (๐‘’:๐ผโŸถโ„•0 โ†’ (๐‘’ supp 0) = (โ—ก๐‘’ โ€œ (โ„•0 โˆ– {0}))))
137135, 108, 136sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘’ supp 0) = (โ—ก๐‘’ โ€œ (โ„•0 โˆ– {0})))
138 dfn2 12489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 โ„• = (โ„•0 โˆ– {0})
139138imaeq2i 6051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (โ—ก๐‘’ โ€œ โ„•) = (โ—ก๐‘’ โ€œ (โ„•0 โˆ– {0}))
140137, 139eqtr4di 2784 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘’ supp 0) = (โ—ก๐‘’ โ€œ โ„•))
1415psrbag 21811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โ†’ (๐‘’ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โ†” (๐‘’:๐ผโŸถโ„•0 โˆง (โ—ก๐‘’ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin)))
142106, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘’ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โ†” (๐‘’:๐ผโŸถโ„•0 โˆง (โ—ก๐‘’ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin)))
14383, 142mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘’:๐ผโŸถโ„•0 โˆง (โ—ก๐‘’ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin))
144143simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (โ—ก๐‘’ โ€œ โ„•) โˆˆ Fin)
145140, 144eqeltrd 2827 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘’ supp 0) โˆˆ Fin)
14683elexd 3489 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘’ โˆˆ V)
147 isfsupp 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((๐‘’ โˆˆ V โˆง 0 โˆˆ V) โ†’ (๐‘’ finSupp 0 โ†” (Fun ๐‘’ โˆง (๐‘’ supp 0) โˆˆ Fin)))
148146, 134, 147sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘’ finSupp 0 โ†” (Fun ๐‘’ โˆง (๐‘’ supp 0) โˆˆ Fin)))
149133, 145, 148mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘’ finSupp 0)
150112, 113, 106, 106offun 7681 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ Fun (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))
1515psrbagfsupp 21814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โ†’ ๐‘ฅ finSupp 0)
152109, 151syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘ฅ finSupp 0)
153152, 149fsuppunfi 9385 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ((๐‘ฅ supp 0) โˆช (๐‘’ supp 0)) โˆˆ Fin)
154 0nn0 12491 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 โˆˆ โ„•0
155154a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ 0 โˆˆ โ„•0)
156 0m0e0 12336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (0 โˆ’ 0) = 0
157156a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (0 โˆ’ 0) = 0)
158106, 155, 111, 108, 157suppofssd 8189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) supp 0) โІ ((๐‘ฅ supp 0) โˆช (๐‘’ supp 0)))
159153, 158ssfid 9269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) supp 0) โˆˆ Fin)
160 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ V)
161 isfsupp 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆˆ V โˆง 0 โˆˆ V) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) finSupp 0 โ†” (Fun (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆง ((๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) supp 0) โˆˆ Fin)))
162160, 134, 161sylancl 585 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ((๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) finSupp 0 โ†” (Fun (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) โˆง ((๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) supp 0) โˆˆ Fin)))
163150, 159, 162mpbir2and 710 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) finSupp 0)
16492, 95, 99, 105, 106, 108, 132, 149, 163gsumadd 19843 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘’ โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) + ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))
165108ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘’โ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
166165nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘’โ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
167111ffvelcdmda 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘) โˆˆ โ„•0)
168167nn0cnd 12538 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘ฅโ€˜๐‘) โˆˆ โ„‚)
169166, 168pncan3d 11578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐‘’โ€˜๐‘) + ((๐‘ฅโ€˜๐‘) โˆ’ (๐‘’โ€˜๐‘))) = (๐‘ฅโ€˜๐‘))
170169mpteq2dva 5241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘’โ€˜๐‘) + ((๐‘ฅโ€˜๐‘) โˆ’ (๐‘’โ€˜๐‘)))) = (๐‘ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘)))
171 fvexd 6900 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ผ) โ†’ (๐‘’โ€˜๐‘) โˆˆ V)
172 ovexd 7440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โˆง ๐‘ โˆˆ ๐ผ) โ†’ ((๐‘ฅโ€˜๐‘) โˆ’ (๐‘’โ€˜๐‘)) โˆˆ V)
173108feqmptd 6954 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘’ = (๐‘ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘’โ€˜๐‘)))
174111feqmptd 6954 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ๐‘ฅ = (๐‘ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ (๐‘ฅโ€˜๐‘)))
175106, 167, 165, 174, 173offval2 7687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’) = (๐‘ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘ฅโ€˜๐‘) โˆ’ (๐‘’โ€˜๐‘))))
176106, 171, 172, 173, 175offval2 7687 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘’ โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = (๐‘ โˆˆ ๐ผ โ†ฆ ((๐‘’โ€˜๐‘) + ((๐‘ฅโ€˜๐‘) โˆ’ (๐‘’โ€˜๐‘)))))
177170, 176, 1743eqtr4d 2776 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (๐‘’ โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = ๐‘ฅ)
178177oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘’ โˆ˜f + (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ))
179164, 178eqtr3d 2768 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) + ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ))
180 simplr 766 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘))
181179, 180eqnetrd 3002 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) + ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) โ‰  (๐‘€ + ๐‘))
182 oveq12 7414 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) = ๐‘€ โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = ๐‘) โ†’ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) + ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = (๐‘€ + ๐‘))
183182a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ((((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) = ๐‘€ โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = ๐‘) โ†’ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) + ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = (๐‘€ + ๐‘)))
184183necon3ad 2947 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ((((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) + ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) โ‰  (๐‘€ + ๐‘) โ†’ ยฌ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) = ๐‘€ โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = ๐‘)))
185181, 184mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ยฌ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) = ๐‘€ โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = ๐‘))
186 neorian 3031 . . . . . . . . . . 11 ((((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€ โˆจ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘) โ†” ยฌ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) = ๐‘€ โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) = ๐‘))
187185, 186sylibr 233 . . . . . . . . . 10 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘’) โ‰  ๐‘€ โˆจ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg (๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)) โ‰  ๐‘))
18862, 88, 187mpjaodan 955 . . . . . . . . 9 ((((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โˆง ๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ}) โ†’ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))) = (0gโ€˜๐‘…))
189188mpteq2dva 5241 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โ†’ (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’)))) = (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ (0gโ€˜๐‘…)))
190189oveq2d 7421 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))) = (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ (0gโ€˜๐‘…))))
191 ringmnd 20148 . . . . . . . . . 10 (๐‘… โˆˆ Ring โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
1928, 191syl 17 . . . . . . . . 9 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
193192ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โ†’ ๐‘… โˆˆ Mnd)
19444rabex 5325 . . . . . . . 8 {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โˆˆ V
19541gsumz 18761 . . . . . . . 8 ((๐‘… โˆˆ Mnd โˆง {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โˆˆ V) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ (0gโ€˜๐‘…))) = (0gโ€˜๐‘…))
196193, 194, 195sylancl 585 . . . . . . 7 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ (0gโ€˜๐‘…))) = (0gโ€˜๐‘…))
197190, 196eqtrd 2766 . . . . . 6 (((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โˆง ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘)) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))) = (0gโ€˜๐‘…))
198197ex 412 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†’ (((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) โ‰  (๐‘€ + ๐‘) โ†’ (๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))) = (0gโ€˜๐‘…)))
199198necon1d 2956 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†’ ((๐‘… ฮฃg (๐‘’ โˆˆ {๐‘ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} โˆฃ ๐‘ โˆ˜r โ‰ค ๐‘ฅ} โ†ฆ ((๐‘ƒโ€˜๐‘’)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘„โ€˜(๐‘ฅ โˆ˜f โˆ’ ๐‘’))))) โ‰  (0gโ€˜๐‘…) โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) = (๐‘€ + ๐‘)))
20027, 199sylbid 239 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin}) โ†’ (((๐‘ƒ ยท ๐‘„)โ€˜๐‘ฅ) โ‰  (0gโ€˜๐‘…) โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) = (๐‘€ + ๐‘)))
201200ralrimiva 3140 . 2 (๐œ‘ โ†’ โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} (((๐‘ƒ ยท ๐‘„)โ€˜๐‘ฅ) โ‰  (0gโ€˜๐‘…) โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) = (๐‘€ + ๐‘)))
2029, 12nn0addcld 12540 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘€ + ๐‘) โˆˆ โ„•0)
2031mplring 21920 . . . . 5 ((๐ผ โˆˆ ๐‘‰ โˆง ๐‘… โˆˆ Ring) โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
2047, 8, 203syl2anc 583 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ Ring)
2052, 4ringcl 20155 . . . 4 ((๐‘Œ โˆˆ Ring โˆง ๐‘ƒ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ) โˆง ๐‘„ โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ)) โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
206204, 11, 14, 205syl3anc 1368 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ (Baseโ€˜๐‘Œ))
2076, 1, 2, 41, 5, 7, 8, 202, 206ismhp3 22026 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ (๐ปโ€˜(๐‘€ + ๐‘)) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ {โ„Ž โˆˆ (โ„•0 โ†‘m ๐ผ) โˆฃ (โ—กโ„Ž โ€œ โ„•) โˆˆ Fin} (((๐‘ƒ ยท ๐‘„)โ€˜๐‘ฅ) โ‰  (0gโ€˜๐‘…) โ†’ ((โ„‚fld โ†พs โ„•0) ฮฃg ๐‘ฅ) = (๐‘€ + ๐‘))))
208201, 207mpbird 257 1 (๐œ‘ โ†’ (๐‘ƒ ยท ๐‘„) โˆˆ (๐ปโ€˜(๐‘€ + ๐‘)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2934  โˆ€wral 3055  {crab 3426  Vcvv 3468   โˆ– cdif 3940   โˆช cun 3941  {csn 4623   class class class wbr 5141   โ†ฆ cmpt 5224  โ—กccnv 5668   โ€œ cima 5672  Fun wfun 6531  โŸถwf 6533  โ€˜cfv 6537  (class class class)co 7405   โˆ˜f cof 7665   โˆ˜r cofr 7666   supp csupp 8146   โ†‘m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  0cc0 11112   + caddc 11115   โ‰ค cle 11253   โˆ’ cmin 11448  โ„•cn 12216  โ„•0cn0 12476  Basecbs 17153   โ†พs cress 17182  +gcplusg 17206  .rcmulr 17207  0gc0g 17394   ฮฃg cgsu 17395  Mndcmnd 18667  SubMndcsubmnd 18712  CMndccmn 19700  Ringcrg 20138  โ„‚fldccnfld 21240   mPoly cmpl 21800   mHomP cmhp 22014
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-ofr 7668  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8147  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14296  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-ip 17224  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-hom 17230  df-cco 17231  df-0g 17396  df-gsum 17397  df-prds 17402  df-pws 17404  df-mre 17539  df-mrc 17540  df-acs 17542  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-submnd 18714  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-cntz 19233  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-cnfld 21241  df-psr 21803  df-mpl 21805  df-mhp 22021
This theorem is referenced by:  mhppwdeg  22033
  Copyright terms: Public domain W3C validator